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Localización de ambulancias utilizando programación lineal: caso
UNAM
Esther Segura Pérez
Instituto de Ingeniería, UNAM
Rafael Bernardo Carmona Benítez
Facultad de Economía y Negocios, Universidad Anáhuac México Norte
Irasema Donají Sangermán López
Facultad de Ciencias, UNAM
Angélica Lozano
Instituto de Ingeniería, UNAM
Abstract
Cada año la Universidad Nacional Autónoma de México (UNAM) convoca a cuatro concursos para el
ingreso a los niveles de estudio superior y medio superior, para lo cual los candidatos presentan un examen
escrito en alguna de 25 escuelas de la Zona Metropolitana del Valle de México (ZMVM) que la UNAM
dispone para cada convocatoria de ingreso. En cada escuela se instala un módulo de servicios médico en el
cual se encuentra un médico y una enfermera con un botiquín equipado. Además se ponen a disposición
cinco ambulancias debidamente equipadas y distribuidas en la ZMVM para reforzar la atención médica a
través del tratamiento y traslado de los pacientes. Actualmente la localización de las cinco ambulancias se
lleva a cabo de manera empírica basándose en la experiencia de los Técnicos en Urgencias Médicas (TUMs)
de tal manera que la distancia entre la localización actual de la ambulancia y los módulos o escuelas es lo
que ellos consideran lo más corto. Este estudio propone una metodología de tres pasos para optimizar la
localización de cinco ambulancias con base en el modelo de localización de cobertura de conjuntos Location
Set Covering Problem (LSCP) y el modelo de la p-mediana. La solución muestra un comparativo entre
estos dos modelos permitiendo la disminución del tiempo de atención del servicio de Atención Pre
Hospitalaria (APH) mediante una mejor localización de las cinco ambulancias considerando diversas
velocidades y tiempos de cobertura. Esto permite reducir el índice de mortalidad y morbilidad en los
pacientes.
Keywords: Modelos de cobertura, p-mediana, Atención pre-hospitalaria, Localización de ambulancias,
Algoritmos heurísticos.
1 Introducción
La UNAM forma parte, en conjunto con otras ocho instituciones, de la organización del proceso de
admisión denominado Concurso de Ingreso a la Educación Media Superior y Superior de la Zona
Metropolitana del Valle de México (COMIPEMS), el cual permite que personas interesadas en continuar
con sus estudios a nivel bachillerato y licenciatura tengan la oportunidad de ingresar a alguna escuela de
gobierno en el sistema abierto o escolarizado. La UNAM utiliza 25 colegios distribuidos en la ZMVM en
cada concurso de admisión. La Dirección General de Servicios Médicos (DGSM) de la UNAM es la
encargada del servicio de atención pre-hospitalaria (APH), el cual consiste en instalar un módulo de servicio
médico en cada colegio y el despliegue de cinco ambulancias para brindar servicios de emergencia. El
módulo consiste en un médico, una enfermera y un botiquín. Las ambulancias están debidamente equipadas
y con capacidad de brindar servicio a las 25 escuelas donde se aplica el examen de admisión. Las
ambulancias cuentan con dos técnicos en urgencias médicas.
La atención prehospitalaria es un servicio que tiene como base la atención médica oportuna y el traslado
inmediato a un hospital, se ofrece a enfermos o lesionados que se encuentran fuera de una institución en
donde se les pueda brindar el servicio médico que requieren, tiene como objetivo primordial atender y
trasladar a la persona lesionada al hospital que le corresponda y ser asistida en el menor tiempo posible,
contribuyendo de esta manera a que haya una disminución en el índice de mortalidad y reduciendo las
secuelas que pueda dejar algún mal funcionamiento de órganos de los pacientes.
