Literatur

Zitierte Arbeiten

Arenstorf, R.F.: Periodic solutions of the restricted three body problem represent­ing analytic continuations of Keplerian elliptic motions. Amer. J. Math. 85,27-35 (1963).

Banach, S.: Sur les operations dans les ensembles abstraits et leur application aweequations integrales. Fund. math. 3, 133-181 (1922).

Bessaga, C.: On the converse of the Banach "fixed point principle". Colloq. Math.7, 41-43 (1959).

Bompiani, E.: Un teorema di confronto ed un teorema di unicitil per l'equazionedifferenziale y' = f(x, y). Atti Accad. Naz. Lincei Rend. Classe Sci. Fis. Mat.Nat. (6) 1, 298-302 (1925).

Cetaev, N.G.: Un tbeoreme sur l'instabilite. Dokl. Akad. Nauk SSSR 2, 529-534(1934).

Grobman, D.: Homeomorphisms of systems of differential equations. Dokl. Akad.Nauk SSSR 129, 880-881 (1959).

Gronwall, T. H.: Note on the derivatives with respect to a parameter of the solutionsof a system of differential equations. Ann. Math. 20, 292-296 (1918).

Harris, W.A.Jr., Sibuya, Y., Weinberg, L.: Holomorphic solutions oflinear differen­tial systems at singular points. Arch. Rat. Mech. Anal. 35, 245-248 (1969).

Hartman, P.: On the local linearization ofdifferential equations. Proc. Amer. Math.Soc. 14, 568-573 (1963).

Hirsch, M.: Systems of differential equations that are competitive or cooperative,II. Convergence almost everywhere. SIAM J. Math. Anal. 16, 423-439 (1985).

Holmes, R.B.: A formula for the spectral radius ofan operator. Amer. Math. Month­ly 75, 163-166 (1968).

Hopf, E.: A remark on linear elliptic differential equations of second order. Proc.Amer. Math. Soc. 3, 791-793 (1952).

Kamke, E.: Zur Theorie der Systeme gewohnlicher Differentialgleichungen, II. ActaMath. 58, 57-85 (1932).

Krasnosel'skii, M.A., Krein, B.G.: On a class of uniqueness theorems for the equa­tion y' = f(x,y). Usp. Mat. Nauk (N.S.) 11, No.1, (67), 209-213 (1956).

LaSalle, J.P.: Stability theory for ordinary differential equations. J. Diff. Eqs. 4,57-65 (1968).

388 Literatur

Lazer, A.C., McKenna, P.J.: Large-amplitude periodic oscillations in suspensionbridges: Some new connections with nonlinear analysis. SIAM Review 32,537-578 (1990).

Lohner, R.: Einschliellung der LOsung gewohnlicher Anfangs- und Randwertauf­gaben und Anwendungen. Dissertation, Universitii.t Karlsruhe 1988.

Lohner, R.: Enclosing the solutions ofordinary initial and boundary value problems.Computer Arithmetic-Scientific Computation and Programming Languages.Ed. E. Kaucher, U. Kulisch, Ch. Ullrich, pp. 255-286. Stuttgart: Teubner 1987.

McKenna, P.J., Walter, W.: Nonlinear oscillations in a suspension bridge. Arch.Rat. Mech. Anal. 98, 167-177 (1987).

McNabb, A.: Strong comparison theorems for elliptic equations of second order. J.Math. Mech. 10, 431-440 (1961).

Morgenstern, D.: Beitrage zur nichtlinearen Funktionalanalysis. Dissertation, Tech­nische Universitii.t Berlin 1952.

Muller, M.: Uber das Fundamentaltheorem in der Theorie der gewohnlichen Diffe­rentialgleichungen. Math. Z. 26, 619--645 (1926).

Muller, M.: Uber die Eindeutigkeit der Integrale eines Systems gewohnlicher Dif­ferentialgleichungen und die Konvergenz einer Gattung von Verfahren zurApproximation dieser Integrale. Sitz.-Ber. Heidelberger Akad. Wiss. Math.­Naturwiss. Kl. 1927, 9. Abh.

Ni, W.-M.: On the elliptic equation Au + K(x)u" = 0, its generalisations, andapplication in geometry. Indiana Univ. Math. J. 31, 493-529 (1982).

Olech, C.: Remarks concerning criteria for uniqueness of solutions of ordinary dif­ferential equations. Bull. Acad. Polon. Sci. Ser. Sci. Math. Astron. Phys. 8,661--666 (1960).

Osgood, W.F.: Beweis der Existenz einer Losung der Differentialgleichung dy/dx =f(x, y) ohne Hinzunahme der Cauchy-Lipschitzschen Bedingung. Monatsh.Math. Phys. 9, 331-345 (1898).

