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Límites y Continuidad2◦
Bachillerato Ciencias Sociales
Departamento de Matemáticas
I.E.S. Virgen del Puerto - PLASENCIA
Curso 2015/16
J.P. Expósito (I.E.S. Virgen del Puerto) Límites Curso 2015/16 1 / 38
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Índice
1 IntroducciónIntervalos y entornosLímite de una funciónLímites lateralesLímite infinitoLímites en el infinito¿Y cómo calculamos límites?
2 Operaciones con límitesOperaciones
3 Cálculo de límitesReglas básicas de cálculoIndeterminaciones k/0Indeterminaciones ∞/∞
Indeterminaciones 0/0Indeterminaciones 0 · ∞Indeterminaciones ∞−∞Indeterminaciones 1∞
Asíntotas y ramas infinitas4 Continuidad
DefiniciónDiscontinuidad. Tipos
5 Problemas Propuestos6 Personajes en la Historia
Cauchy y Dirichlet7 Bibliografía8 Créditos
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Introducción
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1| Introdu ión
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Introducción Intervalos y entornos
Para dar la definición precisa de límite, necesitamos los conceptos de intervalo y entorno,conceptos que ya vimos en primero de bachillerato.
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Introducción Intervalos y entornos
Para dar la definición precisa de límite, necesitamos los conceptos de intervalo y entorno,conceptos que ya vimos en primero de bachillerato.
Intervalo
Sólo recordamos las definiciones de intervalo abierto e intervalo cerrado. Un intervalo es unconjunto de números reales de la recta real. Vienen determinados por sus extremos. Según seincluyan o no los puntos extremos en estos conjuntos, los intervalos pueden ser abiertos ycerrados. Así tenemos:
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Introducción Intervalos y entornos
Para dar la definición precisa de límite, necesitamos los conceptos de intervalo y entorno,conceptos que ya vimos en primero de bachillerato.
Intervalo
Sólo recordamos las definiciones de intervalo abierto e intervalo cerrado. Un intervalo es unconjunto de números reales de la recta real. Vienen determinados por sus extremos. Según seincluyan o no los puntos extremos en estos conjuntos, los intervalos pueden ser abiertos ycerrados. Así tenemos:
Intervalo abierto, (a, b): {x |a < x < b}, no se incluyen los extremos
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Introducción Intervalos y entornos
Para dar la definición precisa de límite, necesitamos los conceptos de intervalo y entorno,conceptos que ya vimos en primero de bachillerato.
Intervalo
Sólo recordamos las definiciones de intervalo abierto e intervalo cerrado. Un intervalo es unconjunto de números reales de la recta real. Vienen determinados por sus extremos. Según seincluyan o no los puntos extremos en estos conjuntos, los intervalos pueden ser abiertos ycerrados. Así tenemos:
Intervalo abierto, (a, b): {x |a < x < b}, no se incluyen los extremos
Intervalo cerrado, [a, b]: {x |a ≤ x ≤ b}, se incluyen los extremos.
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Introducción Intervalos y entornos
Para dar la definición precisa de límite, necesitamos los conceptos de intervalo y entorno,conceptos que ya vimos en primero de bachillerato.
Intervalo
Sólo recordamos las definiciones de intervalo abierto e intervalo cerrado. Un intervalo es unconjunto de números reales de la recta real. Vienen determinados por sus extremos. Según seincluyan o no los puntos extremos en estos conjuntos, los intervalos pueden ser abiertos ycerrados. Así tenemos:
Intervalo abierto, (a, b): {x |a < x < b}, no se incluyen los extremos
Intervalo cerrado, [a, b]: {x |a ≤ x ≤ b}, se incluyen los extremos.
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Introducción Intervalos y entornos
Para dar la definición precisa de límite, necesitamos los conceptos de intervalo y entorno,conceptos que ya vimos en primero de bachillerato.
Intervalo
Sólo recordamos las definiciones de intervalo abierto e intervalo cerrado. Un intervalo es unconjunto de números reales de la recta real. Vienen determinados por sus extremos. Según seincluyan o no los puntos extremos en estos conjuntos, los intervalos pueden ser abiertos ycerrados. Así tenemos:
Intervalo abierto, (a, b): {x |a < x < b}, no se incluyen los extremos
Intervalo cerrado, [a, b]: {x |a ≤ x ≤ b}, se incluyen los extremos.
Entorno
Un entorno es un intervalo abierto. Hay varios tipos:
Entorno simétrico, E(c, ε), de centro c y radio ε, es el intervalo abierto (c − ε, c + ε).Ejemplo: E(3, 0.5) = (3 − 0.5, 3 + 0.5) = (2.5, 3.5)
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Introducción Intervalos y entornos
Para dar la definición precisa de límite, necesitamos los conceptos de intervalo y entorno,conceptos que ya vimos en primero de bachillerato.
Intervalo
Sólo recordamos las definiciones de intervalo abierto e intervalo cerrado. Un intervalo es unconjunto de números reales de la recta real. Vienen determinados por sus extremos. Según seincluyan o no los puntos extremos en estos conjuntos, los intervalos pueden ser abiertos ycerrados. Así tenemos:
Intervalo abierto, (a, b): {x |a < x < b}, no se incluyen los extremos
Intervalo cerrado, [a, b]: {x |a ≤ x ≤ b}, se incluyen los extremos.
Entorno
Un entorno es un intervalo abierto. Hay varios tipos:
Entorno simétrico, E(c, ε), de centro c y radio ε, es el intervalo abierto (c − ε, c + ε).Ejemplo: E(3, 0.5) = (3 − 0.5, 3 + 0.5) = (2.5, 3.5)
Entorno reducido,E∗(c, ε), es el entorno simétrico que no incluye el centro, es decir,E(c, ε)− {c}.Ejemplo: E∗(3, 0.5) = (3 − 0.5, 3 + 0.5)− {3} = (2.5, 3.5) − {3}
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Introducción Intervalos y entornos
Para dar la definición precisa de límite, necesitamos los conceptos de intervalo y entorno,conceptos que ya vimos en primero de bachillerato.
Intervalo
Sólo recordamos las definiciones de intervalo abierto e intervalo cerrado. Un intervalo es unconjunto de números reales de la recta real. Vienen determinados por sus extremos. Según seincluyan o no los puntos extremos en estos conjuntos, los intervalos pueden ser abiertos ycerrados. Así tenemos:
Intervalo abierto, (a, b): {x |a < x < b}, no se incluyen los extremos
Intervalo cerrado, [a, b]: {x |a ≤ x ≤ b}, se incluyen los extremos.
Entorno
Un entorno es un intervalo abierto. Hay varios tipos:
Entorno simétrico, E(c, ε), de centro c y radio ε, es el intervalo abierto (c − ε, c + ε).Ejemplo: E(3, 0.5) = (3 − 0.5, 3 + 0.5) = (2.5, 3.5)
Entorno reducido,E∗(c, ε), es el entorno simétrico que no incluye el centro, es decir,E(c, ε)− {c}.Ejemplo: E∗(3, 0.5) = (3 − 0.5, 3 + 0.5)− {3} = (2.5, 3.5) − {3}Entorno lateral a la derecha,E+(c, ε), es el intervalo (c − ε, c).Ejemplo: E+(3, 0.5) = (3 − 0.5, 3) = (2.5, 3)
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Introducción Intervalos y entornos
Para dar la definición precisa de límite, necesitamos los conceptos de intervalo y entorno,conceptos que ya vimos en primero de bachillerato.
Intervalo
Sólo recordamos las definiciones de intervalo abierto e intervalo cerrado. Un intervalo es unconjunto de números reales de la recta real. Vienen determinados por sus extremos. Según seincluyan o no los puntos extremos en estos conjuntos, los intervalos pueden ser abiertos ycerrados. Así tenemos:
Intervalo abierto, (a, b): {x |a < x < b}, no se incluyen los extremos
Intervalo cerrado, [a, b]: {x |a ≤ x ≤ b}, se incluyen los extremos.
Entorno
Un entorno es un intervalo abierto. Hay varios tipos:
Entorno simétrico, E(c, ε), de centro c y radio ε, es el intervalo abierto (c − ε, c + ε).Ejemplo: E(3, 0.5) = (3 − 0.5, 3 + 0.5) = (2.5, 3.5)
Entorno reducido,E∗(c, ε), es el entorno simétrico que no incluye el centro, es decir,E(c, ε)− {c}.Ejemplo: E∗(3, 0.5) = (3 − 0.5, 3 + 0.5)− {3} = (2.5, 3.5) − {3}Entorno lateral a la derecha,E+(c, ε), es el intervalo (c − ε, c).Ejemplo: E+(3, 0.5) = (3 − 0.5, 3) = (2.5, 3)
Entorno lateral a la izquierda,E−(c, ε), es el intervalo (c, c + ε).Ejemplo: E−(3, 0.5) = (3, 3 + 0.5) = (3, 3.5)
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Introducción Límite de una función
Límite de una función
Una función f (x) tiene por límite l cuando x tiende a c y escribimos
limx→c
f (x) = l
si para todo entorno E(l , ε) existe un entorno E(c, δ), de modo que para todo x que pertenezcaal entorno reducido E∗(c, δ) se cumpla que f (x) pertenece al entorno E(l , ε).Las funciones que cumplen esta definición se llaman convergentes en c.