2 Descripción del Problema
La demanda de los aspirantes ha crecido año con año, tan solo en este último concurso de admisión la
demanda fue de 120 mil candidatos (Olivares, 2014), lo cual representa un gran número de aspirantes a
concursar y aunado a que la oferta por parte de la UNAM es baja, ya que tan solo se disponen de 7 mil
lugares (Olivares, 2014) los aspirantes tienen que presentar un muy buen examen para poder obtener un
lugar en esta institución. Esto provoca que los aspirantes, así como sus familiares, se enfrenten a una
situación de estrés que puede ocasionar incidentes de emergencia médica. De acuerdo al Coordinador de
APH de la DGSM, los principales son: crisis en personas diabéticas, atropellamientos, insolación, crisis de
ansiedad, hipoglucemia, crisis compulsivas y problemas cardiacos. Las tres primeras se presentan con
mayor frecuencia en los familiares mientras que el resto se presenta en los aspirantes. Con base en la
información proporcionada por la Subdirección de Registro y Aplicación del Examen de Admisión
(SRAEA) de la UNAM, se obtuvo un número aproximado de incidentes que ocurrieron en cada escuela
durante el proceso de admisión del año 2009. La SRAEA se negó a otorgar más información, por tanto el
estudio se remite únicamente a este año. Sin embargo, la información es de gran utilidad para contar con
un parámetro de demanda aproximado en cada escuela.
Los TUMs establecen cinco regiones en la ZMVM de manera experimental, localizando a una ambulancia
en cada región con las correspondientes escuelas a ser atendidas, y de esta manera disminuir el tiempo de
atención ante cualquier incidente. Los TUMs procuran que en cada región se encuentre por lo menos un
hospital público ya sea ISSSTE, IMSS o del Gobierno del Distrito Federal. En cada examen de admisión
se cubren dos turnos, el primero de las 7.00 a las 14.00 horas y el segundo turno de las 14.00 a las 21.00
horas.
2.1 Objetivo de estudio
En este estudio se propone la minimización del tiempo de respuesta del servicio de atención prehospitalaria
(APH) a través de la localización de las ambulancias, con base en el modelo de cobertura de conjuntos
(LSCP) y el modelo de la p-mediana.
3 Modelos de localización
Los problemas de localización surgen de la necesidad de encontrar el sitio más conveniente para ubicar
instalaciones como: centros de distribución, plantas de producción, vertederos de basura, estaciones de
bomberos y policías, ambulancias, entre muchos más. De manera general, el problema de localización se
puede enunciar como (Daskin, 1995): “Dada la localización de cada usuario, su demanda y los costos
(tiempo, distancia, etc.) de transporte en la región de interés, determinar el número de servicios, la ubicación
geográfica y la capacidad de cada uno de ellos de tal forma que se optimicen los costos de transporte, de
funcionamiento, etc.”
Los modelos de localización han sido estudiados desde los años 70´s. Los problemas básicos más
nombrados son citados por Current (2002). Daskin (1995) clasifica los modelos de localización como:
continuos, en redes y modelos discretos. Los modelos basados en cobertura y los modelos basados en la p-
mediana se encuentran dentro de los modelos discretos. En este proyecto nos enfocamos en los modelos
LSCM y p-mediana
3.1 Revisión literaria de modelos de localización de ambulancias
La optimización del sistema de APH o Emergency Medical Service (EMS) ha sido abordada desde a
mediados de 1960. Es un área muy atractiva para las matemáticas aplicadas y la investigación de
operaciones. Algunas de las razones de atracción se deben a que es un tema muy importante para la
sociedad. Por un lado, debido a los altos costos para el mantenimiento del equipo y el personal altamente
calificado que se requiere, es de vital importancia garantizar que los recursos disponibles tengan el mejor
uso posible (Restrepo, 2008). Por otro lado, los problemas son ricos e interesantes desde el punto de vista
matemático para mantenerse al día con las sutilezas y complejidades inherentes a ellos, así como para lograr
enfoques que se pueden implementar en la práctica, dadas las limitaciones en la disponibilidad de datos y
recursos computacionales.
