Élémentsdethéorie desgraphes...collection iris dirigée par nicolas puech alain bretto alain...

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Cet ouvrage est une introduction à la théorie des graphes. La plupart desnotions élémentaires et classiques y sont introduites selon une approcheoriginale, précise et rigoureuse. Ainsi les résultats énoncés font l’objet, dansleur quasi-totalité, de démonstrations détaillées.

L’aspect topologique et l’aspect algébrique, derniers avatars de cette théo-rie, ont été développés de manière approfondie. La variété des thèmesabordés a pour objectif de conduire le lecteur à appréhender les graphesdans leur plus grande diversité afin d’en percevoir la puissance en tantqu’outil mathématique. L’accent a également été mis sur l’algorithmique desgraphes, qui se prêtent particulièrement bien aux structures de données età la programmation.

Cette deuxième édition propose une présentation plus complète des graphesplanaires et de la théorie spectrale. On y trouve aussi un nouveau chapitresur les graphes aléatoires et quelques éléments d’analyse sur graphes.

Ce livre peut être d’usage courant pour les étudiants en informatique et enmathématiques du niveau licence mais il s’adresse également aux étudiantsde master ainsi qu’aux élèves ingénieurs. Il pourra aussi être utile à desétudiants doctorants et à des chercheurs confirmés voulant en savoir plussur ce domaine.

Alain Bretto est professeur d’informatique à l’Université de Caen Normandie.

Alain Faisant est maître de conférences émérite de mathématiques à l’Université

Jean Monnet, Saint-Étienne.

François Hennecart est professeur de mathématiques à l’Université


editions.lavoisier.fr

Alain BrettoAlain Faisant

François Hennecart

Éléments de théoriedes graphes2e édition revue et augmentée

C O L L E C T I O N I R I SSous la direction de Nicolas Puech


La Collection IRIS est composée d’ouvrages abordant les domaines de l’informatique, des réseauxet des télécommunications. Elle est destinée aux étudiants de l’enseignement supérieur (1er, 2e et3e cycles universitaires, classes préparatoires, écoles d’ingénieurs) ainsi qu’aux professionnels.

Chaque livre de la collection fait le point sur un aspect particulier. Les thèmes sont exposés pardes auteurs ayant dispensé un enseignement sur le sujet pendant plusieurs années, ou, dans le casde concepts émergents, par des chercheurs et des ingénieurs spécialistes du domaine.

L’informatique, les réseaux et les télécommunications constituant un champ scientifique et tech-nologique en perpétuelle évolution, la Collection IRIS a pour vocation de clarifier les fondementsde ces disciplines en proposant des ouvrages de référence mais aussi en présentant les dévelop-pements récents à travers des ouvrages plus spécialisés.

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4850-Bretto indd Toutes les pages 27/08/2018 14:42

Document : 149038_CV_925576.pdf;Page : 1;Date : 29.Aug 2018 17:14:22

Collection IRISDirigée par Nicolas Puech


François Hennecart


Éléments de théorie des graphes

2e édition revue et augmentée

Document : 149038_INT_925575.pdf;Page : 1;Date : 30.Aug 2018 15:44:53

© 2018, Lavoisier, ParisISBN : 978-2-7462-4850-2

Direction scientifique : Nicolas PuechDirection éditoriale : Jean-Marc Bocabeille


À la mémoire de ma mère,Alain Bretto


Préface de la deuxièmeédition

Avant donc que d’écrire, apprenez à penser.Selon que notre idée est plus ou moins obscure,L’expression la suit, ou moins nette, ou plus pure.Ce que l’on conçoit bien s’énonce clairement,Et les mots pour le dire arrivent aisément.(...)Hâtez-vous lentement, et, sans perdre courage,Vingt fois sur le métier remettez votre ouvragePolissez-le sans cesse et le repolissez ;Ajoutez quelquefois, et souvent effacez.(...)Il faut que chaque chose y soit mise en son lieu ;Que le début, la fin, répondent au milieu ;Que d’un art délicat les pièces assortiesN’y forment qu’un seul tout de diverses parties,Que jamais du sujet le discours s’écartantN’aille chercher trop loin quelque mot éclatant.Boileau, L’art poétique, chant I (1674)

