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Licence L3 de Mecanique Universite Paris-Sud 11

Livret des sujets

TP Fluent

Contents

1 T.P. 1 : Ecoulements plans 11.1 But du T.P. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.2 Notion d’etablissement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.3 Ecoulement de Couette plan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.3.1 Experience de Couette, viscosite dynamique . . . . . . . . . . 21.3.2 Ecoulement longitudinal laminaire de Couette . . . . . . . . . 31.3.3 Modelisation et simulation de l’ecoulement . . . . . . . . . . . . 4

1.4 Ecoulement de Poiseuille Plan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.4.1 Experience de Poiseuille . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.4.2 Historique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61.4.3 Proprietes physiques des fluides . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.4.4 Modelisation et simulation de l’ecoulement . . . . . . . . . . . . 8

2 T.P.2: Convection naturelle en cavite carree 112.1 But du T.P. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112.2 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112.3 Modelisation du probleme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

2.3.1 Description physique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122.3.2 Mise en equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132.3.3 Conditions aux limites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142.3.4 Adimensionnement et resultats . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

2.4 Simulations numeriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152.4.1 Geometrie et proprietes physiques . . . . . . . . . . . . . . . . 152.4.2 Construction d’un cas par Fluent . . . . . . . . . . . . . . . . 152.4.3 Etude a Ra = 105 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162.4.4 Autres nombres de Rayleigh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

3 T.P. 3 : Ecoulement laminaire derriere une marche 173.1 But du T.P. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173.2 Description de l’ecoulement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173.3 Modelisation d’un ecoulement derriere une marche . . . . . . . . . . 22

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Contents i

3.3.1 Modelisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223.3.2 Etude numerique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223.3.3 Etude physique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

4 T.P. 4 : Ecoulement autour d’un obstacle a section carree 254.1 But du T.P. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 254.2 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 254.3 Description physique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 274.4 Modelisation par Fluent . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

4.4.1 Creation d’un maillage raffine . . . . . . . . . . . . . . . . . . 314.4.2 Simulation d’un ecoulement a tres faible Re . . . . . . . . . . 324.4.3 Simulation d’un ecoulement stationnaire . . . . . . . . . . . . 324.4.4 Simulation d’un ecoulement instationnaire . . . . . . . . . . . 32

5 Bibliographie 33

Chapter 1

T.P. 1 : Ecoulements plans

1.1 But du T.P.

Nous essaierons au cours de ce T.P. de modeliser deux ecoulements plans, l’ecoulementde Couette et celui de Poiseuille, a l’aide d’un logiciel industriel, Fluent. Nousverifierons que les resultats obtenus soient conformes a la theorie.

1.2 Notion d’etablissement

Dans une conduite, un ecoulement de fluide incompressible peut etre permanent ounon (instationnaire). Quand il est permanent, ses proprietes en un point fixe nevarient pas avec le temps.De plus, il peut evoluer le long de cette conduite jusqu’a ce que le profil de vitesseatteigne une forme definitive, par exemple parabolique dans le cas d’un ecoulementde Poiseuille (Fig. 1.1). Ses caracteristiques cinematiques n’evoluent plus d’unesection droite a l’autre, l’ecoulement est alors etabli. La distance au cours de laquellele profil des vitesses evolue correspond a la longueur d’entree ou d’etablissement.La notion d’ecoulement permanent est une notion temporelle tandis que la notiond’ecoulement etabli est une notion spatiale.

1

2 T.P. 1 : Ecoulements plans

Figure 1.1: Notion d’etablissement (figure extraite de R. Comolet, Mecanique desfluides, p.5).

1.3 Ecoulement de Couette plan

1.3.1 Experience de Couette, viscosite dynamique

Les proprietes visqueuses des fluides newtoniens sont caracterisees par les deuxparametres µ et ν, les viscosites dynamique et cinematique.

Il est possible de mesurer µ a partir de l’experience dite de Couette. Consideronsdeux cylindres coaxiaux, de rayons peu differents, dont l’espace intermediaire estrempli de fluide (figure 1.2). Le cylindre exterieur est entraıne avec un moteur avecune vitesse angulaire constante ω. Pour maintenir le cylindre interieur immobile, ilfaut lui appliquer un couple C de sens oppose. A partir de ce concept, il est possiblede determiner une mesure absolue de µ avec:

µ =Ce

2πr3hω(1.1)

ou e est la distance entre les deux cylindres, petite devant le rayon moyen r, et h lahauteur du cylindre. La viscosite dynamique µ s’exprime en kg.m−1.s−1, qui, dans lesysteme international, est le poiseuille, Pl. Un poiseuille est la viscosite d’un fluidedans lequel la contrainte est de 1 N.m−2 quand le gradient de vitesse est de 1 m.s−1

par metre. La viscosite cinematique ν = µ/ρ, ou ρ est la masse volumique du fluide,a pour unite le m2.s−1.

L’experience peut etre schematisee en considerant un plan mobile P ′ se deplacantparallelement a un plan fixe P parallele a Ox de surface S = 2πrh, a la distance eet avec la vitesse V = ωe (Fig. 1.2).

1.3 Ecoulement de Couette plan 3

Figure 1.2: gauche : Experience de Couette ; droite : Schematisation dans le plande l’experience de Couette (figures extraites de R. Comolet, Mecanique des fluides,p.24).

1.3.2 Ecoulement longitudinal laminaire de Couette

Si l’ecoulement est parallele a une direction donnee Ox, les lignes de courant sontdes droites paralleles. Dans le cas d’un ecoulement de Couette plan, ou la plaquesuperieure a une vitesse constante V , la distribution des vitesses est lineaire ets’exprime par:

u(y) =V

ey (1.2)

Dans le cas d’un ecoulement 2D, le vecteur tourbillon se reduit a un scalaire ω(vorticite) dirige selon z, tel que:

ω =∂v

∂x− ∂u

∂y(1.3)

Pour le profil lineaire de Couette, on a alors :

ω = −∂u

∂y= −V

D(1.4)

soit une valeur constante. Cela signifie que lorsque le profil est lineaire, c’est-a-direlorsque l’ecoulement est etabli, la vorticite est constante.


