Asupra folosirii modelelor-Kripke ın logica

epistemica. Problema omniscientei logice

Autor: Alexandru Dragomir

September 23, 2009

1

0. In acest eseu voi trata asupra unei probleme lasata deschisa ın

lucrarea mea licenta, Echivalenta modala si echivalenta epistemica. Con-

servarea informatiei ıntre modelele-Kripke bisimilare. Despre ce este vorba?

Uneori, este pusa ıntrebarea urmatoare: este justifcata folosirea modelelor-

Kripke pentru interpretarea seturilor de propozitii ale logicii epistemice ?

Dupa ce voi prezenta aparatul formal (sintactic si semantic) al logicii epis-

temice voi argumenta pentru folosirea modelelor-Kripke. Apoi, voi prezenta

unul din contraargumentele importante - aparitia fenomenului omniscientei

logice - si voi arata cum poate fi depasita problema ivita.

1.1. Sintaxa logicii modale epistemice. Un limbaj L al logicii epis-

temice contine un set de variabile (litere) propozitionale Var(L)={p, q, r

...}, conectivele logice: ¬, ∧, ∨, →, semnele de punctuatie: ( si ). Pentru o

signatura (sau tip de similaritate modala1):

�=({Ki ∣ i ∈ Ag 2}, ∀i∈Ag : �(Ki)=1), regulile de buna formare a propozitiilor

lui L (∀' ∈Prop(L)) pot fi exprimate ın urmatoarea forma recursiva:

' ::= p ∣ � ∣ ¬' ∣ ' ∧ ∣ ' ∨ ∣ '→ ∣ Ki', i∈Ag

1.2. Semantica logicii modale epistemice. Pentru a interpreta multimi

1Patrick Blackburn, Yde Venema, Maarten de Rijke, Modal Logic p.82Prin Ag am numit multimea de agenti epistemici. Singura conditie impusa multimii

Ag este aceea de a fi numarabila (adica ın bijectie cu multimea numerelor naturale ℕ sau,pentru ca poate fi finita, cu o submultime a acesteia)!

2

de propozitii ale limbajului logicii epistemice este folosita semantica bazata

pe modele-Kripke. Formal, un model pentru logica epistemica este un tuplu

alcatuit dintr-un domeniu de lumi posibile3, relatii binare (de accesibilitate)

ıntre elementele domeniului si o functie de valorizare (valuation function):

M=(W={wi ∣ i ∈ℕ}, {Rk ∣ k ∈ Ag Rk⊆W×W}, Val : Var(L) → ℘(W))4

Relatia de satisfacere: ⊧ ⊆ (M, w) × {' ∣ ' ∈ Prop(L)} va fi construita in-

ductiv, urmand regulile de mai jos:

(E1) (M, w) ⊧ p ddaca w ∈ Val(p), ∀ p ∈ '

(E2) (M, w) ⊭ �

(E3) (M, w) ⊧ ¬' ddaca (M, w) ⊭ '

(E4) (M, w) ⊧ ' ∧ ddaca (M, w) ⊧ ' si (M, w) ⊧ .

(E5) (M, w) ⊧ ' ∨ ddaca (M, w) ⊧ ' sau (M, w) ⊧ .

(E6) (M, w) ⊧ ' → ddaca (M, w) ⊭ ' sau (M, w) ⊧ .

(E7) (M, w) ⊧ Ka' ddaca (∀u)(Rawu → (M, u) ⊧ ')

2. Este justificata folosirea modelelor-Kripke pentru interpretarea limba-

jului logicii epistemice ?

O anumita intuitie filosofica justifica folosirea modelelor-Kripke pentru a in-

terpreta limbajul logicii epistemice. O intuitie filosofica asupra a ceea ce

ınseamna cunoasterea, bine reprezentata ”ın forma vechiului adagiu: informatia

3Numite si stari (epistemice), modele (epistemice), puncte sau noduri (ale unui graf).4Prin ℘ am notat multimea putere sau multimea tuturor submultimilor unei multimi.

3

ınseamna eliminarea incertitudinii”5. Urmand ıntelesul acestui adagiu, un

agent care stie ca p, este un agent care este justificat ın a nu lua ın consider-

are nici o posibilitate a falsitatii propozitiei p. Pentru a capta aceasta idee,

se face apel la instrumentul semanticii lumilor posibile, astfel:

(1) Evaluarea cunoasterii agentului a se face la o lume w0, lumea actuala,

care apartine unui set de lumi posibile - W.

(2) Agentul a are acces la anumite lumi ale lui W, si anume la lumile com-

patibile cu informatia pe care o detine relativ la lumea actuala w06. Un

exemplu: Plimbandu-se pe strada, Mihai gaseste o moneda. Fiind grabit, o

ridica si o pune ın buzunar fara a se uita la valoarea acesteia. In acest caz,

ın toate lumile posibile accesibile lui Mihai este adevarat ca are o moneda ın

buzunar, deci se poate spune ca stie ca are o moneda ın buzunar. Insa, este

incerta pentru el7 valoarea monedei. Cum Mihai nu are informatie cu privire

la valoarea ei, poate considera posibil ca ea sa fie de 1 ban, de 10 bani, de 50

bani etc. Deci, Mihai nu stie ca este de 1 ban, de 10 bani, de 50 de bani etc.

In fine, sa numim aceasta submultime a lui W prin W’ (evident, W’⊆W).

(3) Aceasta restrictie la un set de lumi posibile aflate ın compatibilitate cu

informatia detinuta ın lumea actuala w0 este modelata logic prin fixarea

5J. Hintikka, Reasoning about Knowledge in Philosophy: The Paradigm of EpistemicLogic, p. 64: ’is but a form of the old adage information is elimination of uncertainty

6J. Hintikka, Reasoning about Knowledge in Philosophy: The Paradigm of EpistemicLogic, p. 64.

7Bineınteles, valoarea monedei este certa (daca are o valoare).

4

extensiunii relatiei Ra. Ra este chiar relatia de accesibilitate asa cum este

definita ıntr-un model-Kripke.

In favoarea folosirii semanticii lumilor posibile s-au adus si argumente de un

gen diferit. Liniile de argumentare au fost acestea: (1) Semantica lumilor

posibile este folosita cu succes pentru a interpreta limbajul logicii modale,

iar operatorii epistemici sunt, esentialmente, operatori modali.8 (2) In plus,

toate (multele!) rezultate metalogice obtinute ın domeniul logicii modale ar

putea fi folosite si ın logica epistemica. (3) In acelasi gen, cadrele-Kripke sunt

grafuri orientate9, deci unele rezultate ale teoriei grafurilor pot fi folosite ın

logica epistemica.

3. Avand fixat aparatul formal al logicii epistemice (1.1 si 1.2) si argumentele

principale ale folosirii modelelor-Kripke (2), pot introduce una din replicile

ımpotriva folosirii modelelor-Kripke pentru interpretarea logicii epistemice:

aparitia fenomenului omniscientei logice. Despre ce este vorba ? Modelele-

Kripke atribuie ”capacitati inferentiale nerealiste” 10 sau idealizate agentilor,

deoarece: (1) Agentii stiu toate concluziile logice ale informatiei cunoscute

si (2) Agentii stiu toate tautologiile. Principiul omniscientei logice (POL)

8Spre exemplu, interpretarea operatorului epistemic K este identica cu cea a opera-torului modal al necesitatii: (M,w)⊧◻p ddaca (∀u)(Rwu → (M,u)⊧p)

9Tadeusz Litak, An Algebraic Approach to Incompleteness in Modal Logic, p. 2: ”theyare graphs in disguise”. Definitiile celor doua entitati coincid: ambele sunt multimi struc-turate de relatii binare.

10Rohit Parikh, Logical Omniscience in the Many Agent Case, p.1

5

poate fi exprimat, formal, astfel:11

(POL) Ka(' → ) ∧ Ka(') → Ka( ) 12

Sa vedem ca are loc (POL): (1) daca e adevarat ca w ⊧ Ki(p → q), atunci

’p → q’ e adevarata ın toate alternativele epistemice ale lui i. (2) Pentru ca

are loc w ⊧ Ki(p), p este adevarata ın toate alternativele epistemice ale lui

i. Acum, (3): Din (1) si (2) ⇒(ModusPonens) q este adevarata ın toate lumile

posibile lui i ⇒Def.(E7) i stie ca q relativ la w: w ⊧ Kiq. Pentru ca relatia

de accesibilitate este o relatie de echivalenta13, la concluzia (3) ajungem in-

diferent de lumea la care se face evaluarea. ◻

Drept exemplu, fie modelul M=(W={w, u, v}, Ri relatie de echivalenta pe

W , Val), reprezentat ın Figura 1 (vezi pagina urmatoare!).

4. Cum poate fi evitat fenomenul omniscientei logice ?

Una din solutii, oferita initial de J. Hintikka, propune introducerea ın dome-

niul W∈M a unor entitati numite lumi posibile imposibile. Ce este o lume

posibila imposibila14 ? Este o lume (”u”) posibila unui agent epistemic (”i”)

aflat ın lumea actuala (”w”), dar relativ la care este adevarata o contradictie.

Altfel spus, relativ la lumea w, i vede lumea u, deci tine relatia Riwu, iar

11Rohit Parikh, Logical Omniscience in the Many Agent Case, p.112Formula (POL) este numita Axioma Distributiei sau Axioma K. Se mai spune ca

operatorul K este ınchis sub consecinta logica.13O relatie de echivalenta este o relatie reflexiva, simetrica si tranzitiva. Relatiile de

accesibilitate pentru modelele epistemice veritabile sunt relatii de echivalenta.14In limba engleza: impossible possible world. Un alt termen pentru acelasi concept este

si lume non-standard, v. R. Fagin, J. Halpern, M. Vardi, A Nonstandard Approach to theLogical Omniscience Problem, p. 41

6

relativ la lumea u este adevarata o contradictie: o propozitie de forma p∧¬p:

(M, u)⊧p∧¬p. Cu alte cuvinte, u este o lume posibila ın sensul ın care ıi este

accesibila unui agent (epistemic posibila) si este imposibila ın sensul ın care

este imposibila logic (contine o contradictie). Pentru a defini formal noul tip

de model obtinut (M’), voi introduce o noua multime (”I”, I ⊆W), alcatuita

din lumi imposibile si o functie de valorizare Val2 care se comporta standard

daca atribuie valori elementelor din W-I si non-standard daca argumentele

apartin lui I, adica atribuie arbitrar valorile de adevar propozitiilor ın lumi

imposibile:

M’=(I, W, {Rk ∣ k ∈ Ag}, Val2: L × S → {⊺,�}), I⊆W 15

Ideea centrala este aceea de a permite valorizarea unei formule ' indepen-

dent de ¬' sau, altfel spus, de a putea defini falsitatea unei propozitii in-

15v. Ho Ngoc Duc, Resource Bounded Reasoning about Knowledge, p. 21

7

diferent de adevarul ei. In mod clasic, functia Val-standard asigneaza valorile

de adevar astfel: Val(w)(¬p)=⊺ ddaca Val(w)(p)=� sau, folosind conceptul

de satisfactie: (M,w) ⊧ ¬' ddaca (M,w) ⊭ ' (regula E3, v. pagina 3 a

eseului). Functia ”noua” de valorizare, Val2 nu va tine cont de conventia

prezentata, permitand asignari de tipul: Val2(w)(p)=⊺ ∧ Val2(w)(¬p)=⊺,

deci: (M,w) ⊧ ' ∧ (M,w) ⊭ ', doar pt w∈I (lume imposibila).

Pentru a infirma (POL) va trebui sa argumentez pentru adevarul tezei

(TPOL), negatia principiului omniscientei:

(TPOL) Ki(p→ q) ∧Ki(p) ∧ ¬Ki(q)

(TPOL) este adevarata, deci principiul omniscientei este fals, ıntrucat putem

introduce ın model o lume imposibila (”u”) relativ la care sunt adevarate

propozitiile p→ q si p si este falsa q. Daca relativ la restul lumilor accesibile

agentului i sunt adevarate p, q si p → q, rezulta ca au loc: Kip si Ki(p → q)

dar, pentru ca u⊧ ¬q, nu are loc Ki(q), deci: ¬Ki(q). Fiind o lume imposi-

bila, contradictia ıntre ¬q si propozitia q obtinuta prin Modus Ponens (din

p→ q si p) este permisa: u ⊧ q ∧ ¬q.

In concluzie, ıntr-una din formularile sale, principiul omniscientei poate fi

respins.

8

Bibliografie

1. Patrick Blackburn, Johan van Bentham, Modal Logic: A Semantic Per-

spective, ın Patrick Blackburn, Johan Van Benthem, Frank Volter, editori,

Handbook of Modal Logic, Elsevier B.V. 2007

2. Patrick Blackburn, Yde Venema, Maarten de Rijke, Modal Logic, Cam-

bridge University Press, 2002.

3. Ho Ngoc Duc, Resource Bounded Reasoning about Knowledge, Dizertatie

sustinuta la Universitatea din Leipzig, 2001. Disponibila online la adresa:

http://www.informatik.uni-leipzig.de/ duc/papers/diss.pdf

4. Ho Ngoc Duc, Logical Omniscience vs. Logical Ignorance, On a Dilemma

in Epistemic Logic, Draft. Disponibil online la adresa:

http://www.informatik.uni-leipzig.de/ duc/papers/epia.ps.gz.

5. Jaakko Hintikka, Impossible Possible Worlds Vindicated, Journal of

Philosophical Logic 4 (3), 1975

6. Jaakko Hintikka, Reasoning about Knowledge in Philosophy: The Paradigm

of Epistemic Logic, Proceedings of the 1986 Conference on Theoretical as-

pects of reasoning about knowledge, Monterey, California, United States,

1986

7. R. Fagin, J. Y. Halpern, Y. Moses, M. Y. Vardi, Reasoning about Knowl-

edge, The MIT Press, Cambridge, 1995

8. R. Fagin, J. Halpern, M. Vardi, A Nonstandard Approach to the Logical

9

Omniscience Problem, Proceedings of the 1990 Theoretical Aspects of Ra-

tionality and Knowledge), Pacific Grove, California, 1990

9. Rohit Parikh, Logical Omniscience in the Many Agent Case, City Univer-

sity of New York, 2007, Disponibila online: http://www.sci.brooklyn.cuny.edu/cis/parikh/logom07.pdf

10. Rohit Parikh, Knowledge and the Problem of Logical Omniscience, Draft

paper, Disponibila online: http://www.sci.brooklyn.cuny.edu/cis/parikh/omnisci.pdf

10