Dans cette deuxième édition nous avons entièrement revu le chapitreconcernant les algorithmes, en mettant l’accent sur la récursivité. Quelquesaménagements, précisions et compléments ont été faits pour les graphesplanaires. La théorie spectrale a été considérablement développée, avec no-tamment l’étude des graphes de Cayley. Nous avons ajouté un chapitresur les graphes aléatoires, et complété par quelques perspectives concer-nant l’analyse sur graphes.

Les graphes sont des objets très simples et susceptibles de nombreusesvariations. Il n’est pas toujours facile d’arbitrer entre la rigueur et l’intui-tion : ainsi la notion de cycle pourrait être décrite de façon plus précise enintroduisant par exemple le sens de parcours, mais cela conduit à alourdirtellement les définitions qu’elles en deviennent inutilisables ! Nous avonsdonc fait de notre mieux, bien conscients (comme Boileau ...) que l’ou-vrage n’est pas parfait !

Saint-Étienne, avril 2018, A. Bretto, A. Faisant, F. Hennecart


À propos des auteurs

Alain Bretto est professeur d’informatique à l’Université de CaenNormandie. Il enseigne également à AgroParisTech et a précédemmentenseigné aux États-Unis et en Italie. Ses recherches portent sur la théo-rie des graphes et des hypergraphes, plus précisément sur leurs aspectsalgébriques et topologiques. Expert reconnu dans ces domaines, il s’inté-resse aussi aux applications des mathématiques : analyse d’images, finance,technologie de l’information.

Alain Faisant a été maître de conférences en mathématiques à l’Uni-versité de Saint-Étienne, où s’est déroulée la majeure partie de sa carrière.Il continue à y développer ses recherches. Ses travaux sont principalementcentrés sur la théorie des nombres et il est l’auteur d’un ouvrage qui fait ré-férence sur le sujet : L’équation diophantienne du second degré (Hermann,1991).

François Hennecart est professeur de mathématiques à l’Universitéde Saint-Étienne, où il développe ses recherches en théorie des nombres. Ils’intéresse plus particulièrement à des problèmes additifs et combinatoires,domaines où les graphes interviennent fréquemment.


Avant-propos à la premièreédition

En quelques décennies, la théorie des graphes est devenue l’un desdomaines les plus féconds et les plus dynamiques des mathématiques etde l’informatique. Cette évolution constante est sans doute due au largespectre des applications telles que l’électronique, la linguistique, la chimie,la sociologie, les mathématiques, l’informatique. . .

Le début a été hésitant : l’histoire veut que la théorie des graphes aitcommencé avec l’article du mathématicien suisse Leonhard Euler sur leproblème des ponts de Königsberg (voir Solutio problematis ad geome-triam situs pertinentis, Commentarii Academiae Scientiarum ImperialisPetropolitanae Vol 8 (1736), 128–140).

Néanmoins il faudra attendre deux siècles pour que le premier livre pa-raisse sur le sujet. Celui-ci a été écrit par Dénes König en 1936 (voir Theo-rie der Endlichen und Unendlichen Graphen, Teubner, Leipzig, 1936).

Le développement de la théorie des graphes est assez similaire au dé-veloppement de la théorie des probabilités dont beaucoup de résultatssont dus à l’effort de compréhension des jeux de hasard. Les graphes ontd’abord été considérés comme curiosité mathématique et comme outil pourétudier les jeux logiques : on peut citer par exemple le problème du ca-valier du jeu d’échec devant visiter chaque case de l’échiquier exactementune fois tout en revenant à la case de départ. Ils sont devenus maintenantincontournables dans diverses activités humaines. À la suite d’Euler,beaucoup de mathématiciens se sont intéressés aux graphes ; citons enquelques-uns :

– Edouard Lucas pose le problème des demoiselles : des jeunes filles,en nombre pair, se promènent chaque jour deux par deux. On de-mande comment il faut disposer les promenades de sorte que cha-cune d’entre elles se retrouve une et une fois seulement en compa-gnie de chacune des autres.


x Éléments de théorie des graphes

Nous développons au chapitre 8 les outils qui permettent de ré-soudre ce type de problème.

– En 1856, William R. Hamilton étudie un problème apparemmentaussi simple, celui de trouver un chemin passant une fois et uneseule par chaque sommet d’un graphe. Cela donnera naissance auconcept de graphe hamiltonien (voir chapitre 2).

– Arthur Cayley, James J. Sylvester puis George Pólya déve-loppent la notion d’arbre (voir chapitre 2).

– En 1840, August F. Möbius propose le problème suivant : un roia cinq fils et souhaite qu’à sa mort son royaume soit divisé en cinqprovinces de telle sorte que chaque province ait une frontière com-mune avec chacune des autres.Cela revient à décider si le graphe K5 est planaire. Nous aborderonsla notion de graphe planaire au chapitre 5.

Cette théorie permet de représenter un ensemble complexe d’objets enexprimant les relations entre les éléments ; par exemple réseaux de com-munication, génétique, circuits électriques, mais également en mathéma-tiques : la classification des groupes simples finis fait appel aux graphespar l’intermédiaire des cartes et des dessins d’enfant (redécouverts en 1984par Alexandre Grothendieck dans Esquisse d’un programme). Il faudranéanmoins attendre le milieu du xxe siècle pour qu’une étude systématiquesoit entreprise. Aujourd’hui c’est une théorie foisonnante aux frontières dedomaines plus classiques tels que la topologie, l’algèbre, la géométrie, l’al-gorithmique et ses applications. Son langage et ses notations ne sont pasencore stabilisés et sont parfois liés au domaine dans lequel la théorie desgraphes est employée.

Nous avons essayé dans cet ouvrage d’unifier les définitions et les ré-sultats, et de les placer dans le cadre le plus général possible. Cependantil n’est pas facile d’avoir le même langage pour les graphes simples, lesmultigraphes, les graphes orientés (ou digraphes). . . Le contenu n’est passtandard (bien que beaucoup de chapitres traitent d’éléments classiques)au sens d’une introduction habituelle aux graphes. Nous avons insisté surl’aspect algébrique et topologique, mais également sur les derniers dévelop-pements de la théorie (notamment les aspects spectraux, voir chapitre 9).Afin de rendre le lecteur autonome, nous avons volontairement détaillé lespreuves et introduit des rappels tout au long de l’ouvrage. Certains cha-pitres et paragraphes de ce livre ne sont pas faciles et peuvent être omisen première lecture. Néanmoins le but affirmé de ce livre est d’emmenerle lecteur au seuil de la recherche.


Avant-propos xi

Dans le premier chapitre, nous introduisons les graphes et le langagede base. Certaines notions élémentaires sur la complexité algorithmiquesont également abordées ; les deux derniers paragraphes sont d’un niveauun peu plus élevé et peuvent être ignorés lors d’une première lecture.

Le deuxième chapitre a pour objet l’introduction de différentes classesde graphes (graphes bipartis, arbres, arborescences. . .). Les derniers para-graphes traitent des graphes eulériens et hamiltoniens.

Dans le chapitre trois, nous étudions les relations entre les graphes et lesstructures de données algorithmiques. De manière plus précise, nous mon-trons que la notion de graphe est fondamentale quand on veut représenterdes données informatiques. Des notions telles que les arbres binaires derecherche, les arbres de priorité, les tas. . . sont abordés. Ce chapitre est uncours classique d’algorithmique et de structures de données généralementétudié en première et deuxième années de licence d’informatique.

Ces trois chapitres n’utilisent aucun concept difficile et peuvent être luspar un étudiant ayant le niveau d’un baccalauréat scientifique : ils néces-sitent cependant quelques compléments sur des structures mathématiquesgénéralement abordées en début d’études supérieures, qui sont introduitsau cours du texte.

Le chapitre quatre, qui introduit la connexité et les flots, bien quen’utilisant aucune notion difficile, est un peu plus théorique. Néanmoins ilpeut être lu par une personne ayant un niveau licence première et deuxièmeannées en mathématiques ou informatique.

Le chapitre cinq traite de la notion de planarité et ne peut être abordéque par un lecteur ayant de bonnes notions sur la topologie du plan.Nous avons développé en annexe des éléments de cette topologie ; unepreuve explicite détaillée du théorème de Jordan, version polygonale, estégalement donnée.

Au chapitre six, les aspects algébriques (élémentaires) de la théorie desgraphes sont étudiés. Ce chapitre ne présente pas vraiment de difficultéspour un étudiant de licence de mathématiques ou informatique premièreou deuxième année.

Les chapitres sept et huit introduisent les colorations et les couplagesde graphes. Certains théorèmes sont assez difficiles et peuvent être négligéslors d’une première lecture.

Le chapitre neuf aborde la théorie spectrale des graphes (avatar plusrécent de la théorie des graphes) et demande des connaissances plus éla-borées en algèbre (niveau milieu de licence de mathématiques).


xii Éléments de théorie des graphes

Le dernier chapitre n’utilise pas d’outils très profonds mais les con-cepts manipulés et les résultats démontrés sont assez abstraits. Il est doncconseillé seulement en deuxième lecture.

On trouvera une courte liste de textes classiques sur les graphes à lafin de l’ouvrage. Par commodité nous avons mentionné en note de bas depage les quelques références utilisées dans l’exposé.

Caen, Saint-Étienne, juillet 2011, A. Bretto, A. Faisant, F. Hennecart


Sommaire

Préface de la deuxième édition v

À propos des auteurs vii

Avant-propos à la première édition ix

1 Concepts fondamentaux 11.1 Graphes non orientés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.1.1 Degré . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61.1.2 Chaîne et cycle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.1.3 Sous-graphes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

1.2 Décomposition connexe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131.3 Graphes orientés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141.4 Graphes simples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171.5 Opérations sur les graphes . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201.6 Représentations des graphes . . . . . . . . . . . . . . . . . 201.7 Algorithmes et théorie de la complexité . . . . . . . . . . . 22

1.7.1 Complexité en temps d’un algorithme . . . . . . . . 231.7.2 Classes de complexité . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

1.8 Définition d’un graphe à partir de la fonction d’incidence . 291.9 Isomorphismes de graphes. Groupes d’automorphismes . . 301.10 Compléments : quelques structures de base . . . . . . . . . 34

2 Quelques graphes remarquables 372.1 Graphes bipartis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 372.2 Arbres et arborescences . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

2.2.1 Arbres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 422.2.2 Arborescences . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

2.3 Digraphes sans circuit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 502.4 Graphes eulériens et graphes hamiltoniens . . . . . . . . . 53


xiv Éléments de théorie des graphes

2.4.1 Graphes eulériens . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 532.4.2 Graphes hamiltoniens . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

3 (Di)graphes et structures de données 673.1 Procédures récursives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

3.1.1 Complexité d’un algorithme récursif . . . . . . . . . 703.2 Arbres et arborescences : le retour . . . . . . . . . . . . . . 73

3.2.1 Représentation d’une arborescence sous formefils-frère . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

3.2.2 Arborescences binaires . . . . . . . . . . . . . . . . . 803.2.3 Arborescences binaires de recherche . . . . . . . . . 823.2.4 Arborescences de priorité, les tas . . . . . . . . . . . 903.2.5 Arborescences AVL . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 943.2.6 Propriétés des arborescences binaires . . . . . . . . . 100

3.3 Complexité en temps des algorithmes sur les arborescencesbinaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102

3.4 Graphes : le retour . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1043.4.1 Représentation par matrice d’adjacence . . . . . . . 1043.4.2 Représentation par tableau des listes de successeurs 1043.4.3 Remarques sur la complexité de ces représentations . 1053.4.4 Parcours d’un (di)graphe . . . . . . . . . . . . . . . 105

