lo standard model come teoria effettiva
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LO STANDARD MODEL COME TEORIA EFFETTIVA. Paolo Bellan. Università di Padova - Dottorato di Ricerca in Fisica - XX Ciclo. CONTENUTI. & dello SM Origine delle masse nello SM Correzioni quantistiche ad m H - PowerPoint PPT PresentationTRANSCRIPT
LO STANDARD MODEL
COME
TEORIA EFFETTIVATEORIA EFFETTIVAPaolo Bellan
Università di Padova - Dottorato di Ricerca in Fisica - XX Ciclo
CONTENUTICONTENUTI
& dello SM
Origine delle masse nello SM
Correzioni quantistiche ad mH
Il Potenziale Efficace I: descrizione qualitativa
Il Potenziale Efficace II: derivazione analitica e tecniche di calcolo
Il Potenziale Efficace III: R-G improvement
Stabilità e metastabilità del potenziale
La probabilità di tunneling: derivazione, BOUNCE
Correzioni quantistiche: accenni alle tecniche e risultati.
Descrive coerentemente praticamente tutti i fenomeni osservati nel laboratori di Fisica delle particelle e di HEP;
Testato con successo sino alle energie della scala e-w (~ 102 GeV);
Eccellente accordo coi dati dei vari esperimenti di tutto il mondo;
Contiene “CHICCHE” teoriche di notevole importanza: rinormalizzabilità del modello, meccanismo GIM, presenza di simmetrie accidentali etc.
Non contempla la Gravità;
Non fornisce possibili spiegazioni per alcuni fenomeni
sperimentali (masse dei neutrini, pentaquarks(?), QGP, …);
astrofisici (D.E. / D.M.);
Non spiega l’origine dell’entità delle masse dei fermioni, del mixing tra i flavour e della violazione di CP;
Troppi parametri liberi;
Non si pronuncia sull’unificazione delle c.c. ad alte energie
Problemi della GERARCHIA di gauge / della NATURALEZZA
Naturale considerare lo SM quale una Teoria EfficaceTeoria Efficace o di bassa energia, restirzione di una teoria piú generale con nuovi gradi di libertà @ ΛNP
termini cinetici nella forma:
RL Di LR Di ove )(
YBgiWigTDD aa
ma non sono permessi termini di massa di Dirac o di Majorana:
(Majorana) oppure (Dirac) 22 RTRL
TL MMM
Pertanto per i campi a spin ½ i termini di massa sono proibiti nel limite di simmetria esattaMa anche per i campi bosonici Aμ a spin 1 sono proibiti termini di massa tipo M2AμAμ....
Tali termini di massa si dicono
Rimangono “non protetti” soltanto i termini di massa per campi a spin 0 tipo M2φL
+φL…
Per generare le masse non nulle di fermioni e bosoni di gauge si introduce la rottura spontanea della simmetria di gauge della lagrangiana mediante l’introduzione di un campo scalare φ dal VEV non nullo ed il meccanismo di Higgs…
Proprietà di anti-commutazione delle matrici γ ( ↔ comportamento sotto trasformazioni di Lorentz )
richiesta di invarianza sotto trasf. di Gauge
locali
Per campi a spin ½:
Scelta più semplice:• φ “elementare” (anche se si studiano teorie in cui…)• doppietto di SU(2) (affinché siano scalari i termini di massa dei fermioni tipo • potenziale semi-definito positivo ed inf. limitato a d ≤4 φ4
) fR
fL
fg
Landau di '0
4
1vv2
2
1v
4
1)( :campo il oRidefinend
2/2/v ; )()(
.)(),,(
43224
222220
poloainstabilit
HHHHV
VV
fermionicicouplingsVDDAL iiHiggs
2HM
Higgs self -interactions
NB: struttura valida solo a livello albero correzioni quantistiche potenzialmente larghe…
MH non è protetta da alcuna simmetria dipendenza quadratica dal cut-off della teoria: δm² ~ Λ²
NUOVA PARTICELLA di massa M
2
22
2
22
MlogM
16
gm
R Lm
Stabilità del settore bosonico / fermionico rispetto alle correzioni radiative: δm/m << 1 up 2 M~1019GeV
Se M2 >> 102 GeV severo fine-tuning ad m²bare per mantenere v ~ 246 GeV
(Tecnicamente) INNATURALE (ma non impossibile!) problema del fine-tuning e della sua stabilità
M
log 16 2
2
2
22
mg
m
Sparisce la dipendenza power-like dal cut-off nel potenziale di Higgs
0,,
0,,,
PQPQQQQQ
PQQfermionbosonQ
bosonfermionQ
Una soluzione elegante
alla questione viene dalle teorie SUSY:
“ − ” “ = ” 0
bosone fermione
Con le SUSY il problema della “big hierarchy” (scala ew << Plank) non è più un problema tecnico (ma la sua origine rimane inspiegata…)
Altro sospetto di una teoria soggiacente più ampia: cancellazione dell’anomalia della corrente assiale sommando su ciascuna famiglia fermionica
cba
vvA
TTTC
FFCJ
,Tr
f
fV
fV
fA TTT 0
VJ
AJ
VJ
f
ale / vettoriassiale corrente:/
VAJ
Tale grafico conduce alla violazione della simmetria classica della lagrangiana; se JA è associata ad una corrente di gauge e C≠0 la rinormalizzabilità e persa! A MENO CHE sommando sulle varie famiglie fermioniche non avvenga che:
! 0,,,
3
LLLLL evduf
QQTed infatti guarda caso
i
iNP
iSMeff
cLL ...)5(
Leff NON è rinormalizzabile in senso stretto, ma può esserlo odine per ordine Effective QFT
Quanto vale ΛNP ?