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Introducción Límite de una función
Límite de una función
Una función f (x) tiene por límite l cuando x tiende a c y escribimos
limx→c
f (x) = l
si para todo entorno E(l , ε) existe un entorno E(c, δ), de modo que para todo x que pertenezcaal entorno reducido E∗(c, δ) se cumpla que f (x) pertenece al entorno E(l , ε).Las funciones que cumplen esta definición se llaman convergentes en c.
Nota: Para que una función tenga límite enun punto no es necesario que la funciónesté definida en ese punto.
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Introducción Límites laterales
Límites laterales
Una función tiene por límite l cuando x tiende a c por la izquierda y escribimos
limx→c−
f (x) = l
si para todo entorno E(l , ε) existe un entorno lateral a la izquierda E(c, δ) = (c − δ, c), demodo que para todo x que pertenezca a este entorno lateral se cumpla que f (x) pertenece alentorno E(l , ε).
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Introducción Límites laterales
Límites laterales
Una función tiene por límite l cuando x tiende a c por la izquierda y escribimos
limx→c−
f (x) = l
si para todo entorno E(l , ε) existe un entorno lateral a la izquierda E(c, δ) = (c − δ, c), demodo que para todo x que pertenezca a este entorno lateral se cumpla que f (x) pertenece alentorno E(l , ε).
Una función tiene por límite l cuando x tiende a c por la derecha y escribimos
limx→c+
f (x) = l
si para todo entorno E(l , ε) existe un entorno lateral a la derecha E(c, δ) = (c, c + δ), demodo que para todo x que pertenezca a este entorno lateral se cumpla que f (x) pertenece alentorno E(l , ε).
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Introducción Límites laterales
Límites laterales
Una función tiene por límite l cuando x tiende a c por la izquierda y escribimos
limx→c−
f (x) = l
si para todo entorno E(l , ε) existe un entorno lateral a la izquierda E(c, δ) = (c − δ, c), demodo que para todo x que pertenezca a este entorno lateral se cumpla que f (x) pertenece alentorno E(l , ε).
Una función tiene por límite l cuando x tiende a c por la derecha y escribimos
limx→c+
f (x) = l
si para todo entorno E(l , ε) existe un entorno lateral a la derecha E(c, δ) = (c, c + δ), demodo que para todo x que pertenezca a este entorno lateral se cumpla que f (x) pertenece alentorno E(l , ε).
Si se cumple que limx→c−
f (x) = limx→c+
f (x) = l , entonces
limx→c
f (x) = l
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Introducción Límite infinito
Límite infinito
Una función tiene por límite +∞ o −∞ cuando x tiende a c si para todo número real M existeun entorno reducido E∗(x , δ) de modo que para todo x que pertenece a ese entorno se verificaque |f (x)| en mayor que |M|, y escribimos
limx→c
f (x) = ±∞
olim
x→c−f (x) = ±∞ y lim
x→c+f (x) = ±∞
Estas funciones se llaman divergentes. En las figuras de abajo "vemos" la idea de límite infinito.
Figure: f (x) =1
|x − c| Figure: f (x) =1
x − c
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Introducción Límites en el infinito
Límites finitos en el infinito
Una función tiene por límite l ∈ IR cuando x tiende a +∞ si para todo ε positivo existe un numeroreal M de modo que para todo x > M se verifica que f (x) está en el entorno E(l , ε), y escribimos
limx→∞
f (x) = l
En la siguiente gráfica vemos la situación
Vemos que cuando x → ∞ entoncesf (x) → l , y esto lo expresamos como
limx→+∞
f (x) = l
De igual manera
limx→−∞
f (x) = l
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Introducción ¿Y cómo calculamos límites?
¿Y cómo calculamos límites?
Ya vimos en el curso anterior que para calcular límites debemos sustituir en la función el valorhacia el que tiende x y operar. Veamos algunos ejemplos:
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Introducción ¿Y cómo calculamos límites?
¿Y cómo calculamos límites?
Ya vimos en el curso anterior que para calcular límites debemos sustituir en la función el valorhacia el que tiende x y operar. Veamos algunos ejemplos:
limx→1
(3x − 1) = limx→1
(3 · 1 − 1) = 2
limx→2
1
x − 1= lim
x→2
1
2 − 1= 1
J.P. Expósito (I.E.S. Virgen del Puerto) Límites Curso 2015/16 9 / 38
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Introducción ¿Y cómo calculamos límites?
¿Y cómo calculamos límites?
Ya vimos en el curso anterior que para calcular límites debemos sustituir en la función el valorhacia el que tiende x y operar. Veamos algunos ejemplos:
limx→1
(3x − 1) = limx→1
(3 · 1 − 1) = 2
limx→2
1
x − 1= lim
x→2
1
2 − 1= 1
limx→−1
2x = limx→−1
2−1 = 2−1 =1
2
A veces no es posible calcular directamente estos límites. Por ejemplo, en el segundo límite quehemos calculado, si hacemos tender x hacia 1, tenemos
limx→1
1
x − 1= lim
x→1
1
1 − 1=
1
0=???
A estos casos los denominamos indeterminaciones, y los veremos más adelante.
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Introducción ¿Y cómo calculamos límites?
¿Y cómo calculamos límites?
Ya vimos en el curso anterior que para calcular límites debemos sustituir en la función el valorhacia el que tiende x y operar. Veamos algunos ejemplos:
limx→1
(3x − 1) = limx→1
(3 · 1 − 1) = 2
limx→2
1
x − 1= lim
x→2
1
2 − 1= 1
limx→−1
2x = limx→−1
2−1 = 2−1 =1
2
A veces no es posible calcular directamente estos límites. Por ejemplo, en el segundo límite quehemos calculado, si hacemos tender x hacia 1, tenemos
limx→1
1
x − 1= lim
x→1
1
1 − 1=
1
0=???
A estos casos los denominamos indeterminaciones, y los veremos más adelante.
Hay otras expresiones "raras", que no son indeterminaciones y que tienen un valor definido,siendo conveniente recordarlas. Aquí tenemos algunas
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Introducción ¿Y cómo calculamos límites?
¿Y cómo calculamos límites?
Ya vimos en el curso anterior que para calcular límites debemos sustituir en la función el valorhacia el que tiende x y operar. Veamos algunos ejemplos:
limx→1
(3x − 1) = limx→1
(3 · 1 − 1) = 2
limx→2
1
x − 1= lim
x→2
1
2 − 1= 1
limx→−1
2x = limx→−1
2−1 = 2−1 =1
2
A veces no es posible calcular directamente estos límites. Por ejemplo, en el segundo límite quehemos calculado, si hacemos tender x hacia 1, tenemos
limx→1
1
x − 1= lim
x→1
1
1 − 1=
1
0=???
A estos casos los denominamos indeterminaciones, y los veremos más adelante.
Hay otras expresiones "raras", que no son indeterminaciones y que tienen un valor definido,siendo conveniente recordarlas. Aquí tenemos algunas
k
±∞ = 0, k ∈ IR±∞k
= ±∞, k ∈ IR0
k= 0, k 6= 0
k+∞ = +∞, k > 1 k+∞ = 0, 0 < k < 1
J.P. Expósito (I.E.S. Virgen del Puerto) Límites Curso 2015/16 9 / 38
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Operaciones con límites
Ir a Índice
2| Opera iones
on límites
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Operaciones con límites Operaciones
Operaciones con límites
Sean f (x) y g(x) dos funciones convergentes en x = c; es decir
limx→c
f (x) = l y limx→c
g(x) = m
Entonces se cumplen las siguientes propiedades:
Límite de la suma o diferencia de funciones
limx→c
[f (x)± g(x)] = limx→c
f (x)± limx→c
g(x) = l ±m
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Operaciones con límites Operaciones
Operaciones con límites
Sean f (x) y g(x) dos funciones convergentes en x = c; es decir
limx→c
f (x) = l y limx→c
g(x) = m
Entonces se cumplen las siguientes propiedades:
Límite de la suma o diferencia de funciones
limx→c
[f (x)± g(x)] = limx→c
f (x)± limx→c
g(x) = l ±m
Límite del producto de funciones
limx→c
[f (x) · g(x)] =[
limx→c
f (x)
]
·[
limx→c
g(x)
]
= l ·m
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Operaciones con límites Operaciones
Operaciones con límites
Sean f (x) y g(x) dos funciones convergentes en x = c; es decir
limx→c
f (x) = l y limx→c
g(x) = m
Entonces se cumplen las siguientes propiedades:
Límite de la suma o diferencia de funciones
limx→c
[f (x)± g(x)] = limx→c
f (x)± limx→c
g(x) = l ±m
Límite del producto de funciones
limx→c
[f (x) · g(x)] =[
limx→c
f (x)
]
·[
limx→c
g(x)
]
= l ·m
Límite del cociente de funciones
limx→c
[
f (x)
g(x)
]
=
limx→c
f (x)
limx→c
g(x)=
l
m, m 6= 0
J.P. Expósito (I.E.S. Virgen del Puerto) Límites Curso 2015/16 11 / 38
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Operaciones con límites Operaciones
Operaciones con límites
Sean f (x) y g(x) dos funciones convergentes en x = c; es decir
limx→c
f (x) = l y limx→c
g(x) = m
Entonces se cumplen las siguientes propiedades:
Límite de la suma o diferencia de funciones
limx→c
[f (x)± g(x)] = limx→c
f (x)± limx→c
g(x) = l ±m
Límite del producto de funciones
limx→c
[f (x) · g(x)] =[
limx→c
f (x)
]
·[
limx→c
g(x)
]
= l ·m
Límite del cociente de funciones
limx→c
[
f (x)
g(x)
]
=
limx→c
f (x)
limx→c
g(x)=
l
m, m 6= 0
Límite de la potencia de funciones
limx→c
[f (x)]g(x) =
[
limx→c
f (x)
] limx→c
g(x)= lm, l > 0
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Cálculo de límites
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3| Cál ulo de
límites
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Cálculo de límites Reglas básicas de cálculo
Reglas básicas de cálculo
Para el cálculo de límites tendremos en cuenta las siguientes reglas:
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Cálculo de límites Reglas básicas de cálculo
Reglas básicas de cálculo
Para el cálculo de límites tendremos en cuenta las siguientes reglas:
Regla I: Para calcular límites debemos sustituir en la función el valor hacia el que tiende x yoperar. Si no sale al sustituir ninguna indeterminación (que las vemos más abajo), elproblema está resuelto. En caso contrario debemos "deshacer" la indeterminación.