3.5 Compléments . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1103.5.1 Types de données simples . . . . . . . . . . . . . . . 1103.5.2 Fonctions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1123.5.3 Passage des paramètres dans une fonction . . . . . . 1133.5.4 Structures linéaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114

4 Connexité et flots dans les réseaux 1214.1 Sommet-connexité et arête-connexité . . . . . . . . . . . . 1214.2 Graphes 2-sommet-connexes . . . . . . . . . . . . . . . . . 1254.3 Graphes 2-arête-connexes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1334.4 Flots dans un réseau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134

4.4.1 Définitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1354.4.2 Le théorème de Ford et Fulkerson . . . . . . . . 139

4.5 Applications des flots dans un réseau . . . . . . . . . . . . 1464.6 Compléments : lois de Kirchhoff . . . . . . . . . . . . . . 151

5 Graphes planaires 1555.1 Dessins . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1555.2 Graphes planaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158


Sommaire xv

5.2.1 Rappels de topologie de Rn . . . . . . . . . . . . . . 1585.2.2 Lignes polygonales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1585.2.3 Graphes plongés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1705.2.4 Faces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1715.2.5 La formule d’Euler . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1745.2.6 Graphes planaires et blocs . . . . . . . . . . . . . . . 1795.2.7 Graphes planaires 2-connexes . . . . . . . . . . . . . 181

5.3 Graphes planaires maximaux et polyèdres . . . . . . . . . . 1815.3.1 Graphes planaires maximaux . . . . . . . . . . . . . 1815.3.2 Polyèdres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184

5.4 Comparaison des plongements . . . . . . . . . . . . . . . . 1865.5 Le théorème de Kuratowski et le théorème de Wagner . 1905.6 Graphe dual . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1995.7 Croisements, épaisseur et genre d’un graphe . . . . . . . . 203

5.7.1 Croisements et épaisseur . . . . . . . . . . . . . . . . 2035.7.2 Genre d’un graphe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205

5.8 Compléments de topologie et géométrie du plan . . . . . . 2115.8.1 Éléments de topologie . . . . . . . . . . . . . . . . . 2115.8.2 Preuve du théorème de Jordan polygonal . . . . . . 215

6 Graphes et algèbre linéaire 2236.1 Matrices et graphes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223

6.1.1 Le cas orienté . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2296.1.2 Le cas non orienté . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 230

6.2 Espaces vectoriels et graphes . . . . . . . . . . . . . . . . . 2326.2.1 Cas des graphes orientés . . . . . . . . . . . . . . . . 2326.2.2 Cas des graphes non orientés . . . . . . . . . . . . . 236

6.3 Circulation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2386.4 Graphes planaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2426.5 Compléments d’algèbre linéaire . . . . . . . . . . . . . . . . 245

6.5.1 Espaces vectoriels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2456.5.2 Matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2486.5.3 Produits scalaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2516.5.4 L’espace hermitien Cn . . . . . . . . . . . . . . . . . 252

7 Coloration 2577.1 Coloration des sommets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 258

7.1.1 Propriétés générales . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2587.1.2 Le théorème de Brooks . . . . . . . . . . . . . . . . 2637.1.3 Le théorème de Zykov . . . . . . . . . . . . . . . . 266


xvi Éléments de théorie des graphes

7.1.4 Graphes critiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2677.1.5 Graphes constructibles . . . . . . . . . . . . . . . . . 2697.1.6 Graphes planaires et cartes . . . . . . . . . . . . . . 271

7.2 Coloration des arêtes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2767.3 Morphismes de graphes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 283

7.3.1 Quotients de graphe . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2857.3.2 Morphismes et quotients de graphes simples . . . . . 2867.3.3 Morphismes et coloration . . . . . . . . . . . . . . . 287

7.4 Graphes parfaits . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2897.5 Coloration par listes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2927.6 Polynôme chromatique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 295

8 Couplage et factorisation 2998.1 Définitions et premières propriétés . . . . . . . . . . . . . . 2998.2 Couplages dans les graphes bipartis . . . . . . . . . . . . . 305

8.2.1 Le théorème de Hall . . . . . . . . . . . . . . . . . 3058.2.2 Réseau associé à un graphe biparti . . . . . . . . . . 3088.2.3 Remarques d’ordre algorithmique . . . . . . . . . . . 309

8.3 Couplages dans les graphes quelconques . . . . . . . . . . . 3098.4 Factorisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3178.5 Quelques applications des couplages . . . . . . . . . . . . . 3198.6 Généralisation de la notion de facteur . . . . . . . . . . . . 327

9 Graphes et théorie des groupes 3319.1 Groupes de permutations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3319.2 Groupes d’automorphismes d’un graphe et de son graphe

des arêtes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3339.2.1 Automorphismes, automorphismes d’arêtes . . . . . 3339.2.2 Étude de Ker αΓ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3379.2.3 Étude de Im αΓ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 337

9.3 Graphe de Cayley colorié . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3409.4 Le problème de König . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3439.5 Action de groupe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3489.6 Graphes transitifs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 352

10 Théorie spectrale et applications 35510.1 Spectre d’un graphe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 355

10.1.1 Polynôme caractéristique . . . . . . . . . . . . . . . 35510.1.2 Entrelacement des valeurs propres . . . . . . . . . . 35710.1.3 Spectres des graphes bipartis . . . . . . . . . . . . . 362


Sommaire xvii

10.1.4 Propriétés combinatoires du polynômecaractéristique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 365

10.1.5 Spectre, diamètre et coloration . . . . . . . . . . . . 36810.2 Laplacien d’un graphe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37110.3 Spectre de graphes réguliers . . . . . . . . . . . . . . . . . 379

10.3.1 Trou spectral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37910.3.2 Graphes expanseurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . 382

10.4 Graphes de Ramanujan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38510.4.1 Un exemple : le graphe de Petersen . . . . . . . . 38510.4.2 Majoration du diamètre . . . . . . . . . . . . . . . . 38810.4.3 Minorations de λ#(Γ) . . . . . . . . . . . . . . . . . 389

10.5 Graphes de Cayley non orientés . . . . . . . . . . . . . . 39510.5.1 Graphes circulants . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39510.5.2 Actions de groupes sur les graphes de Cayley . . . 39810.5.3 Le cas du graphe de Petersen . . . . . . . . . . . . 39910.5.4 Cycles hamiltoniens dans les graphes de Cayley . . 401

11 Graphes aléatoires 40511.1 Modèles de graphes aléatoires . . . . . . . . . . . . . . . . 40611.2 Propriétés statistiques des graphes . . . . . . . . . . . . . . 41111.3 Propriétés satisfaites asymptotiquement par presque tous

les graphes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41311.4 Propriétés structurelles principales des

graphes aléatoires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41511.5 Transition de phase . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 421

11.5.1 Valeurs critiques du paramètre de Bernoulli . . . 42111.5.2 Quelques exemples de fonctions seuil . . . . . . . . . 425

11.6 Résumé des étapes de l’évolution de G(n; p) . . . . . . . . 42611.7 Quelques remarques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42811.8 Quelques rappels de probabilité . . . . . . . . . . . . . . . 430

11.8.1 Espaces probabilisés et mesures de probabilité . . . 43011.8.2 Indépendance et probabilités conditionnelles . . . . . 43211.8.3 Variables aléatoires finies . . . . . . . . . . . . . . . 43311.8.4 Quelques exemples de lois de probabilités . . . . . . 43411.8.5 Inégalités classiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43511.8.6 Propriétés asymptotiques . . . . . . . . . . . . . . . 438

12 Graphes pondérés et applications 44312.1 Graphes pondérés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44312.2 Le laplacien en physique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 444


xviii Éléments de théorie des graphes

12.3 De la physique aux graphes : laplacien harmonique . . . . . 44512.3.1 Dérivée seconde discrète . . . . . . . . . . . . . . . . 44512.3.2 Laplacien d’un graphe pondéré . . . . . . . . . . . . 44612.3.3 Gradient d’une fonction et formules de Green . . . 44812.3.4 Laplacien orienté . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 450

