logica computationala curs partea i
TRANSCRIPT
-
8/20/2019 Logica Computationala Curs Partea I
1/40
1 Sintaxa limbajului
Vocabularul limbajului este V ∪ L ∪ S, unde
2 Sintaxa limbajului
Vocabularul limbajului este V ∪ L ∪ S, unde
V este mulţimea propoziţiilor elementare; V = ∅. Convenim să notămsimbolurile din mulţimea V prin literele alfabetului latin;
L = {∧, ∨, →, ↔,} este mulţimea conectivelor logice: conjuncţie,disjuncţie,implicaţie, echivalenţă şi negaţie;
S = {(, )} este mulţimea simbolurilor de punctuaţie.
Presupunem ı̂ndeplinite condiţiile V ∩ L = ∅, V ∩ S = ∅.Convenim să numim asamblaje elementele mulţimii A = (V ∪ L ∪ S )∗.
Pentru α ∈ A şi x ∈ V ∪ L ∪ S indicăm prin α x faptul că simbolul xapare cel puţin o dată printre simbolurile asamblajului α respectiv prin α xsituaţia contrară.
Structurile simbolice de interes ı̂n calculul cu propoziţii sunt formulele
logice; mulţimea formulelor notată FORM ; FORM ⊂ A este definită degramatica independentă de context G = (N , T , ), unde:
N = {formula , propozitie , conectiva} este mulţimea neterminalelor,T = V ∪ L ∪ S este mulţimea terminalelor şi este mulţimea regulilor derescriere:
=
formula → propozitie | ( formula) |(formula conectiva formula) ,
propozitie → a | b | ...,conectiva → ∧ | ∨ |→|↔
Mulţimea formulelor este limbajul generat de gramatica G pentru simbolulde start formula ; FORM = L (formula) . Convenim să reprezentămformulele prin litere din alfabetul grec.
Exemplul 1.1.1. Fie asamblajul α = (( ((a) ∨ b)) ↔ (a ∧ (b))). Con-siderăm următoarea schemă de derivare ; simbolul neterminal căruia este
1
-
8/20/2019 Logica Computationala Curs Partea I
2/40
aplicată regula de rescriere este subliniat:
formula ⇒
formula conectiva formula
⇒formula ↔ formula
⇒
( formula) ↔ formula
⇒( formula) ↔
formula conectiva formula
⇒
( formula) ↔
aconectiva formula
⇒( formula) ↔
a ∧ formula
⇒
( formula) ↔
a ∧
formula
⇒
formula
↔ (a ∧ (b))
⇒
formula conectiva formula
↔ (a ∧ (b))
⇒
formula ∨ formula
↔ (a ∧ (b))
⇒
formula ∨ b
↔ (a ∧ (b))
⇒
formula
∨ b
↔ (a ∧ (b))
⇒
(( ((a) ∨ b)) ↔ (a ∧ (b))) = α
deci α ∈ F ORM.O modalitate similar̆a pentru descrierea regulilor de bună formare pentru
structurile simbolice din sortul FORM este bazată pe noţiunea de SGF (S ecvenţă Generativă F ormule).
Definit ̧ia 1.1.1. Secvenţa de asamblaje α1, α2,...,αn este SGF , dacă pen-tru orice i, 1 ≤ i ≤ n, este ı̂ndeplinită una dintre condiţiile:
ι) αi ∈ V ,
ιι) există j, 1 ≤ j < i, astfel ı̂ncât, αi = (α j) ,
ιιι) există j, k, 1 ≤ j, k < i şi există ρ ∈ L \ {} , astfel ı̂ncât
αi = (α jραk) .
Observat ̧ie Fie α asamblaj. Atunci, există n ≥ 1 şiα1, α2,...,αn - SGF, astfel ı̂ncât, αn = α dacă şi numai dacă α ∈ FORM.Exemplul 1.1.2. Pentru formula α = (( ((a) ∨ b)) ↔ (a ∧ (b))), putem
construi următorul SGF :
a,b, (a) , (b) , (a ∧ (b)) , ((a) ∨ b) , ( ((a) ∨ b)) ,(( ((a) ∨ b)) ↔ (a ∧ (b))) = α.
Observat ̧ii
2
-
8/20/2019 Logica Computationala Curs Partea I
3/40
1. Dacă α ∈ V , atunci secvenţa α este SGF , deci V ⊂ F ORM.
2. Dacă α1, α2,...,αn este SGF , atunci pentru orice i, 1 ≤ i ≤ n, α1, α2,...,αieste SGF . Cu alte cuvinte, toate componentele unui SGF sunt for-mule.
3. Dacă α1,...,αn şi β 1, ....,β m sunt SGF, atunci α1,...,αn, β 1, ...., β m estede asemenea SGF
4. Parantezarea rezultată pentru structurile simbolice dinFORM \ V permite identificarea conectivei principale corespunzătoarefiecărei formule care nu este propoziţie elementară. Într-adevăr, orice
α ∈ FORM \ V este de unul şi numai de unul din tipurile: α = (β )sau α = (βργ ) cu ρ ∈ L \ {} . Dacă α = (β ) , atunci conectiva prin-cipală a formulei α este “” şi respectiv dacă α = (βργ ) , atunci α areconectiva principală “ρ”.
Reprezentarea neparantezată a structurilor simbolice din sortulFORM poate fi obţinută pe baza arborilor de structură.
Definit ̧ia 1.1.2. Arborele T , binar, direcţionat, cu rădăcină având vârfurileetichetate cu simboluri din mulţimea V ∪ L este arbore de structură dacăetichetele vârfurilor sunt astfel ı̂ncât pentru orice vârf n ∈ V (T ) ,
ι) dacă od (n) = 0, atunci ϕ (n) ∈ V
ιι) dacă od (n) = 1,atunci ϕ (n) =
ιιι) dacă od (n) = 2, atunci ϕ (n) ∈ L \ {}
unde ϕ (n) este eticheta vârfului n.Spunem că T este arbore de structură pentru ϕ (r) unde r este vârful
rădăcină.Fiecare formulă α poate fi reprezentată printr-un arbore de structură
T (α). Construcţia arborelui T (α) poate fi realizată recursiv utilizând observaţia4 astfel:
ι) dacă α ∈ V , atunci T (α) : r si ϕ (r) = α;
ιι) dacă α = (β ) , atunci
T (α) :r
↓T (β )
unde ϕ (r) = şi T (β ) este arborele de structură al formulei β ;
3
-
8/20/2019 Logica Computationala Curs Partea I
4/40
ιιι) dacă α = (βργ ) cu ρ ∈ L \ {} , atunci
T (α) :r
T (β ) T (γ )
,
unde ϕ (r) = ρ şi T (β ) , T (γ ) sunt arborii de structură corespunzătoriformulelor β respectiv γ.
Exemplul 1.1.3. Fie α = (( ((a) ∨ b)) ↔ (a ∧ (b))) .Deoarece α = (βργ ) cu ρ =↔, β = ( ((a) ∨ b)) şi γ = (a ∧ (b))
obţinem
T (α) :r
T (β ) T (γ )
unde ϕ (r) = ↔Deoarece β = (β 1) , unde β 1 = ((a) ∨ b) ,obţinem
T (β ) :n1↓
T (β 1), ϕ (n1) = .
Repetând aceleaşi argumente, obţinem,
T (β 1) :n2
T (β 2) T (β 3)
, ϕ (n2) = ∨, β 2 = (a) , β 3 = b
T (β 2) :n3↓
T (β 4), ϕ (n3) = , T (β 4) : n4, ϕ (n4) = a,
T (β 3) : n5, ϕ (n5) = b,
T (γ ) :n6
T (γ 1) T (γ 2)
, ϕ (n6) = ∧, γ 1 = a, γ 2 = (b)
T (γ 1) : n7, ϕ (n7) = a,
T (γ 2) :n8↓
T (γ 3), ϕ (n8) = , T (γ 3) : n9, ϕ (n9) = b
4
-
8/20/2019 Logica Computationala Curs Partea I
5/40
Obţinem ı̂n final
T (α) :
r (↔)
n1 () n6 (∧)↓
n2 (∨) n7 (a) n8 () ↓
n3 () n5 (b) n9 (b)↓
n4 (a)
Pentru o structură simbolică α din sortul FORM, reprezentarea prin ar-borele de structură T (α) este unic determinată şi permite obţinerea unorreprezentări neambigui şi neparantezate pentru formulele limbajului calcul-ului cu propoziţii şi anume reprezentarea polonez ̆a prefixată şi reprezentarea
polonez ̆a prefixată introduse de către logicianul de origine poloneză J.Lukasiewicz.Reprezentarea conform regulilor de bună formare definite prin intermediulSGF este numită reprezentare infixată.
Definit ̧ia 1.1.3. Fie gramatica independentă de contextG pref ix = (N , T , ), undeN = {formula , propozitie , conectiva}
este mulţimea neterminalelor, T = V ∪ L este mulţimea terminalelor şi este mulţimea regulilor de rescriere:
=
formula → propozitie | formula |conectiva formula formula ,
propozitie → a | b | ...,conectiva → ∧ | ∨ |→|↔
Mulţimea reprezentărilor ı̂n scrierea polonez ̆a prefixată a formulelor estelimbajul generat de gramatica G pref ix pentru simbolul de start formula ;FORM pref ix = L (formula) .
Exemplul 1.1.4. Fie ı̂n G prefix următoarea schemă de derivare, simbolulneterminal căruia este aplicată regula de rescriere fiind subliniat:
formula ⇒ conectiva formula formula ⇒
5
-
8/20/2019 Logica Computationala Curs Partea I
6/40
⇒ ↔ formula formula ⇒↔ formula formula
⇒ ↔ formula conectiva formula formula
⇒ ↔ formula conectivaa formula
⇒ ↔ formula ∧ aformula
⇒ ↔ formula ∧ aformula ⇒↔ formula ∧ ab
⇒ ↔ conectiva formula formula ∧ ab
⇒ ↔ ∨ formula formula ∧ ab
⇒ ↔ ∨ formulab ∧ ab ⇒↔ ∨ formulab ∧ ab
⇒ ↔ ∨ ab ∧ ab = α pref ix ,
deci α pref ix ∈ FORM pref ix.Structura simbolică α pref ix reprezentarea polonez ̆a prefixată a formulei
α = (( ((a) ∨ b)) ↔ (a ∧ (b))) .Definit ̧ia 1.1.4 Fie gramatica independentă de contextG postfix = (N , T , ), undeN = {formula , propozitie , conectiva}este mulţimea neterminalelor, T = V ∪ L este mulţimea terminalelor şi
este mulţimea regulilor de rescriere:
=
formula → propozitie | formula |formula formula conectiva ,
propozitie → a | b | ...,conectiva → ∧ | ∨ |→|↔
Mulţimea reprezentărilor ı̂n scrierea polonez ̆a postfixată a formulelor este
limbajul generat de gramatica G postfix pentru simbolul de start formula ;FORM postfix = L (formula) .
Exemplul 1.1.5. Fie ı̂n G postfix următoarea schemă de derivare, simbolulneterminal căruia este aplicată regula de rescriere fiind subliniat:
formula ⇒ formula formula conectiva
⇒ formula formula ↔⇒ formula formula ↔⇒ formulaformula formula conectiva ↔
⇒ formulaa formula conectiva ↔
⇒ formulaaformula∧ ↔
⇒ formulaaformula∧ ↔⇒ formulaab∧ ↔
⇒ formula formula conectivaab∧ ↔
⇒ formula formula ∨ ab∧ ↔⇒ formulab ∨ ab∧ ↔
⇒ formulab ∨ ab∧ ↔⇒ ab ∨ ab∧ ↔= α postfix,
6
-
8/20/2019 Logica Computationala Curs Partea I
7/40
deci α postfix ∈ FORM postfix.