Fino a quale scala lo SM e una buona teoria effettiva,
cioè
PURTOPPO lo SM è rinormalizzabile! Gli effetti dei nuovi d.o.f. possono venir nascosti nella rinormalizzazione delle coupling degli operatori a d≤4 i nuovi d.o.f. si DISACCOPPIANO
Parte rinormalizzabile (tutti i possibili operatori a d≤4 compatibili con la simmetria di gauge)
due possibili approcci sono:
Possibile parametrizzazione dei nuovi gradi di libertà
• studio della stabilità del potenziale di Higgs sotto correzioni quantistiche, dalla scala ew fino a ΛNP
• ricerca indiretta di NP indotta dagli operatori a d>4 (test di precisione e processi rari)
Spettro di masse di una teoria di gauge
VEV degli scalari φi della teoria,(invarianti sotto traslazioni, conservazione dell’ impulso NON SSB) Funzioni di Green (=VEV di un prodotto di campi T-ordinato
Il “Potenziale” V(φi) è definito come l’opposto della parte non derivativa della (densità di) Lagrangiana
Si cercano le soluzioni delle e.o.m. invarianti sotto traslazioni
0
i
V
Densità di Lagrangiana “classica” per un campo scalare φ
Hamiltoniana densità di energia (di un sistema classico in termini del VALORE) del campo φ(x)
densità di energia di un campo costante φ
Per studiare l’effetto delle correzioni quantistiche sul potenziale di Higgs si introduce il concetto di POTENZIALE EFFETTIVOPOTENZIALE EFFETTIVO.
QualitativamenteQualitativamente:
Soluzioni della:
CORREZIONI QUANTISTICHE
Contributi alla densità di energia del campo φ tenendo conto delle possibili emissioni e riassorbimenti di particelle virtuali contributi dei loop di particelle virtuali all’energia di interazione
INTERAZIONI grafici con un certo numero di gambe esterne:
0 gambe est.
Energia del vuoto shift del livello 0 dell’energia di una costante
1 gamba est.
Assorbiti in una ridefinizione (shift) del campo
I grafici riducibili (separabili in due distinti dal taglio di una linea interna) non contribuiscono all’energia di interazione (il loro contributo si semplifica nello sviluppo della matrice S…)
Le correzioni quantistiche al potenziale classico si ottengono sommando tutti e soli i grafici “1PI”.
+ +
+ …+
+ …
+ + …
Per esempio, esempi di grafici 1PI che contribuiscono alle correzioni quantistiche al propagatore (per una teoria massless tipo λφ4, solo interazioni 4-lin):
convenzionalmente valutati senza propagatori sulle gambe esterne.
Potenziale ↔ termini senza derivate nei campi si può considerare infinitesimo l’impulso nelle gambe esterne di tali grafici
Correzioni quantistiche al potenziale classico ↔ somma di tutti e soli i grafici “1PI” ↔ Potenziale efficace, il cui (nuovo) minimo determina se avviene la SSB
Più quantitativamente…
•Si inserisce una “fonte esterna” J(x) linearmente accoppiata al campo φ; è un C-numero in funzione del punto dello spazio-tempo
•Il funzionale generatore W(J) e` definito in termini dell’ampiezza di transizione tra gli stati di vuoto nel iniziali e finali in presenza della fonte esterna J
•I coefficienti G dell’ espansione in serie di Taylor funzionale di W sono le funzioni di Green connesse
•La trasf. di Legendre funzionale di J fornisce l’azione effettiva Γ(φc); φc e’ chiamato il “campo medio” o “classico” (obbedisce all’eq. classica…)
•Nell’espansione dell’ l’azione effettiva in serie di potenze di φc si individuano le funzioni di Green dei grafici 1PI della teoria, detti anche vertici propri, mentre espandendola potenze delle derivate di φc (in impulso dal punto in cui quelli esterni si annullano) si definisce il potenziale efficacepotenziale efficace
...)(2
1)(
)( ... )( ) ...( ...!
