lneas de espera
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Lneas de Espera:
Teora de ColasCurso Mtodos Cuantitativos
Prof. Lic. Gabriel Leandrohttp://www.auladeeconomia.com
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Las colas
Las colas son frecuentes en nuestra
vida cotidiana:
En un bancoEn un restaurante de comidas
rpidas
Al matricular en la universidad
Los autos en un lavacar
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Las colas
En general, a nadie le gusta esperar
Cuando la paciencia llega a su lmite,
la gente se va a otro lugar Sin embargo, un servicio muy rpido
tendra un costo muy elevado
Es necesario encontrar un balanceadecuado
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Teora de colas
Una cola es una lnea de espera
La teora de colas es un conjunto de
modelos matemticos que describensistemas de lneas de esperaparticulares
El objetivo es encontrar el estadoestable del sistema y determinar unacapacidad de servicio apropiada
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Teora de colas
Existen muchos sistemas de colasdistintos
Algunos modelos son muy especiales
Otros se ajustan a modelos msgenerales
Se estudiarn ahora algunos modeloscomunes
Otros se pueden tratar a travs de la
simulacin
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Sistemas de colas: modelo bsico
Un sistema de colas puede dividirse
en dos componentes principales:
La colaLa instalacin del servicio
Los clientes o llegadas vienen en
forma individual para recibir elservicio
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Sistemas de colas: modelo bsico
Los clientes o llegadas pueden ser:
Personas
AutomvilesMquinas que requieren reparacin
Documentos
Entre muchos otros tipos deartculos
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Sistemas de colas: modelo bsico
Si cuando el cliente llega no hay
nadie en la cola, pasa de una vez a
recibir el servicio Si no, se une a la cola
Es importante sealar que la cola no
incluye a quien est recibiendo elservicio
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Sistemas de colas: modelo bsico
Las llegadas van a la instalacin del
servicio de acuerdo con la disciplina
de la cola Generalmente sta es primero en
llegar, primero en ser servido
Pero pueden haber otras reglas ocolas con prioridades
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Sistemas de colas: modelo bsico
Llegadas
Sistema de colas
ColaInstalacin
delservicio
Disciplinade la cola
Salidas
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Estructuras tpicas de sistemasde colas: una lnea, un servidor
Llegadas
Sistema de colas
Cola ServidorSalidas
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Estructuras tpicas de sistemas decolas: una lnea, mltiples servidores
Llegadas
Sistema de colas
Cola
ServidorSalidas
Servidor
Servidor
Salidas
Salidas
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Estructuras tpicas de colas: variaslneas, mltiples servidores
Llegadas
Sistema de colas
ColaServidor
Salidas
Servidor
Servidor
Salidas
Salidas
Cola
Cola
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Estructuras tpicas de colas: unalnea, servidores secuenciales
Llegadas
Sistema de colas
Cola
Servidor
Salidas
Cola
Servidor
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Costos de un sistema de colas
1. Costo de espera: Es el costo para el
cliente al esperar
Representa el costo de oportunidaddel tiempo perdido
Un sistema con un bajo costo de
espera es una fuente importante decompetitividad
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Costos de un sistema de colas
2. Costo de servicio: Es el costo de
operacin del servicio brindado
Es ms fcil de estimar El objetivo de un sistema de colas
es encontrar el sistema del costo
total mnimo
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Sistemas de colas: Las llegadas
El tiempo que transcurre entre dos
llegadas sucesivas en el sistema de
colas se llama tiempo entre llegadas El tiempo entre llegadas tiende a ser
muy variable
El nmero esperado de llegadas porunidad de tiempo se llama tasa mediade llegadas ()
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Sistemas de colas: Las llegadas
El tiempo esperado entre llegadas es
1/
Por ejemplo, si la tasa media dellegadas es = 20 clientes por hora
Entonces el tiempo esperado entre
llegadas es 1/ = 1/20 = 0.05 horas o3 minutos
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Sistemas de colas: Las llegadas
Adems es necesario estimar la
distribucin de probabilidad de los
tiempos entre llegadas Generalmente se supone una
distribucin exponencial
Esto depende del comportamiento delas llegadas
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Sistemas de colas: Las llegadasDistribucin exponencial
La forma algebraica de la distribucinexponencial es: ????