Structura simbolică α postfix reprezentarea polonez ̆a postfixată a formuleiα = (( ((a) ∨ b)) ↔ (a ∧ (b))) .
Reprezentarea polonez ̆a prefixată a unei formule α ∈ FORM este secvenţade etichete corespunzătoare vârfurilor rezultate prin traversarea r-s-d (rădăcină-subarbore stâng- subarbore drept), respectivreprezentarea polonez ̆a postfixata rezultă prin traversarea s-d-r (subarborestâng- subarbore drept- rădăcină) a arborelui de structură T (α) .
Exemplul 1.1.6. Prin traversarea r-s-d a arborelui de structură al formuleiα = (( ((a) ∨ b)) ↔ (a ∧ (b))) . rezultă secvenţa de vârfuri : r, n1, n2, n3, n4, n5, n6, n7, n8, n9,secvenţa etichetelor corespunzătoare lor fiind ↔ ∨ab∧abα deci reprezentarea
α prefix. Prin traversarea s-d-r a arborelui de structură rezultă secvenţa devârfuri n4, n3, n5, n2, n1, n7, n9, n8, n6, r, secvenţa etichetelor corespunzătoarelor fiind ab ∨ ab∧ ↔, deci reprezentarea α postfix.
Complexitatea structurală a formulelor este exprimată prin intermediulvalorilor funcţiei adâncime.
Definit ̧ia 1.1.4. Funcţia adâncime : FORM−→ N este definită prin:
α ∈ FORM,
(α) =
0, dacă α ∈ V 1 + (β ) , dacă α = (β )
1 + max {
(β ) ,
(γ )} , dacă α = (βργ ) , ρ ∈ L \ {
}Exemplul 1.1.7. Conform Definit ̧iei 1.1.4., pentru
α = (( ((a) ∨ b)) ↔ (a ∧ (b))) , obţinem
(α) = 1 + max { (β ) , (γ )} ,
unde β = ( ((a) ∨ b)) , γ = (a ∧ (b)) ,
(β ) = 1 + (((a) ∨ b)) = 2 + max { ((a)) , (b)}
= 2 + max {1 + (a) , 0} = 2 + max {1, 0} = 3
(γ ) = 1 + max { (a) , ((b))} = 1 + max {0, 1 + (b)} = 2.
Rezultă (α) = 4.Observat ̧ie Pentru orice α ∈ FORM,valoarea (α) exprimă numărul
conectivelor logice (simbolurile din mulţimea L) care apar ı̂n structurasimbolică α.De asemenea, (α) este ı̂nălţimea arborelui de structură core-spunzător formulei α.
7
-
8/20/2019 Logica Computationala Curs Partea I
8/40
3 Abordarea axiomatică ı̂n formalizarea raţi-onamentelor
Modelarea raţionamentelor ı̂n contextul limbajului calculului cu propoziţiipresupune alegerea unui sistem de axiome şi definirea unui sistem de demonstraţieı̂n termenii unei mulţimi de reguli de inferenţă.
Fie a, b, c propoziţii elementare. Mulţimea axiomelor teoriei, notată AXIOM,este
AXIOM = {α1, α2,...,α9} ,
unde
α1 = (a → (b → a))
α2 = ((a → (a → b)) → (a → b))
α3 = ((a → b) → ((b → c) → (a → c)))
α4 = ((a ↔ b) → (a → b))
α5 = ((a ↔ b) → (b → a))
α6 = ((a → b) → ((b → a) → (a ↔ b)))
α7 = (((a) → (b)) → (b → a))
α8 = ((a ∨ b) ↔ ((a) → b))
α9 = ((a ∧ b) ↔ ( ((a) ∨ (b))))
Evident, AXIOM ⊂ FORM.Definit ̧ia 1.2.1. Se numeşte substituţie o mulţime finită de perechiσ = {γ 1 | a1,...,γ n | an} , unde γ 1,...,γ n ∈ FORM , a1,...,an ∈ V ast-
fel ı̂ncât pentru orice i = j, ai = a j şi γ j = a j. Formulele γ 1,...,γ n senumesc formule substituente, respectiv a1,...,an se numesc propoziţii sub-stituite. Notăm cu ε substituţia vidă, ε = ∅. Notăm cu SUBST mulţimeasubstituţiilor.
Definit ̧ia 1.2.2. Fie α ∈ FORM , σ ∈ SUBST . Se numȩste rezultat alaplicării substituţiei σ formulei α, structura simbolică ασ calculată astfel:
ασ =if σ = ε then α
else if σ = {γ 1 | a1,...,γ n | an} thenif α ∈ V \ {a1,...,an} then α
else if α = ai then γ ielse if α = (β ) then (βσ)
else if α = (βρδ ) pentru anume ρ ∈ L \ {}then (βσρδσ) .
8
-
8/20/2019 Logica Computationala Curs Partea I
9/40
Observat ̧ie Pentru orice α ∈ FORM , σ ∈ SUBST , ασ ∈ FORM.
Dacă α ∈ AXIOM, atunci ασ se numeşte exemplu de axiomă(instanţiere a axiomei α ).
Exemplul 1.2.1. Fie
α = ((a ∧ b) → c) şi
σ = {((a) ∨ p) | a, c | b, (a ∨ x) | p, b | q } .
Rezultă
ασ = ((a ∧ b) σ → cσ) = ((aσ ∧ bσ) → cσ)= ((((a) ∨ p) ∧ c) → c) ,
deoarece aσ = ((a) ∨ p), bσ = c, cσ = c.Definit ̧ia 1.2.3. Numim regulă de inferenţă orice relaţie ⊂ FORM p × FORM q,unde p, q sunt numere naturale; perechea ( p, q ) defineşte tipul relaţiei.Dacă ({α1,...,α p} , {β 1,...,β q}) ∈ , spunem că {β 1,...,β q} se deduce
din {α1,...,α p} pe baza regulei de inferenţă . Pentru simplificarea notaţiei,convenim să reprezentăm
({α1,...,α p} , {β 1,...,β q}) ∈ prin α1,...,αp
β 1
,...,β q
.
Mulţimile de formule {α1,...,α p} şi {β 1,...,β q} sunt referite ca premisăşi respectiv concluzie ale regulei .
Modelarea proceselor de raţionament ı̂n contextul limbajului calculului cupropoziţii este realizată pe baza a două reguli de inferenţă şi anume, regulasubstituţiei SU B de tip (1, 1) şi regula modus ponens M P de tip (2, 1) ,definite prin
SU B = {(α, β ) | α ∈ F ORM, ∃σ ∈ SUBST, β = ασ}
M P = {({α, (α → β )} , β ) | α, β ∈ FORM }
Dacă α ∈ AXIOM şi σ ∈ SUBST, convenim să numim ασ exemplu deaxiomă α sau instanţiere a axiomei α.
Definit ̧ia 1.2.4. Secvenţa de formule α1,...,αn este o demonstraţie formalădacă pentru orice i, 1 ≤ i ≤ n este ı̂ndeplinită una din condiţiile:
ι) αi este instanţiere a unei axiome;
ιι) ∃ j, ∃k, 1 ≤ j,k < i, astfel ı̂ncât ({α j , αk} , αi) ∈ M P.
9
-
8/20/2019 Logica Computationala Curs Partea I
10/40
Definit ̧ia 1.2.5. Spunem că α ∈ FORM este formulă demonstrabilă (teo-
remă) şi notăm α, dacă există n ≥ 1 si α1,...,αn demonstraţie formalăastfel ı̂ncât αn = α. Notăm cu T h mulţimea teoremelor;
T h = {α | α ∈ FORM, α} .
Observat ̧ie Dacă α1,...,αn şi β 1,...,β m sunt demonstraţii formale, atunciα1,...,αn, β 1,...,β m este o demonstraţie formală. În consecinţă, putem in-clude direct teoreme ca etape ı̂ntr-o demonstraţie formală.
Exemple
1.2.2. Pentru orice α ∈ FORM , (α → α) .Intr-adevăr, următoarea secvenţă de formule este o demonstraţie formală
pentru (α → α) ,
β 1 = (α → (α → α)) = α1 {α | a, α | b}
β 2 = ((α → (α → α)) → (α → α)) = α2 {α | a, α | b}
β 3 = (α → α) , β 1, β 2
β 3M P
1.2.3. Pentru orice α ∈ FORM , (α ∨ (α)) .Considerăm demonstraţia formală
β 1 = ((α ∨ (
α)) ↔ ((
α) → (
α))) = α8 {α | a, (
α) | b}β 2 =
((α ∨ (α)) ↔ ((α) → (α))) →
(((α) → (α)) → (α ∨ (α)))
= α5 {(α ∨ (α)) | a, ((α) → (α)) | b}
β 3 = (((α) → (α)) → (α ∨ (α))) , β 1, β 2
β 3M P
β 4 = ((α) → (α)) , β 4
β 5 = (α ∨ (α)) , β 4, β 3
β 5M P
Observat ̧ie Mulţimea teoremelor este nevidă.Definit ̧ia 1.2.6. Formula α este logic falsă dacă (α) ∈ T h.
4 Deductibilitatea sub o familie de ipoteze
Frecvent, ı̂n cazul raţionamentelor, sunt implicate cunoştinţe suplimentarereprezentate prin formule care nu sunt ı̂n mod necesar demonstrabile. For-mulele reprezentând cunoştinţe suplimentare sunt referite ca ipoteze, mode-larea raţionamentelor ı̂n care ipotezele sunt acceptate ca etape ale procesului
10
-
8/20/2019 Logica Computationala Curs Partea I
11/40
deductiv se realizează pe baza conceptelor de deductibilitate simplă şi re-
spectiv globală sub o familie de ipoteze.Definit ̧ia 1.3.1. Fie H ⊂ FORM. Secvenţa de formule α1,...,αn este o
H -secvenţă deductivă dacă pentru orice i, 1 ≤ i ≤ n este indeplinită una dincondiţiile:
ι) αi ∈ H ∪ T h
ιι) ∃ j, ∃k, 1 ≤ j, k < i astfel ı̂ncât αj ,αkαi
M P.
Spunem că formula α este deductibilă sub ipotezele H , notat H α, dacăexistă n ≥ 1 şi există o H -secvenţă deductivă α1,...,αn, astfel ı̂ncât αn = α.
Definit ̧ia 1.3.2. Mulţimea T (H ) = {α | α ∈ F ORM,H α} este mulţimeade deductibilitate corespunzătoare mulţimii de ipoteze H .
Definit ̧ia 1.3.3. Mulţimea de formule H este compatibilă dacăT (H ) = F ORM. Dacă T (H ) = FORM, atunci H este incompatibilă.
Observat ̧ii
1. Pentru orice H ⊂ FORM, H ∪ T h ⊂ T (H )
2. Dacă H 1, H 2 ⊂ FORM si H 1 ⊂ H 2, atunci T (H 1) ⊂ T (H 2)
3. T (∅) = T (T h) = T h
4. Pentru orice H ⊂ FORM, T (T (H )) = T (H )
5. Dacă α1,...,αn şi β 1,...,β m sunt H −secvenţe deductive, atunci α1,...,αn,
β 1,...,β m este de asemenea o H −secvenţă deductivă. În consecinţă,pentru simplificare putem conveni să includem direct formule din T (H )ca etape ı̂ntr-o H −secvenţă deductivă.
