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differential equations. J. Math. Kyoto Univ., 11:155–167, 1971.162. Kosaku Yosida. Functional analysis. Classics in Mathematics. Springer-Verlag, Berlin,

1995. Nachdruck der sechsten Auflage von 1980.163. Ofer Zeitouni. Random walks in random environment. In Lectures on probability

theory and statistics, volume 1837 of Lecture Notes in Math., pages 189–312. Springer,Berlin, 2004.

Notation

A Indikatorfunktion der Menge A

2Ω Potenzmenge, 1

#A Kardinalitat der Menge A

Ac Komplement Ω \A der Menge A ⊂ Ω, 1

A ∩B Schnittmenge

A ∪B Vereinigungsmenge

A �B disjunkte Vereinigungsmenge (eigentlich ist hierin eineAussage enthalten)

A ⊂ B A ist (nicht notwendigerweise echte) Teilmenge von B

A \B Differenzmenge

A�B symmetrische Differenz zweier Mengen, 29

A×B kartesisches Produkt von A und B

A Teilmenge von 2Ω , typischerweise eine σ-Algebra, 1

A∣∣B

Spur-Mengensystem auf B, 10

A ⊗ A′ Produkt der σ-Algebren A und A, 260

B(E) Borel’sche σ-Algebra von E, 8

Berp Bernoulliverteilung, 43

βr,s Beta-Verteilung mit Parametern r und s, 46

bn,p Binomialverteilung, 44, 289

b−r,p negative Binomialverteilung, 44, 289

C(E), Cb(E), Cc(E) Raum der stetigen (beschrankten) Funktionen, bzw. mitkompakten Trager, 236

CqV Funktionen mit stetiger quadratischer Variation, 467

C Menge der komplexen Zahlen, 78

Caua Cauchy Verteilung, 289

584 Notation

Cov[X,Y ] Kovarianz der ZufallsvariablenX und Y , 98

CPoiν zusammengesetzte Poisson-Verteilung, 317

δx Dirac-Verteilung, 12

E[X] Erwartungswert der Zufallsvariablen X , 97

E[X; A] =E[X A], 167

E[X |F ] bedingter Erwartungswert, 169

expθ Exponentialverteilung, 45, 289

F = (Ft)t∈I Filtration, 185

f.s, f.u. fast sicher und fast uberall, 31

G(x, y) Greeenfunktion einer Markovkette, 351

Γθ,r Gammaverteilung mit Großenparameter θ > 0 undFormparameter r > 0, 46, 289

γp = b−1,p geometrische Verteilung mit Parameter p, 44

ggT(M) großter gemeinsamer Teiler allerm ∈M ⊂ N, 366

H ·X diskretes stochastisches Integral vonH bezuglichX , 192

I Menge der invarianten Verteilungen einer Markovkette,360

i.i.d. independent and identically distributed, 55

Im(z) Imaginarteil von z ∈ C, 281

λ, λn Lebesgue-Maß, n-dimensionales, 25

Lip(E) Raum der Lipschitz-stetigen Funktionen auf E, 237

Lp, Lp Lebesgue’sche Raume p-fach integrierbarer Funktionen,89, 139, 140

L(X) Verteilung der ZufallsvariablenX

M(E),Mf (E),M≤1,M1(E) Menge der (endlichen bzw. (Sub-)W-) Maße auf E, 17,

235

Mloc,c Raum der stetigen lokalen Martingale, 470

μ⊗ ν Produkt der Maße μ und ν, 27, 264

μ ∗ ν Faltung der Maße μ und ν, 60, 266

μ⊗n n-faches Produktmaß, 264

μ∗n n-fache Faltungspotenz, 60

μ% ν μ ist absolutstetig bezuglich ν, 151

Notation 585

μ ⊥ ν μ ist singular bezuglich ν, 151

μ ≈ ν μ und ν sind aquivalent, 151

N, N0 N = {1, 2, 3, . . .}, N0 = N ∪ {0}Nμ,σ2 Normalverteilung, 45, 289

dμ/dν Radon-Nikodym-Ableitung 152

Ω Raum der Elementarereignisse, auf dem P definiert ist

P generisches Wahrscheinlichkeitsmaß

P[A|B],P[A|F ] bedingte Wahrscheinlichkeiten, 166, 169

PX = P ◦X−1 Verteilung der ZufallsvariablenX , 42

Poiλ Poissonverteilung mit Parameter λ ≥ 0, 45, 289

pn(x, y) = p(n)(x, y) n-Schritt-Ubergangswahrscheinlichkeiten einer Markov-kette, 340

PnS,T , Pn

T siehe Seite 467

ϕX charakteristische Funktion der ZufallsvariablenX , 288

ψX Erzeugendenfunktion der ZufallsvariablenX , 75

Q Menge der rationalen Zahlen

R Menge der reellen Zahlen

R = R ∪ {−∞,+∞} Zweipunktkompaktifizierung der reellen Zahlen

Re(z) Realteil von z ∈ C, 281

sign(x) = (0,∞)(x) − (−∞,0)(x), Vorzeichen von x ∈ R, 37

σ( · ) von · erzeugte σ-Algebra oder Filtration, 6, 34, 185

τkx Zeit des k-ten Besuches einer Markovkette in x, 349

T ( · ) terminale σ-Algebra, 61

UA uniforme Verteilung auf A, 12, 33, 289

u.i.v. unabhangig und identisch verteilt, 55

V 1(G), V 2(G) Variation und quadratische Variation von G, 466, 467

Var[X] Varianz der Zufallsvariablen X , 97

〈X〉 quadratischer Variationsprozess von X , 200, 467, 471,475

f(t) ∼ g(t), t→ a : ⇐⇒ limt→a f(t)/g(t) = 1

X ∼ μ Die ZufallsvariableX hat Verteilung μ, 42

x ∨ y, x ∧ y, x+, x− Maximum, Minimum, Positivteil, Negativteil reeller Zah-len, 37