Ostrowski, A.: The round-off stability of iterations. Zeitschr. Angew. Math. Mech.47, 77-82 (1967).

Peano, G.: Demonstration de l'integrabilite des equations differentielles ordinaires.Math. Ann. 37, 182-228 (1890).

Perron, 0.: Ein neuer Existenzbeweis fur die Integrale der Differentialgleichung y' =f(x, y). Math. Ann. 76, 471-484 (1915).

Perron, 0.: Uber Ein- und Mehrdeutigkeit des Integrals eines Systems von Diffe­rentialgJeichungen. Math. Ann. 95, 98-101 (1926).

Prufer, H.: Neue Herleitung der Sturm-Liouvilleschen Reihenentwicklung stetigerFunktionen. Math. Ann. 95, 499-518 (1926).

Reichel, W., Walter, W.: Radial solutions of equations and inequalities involvingthe p-Laplacian. J. of Inequal. and Applic. I, 47-71 (1997).

Reichel, W., Walter, W.: Sturm-Liouville type problems for the p-Laplacian underasymptotic nonresonance conditions. J. Dilf. Eqs. 156,50--70 (1999).

Literatur 389

Rosenblatt, A.: Uber die Existenz von Integralen gewohnlicher Differentialgleichun­gen. Arkiv Mat. Astron. Fys. 5, Nr. 2 (1909).

Sauvage, L.: Sur les solutions regulieres d'un system. Ann. Sci. Ecole Norm. Super.(3) 3, 391-404 (1886).

Walter, W.: There is an elementary proof of Peano's existence theorem. Amer.Math. Monthly 78, 170-173 (1971).

Walter, W.: A note on contraction. SIAM Review 18, 107-111 (1976).

Walter, W.: Bemerkungen zum Kontraktionsprinzip. Elemente d. Math. 31,90-91(1976).

Walter. W.: A theorem on elliptic differential inequalities with an application togradient bounds. Math. Z. 200, 293-299 (1990).

Walter, W.: Minimum principles for weak solutions ofsecond order differential equa­tions. In: General Inequalities 6, Birkhauser Verlag 1992, pp. 369-376.

Walter, W.: A useful Banach algebra. Elemente d. Math. 47, 27-32 (1992).

Walter, W.: A new approach to minimum and comparison principles for nonlinearordinary differential operators of second order. Nonlinear Analysis 25, 1071­1078 (1995).

Walter, W.: Enclosure methods for capricious solutions of ordinary differentialequations. LAM 32 "The Mathematics of Numercial Analysis", ed. J. Renegar,M. Shub, S. Smale. Amer. Math. Soc. 1996, 867-878.

Walter, W.: A note on Sturm type comparison theorems for nonlinear operators. J.Diff. Eqs. 135, 358-365 (1997).

Walter, W.: On strongly monotone flows. Ann. Polan. Math. 66, 269-274 (1997).

Walter, W.: Sturm-Liouville theory for the radial Li.p-operator. Math. Z. 227, 175­185 (1998).

Walter, W.: Ordinary functional differential equations and inequalities in the senseof Caratheodory. Applicable Analysis 70, 85-95 (1998).

Lehrbiicher und Monographien

Amann, H.: Ordinary Differential Equations. An Introduction to Nonlinear Analy­sis. Berlin-New York: deGruyter 1990.

Arnold, V.I.: Ordinary Differential Equations. Berlin-Heidelberg: Springer 1992.

Brauer, F., Nohel, J.A.: The qualitative theory of ordinary differential equations.An introduction. New York-Amsterdam: W.A. Benjamin, Inc. 1969.

Braun, M.: Differential Equations and their Applications, 2nd ed. Applied Math.Sciences 15. New York: Springer 1978.

Burckel, R.B.: An Introduction to Classical Complex Analysis, Bd. 1. Basel: Birk­hauser 1979.

Caratheodory, C.: Vorlesungen iiber reelle Funktionen. Leipzig: Teubner 1918.

Cesari, L.: Asymptotic behavior and stability problems in ordinary differentialequations. 3rd ed. Berlin-Gottingen-Heidelberg: Springer 1971.

390 Literatur

Coddington, E.A., Levinson, N.: Theory of ordinary differential equations. NewYork-Toronto-London: McGraw-Hill Book Co. 1955.

Collatz, L.: The numerical treatment of differential equations. 3rd ed. Berlin-Hei­delberg-New York: Springer 1966.

Collatz, L.: Differentia1gleichungen. Eine Einfiihrung unter besonderer Beriicksich­tigung der Anwendungen, 7. Aufl. Stuttgart: Teubner 1988.