Din observaţiile precedente, notând cu ℘ (FORM ) mulţimea părţilormulţimii FORM, rezultă că : ℘ (FORM ) → ℘ (FORM ) este un oper-
ator de ı̂nchidere şi cum pentru orice H ⊂ F ORM, evidentT h ⊂ T (H ) , rezultă că T h este cel mai mic punct fix al operatorului (̂ın raport cu relaţ ia de incluziune).
Lema 1.3.1. Fie H ⊂ FORM. Pentru orice α ∈ FORM, α ∈ T (H )dacă şi numai dacă există H 0 (α) ⊂ H, H 0 (α) mulţime finită, astfel ı̂ncâtα ∈ T (H 0 (α)) .
Demonstrat ̧ie Evident, dacă H 0 (α) ⊂ H, H 0 (α) mulţime finită, astfelı̂ncât α ∈ T (H 0 (α)) , cum T (H 0 (α)) ⊂ T (H ), obţinemα ∈ T (H ) .
11
-
8/20/2019 Logica Computationala Curs Partea I
12/40
Dacă α ∈ T (H ) , atunci există o H −secvenţă deductivă pentru α,fie
aceasta α1,...,αn = α. Evident α1 ∈ T h ∪ H, deci{α1,...,αn} ∩ (T h ∪ H ) = ∅.Notând H 0 (α) = H ∩ {α1,...,αn} , rezultă imediat că α1,...,αn este o
H 0 (α) −secvenţă deductivă deci α ∈ T (H 0 (α)) .Observat ̧ie Concluzia stabilită de lema 1.3.1 evidenţiază caracterul finit
al proprietăţii de a fi deductibilă sub o familie de ipoteze.Lema 1.3.2. Fie H = {α} . Atunci
T (H ) = {β | β ∈ F ORM, (α → β )} .
Demonstrat ̧ie Pentru β ∈ FORM, notăm γ = (α → β ) . Evident, dacăβ = α, atunci secvenţa γ, α, β este o H −secvenţă deductivă, deci β ∈T (H ).
Demonstrăm prin inducţie asupra lungimii H -secvenţei deductive că dacăβ ∈ T (H ), atunci γ. Notăm cu l (β ) lungimea minimă a unei H -secvenţedeductive pentru β .
Dacă l (β ) = 1, atunci β este H -secvenţă deductivă, deci β = α sau β .Dacă β = α, rezultă evident (α → β ) (exemplul 1).Dacă β , atunci secvenţa
β, (β → (α → β )) = α1 {β | a, α | b} , (α → β )
este demonstraţie formală, deci (α → β ).Presupunem că pentru orice β ∈ FORM, astfel ı̂ncât l (β ) ≤ n, rezultă
(α → β ). Fie β ∈ FORM astfel ı̂ncât, l (β ) ≤ n+1 şi fie β 1,...,β n, β n+1 = β o H -secvenţă deductivă.
Deoarece pentru orice p ≤ n, β 1,...,β p este H -secvenţă deductivă, rezultă (α → β p) , 1 ≤ p ≤ n.Dacă β n+1 ∈ T h ∪ H , evident rezultă (α → β n+1) , adică
(α → β ) .Rămâne de analizat cazul ı̂n care β n+1 rezultă prin regula modus ponens
aplicată unei perechi de formule de ranguri mai mici sau cel mult egale cun. Fie i,j, astfel ı̂ncât 1 ≤ i, j ≤ n şi β j= (β i → β n+1) . Aplicând ipotezainductivă, rezultă (α → β i) şi (α → (β i → β n+1)) .
12
-
8/20/2019 Logica Computationala Curs Partea I
13/40
Rezultă următoarea demonstraţie formală:
γ 1 = (α → β i)
γ 2 = (α → (β i → β n+1))
γ 3 = ((α → β i) → ((β i → β n+1) → (α → β n+1)))
= α3 {α | a, β i | b, β n+1 | c}
γ 4 = ((β i → β n+1) → (α → β n+1)) , γ 1, γ 3
γ 4M P
γ 5 =
(α → (β i → β n+1)) →(((β i → β n+1) → (α → β n+1)) → (α → (α → β n+1)))
= α3 {α | a, (β i → β n+1) | b, (α → β n+1) | c}
γ 6 = (((β i → β n+1) → (α → β n+1)) → (α → (α → β n+1))) ,γ 2, γ 5
γ 6M P
γ 7 = (α → (α → β n+1)) , γ 4, γ 6
γ 7M P
γ 8 = ((α → (α → β n+1)) → (α → β n+1)) = α2 {α | a, β n+1 | b}
γ 9 = (α → β n+1) , γ 7, γ 8
γ 9M P,
deci (α → β n+1) .Unul dintre cele mai importante rezultate ı̂n deductibilitatea sub o familie
de ipoteze este teorema deduct ̧iei (Herbrand).Teorema 1.3.1. (Teorema deduct ̧iei )Fie H ⊂ F ORM , α, β ∈ F ORM .Atunci, H ∪ {α} β , dacă şi numai dacă H (α → β ) .Demonstrat ̧ie Presupunem că H (α → β ) deci H ∪ {α} (α → β ) .
Evident α, (α → β ) , β este o H ∪ {α} − secvenţă deductivă, deciH ∪ {α} β .Demonstrăm prin inducţie asupra lungimii H ∪{α} − secvenţei deductive
că, dacă β admite o H ∪ {α} − secvenţă deductivă, atunci H (α → β ) .Dacă β admite o H ∪ {α} − secvenţă deductivă de lungime l (β ) = 1,
atunci β ∈ T h ∪ H ∪ {α} .
1. Dacă β = α , cum (α → α) , rezultă H (α → α) .
2. Dacă β ∈ T h, atunci β, (β → (α → β )) , (α → β ) este o demonstraţieformală, deci (α → β ) ceea ce implică ı̂n particular
H (α → β ) .
13
-
8/20/2019 Logica Computationala Curs Partea I
14/40
3. Dacă β ∈ H, atunci β, (β → (α → β )) , (α → β ) este o H -secvenţă
deductivă, deci H (α → β ) .
Presupunem că proprietatea este adevărată pentru toate formulele ce ad-mit H ∪ {α} − secvenţe deductive de lungimi cel mult egale cu n.
Fie β 1,...,β n, β n+1 = β o H ∪{α} − secvenţă deductivă. Evident, pe bazaipotezei inductive rezultă H (α → β i), 1 ≤ i ≤ n .
Dacă β n+1 ∈ T h∪H ∪{α} , atunci pe baza argumentului precedent rezultăH (α → β n+1) .
Dacă β n+1 rezultă prin aplicarea regulei modus ponens formulelor β i, β j,cu 1 ≤ i, j ≤ n, atunci β j = (β i → β n+1) . In acest caz, se observă cu uşurinţă
că secvenţa γ 1 − γ 9 din demonstraţia lemei precedente este o H − secvenţădeductivă, deci H (α → β n+1) .În cazul particular al mulţimilor finite de ipoteze, poate fi stabilit următorul
corolar al teoremei deducţiei.Corolar 1.3.1. Fie H = {α1,...,αn} o mulţime finită de ipoteze. Pentru
orice β ∈ FORM, H β , dacă şi numai dacă
(α1 → (α2 → (... → (αn → β )))) .
Demonstrat ̧ie Fie γ n = (αn → β ) , γ k = (αk → γ k+1) pentruk = n − 1, ..., 1, deci γ 1 = (α1 → (α2 → (... → (αn → β )))) .
Presupunem că H β , deci {α1,...,αn−1} ∪ {αn} β .Utilizând teorema deducţiei, obţinem
{α1,...,αn−1} (αn → β ) = γ n.
Iterând acelaşi argument, obţinem{α1,...,αk} (αk+1 → γ k+2) = γ k+1; k = n − 1, ..., 1.Pentru k = 1 rezultă {α1} (α2 → γ 3) = γ 2, deci pe baza concluziei
stabilite de Lema 1.3.2 obţinem (α1 → γ 2) = γ 1.Reciproc, dacă γ 1 = (α1 → γ 2) , atunci din Lema 1.3.2. rezultă{α1} γ 2 = (α2 → γ 3) .Din teorema deducţiei rezultă {α1, α2} γ 3 = (α3 → γ 4) .Iterând acelaşi argument, obţinem ı̂n continuare{α1,...,αk} γ k+1 = (αk+1 → γ k+2) , k = 1,...,n − 1.Pentru k = n − 1 rezultă {α1,...,αn−1} γ n = (αn → β ) , din care pe
baza teoremei deducţiei obţinem ı̂n final {α1,...,αn} β .Corolarul teoremei deducţiei oferă o modalitate de a stabili că
anumite formule sunt demonstrabile, şi anume permite reducerea problemeideterminării unei demonstraţii formale la determinarea unei secvenţe deduc-tive. In particular, deoarece o regulă de inferentă de tipul ( p, 1), p ≥ 1
14
-
8/20/2019 Logica Computationala Curs Partea I
15/40
exprimă ı̂n fapt ideea că formula din partea de concluzie a regulei este “di-
rect” deductibilă sub mulţimea de ipoteze reprezentată de mulţimea premisă,rezultă că ((α1,...,α p) , β ) ∈ poate fi reprezentată {α1,...,α p} β , sauechivalent, pe baza corolarului teoremei deducţiei, (α1 → (α2 → (... → (αn → β )))) .
În particular, deoarece pentru orice α, β ∈ FORM, avem({α, (α → β )} , β ) ∈ M P, rezultă {α, (α → β )} β deci, pe baza corolaruluiteoremei deducţiei obţinem următoarele concluzii:
(α → ((α → β ) → β )) , ((α → β ) → (α → β )) ,{α} ((α → β ) → β ) ,
{(α → β )} (α → β ) .
In continuare vor fi stabilite câteva reguli (scheme) de inferenţă auxiliare acăror utilizare facilitează construirea demonstraţiilor formale şi a secvenţelordeductive.
Corolar 1.3.2. Dacă α, β ∈ FORM, atunci {α} β , dacă şi numai dacă(α → β ) ∈ T h.
Demonstrat ̧ie Evident T h = T (∅) , deci pentru H = ∅, din teoremadeducţiei obţinem, ∅ ∪ {α} β dacă şi numai dacă ∅ (α → β ) , adică{α} β dacă şi numai dacă (α → β ) ∈ T h.
5 Aplicaţii
5.1 1.4.1. Schema silogismului (RS).
Pentru oriceα , β , γ ∈ F ORM, {(α → β ) , (β → γ )} (α → γ ) .Deoarece
α3 {α | a, β | b, γ | c} = ((α → β ) → ((β → γ ) → (β → γ )))
utilizând corolarul teoremei deducţiei, obţinem
{(α → β ) , (β → γ )} (α → γ ) .
Schema (regula) silogismului este reprezentată convenţional
(α → β ) , (β → γ )
(α → γ ) RS.
15
-
8/20/2019 Logica Computationala Curs Partea I
16/40
5.2 1.4.2. Schema ”trecerii” de la implicaţie la echiva-
lenţă (IE ).
Pentru orice α, β , γ ∈ F ORM,{(α → β ) , (β → α)} (α ↔ β ) .Deoarece α6 {α | a, β | b} = ((α → β ) → ((β → α) → (α ↔ β ))) uti-
lizând corolarul teoremei deducţiei, obţinem
{(α → β ) , (β → α)} (α ↔ β ) .
Schema trecerii de la implicaţie la echivalenţă este reprezentată
(α → β ) , (β → α)
(α ↔ β )
IE.
5.3 1.4.3. Schema permutării premiselor (P P ) .
Pentru orice α, β , γ ∈ F ORM, ((α → (β → γ )) → (β → (α → γ ))) .Fie H = {α,β, (α → (β → γ ))} . Evident, secvenţa
α, (α → (β → γ )) , (β → γ ) , β , γ
este o H − secvenţă deductivă, deci {α,β, (α → (β → γ ))} γ .Aplicând teorema deducţiei, rezultă
{β, (α → (β → γ ))} (α → γ ) ,
{(α → (β → γ ))} (β → (α → γ )) , ((α → (β → γ )) → (β → (α → γ ))) .
Schema permutării premiselor este reprezentată
(α → (β → γ ))
(β → (α → γ ))P P.
5.4 1.4.4. Schemele ”trecerii” de la echivalenţă la implicaţie(EI ) .
Deoarece pentru orice α, β ∈ FORM,
α4 {α | a, β | b} = ((α ↔ β ) → (α → β ))
şiα5 {α | a, β | b} = ((α ↔ β ) → (β → α))
rezultă {(α ↔ β )} (α → β ) şi {(α ↔ β )} (β → α) .Schemele ”trecerii” de la echivalenţă la implicaţie (EI ) sunt reprezentate
prin(α ↔ β )
(α → β )EI respectiv
(α ↔ β )
(β → α)EI .
16
-
8/20/2019 Logica Computationala Curs Partea I
17/40
5.5 1.4.5. Pentru orice
α, β ∈ FORM, ((α) → (α → β )) .Secvenţa
γ 1 = (((β ) → (α)) → (α → β )) = α7 {β | a, α | b}
γ 2 = ((α) → ((β ) → (α))) = α1 {(α) | a, (β ) | b}
γ 3 = ((α) → (α → β )) , γ 2, γ 1
γ 3RS
este o demonstraţie formală, deci ((α) → (α → β )) .În particular rezultă {(α) , α} β pentru orice β ∈ FORM, deci pentru
orice α ∈ FORM, T ({(α) , α}) = F ORM.
5.6 1.4.6. Schema dublei negaţii (DN ) .
Pentru oriceα ∈ FORM, (α ↔ ( (α))) .Pentru H = {( (α))} şi β ∈ T h (de exemplu β = (α → α) ) fieH − secvenţa deductivă,
γ 1 = (( (α)) → ((α) → (β ))) ∈ T h (aplicaţia 1.4.5)
γ 2 = ( (α)) ∈ H
γ 3 = ((α) → (β )) , γ 2, γ 1γ 3
M P
γ 4 = (((α) → (β )) → (β → α)) = α7 {α | a, β | b}
γ 5 = (β → α) , γ 3, γ 4
γ 5 M P
γ 6 = β ∈ T h
γ 7 = α, γ 6, γ 5
γ 7M P.
Rezultă {( (α))} α, deci (( (α)) → α) pentru orice formulă α,ceea ce ı̂n particular implică
(( ( (α))) → (α))
Considerăm demonstraţia formală
δ 1 = (( ( (α))) → (α)) ∈ T hδ 2 = ((( ( (α))) → (α)) → (α → ( (α)))) =
= α7 {( (α)) | a, α | b}
δ 3 = (α → ( (α))) , δ 1, δ 2
δ 3M P.
17
-
8/20/2019 Logica Computationala Curs Partea I
18/40
deci (α → ( (α))) , adică {α} ( (α)) .
Fie demonstraţia formală
η1 = (( (α)) → α) ∈ T h
η2 = (α → ( (α))) ∈ T h
η3 = (α ↔ ( (α))) , η1, η2
η3IE.
Din rezultatele stabilite obţinem schemele de inferenţă (DN ) reprezentate
prin α((α))
DN şi respectiv ((α))α
DN.
Observat ̧ie Mulţimea formulelor false este nevidă. Într-adevăr,
deoarece T h = ∅, fie α ∈ T h. Evident, rezultă ( (α)) ∈ T h, deci (α)este formulă falsă. Convenim să notăm prin o formulă demonstrabilă,respectiv prin ⊥ o formulă falsă oarecare.
5.7 1.4.7. Schema negaţiei (N N ) .
Pentru oriceα, β ∈ FORM, ((α → β ) ↔ ((β ) → (α))) .Fie demonstraţia formală
δ 1 = α7 {β | a, α | b} = (((β ) → (α)) ↔ (α → β ))
δ 2 = (((β ) → (α)) → (α → β )) , δ 1
δ 2EI
deci {((β ) → (α))} (α → β ) .
Obţinem astfel prima schemă de negaţie ((β )→(α))(α→β )
N N.
Considerăm mulţimea de ipoteze H = {(α → β )} şi H − secvenţa deduc-tivă
η1 = (α → β ) ∈ H
η2 = (( (α)) → α) ∈ T h
η3 = (( (α)) → β ) ,
η2, η1
η3 RS
η4 = (β → ( (β ))) ∈ T h
η5 = (( (α)) → ( (β ))) , η3, η4
η5RS
η6 = ((β ) → (α)) , η5
η6N N.
Rezultă {(α → β )} ((β ) → (α)) , deci
((α → β ) → ((β ) → (α))) ,
18
-
8/20/2019 Logica Computationala Curs Partea I
19/40
din care obţinem cea de a doua schemă de negaţie (α→β )(β )→(α)
N N.
Aplicând corolarul teoremei deducţiei, rezultă
((α → β ) → ((β ) → (α))) .
În final, putem considera demonstraţia formală
ζ 1 = (((β ) → (α)) → (α → β ))
ζ 2 = ((α → β ) → ((β ) → (α)))
ζ 3 = (((β ) → (α)) ↔ (α → β )) , ζ 1, ζ 2
ζ 3IE.
5.8 1.4.8.
Pentru orice α, β ∈ FORM,
((α → (β )) ↔ (β → (α))) .
Fie H = {(α → (β ))} . Considerăm H − secvenţa deductivă
ζ 1 = (α → (β )) ∈ H
ζ 2 = (( (α)) → α) ∈ T h
ζ 3 = (( (α)) → (β )) , ζ 2, ζ 1ζ 3
RS
ζ 4 = ((( (α)) → (β )) → (β → (α))) ∈ T h
ζ 5 = (β → (α)) , ζ 3, ζ 4
ζ 5M P
deci {(α → (β ))} (β → (α)) , adică
((α → (β )) → (β → (α))) .
Deoarece proprietatea a fost stabilită pentru orice formule α, β, rezultă
((β → (α)) → (α → (β ))) ,
deci utilizând schema trecerii de la implicaţie la echivalenţă rezultă
((β → (α)) ↔ (α → (β ))) .
19
-
8/20/2019 Logica Computationala Curs Partea I
20/40
5.9 1.4.9. Schema rezoluţiei (REZ ).
Pentru oriceα , β , γ ∈ F ORM, ((α → β ) → (((α) → γ ) → (β ∨ γ ))) .Fie H = {(α → β ) , ((α) → γ )} şi H − secvenţa deductivă
δ 1 = ((β ∨ γ ) ↔ ((β ) → γ )) = α8 {β | a, γ | b}
δ 2 = (((β ) → γ ) → (β ∨ γ )) , δ 1
δ 2EI
δ 3 = (α → β ) ∈ H
δ 4 = ((α → β ) → ((β ) → (α))) ∈ T h
δ 5 = ((β ) → (α)) , δ 3, δ 4
δ 5RS
δ 6 = ((α) → γ ) ∈ H
δ 7 = ((β ) → γ ) , δ 5, δ 6
δ 7RS
δ 8 = (β ∨ γ ) , δ 7, δ 2
δ 8RS.
Obţinem astfel {(α → β ) , ((α) → γ )} (β ∨ γ ) , deci aplicând corolarul
teoremei deducţiei, rezultă
((α → β ) → (((α) → γ ) → (β ∨ γ )))
şi (((α) → γ ) → ((α → β ) → (β ∨ γ ))) .
Schema rezoluţiei este reprezentată prin (α→β ),((α)→γ )(β ∨γ )
REZ.
5.10 1.4.10.
Pentru orice α, β ∈ FORM,
(α → (α ∨ β )) , (β → (α ∨ β )) .
20
-
8/20/2019 Logica Computationala Curs Partea I
21/40
Pentru H = {α} , considerăm secvenţa deductivă
δ 1 = ((α ∨ β ) ↔ ((α) → β )) = α8 {α | a, β | b}
δ 2 = (((α) → β ) → (α ∨ β )) , δ 1
δ 2EI
δ 3 = ((α) → (α → β )) ∈ T h, (aplicacţia 1.4.5)
δ 4 = (α → ((α) → β )) , δ 3
δ 4P P
δ 5 = α ∈ H
δ 6 = ((α) → β ) , δ 5, δ 4
δ 6M P
δ 7 = ((α ∨ β ) ↔ ((α) → β )) = α8 {α | a, β | b}
δ 8 = (((α) → β ) → (α ∨ β )) , δ 7
δ 8EI
δ 9 = (α ∨ β ) , δ 6, δ 8
δ 9M P,
deci {α} (α ∨ β ), din care rezultă (α → (α ∨ β )) .Fie demonstraţia formală
η1 = ((α ∨ β ) ↔ ((α) → β )) = α8 {α | a, β | b}
η2 = (((α) → β ) → (α ∨ β )) , η1
η2
EI
η3 = (β → ((α) → β )) = α1 {β | a, (α) | b}
η4 = (β → (α ∨ β )) , η3, η2
η4RS
deci (β → (α ∨ β )) .
5.11 1.4.11.
Pentru orice α, β ∈ FORM, ((α ∨ β ) ↔ (β ∨ α)) .Fie H = {(β ∨ α)} . Considerăm H − secvenţa deductivă
δ 1 = ((α ∨ β ) ↔ ((α) → β )) = α8 {α | a, β | b}
δ 2 = (((α) → β ) → (α ∨ β )) , δ 1
δ 2EI
δ 3 = ((β ∨ α) ↔ ((β ) → α)) = α8 {β | a, α | b}
δ 4 = ((β ∨ α) → ((β ) → α)) , δ 3
δ 4EI
δ 5 = (β ∨ α) ∈ H
δ 6 = ((β ) → α) , δ 5, δ 4
δ 6M P
21
-
8/20/2019 Logica Computationala Curs Partea I
22/40
δ 7 = (α → ( (α))) ∈ T h
δ 8 = ((β ) → ( (α))) , δ 6, δ 7
δ 8RS
δ 9 = (((β ) → ( (α))) → ((α) → β )) = α7 {β | a, (α) | b}
δ 10 = ((α) → β ) , δ 8, δ 9
δ 10M P
δ 11 = (α ∨ β ) , δ 10, δ 2
δ 11M P.
Rezultă {(β ∨ α)} (α ∨ β ) , deci pentru orice α, β ∈ FORM,
((β ∨ α) → (α ∨ β )) .
Deoarece ((β ∨ α) → (α ∨ β )) şi ((α ∨ β ) → (β ∨ α)) , utilizând schema(IE ) , obţinem ((β ∨ α) ↔ (α ∨ β )) .
5.12 1.4.12.
Pentru orice α, β ∈ FORM,
((α ∧ β ) → α) , ((α ∧ β ) → β ) , ((α ∧ β ) ↔ (β ∧ α)) .
Fie demonstraţia formală
δ 1 = ((α ∧ β ) ↔ ( ((α) ∨ (β )))) = α9 {α | a, β | b}
δ 2 = ((α ∧ β ) → ( ((α) ∨ (β )))) , δ 1
δ 2EI
δ 3 = ((α) → ((α) ∨ (β ))) ∈ T h
δ 4 =
((α) → ((α) ∨ (β ))) →→ (( ((α) ∨ (β )) → ( (α))))
∈ T h, (aplicaţia 1.4.7)
δ 5 = (( ((α) ∨ (β )) → ( (α)))) , δ 3, δ 4
δ 5M P
δ 6 = (( (α)) → α) ∈ T h
δ 7 = ( ((α) ∨ (β )) → α) , δ 5, δ 6
δ 7RS
δ 8 = ((α ∧ β ) → α) , δ 2, δ 7
δ 8RS,
deci ((α ∧ β ) → α) .
22
-
8/20/2019 Logica Computationala Curs Partea I
23/40
Analog, putem construi demonstraţia formală
γ 1 = ((α ∧ β ) ↔ ( ((α) ∨ (β )))) = α9 {α | a, β | b}
γ 2 = ((α ∧ β ) → ( ((α) ∨ (β )))) , γ 1
γ 2EI
γ 3 = ((β ) → ((α) ∨ (β ))) ∈ T h
γ 4 =
((β ) → ((α) ∨ (β ))) →→ (( ((α) ∨ (β )) → ( (β ))))
∈ T h, (aplicaţia 1.4.7)
γ 5 = (( ((α) ∨ (β )) → ( (β )))) , γ 3, γ 4
γ 5M P
γ 6 = (( (β )) → β ) ∈ T h
γ 7 = ( ((α) ∨ (β )) → β ) , γ 5, γ 6δγ
RS
γ 8 = ((α ∧ β ) → β ) , γ 2, γ 7
γ 8RS,
deci ((α ∧ β ) → β ) .Considerăm demonstraţia formală
η1 = ((α ∧ β ) ↔ ( ((α) ∨ (β )))) = α9 {α | a, β | b}
η2 = ((α ∧ β ) → ( ((α) ∨ (β )))) , η1
η2EI
η3 = (((β ) ∨ (α)) → ((α) ∨ (β ))) ∈ T h
η4 =
(((β ) ∨ (α)) → ((α) ∨ (β ))) →→ (( ((α) ∨ (β )) → ( ((β ) ∨ (α)))))
∈ T h
η5 = (( ((α) ∨ (β )) → ( ((β ) ∨ (α))))) , η3, η4
η5M P
η6 = ((α ∧ β ) → ( ((β ) ∨ (α)))) , η2, η5
η6RS
η7 = ((β ∧ α) ↔ ( ((β ) ∨ (α)))) = α9 {β | a, α | b}
η8 = (( ((β ) ∨ (α))) → (β ∧ α)) , η7
η8EI
η9 = ((α ∧ β ) → (β ∧ α)) , η6, η8η9
RS.
Rezultă că pentru orice α, β ∈ FORM , ((α ∧ β ) → (β ∧ α)) , deci şi ((β ∧ α) → (α ∧ β )), şi ı̂n final, utilizând schema (IE ) , obţinem
((α ∧ β ) ↔ (β ∧ α)) .
5.13 1.4.13.
Pentru orice α, β ∈ FORM, (α → (β → (α ∧ β ))) .
23
-
8/20/2019 Logica Computationala Curs Partea I
24/40
Fie H 1 = {α,β, (β → (α))} şi ⊥ o formulă falsă. Demonstrăm că H 1
⊥.Considerăm H 1− secvenţa deductivă
γ 1 = β ∈ H 1
γ 2 = (β → (α)) ∈ H 1
γ 3 = (α) , γ 1, γ 2
γ 3M P
γ 4 = ((α) → (α → ⊥)) ∈ T h, (aplicaţia 1.4.5)
γ 5 = (α → ⊥) , γ 3, γ 4
γ 5M P
γ 6 = α ∈ H 1γ 7 = ⊥,
γ 6, γ 5
γ 7M P,
deci H 1 ⊥.Aplicând teorema deducţiei, rezultă {α, β } ((β → (α)) → ⊥) .Notăm H = {α, β } şi construim H − secvenţa deductivă
η1 = ((β → (α)) → ⊥) ∈ T (H )
η2 = ((⊥) → ( (β → (α)))) , η1
η2N N
η3 = (
⊥) ∈ T hη4 = ( (β → (α))) ,
η3, η2
η4M P
η5 = ((α ∧ β ) ↔ ( ((α) ∨ (β )))) = α9 {α | a, β | b}
η6 = (( ((α) ∨ (β ))) → (α ∧ β )) , η5
η6EI
η7 = (((α) ∨ (β )) ↔ (( (α)) → (β ))) =
= α8 {(α) | a, (β ) | b}
η8 = (((α) ∨ (β )) → (( (α)) → (β ))) , η7
η8EI
η9 = (((
(
α)) → (
β )) → (β → (
α))) ∈ T hη10 = (((α) ∨ (β )) → (β → (α))) ,
η8, η9
η10RS
η11 = (( (β → (α))) → ( ((α) ∨ (β )))) , η10
η11N N
η12 = ( ((α) ∨ (β ))) , η4, η11
η12M P
η13 = (α ∧ β ) , η12, η6
η13M P.
24
-
8/20/2019 Logica Computationala Curs Partea I
25/40
Obţinem astfel {α, β } (α ∧ β ) , deci, aplicând teorema deducţiei rezultă
(α → (β → (α ∧ β ))) .
5.14 1.4.14.
Fie H ⊂ FORM. Atunci H este compatibilă dacă şi numai dacă pentruorice α ∈ FORM cel puţin una dintre mulţimile H ∪ {α} , H ∪ {(α)} estecompatibilă.
Deoarece H ⊂ H ∪ {α} , H ⊂ H ∪ {(α)} , obţinemT (H ) ⊂ T (H ∪ {α}) şi T (H ) ⊂ T (H ∪ {(α)}) .Rezultă evident că, dacă cel puţ in una dintre mulţimile H ∪ {α} ,
H ∪ {(α)} este compatibilă, atunci H este compatibilă.Demonstrăm că H este incompatibilă dacă şi numai dacă ⊥∈ T (H ) . Într-
adevăr, dacă T (H ) = FORM, cum ⊥∈ FORM, rezultă evident ⊥∈ T (H ) .Presupunem ⊥∈ T (H ) . Pentru β ∈ FORM arbitrară, rezultăH − secvenţa deductivă
γ 1 = (⊥→ ((β ) →⊥)) = α1 {⊥| a, (β ) | b}
γ 2 = ⊥, ⊥∈ T (H )
γ 3 = ((β ) →⊥) , γ 2, γ 1
γ 3M P
γ 4 = (((
β ) →⊥) → ((
⊥) → β )) ∈ T h, (aplicaţia 1.4.8)γ 5 = (( ⊥) → β ) ,
γ 3, γ 4
γ 5M P
γ 6 = ( ⊥) , ( ⊥) ∈ T h
γ 7 = β, γ 6, γ 5
γ 7M P
deci, β ∈ T (H ) , ceea ce evident implică T (H ) = F ORM.Fie H ⊂ FORM astfel ı̂ncât pentru orice α ∈ FORM cel puţin una
dintre mulţimile H ∪ {α} , H ∪ {(α)} este compatibilă. Deoarece T (H ) ⊂T (H ∪ {α}) ∩ T (H ∪ {(α)}) , rezultă T (H ) = FORM, deci H este com-
patibilă.Presupunem că H este compatibilă şi fie α ∈ FORM arbitrară. Dacă
ambele mulţimi H ∪ {α} , H ∪ {(α)} sunt incompatibile, atunci aplicândteorema deducţiei rezultă H (α →⊥), H ((α) →⊥) . Obţinem astfel
25
-
8/20/2019 Logica Computationala Curs Partea I
26/40
H − secvenţa deductivă
δ 1 = ((α) →⊥) ∈ T (H )
δ 2 = (((α) →⊥) → (( ⊥) → α)) ∈ T h, (aplicaţia 1.4.8)
δ 3 = (( ⊥) → α) , δ 1, δ 2
δ 3M P
δ 4 = ( ⊥) ∈ T h
δ 5 = α, δ 4, δ 3
δ 5M P,
deci α ∈ T (H ) ,adică H este incompatibilă, ceea ce este o contradicţie. În
concluzie, cel puţin una dintre mulţimile H ∪ {α} , H ∪ {(α)} este ı̂n modnecesar compatibilă.
5.15 1.4.15.
Fie α, β ∈ F ORM. Dacă {(α → β ) , (β → α)} ⊂ T h, atunciT (H ∪ {α}) = T (H ∪ {β }) pentru orice mulţime de formule H .Demonstrăm T (H ∪ {α}) ⊂ T (H ∪ {β }) prin inducţie asupra
lungimii H ∪ {α} − secvenţei deductive.Fie γ astfel ı̂ncât admite o H ∪ {α} − secvenţă deductivă de
lungime 1. Rezultă γ ∈ T h ∪ H ∪ {α} .Evident, dacă γ ∈ T h ∪ H, atunciγ ∈ T (H ∪ {β }).Dacă γ = α, atunci secvenţa β, (β → α) , α este o H ∪ {β } − secvenţă
deductivă, deci α ∈ T (H ∪ {β }) .Presupunem că pentru orice formulă γ ce admite o H ∪ {α} − secvenţă
deductivă de lungime cel mult egală cu n, rezultăγ ∈ T (H ∪ {β }) .Fie γ 1,...,γ n, γ n+1 = γ o H ∪ {α} − secvenţă deductivă.Evident, pentru orice 1 ≤ k ≤ n, γ 1,...,γ k este de asemeneaH ∪ {α} − secvenţă deductivă, deci conform ipotezei inductive rezultăγ k ∈ T (H ∪ {β }) , 1 ≤ k ≤ n.Dacă γ n+1 ∈ T h∪H ∪{α} , atunci pe baza argumentului precedent obţinem
γ n+1 ∈ T (H ∪ {β }) .Dacă există 1 ≤ i, j ≤ n astfel ca γ j = (γ i → γ n+1) , atunci secvenţa
γ i, γ j, γ n+1 este H ∪ {β } − secvenţă deductivă, deciγ ∈ T (H ∪ {β }) .Incluziunea T (H ∪ {β }) ⊂ T (H ∪ {α}) poate fi stabilită pe baza unui
argument similar.
26
-
8/20/2019 Logica Computationala Curs Partea I
27/40
În particular, dacă {(α → β ) , (β → α)} ⊂ T h atunci
T (H ∪ {(α)}) = T (H ∪ {(β )}) pentru orice mulţime de formule H .Într-adevăr, utilizând rezultatul stabilit de aplicaţia 1.4.7., dacă{(α → β ) , (β → α)} ⊂ T h, atunci{((α) → (β )) , ((β ) → (α))} ⊂ T h, deciT (H ∪ {(α)}) = T (H ∪ {(β )}) .
5.16 1.4.16.
Pentru orice α, β ∈ FORM,
{((α → β ) → ((α) ∨ β )) , (((α) ∨ β ) → (α → β ))} ⊂ T h.
Pentru H 1 = {(α → β )} considerăm următoarea H 1− secvenţă deductivă
γ 1 = (α → β ) ∈ H 1γ 2 = (( (α)) → α) ∈ T h
γ 3 = (( (α)) → β ) , γ 2, γ 1
γ 3RS
γ 4 = (((α) ∨ β ) ↔ (( (α)) → β )) = α8 {(α) | a, β | b}
γ 5 = ((( (α)) → β ) → ((α) ∨ β )) , γ 4
γ 5EI
γ 6 = ((α) ∨ β ) , γ
2, γ
5γ 6
M P.
Aplicând teorema deducţiei, rezultă ((α → β ) → ((α) ∨ β )) ∈ T h.Pentru H 2 = {((α) ∨ β )}, fie H 2− secvenţa deductivă
η1 = ((α) ∨ β ) ∈ H 2
η2 = (((α) ∨ β ) ↔ (( (α)) → β )) = α8 {(α) | a, β | b}
η3 = (((α) ∨ β ) → (( (α)) → β )) , η2
η3EI
η4 = (( (α)) → β ) , η1, η3
η4M P
η5 = (α → ( (α))) ∈ T h
η6 = (α → β ) , η5, η4
η6RS
Aplicând teorema deducţiei, rezultă (((α) ∨ β ) → (α → β )) ∈ T h.Rezultă {((α → β ) → ((α) ∨ β )) , (((α) ∨ β ) → (α → β ))} ⊂ T h, deci
pe baza concluziei stabilite de aplicaţia 1.4.15. obţinem
T (H ∪ {(α → β )}) = T (H ∪ {((α) ∨ β )})
pentru orice mulţime de formule H .
27
-
8/20/2019 Logica Computationala Curs Partea I
28/40
6 Deductibilitate globală
Definit ̧ia 1.5.1. Fie H, Γ ⊂ FORM. Spunem că mulţimea de formule Γ esteglobal deductibilă pe baza mulţimii de ipoteze H, notat H Γ, dacă H ∪Γ ⊥ unde Γ = {(γ ) | γ ∈ Γ} . Mulţimea Γ convenim să fie referită printermenul de “mulţime concluzie”.
Lema 1.5.1. Pentru orice H, Γ ⊂ FORM şi orice α ∈ F ORM,
ι) H {α} dacă şi numai dacă H α
ιι) H ∪ {α} Γ dacă şi numai dacă H {(α)} ∪ Γ
ιιι) H Γ ∪ {α} dacă şi numai dacă H ∪ {(α)} Γ
Demonstrat ̧ie
ι) Presupunem H {α}; utilizând teorema deducţiei, obţinemH ((α) →⊥) . Considerăm următoarea H − secvenţă deductivă,
δ 1 = ((α) →⊥) ∈ T (H )
δ 2 = (((α) →⊥) → (( ⊥) → α)) ∈ T h, (aplicaţia 1.4.8.)
δ 3 = (( ⊥) → α) , δ 1, δ 2
δ 3M P
δ 4 = ( ⊥) ∈ T h
δ 5 = α , δ 4, δ 3
δ 5M P,
deci H α.Presupunem H α; deci H 1 α unde H 1 = H ∪ {(α)}.
Considerăm H 1− secventa deductivă
γ 1 = (α) ∈ H 1γ 2 = α ∈ T (H 1)
γ 3 = ((
α) → (α →⊥)) ∈ T h (aplicaţia 1.4.5)γ 4 = (α →⊥) ,
γ 1, γ 3
γ 4M P
γ 5 = ⊥, γ 2, γ 4
γ 5M P,
deci H {α} .
28
-
8/20/2019 Logica Computationala Curs Partea I
29/40
ιι) Presupunem H ∪ {α} Γ, deci H ∪ Γ ∪ {α} ⊥ . Aplicând teorema
deducţiei, obţinem, H ∪ Γ (α →⊥) . Fie H ∪ Γ− secvenţa deductivă
δ 1 = (α →⊥) ∈ T (H ∪ Γ)
δ 2 = ((α →⊥) → (( ⊥) → (α))) ∈ T h, (aplicaţia 1.4.7)
δ 3 = (( ⊥) → (α)) , δ 1, δ 2
δ 3M P
δ 4 = ( ⊥) ∈ T h
δ 5 = (α) , δ 4, δ 3
δ 5M P
Rezultă H ∪ Γ (α) , deci utilizând (ι) , obţinem
H ∪ Γ {(α)} .
Obţinem astfel H ∪ Γ ∪ {( (α))} ⊥, adică H ∪ (Γ ∪ (α)) ⊥, decirezultă ı̂n final H Γ ∪ (α) .
ιιι) Evident H Γ ∪{α} implică H ∪Γ∪{(α)} ⊥ adică H ∪{(α)} Γ. De asemenea, dacă H ∪ {(α)} Γ, atunci
H ∪ Γ ∪ {(α)} ⊥, ceea ce poate fi scris H ∪ (Γ ∪ {α}) ⊥, deciH Γ ∪ {α} . În concluzie, H Γ ∪ {α} dacă şi numai dacă H ∪ {(α)} Γ.
Corolarul 1.5.1. Pentru orice H, Γ ⊂ FORM, şi orice α ∈ FORM,
ι) H ∪ {(α)} Γ, dacă şi numai dacă H {α} ∪ Γ.
ιι) H Γ ∪ {(α)} , dacă şi numai dacă H ∪ {α} Γ.
Demonstrat ̧ie
ι) H ∪{(α)} Γ dacă şi numai dacă H ∪{(α)}∪Γ ⊥, dacă şi numaidacă H ∪ (Γ ∪ {α}) ⊥, deci, dacă şi numai dacă H {α} ∪ Γ.
ιι) H Γ ∪ {(α)} , dacă şi numai dacă H ∪ Γ ∪ {( (α))} ⊥, dacăşi numai dacă T (H ∪ Γ ∪ {( (α))}) = FORM.
Deoarece pentru orice formulă α,
{(α → ( (α))) , (( (α)) → α)} ⊂ T h,
utilizând rezultatul stabilit ı̂n aplicaţia 1.4.15, obţinem
T (H ∪ Γ ∪ {α}) = T (H ∪ Γ ∪ {( (α))}) .
Rezultă H ∪ Γ ∪ {α} ⊥ deci H ∪ {α} Γ.Observat ̧ie Pe baza rezultatelor stabilite de Lema 1.5.1. şi corolarul ei,
putem formula următoarea concluzie relativ la “transferul unei formule α
29
-
8/20/2019 Logica Computationala Curs Partea I
30/40
ı̂ntre mulţimea ipotezelor şi mulţimea concluzie” şi anume transferul poate fi
realizat fie prin includerea formulei (α) fie prin includerea formulei β dacăα = (β ) .
Teorema 1.5.1 Fie H ⊂ F ORM.
ι) H ∅, dacă şi numai dacă H este mulţime incompatibilă.
ιι) H {α, β } , dacă şi numai dacă H (α ∨ β ) .
ιιι) Pentru orice n ≥ 1 şi β 1,...,β n ∈ FORM , H {β 1,...,β n} , dacă şinumai dacă H {γ n}, unde γ 1 = β 1, γ k = (γ k−1 ∨ β k) ,2 ≤ k ≤ n.
Demonstrat ̧ie
ι) Evident, H ∅, dacă şi numai dacă H ⊥ deci, dacă şi numai dacă H este mulţime incompatibilă.
ιι) Presupunem H {α, β } deci H ∪ {(α) , (β )} ⊥. Utilizând (ι) ,obţinem H ∪ {(α)} β deci, aplicând teorema deducţiei, rezultă H ((α) → β ) .
Considerăm H − secvenţa deductivă
δ 1 = ((α ∨ β ) ↔ ((α) → β )) = α8 {α | a, β | b}
δ 2 = (((α) → β ) → (α ∨ β )) , δ 1δ 2
EI
δ 3 = ((α) → β ) ∈ T (H )
δ 4 = (α ∨ β ) , β 3, δ 2
δ 4M P,
deci H {(α ∨ β )} .Presupunem H (α ∨ β ). Notând H 1 = H ∪ {(α) , (β )} , obţinem
H 1− secvenţa deductivă
η1 = ((α ∨ β ) ↔ ((α) → β )) = α8 {α | a, β | b}
η2 = ((α ∨ β ) → ((α) → β )) , η1
η2EI
η3 = (α ∨ β ) ∈ T (H ) ⊂ T (H 1)
η4 = ((α) → β ) , η2, η3
η4M P
30
-
8/20/2019 Logica Computationala Curs Partea I
31/40
η5 = (α) ∈ H 1
η6 = β, η5, η4
η6M P
η7 = ((β ) → (β →⊥)) ∈ T h, (aplicaţia 1.1.5)
η8 = (β ) ∈ H 1
η9 = (β →⊥) , η8, η7
η9M P
η10 = ⊥, η6, η9
η10M P,
deci H {α, β } .
ιιι) Demonstrăm prin inducţie după n că pentru orice n ≥ 2 şi pentruorice β 1,...,β n ∈ FORM , H {β 1,...,β n} , dacă şi numai dacă H γ n, undeγ 1 = β 1, γ k = (γ k−1 ∨ β k) , 2 ≤ k ≤ n.
Pentru n = 2, γ 2 = (γ 1 ∨ β 2) = (β 1 ∨ β 2) şi conform (ιι) proprietatea esteverificată.
Presupunem că pentru orice k, 2 ≤ k ≤ n, orice H ⊂ FORM, {β 1,...,β k} ⊂FORM, H {β 1,...,β k} , dacă şi numai dacă H γ k unde γ 1 = β 1, γ j =(γ j−1 ∨ β j) , 2 ≤ j ≤ k.
Presupunem H {β 1, ...β n, β n+1} . RezultăH ∪ {(β n+1)} {β 1, ...β n} deci, aplicând ipoteza inductivă,obţinem H ∪ {(β n+1)} γ n .În continuare, utilizând Lema 1.5.1. (ι) , rezultăH ∪ {(β n+1)} {γ n} şi conform corolarului aceleiaşi leme obţinemH {β n+1, γ n} , deci H (γ n ∨ β n+1), adică H γ n+1.Dacă H γ n+1, atunci H (γ n ∨ β n+1) , ceea ce implicăH {β n+1, γ n} . Obţinem ı̂n continuare H ∪ {(β n+1)} {γ n} deci
aplicând ipoteza inductivă H ∪ {(β n+1)} {β 1, ...β n} din care pe bazacorolarului lemei 1.5.1 rezultă H {β 1, ...β n, β n+1} .
Observat ̧ie Convenim să notăm γ n = β j.Teorema 1.5.2. Fie Γ ⊂ F ORM.
ι) ∅ Γ dacă şi numai dacă Γ este mulţime incompatibilă.
ιι) {α, β } Γ dacă şi numai dacă {(α ∧ β )} Γ.
ιιι) Pentru orice n ≥ 2 şi α1,...,αn ∈ FORM , {α1,...,αn} Γ, dacă şinumai dacă {δ n} Γ, unde δ 1 = α1, δ k = (δ k−1 ∨ αk) , 2 ≤ k ≤ n.
Demonstrat ̧ie
ι) ∅ Γ dacă şi numai dacă Γ ⊥ deci, dacă şi numai dacă Γ estemulţime incompatibilă.
31
-
8/20/2019 Logica Computationala Curs Partea I
32/40
ιι) Presupunem {α, β } Γ, deci, aplicând rezultatul stabilit de Lema 1.5.1.
rezultă Γ {(α) , (β )} . Din Teorema1.5.1. (ιι)obţinem Γ ((α) ∨ (β )) deci Γ ∪ ( ((α) ∨ (β ))) ⊥, adică
T (Γ ∪ ( ((α) ∨ (β )))) = FORM.
Secvenţa
γ 1 = ((α ∧ β ) ↔ ( ((α) ∨ (β )))) = α9 {α | a, β | b}
γ 2 = ((α ∧ β ) → ( ((α) ∨ (β )))) , γ 1
γ 2EI
γ 3 = (( ((α) ∨ (β ))) → (α ∧ β )) ,
γ 1
γ 3 EI
este o demonstraţie formală, deci
{((α ∧ β ) → ( ((α) ∨ (β )))) , (( ((α) ∨ (β ))) → (α ∧ β ))} ⊂ T h.
Utilizând rezultatul stabilit de aplicaţia 1.4.15., obţinem
T (Γ ∪ {( ((α) ∨ (β )))}) = T (Γ ∪ {(α ∧ β )})
deci T (Γ ∪ {(α ∧ β )}) = FORM . Rezultă Γ ∪ {(α ∧ β )} ⊥, adică
{(α ∧ β )} Γ.Reciproc dacă {(α ∧ β )} Γ atunci Γ ∪ {(α ∧ β )} ⊥ deci
T (Γ ∪ {(α ∧ β )}) = F ORM.
Obţinem astfel T (Γ ∪ {( ((α) ∨ (β )))}) = FORM deciΓ ∪ {( ((α) ∨ (β )))} ⊥, ceea ce implică Γ {((α) ∨ (β ))} .Pe baza rezultatului stabilit de Teorema 1.5.1. (ιι) obţinem ı̂n continuare
Γ {((α) , (β ))} , deci Γ ∪ {α, β } ⊥ din care rezultă {α, β } Γ.In concluzie, {α ∧ β } Γ, dacă şi numai dacă {α, β } Γ.ιιι) Demonstrăm prin inducţie că pentru orice n ≥ 2 şiα1,...,αn ∈ FORM , {α1,...,αn} Γ, dacă şi numai dacă {δ n} Γ,unde δ 1 = α1, δ k = (δ k−1 ∧ αk) , 2 ≤ k ≤ n.Pentru n = 2 proprietatea este evident verificată. Presupunem că pentru
orice 2 ≤ k ≤ n, orice Γ ⊂ FORM, {α1,...,αk} ⊂ F ORM, {α1,...,αk} Γ,dacă şi numai dacă {δ k} Γ, unde δ 1 = α1,
δ j = (δ j−1 ∧ α j) , 2 ≤ j ≤ k.Fie {α1,...,αn+1} ⊂ FORM, Γ ⊂ F ORM.Presupunem {α1, ...αn, αn+1} Γ. Utilizând rezultatul stabilit de Lema 1.5.1.
obţinem {α1,...,αn} Γ ∪{(αn+1)} , deci conform ipotezei inductive {δ n}
32
-
8/20/2019 Logica Computationala Curs Partea I
33/40
Γ∪{(αn+1)} . Rezultă Γ {(αn+1) , (δ n)} deci utilizând Teorema 1.5.1 (ιι)
obţinem Γ ((αn+1) ∨ (δ n)) ceea ce evident implică Γ {((αn+1) ∨ (δ n))}şi deci
Γ ∪ {( ((αn+1) ∨ (δ n)))} ⊥ .
Pe baza unui argument similar argumentului considerat la (ιι) obţinem Γ ∪{(δ n ∧ αn+1)} ⊥ deci {(δ n ∧ αn+1)} Γ adică {δ n+1} Γ. Presupunem{δ n+1} Γ. Rezultă Γ ∪ {δ n+1} ⊥ adică
T (Γ ∪ {δ n+1}) = FORM.Deoarece
{(δ n+1 → ( ((αn+1) ∨ (δ n)))) , (( ((αn+1) ∨ (δ n))) → δ n+1)} ⊂ T h
obţinem T (Γ ∪ {( ((αn+1) ∨ (δ n)))}) = FORM ,deci
Γ ∪ {( ((αn+1) ∨ (δ n)))} ⊥ .
În continuare rezultă Γ {((αn+1) ∨ (δ n))} , deci pe baza rezultatuluistabilit de Teorema 1.5.1. (ιι) , Γ {(αn+1) , (δ n)} .Evident, obţinem {δ n} Γ ∪ {(αn+1)} , deci pe baza ipotezei inductiverezultă {α1,...,αn} Γ∪{(αn+1)} , ceea ce ı̂n final implică {α1, ...αn, αn+1} Γ.
Observat ̧ie Convenim să notăm δ n =
ni=1 αi.
Caracterizarea deductibilităţii globale ı̂n cazul particular cândambele mulţimi H, Γ sunt mulţimi finite este formulată de teorema următoare.
Teorema 1.5.3. Fie H = {α1,...,αn}, Γ = {β 1,...,β m} . Mulţimea Γ este
global deductibilă sub mulţimea de ipoteze H, dacă şi numai dacă
ni=1
αi
m j=1
β j, unde δ 1 = α1, δ k = (δ k−1 ∧ αk) , 2 ≤ k ≤ n, γ 1 = β 1, γ k = (γ k−1 ∨ β k) ,
2 ≤ k ≤ m; δ n =n
i=1αi; γ m =
m
j=1β j.
Demonstrat ̧ie Utilizând proprietăţi anterior stabilite şi rezultatele formu-late ı̂n T eorema 1.5.1. şi Teorema 1.5.2. obţinem H Γ, dacă şi numai dacă{α1,...,αn} γ m ,dacă şi numai dacă {δ n} γ m, deci, dacă şi numai dacă
ni=1
αi
m j=1
β j.
Observat ̧ie Utilizând concluzia stabilită de Corolarul 1.3.2., rezultă
ni=1
αi
m j=1
β j, dacă şi numai dacă
ni=1
αi →m
j=1
β j
∈ T h. Concluzia stabilită de
33
-
8/20/2019 Logica Computationala Curs Partea I
34/40
Teorema1.5.3. exprimă principiul f undamental al programării logice şi
constituie baza unei clase importante de algoritmi de demonstrare automată.Conform definiţiei, {α1,...,αn} {β 1,...,β m} , dacă şi numai dacă{α1,...,αn, (β 1) , ..., (β m)} ⊥ .Dacă notăm αn+k = (β k) , 1 ≤ k ≤ m, obţinem{α1,...,αn} {β 1,...,β m} , dacă şi numai dacă {δ n+m} ⊥, undeδ 1 = α1, δ k = (δ k−1 ∧ αk) , 2 ≤ k ≤ n + m.Convenim să notăm
δ n+m =n
i=1αi ∧
m
j=1(β j) .
Să observăm că pentru orice α, β ∈ F ORM, {α} β , dacă şi numai dacă(α → β ) ∈ T h. Într-adevăr, dacă (α → β ) ∈ T h, atunci evident α, (α → β ) , β este {α} − secvenţă deductivă, deci {α} β . Dacă {α} β , atunci aplicândteorema deducţiei, rezultă ∅ (α → β ) , deci (α → β ) ∈ T (∅) = T h.
Obţinem astfel {δ n+m} ⊥, dacă şi numai dacă (δ n+m →⊥) ∈ T h.Presupunem (δ n+m →⊥) ∈ T h şi considerăm demonstraţia formală
ζ 1 = (δ n+m →⊥) ∈ T h
ζ 2 = ((δ n+m →⊥) → (( ⊥) → (δ n+m))) ∈ T h
ζ 3 = (( ⊥) → (δ n+m)) , ζ 1, ζ 2ζ 3M P
ζ 4 = ( ⊥) ∈ T h
ζ 5 = (δ n+m) , ζ 4, ζ 3
ζ 5M P,
deci (δ n+m) ∈ T h.Dacă (δ n+m) ∈ T h, atunci pe baza demonstraţiei formale
ξ 1 = (
δ n+m) ∈ T hξ 2 = ((δ n+m) → (δ n+m →⊥)) ∈ T h
ξ 3 = (δ n+m →⊥) , ξ 1, ξ 2
ξ 3M P
obţinem (δ n+m →⊥) ∈ T h, deci (δ n+m →⊥) ∈ T h, dacă şi numai dacă (δ n+m) ∈T h.
Rezultă astfel următoarea caracterizare a deductibilităţii globale ı̂n cazulı̂n care mulţimea ipotezelor şi mulţimea concluzie sunt finite, {α1,...,αn}
34
-
8/20/2019 Logica Computationala Curs Partea I
35/40
{β 1,...,β m} , dacă şi numai dacă n
i=1 αi
m j=1 β j, dacă şi numai dacă
ni=1
αi ∧m
j=1
(β j)
∈ T h, dacă şi numai dacă
ni=1
αi ∧m
j=1
(β j) este
logic falsă.Teorema 1.5.4. Pentru orice α, β ∈ FORM şi H, Γ mulţimi de formule,
ι) H ∪ {(α)} Γ, dacă şi numai dacă H Γ ∪ {α} (regula negat ̧ie stˆ anga ).
ιι) H ∪ {α, β } Γ, dacă şi numai dacă H ∪ {(α ∧ β )} Γ (regula
conjunct ̧ie stˆ anga ).
ιιι) H ∪ {(α ∨ β )} Γ, dacă şi numai dacă H ∪ {α} Γ şi
H ∪ {β } Γ (regula disjunct ̧ie stˆ anga ).
ιυ) H ∪ {(α → β )} Γ, dacă şi numai dacă H ∪ {β } Γ şi
H Γ ∪ {α} (regula implicat ̧ie stˆ anga ).
υ) H Γ ∪ {(α)} , dacă şi numai dacă H ∪ {α} Γ (regula negat ̧ie dreapta ).
νι) H Γ ∪ {(α ∧ β )} , dacă şi numai dacă dacă şi numai dacăH Γ ∪ {α} şi H Γ ∪ {β } (regula conjunct ̧ie dreapta ).
νιι) H Γ ∪ {α, β } , dacă şi numai dacă H Γ ∪ {(α ∨ β )} (regula disjunct ̧ie dreapta ).
νιιι) H Γ ∪ {(α → β )} , dacă şi numai dacă H ∪ {α} Γ ∪ {β } (regula implicat ̧ie dreapta ).
Demonstrat ̧ie Afirmaţiile (ι) şi (υ) sunt stabilite de Corolarul 1.5.1.ιι) Presupunem H ∪ {α, β } Γ, deci H ∪ Γ {(α) , (β )} . Din
Teorema1.5.1 rezultă H ∪ Γ {((α) ∨ (β ))} deciH ∪ Γ ∪ {( ((α) ∨ (β )))} ⊥, adicăT (H ∪ Γ ∪ {( ((α) ∨ (β )))}) = F ORM.Deoarece
{((α ∧ β ) → ( ((α) ∨ (β )))) , (( ((α) ∨ (β ))) → (α ∧ β ))} ⊂ T h,
pe baza proprietăţii stabilite de aplicaţia 1.4.15. rezultă
T (H ∪ Γ ∪ {(α ∧ β )}) = FORM,
35
-
8/20/2019 Logica Computationala Curs Partea I
36/40
deci H ∪ Γ ∪ {(α ∧ β )} ⊥, adică H ∪ {(α ∧ β )} Γ.
Reciproc, dacă H ∪ {(α ∧ β )} Γ, atunci H ∪ Γ ∪ {(α ∧ β )} ⊥, deciT (H ∪ Γ ∪ {(α ∧ β )}) = F ORM .