J.P. Expósito (I.E.S. Virgen del Puerto) Límites Curso 2015/16 13 / 38
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Cálculo de límites Reglas básicas de cálculo
Reglas básicas de cálculo
Para el cálculo de límites tendremos en cuenta las siguientes reglas:
Regla I: Para calcular límites debemos sustituir en la función el valor hacia el que tiende x yoperar. Si no sale al sustituir ninguna indeterminación (que las vemos más abajo), elproblema está resuelto. En caso contrario debemos "deshacer" la indeterminación.
Regla II: Las funciones polinómicas, cuando x tiende a +∞ o −∞, se comportan como sutérmino de mayor grado; es decir:
limx→±∞
(
anxn · · ·+ a2x
2 + a1x + a0
)
= limx→±∞
(anxn)
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Cálculo de límites Reglas básicas de cálculo
Reglas básicas de cálculo
Para el cálculo de límites tendremos en cuenta las siguientes reglas:
Regla I: Para calcular límites debemos sustituir en la función el valor hacia el que tiende x yoperar. Si no sale al sustituir ninguna indeterminación (que las vemos más abajo), elproblema está resuelto. En caso contrario debemos "deshacer" la indeterminación.
Regla II: Las funciones polinómicas, cuando x tiende a +∞ o −∞, se comportan como sutérmino de mayor grado; es decir:
limx→±∞
(
anxn · · ·+ a2x
2 + a1x + a0
)
= limx→±∞
(anxn)
Regla III: Si aparece alguna indeterminación, debemos "deshacerlas". Lasindeterminaciones son:
k
0
∞∞
0
00 · ∞
∞−∞ 1∞ 00 ∞0
J.P. Expósito (I.E.S. Virgen del Puerto) Límites Curso 2015/16 13 / 38
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Cálculo de límites Reglas básicas de cálculo
Reglas básicas de cálculo
Para el cálculo de límites tendremos en cuenta las siguientes reglas:
Regla I: Para calcular límites debemos sustituir en la función el valor hacia el que tiende x yoperar. Si no sale al sustituir ninguna indeterminación (que las vemos más abajo), elproblema está resuelto. En caso contrario debemos "deshacer" la indeterminación.
Regla II: Las funciones polinómicas, cuando x tiende a +∞ o −∞, se comportan como sutérmino de mayor grado; es decir:
limx→±∞
(
anxn · · ·+ a2x
2 + a1x + a0
)
= limx→±∞
(anxn)
Regla III: Si aparece alguna indeterminación, debemos "deshacerlas". Lasindeterminaciones son:
k
0
∞∞
0
00 · ∞
∞−∞ 1∞ 00 ∞0
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Cálculo de límites Reglas básicas de cálculo
Reglas básicas de cálculo
Para el cálculo de límites tendremos en cuenta las siguientes reglas:
Regla I: Para calcular límites debemos sustituir en la función el valor hacia el que tiende x yoperar. Si no sale al sustituir ninguna indeterminación (que las vemos más abajo), elproblema está resuelto. En caso contrario debemos "deshacer" la indeterminación.
Regla II: Las funciones polinómicas, cuando x tiende a +∞ o −∞, se comportan como sutérmino de mayor grado; es decir:
limx→±∞
(
anxn · · ·+ a2x
2 + a1x + a0
)
= limx→±∞
(anxn)
Regla III: Si aparece alguna indeterminación, debemos "deshacerlas". Lasindeterminaciones son:
k
0
∞∞
0
00 · ∞
∞−∞ 1∞ 00 ∞0
A continuación se explica como "deshacer" cada una de las indeterminaciones.
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Cálculo de límites Indeterminaciones k/0
Indeterminaciones del tipok
0Aparecen al calcular límites de cocientes de funciones. Estas indeterminaciones tienen tres tiposde soluciones: +∞, −∞ y ∄. Cuando aparezca, se deben estudiar los límites laterales. Veamosun ejemplo de cada tipo de solución:
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Cálculo de límites Indeterminaciones k/0
Indeterminaciones del tipok
0Aparecen al calcular límites de cocientes de funciones. Estas indeterminaciones tienen tres tiposde soluciones: +∞, −∞ y ∄. Cuando aparezca, se deben estudiar los límites laterales. Veamosun ejemplo de cada tipo de solución:
limx→1
3x
|x2 − 1|=
3
0=
limx→1−
3x
|x2 − 1| = +∞
limx→1+
3x
|x2 − 1|= +∞
=⇒ limx→1
3x
|x2 − 1|= +∞
J.P. Expósito (I.E.S. Virgen del Puerto) Límites Curso 2015/16 14 / 38
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Cálculo de límites Indeterminaciones k/0
Indeterminaciones del tipok
0Aparecen al calcular límites de cocientes de funciones. Estas indeterminaciones tienen tres tiposde soluciones: +∞, −∞ y ∄. Cuando aparezca, se deben estudiar los límites laterales. Veamosun ejemplo de cada tipo de solución:
limx→1
3x
|x2 − 1|=
3
0=
limx→1−
3x
|x2 − 1| = +∞
limx→1+
3x
|x2 − 1|= +∞
=⇒ limx→1
3x
|x2 − 1|= +∞
limx→2
3x
x − 2=
6
0=
limx→2−
3x
x − 2= −∞
limx→2+
3x
x − 2= +∞
=⇒ No existe
J.P. Expósito (I.E.S. Virgen del Puerto) Límites Curso 2015/16 14 / 38
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Cálculo de límites Indeterminaciones k/0
Indeterminaciones del tipok
0Aparecen al calcular límites de cocientes de funciones. Estas indeterminaciones tienen tres tiposde soluciones: +∞, −∞ y ∄. Cuando aparezca, se deben estudiar los límites laterales. Veamosun ejemplo de cada tipo de solución:
limx→1
3x
|x2 − 1|=
3
0=
limx→1−
3x
|x2 − 1| = +∞
limx→1+
3x
|x2 − 1|= +∞
=⇒ limx→1
3x
|x2 − 1|= +∞
limx→2
3x
x − 2=
6
0=
limx→2−
3x
x − 2= −∞
limx→2+
3x
x − 2= +∞
=⇒ No existe
limx→−1
3x
|x2 − 1|=
−3
0=
limx→−1−
3x
|x2 − 1|= −∞
limx→−1+
3x
|x2 − 1|= −∞
=⇒ limx→−1
3x
|x2 − 1|= −∞
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Cálculo de límites Indeterminaciones ∞/∞
Indeterminaciones del tipo∞∞
Aparecen al calcular límites de cocientes de funciones polinómicas. Se resuelven aplicando laRegla II. Así, tenemos:
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Cálculo de límites Indeterminaciones ∞/∞
Indeterminaciones del tipo∞∞
Aparecen al calcular límites de cocientes de funciones polinómicas. Se resuelven aplicando laRegla II. Así, tenemos:
limx→±∞
anxn + · · ·+ a2x
2 + a1x + a0
bmxm + · · ·+ b2x2 + b1x + b0
= limx→±∞
anxn
bmxm= lim
x→±∞
(
an
bn
)
xn−m
J.P. Expósito (I.E.S. Virgen del Puerto) Límites Curso 2015/16 15 / 38
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Cálculo de límites Indeterminaciones ∞/∞
Indeterminaciones del tipo∞∞
Aparecen al calcular límites de cocientes de funciones polinómicas. Se resuelven aplicando laRegla II. Así, tenemos:
limx→±∞
anxn + · · ·+ a2x
2 + a1x + a0
bmxm + · · ·+ b2x2 + b1x + b0
= limx→±∞
anxn
bmxm= lim
x→±∞
(
an
bn
)
xn−m
Veamos unos ejemplos:
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Cálculo de límites Indeterminaciones ∞/∞
Indeterminaciones del tipo∞∞
Aparecen al calcular límites de cocientes de funciones polinómicas. Se resuelven aplicando laRegla II. Así, tenemos:
limx→±∞
anxn + · · ·+ a2x
2 + a1x + a0
bmxm + · · ·+ b2x2 + b1x + b0
= limx→±∞
anxn
bmxm= lim
x→±∞
(
an
bn
)
xn−m
Veamos unos ejemplos:
limx→−∞
3x5 − 7x2 + 2
−x2 + 4x + 1=
∞∞ = lim
x→−∞
3x5
−x2= lim
x→−∞
(
3
−1
)
x3 = +∞
J.P. Expósito (I.E.S. Virgen del Puerto) Límites Curso 2015/16 15 / 38
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Cálculo de límites Indeterminaciones ∞/∞
Indeterminaciones del tipo∞∞
Aparecen al calcular límites de cocientes de funciones polinómicas. Se resuelven aplicando laRegla II. Así, tenemos:
limx→±∞
anxn + · · ·+ a2x
2 + a1x + a0
bmxm + · · ·+ b2x2 + b1x + b0
= limx→±∞
anxn
bmxm= lim
x→±∞
(
an
bn
)
xn−m
Veamos unos ejemplos:
limx→−∞