Drazin. P.G.: Nonlinear Systems. Cambridge: Cambridge Univ. Press 1992.

Galileo, Galilei: Unterredungen und mathematische Demonstrationen iiber zweineue Wissenszweige, die Mechanik und die Fallgesetze betreffend. Ubers. vonA. von Oettingen. Darmstadt: Wissenschaftl. Buchgesellschaft 1985. Das Buchwird meistens nach dem Anfang des italienischen Titels als Discorsi zitiert.

Hahn. W.: Stability ofMotion. Die Grundlehren der mathematischen Wissenschaf-ten. Bd. 138. Berlin-Heidelberg-New York: Springer 1967.

Hale, J.K., Ko~ak. H.: Dynamics and Bifurcations. New York: Springer 1991.

Hartman. P.: Ordinary differential equations, 2. Ed. Boston: Birkhauser 1982.

Heuser. H.: Gewohnliche Differentialgleichungen, 3. Aufl. Stuttgart: Teubner 1995.

Jones, D.S., Sleeman, B.D.: Differential Equations and Mathematical Biology. Lon-don: Allen and Unwin 1983.

Jordan. D.W., Smith, P.: Nonlinear Ordinary Differential Equations, 2nd ed. Ox­ford: Clarendon Press 1988.

Kamke. E.: Differentialgleichungen reeller Funktionen, 2. Aufl. Leipzig: Akademi­sche Verlagsgesellschaft 1945.

Kamke. E.: Differentialgleichungen. Losungsmethoden und LOsungen. Bd. 1. 10.Aufl. Stuttgart: Teubner 1983.

Kamke. E.: Differentialgleichungen, 1. Gewohnliche Differentialgleichungen. 5. Aufl.Leipzig: Akademische Verlagsgesellschaft 1964.

Knobloch, H.W., Kappel, I.: GewohnlicheDifferentialgleichungen. Stuttgart: Teub­ner 1974.

Krasovskii, N.N.: Stability of Motion. Palo Alto, California: Stanford Univ. Press1963.

P6lya. G.• Szego, G.: Aufgaben und Lehrsiitze aus der Analysis I, 4. Aufl. Berlin­Heidelberg-New York: Springer 1970.

Redheffer. R: Differential Equations, Theory and Applications. Boston: Jones andBartlett 1991.

Reissig. R, Sansone, G., Conti, R.: qualitative Theorie nichtlinearer Differential­gleichungen. Roma: Edizioni Cremonese 1963.

Remmert, R: Funktionentheorie 1. Grundwissen Mathematik. Bd. 5,4. Aufl. Berlin­Heidelberg-New York-Tokyo: Springer 1995.

Titchmarsh, E.C.: Eigenfunction Expansions associated with Second-order Diffe­rential Equations, Part I. Oxford: Clarendon Press 1962.

Walter, W.: Differential- und Integral-Ungleichungen. Springer Tracts in Natura.lPhilosophy, Vol. 2. Berlin-Gottingen-Heidelberg-New York: Springer 1964.

Literatur 391

Walter, W.: Differential and Integral Inequalities. Ergebnisse der Mathematik undihrer Grenzgebiete, Bd. 55. Berlin-Heidelberg-New York: Springer 1970.

Walter, W.: Analysis 1 und 2. Grundwissen Mathematik, Bd. 3 und 4,. 5. bzw. 4.Autl. Berlin-Heidelberg-New York-Tokyo: Springer 1999 bzw. 1995. Wird alsWalter 1 bzw. 2 zitiert.

Werner, H., Arndt, H.: Gewohnliche Differentialgleichungen. Berlin-Heidelberg-NewYork-London-Paris-Tokyo: Springer 1986.

Wiggins, S.: Introduction to Applied Nonlinear Dynamical Systems and Chaos.New York: Springer 1990.

Namen- und Sachverzeichnis

Abschiitzungssatzim Komplexen 95, 256lineare Systeme 170, 225mit L1-Abschiitzung 182

Systeme 131, 149, 150Randwertprobleme 280

absolutstetig 127d'Alembert 52-, Differentialgleichung von 52-, Reduktionsverfahren von 175,208allgemeine Losung 2Amann 336Amplitudensatz fur Differentialglei­chungen zweiter Ordnung 295

Anfangsbedingung 3, 10Anfangswerte, Differenzierbarkeit 160,162, 164

Anfangswertproblemfur Differentialgleichungen1. Ordnung 10, 372fiir Differentialgleichungenn-ter Ordnung 132, 133fiir Systeme Ill, 160im Komplexen 89, 95, 161im Sinne von Caratheodory 128fiir singuliire Gleichungen2. Ordnung 73, 76

approximativ losbar 84Arenstorf 7Argument, Argumentfunktion 288, 353Ascoli-Arzela, Satz von 77Attraktor 344-, globaler 344, 347autonomes System 45, 116, 358