586 Notation

�x�, �x� Abgerundetes und Aufgerundetes von x, 36

z komplex konjugierte Zahl zu z ∈ C, 281

Z Menge der ganzen Zahlen

D= Gleichheit in Verteilung, 42

D−→n→∞

,n→∞=⇒ Konvergenz der Verteilungen, 243

n→∞=⇒fdd

,n→∞−→fdd

Konvergenz der endlichdimensionalen Verteilungen, 453

Glossar englischer Ausdrucke

a.a. = almost all fast allea.e. = almost everywhere fast uberalla.s. = almost surely fast sicherarray (of random variables) Schema von Zufallsvariablenbackward martingale Ruckwartsmartingalbond, edge Kante (eines Graphen)Brownian motion Brown’sche Bewegungcentral limit theorem Zentraler Grenzwertsatzcompletion Vervollstandigungcompound Poisson zusammengesetzt Poissonconductivity Leitfahigkeitcontinuous stetigconvolution Faltungdecompostition Zerlegungdensity Dichtederivative Ableitungdistribution Verteilungdominated convergence majorisierte Konvergenzdynamical system Dynamisches Systemexpectation (conditional) Erwartungswert (bedingter)ergodic theorem Ergodensatzevent Ereignisexchangeable austauschbarextension theorem Fortsetzungssatz, Erweiterungssatzflow (electric) Fluss (elektrischer)iff = if and only if dann und nur dann, wenni.i.d. = independent and identicallydistributed

unabhangig und identisch verteilt

increment Zuwachsindistinguishable ununterscheidbarinteger (number) ganze Zahljoint distribution gemeinsame Verteilunglarge deviation große Abweichung

588 Glossar englischer Ausdrucke

law Verteilunglevel set NiveaumengeMarkov chain Markovkette(strong) Markov property (starke) Markoveigenschaftmap Abbildungmarginal (distribution) Randverteilungmean Mittelwertmeasurable space Messraummeasure Maßmeasure preserving maßerhaltendmixing mischendmodulus (of a number) Absolutbetrag (einer Zahl)modulus of continuity Stetigkeitsmodulnull array asymptotisch vernachlassigbares Sche-

mapartition function Zustandssummep.d.f. = probability distribution function Verteilungsfunktionp.g.f. = probability generating function Erzeugendenfunktionphase transition Phasenubergangpredictable, previsible previsibel, vorhersagbarprobability Wahrscheinlichkeitrandom walk Irrfahrtrandom variable Zufallsvariablerepresentation Darstellungsemigroup Halbgruppeσ-field σ-Algebrasize-biased (sampling) großenverzerrtes Ziehen einer Stichpro-

betight strafftrace Spurtransition kernel Ubergangskernuniform distribution Gleichverteilunguniformly integrable gleichgradig integrierbarurn model Urnenmodell(probability) weight (Wahrscheinlichkeits-)gewichtvertex Punkt/Knoten eines Graphenw.p. = with probability

Namensregister

Banach, Stefan, 1892 (Krakau) – 1945(Lemberg, Ukraine), 147

Bayes, Thomas, 1702 (London) – 1761(Tunbridge Wells, England), 166

Bernoulli, Jakob, 1654 (Basel) – 1705(Basel), 18

Bienayme, Irenee-Jules, 1796 (Paris) – 1878(Paris), 100

Blackwell, David, 1919, 103Bochner, Salomon, 1899 (Krakau) – 1982

(Houston, Texas), 298Boltzmann, Ludwig, 1844 (Wien) – 1906

(Duino bei Triest), 378Borel, Emile, 1871 (Saint-Affrique,

Frankreich) – 1956 (Paris), 8Brown, Robert, 1773 (Montrose, Scotland)

– 1858 (London), 436

Cantelli, Francesco Paolo, 1875 (Palermo) –1966 (Rom), 51

Caratheodory, Constantin, 1873 (Berlin) –1950 (Munchen), 19

Cauchy, Augustin Louis, 1789 (Paris) –1857 (bei Paris), 101

Cesaro, Ernesto, 1859 (Neapel) – 1906(Torre Annunziata, Italien), 62

Chebyshev, Pafnutij Lvovich (Qebyxev,Pafnuti� Lvoviq), 1821 (Okata-vo, Russland) – 1894 (Sankt Petersburg),104

Cramer, Harald, 1893 (Stockholm) – 1985(Stockholm), 312

Curie, Pierre, 1859 (Paris) – 1906 (Paris),508

Dieudonne, Jean Alexandre 1906 (Lille,Frankreich) – 1992 (Paris), 282

Dirac, Paul Adrien Maurice, 1902 (Bristol)– 1984 (Tallahassee, Florida), 12

Dirichlet, Lejeune, 1805 (Duren) – 1859(Gottingen), 391

Doob, Joseph Leo, 1910 (Cincinnati, Ohio)– 2004 (Urbana, Illinois), 199

Dynkin, Eugene, 1924 (Sankt Petersburg),4

Egorov, Dmitrij Fedorovich(Egorov, Dmitri� Fedoroviq),1869 (Moskau) – 1931 (Kasan), 130