3x5 − 7x2 + 2
−x2 + 4x + 1=
∞∞ = lim
x→−∞
3x5
−x2= lim
x→−∞
(
3
−1
)
x3 = +∞
limx→−∞
x3 − 7x2 + 2
−x4 + 4x + 1=
∞∞ = lim
x→−∞
x3
−x4= lim
x→−∞
(
1
−1
)
x−1 = 0
J.P. Expósito (I.E.S. Virgen del Puerto) Límites Curso 2015/16 15 / 38
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Cálculo de límites Indeterminaciones ∞/∞
Indeterminaciones del tipo∞∞
Aparecen al calcular límites de cocientes de funciones polinómicas. Se resuelven aplicando laRegla II. Así, tenemos:
limx→±∞
anxn + · · ·+ a2x
2 + a1x + a0
bmxm + · · ·+ b2x2 + b1x + b0
= limx→±∞
anxn
bmxm= lim
x→±∞
(
an
bn
)
xn−m
Veamos unos ejemplos:
limx→−∞
3x5 − 7x2 + 2
−x2 + 4x + 1=
∞∞ = lim
x→−∞
3x5
−x2= lim
x→−∞
(
3
−1
)
x3 = +∞
limx→−∞
x3 − 7x2 + 2
−x4 + 4x + 1=
∞∞ = lim
x→−∞
x3
−x4= lim
x→−∞
(
1
−1
)
x−1 = 0
limx→−∞
4x5 − x2 + 2
8x5 + 4x3 + x=
∞∞
= limx→−∞
4x5
8x5= lim
x→−∞
(
4
8
)
x0 =1
2
J.P. Expósito (I.E.S. Virgen del Puerto) Límites Curso 2015/16 15 / 38
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Cálculo de límites Indeterminaciones ∞/∞
Indeterminaciones del tipo∞∞
Aparecen al calcular límites de cocientes de funciones polinómicas. Se resuelven aplicando laRegla II. Así, tenemos:
limx→±∞
anxn + · · ·+ a2x
2 + a1x + a0
bmxm + · · ·+ b2x2 + b1x + b0
= limx→±∞
anxn
bmxm= lim
x→±∞
(
an
bn
)
xn−m
Veamos unos ejemplos:
limx→−∞
3x5 − 7x2 + 2
−x2 + 4x + 1=
∞∞ = lim
x→−∞
3x5
−x2= lim
x→−∞
(
3
−1
)
x3 = +∞
limx→−∞
x3 − 7x2 + 2
−x4 + 4x + 1=
∞∞ = lim
x→−∞
x3
−x4= lim
x→−∞
(
1
−1
)
x−1 = 0
limx→−∞
4x5 − x2 + 2
8x5 + 4x3 + x=
∞∞
= limx→−∞
4x5
8x5= lim
x→−∞
(
4
8
)
x0 =1
2
Es fácil darse cuenta que cuando tenemos un cociente de funciones polinómicas,f (x)
g(x), se
cumple:
grado f (x) > grado g(x) =⇒ limx→−∞
f (x)
g(x)= ±∞
J.P. Expósito (I.E.S. Virgen del Puerto) Límites Curso 2015/16 15 / 38
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Cálculo de límites Indeterminaciones ∞/∞
Indeterminaciones del tipo∞∞
Aparecen al calcular límites de cocientes de funciones polinómicas. Se resuelven aplicando laRegla II. Así, tenemos:
limx→±∞
anxn + · · ·+ a2x
2 + a1x + a0
bmxm + · · ·+ b2x2 + b1x + b0
= limx→±∞
anxn
bmxm= lim
x→±∞
(
an
bn
)
xn−m
Veamos unos ejemplos:
limx→−∞
3x5 − 7x2 + 2
−x2 + 4x + 1=
∞∞ = lim
x→−∞
3x5
−x2= lim
x→−∞
(
3
−1
)
x3 = +∞
limx→−∞
x3 − 7x2 + 2
−x4 + 4x + 1=
∞∞ = lim
x→−∞
x3
−x4= lim
x→−∞
(
1
−1
)
x−1 = 0
limx→−∞
4x5 − x2 + 2
8x5 + 4x3 + x=
∞∞
= limx→−∞
4x5
8x5= lim
x→−∞
(
4
8
)
x0 =1
2
Es fácil darse cuenta que cuando tenemos un cociente de funciones polinómicas,f (x)
g(x), se
cumple:
grado f (x) > grado g(x) =⇒ limx→−∞
f (x)
g(x)= ±∞
grado f (x) < grado g(x) =⇒ limx→−∞
f (x)
g(x)= 0
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Cálculo de límites Indeterminaciones ∞/∞
Indeterminaciones del tipo∞∞
Aparecen al calcular límites de cocientes de funciones polinómicas. Se resuelven aplicando laRegla II. Así, tenemos:
limx→±∞
anxn + · · ·+ a2x
2 + a1x + a0
bmxm + · · ·+ b2x2 + b1x + b0
= limx→±∞
anxn
bmxm= lim
x→±∞
(
an
bn
)
xn−m
Veamos unos ejemplos:
limx→−∞
3x5 − 7x2 + 2
−x2 + 4x + 1=
∞∞ = lim
x→−∞
3x5
−x2= lim
x→−∞
(
3
−1
)
x3 = +∞
limx→−∞
x3 − 7x2 + 2
−x4 + 4x + 1=
∞∞ = lim
x→−∞
x3
−x4= lim
x→−∞
(
1
−1
)
x−1 = 0
limx→−∞
4x5 − x2 + 2
8x5 + 4x3 + x=
∞∞
= limx→−∞
4x5
8x5= lim
x→−∞
(
4
8
)
x0 =1
2
Es fácil darse cuenta que cuando tenemos un cociente de funciones polinómicas,f (x)
g(x), se
cumple:
grado f (x) > grado g(x) =⇒ limx→−∞
f (x)
g(x)= ±∞
grado f (x) < grado g(x) =⇒ limx→−∞
f (x)
g(x)= 0
grado f (x) = grado g(x) =⇒ limx→−∞
f (x)
g(x)=
an
bm
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Cálculo de límites Indeterminaciones 0/0
Indeterminaciones del tipo0
0Aparecen al calcular límites de cocientes de funciones polinómicas o funciones irracionales. En elcociente de funciones polinómicas, aparecen porque los polinomios tienen factores comunes y, portanto, debemos en primer lugar factorizar el numerador y el denominador, bien aplicando la reglade Ruffini o bien sacando factor común. En el caso de funciones irracionales multiplicamosnumerador y denominador por el conjugado o factorizando y operando.
J.P. Expósito (I.E.S. Virgen del Puerto) Límites Curso 2015/16 16 / 38
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Cálculo de límites Indeterminaciones 0/0
Indeterminaciones del tipo0
0Aparecen al calcular límites de cocientes de funciones polinómicas o funciones irracionales. En elcociente de funciones polinómicas, aparecen porque los polinomios tienen factores comunes y, portanto, debemos en primer lugar factorizar el numerador y el denominador, bien aplicando la reglade Ruffini o bien sacando factor común. En el caso de funciones irracionales multiplicamosnumerador y denominador por el conjugado o factorizando y operando.Veamos ejemplos:
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Cálculo de límites Indeterminaciones 0/0
Indeterminaciones del tipo0
0Aparecen al calcular límites de cocientes de funciones polinómicas o funciones irracionales. En elcociente de funciones polinómicas, aparecen porque los polinomios tienen factores comunes y, portanto, debemos en primer lugar factorizar el numerador y el denominador, bien aplicando la reglade Ruffini o bien sacando factor común. En el caso de funciones irracionales multiplicamosnumerador y denominador por el conjugado o factorizando y operando.Veamos ejemplos:
limx→1
x2 − x
x2 − 3x + 2=
0
0= lim
x→1
x ·✘✘✘(x − 1)
✘✘✘(x − 1) · (x − 2)
= limx→1
x
(x − 2)=
1
−1= −1
J.P. Expósito (I.E.S. Virgen del Puerto) Límites Curso 2015/16 16 / 38
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Cálculo de límites Indeterminaciones 0/0
Indeterminaciones del tipo0
0Aparecen al calcular límites de cocientes de funciones polinómicas o funciones irracionales. En elcociente de funciones polinómicas, aparecen porque los polinomios tienen factores comunes y, portanto, debemos en primer lugar factorizar el numerador y el denominador, bien aplicando la reglade Ruffini o bien sacando factor común. En el caso de funciones irracionales multiplicamosnumerador y denominador por el conjugado o factorizando y operando.Veamos ejemplos:
limx→1
x2 − x
x2 − 3x + 2=
0
0= lim
x→1
x ·✘✘✘(x − 1)
✘✘✘(x − 1) · (x − 2)
= limx→1
x
(x − 2)=
1
−1= −1
limx→1
√x2 + 3 − 2
x2 − x=
0
0= lim
x→1
(√x2 + 3 − 2
)
·(√
x2 + 3 + 2)
(x2 − x) ·(√
x2 + 3 + 2) =
limx→1
(
x2 − 1)
(x2 − x) ·(√
x2 + 3 + 2) = lim
x→1
✘✘✘(x − 1) · (x + 1)
x ·✘✘✘(x − 1) ·
(√x2 + 3 + 2
) =1
2
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Cálculo de límites Indeterminaciones 0 · ∞
Indeterminaciones del tipo 0 · ∞Este tipo de indeterminaciones se pueden convertir en indeterminaciones tipo
∞∞
o tipo0
0, y
resolverlas por los procedimientos explicados anteriormente.Veamos un ejemplo:
limx→∞
(
1
x·√x + 1
)
= 0 · ∞ = limx→∞
Å√x + 1
x
ã
=∞∞
= limx→∞
…
x + 1
x2= lim
x→∞
…
1
x+
1
x2= 0
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Cálculo de límites Indeterminaciones ∞ − ∞
Indeterminaciones del tipo ∞−∞Aparecen al calcular límites de diferencias de funciones racionales o de funciones irracionales. Enel primer caso se resuelven restando las fracciones y operando, y en el segundo caso,multiplicando y dividiendo por el conjugado de la expresión irracional.