Bahnkurve s. TrajektorieBanach 63Banachraum 58

Bernoullische Differentialgleichung 30Bernoulli, Jakob 30-, Johann 30, 138Bessaga VIIIBessel-Funktionen 252, 323Besselsche Differentialgleichung 249, 297Besselsche Ungleichung 309Bevolkerungswachstum 25, 86blow-up Problem 305Brouwer 320Burckel 355

Caratheodory 127-, Losung im Sinne vonAnfangswertproblem 128, 129Maximallosung 130Abschiitzung 131Vergleichssatz 129fur Systeme 131

Eigenwertproblem 304lineare Systeme 181-184Randwertproblem 282starkes Minimumprinzip 283Vergleichssatz 284

Caratheodory-Bedingung 128Cauchy-Folge 58Cauchysche Integralformel 366Cauchyscher Integralsatz 90, 366Cauchysches Konvergenzkriterium 58Cesari 338Cetaev 345charakteristische Funktion 160charakteristischer Exponent 204- Multiplikator 204charakteristisches Polynom 185, 189Clairautsche Differentialgleichung 51C-Losung 128Collatz 221

394

Conti 144, 348

Defekt 62, 97, 149Defektungleichung 62Definitheit 56Determinante 167-, Ableitung 169dichte Punktmenge 77Differentialgleichungelliptische 73, 74, 82, 277, 300exakte 40explizite 1, 9flir komplexwertige Funktionen 91,147flir Kurvenscharen 37gewiihnliche 2homogene 22hyperbolische 321implizite 2, 48im Sinne von Caratheodory 127mit getrennten Veranderlichen13, 16, 132, 164mit nacheilendem Argument 86n-ter Ordnung 1, 132parabolische 320, 322partielle 2

Differential-Ungleichung s. Abschat­zungssatzj Vergleichssatzj Ober­funktion; Maximalliisung

Dini-Derivierte 97, 149, 360Drazin 336Dreiecksungleichung 56Dreikiirperproblem 7

Eigenelement 311Eigenfunktion 285Eigenraum 313Eigenvektor 184EigenwertMatrix 184algebraische Vielfachheit 191geometrische Vielfachheit 191halbeinfach 191

Operator 311Sturm-Liouville-Problem 285, 314asymptotisches Verhalten 293Existenzsatz 286, 293Vergleichssatz 294

Eigenwertproblem

Namen- und Sachverzeichnis

flir elliptische Gleichungen,radial 300im Sinne von Caratheodory 304von Sturm-Liouville 285, 314Entwicklungssatz 287, 317, 318singulares 302

Eindeutigkeit, lokale 15, 69Eindeutigkeitssatz (Anfangswert­problem)Differentialgleichung 1. Ord­nung 64, 67, 69, 70Differentialgleichung im Sinnevon Caratheodory 128, 129Differentialgleichung n-terOrdnung 134im Komplexen 91, 116lineare Differentialgleichung1. Ordnung 29lineare Differentialgleichungn-ter Ordnung 207lineare Systeme 170, 179singulare Gleichungen 74, 76Systeme 114, 151

Eindeutigkeitsbedingung 152- von Bompiani 152- - Nagumo 153- - Kamke 153- - Krasnosel'skii-Krein 153- - Osgood 152- - Perron 152- - Rosenblatt 72Einheitsmatrix 168Einzugsbereich 344elliptische Gleichungen, radialAnfangswertproblem 73,74,75,82,165Eigenwertproblem 300, 322Randwertproblem 284, 301

Energiefunktion 140, 145Enveloppe 51erstes Integral 44erzwungene Schwingung 216Euklid-Norm 57, 351Euklidischer Raum 56Euler 82Eulersche Differentialgleichung 216Eulersche Systeme 228Eulerscher Multiplikator 41exakte Differentialgleichung 40

Namen- und Sachverzeichnis

Existenzsatz (Anfangswertproblem)Differentialgleichung 1. Ord­nung 64, 67, 69, 70Differentialgleichung im Sinnevon CaratModory 128, 129Differentialgleichung n-terOrdnung 134im Komplexen 91, 116, 134lineare Differentialgleichung1. Ordnung 29lineare Differentialgleichungn-ter Ordnung 207lineare Systeme 170, 202lineare Systeme mit holomor­phen Koeffizienten 223Maximal- und MinimallOsung 100nichtlineare Differentialopera­toren 165von Peano 76, 80, 89, 116singuliire Gleichungen 74, 76Systeme 114