1)(
)()(
)()( )()(
00
00
)(
)( )...( ) ...( ...!
1
][ exp
][ exp00][
)()(
24
11)(4
14
4
11)(4
14
][
4
4
ccceff
nnccn
nnc
c
cc
JInOut
InOutc
nnn
nn
JiW
JInOutdisc
ZVxd
xxxxxdxdn
xJx
xxJxdJW
xJ
W
xJxJxxGxdxdn
W
eDxdL
DxdLJS
xxJLLL
STRATEGIA
Espansione in impulso
Espansione in potenze di φc
Somma di tutti i digrammi connessi con n linee esterne
Somma di tutti i diagrammi 1PI con
n linee esternePOTENZIALE
EFFICACE
L= ½(∂φ)²- ½ μ²φ² - (λ/4!)φ4
+φ → -φ
=
scompaiono le potenze dispari negli sviluppi in potenze di Γ e Veff;
Veff(φc) ~ densità di energia dello stato in cui φ(x)≡φc = const o meglio valore di aspettazione della densità di energia nello stato ψ che minimizza <ψ|H|ψ> sotto la condizione <ψ|φ(x)|ψ> = φc
:risulta (*) lacon terminea terminedoconfrontan e 0 ad attorno ) ..., ,( espandendo
) ..., ,(ˆ)(2
...
)( )2( )( ... )( ...! 2
1 )(
)( ... )( ) ..., ,( ...! 2
1)(
(*) ...)(2
1)( )(
: di derivate delle potenzein Espandendo
1)2(
1)2()...(
4*2n2
41
40
4212
41
4
0211
)2(2
41
4
24
2211
inn
nnpxpxin
ninccn
nnccn
nnc
ccceffc
c
ppp
ppepdpd
pxxxdxdn
Fourier
xxxxxdxdn
ZVxd
nn
0
22 )0,...,0(][! 2
1)(
n
nncc n
V Il potenziale efficace é dunque somma di tutti i diagrammi 1PI con impulsi infinitesimi sulle gambe esterne.
)()()(2
1 2ctree UVUL
loopV 1 + + + …
Dunque avremo: livello albero
+ correzioni
Correz. radiative → potenziale efficace → diagrammi 1PI →
→ integrali sull’impulso → divergenze → RINORMALIZZAZIONE!RINORMALIZZAZIONE!
Teorie rinormalizzabili ↔ divergenze riassorbite nella ridefinizione di parametri e campi.
04
4
02
222
)(
)(
)0(
c
c
xd
Vd
xd
Vdp
cR
ciR
Definendo la (massa)² del mesone come
l’inverso del propagatore @ p=0:
…e la costante di accoppiamento tramite la funzione a quattro punti sempre a @ p=0:
Il valore <φ> di φc a cui si trova il minimo è il valore di aspettazione di φ nel nuovo minimo
0)(
| 0 se SSB
)()(
00
00
)(
xxJ
x
xJ
W
cc
c
JInOut
InOutc
VEV invarianti per traslazioni
) (diciamo0, qualcheper
0)(
se SSB
xd
dV
c
c
eff
Il meccanismo della SSB avviene se φc assume un VEV non nullo anche se J(x) va a zero:
tramite queste si ricaverà massa e coupling, definendo φ' = φ - <φ> ( φc' = φc - <φ>) e valutandole NON in zero bensì in φc = <φ>
LL 1
Potenze di α = N°[linee int.] - N°[vertici]
N°[ loop]= N°[integrali INDIP sul momento]
= N°[linee int.] - N°[vertici] - 1[pTot = cost ]
potenze di α = N°[ loop] +1
non influenza la sua divisione nella parte libera e di interazione, o lo shift dei campi
loop-expansion sviluppo in una costante che moltiplica l’intera lagrangiana (p.es h, poi posta uguale ad uno)
≈Pertanto:
Potenziale efficace ↔ somma su tutti gli infiniti grafici 1PI… ?! Impossibile!
Poi sarà α = max [g²,g'²,λ,yt…]/4π; vogliamo sia << 1
Il potenziale a one-loop è dunque la somma di tutti i diagrammi ad un loop con attaccati all’anello uno-due-…-N “ciuffi” di n-2 gambe esterne, se n è la potenza a cui compare φc
nel potenziale. Se il potenziale è del tipo g(φc)n/n!, per l’r-esimo grafico della somma avremo:
r propagatori r vertici a (n-2)r gambe
r(n-2) linee esterneLa loop
simmetria per rotazioni e riflessione del grafico definizione di funzionale generatore
fattore (k2+iε)-r
fattore g/(n-2)! CIASCUNO (invarianza dello scambio delle n-2 linee est. a ciascun vertice)
fattore g∙φcr(n-2)
integrazione sull’impulsofattore combinatorio 1/2r
Una “i”
Il potenziale effettivo a one-loop sarà:
con una rotazione di Wick, nel piano Euclideo avremo:
2
2
4
41
12
2
4
41
k 2)!-(n1ln
)2(2
1
! )(
k
)!2/(
2
1
)2(! )(
nc
nc
cloop
eff
r
rnc
nc
cloop
eff
gkd
ngV
i
ng
r
kd
ngV
Se ci fosse nel potenziale un altro termine del tipo g`(φc)m/m! come argomento del log sarebbe comparso un termine analogo ma con potenza e fattoriale pari a m-2.