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Cálculo de límites Indeterminaciones ∞ − ∞
Indeterminaciones del tipo ∞−∞Aparecen al calcular límites de diferencias de funciones racionales o de funciones irracionales. Enel primer caso se resuelven restando las fracciones y operando, y en el segundo caso,multiplicando y dividiendo por el conjugado de la expresión irracional.Veamos un ejemplo de cada tipo:
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Cálculo de límites Indeterminaciones ∞ − ∞
Indeterminaciones del tipo ∞−∞Aparecen al calcular límites de diferencias de funciones racionales o de funciones irracionales. Enel primer caso se resuelven restando las fracciones y operando, y en el segundo caso,multiplicando y dividiendo por el conjugado de la expresión irracional.Veamos un ejemplo de cada tipo:
limx→∞
Å
x2 − 1
x− x3 − 1
x2
ã
= ∞−∞ = limx→∞
Å
x3 − x − x3 + 1
x2
ã
= limx→∞
(−x + 1
x2
)
=
∞∞
= limx→∞
(−1
1
)
1
x= 0
J.P. Expósito (I.E.S. Virgen del Puerto) Límites Curso 2015/16 18 / 38
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Cálculo de límites Indeterminaciones ∞ − ∞
Indeterminaciones del tipo ∞−∞Aparecen al calcular límites de diferencias de funciones racionales o de funciones irracionales. Enel primer caso se resuelven restando las fracciones y operando, y en el segundo caso,multiplicando y dividiendo por el conjugado de la expresión irracional.Veamos un ejemplo de cada tipo:
limx→∞
Å
x2 − 1
x− x3 − 1
x2
ã
= ∞−∞ = limx→∞
Å
x3 − x − x3 + 1
x2
ã
= limx→∞
(−x + 1
x2
)
=
∞∞
= limx→∞
(−1
1
)
1
x= 0
limx→∞
√
x2 − 1 − x = ∞−∞ = limx→∞
(√x2 − 1 − x
)
·(√
x2 − 1 + x)
√x2 + 1 + x
=
limx→∞
−1√x2 + 1 + x
=−1
∞= 0
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Cálculo de límites Indeterminaciones 1∞
Indeterminaciones del tipo 1∞
Este tipo de indeterminación se llaman "números e", porque su resolución lleva a una potenciadel número e. Para resolverlas damos a continuación, sin demostrar, una expresión
limx→c
f (x) = 1
limx→c
g(x) = ±∞
⇒ limx→c
[f (x)]g(x) = elimx→c
[g(x) · (f (x)− 1)]
J.P. Expósito (I.E.S. Virgen del Puerto) Límites Curso 2015/16 19 / 38
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Cálculo de límites Indeterminaciones 1∞
Indeterminaciones del tipo 1∞
Este tipo de indeterminación se llaman "números e", porque su resolución lleva a una potenciadel número e. Para resolverlas damos a continuación, sin demostrar, una expresión
limx→c
f (x) = 1
limx→c
g(x) = ±∞
⇒ limx→c
[f (x)]g(x) = elimx→c
[g(x) · (f (x)− 1)]
Veamos dos ejemplos:
J.P. Expósito (I.E.S. Virgen del Puerto) Límites Curso 2015/16 19 / 38
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Cálculo de límites Indeterminaciones 1∞
Indeterminaciones del tipo 1∞
Este tipo de indeterminación se llaman "números e", porque su resolución lleva a una potenciadel número e. Para resolverlas damos a continuación, sin demostrar, una expresión
limx→c
f (x) = 1
limx→c
g(x) = ±∞
⇒ limx→c
[f (x)]g(x) = elimx→c
[g(x) · (f (x)− 1)]
Veamos dos ejemplos:
limx→∞
(
x + 1
x − 1
)x−1
= 1∞ = elim
x→∞
[
(x − 1) ·(
x + 1
x − 1− 1
)]
= elim
x→∞
(
2(x − 1)
x − 1
)
= e2
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Cálculo de límites Indeterminaciones 1∞
Indeterminaciones del tipo 1∞
Este tipo de indeterminación se llaman "números e", porque su resolución lleva a una potenciadel número e. Para resolverlas damos a continuación, sin demostrar, una expresión
limx→c
f (x) = 1
limx→c
g(x) = ±∞
⇒ limx→c
[f (x)]g(x) = elimx→c
[g(x) · (f (x)− 1)]
Veamos dos ejemplos:
limx→∞
(
x + 1
x − 1
)x−1
= 1∞ = elim
x→∞
[
(x − 1) ·(
x + 1
x − 1− 1
)]
= elim
x→∞
(
2(x − 1)
x − 1
)
= e2
limx→0
(1 − 2x)1x = 1∞ = e
limx→0
1
x(1 − 2x − 1)
= elimx→0
−2x
x = e−2
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Cálculo de límites Asíntotas y ramas infinitas
Asíntotas
Las asíntotas son rectas (verticales, horizontales u oblicuas) hacia las cuales se acerca la gráficade una función sin llegar a tocarlas. Veamos los tipos y definición de cada una de ellas:
Asíntotas verticales: son las rectas de la forma x = c que verifican
limx→c−
f (x) = ±∞ o limx→c+
f (x) = ±∞
J.P. Expósito (I.E.S. Virgen del Puerto) Límites Curso 2015/16 20 / 38
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Cálculo de límites Asíntotas y ramas infinitas
Asíntotas
Las asíntotas son rectas (verticales, horizontales u oblicuas) hacia las cuales se acerca la gráficade una función sin llegar a tocarlas. Veamos los tipos y definición de cada una de ellas:
Asíntotas verticales: son las rectas de la forma x = c que verifican
limx→c−
f (x) = ±∞ o limx→c+
f (x) = ±∞
Asíntota horizontal: son las rectas de la forma y = l que verifican
limx→+∞
f (x) = l o limx→−∞
f (x) = l
J.P. Expósito (I.E.S. Virgen del Puerto) Límites Curso 2015/16 20 / 38
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Cálculo de límites Asíntotas y ramas infinitas
Asíntotas
Las asíntotas son rectas (verticales, horizontales u oblicuas) hacia las cuales se acerca la gráficade una función sin llegar a tocarlas. Veamos los tipos y definición de cada una de ellas:
Asíntotas verticales: son las rectas de la forma x = c que verifican
limx→c−
f (x) = ±∞ o limx→c+
f (x) = ±∞
Asíntota horizontal: son las rectas de la forma y = l que verifican
limx→+∞
f (x) = l o limx→−∞
f (x) = l
Asíntota oblicua: son rectas de la forma y = mx + n, donde
{
m = limx→±∞f (x)x
n = limx→±∞ [f (x)−mx ]
J.P. Expósito (I.E.S. Virgen del Puerto) Límites Curso 2015/16 20 / 38
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Cálculo de límites Asíntotas y ramas infinitas
Asíntotas
Las asíntotas son rectas (verticales, horizontales u oblicuas) hacia las cuales se acerca la gráficade una función sin llegar a tocarlas. Veamos los tipos y definición de cada una de ellas:
Asíntotas verticales: son las rectas de la forma x = c que verifican
limx→c−
f (x) = ±∞ o limx→c+
f (x) = ±∞
Asíntota horizontal: son las rectas de la forma y = l que verifican
limx→+∞
f (x) = l o limx→−∞
f (x) = l
Asíntota oblicua: son rectas de la forma y = mx + n, donde
{
m = limx→±∞f (x)x
n = limx→±∞ [f (x)−mx ]
J.P. Expósito (I.E.S. Virgen del Puerto) Límites Curso 2015/16 20 / 38
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Cálculo de límites Asíntotas y ramas infinitas
Asíntotas
Las asíntotas son rectas (verticales, horizontales u oblicuas) hacia las cuales se acerca la gráficade una función sin llegar a tocarlas. Veamos los tipos y definición de cada una de ellas:
Asíntotas verticales: son las rectas de la forma x = c que verifican
limx→c−
f (x) = ±∞ o limx→c+
f (x) = ±∞
Asíntota horizontal: son las rectas de la forma y = l que verifican
limx→+∞
f (x) = l o limx→−∞
f (x) = l
Asíntota oblicua: son rectas de la forma y = mx + n, donde
{
m = limx→±∞f (x)x
n = limx→±∞ [f (x)−mx ]
Ramas infinitas o parabólicas
Cuando existe alguno de los cuatro límites
limx→±∞
f (x) = ±∞
y la función no tenga asíntota oblicua, decimos que f (x) tiene una rama infinita.