Existen cientos de artículos que abordan a la APH desde la perspectiva del desarrollo de modelos para el
apoyo de decisiones muy importantes, algunas de ellas son (Restrepo, 2008):
1. localización, capacidades y bases de personal;
2. horarios de tripulación;
3. el número y tipo de vehículos a distribuir en cada base;
4. elegir el tipo de vehículo que atenderá la emergencia; y
5. la redistribución de vehículos como función del estado del sistema.
De acuerdo a (Henderson y Mason, 2004) estas decisiones pueden ser clasificadas en decisiones operativas,
estratégicas y tácticas. Este conjunto de decisiones influyen directamente en el tiempo de respuesta del
sistema para llegar donde se encuentra el paciente (Sasaki, 2010).
Existen dos documentos básicos, Brotones et al. (2003) y Parra (2011) que muestran el estado del arte en
el tema de APH, donde los modelos se clasifican en determinísticos, estocásticos y dinámicos. Los primeros
modelos de localización fueron expuestos por Hakimi (1964) y Toregas et al. (1971) con la propuesta del
modelo de la p-mediana y el modelo de cobertura de conjuntos Location Set Covering Model (LSCM)
respetivamente. Church y Re Velle (1974) mejoran el problema LSCMP restringiendo la cobertura de la
población, maximizando el número de recursos disponibles para hacer mejor uso de éstos. Este modelo es
conocido como modelo de localización de máxima cobertura (Maximal Covering Location Problem,
MCLP). Los modelos de la p-mediana y el modelo LSCP se abordan en este proyecto para optimizar la
localización de las ambulancias del sistema APH en las convocatorias de ingreso a la UNAM.
4. Metodología de localización
En este estudio se propone una metodología de tres fases para mejorar la localización actual de ambulancias.
La fase 1 consiste en obtención de información (distancias entre escuelas, número de incidencias
presentadas por escuela y velocidades que pueden tomar las ambulancias). En la fase 2 se obtiene una
solución inicial para el modelo de la p-mediana con el algoritmo heurístico miope (Daskin, 1995), además
se asignan las escuelas a la localización de la ambulancia encontrada. En otras palabras, se determinan cinco
regiones, en cada una de ellas se ubica una ambulancia, y se asigna el conjunto de escuelas que debe ser
atendido por cada una. De manera paralela se obtiene un conjunto de soluciones iniciales resolviendo el
modelo LSCP y se establecen como parámetros de cobertura: velocidades de ambulancia 20, 40, 60 y 90
km/h, y tiempos de atención 5, 10, 15 y 20 min. Por tanto, se generan un total de 17 escenarios, 16 para el
modelo LSCP y uno para el modelo de la p-mediana. En cada escenario se asignan las 20 escuelas a las
cinco ambulancias localizadas en escuelas. En la fase 3, se mejoran las 17 soluciones iniciales mediante
algoritmos de búsqueda de vecindarios y esta solución en algunos casos puede ser mejorada aplicando un
segundo algoritmo de mejora llamado algoritmo de intercambios (Daskin, 1995). Cabe señalar que los
modelos empleados (p-mediana y LSCP) para optimizar la localización de ambulancias en el caso particular
de la UNAM satisfacen las restricciones específicas que se detectan en el proceso de ingreso a la
Universidad. Se generaron un conjunto de escenarios que representaran la realidad. Por ejemplo, las
variaciones en la velocidad representan situaciones en las que las calles de la ciudad no se encuentren
congestionadas por lo tanto las ambulancias puedan circular a alta velocidad (90Km/h) o bien situaciones
en donde las ambulancias no puedan circular a altas velocidades (20 Km/h). Las soluciones de los
escenarios tienen la finalidad de darle mayor visión a los TUM´s respecto a la localización en diversas
circunstancias.
4.1 Primer paso: obtención de información
La información fue proporcionada por la DGSM de la UNAM mediante entrevistas con el coordinador del
área del servicio de APH, el cual tiene conocimiento del tipo y número de incidentes que ocurren
normalmente en cada examen de admisión. Es importante señalar que los TUMs no llevan a cabo un registro
sobre los incidentes, por lo que de manera paralela se acudió a la SRAEA de la UNAM donde se nos
proporcionó el número de estudiantes que se presentan a la realización del examen por escuela, así como el
número de incidentes registrados. La limitante de este caso de estudio es que únicamente se nos proporcionó
la información del año 2009. Finalmente, se utiliza Google Earth para calcular las distancias entre las 25
escuelas.