1.3.3 Modelisation et simulation de l’ecoulement de Couetteplan a l’aide de Fluent

Un ecoulement 2D (xy) entre deux plaques infinies selon z va etre modelise a l’aidede Fluent. La distance D entre les plaques est egale a 0,05 m et le domaine considereest de longueur L tel que L = 5D. La plaque superieure se deplace a une vitesse V0

comprise entre 10−6 et 10−3 m.s−1 et la vitesse a l’entree est prise egale a V0/2.La simulation concerne un ecoulement d’huile de masse volumique (density dans

Fluent) ρ = 103 kg.m−3 et de viscosite dynamique (viscosity) µ = 10−1 Pl.Construisez un maillage de 100 × 21 points. La precision sur la convergence peut

etre prise egale a 10−5 et les coefficients de sous-relaxation de la vitesse et de lapression egaux a 0,5.

Mesurez la longueur l necessaire a l’etablissement du profil de Couette, en prenantcomme critere la valeur theorique de vorticite ω = −V0/D. Verifiez l’allure lineairedu profil de vitesse u dans xy-plot.

Calculez le debit dans Fluent et comparez-le a la theorie. Indiquez la vitesse quevous avez choisie, le nombre d’iterations obtenu a convergence et le temps de calculapproximatif. Commentez les resultats numeriques obtenus.

1.4 Ecoulement de Poiseuille Plan

1.4.1 Experience de Poiseuille

Un montage experimental est represente sur la figure 1.3. En general, le fluideprovient d’un reservoir auquel est relie le tube. Il s’agit ici d’un tube circulaire. Al’entree du tube, la repartition des vitesses est mal connue, souvent voisine d’unerepartition uniforme. Elle se modifie ensuite progressivement a mesure que l’onavance dans le tube jusqu’a atteindre une forme parabolique (Fig. 1.1). Cettepremiere partie du tube, siege d’une evolution du profil des vitesses, corresponda la longueur d’etablissement. Elle s’etend en effet sur une longueur l qui depend dunombre de Reynolds Re = UD/ν defini a partir de la vitesse U au point B (profildroit ou bouchon), du diametre D de la conduite et de la viscosite cinematique νdu fluide. La figure 1.4 presente l’evolution du profil pour Re = 500.

1.4 Ecoulement de Poiseuille Plan 5

Figure 1.3: Ecoulement dans un tube de Poiseuille (figure extraite de R. Comolet,Mecanique des fluides, p.95).

Figure 1.4: Evolution du profil des vitesses dans la zone d’entree d’une conduitecylindrique ; x/R est la distance relative des sections considerees (figure extraite deR. Comolet, Mecanique des fluides, p.96).


Les resultats suivants sont admis dans le cas d’une conduite cylindrique :

l

D−→ 0, 6 pour Re −→ 0

l

D= 0, 06 Re pour 100 < Re < 500

l

D= 0, 04 Re pour Re > 1000

Nous essaierons dans ce T.P. d’etablir des lois similaires mais pour des ecoulementsentre deux plans.

Il est montre experimentalement que le regime laminaire se produit reellementdans le tube a la condition que le nombre de Reynolds de l’ecoulement ne soit pastrop grand (Re < 2572). Pour des nombres de Reynolds plus eleves, l’ecoulementdevient en general turbulent et ne satisfait plus aux lois precedentes.

1.4.2 Historique

Les premieres etudes experimentales d’ecoulements laminaires ont ete menees vers1840 par le medecin physiologiste francais Poiseuille a l’occasion de recherches surle mouvement du sang dans les vaisseaux sanguins. Il fit couler de l’eau dans destubes de verre capillaires (diametres de quelques centiemes a quelques dixiemes demillimetres) et deduisit de ses experiences les caracteres essentiels des ecoulementslaminaires.

A la meme epoque, l’allemand Hagen fit des experiences similaires avec des tubesplus gros (quelques millimetres de diametres) et semble avoir ignore les travauxde Poiseuille. Il observa que l’ecoulement changeait de nature pour des vitessesnotables.

En 1883, Reynolds reproduisit de facon systematique ces experiences dans destubes de 5 a 25 mm de diametres et colora un filet d’eau. Quand le debit d’eau etaitfaible, l’ecoulement se maintenait sans osciller, il etait laminaire. Quand le debitaugmentait, le filet, d’abord rectiligne, se mettait a osciller et diffusait dans tout letube a partir d’une certaine distance. Dans la premiere partie du tube, l’ecoulementetait laminaire et dans la seconde, il devenait turbulent.

Reynolds mit en evidence l’importance du rapport sans dimension UD/ν dans cechangement de regime, qui devint le nombre dit de Reynolds.

Il trouva que pour Re < 2000, l’ecoulement etait toujours laminaire, tandis qu’audessus il devenait turbulent, plus ou moins facilement selon les circonstances. Si l’onrevient aux experiences de Poiseuille, il est clair que celui-ci ne pouvait obtenir dansses tubes capillaires que des ecoulements laminaires. En effet, avec D = 10−4 m,


ν = 10−6 m2/s (eau a 20oC), la turbulence ne peut apparaıtre que pour des vitessessuperieures a 20 m/s, ce qui provoquerait la cassure d’un tube aussi fin. Hagen, enutilisant des tubes plus gros, put mettre en evidence les deux types d’ecoulements.

Dans les conduites industrielles de plusieurs decimetres de diametre a plusieursmetres, l’ecoulement est pratiquement toujours turbulent, meme a un debit tresfaible.

Depuis, l’ecoulement etabli dans une conduite cylindrique porte souvent le nomde Poiseuille-Hagen.

1.4.3 Proprietes physiques des fluides

Dans le tableau qui suit sont donnees, a titre indicatif, les valeurs de masse vo-lumiques, de viscosites dynamiques et cinematiques, a 20oC, pour une gamme defluides connus.

fluide ρ (kg.m−3) µ (N.s.m−2) ou Pl ν (m2.s−1)ou kg.m−1.s−1

alcool ethylique (ethanol) 789 12 10−4 1,52 10−6

ammoniaque 610 2,2 10−4 3,6 10−7

eau 998 10,046 10−4 1,006 10−6

ether ethylique 714 2,43 10−4 3,4 10−7

glycerine (glycerol) 1260 14800 10−4 1,17 10−3

huile de graissage 871 130,527 10−4 1,49 10−5

huile d’olive 914 808 10−4 8,84 10−5

huile de paraffine 810 1018 10−4 1,25 10−4

huile de ricin 960 9870 10−4 1,03 10−3

huile de lubrification (avions) 871 130,527 10−4 1,49 10−5

mercure 13546 15,54 10−4 1,15 10−7

Table 1.1: Constantes physiques des fluides a 20oC.


1.4.4 Modelisation et simulation de l’ecoulement dePoiseuille plan a l’aide de Fluent

Modelisez un ecoulement 2D (xy) entre deux plaques infinies selon z (Fig. 1.5). Lavitesse a l’entree est notee U0. La hauteur D du canal est prise egale a 0,05 m et desdomaines de longueur L = 5D et 30D seront consideres, selon la valeur du nombrede Reynolds.Ce dernier est defini comme suit:

Re =U0D

ν= ρ

U0D

µ, (1.5)

avec ρ la masse volumique du fluide (density dans Fluent), µ la viscosite dynamique(viscosity) et ν la viscosite cinematique.

Deux etudes vont etre menees. Elles vont differer par la variable consideree, maisont le meme but d’estimer le rapport l/D, ou l est la longueur d’etablissement duprofil de Poiseuille.

Reportez dans un tableau final commun aux deux etudes le nombre de ReynoldsRe, la viscosite dynamique µ, la viscosite cinematique ν, le rapport de forme dudomaine L/D, le rapport l/D, la vitesse d’entree U0, le maillage utilise, le nombred’iterations et le temps de calcul approximatif.

222222

222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222

222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222

U0 D

L

Figure 1.5: Modelisation de l’ecoulement de Poiseuille.

Etude a bas nombre de Reynolds

L’ecoulement est simule pour un nombre de Reynolds au choix, variant entre 5×10−5

et 5, avec L = 5D. Vous considererez un ecoulement d’huile a bas Reynolds tel que:

ρ = 103 kg.m−3 µ = 10−1N.s.m−2 (1.6)


Ces donnees correspondent a : Re = 5 × 102 U0. La vitesse a l’entree peut doncvarier de 10−7 a 10−2 m.s−1 (soit 10 nanometres et 1 cm par seconde).

Prenez un maillage de 100 × 21, des coefficients de sous-relaxation αU = 0, 5 etαp = 0, 5 et une precision de resolution de 10−5. Mesurez la longueur d’etablissementdu profil en etudiant la vitesse longitudinale au centre du canal. Celle-ci doit etreegale a la vitesse theorique de 3/2 U0, avec une erreur admise de 1%.

Reportez vos resultats dans le tableau general ainsi que sur la figure 1.6 fournie(que vous conserverez). Que remarquez-vous pour cette premiere etude?

Etude pour des nombres de Reynolds superieurs a 10

Considerez a present une vitesse d’entree U0 = 10−3 m.s−1 et faites varier la viscositedynamique µ dans une gamme de 10−3 a 10−4. Etudiez l’ecoulement de Poiseuilleplan pour deux ou trois nombres de Reynolds, compris entre 20 et 300.

Construisez un domaine tel que L = 30D, en conservant des cellules de rapport deforme faible (i.e. approximativement carrees). Le critere de convergence est toujoursle bon accord avec la valeur theorique de 3/2 U0 et la precision est suffisante pour2, 5× 10−5. Calculez egalement le rapport l/D et determinez le coefficient α tel quel/D = αRe. Reportez vos resultats dans le tableau general et sur les figures 1.6 et1.7.

Comparez les resultats obtenus pour cette simulation de l’ecoulement de Poiseuilleplan avec Fluent aux donnees experimentales concernant la conduite cylindrique(section 1.4.1). Commentez.


0

2

4

6

8

10

12

14

16

18

20

22

24

26

1e-05 0.0001 0.001 0.01 0.1 1 10 100

Figure 1.6: Evolution de la longueur d’etablissement l/D en fonction du nombre deReynolds Re, en echelle log-lin.

0

2

4

6

8

10

12

14

16

18

20

22

24

26

0 50 100 150 200 250 300 350 400 450 500 550

Figure 1.7: Evolution de la longueur d’etablissement l/D en fonction du nombre deReynolds Re, en echelle lin-lin.

Chapter 2

T.P.2: Convection naturelle encavite carree

2.1 But du T.P.

Le but du TP est de comparer les resultats de Fluent a ceux des references proposees.Nous etudierons en particulier le nombre de Nusselt, dont le calcul s’effectue a partirdu flux de chaleur a la paroi.

2.2 Introduction

La convection thermique est definie comme un transport de l’energie interne parle mouvement d’un fluide. On distingue deux types de convection : la convectionnaturelle et la convection forcee. La convection naturelle est un mouvement dontl’origine est un desequilibre thermique, ce mouvement disparaıt lorsque les gradientsde temperature sont nuls. Au contraire, en convection forcee, l’ecoulement persistememe si on annule ces gradients.

On s’interesse ici a une configuration de convection naturelle d’un fluide en cavitecarree, ou un gradient de temperature est impose entre deux parois verticales,les parois haute et basse etant supposees adiabatiques. On trouve des exemplesd’applications d’une telle configuration dans les capteurs solaires, les fenetres a dou-ble vitrage, ou encore la description de la circulation d’air a l’interieur d’une piece.

L’ecoulement de convection naturelle en cavite carree a souvent constitue unprobleme test pour comparer les divers algorithmes numeriques utilises pour integrerles equations de Navier-Stokes. Un concours numerique s’est deroule en 1980. Lesresultats obtenus par De Vahl Davis ont ensuite servi de reference a bas nombrede Rayleigh. Par la suite, P. Le Quere a etendu la gamme de Rayleigh du benchmark, en utilisant une methode de resolution plus performante. Le but du TP est de

11

12 T.P.2: Convection naturelle en cavite carree

comparer les resultats de Fluent a ceux des references proposees. Nous etudierons enparticulier le nombre de Nusselt, dont le calcul s’effectue a partir du flux de chaleura la paroi.

2.3 Modelisation du probleme

2.3.1 Description physique

Une cavite carree de cote L est consideree (figure 2.1). Les parois haute et bassede la cavite sont adiabatiques. Si les parois de gauche et de droite sont portees etmaintenues a des temperatures respectives de TH et TC , avec ∆T = TH − TC > 0,la condition d’equilibre mecanique, ∇T ∧ −→g = 0 n’est pas satisfaite et le gradienthorizontal de temperature provoque la mise en mouvement du fluide et la formationd’un ecoulement dans la cavite.

555555555555555555555555555555555555555555555555

555555555555555555555555555555555555555555555555

x

z

HT=T T=TC

L

u

w

Figure 2.1: Geometrie de cavite carree.

Si la masse volumique decroıt avec la temperature on assiste a la formation d’unecoulement ascendant le long de la paroi gauche, et d’un ecoulement descendantle long de la paroi de droite, la presence des parois horizontales forcant le fluide atourner a droite en haut de la paroi chaude et symetriquement a tourner a gaucheen bas de la paroi froide. L’ecoulement dans cette cavite peut etre schematisecomme etant la reunion de deux ecoulements le long de parois verticales limiteesen hauteur par la presence d’une paroi horizontale forcant le fluide a se deverserlateralement. Ces deux ecoulements sont raccordes par les distributions de vitesseet de temperature (inconnues) dans la zone centrale appelee cœur de l’ecoulement.En particulier, on observe que si la convection est suffisamment vigoureuse, le fluidele long de la paroi horizontale superieure est pratiquement a TH , tandis que celuile long de la paroi horizontale inferieure est quant a lui pratiquement a TC . La

2.3 Modelisation du probleme 13

temperature dans le cœur presentera donc une stratification verticale stable, et lacavite se partage donc en deux couches limites verticales le long de parois isothermesdans un milieu ambiant infini (le cœur) stratifie en temperature.

2.3.2 Mise en equations

On suppose que les equations gouvernant cet ecoulement sont les equations deNavier-Stokes d’un fluide incompressible a proprietes physiques constantes, qui s’ecrivent,avec les notations de la figure 2.1,

∂u

∂x+

∂w

∂z= 0 (2.1)

ρ

(∂u

∂t+ u

∂u

∂x+ v

∂u

∂z

)= −∂P

∂x+ µ

(∂2u

∂x2+

∂2u

∂z2

)(2.2)

ρ

(∂w

∂t+ u

∂w

∂x+ v

∂w

∂z

)= −∂P

∂z+ µ

(∂2w

∂x2+

∂2w

∂z2

)− ρg (2.3)

ρCP

(u∂T

∂x+ w

∂T

∂z

)= λ

(∂2T

∂x2+

∂2T

∂z2

)(2.4)

Si l’ecart de temperature a l’origine du mouvement est petit, on considere que lamasse volumique ρ est constante partout sauf dans le terme de poussee d’Archimedeou on effectue un developpement de ρ au premier ordre en temperature, ρ = ρ0(1−β(T − T0) + ...), avec :

β = −1

ρ

(∂ρ

∂T

)(2.5)

Le terme1

ρ0

(−∂P

∂z− ρ0g(1− β(T − T0)

)peut donc s’ecrire −∂P

∂z+ gβ(T − T0)

ou P =P + ρ0gz

ρ0

est la pression motrice.

Les equations s’ecrivent alors (P est maintenant la pression motrice), en intro-duisant ν = µ/ρ0, et a = λ/ρ0Cp :

∂u

∂x+

∂w

∂z= 0 (2.6)

∂u

∂t+ u

∂u

∂x+ v

∂u

∂z= −∂P

∂x+ ν

(∂2u

∂x2+

∂2u

∂z2

)(2.7)

∂w

∂t+ u

∂w

∂x+ v

∂w

∂z= −∂P

∂z+ ν

(∂2w

∂x2+

∂2w

∂z2

)+ gβ(T − T0) (2.8)

u∂T

∂x+ w

∂T

∂z= a

(∂2T

∂x2+

∂2T

∂z2

)(2.9)


Ces equations forment les equations dites de Boussinesq, modelisant les ecoulementsde convection naturelle sous l’hypothese de faibles ecarts de temperature.

2.3.3 Conditions aux limites

Une condition de non-glissement (adherence) est appliquee aux parois solides. Lesommet et le bas etant adiabatiques, on impose un flux de chaleur nul : qparoi = 0.Le mur de gauche a une temperature de TH et celui de droite une temperature deTC .

2.3.4 Adimensionnement et resultats

On adimensionne le systeme precedent. La longueur de reference est L, la vitessede reference est V = a/L, et la temperature de reference est ∆T = TH − TC .

Les parametres adimensionnels sont alors le nombre de Prandtl Pr =µ

ρaet le

nombre de Rayleigh : Ra =ρgβ∆TL3

µa. C’est le nombre de Rayleigh qui caracterise

la vigueur de la convection. Pour de faibles Ra, (jusqu’a Ra ' 2× 108), le systemed’equations admet une solution stationnaire; au dela, le systeme devient instable.

Les resultats obtenus par De Vahl Davis (Ra = 103, 104, 105, 106), et par LeQuere (Ra = 106, 107, 108), sont reportes en derniere page, sous forme de planchesrepresentant les lignes de courant, les isothermes, les isolignes de vitesse horizontaleu et verticale w.

Dans le tableau ci-contre sont reportes, pour chaque nombre de Rayleigh considere(Ra = 103, 104, 105, solutions de De Vahl Davis et Ra = 106, 107, 108, solutionsde Le Quere), le maillage utilise, les valeurs de umax et de z (umax est la valeurmaximum de vitesse horizontale adimensionnelle sur la section verticale situee aumilieu de la cavite, et z est la hauteur adimensionnelle ou cette vitesse maximale estobtenue), celles de wmax et de x (maximum de vitesse verticale adimensionnelle surla section horizontale a mi-cavite et la position x adimensionnelle correspondante),ainsi que les nombres de Nusselt moyen sur la section verticale a mi-cavite Nu1/2 eta x = 0, Nu0. Le nombre de Nusselt caracterise les echanges thermiques au niveaud’une section droite donnee et se calcule par :

Nu =

∫x donne ~q.~n dy/H

λ∆T/L=

hL

λ(2.10)

ou H et L correspondent aux dimensions de la cavite et h est le coefficient detransfert de chaleur.

2.4 Simulations numeriques 15

Ra 103 104 105 106 107 108

maillage 41× 41 41× 41 41× 41 73× 73 81× 81 129× 129umax(

12, z) 3.634 16.18 34.8 64.8 148.6 321.9

z 0.81 0.82 0.85 0.85 0.88 0.93wmax(x, 1

2) 3.7 19.5 68.6 220.6 699.2 2222.0

x 0.18 0.12 0.066 0.038 0.021 0.012Nu1/2 1.117 2.235 4.509 8.825 16.523 30.225Nu0 1.116 2.242 4.523 8.825 16.523 30.225

Table 2.1: Resultats obtenus par De Vahl Davis (Ra = 103, 104, 105) et Le Quere.

2.4 Simulations numeriques

2.4.1 Geometrie et proprietes physiques

La cavite est carree de cote L = 0.05 m. Le mur de gauche a une temperature deTH = 278, 4 K et celui de droite une temperature de TC = 273K. Le fluide considereest de l’air. Les valeurs des constantes physiques sont les suivantes :

masse volumique ρ0 1,2928 kg m−3

temperature de reference T0 273Kviscosite dynamique µ 1,719.10−5 Pl (kg m−1 s−1)conductivite thermique λ 0.02373W m−1 K−1

chaleur specifique Cp 1,0036.103 J kg−1 K−1

coefficient d’expansion thermique β 3,663.10−3 K−1

constante de gravitation g 9,81m s−2

diffusivite thermique a = λ/ρ0Cp 1,83.10−5 m2 s−1

Table 2.2: Proprietes du fluide.

Ces valeurs correspondent a un nombre de Prandtl Pr = 0, 72 et a un nombre deRayleigh Ra = 105.

2.4.2 Construction d’un cas par Fluent

Dans Define Models, selectionner le calcul de temperature. Pour travailler avec lesequations de Boussinesq, selectionner dans Define Materials a l’aide du sous-menuDensity l’option Boussinesq : il faut specifier la valeur de Density et β (le ”Thermalexpansion coefficient” est pris constant). Afin de prendre en compte la pesanteur, ilfaut selectionner Gravity dans Define Operating Conditions : Il faut alors specifier g(La force de gravite, g, est orientee inversement a la direction y) et T0 (la ”Buoyancyreference temperature”). Construire une grille 41× 41 reguliere.


2.4.3 Etude a Ra = 105

Faire varier les coefficients de sous-relaxation et en commenter les effets.Etudier les contours de fonction de courant et de temperature ainsi que des com-

posantes horizontales et verticales de la vitesse. Comparer avec les figures fournies.Tracer les valeurs de u sur la section verticale a mi-cavite, noter umax et z corre-spondants. Comparer avec les resultats de De Vahl Davis. Faire de meme pour lacomposante verticale de la vitesse sur la section horizontale a mi-cavite. Noter wmax

et x correspondants.On souhaite alors calculer les nombres de Nusselt en x = 0 et x = L/2. Le calcul

du nombre de Nusselt s’obtient grace a l’equation 2.10. Fluent permet d’accederdirectement a la valeur du nombre de Nusselt aux parois. Comparer aux valeurstrouvees par De Vahl Davis.

2.4.4 Autres nombres de Rayleigh

Pour obtenir d’autres nombres de Rayleigh, modifier par des facteurs 10 la valeur deg. Ceci est bien sur sans sens physique, mais cela permet, sans modifier le maillageni les conditions limites, de traiter d’autres cas de nombres de Rayleigh. Traiterainsi les cas Ra = 103, Ra = 104, et Ra = 106.

Essayer ensuite de traiter les hauts Rayleigh. La convergence est de plus enplus difficile a obtenir. Il faut egalement reflechir a la finesse du maillage. Il estrecommande, avec Fluent, de partir d’une solution obtenue pour un nombre deRayleigh inferieur. On peut ensuite soit travailler en stationnaire, soit activer un

modele instationnaire, avec ∆t ' L

4√

gβ∆TL. Cette operation peut prendre de

l’ordre de 5000 pas de temps pour obtenir une solution stationnaire.

Chapter 3

T.P. 3 : Ecoulement laminairederriere une marche

3.1 But du T.P.

Ce T.P. a pour but de simuler un ecoulement de fluide incompressible derriere unemarche descendante, a l’aide du logiciel Fluent. L’ecoulement est suppose bidimen-sionnel, dans un canal de section rectangulaire qui debouche brusquement dans uncanal de hauteur plus grande. La geometrie du domaine est decrite dans la fig-ure 3.1. Elle est frequente dans les systemes industriels (par exemple en chambre decombustion de moteur d’avion).

En fluide visqueux, l’approche analytique ne permet pas de decrire l’ecoulement.Les approches experimentale et numerique restent alors les seuls moyens d’etude. Ceprobleme demeure un cas test classique pour les logiciels de mecanique des fluides.

3.2 Description de l’ecoulement

L’allure de l’ecoulement depend a la fois du regime etudie (laminaire ou turbulent)et du rapport de marche (h/H). L’article cite plus haut donne une descriptiondetaillee de l’organisation de l’ecoulement derriere une marche de rapport 1/2, pourdes nombres de Reynolds variant de 70 a 8000, avec une approche experimentaleet numerique. Le nombre de Reynolds Re est base ici sur la hauteur du canalH = 2h et sur la vitesse moyenne a l’entree Umoy. Les figures 3.2 a 3.4, extraitesde cet article, resument le phenomene. Pour des nombres de Reynolds suffisammenteleves, une zone de recirculation apparaıt derriere la marche. En regime station-naire, la longueur des zones recirculees (x/S) est un parametre caracteristique del’organisation de l’ecoulement.

17

18 T.P. 3 : Ecoulement laminaire derriere une marche

Figure 3.1: Geometrie consideree.

Experimentalement (figure 3.2), la zone recirculee apparaıt derriere la marchepour des nombres de Reynolds superieurs a 100. Des recirculations supplementairessont observees a plus hauts Reynolds, sur la paroi superieure a partir de Re = 600et sur la paroi inferieure a partir de Re = 1200.

Les resultats numeriques sont en accord avec les experiences (figure 3.3). Lafigure 3.4 represente les profils de vitesse longitudinale a differents nombres deReynolds.

Il faut noter que pour une marche de rapport 1/2, l’ecoulement est laminaire pourRe < 1200. Entre 1200 et 6600, il est transitionnel et a partir de 6600, il devientturbulent.

3.2 Description de l’ecoulement 19

Figure 3.2: Localisation des points de decollement et de recollement de l’ecoulementau centre d’une section test : variations des positions en fonction du nombre deReynolds (Armaly et al., marche de rapport 1/2). ”Le centre de la section test”correspond en fait a l’axe central du montage experimental, selon z, c’est-a-dire vude dessus.


Figure 3.3: (a) Positions predites des points de decollement et de recollement enfonction du nombre de Reynolds. (b) Comparaison des positions mesurees et predites(2-D) des points de decollement et de recollement de l’ecoulement [Armaly et al.].X6 et x7 sont obtenus par le calcul et non experimentalement.

3.2 Description de l’ecoulement 21

Figure 3.4: Profils de vitesse experimentaux et theoriques, a differentes stations x/S[Armaly et al.]. Les points representent les mesures experimentales et les courbesen trait plein les resultats numeriques.


3.3 Modelisation d’un ecoulement

derriere une marche

Nous etudierons ici une marche de rapport 1/2 en regime laminaire. Le domaine decalcul est decrit sur la figure 3.5. Le profil est uniforme a l’entree du domaine et unprofil de Poiseuille s’etablit sur une distance de Le = 1m avant la zone descendante.

3.3.1 Modelisation

Vous modeliserez un ecoulement d’eau de masse volumique ρ = 103 kg m3 et de vis-cosite dynamique η = 10−3 N s m−2. Vous considererez une geometrie de dimensionsL = 2m (1m d’etablissement du profil de Poiseuille et 1m de cavite) et H = 0, 2m.Vous prendrez une precision a 10−3.

Figure 3.5: Domaine de calcul et conditions aux limites.

3.3.2 Etude numerique

Construisez un maillage uniforme de 100 × 26. Pour un nombre de ReynoldsRe = 300, observez les effets des jeux de parametres numeriques suivants, entermes de precision et de temps de calcul:

1. SIMPLE, Power Law, αU = 0, 8 et αp = 0, 2.

2. SIMPLE, Power Law, αU = 0, 6 et αp = 0, 4.

3. SIMPLE, Quick, αU = 0, 8 et αp = 0, 2.

4. SIMPLEC, Power Law, αU = 0, 8.

5. SIMPLEC, Power Law, αU = 0, 6.

Comment juger de la precision des resultats ?

3.3 Modelisation d’un ecoulement derriere une marche 23

3.3.3 Etude physique

Pour le meilleur choix des parametres numeriques, vous realiserez et etudierez lescas de calcul suivants. Precisez bien les parametres (c’est-a-dire le cas) que vousavez choisis.

Afin d’ameliorer la precision des resultats, construisez un maillage de 140 × 36et vous etudierez l’evolution de l’ecoulement en fonction du nombre de Reynolds,pour plusieurs nombres de Reynolds compris entre 300 et 1000. Pour une meilleureobservation, vous pouvez augmenter la taille de la boıte a partir d’un nombre deReynolds donne, en adaptant le maillage en consequence. Vous pouvez par exempledoubler le domaine d’etude (cavite) en x et prendre 210 mailles au lieu de 140, cequi permet de conserver une meme taille de maille.

Commentez le phenomene d’apparition des differentes zones recirculees et la po-sition des points de decollement et de recollement.

Fluent permet de visualiser les coefficients de frottement aux parois du bas et duhaut. Il est donc possible, a partir de son etude, d’obtenir des informations sur laposition des zones de recirculation. Le coefficient de frottement a la paroi est donnepar:

Cf x = η∂ux

∂y

∣∣∣∣∣yparoi

. (3.1)

Tracez les courbes du coefficient de frottement a la paroi (en haut et en bas), pourun ou deux cas etudies. Vous en deduirez les positions des points de decollementet de recollement pour le nombre de Reynolds considere (coefficient de frottementnul). Etudiez alors l’evolution des positions des differents points de decollement etde recollement en fonction du Reynolds. Vous pourrez reporter vos valeurs sur lescourbes correspondantes obtenues par Armaly et al.. Comparez alors vos resultatsaux donnees experimentales et theoriques d’Armaly et al..

Chapter 4

T.P. 4 : Ecoulement autour d’unobstacle a section carree

4.1 But du T.P.

Ce T.P. consiste d’une part a apprendre a construire un maillage raffine avec Fluentet d’autre part a etudier un ecoulement autour d’un obstacle de section carree.

4.2 Introduction

Les ecoulements autour d’obstacles solides immobiles (ou de facon equivalente lesmouvements stationnaires d’un solide au sein d’un fluide immobile a l’infini) con-stituent une famille d’ecoulements dont les applications sont nombreuses en ae-rodynamique et en acoustique. On qualifie ces ecoulements d’ecoulements externespar opposition aux ecoulements dans les domaines fermes appeles ecoulements in-ternes.

On s’interesse ici a un ecoulement 2D autour d’un obstacle carre de cote D. Lesecoulements 2D autour d’obstacles circulaires ont ete souvent etudies, experimenta-lement et numeriquement. Les ecoulements analogues autour d’obstacles carresont suscite un peu moins d’attention et constituent un cas d’etude difficile qui faitactuellement l’objet de nombreuses recherches. Les phenomenes et les differentsregimes observes sont similaires, mais les resultats quantitatifs different en raison dela presence d’aretes vives qui induisent des decollements plus brutaux que pour dessections circulaires. Ces aretes vives compliquent egalement la mise en œuvre deschemas numeriques. Les applications pratiques d’ecoulements autour d’obstaclespresentant des angles sont cependant nombreuses (par exemple l’influence du ventsur un ecoulement d’air autour de batiments et la mise en resonance possible detelles structures, voir figure 4.1).

25

26 T.P. 4 : Ecoulement autour d’un obstacle a section carree

Dans ce T.P. on met en evidence les differents regimes d’ecoulement, et on cherchequelques resultats quantitatifs que l’on comparera a ceux de Davis et Moore et dePellerin et Nore.

Figure 4.1: Ecoulement autour d’un immeuble.

4.3 Description physique 27

4.3 Description physique

Considerons un cylindre a section carree de cote D, de longueur infinie et d’axenormal a la vitesse de l’ecoulement a l’infini U0.

Quand le nombre de Reynolds Re =U0 D

νest tres petit (Re << 5), l’ecoulement

autour de l’obstacle est un ecoulement de Stokes. Il se comporte presque comme unecoulement potentiel (fluide parfait); il n’y a qu’un tres faible decollement du a lapresence des angles.

Pour Re > 5 (mais pas trop eleve), l’ecoulement est stationnaire symetrique eton observe des recirculations au passage de l’obstacle. Il apparaıt tout d’abordderriere l’obstacle deux tourbillons symetriques (voir l’exemple, a Re = 20, sur lafigure 4.2.a). Puis, des recirculations apparaissent sur les bords d’attaque du carreen haut et en bas (exemple a Re = 40 sur la figure 4.2.b). Les longueurs de sillagetourbillonnaire peuvent alors etre calculees en fonction du nombre de Reynolds (voirles resultats numeriques de la figure 4.3).

Pour des nombres de Reynolds superieurs a 45, l’ecoulement est instationnaire.Les tourbillons se detachent l’un apres l’autre, et forment peu a peu l’allee car-acteristique de Benard-Karman (figures 4.4 et 4.5), phenomene analogue a celuiqui se produit pour un obstacle a section circulaire. Cette allee tourbillonnaire aete l’objet d’importantes recherches experimentales de la part de Benard, mais ondoit a von Karman d’en avoir fait l’etude theorique. Du fait de la dissymetrie del’ecoulement et de la periodicite du phenomene, il apparaıt une frequence d’emissiondes tourbillons f (visible sur l’evolution temporelle de chaque variable, par exempleles vitesses longitudinale et transversales en certains points choisis, voir figure 4.6).On construit alors le nombre sans dimensions de Strouhal tel que :

St =fD

U0

(4.1)

Sur la figure 4.7 sont representes les nombres de Strouhal obtenus experimentalementet numeriquement pour des nombres de Re compris entre 50 et 2000. Pour unobstacle a section circulaire le nombre de Strouhal augmente en fonction du Re

pour atteindre un palier St = 0.21. Dans le cas de l’obstacle a section carree, St

augmente, atteint un maximum, puis rediminue pour atteindre un palier. Les valeursexperimentales et numeriques sont tres dispersees (jusqu’a 30% entre deux etudesexperimentales).


(b)

(a)

Figure 4.2: (a) Lignes de courant et (b) lignes d’iso-vorticite a Re = 20 et Re = 40(Pellerin et Nore).

Figure 4.3: Longueurs de recirculation en regime stationnaire (Pellerin et Nore).

4.3 Description physique 29

Figure 4.4: Champs de vorticite a Re = 500 (Pellerin et Nore).

Figure 4.5: Trajectoires a Re = 250 et Re = 1000 (Davis et Moore).


Figure 4.6: Historique des vitesses longitudinale et transversale a Re = 500.

Figure 4.7: Nombre de Strouhal : resultats experimentaux et numeriques.

4.4 Modelisation par Fluent 31

4.4 Modelisation par Fluent

Considerons un ecoulement d’air de masse volumique ρ = 1, 225 kg.m−3, de viscositedynamique µ = 1, 8×10−5 Pl et de vitesse U0, autour d’un obstacle de section carree.Les dimensions du domaine sont donnees sur la figure 4.8. Vous prendrez D = 1 m.

BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB

U0

U0

U0

5D

6D

6D

18D

D

Figure 4.8: Domaine de calcul.

4.4.1 Creation d’un maillage raffine

Un premier travail consiste a construire un maillage adapte a cette geometrie. Choi-sissez un nombre de mailles de 150 en x et de 84 en y.

Dans les deux directions x et y, vous partagerez le domaine en trois segments.Repartissez ensuite les mailles en fonction des dimensions du domaine (prendreenviron 20 cellules pour l’obstacle, dans chaque direction). Il faut alors raffiner lemaillage pres de l’obstacle, ou l’imposition d’un poids (coefficient) permet d’agir surle maillage. Familiarisez-vous avec cet outil et affichez le maillage obtenu.

Dans Fluent, vous pourrez obtenir directement les coefficients de traınee et deportance, d’ou le calcul du nombre de Strouhal a partir de ces variables.


4.4.2 Simulation d’un ecoulement a tres faible Re

Pour Re = 1, vous allez simuler a l’aide de Fluent, un ecoulement stationnaire,laminaire, symetrique, avec une precision de 10−4 et des facteurs de sous-relaxationαu = 0, 5 et αp = 0, 5. Sur les frontieres de l’entree, du haut et du bas du domaine,on impose la vitesse de l’ecoulement U0 (INLET). Visualiser les lignes de courant etle champ de vorticite. Notez le nombre d’iterations necessaires.

4.4.3 Simulation d’un ecoulement stationnaire

Pour un nombre de Reynolds inferieur au Reynolds critique, Re = 20 ou 40, calculezla longueur de recirculation et comparez-la aux resultats de la figure 4.3. Pour cela,il faut regarder l’evolution de la vitesse longitudinale u dans le sillage. Visualisezles tourbillons symetriques en jouant sur l’echelle de Ψ.

4.4.4 Simulation d’un ecoulement instationnaire

Pour Re = 100, vous simulerez l’ecoulement instationnaire autour de l’obstacle etcalculerez le nombre de Strouhal correspondant.

Lancez tout d’abord le calcul en stationnaire sur 200 iterations. L’ecoulementest instationnaire pour cette valeur du nombre de Reynolds, et donc une solutionstationnaire n’existe pas. Cette solution approchee permet d’initialiser le calculinstationnaire et d’obtenir des resultats plus rapidement.

Cette etape achevee, passez en instationnaire avec un pas de temps de 100 s.L’allee de tourbillons met tres longtemps a apparaıtre, c’est pour cette raison quele pas de temps choisi est si important. Lancez un premier calcul de 200 pas etvisualisez le resultat. On commence a apercevoir la dissymetrie de l’ecoulement (Ψet ω). Visualisez les champs de vorticite et les lignes de courant.

Pour calculer le nombre de Strouhal, il faut enregistrer les coefficients de traineeet de portance (Cd-history et Cl-history)

Ainsi, apres de nombreux pas, on visualise (Plot/file) l’evolution de ces coefficientsau cours du temps et on peut calculer la periode des oscillations. En deduire la valeurde la frequence f et le nombre de Strouhal correspondant. Comparez le resultatobtenu a ceux de la figure 4.7.

Quelques conseils : ne lancez pas 1000 pas d’un coup, mais faites plutot le calculpar 500 pas de temps. Relancez le calcul et enregistrez l’evolution des variables, soita la suite du precedent fichier, soit dans un nouveau ficher. La deuxieme option estpreferable apres un certain temps de calcul, afin de mieux mesurer la periode surl’ecran.

Si le temps le permet, reproduire cette etude pour d’autres nombres de Reynolds(Re = 300, Re = 500 par exemple).

Chapter 5

Bibliographie

Logiciel Fluent

Fluent Incorporated, User’s guide and Tutorial guide, 1997.Fluent Incorporated, Aide en ligne de Fluent UNS.S.V. Patankar, Numerical heat transfer and fluid flow, McGraw-Hill, New York,1980.

Travaux Pratiques

B. F. Armaly et al., Experimental and theoretical investigation of backward-facingstep flow, Journal of Fluid Mechanics, vol 127, pp. 473-496, 1983.A. Bejan, Convection heat transfer, Ed. Wiley, 1948.M. Braza, P. Chassaing and H. Ha Minh, Numerical study and physical analysis ofthe pressure and velocity fields in the near wake of a circular cylinder, Journal ofFluid Mechanics, 165, pp. 79-130, 1986.R. Comolet, Mecanique experimentale des fluides, ed. Masson, 1994.R. W. Davis and E. F. Moore, A numerical study of vortex shedding from rectangles,Journal of Fluid Mechanics, 116, pp. 475-506, 1982.G. De Vahl Davis, Natural convection of air in a square cavity : a bench marknumerical solution. Int. J. Numer. Meth. Fluids 3, 249 , 1983.Fluent Incorporated, Fluent Validation Guide, 1997.P. Le Quere, Accurate solutions to the square thermally driven cavity at highRayleigh number, Computer Fluids 20,1, 1991.S. Pellerin et C. Nore, Dynamique tourbillonnaire d’ecoulements autour d’obstacleset de reseaux d’obstacles, Rencontre Utilisateurs Fluent, septembre 1998.K. Raznjevic, Tables et diagrammes thermodynamiques, ed. Eyrolles, 1970.M. Rieutord, Une introduction a la dynamique des fluides, ed. Masson, 1997.H. Schlichting, Boundary Layer theory, ed. McGraw-Hill, 1951.

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