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Cálculo de límites Asíntotas y ramas infinitas
Ejemplo de cálculo de asíntotas
Vamos a estudiar las asíntotas de la función f (x) =x2 + 1
x:
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Cálculo de límites Asíntotas y ramas infinitas
Ejemplo de cálculo de asíntotas
Vamos a estudiar las asíntotas de la función f (x) =x2 + 1
x:
Asíntotas horizontales: son las rectas de la forma y = l que verifican
limx→+∞
f (x) = l o limx→−∞
f (x) = l
limx→+∞
x2 + 1
x=
∞∞
= limx→+∞
1
1x = ∞
Y por tanto no tiene asíntota horizontal
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Cálculo de límites Asíntotas y ramas infinitas
Ejemplo de cálculo de asíntotas
Vamos a estudiar las asíntotas de la función f (x) =x2 + 1
x:
Asíntotas horizontales: son las rectas de la forma y = l que verifican
limx→+∞
f (x) = l o limx→−∞
f (x) = l
limx→+∞
x2 + 1
x=
∞∞
= limx→+∞
1
1x = ∞
Y por tanto no tiene asíntota horizontalAsíntotas verticales: son las rectas de la forma x = c que verifican
limx→c−
f (x) = ±∞ o limx→c+
f (x) = ±∞
Aparecen para los valores de x que hacen cero el denominador; en este caso en x = 0, ya que
limx→0−
x2 + 1
x=
1
0= −∞ y lim
x→0+
x2 + 1
x) =
1
0= +∞
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Cálculo de límites Asíntotas y ramas infinitas
Ejemplo de cálculo de asíntotas
Vamos a estudiar las asíntotas de la función f (x) =x2 + 1
x:
Asíntotas horizontales: son las rectas de la forma y = l que verifican
limx→+∞
f (x) = l o limx→−∞
f (x) = l
limx→+∞
x2 + 1
x=
∞∞
= limx→+∞
1
1x = ∞
Y por tanto no tiene asíntota horizontalAsíntotas verticales: son las rectas de la forma x = c que verifican
limx→c−
f (x) = ±∞ o limx→c+
f (x) = ±∞
Aparecen para los valores de x que hacen cero el denominador; en este caso en x = 0, ya que
limx→0−
x2 + 1
x=
1
0= −∞ y lim
x→0+
x2 + 1
x) =
1
0= +∞
Asíntotas oblicuas: son rectas de la forma y = mx + n, donde
m = limx→±∞
x2+1x
x= 1
n = limx→±∞
î
x2+1
x− 1xó
= 0
⇒ y = x
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Continuidad
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Continuidad Definición
Función continua
Una función f (x) es continua en un punto de abscisa c si y sólo si se cumplen las tres condicionessiguientes:
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Continuidad Definición
Función continua
Una función f (x) es continua en un punto de abscisa c si y sólo si se cumplen las tres condicionessiguientes:
1 ∃ f (c)
J.P. Expósito (I.E.S. Virgen del Puerto) Límites Curso 2015/16 23 / 38
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Continuidad Definición
Función continua
Una función f (x) es continua en un punto de abscisa c si y sólo si se cumplen las tres condicionessiguientes:
1 ∃ f (c)
2 ∃ limx→c
f (x)
J.P. Expósito (I.E.S. Virgen del Puerto) Límites Curso 2015/16 23 / 38
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Continuidad Definición
Función continua
Una función f (x) es continua en un punto de abscisa c si y sólo si se cumplen las tres condicionessiguientes:
1 ∃ f (c)
2 ∃ limx→c
f (x)
3 limx→c
f (x) = f (c)
J.P. Expósito (I.E.S. Virgen del Puerto) Límites Curso 2015/16 23 / 38
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Continuidad Definición
Continuidad de funciones elementales
La continuidad está relacionada con el dominio de las funciones. Así, para las funcioneselementales, tenemos:
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Continuidad Definición
Continuidad de funciones elementales
La continuidad está relacionada con el dominio de las funciones. Así, para las funcioneselementales, tenemos:
Funciones lineal y cuadrática, f (x) = mx + n y f (x) = ax2 + bx + c : Continua en todoIR. En general, cualquier función polinómica, es continua en todo todo IR.
J.P. Expósito (I.E.S. Virgen del Puerto) Límites Curso 2015/16 24 / 38
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Continuidad Definición
Continuidad de funciones elementales
La continuidad está relacionada con el dominio de las funciones. Así, para las funcioneselementales, tenemos:
Funciones lineal y cuadrática, f (x) = mx + n y f (x) = ax2 + bx + c : Continua en todoIR. En general, cualquier función polinómica, es continua en todo todo IR.
Función racional, f (x) =P(x)
Q(x): Continua en todo IR, excepto los valores que anulan el
denominador; es decir Q(x) = 0.
J.P. Expósito (I.E.S. Virgen del Puerto) Límites Curso 2015/16 24 / 38
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Continuidad Definición
Continuidad de funciones elementales
La continuidad está relacionada con el dominio de las funciones. Así, para las funcioneselementales, tenemos:
Funciones lineal y cuadrática, f (x) = mx + n y f (x) = ax2 + bx + c : Continua en todoIR. En general, cualquier función polinómica, es continua en todo todo IR.
Función racional, f (x) =P(x)
Q(x): Continua en todo IR, excepto los valores que anulan el
denominador; es decir Q(x) = 0.
Funciones irracionales, f (x) = n√
g(x): Si n es par, no existen para valores que hacennegativo el radicando. Si n es impar son continuas
J.P. Expósito (I.E.S. Virgen del Puerto) Límites Curso 2015/16 24 / 38
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Continuidad Definición
Continuidad de funciones elementales
La continuidad está relacionada con el dominio de las funciones. Así, para las funcioneselementales, tenemos:
Funciones lineal y cuadrática, f (x) = mx + n y f (x) = ax2 + bx + c : Continua en todoIR. En general, cualquier función polinómica, es continua en todo todo IR.
Función racional, f (x) =P(x)
Q(x): Continua en todo IR, excepto los valores que anulan el
denominador; es decir Q(x) = 0.
Funciones irracionales, f (x) = n√
g(x): Si n es par, no existen para valores que hacennegativo el radicando. Si n es impar son continuas
Función exponencial, f (x) = ag(x): Continuas en todo IR, excepto en que aquellos valoresque hagan el exponente discontinuo.
J.P. Expósito (I.E.S. Virgen del Puerto) Límites Curso 2015/16 24 / 38
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Continuidad Definición
Continuidad de funciones elementales
La continuidad está relacionada con el dominio de las funciones. Así, para las funcioneselementales, tenemos:
Funciones lineal y cuadrática, f (x) = mx + n y f (x) = ax2 + bx + c : Continua en todoIR. En general, cualquier función polinómica, es continua en todo todo IR.
Función racional, f (x) =P(x)
Q(x): Continua en todo IR, excepto los valores que anulan el
denominador; es decir Q(x) = 0.
Funciones irracionales, f (x) = n√
g(x): Si n es par, no existen para valores que hacennegativo el radicando. Si n es impar son continuas
Función exponencial, f (x) = ag(x): Continuas en todo IR, excepto en que aquellos valoresque hagan el exponente discontinuo.
Funciones logarítmicas, f (x) = loga g(x): Continuas excepto en lo valores que hace cero onegativo el argumento de la función.
J.P. Expósito (I.E.S. Virgen del Puerto) Límites Curso 2015/16 24 / 38
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Continuidad Definición
Continuidad de funciones elementales
La continuidad está relacionada con el dominio de las funciones. Así, para las funcioneselementales, tenemos:
Funciones lineal y cuadrática, f (x) = mx + n y f (x) = ax2 + bx + c : Continua en todoIR. En general, cualquier función polinómica, es continua en todo todo IR.
Función racional, f (x) =P(x)
Q(x): Continua en todo IR, excepto los valores que anulan el
denominador; es decir Q(x) = 0.
Funciones irracionales, f (x) = n√
g(x): Si n es par, no existen para valores que hacennegativo el radicando. Si n es impar son continuas
Función exponencial, f (x) = ag(x): Continuas en todo IR, excepto en que aquellos valoresque hagan el exponente discontinuo.
Funciones logarítmicas, f (x) = loga g(x): Continuas excepto en lo valores que hace cero onegativo el argumento de la función.
Funciones seno y coseno, f (x) = sin g(x) y f (x) = cos g(x) : Continuas en todo IR.
J.P. Expósito (I.E.S. Virgen del Puerto) Límites Curso 2015/16 24 / 38
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Continuidad Definición
Continuidad de funciones elementales
La continuidad está relacionada con el dominio de las funciones. Así, para las funcioneselementales, tenemos:
Funciones lineal y cuadrática, f (x) = mx + n y f (x) = ax2 + bx + c : Continua en todoIR. En general, cualquier función polinómica, es continua en todo todo IR.
Función racional, f (x) =P(x)
Q(x): Continua en todo IR, excepto los valores que anulan el
denominador; es decir Q(x) = 0.
Funciones irracionales, f (x) = n√
g(x): Si n es par, no existen para valores que hacennegativo el radicando. Si n es impar son continuas
Función exponencial, f (x) = ag(x): Continuas en todo IR, excepto en que aquellos valoresque hagan el exponente discontinuo.