Esseen, Carl-Gustav, 1918 (Linkoping,Schweden) – 2001 (Uppsala ?), 311

Fatou, Pierre, 1878 (Lorient, Frankreich) –1929 (Pornichet, Frankreich), 91

Feller, William, 1906 (Zagreb) – 1970 (NewYork), 306

Fischer, Ernst, 1875 (Wien) – 1954 (Koln),147

Fourier, Jean Baptiste Joseph, 1768(Auxerre, Frankreich) – 1830 (Paris).,286

Frechet, Maurice Rene, 1878 (Maligny,Frankreich) – 1973 (Paris), 147

Fubini, Guido, 1879 (Venedig) – 1943 (NewYork), 264

Galton, Francis, 1822 (bei Birmingham) –1911 (Grayshott House, England), 81

Gauß, Carl-Friedrich, 1777 (Braunschweig)– 1855 (Gottingen), 45

Gibbs, Josiah Willard, 1839 (New Haven,Connecticut) – 1903 (New Haven,Connecticut), 381

Green, George, 1793 (Nottingham) – 1841(Nottingham), 351

590 Namensregister

Hahn, Hans, 1879 (Wien) – 1934 (Wien),156

Helly, Eduard, 1884 (Wien) – 1943(Chicago), 250

Hesse, Ludwig Otto, 1814 (Konigsberg) –1874 Munchen, 144

Hewitt, Edwin, 1920 (Everett, Washington),228

Hilbert, David, 1862 (Konigsberg) – 1943(Gottingen), 147

Hopf, Eberhard, 1902 (Salzburg) – 1983,418

Holder, Otto Ludwig, 1859 (Stuttgart) –1937 (Leipzig), 146

Ionescu-Tulcea, Cassius, 1923, 273Ising, Ernst, 1900 (Koln) – 1988 (Peoria,

Illinois), 377Ito, Kiyosi, 1915 (Hokusei-cho, Japan),

449

Jensen, Johan Ludwig, 1859 (Nakskov,Danemark) – 1925 (Kopenhagen), 144

Jordan, Camille, 1838 (bei Lyon) – 1922(Paris), 158

Kesten, Harry, 1931, 70Khinchin, Aleksandr Jakovlevich

(Hinqin, Aleksandr �kovle-viq) 1894 (Kondrovo, Russland) – 1959(Moskau), 320

Kirchhoff, Gustav Robert, 1824 (Ko-nigsberg) – 1887 (Berlin), 394

Kolmogorov, Andrej Nikolaevich(Kolmogorov, Andre� Niko-laeviq), 1903 (Tambow, Russland) –1987 (Moskau), 63

Laplace, Pierre-Simon, 1749 (Beaumont-en-Auge, Normandie) – 1827 (Paris),137

Lebesgue, Henri Leon, 1875 (Beauvais,Oise, Frankreich) – 1941 (Paris), 18

Legendre, Adrien-Marie, 1752 (Paris) –1833 (Paris), 491

Levi, Beppo, 1875 (Turin, Italien) – 1961(Rosario, Santa Fe, Argentinien), 91

Levy, Paul Pierre, 1886 (Paris) – 1971(Paris), 296, 480

Lindeberg, Jarl Waldemar, 1876 – 1932,305

Lipschitz, Rudolph, 1832 (Konigsberg) –1903 (Bonn), 237

Lusin, Nikolai Nikolaevich(Lusin, Nikola� Nikolaeviq),1883 (Irkutsk, Russland) – 1950(Moskau), 238

Lyapunov, Aleksandr Mikhajlovich(L�punov Aleksandr Mi-ha�loviq), 1857 (Jaroslavl, Russland)– 1918 (Odessa), 305

Markov, Andrej Andreevich (Markov,Andre� Andreeviq), 1856 (Rya-zan, Russland) – 1922 (Sankt Petersburg),104

Menshov, Dmitrij Evgen’evich(Menxov, Dmitri� Ev-gen�eviq), 1892 (Moskau) – 1988(Moskau), 117

Minkowski, Hermann, 1864 (Alexotas, heu-te: Kaunas, Litauen) – 1909 (Gottingen),146

Neumann, John von, 1903 (Budapest) –1957 (Washington D.C.), 152

Nikodym, Otton Marcin, 1889 (Zablotow,Galizien, Ukraine) – 1974 (Utica, NewYork), 152

Ohm, Georg Simon, 1789 (Erlangen) – 1854(Munchen), 394

Ornstein, Leonard Salomon, 1880(Nijmegen) – 1941 (Utrecht), 553

Paley, Raymond E.A.C., 1907 (Bourne-mouth, England) – 1933 (Banff, Alberta),439

Parseval, Marc-Antoine,1755 (Rosieres-aux-Salines, Frankreich)– 1836 (Paris), 447