12.4 Problème de Dirichlet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45012.5 Marches aléatoires dans les graphes . . . . . . . . . . . . . 453

12.5.1 Chaînes de Markov . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45312.5.2 Stationnarité et réversibilité . . . . . . . . . . . . . . 45812.5.3 Classes de communication . . . . . . . . . . . . . . . 46012.5.4 Classification des états . . . . . . . . . . . . . . . . . 46012.5.5 Périodicité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46512.5.6 Mémento des propriétés fondamentales . . . . . . . . 46712.5.7 Exemples de chaînes de Markov . . . . . . . . . . . 47112.5.8 Le modèle d’Ising en dimension 2 . . . . . . . . . . 474

12.6 Réseaux électriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47812.6.1 Définitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47812.6.2 Réseaux électriques et marches aléatoires . . . . . . 48012.6.3 Principe de Thomson et loi de Rayleigh . . . . . . 48112.6.4 Promenade aléatoire dans Z2 . . . . . . . . . . . . . 485

12.7 Inégalité de Cheeger . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 488

13 Autres perspectives 49513.1 Polynômes de Tutte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 495

13.1.1 Propriétés de base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49713.1.2 Polynôme de Tutte et polynôme chromatique . . . 50413.1.3 Polynôme de Tutte et arbres de recouvrement . . . 50513.1.4 Polynôme de Tutte et planarité . . . . . . . . . . . 50613.1.5 Autres applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 507

13.2 Théorie de Ramsey . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50813.3 Matroïdes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51513.4 Hypergraphes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 520


Sommaire xix

Bibliographie 525

Index 527

Symboles utilisés 537


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Cet ouvrage est une introduction à la théorie des graphes. La plupart desnotions élémentaires et classiques y sont introduites selon une approcheoriginale, précise et rigoureuse. Ainsi les résultats énoncés font l’objet, dansleur quasi-totalité, de démonstrations détaillées.

L’aspect topologique et l’aspect algébrique, derniers avatars de cette théo-rie, ont été développés de manière approfondie. La variété des thèmesabordés a pour objectif de conduire le lecteur à appréhender les graphesdans leur plus grande diversité afin d’en percevoir la puissance en tantqu’outil mathématique. L’accent a également été mis sur l’algorithmique desgraphes, qui se prêtent particulièrement bien aux structures de données età la programmation.

Cette deuxième édition propose une présentation plus complète des graphesplanaires et de la théorie spectrale. On y trouve aussi un nouveau chapitresur les graphes aléatoires et quelques éléments d’analyse sur graphes.

Ce livre peut être d’usage courant pour les étudiants en informatique et enmathématiques du niveau licence mais il s’adresse également aux étudiantsde master ainsi qu’aux élèves ingénieurs. Il pourra aussi être utile à desétudiants doctorants et à des chercheurs confirmés voulant en savoir plussur ce domaine.

Alain Bretto est professeur d’informatique à l’Université de Caen Normandie.

Alain Faisant est maître de conférences émérite de mathématiques à l’Université


François Hennecart est professeur de mathématiques à l’Université




François Hennecart

Éléments de théoriedes graphes2e édition revue et augmentée



La Collection IRIS est composée d’ouvrages abordant les domaines de l’informatique, des réseauxet des télécommunications. Elle est destinée aux étudiants de l’enseignement supérieur (1er, 2e et3e cycles universitaires, classes préparatoires, écoles d’ingénieurs) ainsi qu’aux professionnels.

Chaque livre de la collection fait le point sur un aspect particulier. Les thèmes sont exposés pardes auteurs ayant dispensé un enseignement sur le sujet pendant plusieurs années, ou, dans le casde concepts émergents, par des chercheurs et des ingénieurs spécialistes du domaine.

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4850-Bretto indd Toutes les pages 27/08/2018 14:42

Document : 149038_CV_925576.pdf;Page : 1;Date : 29.Aug 2018 17:14:22

Élémentsdethéorie desgraphes...collection iris dirigée par nicolas puech alain bretto alain...

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