Funciones logarítmicas, f (x) = loga g(x): Continuas excepto en lo valores que hace cero onegativo el argumento de la función.
Funciones seno y coseno, f (x) = sin g(x) y f (x) = cos g(x) : Continuas en todo IR.
Función tangente, f (x) = tan g(x): No es continua en los valores g(x) = π
2+ kπ, con
k = 0,±1,±2,±3, · · · .
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Continuidad Definición
Ejemplo I de cálculo de la continuidad
Estudia la continuidad de la función
f (x) =
®
x − 3 si x ≥ 3
−x + 3 si x < 3
J.P. Expósito (I.E.S. Virgen del Puerto) Límites Curso 2015/16 25 / 38
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Continuidad Definición
Ejemplo I de cálculo de la continuidad
Estudia la continuidad de la función
f (x) =
®
x − 3 si x ≥ 3
−x + 3 si x < 3
Solución.-Esta función es continua (por ser polinomios) en cada trozo. El problema de continuidad, si lohay, estará en el punto de "unión" de los dos trozos, es decir, en x = 3
J.P. Expósito (I.E.S. Virgen del Puerto) Límites Curso 2015/16 25 / 38
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Continuidad Definición
Ejemplo I de cálculo de la continuidad
Estudia la continuidad de la función
f (x) =
®
x − 3 si x ≥ 3
−x + 3 si x < 3
Solución.-Esta función es continua (por ser polinomios) en cada trozo. El problema de continuidad, si lohay, estará en el punto de "unión" de los dos trozos, es decir, en x = 3
∃ f (c): Si, ya que f (3) = x − 3 = 0
J.P. Expósito (I.E.S. Virgen del Puerto) Límites Curso 2015/16 25 / 38
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Continuidad Definición
Ejemplo I de cálculo de la continuidad
Estudia la continuidad de la función
f (x) =
®
x − 3 si x ≥ 3
−x + 3 si x < 3
Solución.-Esta función es continua (por ser polinomios) en cada trozo. El problema de continuidad, si lohay, estará en el punto de "unión" de los dos trozos, es decir, en x = 3
∃ f (c): Si, ya que f (3) = x − 3 = 0
∃ limx→c
f (x): Si, ya que limx→c
f (x) =
limx→3−
−x + 3 = 0
limx→0+
x − 3 = 0
⇒ limx→c
f (x) = 3
J.P. Expósito (I.E.S. Virgen del Puerto) Límites Curso 2015/16 25 / 38
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Continuidad Definición
Ejemplo I de cálculo de la continuidad
Estudia la continuidad de la función
f (x) =
®
x − 3 si x ≥ 3
−x + 3 si x < 3
Solución.-Esta función es continua (por ser polinomios) en cada trozo. El problema de continuidad, si lohay, estará en el punto de "unión" de los dos trozos, es decir, en x = 3
∃ f (c): Si, ya que f (3) = x − 3 = 0
∃ limx→c
f (x): Si, ya que limx→c
f (x) =
limx→3−
−x + 3 = 0
limx→0+
x − 3 = 0
⇒ limx→c
f (x) = 3
Es f (c) = limx→c f (x): Si, ya que f (3) = limx→c f (x) = 3.
J.P. Expósito (I.E.S. Virgen del Puerto) Límites Curso 2015/16 25 / 38
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Continuidad Definición
Ejemplo I de cálculo de la continuidad
Estudia la continuidad de la función
f (x) =
®
x − 3 si x ≥ 3
−x + 3 si x < 3
Solución.-Esta función es continua (por ser polinomios) en cada trozo. El problema de continuidad, si lohay, estará en el punto de "unión" de los dos trozos, es decir, en x = 3
∃ f (c): Si, ya que f (3) = x − 3 = 0
∃ limx→c
f (x): Si, ya que limx→c
f (x) =
limx→3−
−x + 3 = 0
limx→0+
x − 3 = 0
⇒ limx→c
f (x) = 3
Es f (c) = limx→c f (x): Si, ya que f (3) = limx→c f (x) = 3.
J.P. Expósito (I.E.S. Virgen del Puerto) Límites Curso 2015/16 25 / 38
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Continuidad Definición
Ejemplo I de cálculo de la continuidad
Estudia la continuidad de la función
f (x) =
®
x − 3 si x ≥ 3
−x + 3 si x < 3
Solución.-Esta función es continua (por ser polinomios) en cada trozo. El problema de continuidad, si lohay, estará en el punto de "unión" de los dos trozos, es decir, en x = 3
∃ f (c): Si, ya que f (3) = x − 3 = 0
∃ limx→c
f (x): Si, ya que limx→c
f (x) =
limx→3−
−x + 3 = 0
limx→0+
x − 3 = 0
⇒ limx→c
f (x) = 3
Es f (c) = limx→c f (x): Si, ya que f (3) = limx→c f (x) = 3.
La función es continua en x = 3.
J.P. Expósito (I.E.S. Virgen del Puerto) Límites Curso 2015/16 25 / 38
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Continuidad Definición
Ejemplo II de cálculo de la continuidad
Estudia la continuidad de la función
f (x) =
®
x2 si x < 0
x − 1 si x ≥ 0
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Continuidad Definición
Ejemplo II de cálculo de la continuidad
Estudia la continuidad de la función
f (x) =
®
x2 si x < 0
x − 1 si x ≥ 0
Solución.-Esta función es continua (por ser polinomios) en cada trozo. El problema de continuidad, si lohay, estará en el punto de "unión" de los dos trozos, es decir, en x = 0
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Continuidad Definición
Ejemplo II de cálculo de la continuidad
Estudia la continuidad de la función
f (x) =
®
x2 si x < 0
x − 1 si x ≥ 0
Solución.-Esta función es continua (por ser polinomios) en cada trozo. El problema de continuidad, si lohay, estará en el punto de "unión" de los dos trozos, es decir, en x = 0
∃ f (c): Si, ya que f (0) = x − 1 = 0 − 1 = −1
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Continuidad Definición
Ejemplo II de cálculo de la continuidad
Estudia la continuidad de la función
f (x) =
®
x2 si x < 0
x − 1 si x ≥ 0
Solución.-Esta función es continua (por ser polinomios) en cada trozo. El problema de continuidad, si lohay, estará en el punto de "unión" de los dos trozos, es decir, en x = 0
∃ f (c): Si, ya que f (0) = x − 1 = 0 − 1 = −1
∃ limx→c
f (x): No, ya que limx→c
f (x) =
limx→0−
x2 = 0
limx→0+
x − 1 = −1
⇒ ∄ limx→c
f (x)
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Continuidad Definición
Ejemplo II de cálculo de la continuidad
Estudia la continuidad de la función
f (x) =
®
x2 si x < 0
x − 1 si x ≥ 0
Solución.-Esta función es continua (por ser polinomios) en cada trozo. El problema de continuidad, si lohay, estará en el punto de "unión" de los dos trozos, es decir, en x = 0
∃ f (c): Si, ya que f (0) = x − 1 = 0 − 1 = −1
∃ limx→c
f (x): No, ya que limx→c
f (x) =
limx→0−
x2 = 0
limx→0+
x − 1 = −1
⇒ ∄ limx→c
f (x)
J.P. Expósito (I.E.S. Virgen del Puerto) Límites Curso 2015/16 26 / 38
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Continuidad Definición
Ejemplo II de cálculo de la continuidad
Estudia la continuidad de la función
f (x) =
®
x2 si x < 0
x − 1 si x ≥ 0
Solución.-Esta función es continua (por ser polinomios) en cada trozo. El problema de continuidad, si lohay, estará en el punto de "unión" de los dos trozos, es decir, en x = 0
∃ f (c): Si, ya que f (0) = x − 1 = 0 − 1 = −1
∃ limx→c
f (x): No, ya que limx→c
f (x) =
limx→0−
x2 = 0
limx→0+
x − 1 = −1
⇒ ∄ limx→c
f (x)
La función no es continua en x = 0.
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Continuidad Definición
Ejemplo III de cálculo de la continuidad con parámetro
Cálcula m para que la siguiente función sea continua
f (x) =
®
mx − 3 si x < 4
−x2 + 10x − 13 si x ≥ 4
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Continuidad Definición
Ejemplo III de cálculo de la continuidad con parámetro
Cálcula m para que la siguiente función sea continua
f (x) =
®
mx − 3 si x < 4
−x2 + 10x − 13 si x ≥ 4
Solución.-Esta función es continua (por ser polinomios) en cada trozo. El problema de continuidad, si lohay, estará en el punto de "unión" de los dos trozos, es decir, en x = 4, La aplicación de lascondiciones de continuidad nos permitirá calcular m.
J.P. Expósito (I.E.S. Virgen del Puerto) Límites Curso 2015/16 27 / 38
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Continuidad Definición
Ejemplo III de cálculo de la continuidad con parámetro
Cálcula m para que la siguiente función sea continua
f (x) =
®
mx − 3 si x < 4
−x2 + 10x − 13 si x ≥ 4
Solución.-Esta función es continua (por ser polinomios) en cada trozo. El problema de continuidad, si lohay, estará en el punto de "unión" de los dos trozos, es decir, en x = 4, La aplicación de lascondiciones de continuidad nos permitirá calcular m.