Per un generico potenziale polinomiale U avremmo:
24
41
k
)(1ln
)2(2
1)()( c
ccloop
eff
UkdUV
Divergente! si taglia a k = Λ (e se la th è rinormalizzabile la dipendenza da Λ sparirà)
Un metodo alternativo (Lee-Sciaccaluga) molto semplice e più efficace ad ordini superiori: espansione dell’azione effettiva non attorno a φc=0 ma attorno ad φc = ω Γ(n) sarà il generatore dei diagrammi 1PI di una teoria in cui φc è stato sostituito da φc – ω; l’espressione per il potenziale efficace conterrà ora potenze di φc – ω.
Differenziando ora l’espressione di Γ(1) rispetto ad ω e ponendo φc = ω si ottiene subito:
id
dV
c
)1(
“ ”
c
kkd
k
kdi
V cc
2224
4
2224
4
44220
3ln)2(2
1
3
!3
)2(2
)(4
1)(
2
1
Per esempio nel caso di una teoria con scalare massivo auto-interagente avremo il “solito” potenziale dello SM, shiftato di ω:
La massa di φc ora vale μ2 + λω2 : il termine tri-lineare sarebbe –λωφc3 così tale vertice avrebbe il fattore –3!iλω il tad-pole varrebbe:
Moltiplicato per i ed integrando su ω:
cioè come prima a meno di costante.
Per un potenziale quartico
42222
222
)3ln(64
)3(ccc
ctreeeff baVV
4
1
2
1 422 treeV il potenziale efficace risulta:
con a e b controtermini (cutoff-dependent) da determinarsi con le condizioni di rinormalizzazione
Inoltre, se φc piccolo & μ²<0 → V immaginario!
Occorre implementare la sottrazione ad un valore di φc tale che Veff sia reale
L’origine non è più di minimo, ma ve ne può essere uno nuovo SSB!SSB!
04
4
02
222
)(
)(
)0(
c
c
xd
Vd
xd
Vdp
cR
ciR
Rinormalizzazione PROBLEMA!
La derivata IV del potenziale non esiste, ha una singolarità logaritmica nell’origine!
Si definisce allora la c.c. in un qualche arbitrario “punto” M lontano dalla singolarità:
Mc
R cxd
Vd
)(4
4
Così facendo:
• si introduce un parametro arbitrario M con le dimensioni di una massa;
• il nuovo minimo dipende da M, cosiccome la c.c.
• La dipendenza da M NON entra nella fisica: cambiando M cambia solo λR
Il valore a cui si opera la sottrazione può essere LONTANO dal range di validità della loop-expansion: affinché sia affidabile, il parametro di espansione dev’essere sia << 1
2
2
2
2
2
24
2
24
ln16
9
6
25ln
64
9
4
1
M
MMM
MV
RR
cc
RcReff
1ln)( che Vogliamo ln)(2
2)1(
2
21
MV
MV c
ceff
n
cnc
loopneff
posso fissare adeguatamente M; ma se voglio lavorare in un intervallo del potenziale tra φ1 e φ2 , dovrà essere anche ln( (φ1/φ2)²) << 1;
Occorre calcolare il potenziale efficace “RG-improved”
M arbitrario (entra nell’espressioni di λ); la “Fisica”, il Veff non deve dipendervi (le dipendenze si devono poter assorbire) →→ Equazioni del gruppo di rinormalizzazione;
dM
dM
dM
dgMg i
i
/
),(
0)(0
eff
ig
eff VgM
MM
Vi
βgi: “β-function” (una per ciascuna coupling) e γ “dimensione anomala”: coefficienti parametrici che dipendono dalle c.c. e da M
β e γ sono note solo come sviluppi in serie di potenze nelle c.c., che saranno affidabili se le gi << 1 SENZA richiedere che gi ln(φc/M) << 1 !