Pascal, Blaise, 1623 (Clermont-Ferrand,Frankreich) – 1662 (Paris), 44

Plancherel, Michel, 1885 (Bussy (Fribourg),Schweiz) – 1967 (Zurich?), 287

Poisson, Simeon Denis, 1781 (Pithiviers,Frankreich) – 1840 (bei Paris), 45

Polya, George, 1887 (Budapest) – 1985(Palo Alto), 297

Namensregister 591

Prohorov, Yurij Vasil’evich (Prohorov,�ri� Vasil�eviq), 1929, 248

Rademacher, Hans, 1892 (Hamburg-Wandsbek) – 1969 (Haverford,Pennsylvania), 117

Radon, Johann, 1887 (Tetschen, Bohmen) –1956 (Wien), 152

Riemann, Georg Friedrich Bernhard, 1826(Breselenz, Kreis Luchow-Dannenberg)– 1866 (Selasca, Italien), 50

Riesz, Frigyes, 1880 (Gyor, Ungarn) – 1956(Budapest), 147

Saks, Stanislav (Saks, Stanislav),1897 (Kalish, Russland (heute Polen))– 1942 (Warschau, von der Gestapoermordet), 220

Savage, Jimmie Leonard, 1917 (Detroit,Michigan) – 1971 (New Haven,Connecticut), 228

Schwarz, Hermann Amandus, 1843(Hermsdorf, Schlesien) – 1921 (Berlin),101

Slutzky, Evgenij Evgen’evich (Slutzky,Evgeni� Evgen�eviq), 1880(Novoe, Gouvernement Jaroslavl,Russland) – 1948 (Moskau), 243

Stieltjes, Thomas Jan, 1856 (Zwolle,Overijssel) – 1894 (Toulouse), 26

Stone, Marshall Harvey, 1903 (New York) –1989 (Madras, Indien), 282

Thomson, William (Lord Kelvin), 1824(Belfast) – 1907 (Largs, Ayrshire,Schottland), 398

Uhlenbeck, George Eugene, 1900 (Batavia,heutiges Jakarta) – 1988 (Boulder,Colorado), 553

Varadhan, S.R. Srinivasa, 1945 (Madras,Indien), 503

Watson, George Neville, 1886 (WestwardHo, England) – 1965 (Leamington Spa,England), 358

Watson, Henry William, 1827 (bei London)– 1903 (bei Coventry), 81

Weierstraß, Karl, 1815 (Ostenfelde,Westfalen) – 1897 (Berlin), 282

Weiss, Pierre-Ernest, 1865 (Mulhouse,Frankreich) – 1940 (Lyon), 506

Wiener, Norbert, 1894 (Columbia, Missouri)– 1964 (Stockholm), 453

Wintner, Aurel Friedrich, 1903 (Budapest) –1958 (Baltimore), 486

Wright, Sewall, 1889 (Melrose, Massa-chusetts) – 1988 (Madison, Wisconsin),343

Yaglom, Akiva Moiseevich (�glom,Akiva Moiseeviq), 1921(Kharkov), 220

Zygmund, Antoni, 1900 (Warschau) – 1992(Chicago), 439

Sachregister

0-1 Gesetze– Blumenthal 438– fur invariante Ereignisse 427– Hewitt-Savage 228– Kolmogorov 63∅-stetig 15

abgeschlossen 8Abschluss 234absolutstetig 151absorbierend 350adaptiert 185additiv 11Algebra 3, 282Anziehungsbereich einer Verteilung 329aperiodisch 366Approximationssatz fur Maße 29aquivalente Maße 151aquivalentes Martingalmaß 196Arbitrage 196Arkussinus-Gesetz 442asymptotisch vernachlassigbar 305Aufkreuzung 211außeres Maß 21austauschbar 221austauschbare σ-Algebra 223Auswertungsabbildung 451Azuma’sche Ungleichung 192

Banachraum 147bedingte– Erwartung 169– Unabhangigkeit 229– Verteilung 176– Wahrscheinlichkeit 166, 169Benford’sches Gesetz 422Bernoulli-Maß 29Bernoulli-Verteilung 43

Bernstein-Chernov Abschatzung 106Bernstein-Polynom 106Berry-Esseen, Satz von 311beschrankt in Lp 132Bessel-Prozess 562Beta-Verteilung 46, 232, 303, 519– Momente 104Bienayme-Gleichung 100Bildmaß 40binares Modell 195Binomialverteilung 44Black-Scholes Formel 197Black-Scholes Modell 554Blackwell-Girshick 103Blumenthal’sches 0-1 Gesetz 438Bochner 298Boltzmann-Verteilung 378, 505Borel-Cantelli Lemma 51– bedingte Version 219Borel-Maß 235Borel’scher Raum 179Borel’sche σ-Algebra 8Borel’sches Paradoxon 182Box-Muller Methode 60Brown’sche Bewegung 279, 436– Existenzsatz 436– kanonische 453– Levy Charakterisierung 541– Skalierungseigenschaft 437Brown’sche Brucke 437, 450Brown’sches Blatt 451

cadlag 444Call 196Caratheodory 19Cauchy-Schwarz’sche Ungleichung 101– bedingte 174Cauchy-Verteilung 46, 289, 547