∃ f (c): Si, ya que f (4) = −x2 + 10x − 13 = 11
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Continuidad Definición
Ejemplo III de cálculo de la continuidad con parámetro
Cálcula m para que la siguiente función sea continua
f (x) =
®
mx − 3 si x < 4
−x2 + 10x − 13 si x ≥ 4
Solución.-Esta función es continua (por ser polinomios) en cada trozo. El problema de continuidad, si lohay, estará en el punto de "unión" de los dos trozos, es decir, en x = 4, La aplicación de lascondiciones de continuidad nos permitirá calcular m.
∃ f (c): Si, ya que f (4) = −x2 + 10x − 13 = 11
∃ limx→c
f (x): Si, ya que limx→c
f (x) =
limx→4−
mx − 3 = 4m − 3
limx→0+
−x2 + 10x − 13 = 11
Como
queremos que sea continua, debe ser limx→4−
mx − 3 = limx→0+
−x2 + 10x − 13
Es decir, 4m − 3 = 11 ⇒ m =7
2
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Continuidad Definición
Ejemplo III de cálculo de la continuidad con parámetro
Cálcula m para que la siguiente función sea continua
f (x) =
®
mx − 3 si x < 4
−x2 + 10x − 13 si x ≥ 4
Solución.-Esta función es continua (por ser polinomios) en cada trozo. El problema de continuidad, si lohay, estará en el punto de "unión" de los dos trozos, es decir, en x = 4, La aplicación de lascondiciones de continuidad nos permitirá calcular m.
∃ f (c): Si, ya que f (4) = −x2 + 10x − 13 = 11
∃ limx→c
f (x): Si, ya que limx→c
f (x) =
limx→4−
mx − 3 = 4m − 3
limx→0+
−x2 + 10x − 13 = 11
Como
queremos que sea continua, debe ser limx→4−
mx − 3 = limx→0+
−x2 + 10x − 13
Es decir, 4m − 3 = 11 ⇒ m =7
2
J.P. Expósito (I.E.S. Virgen del Puerto) Límites Curso 2015/16 27 / 38
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Continuidad Definición
Ejemplo III de cálculo de la continuidad con parámetro
Cálcula m para que la siguiente función sea continua
f (x) =
®
mx − 3 si x < 4
−x2 + 10x − 13 si x ≥ 4
Solución.-Esta función es continua (por ser polinomios) en cada trozo. El problema de continuidad, si lohay, estará en el punto de "unión" de los dos trozos, es decir, en x = 4, La aplicación de lascondiciones de continuidad nos permitirá calcular m.
∃ f (c): Si, ya que f (4) = −x2 + 10x − 13 = 11
∃ limx→c
f (x): Si, ya que limx→c
f (x) =
limx→4−
mx − 3 = 4m − 3
limx→0+
−x2 + 10x − 13 = 11
Como
queremos que sea continua, debe ser limx→4−
mx − 3 = limx→0+
−x2 + 10x − 13
Es decir, 4m − 3 = 11 ⇒ m =7
2
La función es continua en x = 4 si m = 7
2.
J.P. Expósito (I.E.S. Virgen del Puerto) Límites Curso 2015/16 27 / 38
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Continuidad Definición
Ejemplo III de cálculo de la continuidad con parámetro
Cálcula m para que la siguiente función sea continua
f (x) =
®
mx − 3 si x < 4
−x2 + 10x − 13 si x ≥ 4
Solución.-Esta función es continua (por ser polinomios) en cada trozo. El problema de continuidad, si lohay, estará en el punto de "unión" de los dos trozos, es decir, en x = 4, La aplicación de lascondiciones de continuidad nos permitirá calcular m.
∃ f (c): Si, ya que f (4) = −x2 + 10x − 13 = 11
∃ limx→c
f (x): Si, ya que limx→c
f (x) =
limx→4−
mx − 3 = 4m − 3
limx→0+
−x2 + 10x − 13 = 11
Como
queremos que sea continua, debe ser limx→4−
mx − 3 = limx→0+
−x2 + 10x − 13
Es decir, 4m − 3 = 11 ⇒ m =7
2
La función es continua en x = 4 si m = 7
2.
En la siguiente diapositiva damos un cuadro de los distintos tipos de dicontinuidad.
J.P. Expósito (I.E.S. Virgen del Puerto) Límites Curso 2015/16 27 / 38
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Continuidad Discontinuidad. Tipos
f =
continua en x=c =⇒
©1 ∃ f (c)
©2 ∃ limx→c
f (x)
©3 limx→c
f (x) = f (c)
no continua en x=c =⇒
Evitable
∄ f (c) y ∃ limx→c
f (x)
o
∃ f (c) , ∃ limx→c
f (x)
pero limx→c
f (x) 6= f (c)
No evitable
Salto finito∃ lim
x→c+f (x) y lim
x→c−f (x)
pero limx→c+
f (x) 6= limx→c−
f (x)
o
Salto infinitolim
x→c+f (x) = ±∞
limx→c−
f (x) = ±∞
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Problemas Propuestos
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5| Problemas
Propuestos
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Problemas Propuestos
Cálculo de límites. Indeterminaciones
Calcula los siguientes límites:
limx→∞
√x2 + 1
4x
limx→−∞
3x4 − x
2x2 − 1
limx→1
x3 − 1
x3 + 2x2 − 3x
limx→0
2x√
4 − x − 2
limx→1
x2 − 1√x − 1
limx→1
x2 − 1
x − 1
limx→+∞
(
x2 − 1
x− 1 + 2x2
2x − 1
)
limx→+∞
(
2x −√
1 + 4x)
limx→∞
î
5x − 2
5x + 3
ó2x
limx→∞
î
4 − 2x
1 − 2x
óx−3
limx→1
(−x3 − x + 1)
limx→−∞
Ä
2x −√
x2 + 5
ä
limx→∞
Ä
1 +1
x
ä x5
limx→−2
x4 − 16
x3 + 8
limx→2
√x −
√2
x − 2
limx→−3
5√
4 + x
limx→−2
x + 2
x3 + 8
limx→∞
Ä
4x −√
16x2 + 2
ä
limx→0
2 −√x + 4
x
limx→∞
(
x2 + 6
x2
)x2+1
limx→∞
Ä
x + 1
x + 2
äx
limx→−∞
−3x2 + 1
6x + 6
limx→∞
2x5 + 4
3x + 6
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Problemas Propuestos
Asíntotas
Calcula las asíntotas de las siguientes funciones:
f (x) =2x − 3
x − 1
f (x) =3x
x2 − 1
f (x) =x3 − 7x + 1
x + 3
f (x) =4x2
x − 5
f (x) =x2 + 1
x − 2
f (x) =x
x − 1
f (x) =2x − 3
x2 + 1
f (x) =2x2 + 1
x2 − 3x
f (x) =1
x3 − 4x
f (x) =1
x2 − 1
f (x) =x2 − 4
x
f (x) =x3
(x − 1)2
Continuidad
Determina los puntos de continuidad de las siguientes funciones:
f (x) =2x − 3
x − 1
f (x) =3x
x2 − 1
f (x) =x3 − 7x + 1
x + 3
f (x) =4x2
x − 5
f (x) =x2 + 1
x − 2
f (x) =x
x − 1
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Problemas Propuestos
Continuidad
Estudia la continuidad de las siguientes funciones:
f (x) =
ß
x2 − 1 si x < 0
x − 1 si x ≥ 0
f (x) =
12
x − 1si x < 3
√x si 3 ≤ x ≤ 4
x − 2 si x > 4
f (x) =
x + 3 si x < 3
6 si x = 3
x2 − 2x + 3 si x > 3
f (x) =
12
x − 1si x < 3
6 si x = 3
x − 2 si x > 3
Calcula los parámetros para que las siguientes funciones sean continua:
f (x) =
{
a − x2 si x ≤ 3
56 − 20x
x + 1si x > 3
f (x) =
{
x2 − 2 si x < 0
2x − 1
x + asi x ≥ 1
f (x) =
ß
x3 − x si x ≥ 0
ax + b si x > 0
f (x) =
x3 − 8
x − 2si x 6= 2
a si x = 2
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Personajes en la Historia
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6| Historia
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Personajes en la Historia Cauchy y Dirichlet
Historia
Augustin Louis Cauchy ( 1789 − 1857)
Matemático francés nacido en el año de la Revolución, fundamentó el Cálculo infinitesimal dandodefiniciones precisas de conceptos como el de límite de una función que hasta ese momento seusaba de forma "intuitiva". Fue famoso su Curso de Análisis publicado en 1821.
Peter Gustav Lejeune Dirichlet( 1805 − 1859)
Matemático alemán, fue el sucesor de Gauss en la cátedra que éste ocupaba en la Universidad deGöttingen, una de las más prestigiosas y activas en los estudios científicos. La definición defunción que usamos hoy en día fue dada por Dirichlet en 1837.
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Bibliografía
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7| Bibliografía
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Bibliografía
Bibliografía
Matemáticas aplicadas a las CC.SS. II, Angélica Escoredo y otros, Proyecto La Casa delSaber, Ediciones Educativas de Santillana Educación S.L.
Matemáticas aplicadas a las CC.SS. II, Carlos González García y otros, Editorial EDITEXS.A.
El pensamiento matemático de la Antigüedad a nuestros días, Morris Kline, AlianzaUniversidad.
www.amolasmates.es
www.vitutor.com
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Créditos
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Acerca del autor
Juan Pedro Expósito ArribaProfesor del Departamento de Matemáticas del I.E.S. Virgen del PuertoPlasencia (Cáceres)e-mail: [email protected]
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