Utilizând din nou concluzia aplicaţiei 1.4.15. obţinemT (H ∪ Γ ∪ {( ((α) ∨ (β )))}) = FORM , deciH ∪ Γ ∪ {( ((α) ∨ (β )))} ⊥, ceea ce implicăH ∪ Γ {((α) ∨ (β ))} .În continuare, din teorema 1.5.1 rezultă H ∪ Γ {(α) , (β )} , deci
H ∪ Γ ∪ {α, β } ⊥ din care obţinem ı̂n final H ∪ {α, β } Γ.ιυ) Presupunem H ∪ {(α → β )} Γ, deci H ∪ Γ ∪ {(α → β )} ⊥ . Pe
baza rezultatului stabilit de aplicaţia 1.4.16. obţinem
T (H ∪ Γ ∪ {((α) ∨ β )}) = FORM,
deci H ∪ Γ {( ((α) ∨ β ))} . Notăm ∆ = H ∪ Γ şi fie ∆− secvenţadeductivă
δ 1 = ( ((α) ∨ β )) ∈ T (∆)
δ 2 = ((β → ((α) ∨ β ))) ∈ T h, (aplicaţia 1.4.10.)
δ 3 = ((β → ((α) ∨ β )) → (( ((α) ∨ β )) → (β ))) ∈ T h,
(aplicaţia 1.4.7.)
δ 4 = (( ((α) ∨ β )) → (β )) , δ 2, δ 3δ 4
M P
δ 5 = (β ) , δ 1, δ 4
δ 5M P.
Obţinem H ∪ Γ (β ) , deci H ∪ Γ {(β )} , ceea ce implică H ∪Γ ∪ {β } ⊥, deci H ∪ {β } Γ.
Considerăm de asemenea ∆− secvenţa deductivă
γ 1 = ( ((α) ∨ β )) ∈ T (∆)
γ 2 = (((α) → ((α) ∨ β ))) ∈ T h, (aplicaţia 1.4.10.)
γ 3 = (((α) → ((α) ∨ β )) → (( ((α) ∨ β )) → α)) ∈ T h,
(aplicaţia 1.4.8.)
γ 4 = (( ((α) ∨ β )) → α) , γ 2, γ 3
γ 4M P
γ 5 = α, γ 1, γ 4
γ 5M P.
Obţinem H ∪ Γ α, deci H ∪ Γ {α} , ceea ce implicăH ∪ Γ ∪ {(α)} ⊥, deci H ∪ (Γ ∪ {α}) ⊥,
36
-
8/20/2019 Logica Computationala Curs Partea I
37/40
adică H Γ ∪ {α} .
Dacă H ∪ {β } Γ şi H Γ ∪ {α} , atunci rezultă H ∪ Γ {α} şiH ∪ Γ {(β )} , deci H ∪ Γ α şi H ∪ Γ (β ) .
Fie Ω = H ∪ Γ ∪ {(α → β )} , evident {α, (β )} ⊂ T (Ω) .Considerăm Ω− secvenţa deductivă
θ1 = α ∈ T (Ω)
θ2 = (α → β ) ∈ Ω
θ3 = β, θ1, θ2
θ3M P
θ4 = (β ) ∈ T (Ω)
θ5 = ((β ) → (β →⊥)) ∈ T h, (aplicaţia 1.4.5.)
θ6 = (β →⊥) , θ4, θ5
θ6M P
θ7 = ⊥ .
Rezultă H ∪ Γ ∪ {(α → β )} ⊥, deci H ∪ {(α → β )} Γ.νι) Presupunem H Γ ∪ {(α ∧ β )} , deci H ∪ Γ ∪ {( (α ∧ β ))} ⊥ .Din demonstraţia formală
ϑ1 = ((α ∧ β ) ↔ ( ((α) ∨ (β )))) = α9 {α | a, β | b}
ϑ2 = ((α ∧ β ) → ( ((α) ∨ (β )))) , ϑ1
ϑ2EI
ϑ3 = (((α ∧ β ) → ( ((α) ∨ (β ))))
→ (( ( ((α) ∨ (β )))) → ( (α ∧ β )))) ∈ T h
ϑ4 = (( ( ((α) ∨ (β )))) → ( (α ∧ β ))) , ϑ2, ϑ3
ϑ4M P
ϑ5 = (((α) ∨ (β )) → ( ( ((α) ∨ (β ))))) ∈ T h,
(aplicaţia 1.4.6.)
ϑ6 = (((α) ∨ (β )) → ( (α ∧ β ))) , ϑ5, ϑ4
ϑ6
RS
ϑ7 = (( ((α) ∨ (β ))) → (α ∧ β )) , ϑ1
ϑ7EI
ϑ8 = ((( ((α) ∨ (β ))) → (α ∧ β ))
→ (( (α ∧ β )) → ( ( ((α) ∨ (β )))))) ∈ T h
ϑ9 = (( (α ∧ β )) → ( ( ((α) ∨ (β ))))) , ϑ7, ϑ8
ϑ9M P
37
-
8/20/2019 Logica Computationala Curs Partea I
38/40
ϑ10 = (( ( ((α) ∨ (β )))) → ((α) ∨ (β ))) ∈ T h
(aplicaţia 1.4.6.)
ϑ11 = (( (α ∧ β )) → ((α) ∨ (β ))) , ϑ9, ϑ10
ϑ11RS
rezultă
{(((α) ∨ (β )) → ( (α ∧ β ))) , (( (α ∧ β )) → ((α) ∨ (β )))} ⊂ T h,
deci
T (H ∪ Γ ∪ {( (α ∧ β ))}) = T (H ∪ Γ ∪ {((α) ∨ (β ))}) .
Obţinem astfel H ∪ Γ ∪ {((α) ∨ (β ))} ⊥, deci, aplicând teoremadeducţiei, rezultă H ∪ Γ (((α) ∨ (β )) →⊥) .
Fie H 1 = H ∪ Γ ∪ {(α)} , H 2 = H ∪ Γ ∪ {(β )}; evident,
H j (((α) ∨ (β )) →⊥) , j = 1, 2.
Construim H 1− secvenţa deductivă
γ 1 = (α)
γ 2 = ((α) → ((α) ∨ (β ))) ∈ T h, (aplicaţia 1.4.10.)
γ 3 = ((α) ∨ (β )) , γ 1, γ 2
γ 3M P
γ 4 = (((α) ∨ (β )) →⊥) ∈ T (H 1)
γ 5 = ⊥, γ 3, γ 4
γ 5M P,
deci H ∪ Γ ∪ {(α)} ⊥, adică H Γ ∪ {α} .Analog,
η1 = (β )
η2 = ((β ) → ((α) ∨ (β ))) ∈ T h, (aplicaţia 1.4.10.)η3 = ((α) ∨ (β )) ,
η1, η2
η3M P
η4 = (((α) ∨ (β )) →⊥) ∈ T (H 1)
η5 = ⊥, γ 3, γ 4
γ 5M P,
deci H ∪ Γ ∪ {(β )} ⊥, adică H Γ ∪ {β } .Reciproc, presupunem H Γ ∪ {α} şi H Γ ∪ {β } deciH ∪ Γ ∪ {(α)} ⊥ şi H ∪ Γ ∪ {(β )} ⊥ .
38
-
8/20/2019 Logica Computationala Curs Partea I
39/40
Aplicând teorema deducţiei, rezultă H ∪ Γ ((α) →⊥) şi
H ∪ Γ ((β ) →⊥) .Considerăm H ∪ Γ− secvenţa deductivă
δ 1 = ((α) →⊥) ∈ T (H ∪ Γ)
δ 2 = (((α) →⊥) → (( ⊥) → α)) ∈ T h, (aplicaţia 1.4.8.)
δ 3 = (( ⊥) → α) , δ 1, δ 2
δ 3M P
δ 4 = ( ⊥) ∈ T h
δ 5 = α, δ 4, δ 3
δ 5M P
δ 6 = ((β ) →⊥) ∈ T (H ∪ Γ)
δ 7 = (((β ) →⊥) → (( ⊥) → β )) ∈ T h, (aplicaţia 1.4.8.)
δ 8 = (( ⊥) → β ) , δ 6, δ 7
δ 8M P
δ 9 = β, δ 4, δ 8
δ 9M P
δ 10 = (α → (β → (α ∧ β ))) ∈ T h, (aplicaţia 1.4.13.)
δ 11 = (β → (α ∧ β )) ,
δ 5, δ 10
δ 11 M P
δ 12 = (α ∧ β ) , δ 9, δ 11
δ 12M P,
deci rezultă H ∪ Γ (α ∧ β ) , adică H ∪ Γ {(α ∧ β )} din care obţinemı̂n final H Γ ∪ {(α ∧ β )} .
νιι) Utilizând proprietăţile stabilite de Teorema 1.5.1., rezultăH Γ ∪ {α, β } , dacă şi numai dacă H ∪ Γ {α, β } , dacă şi numai dacăH ∪ Γ {(α ∨ β )} , dacă şi numai dacă H Γ ∪ {(α ∨ β )} .
νιιι) Din aplicaţia 1.4.16. a rezultat
{((α → β ) → ((α) ∨ β )) , (((α) ∨ β ) → (α → β ))} ⊂ T h.
39
-
8/20/2019 Logica Computationala Curs Partea I
40/40
Fie demonstraţia formală
δ 1 = ((α → β ) → ((α) ∨ β )) ∈ T h
δ 2 = (((α → β ) → ((α) ∨ β ))
→ (( ((α) ∨ β )) → ( (α → β )))) ∈ T h
δ 3 = (( ((α) ∨ β )) → ( (α → β ))) , δ 1, δ 2
δ 3M P
δ 4 = (((α) ∨ β ) → (α → β )) ∈ T h
δ 5 = ((((α) ∨ β ) → (α → β ))
→ (( (α → β )) → ( ((α) ∨ β )))) ∈ T h
δ 6 = (( (α → β )) → ( ((α) ∨ β ))) , δ 4, δ 5δ 6
M P.
Rezultă
{(( ((α) ∨ β )) → ( (α → β ))) , (( (α → β )) → ( ((α) ∨ β )))} ⊂ T h,
deci pentru orice mulţime de formule ∆
T (∆ ∪ {( ((α) ∨ β ))}) = T (∆ ∪ {( (α → β ))}) .
Obţinem astfel, H Γ ∪ {(α → β )} , dacă şi numai dacăH ∪ Γ ∪ {( (α → β ))} ⊥ dacă şi numai dacăH ∪ Γ ∪ {( ((α) ∨ β ))} ⊥ deci, dacă şi numai dacăH ∪ Γ {((α) ∨ β )} .Utilizând rezultatul stabilit de Teorema 1.5.1., obţinem ı̂n continuare
H ∪ Γ {((α) ∨ β )} , dacă şi numai dacăH ∪ Γ {(α) , β } , deci, dacă şi numai dacă H ∪ {α} Γ ∪ {β } .Lema 1.5.2. Fie H, Γ ⊂ FORM. Dacă H ∩ Γ = ∅, atunci H Γ.Demonstrat ̧ie Fie α ∈ H ∩ Γ, deci {α, (α)} ⊂ H ∪ Γ.Considerăm următoarea H ∪ Γ− secvenţă deductivă
γ 1 = ((α) → (α → ⊥)) ∈ T h, (aplicaţia 1.4.5.)γ 2 = (α) ∈ H ∪ Γ
γ 3 = (α → ⊥) , γ 2, γ 1
γ 3M P
γ 4 = α ∈ H ∪ Γ
γ 5 = ⊥, γ 4, γ 3
γ 5M P.
Rezultă H ∪ Γ ⊥, deci H Γ.