594 Sachregister

Cesaro-Limes 62CFW 315Chapman-Kolmogorov’sche Gleichung

277, 340charakteristische Funktion 285, 511– Inversionsformel 286Chebyshev Polynom 387Chebyshev’sche Ungleichung 104China-Restaurant Prozess 524Cholesky-Faktorisierung 313Chung-Fuchs, Satz von 357, 424Claim 196Continuous Mapping Theorem 245Cox-Ingersoll-Ross Modell 558Cox-Ross-Rubinstein’sches Modell 197Cramer-Lundberg’sche Ungleichung 207Cramer-Transformierte 492Cramer-Wold Device 312Curie-Temperatur 378, 508Curie-Weiss’sches Gesetz 508

detaillierte Balance 392Diagonalfolgenargument 250dicht 234Dichte 13, 26, 45, 57, 89, 150Dichtetransformationsformel– mehrdimensional 41Differentiationslemma 137Diffusionsprozess 537Dirac-Maß 12Dirichlet-Problem 546– diskretes 391Dirichlet’sches Prinzip 398Dirichlet-Verteilung 519domain of attraction 329Donsker, Satz von 456Doob’sche Regularisierung 444Doob’sche Ungleichung 210Doob–Zerlegung 199Dreireihensatz 310Drift 537Dualitat 567Dualraum 160dynamisches System 416Dynkin-System 4

einfache Irrfahrt 393Einheitsmasse 12Einschluss- Ausschlussformel 15

Einschrankung 10Eintrittszeit 349elektrischer Fluss 394Elementarfunktion 39empirische Verteilung 231empirische Verteilungsfunktion 111Entropie 112, 114, 499– relative 499Ereignis 17, 42– invariantes 71Ergodensatz– Individueller (Birkhoff) 419– Statistischer (von Neumann) 420ergodisch 416Erwartungswert 97Erzeugendenfunktion 75Erzeuger 6erzeugte σ-Algebra 6, 34Etemadi– Ungleichung von 118Euler’sche Primzahlformel 50Explosion 347Exponentialverteilung 45

Faktorisierungslemma 40Falle 390Faltung– Dichten 266– diskrete Verteilungen 59– Maße auf Rn 60, 266Faltungshalbgruppe 280Farbungssatz 517fast alle 31fast sicher 31fast uberall 31Fatou, Lemma von 91Feinheit 467Feller-Eigenschaft 445– starke 566Feller-Prozess 446Feller’sche Halbgruppe 445Feller’sche Verzweigungsdiffusion 463,

558, 570Filtration 185– rechtsstetige 444– ubliche Bedingungen 444de Finetti, Satz von 229, 257Fischer-Riesz, Satz von 147Fluchtwahrscheinlichkeit 399

Sachregister 595

Fluss 394Fortsetzungssatz fur Maße 19, 23Fourier-Inversionsformel 286freie Energie 506Frobenius Problem 367f.s. siehe fast sicherf.u. siehe fast uberallFubini, Satz von 265– fur Ito-Integrale 545– fur Ubergangskerne 270Funktionaler Zentraler Grenzwertsatz 456

Galton-Watson-Prozess 81– Reskalierung 460Gambler’s Ruin 205, 385Gamma-Verteilung 46– Levy-Maß 322– Subordinator 520Gedachtnislosigkeit der Exponentialvertei-

lung 168GEM-Verteilung 522, 524gemeinsame Verteilung 56gemeinsame Verteilungsfunktion 56Generator 345geometrische Brown’sche Bewegung 554geometrische Verteilung 44Gesetz der großen Zahl– Konvergenzraten 115– schwaches 104– starkes 104, 108, 227gestoppter Prozess 204Gewichtsfunktion 13Gibbs-Sampler 381gitterverteilt 294gleichgradig gleichmaßig stetig 295gleichgradig integrierbar 130Gleichverteilung 12, 33gleitendes Mittel 185, 416Graph 64Greenfunktion 351, 391– Tabelle 359Gronwall Lemma 555große Abweichungen 491großenverzerrte Verteilung 256

Haar-Funktionen 448Hahn’scher Zerlegungssatz 156Halbring 3halbstetig von unten 494

haploid 343harmonische Funktion 360, 390harmonisches Maß 546Hartman-Wintner, Satz von 486Hauptsatz der Differential- und Integral-

rechnung 239heat bath algorithm 381Hedge 196Helly, Satz von 250Helmholtz-Potential 506Hilbertraum 147Hilbert-Schmidt Norm 554Hilbert-Schmidt Operator 271Holder’sche Ungleichung 146Holder-stetig 430Hopf 418hypergeometrische Verteilung 45

identisch verteilt 42i.i.d. siehe u.i.v.Indikatorfunktion 5Inhalt 12Inneres 234integrierbar 86Integral 83, 84, 86, 87– Riemann 93– stochastisches 449, 450integrierbar 97– quadrat 97– stochastischer Prozess 184Intensitatsmaß 510invariantes Ereignis 416Invarianzprinzip von Donsker 457inverse Temperatur 505Inversionsformel 286Irrfahrt 334– auf einem Graphen 393– Greenfunktion (Tabelle) 359– in zufalliger Umgebung 414– Range 423– Rekurrenz 353– Satz von Chung-Fuchs 424– Satz von Polya 353– symmetrische 184Ising-Modell 377, 382Iterierter Logarithmus– Brown’sche Bewegung 477– Hartman-Wintner 486ItoFormel

596 Sachregister

– Ito-Formel– – mehrdimensional 544Ito-Formel 539– diskrete 202– pfadweise 539Ito-Integral 531– Produktregel 544– Satz von Fubini 545

Jensen’sche Ungleichung 144, 172Jordan, Satz von 158

kanonische Brown’sche Bewegung 453kanonischer Prozess 261kanonisches Maß 320, 323, 516Kantenperkolation 65, 389Kaufoption 196Kelvin siehe ThomsonKesten-Stigum, Satz von 220Khinchin’sches Gesetz vom iterierten

Logarithmus 486Kirchhoff’sches Gesetz 394Kolmogorov-Chentsov, Satz von 432Kolmogorov’sche Ungleichung 116Kolmogorov’scher Dreireihensatz 310Kolmogorov’scher Erweiterungssatz 275Kolmogorov’sches 0-1 Gesetz 63Kolmogorov’sches Kriterium fur schwache

Relativkompaktheit 455Kolmogorov-Smirnov Test 459komplementstabil 1konkave Funktion 142Kontraktionsprinzip 502Konvergenz– dem Maße nach 126– fast sichere 126– fast uberall 126– im Mittel 127– im p-ten Mittel 140– in Verteilung 243– majorisierte 135– schnelle 128– schwache 78, 240– stochastische 126– vage 240– von Verteilungsfunktionen 244konvexe Funktion 142konvexe Menge 141Koordinatenabbildung 260

Kopplung 67, 369Kopplung aus der Vergangenheit 383korreliert 98Kovarianz 98Kovarianzfunktion 437Kullback-Leibler Information 499

Ladungsverteilung 156λ-System siehe Dynkin-Systemlangsam variierend 329Laplace-Operator 543Laplace-Raum 12Laplace-Transformation 137, 284, 461,

511Large Deviations siehe Prinzip großer

AbweichungenLDP siehe Prinzip großer AbweichungenLebesgue-Borel-Maß siehe Lebesgue-

MaßLebesgue-Integral 89Lebesgue-Maß 25, 32Lebesgue’scher Konvergenzsatz 135Lebesgue’scher Zerlegungssatz 152Lebesgue-Stieltjes Integral 466Lebesgue-Stieltjes-Maß 26Legendre-Transformierte 491Leistung (elektrisches Netzwerk) 397Leitfahigkeit 393Levy-Abstand 246Levy-Khinchin Formel 320, 323– fur zufallige Maße 517Levy-Maß 320, 323– allgemeine stabile Verteilung 328– Cauchy-Verteilung 326– Gamma-Verteilung 322– symmetrische stabile Verteilung 327Levy’scher Stetigkeitsmodul 480Levy’scher Stetigkeitssatz 296Limes inferior 5Lindeberg-Bedingung 305Lipschitz-stetig 237logarithmische momentenerzeugende

Funktion 491Log-Normalverteilung 284lokal beschrankt 193lokal endlich 235lokales Martingal 470lokalisierende Folge 470lokalkompakt 234

Sachregister 597

Lokalzeit 201Lp–beschrankt 132Lusin 238LV 156Lyapunov-Bedingung 305

Markoveigenschaft– elementare 333– schwache 334– starke 338Markovkern 175Markovkette 334– aperiodische 366– diskrete 340– invariante Verteilung 360– invariantes Maß 360– irreduzibel 352– Konvergenzgeschwindigkeit 383– Konvergenzsatz 375– Kopplung 370– Monte Carlo Methode 376– nullrekurrent 350– Periode eines Punktes 366– positiv rekurrent 350– rekurrent 350– reversible 392– schwach irreduzibel 352– transient 350– unabhangiges Verschmelzen 371Markovprozess 334Markov’sche Halbgruppe 277Markov’sche Ungleichung 104– bedingte 174Martingal 188– Konvergenzsatz (L1) 213– Konvergenzsatz (Lp) 214– Konvergenzsatz (f.s.) 212– Konvergenzsatz (ruckwarts) 226– Konvergenzsatze (RCLL) 446– lokales 470– quadratische Variation 200– Ruckwarts- 226Martingaldarstellungssatz 542Martingalproblem 563– diskretes 344– gut gestelltes 564Martingaltransformierte 192Maß 12– außeres 21

– Bernoulli 29– Borel 235– Einschrankung 32– harmonisches 546– invariantes 360– Lebesgue 25– lokal endliches 235– Produkt- 29, 276– Radon 235– regulares 235– σ-endliches 12– signiertes 156– stationares 360– Wahrscheinlichkeits- 12Maßraum 17maßtreue Abbildung 416Maximal-Ergodenlemma 418MCMC 376mean field 507mehrstufiges Binomialmodell 197Mellin-Transformierte 287messbar– Abbildung 33– Borel 8– Lebesgue 32– μ– 22– Menge 17Messraum 17– Isomorphie 179Metrik– auf C([0,∞)) 451– Levy 246– Prohorov 240– stochastische Konvergenz 127– vollstandige 234– Wasserstein 370metrisierbar 234Metropolis-Algorithmus 377Minkowski’sche Ungleichung 146mischend 426Modifikation 429Momente 97– absolute 97Momentenproblem 301monoton 11Monotonieprinzip von Rayleigh 396Monte Carlo Simulation 111Moran-Gamma-Subordinator 520

598 Sachregister

Moran-Modell 343de Morgan’sche Regeln 2moving average 416

negative Binomialverteilung 44, 77Niveaumenge 494Normalverteilung 45– mehrdimensionale 45, 312Nullmenge 31nullrekurrent 350

offen 8Ohm’sches Gesetz 394Optional Sampling Theorem 203, 208– stetige Zeit 435Optional Stopping Theorem 204– stetige Zeit 435Ornstein-Uhlenbeck Prozess 553orthogonale Polynome 388orthogonales Komplement 148

Parseval’sche Gleichung 447partiell stetig 296Partitionsfunktion 378, 505Pascal-Verteilung 44perfekte Simulation 382Periode 366Perkolation 64, 389Petersburger Spiel 92, 185, 193Pfad 431pfadweise eindeutig 562Phasenubergang 378, 508π-System siehe schnittstabilPlancherel’sche Gleichung 287Poisson-Approximation 79Poisson-Dirichlet-Verteilung 521, 524Poissonprozess 120, 335Poisson’sche Summationsformel 443Poisson’scher Punktprozess 511Poisson-Verteilung 45– zusammengesetzte 317polare Menge 550Polarisationsformel 468polnischer Raum 180, 235Polya, Satz von 297, 353Polya’sches Urnenmodell 232, 276, 519– verallgemeinertes 347, 349Portemanteau-Theorem 242positiv rekurrent 350

positiv semidefinit 298Prafixcode 113Pramaß 12previsibel 185, 530Prinzip großer Abweichungen 495Produktmaß 27, 29, 264, 274, 276produktmessbar 530Produktraum 260Produkt-σ-Algebra 260Produkttopologie 260progressiv messbar 530Prohorov 248Prohorov-Metrik 240, 375projektive Familie 274projektiver Limes 275Propp-Wilson Algorithmus 382Punkte trennend 282Punktperkolation 65

Q-Matrix 345Quader 9quadratintegrierbar 97quadratische Variation 468quadratischer Kovariationsprozess 475quadratischer Variationsprozess 200, 471Quellenkodierungssatz 114

Radon-Maß 235Radon-Nikodym-Ableitung 152Rand 234random walk in random environment 414Ratenfunktion 490, 495Rayleigh’sches Monotonieprinzip 396RCLL 444Rechteckzylinder 262Reflexionsprinzip 339– Brown’sche Bewegung 442regulare Version der bedingten Verteilung

176Regularitat von Maßen 31, 235Rejection Sampling 182rekurrent 350relativ kompakt 234replizierbar 196reversibel 377, 392Riemann-Integral 93Riemann’sche Zetafunktion 50Ring 3risikoneutral 196

Sachregister 599

Ruckwartsmartingal 226

Satz– Approximation von Maßen 29– Arzela-Ascoli 454– Beppo Levi 91– Berry-Esseen 311– Bochner 298– Borel-Cantelli Lemma 51– – bedingte Version 219– Caratheodory 19, 23– Choquet-Deny 374– Chung-Fuchs 357, 424– Continuous Mapping Theorem 245– Cramer 491, 497– Donsker 457– Dreireihen 310– Egorov 130– Etemadi 108– Fatou’sches Lemma 91– de Finetti 229, 257– Fischer-Riesz 147– Fortsetzung zu Maßen 19, 23– Fubini 265– Fubini fur Ito-Integrale 545– Fubini fur Ubergangskerne 270– Glivenko-Cantelli 111– große Abweichungen 491– Hahn’scher Zerlegungssatz 156– Hartman-Wintner 486– Hauptsatz der Differential- und

Integralrechnung 239– Helly 250– Hewitt-Savage 228– Ionescu-Tulcea 273– iterierter Logarithmus 478, 486– Jordan’scher Zerlegungssatz 158– Kantorovich-Rubinstein 370– Kesten-Stigum 220– Kolmogorov-Chentsov 432– Kolmogorov’sche Ungleichung 116– Kolmogorov’scher Dreireihensatz 310– Kolmogorov’scher Erweiterungssatz

275– Kolmogorov’sches Kriterium fur

schwache Relativkompaktheit 455– Lebesgue’scher Zerlegungssatz 152– Levy-Khinchin 320, 323– Lindeberg-Feller 306

– Lusin 238– majorisierte Konvergenz 135– Martingalsdarstellung 542– monotone Konvergenz 91– Optional Sampling 203, 208– Optional Sampling, stetige Zeit 435– Optional Stopping 204– Optional Stopping, stetige Zeit 435– Paley-Wiener-Zygmund 439– π–λ 7– Poisson-Approximation 79– Polya 297, 353– Portemanteau 242– Prohorov 248– Quellenkodierungssatz 114– Rademacher–Menshov 117– Radon-Nikodym 152, 217– Rayleigh’sches Monotonieprinzip 396– regulare bedingte Verteilungen 176,

180– Sanov 500– Shannon 112– Skorohod’sche Einbettung 480– Slutzky 243– Stetigkeitssatz von Levy 296– Stone-Weierstraß 282– Stroock-Varadhan 566– Thomson’sches Prinzip 398– Varadhan’sches Lemma 503– Yamada-Watanabe 558Schauderfunktionen 448Schema von Zufallsvariablen 305schnittstabil 1schwache Konvergenz 240schwache Losung 560schwache Topologie 240SDGL siehe stochastische Differential-

gleichungSemiring 3separabel 234Shannon 112Shift 417σ-additiv 11σ-Algebra 2– austauschbare 223– der τ -Vergangenheit 187– invariante 416– Produkt- 260

600 Sachregister

– terminale 61, 224σ-kompakt 234σ-Ring 3σ-subadditiv 12signiertes Maß 156singular 151Skalarprodukt 147Skorohod’scher Einbettungssatz 480Slutzky, Satz von 243Spannung 394Spektrallucke 384Spiegelungsprinzip 339Spielstrategie 193Spin 377Spur 10stabile Verteilung 298, 327– im weiteren Sinne 328Standardabweichung 97starke Losung 552starke Losung 552starke Markoveigenschaft 338stationar 415stetig von oben/ unten 15Stetigkeitslemma 136Stetigkeitsmodul, Levy’scher 480Stetigkeitssatz, Levy’scher 296Stirling’sche Formel 301, 491stochastisch großer 369Stochastische Differentialgleichung– pfadweise Eindeutigkeit 562– schwache Losung 560– starke Losung 552– starke Losung unter Lipschitz-

Bedingungen 555stochastische Differentialgleichung 551stochastische Kerne– Produkt 268stochastische Matrix 341stochastische Ordnung 369stochastischer Kern 175– Halbgruppe 277– konsistente Familie 276– Verkettung 269stochastischer Prozess 183– adaptiert 185– Dualitat 567– Explosion 347– Galton-Watson 81, 219

– Gauß’scher 184, 437– gestoppter 204– integrierbarer 184– Markoveigenschaft 333– Modifikation 429– Pfad 431– Poisson 335– previsibel 530– previsibler 185– produktmessbar 530– progressiv messbar 530– starke Markoveigenschaft 338– stationarer 184– stationare Zuwachse 184– unabhangige Zuwachse 184– ununterscheidbar 429– Version 429– vorhersagbar 530– vorhersagbarer 185stochastisches Integral 449, 450– diskretes 192Stone-Weierstraß, Satz von 282Stoppzeit 186straff 248Stratonovich-Integral 545Streuung 97Stromstarke 394Student’sche t-Verteilung 316Sub-Wahrscheinlichkeitsmaße 236subadditiv 11subharmonisch 360Submartingal 188Subordinator 516Supermartingal 188symmetrische Differenz 29symmetrische einfache Irrfahrt 184

tail σ-field siehe terminale σ-Algebraterminale σ-Algebra 61, 224Thomson’sches Prinzip 398Topologie 8– schwache 240– vage 240topologischer Raum 8total beschrankt 235totale Wahrscheinlichkeit 166totalstetig 154Totalvariationsnorm 158Transformationsformel 41

Sachregister 601

transient 350translationsinvariant 342trennende Familie 237Tschebyscheff siehe ChebyshevTurmeigenschaft 170t-Verteilung 316

Ubergangskern 175Ubergangsmatrix 340Ubergangswahrscheinlichkeiten 334ubliche Bedingungen 444u.i.v. 55unabhangige Inkremente siehe un-

abhangige Zuwachseunabhangige Kopie 369unabhangige Zuwachse 511Unabhangigkeit– bedingte 229– von Ereignissen 49– von Mengensystemen 53– von Zufallsvariablen 55unbegrenzt teilbar 315– zufalliges Maß 516Ungleichung– Azuma 192– Bernstein-Chernov 106– Cauchy-Schwarz 101– Chebyshev 104– Doob 210– Etemadi 118– Holder 146– Jensen 144– Kolmogorov 116– Markov siehe Chebyshev– Minkowski 146– Young 146uniforme Verteilung 33unkorreliert 98Unstetigkeitsstellen 11ununterscheidbar 429

vage Konvergenz 240vage Topologie 240Varadhan’sches Lemma 503Varianz 97Variation 466– p 468– quadratische 468Verkettung von Kernen 269

Version 429Verteilung 42– Anziehungsbereich 329– Bernoulli 43– Beta 46, 232, 303, 519– binomial 44– Boltzmann 378– Cauchy 46, 289, 547– compound Poisson 317– Exponential- 45– Gamma 46, 303– GEM 522, 524– geometrische 44– hypergeometrische 45– negativ binomial 44, 77– Normal 45– Pascal 44, 77– Poisson 45– Poisson-Dirichlet 519, 521, 524– stabile 327– t- 316– uniforme 12, 33– zusammengesetzt Poisson 317– zweiseitig exponential 289Verteilungsfunktion 21, 27– einer Zufallsvariablen 42– empirische 111Vervollstandigung 32Verwerfungsmethode 182Verzweigungsprozess 81, 219Vitali-Menge 9vollstandig 32, 234vorhersagbar 185, 530voter model siehe Wahlermodell

Wahrscheinlichkeitsmaß 12Wahrscheinlichkeitsraum 17Wahrscheinlichkeitsvektor 13Wald’sche Identitat 99Wasserstein Metrik 370Watson Integral 358Weierstraß’scher Approximationssatz 106Weiss’scher Ferromagnet 506Widerstand 393Wiener-Prozess 453W-Maß siehe WahrscheinlichkeitsmaßWright’sches Evolutionsmodell 343Wright-Fisher Diffusion 568– wechselwirkende 572

602 Sachregister

Wahlermodell 216

Young’sche Ungleichung 146

Zentraler Grenzwertsatz 304– Berry-Esseen 311– Lindeberg-Feller 306– mehrdimensional 313zentriert 97

Zerlegungsfolge, zulassige 467zufalliges Maß 510Zufallsvariable 42zulassige Zerlegungsfolge 467zusammengesetzte Poissonverteilung 317Zustandssumme 378, 505Zweistufenexperiment 259Zylindermenge 18, 262Zahlmaß 13