Exponentialfunktion fUr Matrizen 199

FitzHugh-Nagumo-Gleichungen 122Fixpunkt 61Fixpunkteigenschaft 364Fixpunktsatz 84- von Banach 61, 63- - Brouwer 362- - Schauder 85, 374Floquet-Theorie 203Fortsetzung von Losungen 70- bis zum Rand 70Fourier-Koeffizienten 287, 308Fourier-Reihe 287, 308Entwicklungssatz 287, 317, 318fiir Koeffizienten mit Null­stellen 319

Fredholm-Integralgleichung 315freier Fall 3, 4, 144Fuchsscher Typlineare Differentialgleichungenzweiter Ordnung 252lineare Systeme 235

Fundamentalfolge s. Cauchy-FoigeFundamentalsystem 173im Komplexen 225isolierte Singularitat 229konstante Koeffizienten 185,

395

191, 199Iineare Differentialgleichungn-ter Ordnung 208, 211schwach singuliire Stelle 233, 244schwach singulare Stelle, n = 2 246

Funktional 59Funktional-Differentialgleichungen 85mit nacheilendem Argument 86

Funktionalmatrix 157

Galilei 138, 144Gebiet 352-, einfach zusammenhangend 355gedampfte Schwingung 215Gleichgewichtspunkt 117gleichgradige Stetigkeit 77Gradientensystem 348Grauert VIIIGreensche Funktion 265, 271, 274, 282- Matrix 271Greenscher Operator 271Grobman 335Gronwall 330-, Lemma von 330Grundlosung 263Gummiband 141

Hahn 338Halbtrajektorie 342Hale 89,336Hamilton-Funktion 349Hamiltonsche Systeme 349harmonischer Oszillator 140Harris XIIHartman 233, 335, 336Hauptsystem s. FundamentalsystemHilbert-Norm 329Hilbertraum 307Hillsche Differentialgleichung 220Hirsch, Satz von IX, 118Holmes IX, 371holomorph 57, 89, 155, 365homoomorph 364homogene Differentialgleichung 22Hopf 277Huygens 138hypergeometrische Dilferentialglei­chung 253

- Funktion 254

396

Index 248Indexgleichung 248Innenprodukt 306Innenproduktraum 307Instabilitiit 326-, lineares System 197Instabilitiitssatz 332- von Cetaev-Krasovsky 345- - Lyapunov 339Integralgleichung, Volterrasche 71Integralkurve 2Integration durch Differentiation 53Integrationsoperator 372integrierender Faktor 41invariante Menge 123invariantes Intervall 121Invarianzsatz 124, 125Isokline 34Iterationsverfahren 60, 66-, approximatives 156

Jacobi-Matrix 157Jones 122Jordan 336Jordankurve 352Jordanweg 351Jordan-Kasten 189Jordansche Normalform 189Jordanscher Kurvensatz 355

Kamke 52, 119, 153, 293, 317Kapillaritiit 285Kettenlinie 136Kneser 300Knoten, Knotenpunkt 194Kex<ak 336kompakte Menge 83, 373komplexer linearer Raum 56konfluente hypergeometrische Differen-tialgleichung 254

- - Funktion 254konkurrierende Arten 125Kontraktion, kontrahierende Abbil-dung 61

Kontraktionsprinzip 61Konvergenz im normierten Raum 58,368

konvexe Funktion 361- Riille 373

Namen- und Sachverzeichnis

- Menge 85, 373Krasovsky 345kritischer Punkt 117- -, hyperbolischer 335Kummersche Funktion 254Kurve 351Kurvenintegral 224Kurvenschar 10, 25

Lagrange-Identitiit 178, 261Laplace-Operator 74- -, radial 74LaSalle 345Lazer 142Leibniz 138Leighton 290Legendresche Differentialgleichung 254Legendre-Funktion 254Legendre-Polynom 254, 255Lienardsche Diflerentialgleichung 347Limespunkt, Limesmenge 342linear abhiingig bzw. unabhiingig 173lineare Differentialgleichung ersterOrdnung 27Anfangswertproblem 29homogen bzw. inhomogen 27,28

lineare Differentialgleichung zweiterOrdnung 214Amplitudensatz 295analytische Koeffizienten 246Eigenwertaufgaben 285Fuchsscher Typ 252Greensche Funktion 265, 271,274,282Grundlosung 263inhomogene 215konstante Koeffizienten 214Oszillation 294, 296, 299, 302periodische Koeffizienten 219Randwertaufgaben 259,260Reduktionsverfahren 208reguliire oder schwach singuliireStelle 247Transformationsformeln 298Trennungssatz von Sturm 290- - Sturm-Picone 290Variation der Konstanten 210Vergleichssatz 296Zusammenhang mit Riccati-