NB Una RGE per ciascuno dei termini μ²φ², (λ/4!)φ4 del potenziale; quindi avremo le β-function βμ , βλ (in realtà un’equazione per ciascuna Γ(n), visto non devono dipendere dalla scala di rinormalizzazione M)
Condizioni al contorno per le RGE:
2)247(2
2
)247(
0 )(
HGeVv
c
GeVvc
md
Vd
xd
dV
Note dunque le masse di fermioni ed Higgs, risulta determinato il potenziale efficace “RG-improved”;
viceversa dal suo calcolo e confronto coi dati si possono mettere limiti su mH…
SCALARI:
BOSONI
DI GAUGE:
FERMIONI:
Nello SM avremo anche (TUTTI a M=0):• campi bosonici a spin 0, φa • bi-spinori di Dirac, ψa
• campi vettoriali, Aaμ
• campi ghost
+
+ + …
+ …
+ + …
CONTROTERMINI DALLA RI-NORMALIZZAZIONE DELLE C.C. ( Vc in funz degli altri 4 termini)
bacabs
VWV
02
)(
2
2
2
2
24
2
2
24
2
)(ln)(
64
1
)(~
ln)(~
64
3
)(ln)(
64
1
M
mmmmTrV
M
MMTrV
M
WWTrV
ccf
ccg
ccs
...)(~
2
1... 2
b
abasgg AAMLV
Solo grafici con un numero pari di gambe esterne (la traccia di un num. dispari di matrici γ vale zero)
…tutti con interazioni rinormalizzabili:• gauge invarianti• self-interaction quartiche per i φa • Yukawa-type per quelle bosoni - fermioni
Gauge di Landau
cgfstree VVVVVV
Poligoni n-agoni
∑(possibili mesoni interni) ≡ Tr{∏ matrici(attorno alla loop)}...)(... b
ababasff mLV
)(2cabM
)( cabW
)( cabm
NB: Se gY (=√2mtop/σ) è grande B può diventare
negativo!
Potenziale non limitato minimo instabile!
g, g' c.c. di gauge e gY Yukawa-coupling del top
Nel modello GWS standard avremo:
4422422
24
0
2
24
2
4
2
22222
22
22222
2
2
24
2
2224422
)23(16
1
64
3con ln
:scalari loop i abilicur trasAssumendo ln64
3
ln)(64
33ln)3(
64
1
ln1024
])(2[3 ;
4
1
2
1
Yc
c
cc
Yf
cc
ccs
ccgcctree
gfstree
gggggBM
BVV
M
gV
MMV
M
gggVV
VVVVV
22442
222
41
v2v( et ...1294),(con
),(log),(4),(16
1)(
4
1
/ M)λggg
gOM
ggMV
Higgstti
iiiloop
eff
Sommando tutti i contributi dei loop con scalari, fermioni e bosoni vettori, trascurando i contributi di tutti i quark escluso il top e ponendosi a φ<<v si perviene all’espressione:
)(),()()(4
1)( 224 MgMOMMV ieff Risommando i Log:
0)(| aInstabilit )(4
1)v(
~ @ zatorinormaliz ),( di nel eriassorbit
vengono)( ad hequantistic correzioni le vPer
4
HHHHHV
HMMrunning
HVH
LA RICHIESTA DELLA STABILITA’ DEL POTENZIALE PER φ<Λ COINCIDE COL LA CONDIZIONE λ(Λ)>0
Differenti comportamenti del potenziale a seconda del valore iniziale di λ(M) ↔ mH
Veff(φ)
φv
Valori iniziali di λ (di mH)
troppo granditroppo grandi portano ad un polo prima della scala di Plank
Valori troppo piccoli conducono ad una λ negativa IL VUOTO DELLO SM DIVENTA INSTABILE!
Soltanto per mH in una limitata finestra di valori lo SM rimane stabile sino alle energie di Planck…
Log10(Λ/1GeV)
Se λ(M) diventa negativa per M > Λ si può ripristinare la stabilità assoluta del minimo e-w (NO nuovi minimi del potenziale) introducendo nuovi gradi di libertà (NP) PRIMA della scala Λ, per “congelare” il running di λ grazie a loop di nuove particelle (SUSY, p.es.) limiti superiori sulla scala di NP in funzione di mH (ed mt).
FLUTTUAZIONI QUANTISTICHE (@ T~0)
calcolabili in modo model-indep.
FLUTTUAZIONI TERMICHE
paragonabili alle quantistiche solo @ T~108 GeV
Ma l’assoluta stabilità non è richiesta da alcuna evidenza sperimentale!
Se si RINUNCIA alla richiesta di stabilità assoluta “accontentandosi” che il vuoto e-w sia (instabile ma) sufficientemente longevo, si può allora rilassare le condizioni e richiedere la stabilità del minimo sotto:
(non ne parleremo)
Limiti su mH dalla richiesta che la probabilità di QUANTUM TUNNELING del minimo ew integrata sull’età dell’Universo TU sia piccola
Possono aver avuto un ruolo importante nelle primissime fasi di vita dell’Universo…
φ-
φ+ φ
U CLASSICAMENTE: 2 eq. stabili: φ+ , φ- .
