c

A

p

T

u

L

o

2

Equaes Diferenciais de Primeira Ordem

Este captulo trata das equaes diferenciais de primeira ordem, dy = f(t,y), d:(1)

onde f uma funo conhecida de duas variveis. Qualquer funo diferencivel y = C/X..r) que satisfaa a esta condio para todos os valores de t em um certo intervalo considerada como uma soluo; nosso objetivo determinar se essas funes existem e, em caso afirmativo, desenvolver mtodos para encontr-las. Infelizmente, para uma funo arbitrria J, no existe nenhum mtodo geral para resolver a equao em termos de [unes elementares. Assim, vamos descrever vrios mtodos, cada um dos quais se aplica a uma certa subclasse das equaes de primeira ordem. As subclasses mais importantes so as das equaes lineares (Sees 2.1 e 2.2) e das equaes separveis (Seo 2.3). Outras sees deste livro discutem algumas aplicaes importantes das equaes diferenciais de primeira ordem e algumas questes tericas relacionadas existncia e unicidade das solues.

2.1

Equaes LinearesSe a funof da Eq. (I) depende linearmente da varivel dependente y, ento a equao pode ser escrita na forma

di + p(t)y

dy

= g(t),

(2)

e chamada de equao diferencial linear de primeira ordem. Vamos admitir que p e g so funes conhecidas e contnuas no intervalo a < x < (3. Por exemplo, a equao diferencial

uma equao linear particularmente

simples. com as funes p(x)como as solues se comporiam

=

J

12 e g(x) = 3/2, ambas constantes. x. Determinar tambm a soluo cuja

Exemplo 1

Resolver a Eq. (3) e determinar

para grandes valores de

curva passa pelo ponto (0,2). Para resolver a Eq. (3). observamos

que podemos

reescrever

a Eq. (3) na forma

ou. se."

*" 3.

dy di

Y- 3 2

(4)

12

Equaes

Diferenciais

de Primeira

Ordem

vr- : Uma vez que o primeiro membro da Eq. (4) a derivadaL:;; '-

a,Segue-se ento que

-,+ c.de ambos os membros, obteremos com a forma exponencial

In IY - 31 = -~onde C uma constante de integrao arbitrria. Portanto,

e finalmente y=

3

+ ce

(5)

onde c +evtambm uma constante arbitrria (no nula). Observe-se que a so (5), se deixarmos c assumir o valor zero. Na Fig. 2.1.1 que se deduziu do campo de direes da Fig. 1.1.2: por exemplo. Eq c, a curva correspondente passa pelo ponto (0,2). Para achar este valor de c fazemo" ! = O c y Ento\'=3-

=

---'t =

3 se t ---'t x. Para um certo valor de na Eq. (5) e encontramos que c = -I.

(6)

a soluo cuja curva passa pelo ponto dado (0,2), e que aparece em trao cheio na Fig. 2.1.1.

Fig.2.1.1

Solues

de

y'

+

(1I2)y

=

3/2.

A equao mais geral de primeira ordem com coeficientes constantes, dy =ry,+k dt (7)

'

onde r e k so constantes, pode ser tratada da mesma forma como no Exemplo I. Se r cF O e se .v a Eq. (7) na forma dy t d: ----=r. y + (k/r) Ento In

*" - VI".

podemos escrever

Iy + (k/r)1

= rt

+ C,

2.1 Equaes- Lineares

13

y

(a)

(b)

figo 2,1.2

Solues de y'

=

r,l -

J.::

la)

r

< O: (b)

r

> O.

onde C uma constante arbitrria. Tomando as exponenciais dos dois membros. temos:

yTirando o valor de y. obremos finalmente:

+ (kjr)r

= eCe"

= _: +ce".

r

.

(8)

onde c = z e-. A funo constante y = -IJ,. tambm uma soluo e est includa na Eq. (8) para c = O. Observe que a. Eq. (3) corresponde a r = -In e l: = 3/2 na Eq. (7 l. de modo que as respectivas solues. (5) e (8), concordam entre si. O comportamento geral da soluo (R) depende principalmente do sinal do parmetro r. Se r < O, ento e" ----+ O quando 1--7:Z. e as curvas de todas as solues tendem para a assntota horizontal y = =k/r. Por outro lado, se r > 0, e" aumenta sem limite quando 1 aumenta, e as curvas das solues divergem da reta .v = ~ UI" quando t -+ cc Essas duas possibilidades esto ilustradas na Fia. 2.1.2 a e b, A soluo constante y""= =lc/r freqentemente chamada de soluo de equilbrio. j que dy/dt sempre zero para esta soluo. A soluo de equilbrio pode ser determinada. sem resolver a equao diferencial. fazendo dy/dt igual a zero na Eq. (7) e tirando o valor de v. Outras solues tambm podem ser esboadas com relativa facilidade. Por exemplo: se r < O. dy/{/i negativa se y > +k/r e positiva sev < k/r, A inclinao da curva que representa uma soluo muito acentuada se y cst distante de ~ UI' e tende a zero quando y se aproxima de =k/r, Assim. todas as curvas que representam solues tendem a se aproximar da reta horizontal correspondente soluo de equilbrio y = +k/r. O componamento da soluo se inverte quando r > O. Finalmente. observe que a soluo (8) vlida apenas para r? O. Se r = 0, a equao diferencial se torna dv/dt = k e as solues so y = k: - c. o que corresponde a uma famlia de retas paralelas de inclinao k.-r

Fatores integrantes.

Pelo reexame da soluo da Eq. (7). podemos encontrar uma chave que nos revela um mtodo de resoluo de equaes lineares de primeira ordem mais gerais. Inicialmente. escrevemos a Eq. (8) na forma ye-n k = __e-ri +c;I"

(9)

c depois, derivando os dois membros em relao a t. vem (y'- I"y)e-I"

= ke-",

(lO)

que equivalente equao diferencial (7). Observe que agora podemos resolver a Eq. (7) invertendo os passos precedentes. Transpondo o termo ry para o lado esquerdo da equao e multiplicando por e-". obtemos a Eq. (10). Note que o lado esquerdo da Eq. (10) a derivada de ve:", de modo que a equao se torna(lI)

Finalmente. integrando os dois membros da Eq. (11). obtemos a Eq. (9) e portanto a soluo (8). Em outras palavras, uma forma de resolver a Eq. (7) consiste em primeiro multiplic-Ia pela funo e-no Como esta multiplicao deixa a equao em uma forma que imediatamente irucgravel. a funo e :" chamada de fator integrante da Eq. (7), Para que este mtodo seja eficaz para outras equaes. precisamos ser capazes de calcular o fator integrante diretamente a partir da equao diferencial. Vamos agora lidar com esta questo no contexto da equao geral (2). Nosso objetivo multiplicar a equao diferencial (2) y'

+ p(t)y

= g(i)

14

Equaes

Diferenciais

de Primeira

Ordem

por um fator integrante apropriado e assim coloc-la em uma forma integrvel. Para determinar esse fator integrante, primeiro multiplicamos a Eq. (2) por uma funo J.L(t). ainda indeterminada. Temos ento fJ,(I)y'

+ fJ,(t)p(t)y

= fJ,(t)g(t).

(12)

Queremos reconhecer o lado esquerdo da Eq, (12) como a derivada de alguma funo. De que funo ela poderia ser a derivada? O fato de que existem dois termos e um dos termos J1.(t)y' sugere que o lado esquerdo da Eq. (12) pode ser a derivada do produto J.L(t)y. Para que isto seja verdade. o segundo lermo do lado esquerdo da Eq. (12), p,(T)p(r)y. deve ser igual a f.L'(T)y. Isto, por sua vez, significa que fJ-(t) deve satisfazer equao diferencial

fJ,'(t) = p(I)fJ,(t). Se admitirmos, temporariamente, que fJ-(t) positiva. podemos escrever a Eq. (13) como !l.'(/) = p(t). IL(I)ou d

(13i

diEnto, integrando ambos os termos,

InIL(I) = p(t).

(14)

In fJ,(/) =

J

p(t) dt

+ k.j1.

(15)

Pela escolha da constante k arbitrria como zero, conseguimos ter a funo 1"(1)

= exp

J

mais simples possvel, ou seja(16)

p(t) dt .

Observe que jJ.(t) positiva para todos os I conforme admitimos. Depois de determinarmos o fator integrante {L(t). voltamos Eq, (2) c a multiplicamos por f.L(t), obtendo assim a Eq, (12). Como I" satisfaz Eg. (13), a Eq. (l2) se reduz a [!l(t)y]' Integrando ambos os membros da Eq. (17). obtemos I"(t)yOu

= fJ,(t)g(t).

(17)

=

J

1"(I)g(l) dt

+c

fY =

fJ,(I)g(t) d/ fJ,(I)

+c

(18)

Uma vez que y representa qualquer soluo da Eq. (2), conclumos que roda soluo da Eq. (2) est includa no segundo membro da Eq. (18). P011al1to.esta expresso uma soluo geral da Eq. (2). Observe que para se encontrar a soluo dada pela Eq. (18) so necessrias duas integraes. uma para ter 1"(1)pela Eg. (16) c outra para determinar v pela Eq. (18), Note-se tambm que antes de determinar o fator integrante jJ.(t) pela Eq. (16) necessrio ler certeza de que a equao diferencial tem exatamente a forma (2); em particular o coeficiente de y' deve ser a unidade. De outra forma. a funo p(r) usada para O clculo de fJ- ser incorreta. Em segundo lugar. depois de encontrar jJ.(l) e de multiplicar a Eq. (2) pelo fator integrante preciso verificar que os termos envolvendo y e y' so, de fato, a derivada ele /-L(t)y como devem ser. Esta verificao proporciona certeza sobre a correo do clculo de j1.. Como natural, urna vez que se tenha encontrado a soluo _", preciso tambm verificar a sua correo. substituindo-a na equao diferencial. A interpretao geomtrica da Eq. (18) a de uma famlia infinita de curvas, uma para cada valor clee, da mesma forma que as curvas da Fig. 2.1.1 representam as solues (5) da Eq. (3). Estas curvas so as curvas integrais da equao diferencial. Muitas vezes importante selecionar um membro particular da famlia de curvas integrais, o que se faz pela identificao de um ponto particular (11),.\'0) por onde deve passar uma das curvas da soluo. Esta exigncia se escreve, usualmente, como)'(10)

= vo.

(19)

e conhecida como uma condio inicial. Uma equao diferencial de primeira ordem, como a Eq. (I) ou a Eq, (2). e uma condio inicial, como a Eq. (19). constituem, em conjunto. um problema de valor inicial.

Exemplo 2

Determine

a soluo do problema

de valor inicial

y' - y/2 = e:',y(O) =-1,

(20)

(21)

2.1 Equaes

Lineares

15

campo de resolver a Eq. (20).

o

que

e

g(t)

=

deduzir a forma geral das curvas da soluo. Para e:', Assim, o fator integrante

1'(1) = Multiplicando a Eq. (20) por este fator. obtemos

exp

f (-~)

=

e-I/2

(22)

o lado

esquerdo

da Eq. (22) a derivada de e-r ~y.de modo que podemos escrever esta equao como

Segue-se.

por integrao.

que

onde c urna constante

arbitrria.

Assim.

(23)

(20) aparecem inicial de valor inicial

na Fig. 2.1.3: observe que elas seguem um padro que pode ser deduzido=

a partir do

fazemos t = O e .v

-I

na Eq. (23) e tiramos o valor de c. Obtemos

c

=

-1/3,

de modo que

a soluo do problema

2 Y = --e

_I

3

(24)

O grfico desta soluo est indicado pela linha mais Vamos levar um pouco mais longe a investigao

da Fig. 2.1.3. problema considerando y(O) = Yo

uma condio

inicial arbitrria (25)

Para alguns valores a soluo cresce sem limites no sentido positivo, enquanto para outros valores iniciais a sem limites no sentido Isto pode ser visto na Fig. 2. J .3, ou na soluo (23). na qual o crescimento para valores e negacorresponce, respectivamente, a valores e negativos na constante c. Esses dois tipos de comportamento so separados pela para a qual c = O. ou seja, y = Em I = O esta soluo tem o valor -2/3. Assim, o valor inicial = -2/3 crtico no sentido de que separa solues que se comportam de formas bem distintas: as solues que comeam acima de crescem positivamente, enquanto as solues que comeam abaixo de - 2/3 crescem negativamente. A determinao de valores crticos como este muitas vezes um problema importante de matemtica aplicada.

5 t

Fig.2.1.3

Solues

da equao y' ~ )'/2

=

e-r

16

Equaes

Diferenciais

de Primeira

Ordem

\

\ i\

l\

//15 t

Fig. 2.1.4

Campo de direes

para a equao y' - ?ry

= f.

Exemplo 3

Achar e soluo do problema

de valor inicial y'+2IY=I, y(O) = 0, a equao, primeiro determinamos (26) que o

fator integrante 1'(1) Multiplicando porJ1..(t).

o campo

dc direes

para esta equao diferencial

aparece na Fig. 2.1.4. Para resolver

= exp

J

21 di

= e,2,

obtemos

ou

Portanto.

ye1 2 =

J

te' 2 t +C

= 2i12

"+c,

2

3

4

5 t

Fig.2.1.5

Solues

da equao y'

+ 2ry

=

I.

2.1 Equaes

Lineares

17

e da vem que y a soluo geral da equao diferencial

=

3: + ce-r condio

I

,

(27) escolherC"

dada. Pera satisfazer

inicial .\"(0) = O. devemos

=

-1/2.

Assim.(28)

y

1 1 -I: = - - -e

2

2

a soluo do problema de valor inicial t Zt. Alguma:'. solues particulares c a soluo que passa pela origem (linha mais grossa) aparecem na Fig. 2.1.). Observe que todas as solues Se aproximam da soluo de equilbrio y 1/2 quando 1 --7 zc,

=

ProblemasEm cada Problema. de I at l~.(a) (b)(C)

Desenhe um campo de direes para a equao diferencial dada. Com base em uma inspeo do campo de direes. descreva como a soluo se comporta para grandes valores de t. Determine a soluo geral para a equao diferencial dada e use-a para determinarcorno as solues se componam quando

1--7

oc.

I. y' +3y = r +e-2' 3. y' + y = t e?' + I 5. i - 2y = Se' 7. yl + 2ty = 2te-r2 9. 2y' + y = 3t 11. y'+y=5sen2tEm cada Problema

2. 4. 6. 8. 10. 12.

= t2e21 i + (llt)y = 3c052r. r> O ti +2y ee scn r , t > O (I + t2)y' + 4ty = (I + t2)-2 ty' - y = t2e-r 2y'

i -2)'

+y =

3t2

de 13 at 20. ache a soluo do problema

de valor inicial proposto.

13. y' - y = y(O) = I 14. y'+2y=te-2" )(1)=0 2 - t + I, 15. ti + 2y = t y(l) = I> O 16. v' + (2/t)y = (COSt)/12 y(n) = O, t > O 17. y'-2)'=e", y(O) =2 18. ry' + 2)' =,e'1I, y(n/2) = I 19. tJy'+4r2y=e-', y(-I)=O 20. ,y' + (t + J)' t, y(ln2) I

2te2',

i

=

=

Nos Problemas(a)

2 J c 22

(b)(c)

Desenhe um campo de direes para a equao diferencial dada. Como as solues parecem se comportar para grandes valores de f? O comportamento depende da escolha do valor inicial a? Seja {foo valor de ti para o qual ocorre a transio de um tipo de comportamento para outro. Estime o valor de (tu" Resolva o problema de valor inicial e determine exatamente o valor crtico ao. Descreva o comportamento da soluo correspondente ao valor inicial (lO" y(O) = a )'(0) = a

21. y' - iy =2cosr,

Nos Problemas 23 e 24 (~l) Desenhe um campo de direes para a equao diferencial dada. C01110as solues parecem se comportar quando r -? O? O comportamento depende da escolha do valor inicial o'? Seja (In O valor de (/ para o qual ocorre a transio de um tipo de comportamento para outro. Estime o valor de (b) Resolva o problema de valor inicial c determine exatamente o valor crtico (c) Descreva o comportamento da soluo correspondente ao valor inicial c/w(/lJ" (/(1"

23. t/+(I+I)y=2,,-', 24. iv' + 2y = (sen t)lt,25. Considere o problema

y(I)=a y(-rr/2) = a

de valor inicial

i +!Y26. Determine Considere as coordenadas do primeiro o problema de valor inicial

=

2cost,I

y(O) =-1.

ponto de mximo local para

> O.y(O)

y'Determine o valor dey!!

+ ~Y

=

1-

it.O

=1.

)'0'

para o qual a soluo toca. mas no cruza.

eixo

18

Equaes Diferenciaisde PrimeiraOrdem

27.

Considere

o problema

de valor inicial

y'

+!Y

= 3 +2cos21,

y(O)

= O.

28.

(a) Determine a soluo deste problema e descreva seu comportamento para grandes valores de t, (b) Determine O valor de t para o qual a soluo intercepta pela primeira vez a reta y = 12. Determine a soluo de

y(l) =0. 29.Sugesto: Considere t, e no y, como a varivel dependente. (a) Mostre que 4>(1) = ti!' uma soluo de y' - 2y = O e que y = c O. O intervalo t > O contm o pomo inicial; em conseqncia, o Teorema 2.2.1 garante que o problema (8), (9) tem uma soluo nica no intervalo O < [ < :xl. Para determinar esta soluo, primeiro calculamos M(f): J.L(I) Multiplicando a Eq. (10) por p,(t)=

= exp

f~

dt

= e2l"' = 12.

(11)

f, obtemos

e portanto

onde c uma constante

arbitrria.

Segue-se que (12)

a soluo geral da Eq. (8). Solues da Eq. (8) para vrios valores de necessrio tomar c = I; assim,

c aparecem na Fig. 2.2.1. Para satisfazer condio inicial (9)

y =12

+~.I

1>0

(13) ela cresce do coefisemi-eixo negativo inicial (9) (14)

a soluo do problema de valor inicial (8), (9). Esta soluo est indicada pela curva mais grossa da Fig. 2.2.1. Observe que sem limite e assinttica ao semi-eixo positivo dos y quando f ~ O a partir da direita. Este efeito se deve descontinuidade ciente p(t) na origem. A funo y = t~ + (I/f~) para t < O no faz parte da soluo deste problema de valor inicial. Examinando novamente a Fig. 2.2.1, vemos que algumas solues (aquelas para as quais c < O) so assintticas ao positivo dos y quando t ~ O a partir da direita, enquanto outras solues (para as quais c < O) so assintticas ao semi-eixo dos y. A soluo para c = O. isto , y = (2, permanece finita e diferencivel mesmo em r = O. Se generalizarmos a condio para y(l) temos c=)'0 -

= Yo'

I e a soluo (13) se torna

y=t2

+T'

Y -It>O.

(15)

Este mais um caso (veja o Exemplo 2 da Seo 2.1) em que existe um valor inicial crtnco.v, = I, que separa solues que se comportam de formas bem diferentes. Este exemplo ilustra o fato de que o Teorema 2.2.1 IUIO afirma que a soluo de um problema de valor inicial descontnua nos pontos em que p ou g so descontnuas e sim que a soluo no pode ser descontnua em outros pontos.

o comportamento que podem ter as solues dos problemas de valor inicial, com equaes diferenciais lineares de primeira ordem, nas vizinhanas de um ponto onde ou p ou g so descontnuas, mais variado do que a discusso anterior pode sugerir. Nos Problemas 17 at 20, exploram-se um tanto estas possibilidades. Tratamento mais completo aparece no Capo 5, em relao s equaes diferenciais lineares de segunda ordem.

Fig.2.2.1

Solues

da equao ty'

=

2)'

=

4l~.

2.2 Discusso

Adicional

sobre as Equaes

Lineares

21

Exemplo 2

Achar a soluo do problema

de valor inicial v' - lty=

i.

y(o) portanto

= -

0,5.

(16)

Para resolver a equao diferencial.

observamos

que

f.l(t) = C'-:

ye-t a A fim de calcular obtemos

=

f 'e-I2

dt

+ct

(17)=

c. conveniente

tomar o limite inferior de integrao

como o ponto inicial

O. Ento, resolvendo

a Eq. (17) em y,

Y = e'que a soluo geral da equao diferencial

,['

lo

e-S ds

+ ce'

,

(18)=

proposta. Para satisfazer a condio inicial y(O)

-0.5.

devemos escolher c

=

-0,5;

ento (19)

a soluo do problema de valor inicial proposto. Algumas curvas integrais e a soluo particular que passa por (0, -0,5) aparecem na Fig. 1.2.2. Examinando a figura. pode-se ver que existe novamente um valor inicial crtico, ligeiramente maior do que - 1, que separa as solues que aumentam indefinidamente no sentido positivo daquelas que aumentam indefinidamente no sentido negativo quando I --7 zc, O clculo deste valor inicial crtico objeto do Problema 27.

Na soluo do Exemplo 2, a integral de exp( -f) no se exprime como uma funo elementar. Isto ilustra o fato de talvez ser necessrio deixar a soluo de um problema, mesmo muito simples, em forma integral. No entanto, uma expresso integral como a Eq. (19) pode proporcionar o ponto de partida para o clculo numrico da soluo de um problema de valor inicial. No caso de um valor fixo de t, a integral da Eq. (19) uma integral definida e o seu valor pode ser calculado com muita exatido pela regra de Simpson ou por qualquer outro mtodo de integrao numrica. Pela repetio da integrao numrica, com valores diferentes de t, pode-se construir uma tabela de valores, ou um grfico, da soluo y. Existem tambm outros procedimentos numricos de resoluo para um dado conjunto de valores de t; alguns sero discutidos no Capo 8. No caso da Eq. (19), acontece tambm que a funo erf(t) =

Jrr lar

e-" ds,

(20)

a funo erro, que foi extensamente tabelada e considerada uma funo conhecida. Assim, em lugar da Eq. (19) podemos escrever

y = e' 2

[.fii erf(t) --:2

- 0,5 .

]

(21)

Flg. 2,2,2

Solues da equao y' -

21)'

= 1.

22

Equaes Diferenciais de Primeira Ordem

A fim de ca\cular o segundo membro da Eq. (21), para um dado valor de I, podemos consultar uma tabela de valores defuno erro, ou ento lanar mo de um procedimento numrico, conforme a sugesto anterior. Em princpio, o trabalho com a funo erro no mais difcil que o trabalho com a funo exp(r"). A diferena principal a de muitas calculadoras terem embutidas rotinas para o clculo da funo exponencial, mas no terem rotinas semelhantes para o clculo da funo erro ou de outras funes integrais que possam aparecer na resoluo de uma equao diferencial. Terminamos esta seo com um resumo de algumas das mais importantes propriedades das equaes diferenciais lineares de primeira ordem e respectivas solues.

1. H uma soluo

geral, particular, que satisfaz tante arbitrria.

com uma constante arbitrria, a uma certa condio inicial,

que inclui todas as solues da equao diferencial. Uma soluo pode ser determinada pela escolha conveniente do valor da cons-

2. H uma expresso fechada para a soluo, a Eq. (3) ou a Eq. (7). Alm disso, embora a expresso envolva duas integraes, uma soluo explcita para y = 1>(1) e no uma equao que defina 1> implicitamente.3. Os possveis pontos de descontinuidade, ou singularidades, da soluo podem ser identificados (sem a resoluo do problema) pela determinao dos pontos de descontinuidade dos coeficientes. Assim, se os coeficientes forem contnuos para todos os t, ento a soluo tambm existe e contnua para todos os f.

ProblemasNos Problemas 1 at 8, achar a soluo geral da equao diferencial dada.

1. y'+(I/t)y =senl, t >O 2. I'y' + 31y = (sent)/I, I < O 3. y' + 2y = 2e-' + t 4. 2y' + y = I - I 5. y'+(tant)y=tsen2t, -,,/2 1.

+ p(t)y

y(O)

= 1,I,

=

{i:

515

r> 1.

24

Equaes Diferenciaisde Primeira Ordem

"Equaes de Bernoulli. s vezes possvel resolver uma equao no-linear fazendo uma mudana de varivel dependente transforme em uma equao linear. A mais importante dessas equaes tem a forma y' e chamada 37. de equao de Bernoulli em homenagem

que a

+ p(t)y

= q(t)ynOs Problemas 37 a 41 tratam de equaes deste tipo.

a Jakob Bernoulli.

(a) Resolva a equao de Bernoulli quando n (b) Mostre que se 11 0,1, a substituio v = encontrado por Leibnitz em 1696.

'*

i-li

=

O; quando 11 = 1. reduz a equao de Bernoulli

a uma equao linear. Este mtodo de soluo foisugerida

Nos Problemas 38 a 41, a equao dada uma equao de Bernoulli. no Problema 37(b).

Resolva cada uma dessas equaes usando a substituio

38. t~y' + 21)' - l = O, t >O 39. )" = ry - k.v2, r > O e k > O.Esta equao importante para o estudo da dinmica das populaes

e ser discutida

com detalhes

40. y' =41.

na Seo 2.6.EY (1)'.1, E>

dyldt = (Fcos r fluidos.

+

O e a> O. Esta equao aparece no estudo da estabilidadeT)J' - y', onde

re

T so constantes.

Esta equao tambm

da circulao de fluidos. aparece no estudo da estabilidade

da circulao

de

2.3

Equaes de Variveis Separveiss vezes conveniente usar x em vez de t para designar a equao geral de primeira ordem assume a forma a varivel independente de uma equao diferencial. Neste caso,

dy dx = f(x,y)

(I)

Se a Eq, (1) no-linear, isto , sefno uma funo linear da varivel dependente y, no existe um mtodo geral para resolver a equao. Nesta seo consideramos uma subclasse das equaes de primeira ordem para as quais um processo direto de integrao pode ser usado. Em primeiro lugar, reescrevemos a Eq, (1) na forma M(x,y)

+ N(x,y)

dy dx

= O.

(2)

sempre possvel conseguir isto fazendo M(x,y) = -f(x,y) e N(x,y) = I, mas pode haver outras maneiras. Caso M seja uma funo apenas de x e N seja uma funo apenas de y, a Eq. (2) se torna M(x) Uma equao deste tipo dita separvelporque

+ N(y/y+

dx

= o.diferencial

(3)

escrita

na forma

M(x) dx

N(y) dy = O,

(4)

na qual, caso se deseje, os termos que envolvem cada varivel podem ser separados pelo sinal de igualdade. A forma diferencial (4) tambm mais simtrica e tende a diminuir a diferena entre variveis dependentes e independentes.

Exemplo 1

Mostrar que a equao dy

dx=l-l separvel e depois achar uma equao das suas curvas integrais. Se escrevermos a Eq. (5) como

x2

(5)

(6) ela tem a forma (3) e , por isso, separvel. Observamos, depois. que o primeiro termo da Eq. (6) a derivada de -:r~/3 que o segundo e termo, conforme a regra da cadeia, derivada. em relao a .r, de y - ),3/3. Ento a Eq. (6) pode ser escrita como

!!..- (-~)dx

3

+ !!..dx

(y - i)3

=

O

2.3 Equaes

de Variveis

Separveis

25

ou

Portanto -.r'

+ 3y

-

r' =

c,

(7)

onde c uma constante arbitrria, uma equao das curvas integrais da Eq. (5). Na Fig. 2.3.1, aparecem o campo de direes e diversas curvas integrais da equao. Pode-se encontrar a equao da curva integral que passa por um certo ponto (xo,Yo) pela substituio de .r por Xo e y por )'0 na Eq. (7), determinando-se depois o valor correspondente de c. Qualquer funo diferencivel y = (x) = I -

condio inicial dada. Esta a soluo correspon(20)

.jx' + 2x' + 2x + 4

como a soluo do problema de valor inicial (16). Observe que se o sinal positivo for escolhido, por engano, na Eq. (19), obteremos a soluo da mesma equao diferencial que satisfaz condio inicial y(O) = 3. Finalmente, a fim de determinar o intervalo no qual a soluo (20) vlida, devemos achar o intervalo no qual a grandeza sob o radical positiva. O nico zero real desta expresso x = -2, de modo que O intervalo desejado r > -2. A soluo do problema de valor inicial, alm de outras curvas integrais da equao diferencial, aparecem na Fig. 2.3.2. Observe que o limite do intervalo de validade da soluo (2) est determinado pelo ponto (-2,1) no qual a tangente curva vertical.

Exemplo 3

Achar a soluo do problema de valor inicialdy

s:= 1+2i'

ycosx

y(O)

= 1.

(21)

2.3 Equaes de Variveis Separveis

27

Fig. 2.3.2

Solues da equao y' ~ (3x'

+ 4x + 2)/2(y

-

I).

Inicialmente

escrevemos

a equao diferencial

na forma

---dy yDepois, integrandoO

1+21

e

cos r dr.

(22)

primeiro

membro em relao a

y e o segundo em relao a x, obtemosIn Iyl + y1 = sen x

+ c.=

(23) 1. Ento, a soluo do problema de valor (24)

A fim de atender condio inicial, substitumos inicial (21) dada implicitamente por

x

=

Oe

y

=

1 na Eq. (23); o que d c=

In lyl

+l

sen x

+

I.

Uma vez que a Eq. (24) no se resolve com facilidade em)' como funo de x, a anlise mais avanada do problema toma-se mais delicada. Um fato bastante evidente o de nenhuma soluo cortar o eixo dos x. A fim de confirmar esta afirmao, vejamos que o primeiro membro da Eq. (22) fica infinito se y = O; alm disso, o segundo membro nunca fica ilimitado, de modo que nenhum ponto sobre o eixo dos x satisfaz a Eq. (24). Assim, para a soluo da Eq. (21) se tem sempre y > O. Pode-se tambm mostrar que o intervalo da definio da soluo do problema de valor inicial (21) todo o eixo dos .r. O Problema 31 mostra como fazer a demonstrao. Na Fig. 2.3.3 aparecem algumas curvas integrais da equao diferencial, inclusive a soluo do problema de valor inicial (21).

A investigao de uma equao no-linear de primeira ordem muitas vezes facilitada considerando-se x e y como funes de uma terceira varivel t. Nesse caso, temos dy dx

dy ld:dx f dt

(25)

Fig.2.3.3

Solues da equao

y' ~ (y cos x)l(1 + 2y').

28

Equaes Diferenciais de Primeira Ordem

Se a equao diferencial dy F(x,y) dx = G(x,y)' ento, comparando numeradores e denominadores nas Eqs. (25) e (26), obtemos o sistema dy [t = F(x,y) (27) (26)

dx f dt = G(x,y),

primeira vista, pode parecer estranho que um problema possa ser simplificado substituindo uma nica equao por um par de equaes, mas, na verdade, o sistema (27) pode muito bem ser mais fcil de investigar que a equao (26). Os sistemas no-lineares da forma (27) sero estudados no Capo 9. Nota: No Exemplo 2, no foi diffcil obter explicitamente o valor de y em funo dex e determinar o intervalo exato em que a soluo existe. Entretanto, esta situao excepcional e muitas vezes melhor deixar a soluo na forma implcita, como nos Exemplos I e 3. Assim, nos problemas abaixo e em outras sees em que aparecem equaes no-lineares, a terminologia "Resolva a seguinte equao diferencial" significa encontrar a soluo explicitamente se for conveniente faz-lo; caso contrrio, encontrar uma frmula implcita para a soluo.

ProblemasNos Problemas 1 at 8, resolver a equao diferencial proposta.

I. y'=x2/y O 3. y' + y2senx 5. y' = (cos2 x)(cos22y) x - e-x dy 7. dx .y +eY

=

2. y' = x2/y(1 + x3) 4. y' = (3x2 - 1)/(3 6. xy' = (l - i)1/2 dy x2 8. dx=l+i

+ 2y)

Para (a) (b) (c)

cada um dos Problemas 9 at 20 Determinar a soluo do problema de valor inicial dado em forma explcita. Desenhar o grfico da soluo. Determinar (pelo menos aproximadamente) o intervalo no qual a soluo definida.

9. 10. lI. 12. 13. 14. 15. 16. 17. 18. 19. 20.

y' = (1- 2x)y2, y(O) = -1/6 y' = (1- 2x)/y, y(l) =-2 x dx + ye-Xdy O, y(O) = 1 dr/d8 = r2/8, r(l) ~ 2 2y), y' = 2x/(y + x y(O) = -2 y' = xy3(1 + x2)-1/2, y(O) = I y' = 2x/(1 + 2y), y(2) = O y' = x(x2 + 1)/4y3, y(O) = -1/./2 y' (3x2 - e )/(2y - 5), y(O) I y' = (e-X - eX)/(3 + 4y), y(O) = I sen 2xdx+cos3ydy=0, y(Tr/2)=Tr/3 2)1/2dy y2(1_ x arcsenxdx, y(O) O

=

=

X

=

=

=

Os resultados pedidos nos Problemas 21 a 28 podem ser obtidos resolvendo as equaes analiticamente ou plotando geradas numericamente. Tente formar uma opinio a respeito das vantagens e desvantagens de cada abordagem. 2i. Resolva o problema de valor inicial y'

aproximaes

= (1 + 3x2)/(3i

- 6y),

y(O) =

1vertical.

22.

e determine o intervalo no qual a soluo vlida. Sugesto: Para encontrar o intervalo de definio, procure os pontos em que a curva da soluo tem uma tangente Resolva o problema de valor inicial

y' = 3x2/(3i

- 4),

y(l) = O

23.

e determine o intervalo no qual a soluo vlida. Sugesto: Para encontrar o intervalo de definio. procure os pontos em que a curva da soluo tem uma tangente vertical. Resolva o problema de valor inicial

y'=2l+xl,e determine em que ponto a soluo passa pelo valor mnimo.

y(O) = I

2.4 Diferenas entre as Equaes Lineares e as No-lineares

29

24.

Resolva o problema

de valor inicial

y' = (2 - e )/(3X

+ 2y),

y(O) =

O

25.

e determine em que ponto a soluo passa pelo valor mximo. Resolva o problema de valor inicial

y' = 2cos2x/(326.

+2y),

y(O) =-1

e determine em que ponto a soluo passa pelo valor mximo. Resolva o problema de valor inicial y' =

2(1 + x)(l

+ i),

y(O)

=O

27.

e determine em que ponto a soluo passa pelo valor mnimo. Considere o problema de valor inicial

v' = ty(4 - y)/3,

y(O)

= yo

28.

(a) Determine como o comportamento da soluo, medida que t aumenta, depende do valor inicial Yo' (b) Suponha que Yo = 0,5. Determine o instante T no qual a soluo chega pela primeira vez ao valor 3,98. Considere o problema de valor inicial

y' = ty(4 - y)/(l

+ t),

y(O)

= yo > O

29.

(a) Determine como a soluo se comporta quando t ~ cc, (b) Se Yo = 2, determine o instante T no qual a soluo chega pela primeira vez ao valor 3,99. (c) Determine a faixa de valores iniciais para a qual a soluo se encontra no intervalo 3,99 < Y Resolva a equao

< 4,0 I no instante

t =

2.

dy dx*30. onde a, b, c e d so constantes. Mostre que a equao

ay +b cy +d

'!l.dx

y-4x x - y

*31.

no separvel, mas se a varivel y for substituda pela nova varivel v definida por v = y/x, a equao ser separvel em x e v. Determine a soluo da equao escrita desta forma. Este mtodo ser discutido com mais detalhes na Seo 2.9. Considere novamente o problema de valor inicial (21) do texto. Chame o lado direito da equao diferencial defix,y) e observe que

If(x,Y)1(a) Determinando os valores mximo e mnimo de y/(I

= 1----L,llcosx1 1 +2y + 2i), mostre que

para qualquer y, e portanto lftx,y)1 (b)

S

1/2

-.fi

para qualquer x e y. 11" Ixl/2.J2

Se y = (x) a soluo do problema de valor inicial (21), use o resultado da parte (a) para mostrar que l(x) para qualquer x. Conclua portanto que o intervalo de definio da soluo cP -ct; < x < co

2.4

Diferenas entre as Equaes Lineares e as No-linearesAo estudar um problema de valor inicial y' = j(r, y), y(to) = Yo, (I)

as questes bsicas a serem consideradas so: se a soluo existe, se a soluo nica, em qual intervalo a soluo est definida e como construir uma frmula conveniente para a soluo. Se a equao diferencial (1) for linear. h uma frrnula geral para a soluo e, com base nesta frmula, as outras questes mencionadas foram respondidas, com relativa facilidade, nas Sees 2.1 e 2.2. Alm disso, para as equaes lineares h uma soluo geral (com uma constante arbitrria),

30

Equaes

Diferenciais

de Primeira

Ordem

que inclui todas as solues, e os pontos de descontinuidade possveis da soluo podem ser identificados pela simples localizao dos pontos de descontinuidade dos coeficientes. No entanto, no caso de equaes no-lineares, no h uma frmula geral, de modo que mais difcil estabelecer propriedades gerais das solues, semelhantes s mencionadas. Nesta seo, vamos explorar algumas diferenas entre as equaes lineares e as no-lineares. Existncia e unicidade. O seguinte teorema fundamental, de existncia e unicidade, anlogo ao Teorema 2.2.1 para as equaes lineares. No entanto, a sua prova bastante mais comp1icada e ser adiada at a Seo 2.l1.

Teorema

2:4.1 ~S

Sejam funes/e aflay contnuas num certo retngulo ,,", (I) == 4>2(1) = -

(~1)3/2.

I~O

(3)

satisfaz s duas Eqs. (2). Por outro lado, a funoy

01)3/2,

I ~

O

(4)

tambm soluo do problema de valor inicial. Alm do mais a funo

y=1/!(I)=O. I ~O ainda uma outra soluo. Na realidade, no difcil mostrar que, para um t, positivo arbitrrio, as funes se O ::::t < 'o' se t 2::lO

(5)

(6)

so contnuas, diferenciveis (em particular em 1 = to) e so solues do problema de valor inicial (2). Ento este problema tem uma famlia infinita de solues; ver a Fig. 2.4.1, onde aparecem algumas destas solues. A no-unicidade das solues do problema (2) no contradiz o teorema da existncia e unicidade, pois

2.4 Diferenas entre as Equaes Lineares e as No-lineares

31

Fig.2.4.1

Algumas solues do problema

de valor inicial y' =

in, y(O)

=

o.

esta funo no contnua, nem mesmo definida em qualquer ponto onde y = O. Ento, o teorema no se aplica em qualquer regio que inclua parte do eixo dos t. Se (lo. Yo) for um ponto qualquer fora do eixo dos t, no entanto, s h uma nica soluo da equao diferencial y' = y1l3 que passa por (to. Yo)'

Intervalo

de definio.

A soluo de uma equao linear y' + p(t)y = g(t),(7).

com a condio inicial y(to) = Yo, existe sobre qualquer intervalo em tomo de I = lo no qual as funes p e g sejam contnuas. Por outro lado, num problema de valor inicial no-linear, o intervalo no qual existe uma soluo pode ser difcil de determinar. Alguns exemplos na Seo 2.3 ilustram esta afirmao. A soluo y = cf>(t) existe, com certeza sempre que o ponto [t, cp(t)] ficar no interior da regio sobre a qual as hipteses do Teorema 2.4.1 sejam cumpridas; no entanto, uma vez que q,(t) no usualmente conhecida, pode ser impossvel localizar o ponto [I, cf>(1)] em relao a esta regio. Em qualquer caso, o intervalo de existncia de uma soluo pode no ter uma relao simples com a funoj'na Eq. (1). Vamos ilustrar esta circunstncia no exemplo seguinte.

Exemplo 2

Resolver o problema

de valor inicial y'=

!,y(O)

=

I, = ),2 e JfliJy = 2y so contnuas

(8) em todo o seu dom(9)

e determinar o intervalo no qual existe a soluo. O Teorema 2.4.1 garante que este problema tem uma nica soluo poisj(t,y) nio. A fim de encontrar a soluo, escrevemos a equao diferencial na forma

Ento

y=~~Para obedecer condio inicial devemos

1

(10)

escolher c = -1, de modo que

y=--

1

l-I

(lI)

a soluo do problema de valor inicial dado. Evidentemente, a soluo fica ilimitada quando t -7 1; portanto. a soluo s existe no intervalo -00 < t < 1. No h indicao, pela equao diferencial, sobre qualquer particularidade do pomo t = 1. Alm disso, se acondio inicial for substituda por y(0) = ento a constante c na Eq. (10) deve ser escolhida

yo,

(12)

de modo que c = -l/yo e vem ento

(13)

32

Equaes Diferenciais de Primeira Ordem

que a soluo do problema de valor inicial com a condio inicial (12). Veja que a soluo (13) fica ilimitada quando t ~ 1/)'1) de modo que O intervalo de existncia da soluo -00 < t < I/yo se)'o > O e 1/yo < t < 00 se Yo < O. Este exemplo ilustra uma caracterstica perturbadora dos problemas de valor inicial com equaes no-lineares: que as singularidades da soluo podem depender, de forma essencial, das condies iniciais tanto quanto da equao diferencial.

Soluo geral. Outra forma pela qual as equaes lineares e as no-lineares diferem relaciona-se com o conceito de soluo geral. No caso de uma equao linear de primeira ordem, possvel conseguir uma soluo com uma constante arbitrria e todas as solues possveis da equao decorrem desta soluo graas particularizao do valor desta constante. No caso de uma equao no-linear possvel que esta no seja a situao; embora se possa ter uma soluo com uma constante arbitrria, podem existir outras solues que no se podem obter mediante valores particulares desta constante. Por exemplo, para a equao diferencial y' = y' no Exemplo 2, a expresso na Eq. (10) tem uma constante arbitrria mas no inclui todas as solues da equao diferencial. O que se pode ver observando que a funo y = O, para todos os t, certamente uma soluo da equao diferencial, mas no pode ser conseguida da Eq. (10) mediante um valor particular de c. Neste exemplo, poderamos prever que alguma coisa deste tipo ocorreria, pois ao reescrever a equao diferencial original na forma (9) preciso exigir que y no seja nulo. A existncia de solues "adicionais" no , no entanto, incomum no caso de equaes no-lineares; no Problema 18 mostramos um exemplo menos bvio. Por isso s adotaremos o conceito de "soluo geral" quando estivermos discutindo as equaes diferenciais lineares. Solues implcitas. Lembremo-nos outra vez de que para uma equao diferencial linear de primeira ordem h uma forma explcita [Eq. (18) da Seo 2.1] para a soluo y = "

6. y' = (12dy

+ y')3/2

8.

di

(cott)y

= l+ya dependncia, em relao ao valor inicial)'0'

Nos Problemas 9 at 12. resolver o problema sobre o qual a soluo existe.

de valor inicial e determinar

do intervalo

9. y' = -41(y, 11. y' + y3 = O,

y(O) =)'0 y(O)

10. y' = 21y',12. y'

= yo

=

)'(0)

= yo)'(0)

12(y(1

+ 13),

= yo

Nos Problemas 13 a 16, desenhe um campo de direes e plote (ou esboce) vrias solues da equao diferencial dada. Descreva de que forma as solues parecem se comportar quando 1 aumenta, e como seu comportamento depende do valor inicial y, quando t = O. 13. 15. y' y'

= ly(3 - y) = -y(3 - t y)

16.

14. y' y(3 - Iy) y' = 1 - 1 _ y2

=

17. Considere o problema de valor inicial y' = yllJ. y(O) = O que foi discutido no Exemplo 1 do texto. (a) Existe uma soluo que passa pelo ponto (1. I)? Se existe. encontre-a. (b) Existe uma soluo que passa pelo ponto (2.1)? Se existe, encontre-a. (c) Considere todas as solues possveis do problema de valor inicial dado. Determine o conjunto de valores que essas solues possuem em 1 2.

=

18.

(a)

Verifique

que

.lil)

=

I -

1e y~(/)

=

-/2/4 so solues do proble~a

de valor inicial. y(2) =-1

Y =

,

-I + (t2 +4)')1/2

2

Por que essas solues so vlidas? (b) Explique por que a existncia de duas solues do problema dado no contradiz a parte de unicidade do teorema 2.4.1. (c) Mostre que y ct + c', onde c uma constante arbitrria, satisfaz equao diferencial da parte (a) para r> -2c. Sec -I, a condio inicial tambm satisfeita, e a soluo y = )"\(/) obtida. Mostre que no existe nenhuma escolha de c que fornea a segunda soluo y = )"2(1).

=

=

2.5

Aplicaes das Equaes Lineares de Primeira OrdemAs equaes diferenciais tm interesse para quem no matemtico, especialmente em virtude da possibilidade de uslas na investigao de ampla variedade de problemas nas cincias fsicas, biolgicas e sociais. H trs etapas identificveis neste processo, que esto sempre presentes, independentemente do campo particular de aplicao. Em primeiro lugar, necessrio traduzir, em termos matemticos, a situao fsica, o que em geral se faz mediante hipteses em torno do que est ocorrendo, e que parecem ser coerentes com os fenmenos observados. Por exemplo, observou-se que os materiais radioativos decaem com uma taxa proporcional quantidade de material presente na amostra; que o calor passa de um corpo quente para um outro mais frio a uma taxa proporcional diferena de temperatura entre os dois corpos; que 0$ corpos se deslocam de acordo com as leis de Newton do movimento; e que as populaes de insetos, isoladas, crescem a uma taxa proporcional populao presente. Cada uma destas afirmaes envolve uma taxa de variao (derivada) e, por isso, pode ser expressa matematicamente e assumir a forma de uma equao diferencial. importante ter em mente que as equaes matemticas so quase sempre descries aproximadas dos processos reais, pois esto baseadas em observaes que so, em si mesmas, aproximaes. Por exemplo, 0$ corpos que se movem a velocidades comparveis velocidade da luz no so governados pelas leis de Newton; nem as populaes de insetos crescem indefinidamente, conforme o enunciado anterior, em virtude de limitaes de fontes de alimentos; e a transferncia de calor tambm influenciada por outros fatores que no a diferena de temperatura. Alm disso, o processo de formulao de um problema fsico em forma matemtica envolve, muitas vezes, a substituio conceitual de um processo discreto por um processo contnuo. Por exemplo, O nmero de membros de uma populao de insetos se altera por quantidades discretas; no entanto. se a populao for grande, parece razovel considerar a populao como uma varivel contnua e at falar da sua derivada. Uma outra forma de interpretar o processo de traduo a de adotar O ponto de vista de as equaes matemticas descreverem exatamente a operao de um modelo simplificado, que foi construdo (ou concebido) de modo a incorporar os traos mais importantes do processo real. Em qualquer caso, uma vez que se tenha formulado matematicamente o problema, fica-se com o problema de resolver uma, ou mais de uma, equao diferencial ou, quando isto no for possvel, de descobrir o mximo que for possvel acerca da soluo. Pode acontecer que o problema matemtico seja bastante difcil e, quando for assim, talvez sejam indicadas outras aproximaes para que o problema seja matematicamente tratvel. Por exemplo, uma equao no-linear pode ser aproximada por uma equao linear, ou uma funo que varie lentamente pode ser aproximada pelo seu valor mdio. Naturalmente, qualquer dessas aproximaes deve ser examinada tambm do ponto de vista fsico, a fim de que se tenha

34

Equaes Diferenciais de Primeira Ordem

a segurana de o problema matemtico continuar a retletir os traos essenciais do processo fsico que se estiver investigando. Ao mesmo tempo, o conhecimento ntimo da fsica do problema pode sugerir aproximaes matemticas razoveis que faro o problema matemtico mais tratvel pela anlise. Esta inter-relao da compreenso dos fenmenos fsicos e do conhecimento das tcnicas matemticas e das suas limitaes uma caracterstica da melhor matemtica aplicada e indispensvel para a construo correta de modelos matemticos de processos fsicos complexos, Finalmente, depois de conseguir a soluo (ou pelo menos de ter uma certa informao sobre a soluo), necessrio interpret-la em termos do contexto no qual se formulou o problema. Em particular, preciso sempre verificar se a soluo matemtica parece fisicamente razovel. O que exige, pelo menos, que a soluo exista, que seja nica e que dependa continuamente dos dados do problema. Esta ltima considerao importante em virtude de os coeficientes da equao diferencial e de as condies iniciais serem, muitas vezes, conseguidos como resultado de medidas de uma grandeza fsica e, por isso, serem suscetveis a pequenos erros. Se estes pequenos erros levarem a variaes grandes (ou descontnuas) na soluo do problema matemtico, variaes que no se observam fisicamente, ento ser necessrio reexaminar a relao entre o modelo matemtico e o problema fsico, Como evidente, o fato de a soluo matemtica parecer razovel no garante que seja correta. No entanto, se for seriamente incoerente com as observaes cuidadosas do sistema fsico que pretende descrever, h a sugesto de que erros talvez tenham sido cometidos na resoluo do problema matemtico ou de que o modelo matemtico seja, em si mesmo, muito grosseiro. Os exemplos desta seo so tpicos das aplicaes nas quais aparecem equaes diferenciais de primeira ordem.

Exemplo 1

Decaimento

radioativo. O nucldeo radioativo trio 234 desintegra-se

a

uma taxa proporcional

quantidade

presente. Se 100

rng deste material reduzirem-se a 82,04 mg em uma semana, achar uma expresso que d a quantidade presente em qualquer instante. Achar tambm o intervalo de tempo necessrio para que a massa do material decaia metade do seu valor original. Seja Q(t) a quantidade de trio 234 presente em qualquer instante. 1, onde Q est em miligramas e I em dias. A observao de que O trio 234 se desintegra a uma taxa proporcional quantidade presente significa que a taxa temporal de variao dQ/dt proporcional a Q. Ento Q satisfaz equao diferencial. dQldt

==

-,.Q, 100

(I)

onde a constante r > O a constante de desintegrao. Procuramos a soluo da Eq. (1) que obedea tambm condio inicialQ(O) (2)

e tambm condio Q(7) = 82,04.A

(3)(4)

Eq. (1) uma equao diferencial linear e tambm separvel; a sua soluo geral Q(t) =

ce=,

onde c uma constante arbitrria. A condio inicial (2) exige que c = 100 e, portantoQ(t) =

l00e-n.

A fim de satisfazer Eq. (3), faze"l0s e da

t =

7e Q

=

82,04 na Eq. (5); que d 82,04 = 100e-". In 0,8204

, (5)

r

= ---7-- = 0,02828

dias - ,

I

(6)

Assim se determinou a constante de desintegrao. Com este valor de r na Eq. (5) vem QU) = 100e-0.0,",", rng, o que d o valor de Q(t) em qualquer instante. O intervalo de tempo no qual a massa se reduz metade do valor original a meia-vida seja igual a 50 mg. Ento, pela Eq. (5),ouYT

-{7)do material. SejaTO

tempo para que Q(t)

=

In 2.

(8)

A relao (8) entre a constante de desintegrao e a meia-vida vale no apenas para o trio 234 mas tambm para qualquer material que decaia segundo a equao diferencial (I); com o valor de r dado pela Eq. (6), encontramos, para a meia-vida do trio 234, 'r

=

In2 _ . 0,02828 24,5 dias

=

(9)

Durante o processo de decaimento, a massa de um material radioativo, como o trio 234, reduz-se e acaba se aproximando de zero. Isto ocorre devido principalmente converso do material radioativo em uma forma no-radioativa (ou inerte) correspondente. A massa total da amostra permanece essencialmente constante, embora haja uma pequena perda de massa atravs da converso em energia.

2.5 Aplicaes das Equaes Lineares de Primeira Ordem

35

Exemplo 2

Juros

compostos.

Suponhamos

que uma soma de dinheiro seja depositada

num banco, ou numa financeira,

que paga juros

taxa anual r. O valor do investimento 5(t), em qualquer instante t, depende da freqncia na qual o juro capitalizado e tambm da taxa de juros. As instituies financeiras seguem vrias orientaes no que se refere capitalizao dos juros: algumas fazem-na mensalmente, outras semanalmente e at diariamente. Se admitirmos que a capitalizao seja contnua podemos enunciar um problema de valor inicial simples que descreve o crescimento do investimento feito. A taxa de variao do valor do investimento dS/dt e esta grandeza igual taxa na qual o investimento cresce e que igual taxa de juros vezes o valor atual do investimento 5(1). Ento, dS/dt = rS a equao diferencial por exemplo do processo de capitalizao. Suponhamos que se conhea tambm o valor do investimento (!O) num certo instante, (11)

S(O) = So.

Ento, a soluo do problema de valor inicial (10), (11) d o valor atual (montante) 5(1) creditado ao investidor em qualquer instante t. Este problema de valor inicial se resolve com facilidade. Na realidade, o mesmo que o problema de valor inicial do Exemplo I, que descreve o decaimento radioativo. exceto no sinal da constante de proporcionalidade. Ento, pela resoluo das Eqs. (10) e (11) encontramos S(t)=

Soe".

(12) ocor-

Assim, o investimento que for continuamente capitalizado cresce exponencialmente. Vamos agora comparar os resultados do modelo contnuo, que acabamos de descrever, com a situao na qual a capitalizao re em intervalos finitos de tempo. Se o juro for capitalizado uma vez por ano, ento depois de t anos S(t)=

So(l

+ r)'.

Se o juro for capitalizado duas vezes por ano. ento depois de seis meses o montante 50 Assim, depois de f anos, teremos S(I) Em geral, se os juros forem capitalizados111

li + (1'/2)]

e no final de um ano 50 [1

+ (r/2)F.

= So 1 +

(

2:

r)2t

.(13)

vezes durante o ano, ento 5Ct)

=

5 (1 + r;,)"".0

A relao entre as frmulas

(12) e (13) se esclarece

quando nos lembramos

que

m_oo

lim 50 1 +\

(r

- )m' m

= Soe"

A Tabela 2.5.1 mostra o efeito da alterao da freqncia de capitalizao com uma taxa de juros r de 8%. A segunda e a terceira colunas so calculadas pela Eq. (13) para a capitalizao quadrimesrral e diria, respectivamente, e a quarta coluna foi calculada pela Eq. (12), correspondente capitalizao contnua. Os resultados mostram que a freqncia da capitalizao no especialmente importante, na maioria dos casos. Por exemplo, num perodo de 10 anos, a diferena entre a capitalizao quadrimestral e a capitalizao contnua de $17,50 para cada $1.000 investidos, ou seja, menos de $2,00 por ano. A diferena seria um tanto maior no caso de taxas de juros mais elevadas e um tanto menor no caso de taxas menos elevadas. Pela primeira fila da tabela, vemos que no caso de uma taxa de juros r = 8%, O rendimento anual no caso da capitalizao quadrimestral 8,24% e no caso da capitalizao diria ou contnua 8,33%. Alguns bancos anunciam um rendimento anual ainda mais elevado que o da capitalizao contnua. O que conseguem pelo clculo de uma taxa de juros diria que usa um ano nominal de 360 dias e uma capitalizao com esta taxa sobre todo o ano civil. Com este mtodo, no caso de uma taxa de juros r, encontraremos, ignorando os anos bissextos, S(I)

r = So ( 1 + 360

)365'

.

(14)

Os resultados da Eq. (14) aparecem na ltima coluna da Tabela 2.5.1, para uma taxa de juros de 8%. O rendimento anual real de 8,45%. Retornando agora ao caso da capitalizao contnua, vamos imaginar que alm do rendimento dos juros existam depsitos. ou retiradas. Vamos admitir que os depsitos, ou retiradas, ocorram a uma taxa constante k; a Eq. (10) ser substituda por

TABELA 2.5.1 Crescimentocapitalizao

de um investimento

a uma taxa de juros

r = 8%, com diversos

modos

de

S(t)/S(t,) Anos I 2 5 /O 20 30 40 m =4 1,0824 1,1716 1,4859 2,2080 4,8754 /0,7652 23,7699

da Eg. (13)Ir!

S(t)/S(to)da = 365 Eg. (12) 1,0833 1,1735 1,4918 2,2255 4,9530 11,0232 24,5325

S(t)/S(to)da Eg. (14) 1,0845 1,1761 1,5001 2,2502 5,0634 1/,3937 25,6382

1,0833 1,1735 1,4918 2,2253 4,9522 11 ,0202 24,5238

36

Equaes

Diferenciais

de Primeira

Ordem

dS/dl ~ rS onde k positiva no caso de depsitos A soluo geral da Eq. (5) e negativa no de retiradas.

+ k,

(15)

S(t) ~ ce" - (k/r), onde c uma constante arbitrria. de valor inicial (15), (11) A fim de obedecer condio inicial (11) devemos 5(1) ~ ter c=

So

+ (klr).

Ento, a soluo do problema (16)

Soe" + (k/r)(e" -

1).

A primeira parcela no segundo membro de (16) a parte do montante S(t) devida aos juros capitalizados sobre o investimento inicial So' enquanto a segunda parcela a parte devida aos depsitos, ou s retiradas, taxa k. O interesse do enunciado do problema nesta forma geral. sem especificarem-se os valores de SOl de r ou de k, est na generalidade da frmula resultante (16) para SU). Com esta frmula, podemos comparar com facilidade os resultados de diferentes programas de investimento, ou de taxas de juros diferentes. Por exemplo, suponhamos que um cidado abra uma conta individual. com a idade de 25 anos, com um investimento inicial de $2.000 e depois faa investimentos anuais de $2.000 de maneira contnua. Admitindo que a taxa de juros seja 8%, qual ser o montante disponvel quando o cidado tiver 65 anos? Temos So = $2.000 r = 0,08 e k = $2.000; e queremos deterrninar S(40). Pela Eq. (16), temos S(40)

= (2.000)e3,2=

$49.065

+ (25.oo0)(e3,2 - 1) + $588.313 = $637.378.

interessante observar que o montante total investido foi de $82.000, de modo que o montante excedente, $555.378, provm dos juros acumulados. Vamos agora examinar as hipteses do modelo. Admitimos, em primeiro lugar, que os juros eram capitalizados continuamente e que o capital adicional era investido continuamente. Nenhuma destas afirmaes correta numa situao financeira real, mas as discrepncias no so, usualmente, significativas. Mais srio, porm, termos assumido que a taxa de juros r fosse constante, durante todo o perodo envolvido, pois na realidade as taxas de juros flutuam consideravelmente. Embora no se possa prever, com segurana, as taxas de juros futuras, pode-se adotar a expresso (16) para determinar o efeito aproximado das projees de direrentes taxas de juros. Tambm possvel considerar I" e k, na Eq. (15), como funes de t e no constantes; neste caso, como natural, a soluo pode ser muito mais complicada que a Eq. (16). Tambm vale a pena observar que o problema de valor inicial (15), (11) e a soluo (16) podem tambm ser usados para analisar muitas outras situaes financeiras, inclusive, entre outras, a de anuidades, amortizaes e pagamento de emprstimos.

Exemplo 3

Mistura. No instante t = O um tanque contm Q(l kg de um certo sal dissolvidos em 100 litros de gua; veja a Fig. 2.5.1. Uma soluo de sal em gua, com 0,25 kg de sal por litro de gua, entra no tanque razo de r litros/minuto e uma soluo homognea sai do tanque com a mesma vazo. Formule o problema de valor inicial que descreve este processo. Determine a quantidade de sal Q(t) presente no tanque em um dado instante t e tambm a quantidade limite Q/. que est presente depois de um longo tempo. Se r = 3 e Qo = 2Qv determine o intervalo de tempo T aps o qual a diferena entre a quantidade de sal e QL menor que 2%. Determine tambm a vazo em litros/minuto para que o valor de T no seja maior do que 45 minutos. Estamos supondo que o sal no criado nem destrudo no tanque. Assim, qualquer variao da quantidade de sal se deve unicamente aos fluxos de entrada e sada. Mais precisamente, a taxa de variao da quantidade de sal no tanque, dQldt, igual taxa com que o sal est entrando menos a taxa com que o sal est saindo. A taxa com que o sal est entrando no tanque igual concentrao, 0,25 kg/litro, multiplicada pela vazo, r litros/minuto, ou seja, 0,251" kg/minuto. Para determinar a taxa com que o sal est saindo do tanque, precisamos multiplicar a concentrao de sal no tanque pela vazo de sada, r litros/minuto. Como as vazes de entrada e sada so iguais, o volume de gua no tanque permanece constante em 100 litros; como a soluo homognea, a concentrao a mesma em todo o tanque e dada por Q(r)/IOO. Assim, a taxa com que o sal deixa o tanque rQ(t)/IOO kglminuto. Assim, a equao diferencial que descreve o processo

dQt

4

rQ 100

(17)

Fig. 2.5.1

O tanque de gua do Exemplo

3.

2.5 Aplicaes

das Equaes

Lineares

de Primeira

Ordem

37

Q

20Fig. 2.5.2

40de valor inicial (17), (18) para r = 3.

Solues do problema

A condio

inicial

Q(O) = QO'

(18)

Analisando fisicamente o problema, podemos prever que a longo prazo a soluo originalmente presente no tanque ser substitufda pelasoluo que est entrando, cuja concentrao 0,25 kgllitro. Em conseqncia, a quantidade de sal no tanque deve tender para 25 kg. Para resolver o problema analiticamente, observe que a Eq. (17) linear e sua soluo geral (19) onde c uma constante arbitrria. valor inicial (17), (18) Para satisfazer a condio inicial (18) devemos tomar c=

Qo - 25. Assim, a soluo do problema

de

(20) ou (21) Examinando a Eq. (19) ou a Eq. (20, vemos que Q(r) ~ 25 (kg) quando t ~ 00, de modo que o valor limite Q/, 25, o que confirma nossa intuio. Ao interpretar a soluo (21), observe que o segundo termo do lado direito a poro do sal original que permanece no tanque no instante t, enquanto o primeiro termo representa a quantidade de sal no tanque devido aos fluxos de entrada e sada. Grficos da soluo para r 3 e vrios valores de Qo aparecem na Fig. 2.5.2. Agora suponha que Qo = 2 QL = 50; ento a Eq. 20 fica

=

Q (1) ~ 25 Como 2% de 25 0,5, queremos resol vendo para T, obtemos encontrar o tempo

+ 25e-0.03'r

(22)

T para o qual o valor de Q (I) 25.5. SubstituindoT ~ (In 50)/0,03 '" 130,4 (min).

= Te

Q

= 25,5

na Eq. (21), e (23)

Para determinar

r de modo que T

= 45, retorne Eq. (20), faa t = 45, Qo = 50, Q (I) = 25,5 e resolva em r. O resultado r ~ (100/45) In 50 '" 8,69 Jlmin. (24)

Exemplo 4

Determinao

do instante

da morte.'

Na investigao

de um homicdio,

ou de uma morte acidental,

muitas vezes impor-

tante estimar o instante da morte. Vamos descrever uma forma matemtica para abordar este problema. A partir de observaes experimentais, sabe-se que, com uma exatido satisfatria em muitas circunstncias, a temperatura superficial de um corpo se altera com uma taxa proporcional diferena de temperatura entre a do corpo e a temperatura das vizinhanas (a temperatura ambiente). o que se conhece como a lei de Newton do resfriamento. Assim, se O(t) for a temperatura do corpo num instante t, e se T for a temperatura constante do ambiente, ento (j deve obedecer equao diferencial linear dO/dI ~ -k(O - 7), (25)

J Ver J. F. Hurley, "An Applicauon of Newron's Law ofCooling", Mathematics Teacher67 (1974), pgs. 141-142 e David A. Smith, "Thc Homicidc Problem Revisited'', The Two Year College Matliematics Journal9 (1978), pgs. 141-145.

38

Equaes Diferenciais de Primeira Ordem

onde k > O a constante de proporcionalidade. O sinal negativo da Eq. (25) provm do fato de se o corpo for mais quente que as suas vizinhanas (fJ > T) ento ele se torna mais frio com O tempo. Ento dfJldt < O quando fJ - T> O. Vamos agora admitir que no instante t = O descobre-se um cadver e que a sua temperatura medida e igual a fJo' Vamos admitir que no instante da morte tm a temperatura do corpo fosse 8m igual temperatura normal de 37"C. Se admitirmos que a Eq. (25) seja vlida para modelar esta situao, a nossa tarefa determinar Im' A resoluo da Eq. (25), com a condio inicial 8(0) = 80 1)(1)~ T

+ (80 - Te:".

(26)

A constante de proporcionalidade k. que aparece nesta expresso, no ainda conhecida. Podemos determinar k mediante uma segunda medida da temperatura do corpo, num instante ti; suponhamos que O = OI quanto t = /1' Levando estes valores na Eq. (26) encontramos que.

e da

k = -~ln 8, -T " 80 - Tonde 00, p T e ti so grandezas Finalmente. para determinar

(27)

e

conhecidas. tn" fazemos

t

=

1m e

O

=til!

em

na Eq. (26) e resolvemos

em

Im'

Obtemos (28)

=

-k

1

In 8

(JI/l_ 0

T '

T

onde k dada pela Eq. (27). Por exemplo, vamos admitir que a temperatura ambiente 200C. Ento, pela Eq. (27)

do corpo seja 3"C no instante da descoberta

e 230C duas horas depois: a temperatura

k= -~lo 2e pela Eq. (28)

23-20 '" 06020h-' 30 - 20 '

'd = - 0.6020Ento conclumos que o corpo foi descoberto

1

lo

37 - 20 30 _ 20

'" - 0.881 h.

aproximadamente

53 minutos depois da morte.

ProblemasI.

o nucldeo

radioativo

plutnio 241 decai de acordo com a equao diferencial dQ/d, ~ -0.0525Q.

2. 3. 4.

5. 6.

onde Q est em miligramas e t em anos. (a) Determinar a meia-vida T do plutnio 241. (b) Se SO mg de plutnio estiverem presentes numa amostra no dia de hoje . quanto plutnio existir daqui a 10 anos? O einsteinic 253 decai a uma taxa proporcional quantidade do nucldeo presente. Determinar a meia-vida T se o material perde um tero da sua massa em 11,7 dias. O rdio 226 tem a meia-vida de 1.620 anos. Achar o intervalo de tempo durante o qual uma amostra deste nucldeo se reduz a trs quartos da sua massa original. Suponhamos que 100 mg de trio 234 estejam num recipiente fechado e que se adicionem ao recipiente amostras de trio 234 taxa constante de 1 mgldia. (a) Achar a quantidade QU) de trio 234 presente no 'recipiente em qualquer instante. Lembrar que a taxa de decaimento do trio 234 foi encontrada no Exemplo I. (b) Achar a quantidade limite QI de trio 234 no recipiente, quando t 4 00. (c) Qual deve ser o intervalo de tempo decorrido at que a quantidade de trio 234 no recipiente tique a 0.5 mg do seu valor limite QI? (d) Se o trio 234 for adicionado ao recipiente taxa de k rngldia, achar o valor de k necessrio para manter, num nvel constante de 100 mg, a quantidade de trio 234. Mostre que. para qualquer material radioativo que decaia segundo a equao Q' = -rQ. a meia-vida T e a taxa de decaimento r satisfazem a equao ri = In 2. Datao pelo radocarbono. Uma importante tcnica na pesquisa arqueolgica a da datao pelo radiocarbono. uma tcnica para a determinao da idade de madeiras e de remanescentes de plantas, e tambm de ossos de animais ou de homens, ou de artefatos, que se encontrem enterrados num mesmo nvel arqueolgico. O procedimento foi desenvolvido pelo qumico norteamericano Willard Libby (1908-1980), no incio dos anos 50 e o levou a receber o prmio Nobel de Qumica de 1960. A datao pelo radiocarbcno se baseia no fato de alguns restos de madeiras ou de vegetais conterem traos residuais de carbono 14, que um istopo radioativo do carbono. Este istopo se acumula durante a vida da planta e decai a partir da sua morte. Em virtude de a meia-

2.5 Aplicaesdas Equaes Lineares de Primeira Ordem

39

7.

8.

9.

10.

11.

12. 13.

14.

vida do carbono 14 ser longa (aproximadamente 5.568 anos)-. remanescentes do nuclfdeo permanecem presentes na amostra em traos mensurveis depois de milhares de anos. Libby mostrou que se uma pequenina frao da quantidade original de carbono 14 estiver presente. medies apropriadas de laboratrio da proporo da quantidade de carbono 14 remanescente podem ser feitas com boa exatido. Em outras palavras. se QU) for a quantidade de carbono 14 no instante t e Qo a quantidade original. pode-se medir a grandeza Q(t)/Qo a menos que ela seja muitssimo pequena. A tcnica atual de medio permite a adoo deste mtodo para determinar intervalos de tempo at cerca de 100 mil anos. quando ento a quantidade remanescente de carbono 14 presente na amostra cerca de 4 X lO-f> vezes a quantidade original. (a) Admitindo que Q obedea equao diferencial. Q' = - rQ. determinar a constante de desintegrao r do carbono 14. (b) Achar a expresso de Q(r) para qualquer instante t. com QW) = Qo. (c) Vamos admitir que se analisa uma amostra de madeira na qual a quantidade residual de carbono 14 seja 20% da quantidade original. Determinar a idade desta amostra. Suponhamos que uma soma 50 de dinheiro seja depositada num banco que paga uma taxa anual de juros r. capitalizados continuamente. (a) Achar o tempo T necessrio para a soma original dobrar de valor. em funo da taxa de juros r. (b) Determinar T se r = Y1c. (c) Achar a taxa de juros necessria para o investimento inicial dobrar em oito anos. Uma pessoa jovem. sem capital inicial. investe k dlares. a uma taxa anual de juros r. Vamos admitir que o investimento seja feito continuamente e que os juros sejam capitalizados tambm continuamente. (a) Determinar o montante 5(1) acumulado no tempo t. (b) 'Se r = 7,59c. determinar k de modo que o montante acumulado seja de 51.000.000.00 depois de 40 anos. (c) Se k = 52.000 por ano. determinar a taxa de juros que se deve ter para dispor de 51.000.000 depois de 40 anos. A pessoa A abre uma conta remunerada com 25 anos. deposita 52.000 por ano durante 10 anos e depois disso no faz mais nenhum depsito. A pessoa B espera at os 35 anos para abrir sua conta remunerada. mas deposita $2.000 por ano durante 30 anos. Nos dois casos no h nenhum investimento inicial. (a) Supondo uma taxa de juros de 89c ao ano. qual ser o saldo das duas contas quando os titulares tiverem 65 anos? (b) Para uma taxa de juros constante mas no especificada r. determine O saldo das duas contas quando os titulares tiverem 65 anos em funo de r. (c) Faa um grfico da diferena entre os saldos da parte (b) para u es rs: 0,10. (d) Determine qual deve ser a taxa de juros para que as duas contas apresentem o mesmo saldo quando os titulares tiverem 65 anos. Um estudante universitrio faz um emprstimo de 58.000 para comprar um carro. A taxa de juros cobrada pelo banco de 10% ao ano. Supondo que os juros sejam capitalizados continuamente e que o estudante amortize a dvida continuamente a uma taxa anual constante k, determine o valor de k para que o emprstimo seja pago em trs anos. Determine tambm o total de juros pagos durante esses trs anos. O comprador de uma casa no pode pagar mais do que S800 por ms de prestao. Suponha que a taxa de juros seja de 9% ao ano e que o prazo de pagamento seja de 20 anos. Suponha tambm que os juros sejam capitalizados continuamente e que os pagarnentos tambm sejam feitos continuamente. (a) Determine o preo mximo que este comprador pode pagar por uma casa. (b) Determine o total de juros pagos pelo comprador se ele comprar a casa nas condies do item (a). Quais seriam as respostas do Problema 11 se o prazo do emprstimo fosse aumentado para 30 anos? Um engenheiro recm- formado torna um emprstimo de S 100.000 a uma taxa de 9% ao ano para comprar um apartamento. Prevendo aumentos freqentes de salrio, o engenheiro espera fazer pagamentos mensais de 800( 1 + t/120), onde t o nmero de meses decorridos desde o incio do emprstimo. (a) Supondo que este plano de pagamento possa ser mantido. quanto tempo ser necessrio para que o emprstimo seja totalmente pago? (b) Qual o valor do emprstimo que poder ser pago em exatamente 20 anos usando o mesmo plano de pagamento? Um aposentado tem investida uma quantia S(r) que lhe rende juros a uma taxa anual r, capitalizados continuamente. As retiradas para despesas correntes so feitas razo de k unidades monetrias por ano; suponha que elas so feitas continuamente. (a) Se o valor inicial do investimento 50' determine 5(1) para qualquer instante de tempo 1. (b) Supondo que So e r sejam fixos, determine a taxa de retirada ko para a qual 50 permanece constante. (c) Se k for maior do que o valor ko determinado em (b), S(t) diminuir at se anular. Determine o instante de tempo Tap6s o qual

Ser) ~ o.

Determine T se r 89c e k 2ko. Suponha que uma pessoa que se aposentou com um capital 50 queira retirar fundos taxa k durante no mais do que T anos. Determine o valor mximo possvel de k. (f) Qual o investimento inicial necessrio para permitir uma retirada anual de S12.000 por 20 anos, supondo uma taxa de juros de 8% ao ano? 15. Suponha que a populao da terra esta aumentando a uma taxa proporcional populao. Calcula-se que no instante t = 0(1650 d.C.) a populao da terra era de 600 milhes de habitantes (6.0 x 10~)e que no instante t = 300 (1950 d.C.) era de 2,8 bilhes (2,8 x 109). Determine uma expresso para a populao da terra em funo do tempo. Supondo que a maior populao que a terra capaz de sustentar seja de 25 bilhes de habitantes (2.5 X 1010), quando ser atingido este limite? 16. A populao de mosquitos em uma certa regio aumenta a uma taxa proporcional populao e, na ausncia de outros fatores, a populao dobra a cada semana. Existem 200.000 mosquitos inicialmente na regio e os predadores (pssaros etc.) comem 20.000 mosquitos por dia. Determine a populao de mosquitos na regio em funo do tempo.

(d) (e)

=

=

~ A meia-vida

do carbono

14 5.568 ::!.: 30 anos, conforme

a

McGrallHiI/ Encyclopedia of Science and Technotogv

(5~ ed.), New York,

Mcrjraw-Hill,

1982, vo. 11. pgs. 328-335.

2.8 Equaes Exatas e FatoresIntegrantes

57

x

y Fig.2.7.5 A braquist6crona.

(d) Supondo que r = 0,2 e h = I m, determine a velocidade inicial mnima /I e o ngulo timo A para que a bola passe por cima de.urn muro de 3 m de altura situado a 100 m de distncia. Compare este resultado com o do Problema 17 (f). 19. Problema da braquistcrona. Um dos famosos problemas na histria das matemticas o problema da braquistcrona: achar a curva que deve descrever uma partcula que desliza sobre ela, sem atrito, de modo a atingir no tempo mnimo o ponto Q, partindo de um outro ponto P que est acima do primeiro, mas no na vertical (ver a Fig. 2.7.4). Este problema foi proposto por lohann Bernoulli, em 1696, como um desafio aos matemticos da poca. Solues corretas foram encontradas por Johann Bernoulli e por seu irmo Jakob Bernoulli, por Isaac Newton, Gottfried Leibniz e pelo Marqus de L 'Hospital. O problema da braquistcrona foi importante no desenvolvimento da matemtica, como um dos precursores do clculo de variaes. Ao resolver este problema, conveniente tomar a origem como O ponto superior P e orientar os eixos conforme est na Fig. 2.7.4. O ponto inferior Q tem as coordenadas (xo, )'0)' ento possvel mostrar que a curva do tempo mnimo dada por uma funo)' = (x) que satisfaz equao diferencial (I

+ y")y ~ I.~,positiva?

(i)

onde k2 uma constante positiva a ser determinada. (a) Resolver a Eq. (i) em y', Por que necessrio escolher a raiz quadrada (b) Introduzir uma nova varivel I pela relao y = Psen2 Mostrar que a equao da parte (a) assume ento a forma 2Psen! (c) ComI

t.

(ii)

dt=

=

0= 21, mostrar que a soluo da Eq. (iii), que tem xx ~ k'( O - sen 0)12,

dx, quando y =

(iii)

O, dada por(iv) Se da

J ~ k'( 1 - cos 9)/2.

As equaes (iv) so as equaes paramtricas da soluo da Eq. (i), que passa por (0,0). A curva das Eqs. (i v) a ciclide. fizermos uma escolha apropriada da constante k, a ciclide passa tambm pelo ponto (xo,yo) e a soluo do problema braquistcrona. Encontre k se xo = 1 e)'o = 2.

2.8

Equaes Exatas e Fatores IntegrantesMencionamos anteriormente que as equaes diferenciais no-lineares de primeira ordem do margem a muitos mtodos de integrao, aplicveis a vrias classes de problemas. Nas Sees 2.8, 2.9 e em alguns problemas da Seo 2.10, descreveremos os mais teis entre estes mtodos. Vamos ter em mente, no entanto, que as equaes de primeira ordem que podem ser resolvidas por mtodos de integrao elementares so muito especiais; a maioria das equaes de primeira ordem no pode ser resolvida desta forma.

Exemplo 1

Resolver

a equao diferencial 2x

+ y' + 2xyy'

~ o. para equaes destes tipos no so apropriados.

(I) No

A equao nem linear nem separvel, entanto, observe que a funo t./J(x,y) =

r

de modo que os mtodos apropriados + xi tem a propriedade

2xy = a>/l

ay

(2)

58

Equaes Diferenciais de Primeira Ordem

Ento. a equao diferencial

pode ser escrita como~(X2

8x

+ xl) + ~(X28y

+ xi)~

dx

=

O

(3)

Admitindo que

y

seja funo de x, e operando a regra da cadeia, podemos escrever a Eq. (3) na forma equivalente i...(x2 dx

+ xi)

= o.

(4)

Portanto x'f

+ xy'

= c,

(5)

onde c

uma constante arbitrria, uma expresso implcita para a soluo da Eq. (1).

Ao se resolver a Eq. (1), a etapa fundamental foi a do reconhecimento Eq. (2). De forma mais geral, seja a equao diferencial M(x, y) Suponhamos que se possa identificar uma funo

da existncia de uma funo

que obedecia (6)

+ N(x, y)y' = iJ'"

O

tal que

-(x,y) iJx

iJ'"

= M(x,y),,=~

-(x,y)

oy

= N(x,y),x.

(7)

de modo que IjJ(x,y) = c obedece implicitamente equao y = (x),como uma funo derivveldeM(x,y)

Ento

+ N(x,y)y

'"

+ ay

",

dy dx

=

d dx "'[x,

"'(x)]

e a equao diferencial (6) fica d dx "'[x, "'(x)] =

o.

(8)

Neste caso, a Eq. (6) uma equao diferencial exata. A soluo da Eq. (6), ou da sua equivalente, Eq. (8), dada implicitamente porIjJ(x,y) =

c,

(9)

onde c uma constante arbitrria. No Exemplo l , foi relativamente fcil ver que a equao diferencial era exata e, na realidade, foi fcil encontrar a sua soluo, reconhecendo-se a funo desejada rjI. No caso de equaes mais complicadas, pode no ser possvel conseguir isto de maneira to fciL Uma forma sistemtica de determinar se uma equao diferencial exata proporcionada pelo teorema seguinte:

Teorema 2.8.1Sejam M, N, M, eN; onde os n O. 38. Se duas retas, no plano X)', com os coeficientes angulares m, e m2, interceptam-se sob um ngulo 0, mostrar que

=

(tan

8)(1

+ mlm2)

=

m2

-

ml'

Com esta informao, achar a famlia de curvas que intercepta caso, desenhar as duas famlias de curvas. (a)x 39. 40. 41. 42. 43.

cada uma das seguintes

famlias, sob um ngulo de 450). Em cada

2y ~ c

(b)x'+I~c'

Achar a famlia de curvas planas cuja reta tangente, no ponto (x, y), passa por um ponto fixo (a,b). A reta normal a uma curva dada, em cada ponto da curva (x, y), passa pelo ponto (2, O). Se a curva passa pelo ponto (2, 3), achar a sua equao. Achar todas as curvas planas tais que, para cada ponto da curva, o eixo dos y bissecta o segmento da reta tangente compreendido entre o ponto de tangncia e o eixo dos x. Um certo homem tem um capital que aumenta a uma taxa proporcional ao quadrado do seu valor instantneo. Se o proprietrio tivesse $1.000.000, h um ano atrs, e $2.000.000, hoje, quanto ter daqui a 6 meses? E daqui a 2 anos? Forma-se um lago quando a gua recolhida numa depresso cnica de raio a e profundidade h. Suponhamos que a gua aflua vazo constante k e que o lago sofra evaporao a uma taxa proporcional rea superficial da gua. (a) Mostrar que o volume V(t) da gua no lago, no instante t, satisfaz equao diferencial. dV /dt

= k - arr(3a/rrh)2/3V2/3

44.

onde a o coeficiente de evaporao. (b) Achar a profundidade de equilbrio da gua no lago. O equilbrio estvel? (c) Achar a condio que deve ser cumprida para que o lago no transborde. Consideremos um tanque de gua cilndrico com a seo reta constante A. A gua bombeada para o tanque, vazo constante k, e eflui do tanque, atravs de um pequeno orifcio de rea a no fundo. Pelo teorema de Torricelli, da hidrodinmica, vem que a vazo da gua atravs do orifcio onde h a altura da gua no tanque, g a acelerao da gravidade e um coeficiente de contrao no intervalo 0,5 ~ a ~ 1,0. (a) Mostrar que a profundidade da gua no tanque, em qualquer instante, obedece equao

aa-J2iii

a

dhf dt = (k 45.

aa.f2ih)/A.

(b) Determinar a altura de equilbrio da gua /tf' e mostrar que o equilbrio estvel. Observar que ti, no depende de A. O crescimento de uma clula depende do fluxo de nutrientes atravs da membrana celular superficial. Seja W(t) o peso da clula num instante t, Wo o seu peso em t = O, e vamos admitir que dW/dr seja proporcional rea da superfcie da clula. (a) Apresente um argumento que suporte a validade da equao dW/dt ~ aW"', onde a uma constante de proporcionalidade. (b) Achar o peso da clula em qualquer instante t. Um certo negcio cresce em valor a uma taxa proporcional raiz quadrada do seu valor instantneo. Se o negcio valesse $1.000.000 h dois anos, e se o seu valor for $1.440.000 nos dias de hoje, determinar o instante em que valer $2.000.000.

46.

2.11

O"Teorema da Existncia

e Unicidade

Nesta seo discutimos a prova do Teorema 2.4.1, o teorema fundamental da existncia e unicidade dos problemas de valor inicial de primeira ordem. Este teorema afirma que, sob certas condies dej{x, y), o problema de valor inicial

y' = f(t,y},

y(to} = Yo

(I)

tem uma nica soluo num certo intervalo que contm o ponto lo. Em alguns casos (por exemplo, quando a equao diferencial for linear), a existncia de uma soluo do problema de valor inicial (I) pode ser comprovada diretamente, pela resoluo do problema e obteno de uma frmula que d a solu-

2.11 O Teorema da Existncia e Unicidade

69

o. Em geral, porm, este caminho no pode ser adotado, pois no h mtodo de resoluo da Eq. (I) que se aplique em todos os casos. Por isso, no caso geral, necessrio adotar um caminho indireto para estabelecer a existncia de uma soluo das Eqs. (I), mas, usualmente, este caminho no proporciona um procedimento prtico de encontr- lo. O corao do mtodo a construo de uma seqncia de funes que convergem para uma funo limite que obedece ao problema de valor inicial, embora os membros da seqncia no o satisfaam, cada qual individualmente. Como regra, impossvel calcular explicitamente mais do que alguns poucos membros da seqncia; por isso, s em casos raros, possvel encontrar explicitamente a funo. No obstante, com as restries sobref(t, y) enunciadas no Teorema 2.4.1, possvel mostrar que a seqncia em questo converge, e que a funo limite tem as propriedades desejadas. O argumento bastante complicado e depende, em parte, de tcnicas e de resultados que se encontram usualmente, pela primeira vez, num curso de clculo avanado. Por isso, no exporemos todos os detalhes da prova; traaremos apenas suas caractersticas principais e apontaremos algumas dificuldades envolvidas. Em primeiro lugar, observamos que basta considerar o problema no qual o ponto inicial (to,yo) a origem; isto , O problema y' = f(t,y), y(o) = O. (2)

Se o ponto inicial for outro, poderemos sempre fazer uma mudana preliminar de variveis correspondente a uma translao dos eixos do sistema de coordenadas, e levar o ponto dado (toSo) para a origem. O teorema de existncia e unicidade pode, portanto, ser enunciado da seguinte forma:

Teorema 2.11 .1Sefe fiy foremcontnuas no domnio retangular R: l/I s a, Iyl :oib, ento h um intervalo Itl s wna soluo nica y = 1>(1)do problema. de valor inicial (2). " Para provar o teorema necessrio transformar o problema de valor inicial (2) numa forma mais conveniente. Suponhamos, pelo momento, que h uma funo y = 1>(1) ue satisfaz ao problema de valor inicial; entoj[r, (s)] ds

(3)

onde usamos a condio inicial ,: (6)

Charles-mile Picard (1856-1914), com a exceo de Henri Poncar. foi talvez o mais eminente matemtico francs da sua gerao. Antes dos trinta anos. foi nomeado professor na Sorbonne. conhecido por importantes teoremas nas variveis complexas e na geometria algbrica e tambm nas equaes diferenciais. Um caso especial do mtodo das aproximaes sucessivas foi publicado inicialmente por Liouville, em 1838. O mtodo. porm. usualmente atribudo a Picard que o fundamentou de uma forma geral e amplamente aplicvel numa srie de artigos que principiaram a aparecer em 1890.!l

70

Equaes

Diferenciais

de Primeira

Ordem

e, em geral,

(7)Desta maneira, geramos uma seqncia de funes {,,} = 4>0," .. , ", .... Cada membro desta seqncia satisfaz condio inicial mas, em geral, nenhuma satisfaz equao diferencial. No entanto, se num certo estgio, digamos em n = k, verificamos que H,(t) = ,(t), segue-se que , uma soluo da equao integral (3). Ento, , tambm uma soluo do problema de valor inicial (2) e a seqncia funcional termina neste ponto. Em geral, isto no ocorrer, e necessrio considerar toda a seqncia infinita. A fim de demonstrar o Teorema 2.1 1.1, preciso responder a quatro questes principais: 1, 2. 3, 4. Todos os membros da seqncia {"l existem, ou o processo pode interromper-se num certo estgio? A seqncia converge? Quais as propriedades da funo limite? Em particular, a funo limite obedece equao integral (3) e, portanto, satisfaz ao problema de valor inicial (2)? esta a nica soluo, ou podem existir outras?

Vamos mostrar, primeiro, como se podem responder a estas perguntas num exemplo particular, relativamente simples, e depois comentaremos as dificuldades que se podem encontrar no caso geral.

Exemplo 1

Consideremos o problema de valor inicial y' = 21(1 + y),y(O) =0. observamos inicialmente que sey

(8) = 4>(1) = Se a aproximao inicial for r/Jo(x)

10' 2s[1

+ 4>(s)] ds.

(9)

= O, vem(10)

Analogamente, (11)

4>3(1)=

1,O

2s[1+4>2(s)]ds=

l' [O 2s

l+s2+_

S4]2

ds=t2+-+-

,

4

t

6(12)

2

23

As Eqs. (10), (I I) e (12) sugerem que(13) para cadcu a- 1 e este resultado pode serconfinnado por induo matemtica. Claramente, mostrar que se for correto para 11 = k ser tambm correto para n = k + I. Temos 4>k+l (t) a Eq. (13) correta para n=

I e precisamos

= 10' 2s[1

+ 4>k(s)]ds

= 1o'2s(I+s2+~+"+Sk~)dS(4 [6 t2k+2

=(2+21+31+",+

(k+I)!'

(14)

e a prova indutiva est completa. Um grfico das quatro primeiras aproximaes, 4>1(1), ... , 4>ir) aparece na Fig. 2.11.1. aproximaes sucessivas diminui, o que sugere a existncia de uma soluo limite.

medida que k aumenta, a diferena entre

2.11 O Teorema

da Existncia

e Unicidade

71

-1,5

-1

-0,5

0,5

Fig.2.11.1

Grficos de 4>,(1), ... , 4>,(1)para

Exemplo

I.

Segue-se ento, da Eq. (13), que cp,,(t) a ensima soma parcial da srie infinita

(;ki00 ,'"

(15) o teste da razo, vemos que para qualquer K--+

e o lim

ll-t'"

cp,,(t) existir se e somente se a srie (15) convergir.

Aplicando--+

t, (16)

Icaso corresponde

k! -(k +I)! I"1"+2

I

= -K+I

I'

O

quando

00

e, portanto, a srie (15) converge para qualquer valor de t e sua soma cp(r) o limite da seqncia {ep,,(r)}. Alm disso, como a srie (15) uma srie de Taylor, ela pode ser derivada ou integrada termo a termo contanto que t permanea no intervalo de convergncia, que no a todo o eixo dos t. Assim, podemos verificar por computao direta que (t) - cVk(t) para vrios valores de k. A Fig. 2.11.2 mostra esta diferena para k = 1, ... , 4. Esta figura mostra claramente o intervalo cada vez maior no qual as aproximaes sucessivas constituem uma boa aproximao para o problema de valor inicial. Finalmente, para resolver a questo da unicidade, suponhamos que o problema de valor inicial tenha duas solues e '" ambas satisfazem equao integral (9), lemos, por subtrao, que

q,.

4>(1) -1/1(1) Tomando os valores absolutos de ambos os membros, 14>(1) -1/1(1)1 Se limitarmos t ao intervalo O :s;t :S

=

fo'

2s[4>(s) -1/I(s)] O, dsl

ds

lemos, se

1>

=

Ifo'

2s[4>(s) -1/I(s)J

s lo'

2s 14> -1jr(s)1 (s)

ds.

A/2, onde A arbitrria, 14>(1) -1/1(01

ento 2s:s; A e SAfo' 14>(s) -1jr(s)1 ds. (17)

conveniente,

neste ponto, introduzir

a funo U definida por U(t) =

fo'

14>(s) -1/I(s)1

ds

(18)

Segue-se,

ento, imediatamente,

que U(O) U(t)

=0,"'0,

(19)

para- AU(r)

I '"

O.

(20)

Alm disso, U derivvel

e U'(t) = 11>(1) -

,,",1)1. Portanto,

pela Eq. (17),

U'(t)

S O.

(21)

72

Equaes Diferenciais de Primeira Ordem

Fig. 2.11.4 Grficos de (t) - 1>,(t) para o Exemplo

I com k = I,

"'0

4.

Multiplicando a Eq. (21) pela funo positiva

e-AI

vem[e-AI U(t)]' ::::O (22)

Ento, integrando a Eq. (22) de zero at t e usando a Eq. (19), vem ainda paraI

2: O.

Ento, U(t):s; Opara t;::: O o que, em conjunto com a Eq. (20), faz U(t);;;;;;: Oparaqualquer t;::: O.Assim, U(t);;;;;;: Oe portanto I/J(t);;;;;;: (t), o que contradiz a hiptese original. Por isso, no podem existir duas solues diferentes parao problema de valor original com t ~ O. Uma pequena modificao deste argumento mostra que se chega mesma concluso para t :s;O. Retomando ao problema geral da resoluo da equao integral (3), vamos considerar resumidamente mencionada um pouco antes. 1. cada questo

Existem todos os membros da seqncia ( ")? No exemplo,j e aflay eram contnuas sobre todo o plano ty e cada membro da seqncia podia ser calculado de maneira explcita. Em contraste, no caso geral,j e aflay so, por hiptese, contnuas no domnio retangular R: 1I1:5 a, Iyl :5 b (ver a Fig. 2.11.3). Alm disso, os membros da seqncia no podem ser, como regra, explicitamente determinados. O perigo est em o grfico de y = ,(1)conter, para um certo estgio n = k, pontos que estejam fora do domnio R. Por isso, no estgio seguinte - o clculo de ",(1) - ser necessrio estimarjlr, y) em pontos onde no se sabe se contnua ou mesmo se existe. Assim, o clculo de ? Em primeiro lugar, queremos saber se cp contnua. O que no uma conseqncia necessria da convergncia da seqncia {c/>,,(t)}, mesmo que cada membro da seqncia seja contnuo. s vezes, uma seqncia de funes contnuas converge para uma funo limite que desconnua. Um exemplo simples deste fenmeno est no Problema 9. Podemos provar que cp contnua mostrando que no s a seqncia [ ,pll} convergente mas que ela converge de uma forma especial, conhecida como a convergncia uniforme. No vamos examinar a questo aqui, mas notar que o argumento mencionado no pargrafo 2 suficiente para estabelecer a convergncia uniforme da seqncia 4>" e da a continuidade da funo limite ,p no intervalo 111$ h. : Retornemos agora Eq. (7), ,pn+l(t) = Deixando que n tenda para00

L

f[s,"'n(s)]ds.

nos dois membros da equao, obteremos "'(I) = lim1'1-+00

[' lo

f[s, ,pn(s)] ds .

(26)

Vamos trocar a ordem das operaes de integrao e de passagem ao limite no segundo membro da Eq. (26) a fim de obter q,(t) = [' lim f[s,,pn(s)]ds.

10

(27)

1'1-+00

Em geral, a troca da ordem de operaes no admissvel (ver o Problema 14, por exemplo), mas o fato de a seqncia {c/>n(t)} ser no apenas convergente, mas uniformemente convergente, vem em nosso auxlio e permite-nos fazer a passagem ao limite sob o sinal de integral. Depois, passamos ao limite no interior da funo f