4.2 Segundo paso de la metodología: localización inicial de ambulancias
En este paso se obtienen 17 soluciones iniciales, la primera se obtiene resolviendo el modelo de la p-
mediana con el algoritmo miope y se obtienen un conjunto de 16 soluciones iniciales resolviendo el modelo
LSCP. En este estudio el algoritmo miope se programó en Excel y el modelo LSCP en el optimizador
LINGO (Lindo Systems Inc.). Es decir, en cada solución o escenario se obtiene la localización de las cinco
ambulancias así como el conjunto de escuelas a ser atendidas por cada una de ellas.
4.2.1 Localización inicial con base el modelo de la p-mediana
El modelo de la p-mediana considera la distancia entre las escuelas y la demanda en cada una de ellas, es
decir, el número de incidencias presentadas en cada escuela, así como las cinco ambulancias disponibles.
Teniendo en cuenta lo anterior, para este caso de estudio, el modelo queda planteado de la siguiente manera:
La ecuación (1) minimiza la distancia ponderada entre 25 escuelas, donde hi es la demanda en el módulo o
escuela i y dij es la distancia entre las escuelas o módulos i y j. La ecuación (2) asigna cada escuela a sólo
una ambulancia. La ecuación (3) asigna la escuela i al punto j sólo si hay una ambulancia en ese módulo o
escuela. La ecuación (4) determina que el número de ambulancias a localizar es cinco. La ecuación (5)
indica que la variable binaria xij es 1 si la escuela i es asignada a la ambulancia j, 0 si no. La ecuación (6)
indica que la variable binaria wj es 1 si la ambulancia se ubica en j, 0 si no.
𝑀𝑖𝑛 𝑍 = ∑ ∑ ℎ𝑖𝑑𝑖𝑗𝑥𝑖𝑗25𝑗=1
25𝑖=1 (1)
∑ 𝑥𝑖𝑗25𝑗=1 = 1 𝑖 = 1,2, . . ,25 (2)
𝑥𝑖𝑗 ≤ 𝑤𝑗 𝑖 = 1,2, . . ,25 𝑗 = 1,2, … ,25 (3)
∑ 𝑤𝑗25𝑗=1 = 5 (4)
𝑥𝑖𝑗 = (0,1) 𝑖 = 1,2, … ,25 𝑗 = 1,2, … ,25 (5)
𝑤𝑗 = (0,1) 𝑗 = 1,2, … ,25 (6)
Para solucionar el modelo de la p-mediana (Ecuaciones 1 a 5) se aplica el algoritmo miope (Daskin, 1995).
Este algoritmo está diseñado para encontrar en cada iteración un punto potencial de ubicación de cada
ambulancia. Esto se logra minimizando la distancia ponderada (Ecuación 1) en cada iteración, se mantiene
fija la localización previa, y se detiene en el momento en el que se tienen cinco ambulancias localizadas.
4.2.2 Localización inicial de ambulancias con base el modelo de cobertura (LSCP)
Para la aplicación del modelo LSCP se llevan a cabo variaciones en tiempos de atención deseados y
velocidades de las ambulancias considerando que el tiempo [h] es igual a la distancia [km] entre la velocidad
[km/h], t = d / v. Esto proporciona un conjunto de escenarios que determinan localizaciones con base a
distancias y a velocidades para cubrir la demanda de pacientes. En este caso, fue necesario agregar la
restricción (ecuación 9) del número de ambulancias con las que se cuenta para obtener resultados ajustados
a los recursos disponibles.
El modelo LSCP es aplicado a este caso de estudio para determinar la localización de las cinco ambulancias.
La ecuación (7) expresa la función objetivo que es minimizar el número de ambulancias requeridas para
cubrir todos los puntos de demanda .La ecuación (8) contempla aquellas escuelas o módulos que cumplan
con los diversos escenarios de tiempo establecidos para cada una de las velocidades propuestas. La ecuación
(9) determina que sólo se cuenta con cinco ambulancias. La ecuación (10) indica que la variable binaria yi
es 1 si se ubica la ambulancia en i, 0 si no.
min 𝑧 = ∑ 𝑦𝑖
25𝑖=1 (7)
∑ 𝑦𝑖25𝑖=1 ≥ 1 (8)
∑ 𝑦𝑖25𝑖=1 = 5 (9)
𝑦𝑖 = 0,1 𝑖 = 1, … ,25 (10)
4.2.2.1 Obtención de escenarios con variación en velocidades y tiempos de servicio
Para la solución del modelo LSCP se considera la distancia entre escuelas y diversas velocidades que la
ambulancia puede tomar. Esto se logra debido a que v = d / t. Asumiendo que las ambulancias pueden tomar
las siguientes velocidades 20, 40, 60 y 90 km/h, se obtienen cuatro tablas (con dimensión de 25*25
elementos) una por cada velocidad. Las tablas contienen los tiempos entre escuelas en minutos. Las
restricciones de cobertura se generan al considerar un tiempo de atención deseado, el tiempo de atención se
refiere al tiempo en que deseamos que la ambulancia llegue al punto donde se encuentra el paciente, los
cuales pueden oscilar entre 5, 10, 15 y 20 minutos. De esta manera se generan 16 escenarios totales. Por
ejemplo, si consideramos una velocidad de la ambulancia de 20 Km/h y un tiempo de atención deseado de
5 minutos, se generará un conjunto de restricciones (ecuaciones 8) que cumplan con 5 minutos deseados de
atención entre cada par de escuelas, lo que se conoce como un radio de cobertura de 5 minutos. Se desarrolla
el modelo para todos y cada uno de los 16 escenarios y se obtiene la localización de las 5 ambulancias con
las respectivas escuelas a atender por cada una de ellas.
4.3 Mejora de localización inicial
En este paso se mejoran los 17 escenarios iniciales (el propuesto por el modelo de la p-mediana y los 16 –
propuestos para la solución del modelo LSCP) aplicando el algoritmo de búsqueda de vecindarios y una
vez mejorada la solución se aplica el algoritmo de intercambio para obtener una mejor solución. Cada
escenario consiste en la localización de cinco ambulancias y la asignación de sus escuelas que debe atender.
Si la solución es de acuerdo a la distancia mínima, ésta se obtiene con el modelo de la p-mediana, o bien si
la solución es de acuerdo a un tiempo de atención deseado, la solución se obtiene con el modelo LSCP.
4.3.1 Mejora de solución inicial con el algoritmo de búsqueda de vecindarios
A todos y cada uno de los 17 escenarios obtenidos se aplica el algoritmo de búsqueda de vecindarios el cual
se encarga de encontrar los módulos más cercanos a cada ambulancia. Para mayor detalle sobre el modelo
de búsqueda de vecindarios leer el libro de Daskin (1995).
4.3.2 Mejora de solución inicial con el algoritmo de intercambio
Este método se basa en el intercambio de cada una de las regiones, en este caso de estudio de las 5 regiones.
En otras palabras considera cada una de las escuelas como posible punto de localización de ambulancia
analizando en dónde es menor el valor de la distancia ponderada.
5. Análisis de resultados
Después de aplicar la metodología propuesta se obtienen los siguientes resultados. En la tabla 1, se observan
los 16 escenarios iniciales posibles encontrados resolviendo el modelo de LSCP. Es importante señalar que
tres escenarios resultaron infactibles. Esto es, para una velocidad de ambulancia de 20 y 40 km/h y un
tiempo deseado de atención (radio de cobertura) de 5 y 10 min se encuentran pares de escuelas que cumplan
con ambos parámetros al mismo tiempo.
Tabla 1: Escenarios planteados para el modelo de cobertura
5 min. 10 min. 15 min. 20 min.
20 km/hr.
40 km/hr.
60 km/hr.
90 km/hr.
En la tabla 2, se presentan los resultados obtenidos después de aplicar la metodología. Se observa que la
situación actual es mejorada de manera drástica pasando de una distancia de localización de ambulancia
promedio de 3570.27 metros a una distancia de 1238.98 metros, solución lograda resolviendo el modelo
LSCP considerando una velocidad de 40 Km/h y un radio de cobertura de 20 minutos. La primera
ambulancia debe ser localizada en la escuela UVM y atiende a tres escuelas más, la segunda ambulancia
debe localizarse en la escuela CSB y atiende a tres escuelas más, la tercer ambulancia debe localizarse en
la escuela CMA y atiende a dos escuelas más, la cuarta ambulancia debe localizarse en la escuela UL y
atiende a tres escuelas más, finalmente la quinta ambulancia debe localizarse en la escuela ISEC y atiende
a 9 escuelas más. Por otro lado, la solución obtenida con base en el modelo de la p-mediana representa
también una buena solución logrando una distancia promedio entre la localización de la ambulancia y las
escuelas asignadas de 1451.27 metros.
Tabla 2: Resumen de resultados obtenidos en cada caso.
Caso Ubicación de ambulancia
(número de módulos a atender)
Distancia promedio
(en metros)
Situación actual CM (5), CUM (4), ULV (6), UVMC (6) 3570.27
P mediana PSAPE (6), UL (2), CUM (3), CH (5), ULV (4) 1451.27
20 km/hr. - 15 min. PSAPE (6), UL (3), CUM (6), CH (5), CCP (0) 1548.71
20 km/hr. - 20 min. CMA (2), UVM (5), ULV (7), CH (6), CCP (0) 1740.01
40 km/hr. - 10 min. CMA (2), UVM (5), ULV (6), CH (7), CCP (0) 1956.42
40 km/hr. - 15 min. PSAPE (4), USJ (0), IN (0), UL (3), ISEC (13) 1398.72
40 km/hr. - 20 min. UVM (3), CSB (3), CMA(2), UL (3), ISEC (9) 1238.98
60 km/hr. - 5 min. PSAPE (6), ILM (2), ISEC (7), CH (5), CCP (0) 1557.94
60 km/hr. - 10 min. PSAPE (5), CCP (0), IN (0), UL (2), ISEC (13) 1872.05
60 km/hr. - 15 min. UVM (2), IN (0), CMA (2), UL (3), ISEC (13) 1924.11
60 km/hr. - 20 min. PSAPE (5), CCP (0), IN (0), UL (2), ISEC (13) 1872.05
90 km/hr. - 5 min. IN (0), PSAPE (5), UL (2), CH (7), ULV (6) 1685.13
90 km/hr. - 10 min. UVM (4), IN (0), CMA (3), UVMC (2), ISEC (11) 2310.26
90 km/hr. - 15 min. CMA (2), PSAPE (0), UVM (5), ISEC (13), CCP (0) 2275.90
90 km/hr. - 20 min. CMA (2), PSAPE (0), UVM (5), ISEC (13), CCP (0) 2275.90
6. Conclusiones
Se concluye que los modelos de programación lineal basados en p-medianas y en cobertura (LSCP) para la
localización de las ambulancias en las convocatorias de exámenes de admisión a la UNAM son una
excelente herramienta, ya que disminuye considerablemente las distancias promedio entre la localización
de la ambulancia y las escuelas a ser atendidas. Se proporcionan un conjunto de escenarios que los TUMs
pueden utilizar para llevar a cabo una mejor toma de decisiones, que redunda en la disminución del tiempo
de atención al paciente y una disminución considerable de probabilidad de mortalidad y morbilidad en los
pacientes. Como trabajos futuros se debe considerar la localización de la ambulancia de manera estocástica,
y resolver con herramientas de simulación que permitan encontrar un tiempo de servicio estocástico ya que
en este estudio el tiempo de servicio es determinístico.
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