QUANTISTICAMENTE: 1 solo eq. stabile: φ-
φ+ reso instabile dalle fluttuazioni quantistiche (effetto tunnel, “barrier penetration”): è un “FALSO VUOTO”
Con un potenziale simile si potrebbero dunque formare bolle di vero vuoto in un fondo omogeneo di falso vuoto…
Analogia: fluido sovra-riscaldato formazione di bolle di vapore: energia minore all’interno, maggiore all’esterno (fase di vapore ↔ MINORE energia libera)
crescita guadagno in en. di volume VSVS perdita di en. di superficie
effetti in competizione, compensazione o meno: le bolle piccole scompaiono, le bolle grandi crescono
1)( | t Se 4 pastVV
p Dcone
~ O(1 ms): l’universo è ancora caldo quando il falso vuoto decade
~ O(1 yr): brusco cambiamento di stato dell’Universo (Big Bang secondario?)
~ O(109 yr): …C’E` DI CHE PREOCCUPARSI!
Quantità rilevante: probabilità di decadimento del falso vuoto x unità di volume e di tempo
0)(
2
1
0)(2
1
2
2
2
qVd
qd
d
qdq
V
d
qd
qVd
qdddLE
)(220
q
qVdqB
)(220
2
q
qdqddsqVdsB
0 20
q
Vds
Quantisticamente il minimo q0 non è stabile: grazie a fluttuazioni quantistiche la particella può penetrare la barriera. L’ampiezza di transizione per tale processo ha la forma:
Si può scegliere Etot=0 e lo zero dell’energia in modo che il punto di eq. “classico”, q0, sia zero di V; σ è il II zero di V.
Consideriamo il problema 1-D con m=1 e V(q):
-V(q)
σ q
VV(q)
q0
)(2
1 2 qVqL
)(1V/ / OAe B
)(2
1qVqqL
σ Σ superficie di minimi; l’intergale sarà su quel percorso per cui B è minimo: la particella penetra dove trova meno resistenza
Formalmente il problema è equivalente studiare il problema variazionale canonico, ove però:
EqVdt
qd
dt
qd
q
V
dt
qd
VEdsestremi
fissi
)(2
1
0)(2
2
2
it
0E
-VV
ove:
)(2
1 2 qVqLE
Generalizzando in più dimensioni:
.0)(2
1 qV
d
qd
d
qd
0)( 0 qV
Ma
-V(q)
σ q
VV(q)
q0
0lim qq
Inoltre potendo scegliere come istante zero quello in cui la particella raggiunge σ, dovrà essere:
00
d
qd
0
)(20
dLqVds E
q
Quindi
Notiamo che la variazione di quest’espressione rispetto ad un cambio del punto σ di Σ si annulla (quella condizione si può dunque rilassare…)
Per τ>0 il suo moto è l’esatto inverso che per τ<0: balza fuori da Σ a τ=0 e torna in q0 a τ=∞.
EE SdLB
La particella parte in q0 a τ = -∞, colpisce la superficie degli equilibri “classici” dall’altra parte della barriera, e BALZA indietro in q0 ad τ = +∞. Questo moto viene appunto detto il “bounce”
Quindi per conoscere B:
• si risolvono le e.o.m. a tempo immaginario con le appropriate condizioni al contorno
• se ne calcola l’azione euclidea
NB_1: con PIU’ bounces prendo quello che minimizza l’azione euclidea
NB_2: con PIU’ bounces a pari azione sommo tutti tali contributi su Γ (integro sul gruppo di simmetria )
Tornando ai campi, l’e.o.m. a tempo immaginario sarà:
UxddSB E2
23
2
1
2
1
con condizioni al contorno: (la 1 ci dice che al principio c’è ovunque il “falso” vuoto)
Inoltre: B finita (↔ lontano dalla “bolla” di vero vuoto il vuoto rimane quello “falso”)
2/122 xr
)(r
definito:
così avremo che:
0
232
2
12 U
dr
ddrrSB E
)(22
2
U
(2) 0),(
(1) ),(lim
x
x
;),(lim x
x
)(3
2
2
U
dr
d
rdr
d
0)(
(1) )(lim
0
rdr
rd
rr
(continuità nell’origine)
traslazioni spaziali di soluzioni sono ancora soluzioni
il bounce è invariante per rotazioni euclidee 4-D
(soluzioni non O(4) invarianti hanno azione maggiore ignorabili)
si vede che esistono sempre soluz alle equazioni sopra, diventate:
φ-
φ+ φ
U
U(φ)
-U(φ)
b≡b(r) • è calcolabile in forma chiusa nella “tiny wall approximation” (piccola ΔE tra I due
minimi)
• la funzione φ fornisce la forma del bounce nello spazio 4-D euclideo come in quello ordinario al momento della sua materializzazione al di là della barriera
• l’O(4)-invarianza diviene O(3,1) la crescita della bolla dopo la sua materializzazione appare la stessa ad ogni osservatore di Lorentz
• tutta l’energia guadagnata nella conversione del falso vuoto nel vero vuoto, quindi nella crescita finisce nell’accelerazione della bolla stessa
0),0(
),0(),0(
t
xtxxt
poi evolve secondo l’
equazione dei campi classici:
analogia QFT meccanica: il campo classico compie un “balzo” dallo stato definito dalle
)(22
2
Ut
)(22
2
U
),( xt
continuazione analitica
22
txr
)](1[)(det
)](1[
:gaussiane di prodotto diventa integralel'
)( :D di autovalori Scelti
0)(S
| !
