Kelompok 16 :Lizza Ulfa Fauziah(120210101002)Amalia Warniasih Sasmito (120210101008)

BASIS, DIMENSI, dan TEOREMANYALKM1. Pengantar MateriBasis dan Dimensi merupakan sub bab dari Ruang Vektor. Sub bab ini berkaitan dengan sub bab sebelumnya yaitu Vektor Bebas Linier dan Bergantung Linier. Jadi kita harus benar-benar paham tentang sub bab sebelumnya agar kita bisa mengerjakan soal-soal pada sub bab Basis dan dimensi ini. Pada sub bab ini akan dijelaskan definisi dan teorema dari Basis dan Dimensi, serta pembuktian dari teorema tersebut. Juga disajikan beberapa contoh pengerjaan soal dan latihan untuk menambah pemahaman. Setelah mengerjakan LKM ini diharakapkan mahasiswa dapat memahami apa itu basis dan dimensi.

2. Ruang KonsepDIMENSIDefinisi : Suatu ruang vektor V dikatakan berdimensi n bila dapat ditemukan suatu himpunan n vektor-vektor V yang bebas linier, sedangkan setiap himpunan (n+1) vektor-vektor V selalu bergantung linier. Dengan kata lain, banyak maksimum vektor-vektor V yang bebas linier adalah n. Teorema :Setiap n vektor-vektor {u1,u2,un} yang bebas linier dari V ruang vektor berdimensi n pasti merupakan sistem pembentuk dari V Catatan : Suatu sistem pembentuk tidak perlu bebas linier. Mudah diterangkan bahwa bila {u1,u2,um} merupakan sistem pembentuk yang bergantung linier, sedang maksimum vektor-vektor di antara u1,u2,un yang bebas linier adalah {u1,u2,up} juga sistem pembentuk. Jadi dalam hal ini dimensi adalah p Dimensi dari ruang vektor Rn adalah n BASISDefinisi : Setiap sistem pembentuk yang bebas linier disebut basis dari ruang vektor tersebut. Dengan kata lain, setiap himpunan n vektor {u1,u2,un} yang bebas linier dari ruang vektor berdimensi n disebut basis dari ruang vektor tersebut.Teorema :Apabila { u1,u2,un} basis dari ruang vektor V berdimensi n, maka setiap vektor v V dapat dinyatakan secara tunggal sebagai kombinasi linier dari {u1,u2,un}, misal v=k1u1+ k2u2 + knun dan n-tupel skalar [k1,k2,kn]disebut koordinat v relatif terhadap basis { u1,u2,un} .Catatan :Karena vektor-vektor V tak berhingga banyaknya, kecuali ruang vektor yang dibentuk oleh vektor nol sendiri, yaitu L{0}, dan misalnya dimensi V berhingga n, maka kita dapat mencari banyak sekali himpunan n vektor-vektor V yang bebas linier. Sehingga kita dapat memilih banyak basis untuk V

2. Ruang Pembuktian / Penemuana. Teorema :Setiap n vektor-vektor {u1,u2,un} yang bebas linier dari V ruang vektor berdimensi n pasti merupakan sistem pembentuk dari V Bukti :Ambil vektor sembarang v V. Karena dimensi V adalah n, menurut definisi {u1,u2,un} bergantung linier. Sehingga pada persamaan 1u1+2u2+...+nun+n+1v=0 terdapat i yang tidak nol, dan haruslah n+1 0 karena bila demikian, persamaan 1u1+2u2+...+nun+0v=0, berakibat {u1,u2,un} bergantung linier. Bertentangan berarti :

Jadi, setiap v V kombinasi linier dari {u1,u2,un} berarti {u1,u2,un} sistem pembentuk .Teorema :Apabila { u1,u2,un} basis dari ruang vektor V berdimensi n, maka setiap vektor v V dapat dinyatakan secara tunggal sebagai kombinasi linier dari {u1,u2,un}, misal v=k1u1+ k2u2 + knun dan n-tupel skalar [k1,k2,kn]disebut koordinat v relatif terhadap basis { u1,u2,un} .Bukti : Misal v=k1u1+ k2u2 + +kmum dan juga v=1u1+ 2u2 + +mum ,maka 0 =(k1-1) u1+ (k2-2) u2 + (km-m) umKarena { u1,u2,un} bebas linier, maka (k1-1)=( k2-2) =..=(km-m)=0, berarti k1=1 ; k2=2 ;; km=m

4. Ruang Contoh PertanyaanDiketahui S {a=[1,1,1], b=[2,1,1], c=[3,2,2]}. S membentuk ruang vektor L(S)=L{a,b,c}. Tentukan basis dan dimensi dari L(S) Penyelesaianc = a + b sehingga {a,b,c} bergantung linierMisal diambil {a,b}.{a,b} tidak berkelipatan sehingga bebas linier, begitupun pula dengan {,} dan {,} tidak berkelipatan.Jadi, karena banyaknya vektor - vektor yang bebas linier adalah 2 maka dimensi dari L(S) adalah Basis dari L(S) yang menyatakan ruang vektor yang bebas linier adalah {a,b},atau{...,..}, atau {...,...}. PertanyaanApakah himpunan vektor-vektor ini merupakan basis R3?

Penyelesaianselidiki apakah bebas linier :

.................(1)................................................(2).............(3)Kemudian lakukan eliminasi (1) dan (2), sehingga diperoleh :.......................(4)(3) dan (1), sehingga diperoleh :................................................(5)(4) dan (5) ekivalen, berarti, boleh kita ambil , jadi terdapat Berarti bergantung linier, maka ketiga vektor tersebut bukan basis R3

3. Ruang Latihan Terbimbinga. Tentukan basis dan dimensi dari ruang vektor yang dibentuk oleh :i. p = [3,2,7,11] dan q = [2,5,8,9]dimensi adalah banyaknya maksimum vektor-vektor yang bebas linier.p dan q tidak berkelipatan, jadi p dan q adalah sistem pembentuk yang.........sehingga dimensinya adalah.......basis adalah vektor pembentuk yang bebas linier, jadi dapat disimpulkan basisnya adalah....ii. u = [2,1,6,3], dan v = [6,3,18,9] dimensi adalah banyaknya maksimum vektor-vektor yang bebas linier.p dan q berkelipatan yaitu v=3u, jadi p dan q adalah sistem pembentuk yang.........sehingga dimensinya adalah.......basis adalah vektor pembentuk yang bebas linier,u0 dan v0. Jadi u maupun v adalah sistem pembentuk yang ..........., jadi dapat disimpulkan basisnya adalah...b. Apakah himpunan vektor-vektor ini merupakan basis R3?

Jawab :Periksa apakah vektor-vektor tersebut bebas linier atau bergantung linier., sehingga.............................................................(1).............................................................(2).............................................................(3)

Sehingga ketiga vektor pembentuk tersebut......................Dimensi dari R3 adalah 3, sehingga basisnya harus terdiri dari 3 vektor.Jadi dapat disimpulkan vektor tersebut................ R3

6. Ruang Kerja Mandiri Diketahui a = [1,2,1], b = [2,4,1], dan r = [3,6,2]. Tentukan basis dan dimensinya Diketahui L dibentuk oleh p = [1,3,1], q = [2,1,0], dan r = [4,x-2,2]. Tentukan nilai x supaya L berdimensi 2.