Dondet representa una cantidadexpresada en de tiempo unidades de
tiempo (horas, minutos, etc.)
tetserviciodetiempoP
1)(
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Sistemas de colas: Las llegadasDistribucin exponencial
Media Tiempo0
P(t)
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Sistemas de colas: Las llegadasDistribucin exponencial
La distribucin exponencial supone
una mayor probabilidad para tiempos
entre llegadas pequeos En general, se considera que las
llegadas son aleatorias
La ltima llegada no influye en laprobabilidad de llegada de lasiguiente
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Sistemas de colas: Las llegadas -Distribucin de Poisson
Es una distribucin discreta
empleada con mucha frecuencia para
describir el patrn de las llegadas aun sistema de colas
Para tasas medias de llegadas
pequeas es asimtrica y se hacems simtrica y se aproxima a la
binomial para tasas de llegadas altas
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Sistemas de colas: Las llegadas -Distribucin de Poisson
Su forma algebraica es:
Donde:
P(k) : probabilidad de k llegadas por
unidad de tiempo
: tasa media de llegadas
e = 2,7182818
!)(
k
ekP
k
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Sistemas de colas: Las llegadas -Distribucin de Poisson
Llegadas por unidad de tiempo0
P
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Sistemas de colas: La cola
El nmero de clientes en la cola es el
nmero de clientes que esperan el
servicio El nmero de clientes en el sistema
es el nmero de clientes que esperan
en la cola ms el nmero de clientesque actualmente reciben el servicio
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Sistemas de colas: La cola
La capacidad de la cola es el nmero
mximo de clientes que pueden estar
en la cola Generalmente se supone que la cola
es infinita
Aunque tambin la cola puede serfinita
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Sistemas de colas: La cola
La disciplina de la cola se refiere al
orden en que se seleccionan los
miembros de la cola para comenzarel servicio
La ms comn es PEPS: primero en
llegar, primero en servicio Puede darse: seleccin aleatoria,
prioridades, UEPS, entre otras.
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Sistemas de colas: El servicio
El servicio puede ser brindado por un
servidor o por servidores mltiples
El tiempo de servicio vara de clientea cliente
El tiempo esperado de servicio
depende de la tasa media de servicio()
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Sistemas de colas: El servicio
El tiempo esperado de servicio
equivale a 1/
Por ejemplo, si la tasa media deservicio es de 25 clientes por hora
Entonces el tiempo esperado de
servicio es 1/ = 1/25 = 0.04 horas, o2.4 minutos
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Sistemas de colas: El servicio
Es necesario seleccionar unadistribucin de probabilidad para lostiempos de servicio
Hay dos distribuciones querepresentaran puntos extremos:
La distribucin exponencial(=media)
Tiempos de servicio constantes(=0)
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Sistemas de colas: El servicio
Una distribucin intermedia es la
distribucin Erlang
Esta distribucin posee un parmetrode formak que determina sudesviacin estndar:
mediak
1
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Sistemas de colas: El servicio
Si k= 1, entonces la distribucinErlang es igual a la exponencial
Si k= , entonces la distribucinErlang es igual a la distribucindegenerada con tiempos constantes
La forma de la distribucin Erlang
vara de acuerdo con k
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Sistemas de colas: El servicio
Media Tiempo0
P(t)k =
k = 1k = 2
k = 8
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Sistemas de colas:Distribucin Erlang
Distribucin Desviacin estndar
Constante 0
Erlang,k = 1 media
Erlang,k = 2
Erlang,k = 4 1/2 media
Erlang,k = 8
Erlang,k = 16 1/4 media
Erlang, cualquierk
media2/1
media8/1
mediak/1
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Sistemas de colas: Etiquetas paradistintos modelos
Notacin de Kendall:A/B/c
A: Distribucin de tiempos entre llegadas
B: Distribucin de tiempos de servicioM: distribucin exponencial
D: distribucin degenerada
Ek: distribucin Erlang
c: Nmero de servidores
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Estado del sistema de colas
En principio el sistema est en un
estado inicial
Se supone que el sistema de colasllega a una condicin de estadoestable (nivel normal de operacin)
Existen otras condiciones anormales(horas pico, etc.)
Lo que interesa es el estado estable
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Desempeo del sistema de colas
Para evaluar el desempeo se
busca conocer dos factores
principales:1. El nmero de clientes que
esperan en la cola
2. El tiempo que los clientes esperanen la cola y en el sistema
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Medidas del desempeo delsistema de colas
1. Nmero esperado de clientes en lacolaLq
2. Nmero esperado de clientes en elsistemaLs
3. Tiempo esperado de espera en la
cola Wq4. Tiempo esperado de espera en el
sistema Ws
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Medidas del desempeo del sistema decolas: frmulas generales
qs
qq
ss
qs
LL
WL
WL
WW1
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Medidas del desempeo delsistema de colas: ejemplo
Suponga una estacin de gasolina a
la cual llegan en promedio 45 clientes
por hora
Se tiene capacidad para atender enpromedio a 60 clientes por hora
Se sabe que los clientes esperan enpromedio 3 minutos en la cola
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Medidas del desempeo delsistema de colas: ejemplo
La tasa media de llegadas es 45
clientes por hora o 45/60 = 0.75
clientes por minuto
La tasa media de servicio es 60clientes por hora o 60/60 = 1 cliente
por minuto
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Medidas del desempeo delsistema de colas: ejemplo
clientesWL
clientesWL
WW
W
qq
ss
qs
q
25.2375.0
3475.0
min41131
min3
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Medidas del desempeo delsistema de colas: ejercicio
Suponga un restaurant de comidasrpidas al cual llegan en promedio100 clientes por hora
Se tiene capacidad para atender enpromedio a 150 clientes por hora
Se sabe que los clientes esperan enpromedio 2 minutos en la cola
Calcule las medidas de desempeodel sistema
P b bilid d did d l
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Probabilidades como medidas deldesempeo
Beneficios:Permiten evaluar escenarios
Permite establecer metas
Notacin:
Pn : probabilidad de tenern clientesen el sistema
P(Wst) : probabilidad de que uncliente no espere en el sistema msdet horas
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Factor de utilizacin del sistema
Dada la tasa media de llegadas y latasa media de servicio , se define elfactor de utilizacin del sistema .
Generalmente se requiere que < 1
Su frmula, con un servidor y cons
servidores, respectivamente, es:
s
F d ili i d l i
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Factor de utilizacin del sistema -ejemplo
Con base en los datos del ejemplo
anterior, = 0.75, = 1
El factor de utilizacin del sistema sise mantuviera un servidor es
= / = 0.75/1 = 0.75 = 75%
Con dos servidores (s= 2):
= /s = 0.75/(2*1) = 0.75/2 = 37,5%
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Modelos de una cola y un servidor
M/M/1: Un servidor con llegadas de Poisson y
tiempos de servicio exponenciales
M/G/1: Un servidor con tiempos entrellegadas exponenciales y una distribucin
general de tiempos de servicio
M/D/1: Un servidor con tiempos entrellegadas exponenciales y una distribucin
degenerada de tiempos de servicio M/Ek/1: Un servidor con tiempos entre
llegadas exponenciales y una distribucin
Erlang de tiempos de servicio
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Modelo M/M/1
1,0
)()(
)()1(
)(1
)(
)1()1(
1
2
t
etWPetWPnLPP
WW
LL
t
q
t
s
n
s
n
n
qs
qs
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Modelo M/M/1: ejemplo
Un lavacar puede atender un auto cada5 minutos y la tasa media de llegadas esde 9 autos por hora
Obtenga las medidas de desempeo deacuerdo con el modelo M/M/1
Adems la probabilidad de tener 0
clientes en el sistema, la probabilidad detener una cola de ms de 3 clientes y laprobabilidad de esperar ms de 30 min.
en la cola y en el sistema
Modelo M/M/1: ejemplo
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Modelo M/M/1: ejemplo
17.0)60/30(
22.0)60/30(
32.0)3(25.0)1(
min1525.0)(
min2033.01
25.2)(
3
75.0
12
9,12,9
)1(
)1(
130
0
2
t
q
t
s
s
q
s
qs
eWP
eWP
LPP
hrsW
hrsW
clientesLclientesL
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Modelo M/M/1: ejercicio
A un supermercado llegan en promedio 80clientes por hora que son atendidos entresus 5 cajas.
Cada caja puede atender en promedio aun cliente cada 3 minutos
Obtenga las medidas de desempeo deacuerdo con el modelo M/M/1
Adems la probabilidad de tener 2 clientesen el sistema, la probabilidad de tener unacola de ms de 4 clientes y la probabilidadde esperar ms de 10 min. en la cola
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Modelo M/G/1
1
1
1
)1(2
0
222
w
q
qqs
qqs
PP
LWWW
LLL
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Modelo M/G/1: ejemplo
Un lavacar puede atender un autocada 5 min. y la tasa media dellegadas es de 9 autos/hora, = 2 min.
Obtenga las medidas de desempeode acuerdo con el modelo M/G/1
Adems la probabilidad de tener 0
clientes en el sistema y la probabilidadde que un cliente tenga que esperar
por el servicio
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Modelo M/G/1: ejemplo
75.025.01
min7.8145.0
min7.13228.01
31.1)1(2
06.275.31.1
0
222
w
q
q
qs
q
qs
PP
hrsLW
hrsWW
clientesL
clientesLL
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Modelo M/G/1: ejercicio
A un supermercado llegan en promedio 80clientes por hora que son atendidos entre sus5 cajas.
Cada caja puede atender en promedio a uncliente cada 3 minutos. Suponga = 5 min
Obtenga las medidas de desempeo de
acuerdo con el modelo M/G/1 Adems la probabilidad de tener 0 clientes en
el sistema y la probabilidad de que un cliente
tenga que esperar por el servicio
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Modelo M/D/1
1
1
)1(2
2
q
qqs
qss
LWWW
LWL
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Modelo M/D/1: ejemplo
Un lavacar puede atender un autocada 5 min.
La tasa media de llegadas es de 9
autos/hora.
Obtenga las medidas de desempeode acuerdo con el modelo M/D/1
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Modelo M/D/1: ejemplo
min5.7125.0
min5.1221.01
125.1
)1(2
875.1
2
hrsL
W
hrsWW
clientesL
clientesWL
q
q
qs
q
ss
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Modelo M/D/1: ejercicio
A un supermercado llegan en promedio80 clientes por hora que son atendidosentre sus 5 cajas.
Cada caja puede atender en promedioa un cliente cada 3 minutos.
Obtenga las medidas de desempeo de
acuerdo con el modelo M/D/1
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Modelo M/Ek/1
1
1
)1(2
)1(2
q
qqs
qss
LWWW
k
kLWL
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Modelo M/Ek/1: ejemplo
Un lavacar puede atender un auto
cada 5 min.
La tasa media de llegadas es de 9autos/hora. Suponga = 3.5 min(aprox.)
Obtenga las medidas de desempeode acuerdo con el modelo M/Ek/1
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Modelo M/Ek/1: ejemplo
min25.111875.0
min25.162708.01
6875.1)1(2
)1(
437.2
2
hrsL
W
hrsWW
clientesk
kL
clientesWL
q
q
qs
q
ss
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Modelo M/Ek/1: ejercicio
A un supermercado llegan en promedio80 clientes por hora que son atendidosentre sus 5 cajas.
Cada caja puede atender en promedioa un cliente cada 3 minutos. Suponga
k= 4
Obtenga las medidas de desempeo deacuerdo con el modelo M/Ek/1
Modelos de un servidor: Ejercicio:
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Modelos de un servidor: Ejercicio:complete el cuadro ejemplo lavacar
Modelo Ls Ws Lq Wq
M/M/1
M/G/1
M/D/1
M/Ek/1
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Modelos de varios servidores
M/M/s: sservidores con llegadas dePoisson y tiempos de servicioexponenciales
M/D/s: sservidores con tiempos entrellegadas exponenciales y una distribucindegenerada de tiempos de servicio
M/Ek/s: sservidores con tiempos entrellegadas exponenciales y una distribucinErlang de tiempos de servicio
M/M/s una lnea de espera
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M/M/s, una lnea de espera
00
0
02
1
0
0
!
1,
!
,!
1
)()!1(
!!
1
Ps
s
sPknsiP
ssP
knsiPn
PWW
LWLLPss
L
ns
s
s
P
s
wsn
n
n
n
nqs
qqqs
s
q
s
n
ns
-
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M/M/s, una lnea de espera
)46)(3(
3
4
2
2
4
2
3
q
q
L
sSi
L
sSi
Anlisis econmico de lneas de
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Anlisis econmico de lneas deespera
Costos
Tasa de servicioTasa ptima
de servicio
Costo de espera
Costo del servicio
Costo total
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