0)2/( ; )()(con
)()( ,)2/(Per
)2( ; 2
1
per
2/12)(
2/1)(
2
2
2
2
2/
2/
/
2/12/
2/
2
OxVNe
ONexex
xxxVdt
xdSx
xVdt
xd
xxSuponiamo
Txdttxtx
xctxtxxTx
dcdxVdt
dxdtS
dxeNxnnxenEnHxex
t
xS
nn
xS
i
HT
f
nnnn
n
nnmmn
T
T
nnnfi
nn
T
T
S
nif
TE
ni
HT
f
n
Versione euclidea (τ=it) dell’ integrale di Feynman sui cammini
Eq di una particella (di massa unitaria) che si muove sotto un potenziale –V E=1/2(dx/dt)²-V(x) è integrale primo
Ivi il termine dominante per grandi T “parla” dell’ autostato più basso dell’energia
Nel limite semiclassico, dominato dai (contributi dei) punti stazionari di SAzione
euclidea
Circa il coefficiente A:
0)(3
)()(
2
2
2
bVdr
db
rdr
bd
xxrbVb
b è il “BOUNCEBOUNCE”
la soluzione delle equazioni del moto euclidee (τ = it):
soddisfacente alle condizioni:
)(1/][4
0 OeR
Tp bSU
Siamo al risultato:(semi-classical
approx.)
) ( 2
1)( euclidea azione :S0
bVbb
tree-level
connette le regioni di falso vuoto con quelle di vero vuoto al di là della barriera; è O(4)-invariante
R: parametro di scala arbitrario associato alla dimensione caratteristica del bounce
TU/R: fattore di volume
Inserendole nell’espressione per p:
3
8][
22)(
2
0
22
bS
Rr
Rrb
SOLUZIONI tree-level(λ < 0 e trascurando la parte quadratica del potenziale):
0)0( ; 0v)(lim
brbr
3/84
.
2
e
R
Tp U
semicl
richiedendo p<1 limiti su λ(λ piccolo tunneling rate bassa)
RGE per λ(μ) limiti inferiori su mH
118.0)( ZS m
P<1 VU=(1010yr)4
Nel calcolo della probabilità di tunneling a 1-loop tali ambiguità dimensionali vengono entrambe rimosse; l’espressione da calcolare è:
22)(
2)(2
22
22
2
442
222
2
42
v/4
2)(
)21(32
2)67(
12
2
)65(6
)1213(6
)65(3
2
ZWZ
gZ
gt
th
ZZ
tt
mg
gf
gf
gff
Lgg
Lgg
Lg
Lg
LS
2/1
''0
''0][
2
20
][
]v[SDet
][ tSDe
4
][0
1
S
bSe
bS
V
e
V
p bSbS
SU
Re
R
Tp
)(3
842
max
fh/g funzioni che esprimono la parte da sottrarre dei contributi all’azione dei loop del top e dei bosoni di gauge (da ricavare numericamente)
b : il “bounce” al tree-level (b=v è il falso vuoto ew)
S0/1: funzionale d’azione al tree-level / one-loop;
l’ apice denota la derivata funzionale
Si, ma…• QUALE R, ?• QUALE μ ?(forse μ =1/R…?)
SDet: il determinante funzionale; l’apice indica l’omissione nel calcolo delle autofunz. dell’autovalore zero (gli “zero-modes” (già contato integrando b che è t-invar.)
= Det quando agisce su campi bosonici
= 1/Det² quando agisce su campi fermionici
Il valore critico di R è molto grande ( trascurare il termini quadratici nel potenziale è ben giustificato)ma < MPL!
);2/e ln( ERL
mH=115 GeV, mt=175 GeV
Se NON si trovasse NP fino a MPL esiste una considerevole probabilità che il vuoto dello SM in SIA METASTABILE!
Per porre i limiti in figura si è posto pmax = 1 e si sono utilizzate:
• soluzioni delle equazioni di QCD a two-loop gt(mt@1/R) VS mt
• integrazione a two-loop delle RGE eq per λ, gt per le tre c.c gi
In definitiva: per mH=115 GeV, il potenziale di Higgs esibisce instabilità sotto la scala di Plank per mt > (166±2)GeV, mentre è metastabile, ma sufficientemente longevo per mt < (175±2)GeV.