Namen- und Sachverzeichnis

Differentialgleichung 221Iineare Differentialgleichung n-terOrdnung 207analytische Koeffizienten 255homogen 207inhomogen 210konstante Koeffizienten 212schwach singuliire Stelle 256

Iinearer Raum 55Iineares System von Differentialglei­chungen 169adjungierte Gleichung 178Anfangswertproblem 170, 179Fuchsscher Typ 235Hamiltonsches System 349holomorphe Koeffizienten 223homogen 172inhomogen 172, 178, 202, 206isolierte Singularitat 226Klassifizierung, fiir n = 2 193komplexwertige Koeffizienten 171konstante Koeffizienten 184periodische Koeffizienten 203Randwertaufgaben 269schwach singuliire Stelle 232

Linearisierung 334-, Satz von Grobman-Hartman 335Linienelement 9Liouville 262Lipschitzbedingung 60, 64, 113, 150-, einseitige 104-, lokale 68, 123, 164-, verallgemeinerte 128Lipschitzkonstante 64, 113Lipschitz-stetig 64Losbarkeit, lokale 69Losung 1,9allgemeine 2formale 237, 241globale 106im Sinne von Caratheodory 128nicht-fortsetzbare 69periodische 36, 45, 117, 204,220, 358stationare 45welche dem Rand beliebig nahekommt 70

Losungsmatrix 173Losungskurve 2, 14

397

Logarithmus, komplexer 226logistische Gleichung 26- -, stationiire 281- -, verallgemeinerte 35- -, periodische Losungen 36Lohner X, 99, 110, 378Lorenz 350Lorenzsche Gleichungen 350Lotka 45Lotka-Volterra-Modell 44Lyapunov 337- -Funktion 338

Mathieusche Differentialgleichung 220Matrix 167-, diagonalisierbar 191-, halbeinfach 191-, Jordansche Normalform 189-, orthogonal 178-, positiv, wesentlich positiv 118-, transponierte 167-, unitar 178Matrizenfunktion 198Maximalintegral, Maximallosung 100,119, 130, 147

Maximumnorm 57,65-, bewichtete 57, 66Maximumprinzip 275-, nichtlinearer Differentialoperator 284-, starkes 275, 283- -, Eigenwertfall 277McKenna 142McNabb 280metrischer Raum 56Minimalintegral, Minimallosung s. Maxi-malintegral

Minimumprinzip s. MaximumprinzipMonotonie 117Morgenstern XIMiiller 119-, Satz von IX, 120

Neumannsche Reihe 369Ni 75nilpotent 369Niveaukurve, Niveaumenge 44,355Norm 56- eines linearen Operators 60, 172-, monotone 368

398

Normen, iiquivalente 59, 112, 368-, vertragliche 168normierter Raum 56- -, vollstandiger 58

Oberfunktion bei Anfangswert­aufgaben 98, 99, 104, 119, 147

- - Randwertaufgaben 279im Sinne von CaratModory 131

Olech 153Operator 59adjungiert 178hermitesch 310kompakt 84linear 59linear beschrankt 310, 368linear kompakt 310selbstadjungiert 178, 310stetig 59

Operatornorm 60, 172, 368Opial 144Orbit 43, 116Orientierung 355Orthonormalbasis 309Orthonormalsystem 287, 308Ostrowski IX, 156Oszillation bei Differentialgleichungenzweiter Ordnung 294, 296, 299, 302

Oszillator, harmonischer 140

p-Laplace-Operator 165- -, radial 165, 285Parallelogramm-Gleichung 306Parameter, analytische Abhangig-keit 155, 162

-, Differenzierbarkeit 157, 160, 162, 164-, stetige Abhangigkeit 154, 160, 162Parameterdarstellung 39, 49Peano 76Pendel, gekoppeltes 217-, linearisiertes 142-, mathematisches 142, 156Perron 98, 152Phasenbahn, Phasenraum 116Phasenebene 43Phasenportrait, Phasenbild 43, 116Picone 290Poincare-Abbildung 326Polygonzugverfahren von Cauchy 81

Namen- und Sachverzeichnis

Potenz, komplexe 226-, fUr Matrizen 228Potenzreihen fUr Matrizen 199, 369Potenzreihenansatz 93, 237Potenzreihenentwicklung 93, 236Pra-Hilbertraum 307Priifer-Transformation 287Pythagoras, Satz von 306

quadratisch integrierbare Funktion 307Quasimonotonie 117quasinilpotent 369

Rauber-Beute-Modell 44-, verallgemeinertes 46Randbedingung erster, zweiter,dritter Art, Sturmsche 259

-, periodische 259Randwertaufgabe 259allgemeine lineare 269fUr elliptische Gleichungen 301halbhomogene 266homogene bzw. inhomogene 260im Sinne von Caratheodory 282mit Parameter 273nichtlineare 268, 278singulare 302Sturrnsche 260

Randwertproblem s. RandwertaufgabeRedheffer 120Reduktionsverfahren von d'Alembert175,208

reeller linearer Raum 56reguliire Losung 48- Stelle 233regulares Linienelement 48Reichel IX, 166Reissig 144, 348Remmert VIII, 366Resonanz 216, 218Riccatische Differentialgleichung32,94und lineare Gleichung 2. Ord­nung 221, 305

Richtungsfeld 9, 112rotationssymmetrische elliptische Pro­bleme 73, 74, 75, 82, 165, 300

Ruhepunkt 117

Namen- und Sachverzeichnis

Sansone 144, 348Satellitenbahn 5Sattelpunkt 195Sauvage 233Schauder 373schwach singulare Stelle 232, 247Schwarzsche Ungleichung 306Schwingung, erzwungene 216-, gedampfte 215-, nichtlineare 139, 143, 341-, -, mit Reibung 341, 346Schwingungsdauer 143, 144Schwingungsgleichung 215Scorza Dragoni 278selbstadjungiert 178, 261, 310Separatrix 106Serrin's sweeping principle 280Sibuya XIIsingulare Losung 48singularer Punkt 48singulares Linienelement 48Singularitat im Komplexenbei linearen Differentialgleichungenzweiter Ordnung 247bei linearen Differentialgleichungenn-ter Ordnung 255im Unendlichen 234, 247isolierte 226schwache 232, 234starke 233, 234, 247

Skalarprodukt s. InnenproduktSleeman 122Smith 336Sparrow 350Spektralradius 369, 370Spektrum 185, 370Spur einer Matrix 175Stabilitat 197, 325asymptotische 197, 325autonome Systeme 334, 338exponentielle 338im Sinne von Lyapunov 326lineare Systeme 197, 327lineare Systeme mit konstantenKoeffizienten 197, 328lineare Systeme mit periodischenKoeffizienten 206, 220nichtlineare Systeme 325

Stabilitatsbereich 221

399

Stabilitatskarte 221Stabilitatssatz 331- fur Iineare Systeme 328- von LaSalle 345- - Lyapunov 339Stammfunktion 40, 41stark singulare Stelle 233, 234, 247stationarer Punkt 117,356stetige Abhiingigkeit 147, 150, 152Iineare Systeme 170

Stetigkeit bei Operatoren 59-, gleichgradige 77Strudel, Strudelpunkt 196Sturm 262, 290Sturm-Liouville, Eigenwertproblem285

Sturmsche Randbedingung 259Sturmsche Randwertaufgabe 260Sturmscher Trennungssatz 290sukzessive Approximation 61, 66, 115- -, Divergenz 83Superpositionsprinzip 29, 172Swanson 302

Tangentenbedingung 123, 124Titchmarsh 293, 317totalstetig s. absolutstetigTrajektorie 43, 116Transformation auf NormalformMatrix 189Sturm-Liouville-Problem 298

Trennung der Variablen 16Trennungseigenschaft von Nullstellen286

Trennungssatz von Sturm 290Trennungssatz von Sturm-Picone 290

Uberdeckungssatz von Borel 373Umlaufzahl 354Umnormierung 368-, Hauptsatz uber 370unitarer Raum 57Unterfunktion s. OberfunktionUnterraum, linearer 55

van der Pol 348van der Polsche Differentialgleichung347

Variation der Konstanten 28, 179, 210

400

Vektorraum 55VergleichssatzeAnfangswertproblem 75, 97, 98,102, 104, 147Caratheodory-Uisungen 129,131

Eigenwerte 294Funktional-Differentialgleichungen88im Komplexen 95Gleichungen zweiter Ordnungnichtlineare Operatoren 165, 284singulare 75, 76

Randwertproblem 275, 284Volterra-Integralgleichung 72

Verhulst 26voUstandiges Differential 40voUstandiges Integral 2, 12VoUstandigkeit (normierter Raum) 58Volterra 45Volterra-Integralgleichung 71, 154Eindeutigkeit 71Existenz 71, 82stetige Abhangigkeit 154Parameter, dilferenzierbar nach157, 160Vergleichssatz 72

Namen- und Sachverzeichnis

Warmeleitungsgleichung 321, 322Walter IX, X, 89, 120, 142, 153, 165,166, 237, 277, 284

Weg 351-, glatter 351-, geschlossener 352Wegintegral 90, 365Wegkomponente 352Weglange 352Weinberg XIIweU posed problem 147Wiggins 336Wirbel, Wirbelpunkt 196Wronski-Determinante 174, 208, 226

Zentrum 196Zorn, Lemma von 85Zusammenhang 352-, einfacher 355Zusammenhangskomponente 352

Bezeichnungen

Mengen. Mit N = {1,2,3, ...} wird die Menge der naturlichen, mit Z dieder ganzen, mit lR die der reellen, mit e die der komplexen Zahlen bezeichnet.Es ist lRn bzw. en die Menge aller n-Tupel reeller bzw. komplexer Zahlen (n­dimensionaler Euklidischer bzw. komplexer oder unitiirer Raum)j vgl. S. 49.Fur eine Menge A ist A die abgeschlossene Rulle, 8A der Rand, AO das

Innere (Menge der inneren Punkte) von A.

Intervalle. Intervalle reeller Zahlen werden wie ublich mit [a, b], (a, b),[a,b), (a,b] bezeichnet. Ein "Intervall" ohne nii.here Spezifizierung kann offen,abgeschlossen, halboffen, beschrii.nkt oder unbeschrii.nkt seinj lR und

[a,oo)={xElR: x:;::a}

sind also ebenfalls Intervalle.

Funktionen. 1st f : D -+ E eine Funktion, so wird mit graph f der Graphvon f, also die Menge aller Paare (x,f(x)) E D x E mit xED bezeichnet.1st A c D, so heiBt 9 = flA die Restriktion oder Einschriinkung von f auf A.Fur diese Funktion 9 : A -+ E gilt also g(x) = f(x) fUr x EA. Jede Funktionh : B -+ Emit B :::> D und hiD = f heiBt Fortsetzung von f. Ferner ist

f(A) := {y E E: es gibt ein x E A mit y = f(x)}

die Bildmenge von A bei der Abbildung f.

Funktionenklassen. Fur M c lRn ist C(M) die Klasse der auf M steti­gen (je nach dem Zusammenhang reell- bzw. komplex- bzw. vektorwertigen)Funktionen. Die Klasse der auf dem Intervall J k-mal stetig differenzierbarenFunktionen wird mit Ck(J) bezeichnetj es ist C°(1) = C(J). 1st G eine offeneMenge im lRn

, so bezeichnet Ck(G) die Klasse der Funktionen, welche mitEinschluB aller partiellen Ableitungen der Ordnung ~ k in G stetig sindj esist CO(G) = C(G). Einige weitere Klassen sind unten aufgefUhrtj sie werdenim Text erklii.rt.

Trajektorien. Auf manchen Trajektorien sind Punkte markiert. Dieseentsprechen iiquidistanten t-Wertenj vgl. S. 38.

402

AC(J)BrCk(G)Cp(I)D_, D­tltlp

dist (x,A)dist (A,B)(E)E,eiExt (C)H(G)Ho(G)H6H q6

10:Int (C)KrKO

r

K-r

Lo:If.L(J)L2(J)L\oc(J)Pq

Ro:S(S)(SL)(Sc)sp Au(A)(U)(V)Ixl.(x)m(0' 0)(0' o)r

Bezeichnungen

(absolut stetig auf J) 128(Kugel im IRn oder Banachraum)(stetig differenzierbar in G) 159(L5sungsklasse fUr Sturm-Liouville-Problem) 275(Dini-Derivierte) 97, 360(Laplace-Operator) 74(p-Laplace-Operator) 165(Abstand Punkt - Menge) 342(Abstand zwischen Mengen) 34269(Einheitsmatrix, Einheitsvektor) 168(AuBeres einer geschlossenen Kurve C) 355(holomorph in G) 90(holomorph und beschrankt in G) 57236241(Integraloperator) 73(Inneres einer geschlossenen Kurve C) 355(Kreisscheibe Izi < r) 233(punktierte Kreisscheibe 0 < Izi < r) 227(aufgeschnittene Kreisscheibe) 231(radialer Laplace-Operator) 73(radialer p-Laplace-Operator) 165(integrierbar tiber J) 128(quadratisch integrierbar) 318(lokal integrierbar)(Polynom vom Grad S; q) 240(Halbebene Re z < a) 227(Funktionenklasse) 297(Bedingung fUr Sturm-Problem) 260(Bedingung fUr S-L-Problem) 286(Bedingung ftir Sturm-Problem) 282(Spur der Matrix A) 175(Spektrum der Matrix A) 185(Eindeutigkeitsbedingung) 15216(Euklid-Norm) 57250(Innenprodukt) 306,307(bewichtetes Innenprodukt) 315