Viceversa prendendo mt dal PDG04, la metastabilità risulta perfettamente compatibile con gli attuali limiti sperimentali su mH
002.0118.0)( ZS m
BIBLIOGRAFIA
Articoli:
• S. Coleman, E. Weinberg, Phys. Rev. D & (1973) 1888;
• J. Iliopoulos, C. Itzykson, A. Martin, Rev. of Mod. Phys. 47-1 (1975) 165;
• S. Coleman, Phys. Rev. D 15 (1977) 2929 ;
• C. G. Callan, S. Coleman, Phys. Rev. D 16 (1977) 1762;
• M. Sher, Phys. Letters B 317 (1993) 273-420;
• G. Isidori, G. Ridolfi, A. Strumia, (2001) hep-ph/0104016.
Testi:
• J.D. Bjorken, S. D. Drell, Relativistic Quantum Fields McGraw-Hill, 1965;
• R.P Feynman, A. R. Hibbs, Quantum Mechanics and Path Integrals, McGraw-Hill, 1965.
BACKUP SLIDES
(ritagli)
;v2)( 2.246)G2( v ;v
0
2/ se nulli termini ...
4
1
2
1
2/)( scalare doppietto il dato che avevamo
:
2v|
21/2-F
422422
HH
tree
HVmGeVH
HHHV
G
iGH
MEMO
mH
constUkd
U
dkUkd
UV
cc
ccc
loopeff
)(k )2(2
1)(
(...)k
)(1ln
)2(2
1)()(
23
3
024
41
Le fluttuazioni quantistiche attorno al campo classico (emissioni e riassorbimento) sono la somma delle densità di energia delle fluttuazioni del vuoto; la loro frequenza, o massa, è coerentemente proporzionale alla “curvatura” (U'')½
Il significato fisico di Veff emerge meglio integrando sul tempo:
ad ogni dato ordine perturbativo, è somma di tutti i grafici; in essi, corrispondentemente ad ogni campo, ogni gamba esterna avrà un propagatore che porta impulso pi con un indice libero α;
• NON sono direttamente connesse con gli osservabili fisici,
• NON sono gauge-invarianti
• le linee esterne dei grafici non sono necessariamente on-mass-shell
0)]()...([0 ) ..., ,()...( )2( 11
41...1
44
11 npix
n
iinn xxTexdppGpp
n
ii
n
Funzioni di Green: VEV di un prodotto di campi T-ordinato (α: lorentz+group ind.)
nG ...1
2
22
21
221
332211
32144
332211
32121
1
332211
Lips)(4
1)(
...()2(
1
,...,
cost
332211
1
Mdmmpp
),s(p...),s(p),s(p),s(pd
M) pp pp
),s(p...),s(p),s(p),s(piT
iTS
) p,p, p(pGR
)(pG ),s(pψ
),s(p...),s(p),s(p),s(pS
)((p)GR(p)G
nnn
),s(p...),s(p),s(p),s(pn
nn
n...ββ/φ
ifree
βα
iii
extα
nn
freeαβφαβ
nn
n
ii
i
Il metodo standard sviluppato per la determinazione del potenziale efficace tramite il calcolo dell’integrale funzionale è il cosiddetto “steepest descendent method, nel quale si calcola esplicitamente il funzionale integrale e quindi la trasf. di Legendre, successivamente espansa: si definisce una nuova lagrangiana (che avrà nuovi propagatori e nuovi vertici):
const con )()(
)(),( 4
y
y
LydLxLxL
Dove il determinante agisce sui gradi di libertà interni e di spin cc xLxd
iikD
kdiLV(
),(exp],[detln
)2(2
1-- ) int
414
4
c
Il potenziale efficace sarà dato da:
Il DETERMINANTE FUNZIONALE di un operatore ellittico (autoval. dei coeff. delle derivate tutti positivi o tutti negativi) a spettro discreto e positivo si può definire come e–Z'(0) ove Z(0) è la continuazione analitica nell’origine di:
Z(s)=∑ n(λ n)–s
5
2
)()( ),(
~
cabcabab
babaabiBAmTTggM
)(/))((])0([2)(:
0)()(3
)(3
1
2
2
2
2
UrUrIsoluz
Udr
d
rdr
dU
dr
d
rdr
d
0)(
(1) )(lim
0
rdr
rd
rr
03
2
122
dr
d
rU
dr
d
dr
d
~ legge di Stokes con viscostà inversamente proporzionale al tempo
φ-
φ+ φ
U
U(φ)
-U(φ)φ1
+
+ + …
+ …
+ + …
1)0( 1)(2
2
22
cmpZ
p
tt
cct
yggggyggB
MyggBVV
42242
24
0
2316
1
64
3),,(con
ln),,(
ln2
24
0
MBVV c
c
Era: