ELEMENTOS DE LGICA SIMBLICA.-

a) ENUNCIADO.-Se denomina enunciado a toda frase u oracin

Ejemplos: 1) 11 es un nmero primo2) Pars est en Italia3) Qu hora es?4) Viva Per! 5) 56) 6+2=87) 8) 4

Los enunciados que matemticamente tienen significado son aquellos que pueden ser considerados como verdaderos falsos (proposiciones); algunos enunciados no es posible afirmar si es verdadero falso, como por ejemplo, las interrogaciones, las exclamaciones las preguntas.

b) ENUNCIADOS ABIERTOS.- Son expresiones que contienen variables y no tienen la propiedad de ser verdadero falso.

Ejemplos:1) x< 7, es un enunciado abierto, porque no podemos afirmar si es verdadero o falso, solamente cuando a la variable x se le da un valor numrico podemos decir si es verdadero o falso.As por ejemplo:para x = 3, 3 < 7 es verdaderoPara x = 9, 9 < 7 es falso2) = 16, tambin es un enunciado abierto.

c) VARIABLE.- Es una cantidad susceptible de variar en un determinado campo o recorrido, a las variables representaremos por las letras minsculas x, y, z, t, u, v, a estas variables se les da el nombre de variables indeterminados.Ejemplos:1) es un nmero real, si x es un nmero real que sea mayor o igual a 5. El campo o recorrido de x es x 52) En la ecuacin El campo o recorrido de x es - 4 x 4 El campo o recorrido de y es - 4 y 4

PROPOSICIONES LOGICAS.-

Llamaremos proposiciones lgicas a todo enunciado abierto que pueden ser calificados como verdaderas o bien como falsas, sin ambigedades (que est sujeta a dos o ms interpretaciones).NOTACIN.- Las proposiciones lgicas sern denotadas generalmente con letras minsculas p, q, r, t,, etc. A la veracidad o falsedad de una proposicin se denomina valor de verdad.Ejemplos de Proposiciones Lgicas.-1) p: 15 4 = 11,verdadero (V)2) q: Lima es la capital de Per,verdadero (V)3) r: 107 + 301 = 48,falsa (F)4) t: 7 es un nmero par,falsa (F)

DEFINICIN.-

Se llama valores de verdad de una proposicin a sus dos valores posibles; verdadero o falso, estos posibles valores se puede esquematizar en una tabla de verdad en la forma.p

VF

CONECTIVOS LGICOS.-

Son expresiones que sirven para unir dos o ms proposiciones, entre los ms importantes conectivos lgicos tenemos:La conjuncin, disyuncin, implicacin o condicional, bicondicional, negacin, contradiccin, estos los mostraremos en el siguiente cuadro:NombreExpresinSmbolo Lgico

Conjunciny

Disyuncin

Implicacin o CondicionalS,, entonces,

Bicondicional, equivalenciadoble implicacin S y solo s,

NegacinNo~

Contradiccin no equivalente,

CLASES DE PROPOSICIONES LGICAS.-

1. PROPOSICIONES SIMPLES ATMICAS.-Es una proposicin que no contiene ningn conectivo lgico.Ejemplos: 1) 6 es par. 2) 2 + 5 =7

1. PROPOSICIONES COMPUESTAS MOLECULARES.-Es una proposicin que contiene al menos un conectivo lgico.Ejemplos: 1) 5 es primo y 2 es par.2) Si 5 es par entonces 2 es impar.3) Si n es par entonces n es divisible por 2.

PROPOSICIONES COMPUESTAS BSICAS Y TABLA DE VERDAD.-

1. LA NEGACIN.- Dado una proposicin p, llamaremos la negacin de p, a otra proposicin que denotaremos por p, y que se le asigna el valor opuesto a p. La negacin se presenta con los trminos gramaticales: no, ni, no es verdad que, no es cierto que, y su tabla de verdad es:

pp

VFFV

El principio lgico de la negacin es:Si una proposicin es verdadera V, su negacin es falsa F y recprocamente, si dicha proposicin es falsa F, su negacin es verdadera V.La proposicin p es leda as no p, no es cierto que p

Ejemplo.-

1) 2 es primo VSu negacin es: 2 no es primo F

2) 5 es par F Su negacin es: no es cierto que 5 es par V

3) Dada la proposicin p: 5 x 7 = 35VSu negacin es p: no es cierto que 5 x 7 = 35F

1. LA DISYUNCIN.- La disyuncin de dos proposiciones p y q es la proposicin compuesta que resulta de unir p y q por el conectivo lgico o en el sentido inclusivo y/o y que el principio lgico es La proposicin es falsa nicamente en el caso en que p y q son ambas falsas, en cualquier otro caso es verdadera. La disyuncin se presenta con el trmino gramatical o. La tabla de verdad para la disyuncin es:pqp v q

VVFFVFVFVVVF

Ejemplo.- Hallar el valor de pq donde p: 7 es mayor que 9; q: 4 es menor que 5

Desarrollo

pqp v q

FVV

1. LA CONJUNCIN.- La conjuncin de dos proposiciones p y q es la proposicin compuesta que resulta de unir p y q mediante el conectivo lgico y que simboliza p ^ q, donde el principio lgico es La conjuncin es verdadero V, solo cuando p es verdadero y q es verdadero V, en todos los dems casos es falso. La conjuncin se representa con los trminos gramaticales: y, pero, mas. Su tabla de verdad es:

pqp q

VVFFVFVFVFFF

Ejemplo.- S p: 4 < 7 y q: 6 es nmero par. Calcular el valor de verdad de

Desarrollo

pqp q

VVV

1. LA CONDICIONAL (IMPLICATIVA).- La implicacin condicional de dos proposiciones p y q es la proposicin compuesta mediante el conectivo lgico si,, entonces, y se simboliza p q, donde el principio lgico es La proposicin implicativa es falso nicamente en el caso que la proposicin p es verdadera y la proposicin q es falsa, siendo verdadera en todos los dems casos. La condicional se representa con los trminos gramaticales: Si a, entonces b, a slo si b, a solamente si b, si a, b, cuando a, b, los a son b, a implica b, o cualquier expresin que denote causa y efecto. Su tabla de verdad es:

pq

VVFFVFVFVFVV

La proposicin p es llamado antecedente y la proposicin q es llamado consecuente.

p q AntecedenteConsecuentePremisaConclusinHiptesisTesis.

OBSERVACIN.-1. Una implicacin es verdadera si el antecedente es falso, cualquiera que sea el consecuente.1. Una implicacin es verdadera si el consecuente es verdadero, cualquiera que sea el antecedente.

Ejemplo.- Sean p: Cristbal Coln descubri Amrica; q: 6 + 3 = 8Hallar el valor de verdad de p q

DesarrolloPara calcular el valor de verdad de la proposicin p q primero calcularemos el valor de verdad de las proposiciones dadas.p: Cristbal Coln descubri Amrica es verdadera Vq: 6 + 3 = 8, es falsa Fpqp q

VFF

1. LA BICONDICIONAL (Equivalente o Doble Implicacin).- La doble implicacin o bicondicional de dos proposiciones p y q es la proposicin compuesta mediante el conectivo lgico si y slo si y se simboliza son verdaderos si tienen el mismo valor de verdad o en otros casos es falso F. La bicondicional se representa con los trminos gramaticales: a si y slo si b, a si y solamente si b, a implica b y b implica a, a cuando y slo cuando b. Su tabla de verdad es:

pqp q

VVFFVFVFVFFV

PROPOSICIONES COMPUESTAS.-

Mediante los conectivos lgicos se pueden combinar cualquier nmero finito de proposiciones cuyos valores de verdad pueden ser conocidos, construyendo su tabla de verdad, en dicha tabla se puede indicar los valores resultantes de estas proposiciones compuestas, para todas las combinaciones posibles de valores de verdad de las proposiciones compuestas.

Ejemplo: La tabla de verdad de la proposicin compuesta de:

Desarrollopqrp qq rp r

VVVVFFFFVVFFVVFFVFVFVFVFVVFFVVVVVFVVVFVVVFVFVVVVVFFFVFVVVVVVVVVVVFVFVVVV

JERARQUA DE LOS CONECTIVOS LGICOS.-Si se tiene una proposicin compuesta con varios conectivos lgicos, para realizar las operaciones primero se debe colocar los parntesis adecuadamente empezando con las proposiciones que se encuentran dentro de los parntesis anteriores, luego siguen todas las negociaciones y se avanza de izquierda a derecha (los corchetes son considerados como parntesis).Ejemplo:-Hallar la tabla de valor de verdad de la proposicin:

Desarrollopqr[p (q ~ r)][(~p r) ~q]

VVVVFFFFVVFFVVFFVFVFVFVFVVVVFFFFVVVVFVVVFVVVFVVVFVVFFFVVVFVFVVVVFVVFFFVVFFVVFFVV

TAUTOLOGIAS, CONTRADICCIONES Y CONTIGENCIAS.-

1. TAUTOLOGA.- Son proposiciones compuestas que siempre son verdaderos cualquiera que sea el valor de las proposiciones componentes.

Ejemplo de Tautologa.-

1. p ~ p (principio del tercio excluido)1. [(p q) p] q1. ~ (p ~ p)En efecto tenemos:

1)p p v ~ p

V FV V FF V V

Es Tautologa

2)pq[( p q) p]q

VVFFVFVFVFVVVFFFVVFFVVVVVFVF

Es una Tautologa

3)p~ p~( p ~p )

VFFVVVFF

Es una tautologa

1. CONTRADICCIONES (FALACIA).- Son proposiciones compuestas que siempre son falsas, cualquiera que sea el valor de las proposiciones compuestas.

Ejemplo de contradicciones.-1. p ^ ~p (principio de contradiccin)2)(p v ~p)3)(p q) (p~q)

En efecto tenemos:

1)p~ pp ~p

VFFVFF

Es una contradiccin2)p~ p~ (p v ~p)

VFFVF FVV

Es una contradiccin3)pq(p q) (p~q)

VVFFVFVFVFVVFFFFFVFF

Es una contradiction 1. CONTINGENCIA.- Son proposiciones compuestas que no son ni tautologa ni contradicciones, es decir, son proposiciones que en algunos casos es F, y en otros es V.Ejemplos de Contingencia.- 1. p q1. p ^ q1. (p q) pEn efecto tenemos:1)pq(p q)

VVFF

VFVFVFFV

Es una contingencia

2)pqp q

VVFF

VFVFVFFF

Es una contingencia3)pq(p q) p

VVFFVFVFVFVVVVFFVVFF

Es una contingencia

PRINCIPALES LEYES LGICAS O TAUTOLGICAS

Las llamadas leyes lgicas o principios lgicos viene a ser formas proposicionales tautolgicas de carcter general y que a partir de estas leyes lgicas se puede generar otras tautolgicas y tambin cualquier tautologa se puede reducir a una de las leyes lgicas, entre las principales leyes mencionaremos.

EQUIVALENCIAS LGICAS

1) Ley de la Idempotencia

a) p p p b) p v p p

2) Leyes conmutativas a) p q q p b) p v q q v p

c) p q q p

3) Leyes Asociativas

a) p (q r) (p q) r b) p v (q v r) (p v q) v r

c) p (q r) (p q) r

4) Leyes Distributivas

a) p (q v r) (p q) v (p r) b) p v (q r) (p v q) (p v r)

c) p (q r) (p q) (p r)

d) p (q v r) (p q) v (p r)

5) Leyes De Identidad p V pp v F p

p F Fp v V V

6) Leyes del Complemento p p Fp v p V

V F, F V p p

6) Leyes De Morgan.

a) ~ (p q) ~p v ~q b) ~ (p v q) ~ p ~q

7) Leyes del Condicional

a) p q ~p v q b) ~ (p q) p ~q

8) Las Leyes del Bicondicional.

a) (p q) (p q) (q p)

b) (p q) (p q) v (~p ~q)

9) Leyes de la Absorcin.

a) p (p v q) p b) p (~p v q) p q

c) p v (p q) p d) p v (~p q) p v q

Ejemplo.- Simplificar las proposiciones siguientes aplicando las leyes lgicas.

1) [(p v ~q) q] p

DESARROLLO

[(p v ~q) q] p ~ [(p v ~q) q] v p por definicin [~ (p v ~q) v ~ q] v p por Morgan [~ (p v ~q)] v (p v ~q) por asociativa ( p q) v (p q) por Morgan V por complemento

2) ~ [~ (p q) ~ q] v q

DESARROLLO

~ [~ (p q) ~ q] v q ~ [(pq) v q] v q Definicin de [~ (p q) ~q] v q Por Morgan [(~ p v ~q) ~q] v q Por Morgan (~ p ~ q) v (~q q)] v q Por Distributiva [(~p ~ q) v F] v q Por Complemento (~p ~ q) v q Por Identidad q v (~ q ~p) Por Conmutativa qPor Absorcin

1. Simplificar la expresin [((~ p) q) (r ~r)] v ~ q

DESARROLLO

[((~ p) q) (r ~r)] v ~ q [((~ p) q) F] v ~ q Por Complemento [~ ((~p q) v F] v ~ q Definicin de [(p v ~q) v F] v ~ q Por Morgan (p v ~q) v ~ q Por Identidad ~q v (~ q v p) Por Conmutativa ~q Por Absorcin

Ejemplo.- Determinar si a) y b) son proposiciones equivalentes:

1. p (r v ~q) b) (q ~p) v (~r ~p)

DESARROLLO

Determinaremos la equivalencia mediante la tabla de la verdad

pqrp(r v ~q)(q ~p)v(~r ~p)

VVVVFFFFVVFFVVFFVFVFVFVFVVVVFFFFVFVVVVVVVFVVVFVVFFVVVVVVVFVVVVVVVFVFVVVV

Idnticos

Otra manera es mediante la simplificacin.

1. p (r v ~q) (~p) v ( r v ~q) Definicin de

1. (q ~p) v (~r ~p) (~q v ~p) v (r v ~p) Definicin de

(~q) v (~p v ~p) v rPor asociativa

(~q) v (~p) v rPor idempotencia

(~p) v (r v ~q) Por asociativa

Luego se tiene que: a) b)

CuantificadoresCon las proposiciones que dependen de variables estn ligadas dos tipos de afirmaciones que se encuentran frecuentemente:1. La proposicin p(x), x es verdadera para todos los elementos del conjunto U.1. La proposicin p(x), x es verdadera para al menos un elemento del conjunto U; es decir, es decir existe un elemento a para el cual la proposicin p(a) es verdadera.Estos tipos de afirmaciones se escriben con la ayuda de los llamados cuantificadores, que son de dos tipos:Cuantificador universal: Sustituye las palabras todos, todo, cualquiera. Se simboliza mediante el signo y se lee para todo.

Cuantificador existencial: se utiliza en vez de las palabras al menos un, existe, hay un. Se nota con el signo y se lee existe un para algn.

Con la ayuda de los cuantificadores, las afirmaciones a) y b) se pueden escribir de la manera siguiente:1. que se lee para todo x, p(x).1. que se lee existe un x tal que, p(x).

EjemplosRepresentar mediante cuantificadores las proposiciones:1. Todos los ecuatorianos son optimistasSolucin: ( ecuatoriano) (es optimista)

1. Algn ecuatoriano es optimistaSolucin: ( ecuatoriano) (es optimista)

Ahora, tenemos la siguiente regla para la negacin de funciones proposicionales con cuantificadores:La negacin del cuantificador universal equivale al cuantificador existencial y la negacin afecta nicamente a la proposicin:

La negacin del cuantificador existencial equivale al cuantificador universal y la negacin afecta nicamente a la proposicin:

EjemplosNegar las siguientes proposiciones:1. Todos los ecuatorianos son optimistas.Solucin: Habamos determinado que la proposicin es ( ecuatoriano) (es optimista).Su negacin es , o sea, lo que se lee como hay un ecuatoriano que no es optimista

1. Algn gato es negroSolucin: La proposicin puede escribirse como Su negacin es , que se lee todos los gatos no son negros.

1. Solucin:

Circuitos lgicosUn circuito lgico es la representacin grfica de una o ms proposiciones, utilizando los esquemas denominados circuitos elctricos.Las proposiciones simples se representan como interruptores en el circuito, abriendo o cerrando el circuito.

La forma de interpretacin de los circuitos es: El circuito funciona si la proposicin es verdadera, el interruptor est cerrado y pasa corriente El circuito no funciona si la proposicin es falsa, el interruptor est abierto y no pasa corriente.Segn la disposicin de los interruptores en un circuito, se tiene dos tipos de circuito: serie y paralelo.

Circuito en serieEs aquel que est constituido por interruptores dispuestos el uno detrs del otro.Para que el circuito funcione, todos los interruptores deben estar cerrados (proposiciones verdaderas). As, el circuito en serie representa la conjugacin de dos o ms proposiciones.Circuito en ParaleloEs aquel que est constituido por interruptores dispuestos el uno al lado del otro.Si un circuito en paralelo no funciona, todos los interruptores estn abiertos (proposiciones falsas). As, el circuito presenta la disyuncin de dos o ms proposiciones.

Las operaciones lgicas fundamentales se representan de la siguiente manera:

1. p q se representa por

2. p q se representa por

3. se representa por

4. se representa por

EJERCICIOS RESUELTOS

1) Determinar el valor de verdad de cada una de las siguientes proposiciones:a) Si 5 + 4 = 11, entonces 6 + 6 = 12SolucinEs verdadera puesto que el antecedente es falso mientras que el consecuente es verdadero.b) No es verdad que 3 + 3 = 7 si y solo si 5 + 5 = 12SolucinEs falso puesto que se est negando una proposicin verdadera.c) Lima est en Chile o La Paz est en Ecuador.Solucin Es falso puesto que ambas componentes son falsas.d) No es verdad que 2 + 2 = 5 o que 3 + 1 = 4SolucinEs falso puesto que se est negando una proposicin verdadera.2) Determinar el valor de verdad de cada una de las siguientes proposiciones:a) 4 + 8 = 12 y 9 4 = 5Solucin Es verdadera V, porque es una conjuncin cuyas dos proposiciones son verdaderas.b) 8 + 4 = 12 y 8 3 = 2SolucinEs falso F, puesto que es una conjuncin con una proposicin falsac) 8 + 4 = 12 o 7 2 = 3Es verdadera V, puesto que es una disyuncin con una proposicin simple verdaderad) S 4 + 3 = 2, entonces 5 + 5 = 10SolucinEs verdadera V, por ser una implicacin en donde el antecedente es falso F, y el consecuente es verdadero V de dos proposiciones simples.e) Si 4 + 5 = 9, entonces 3 + 1 = 2SolucinEs falso F, puesto que de una proposicin verdadera V no puede implicar una proposicin falsa F.f) S 7 + 3 = 4, entonces 11 7 = 9SolucinEs verdadera V, puesto que las proposiciones que intervienen en la implicacin son falsas. 3) Evaluar la tabla de verdad de la proposicin compuesta~ (p q) (~p V ~q)Solucinpq~(p q)(~p v ~q)

VVFFVFVFFVVVVFFFVVVVFVVV

4) Construir la tabla de verdad de la siguiente proposicin:~{ ~[ p v (~qp) ] v ~[ (p ~q)(q ~p) ]}SolucinPrimero simplificaremos la proposicin por la ley de Morgan:~ ~{[ p v (~q p) ] [ (p ~q) (q ~p) ]} de donde se tiene[p v (~q p)] [(p ~q) (q ~p)]pq[pv(~q p)][(p ~q)(q ~p)]

VVFFVFVFVVFFVVVFVVVFVFVFFVVFVFVVFFVF

El valor de verdad

pq[(~p v q) ~ q ] ~ p

VVFFVFVFVFVVFFFVFVFVVVVVFFVV

5) Determinar la proposicin [((~p) v q) ~ q] ~ p es una tautologa

Es una tautologa6) Verificar que las siguientes proposiciones son contradicciones:a) ( p q ) ~ ( p v q ) b) ~[ p v ( ~ p v ~q )]Solucinpq(p q)~(p v q)~[ pv( ~ p v ~q)]

VVFFVFVFVFFFFFFFFFFVVVVFFFFFVVFFVVVVFVVV

Contradiccin

7) Demostrar que las proposiciones dadas es una tautologa: [(p v ~q) q] pSolucinpq[(p v ~q) q]p

VVFFVFVFVVFVVFFFVFVFVVVVVVFF

Es una tautologa

8) Verificar que la proposicin dada es una contingencia: [~p (q v r)] [(p v r) q]Solucinpqr[~p(q v r)][(p v r)q]

VVVVFFFFVVFFVVFFVFVFVFVFFFFFVVVVFFFFVVVFVVVFVVVFFFVVVFFVVVVVVFVFVVFFVFFFVVFFVVFF

Es una contingencia9) Determinar si las proposiciones [p(r v ~q)] y [(q~p) v (~r~p)] son equivalentes.Solucinpqr[p(r v ~q)] [(q~p)v(~r~p)]

VVVVFFFFVVFFVVFFVFVFVFVFVVVVFFFFVFVVVVVVVFVVVFVVFFVVVVVVVFVVVVVVVFVFVVVV

IdnticasPor lo tanto son equivalentes es decir: [p(r v ~q)] [(q~p) v (~r~p)]

10) Determinar si las proposiciones [(~p v q) v (~r ~p)] y ~q ~p son equivalentes

Solucinpqr[(~p v q) v(~r ~p)] ~q~p

VVVVFFFFVVFFVVFFVFVFVFVFVVFFVVVVVVFFVVVVFFFFFVFVVVFFVVVV

IdnticasPor lo tanto son equivalentes es decir: [(p v q) v(r p) q p 11) Determinar los esquemas ms simples de la proposicin: ~ [~ (p q) ~q] v pSolucin~ [~ (p q) ~q] v p~ [~ (~ (p q) v ~q)] v ppor la condicional~ [(p q) v ~q] v ppor la negacin~ [~q v (p q)] v ppor conmutativa en la conjuncin~ [~q v p] v ppor absorcin(~p q) v ppor Morganp v qpor absorcin~ [~ (p q) ~q] v p p v q

12) De la falsedad de la proposicin: (p ~q) v (~rs) determinar el valor de verdad de los esquemas moleculares.a) (~p ~q) v ~qb) (~r v q) (~q v r) ^ sc) (p q) (p v q) ^ ~qSolucinDeterminaremos el valor de verdad de p, q, r, y s. (p ~q) v (~rs) F falso

por la disyuncin

p ~q F ~rs F por implicacin por implicacin

p es V y ~q es F ~r es V y s es F por negacin por negacin

P es V y q es V r es F y s es F

Por lo tanto: p es V, q es V, r es F, s es Fa) (~p ^ ~q) v ~qb) (~r v q) ( ~q v r) ^ s

FFF F V V F F F F

FV

F F

el valor de verdad es F el valor de verdad es F

c) (p q) (p v q) ^ ~q

F V V V V V

V F

F el valor de verdad es F

13El valor de verdad de: ~[(~p v q ) v (r q)] ^ [(~ p v q) (q ^ ~p)] es verdadera.Hallar el valor de verdad de p, q, y rSolucin

[( p v q ) v (r q)] [( p v q ) ( q p)] es VPor conjuncin

[(p v q ) ( q p)] es V[( p v q ) v (r q)] es V

(p v q ) v (r q) es F(p v q ) es F( q p)] Por negacin por implicacin

(r q) es F(p v q ) es Fq es F y p es FP es V y q es F Por disyuncin por disyuncin por conjuncin

Q es F y p es Vr es V y q es Fp es F y q es F Por disyuncin por implicacin por negacin

p es V y q es F

p es VPor lo tanto el valor de verdad de q es F r es V

14) Se sabe que p q y q t son falsas, determinar el valor de verdad de los esquemas moleculares siguientes:a) (~p v t) v ~ qb) ~ [p (~q v ~p)]c) [(p q) ~ (q t)] [~p v (q ~t)]Solucin

Determinaremos el valor de verdad de las proposiciones p, q, t

( p q ) ( q t) es FPor conjuncin

( q t) es F( p q ) es F

q es V y t es F p es F y q es V Por conjuncin por implicacin

Por lo tanto p es F, q es V y t es Fa) ( p v t ) v qb) [ p (q v p ) ] V F F V V F F V V F Vc) [(p q)(q t)] [p v (qt)]

F V V F V V V V F V V V V V

15) Si la proposicin (p q) (s v r) es falsa. Determinar cul de las proposiciones son verdaderas:a) [ ( p q) r ] b) ( ~p q) [ (r v r ) s ]c) [(p v q) p] v qSolucin

(pq ) (s v r ) es FPor implicacin

(s v r ) es F(p q ) es V

S es F y r es Fp es V y q es V Por conjuncin por disyuncin

q es V y t es F p es F y q es V Por negacin por negacin

Por lo tanto p es F, q es VS es V, r es F

F V F V V V F Va) [ ( p q) r ]b) ( p q ) [ (r v r ) s ]

V V V

F V

F V V

VEl valor de verdad es V El valor de verdad F

F F c) [ ( p v q ) p ] v q

F F

F F F

El valor de verdad es FPor lo tanto nicamente es verdadera la a)

16) Determinar el esquema ms simple de la proposicin [(p q) v (p q)] v (p q)Solucin [(p q) v (p q)] v (p q)[((p q) vp) ((pq) v q)] v(pq) Por distribucin con respecto a [p v (p q) (q v (p q)] v (p q)Conmutativa [p ((q v p) (q v q))] v (p q) Por absorcin y distributiva [p (q v p) V] v (p q) Por identidad [p (q v p)] v (p q) Por identidad [p (p v q)] v (p q) Por conmutativa en vp v (p q) Por absorcinP v qPor absorcinPor lo tanto [(p q) v (p q)] v (p q) p v q

pp17) Hallar la proposicin equivalente ms simplificada del siguiente circuito

o q p o

qpqSolucinLa funcin booleana del circuito dado es: [pvq v (p q)] [(p v q) p]Simplificando la proposicin obtenida se tiene: [(p v q) v (p q)] [(p v q) p] distributiva con respecto [p v q v p) (p v q v q)] [(p v q) p]distributiva respecto a v (V V) [(p p) v (p q)]por equivalenciasV [F v (p q)] = V v (p q) = p q Por lo tanto la equivalencia es: [p v q v (p q)] v [(p v q) p] p qPor lo tanto el circuito simplificado equivalente es:

opqo

18) Determinar la menor expresin que representa el circuito dado:

p

q opo

pq

SolucinLa funcin Booleana del circuito dado es: [p v (q p) v q] pAhora simplificamos la proposicin obtenida[p v (q p) v q] p [p v q v p] p [(p v q) v q] p ( Vv q) p q p

19) Determinar la menor expresin que representa al circuito dado:

qp

ppoo

q

SolucinLa funcin booleana del circuito dado es: [(p q) v (p (p v q))]Ahora simplificando la proposicin obtenida[(p q) v (p (p v q))] [ (p q ) ( p q ) ] p q

r20) Determinar la menor expresin que representa el circuito dado:

p

q

qpq oro

SolucinLa funcin booleana del circuito dado es: (p v q) [(q (r v q)) v (p q)] rSimplificando la proposicin obtenida(p v q) [ (q ( r vq) ) v ( p q ) ] r ( p v q ) [q v ( q p ) ] r (p v q) [q v p] r [p v (q q)] r (p v F) r p r

21) Determinar los circuitos lgicos que representan los siguientes esquemas moleculares.a) [ p ( q v r ) ]SolucinSimplificando se tiene:

[ p ( q v r ) [p v ~ ( q v r) = p (q v r)

b) ( p ) ( p q )Solucin(p ) ( p q ) (p ) (p v q ) (p (p v q ) v ( p ( p q ) ) (p ) v ( p )

c) ( p v q ) [ (p v q ) ( p q ) ]Solucin( p v q )[ ( ~p v q ) ( p q ) (p v q ) v [ (p v q ) v ( p q ) ] ( p v q ) v[ ( p q ) v ( p q ) ] (p q) v p (p v q)

EJERCICIOS PROPUESTOS

1. Determinar cules de los siguientes enunciados son proposiciones:

a) 5 + 7 = 16 - 4 b) 3 x 6 = 15 + 1 y 4 2 23 x 5c) El silencio es fundamental para estudiar?d) Estudia lgica simblica!e) Nosotros estudiamos en la Universidad Ecuatoriana.f) Los hombres no pueden vivir sin oxgeno.g) Arriba Quito!h) 5 + x = 7i) 2 + x 3 + x

2. Determine cules de los siguientes enunciados son enunciados abiertos:

a) x es hermano de yb) 28 < 15c) x + y + z 1d) 9x + 3 > 12e) Tenga calma, no se impacientef) x es ingeniero y Juan es matemtico.

3. Cules de las siguientes proposiciones son verdaderas y cules son falsas?

a) S 3 + 3 = 6, entonces 4 = 4b) Si 5(7) = 35, entonces 10 3 = 13c) Si 19 7 = 3, entonces 4(5 + 3) = 32d) Si 2 = 3 entonces 8 es un nmero primo.e) Si 3(7) es un nmero natural, entonces 17 es un nmero primo.f) Si x = 2, entonces 3x = 6

4. Si P (): = 27; q(): = 9; r(x): x < 10. Hallar el valor de verdad de:

a) [p(1) q(12)] [r(-3) ~r(3)]b) [p(0) ~q(-1)] [r(-5) (r(-6) r(0)]c) [(p(3) p(2)) (r(2) ~q(3))] [~q(3) ~p(-3)

5. Construir la tabla de verdad de las siguientes proposiciones:

a) (p q) (~p) (p q)b) (p q) rc) (p q) (q p)d) ((~p) q) (~q ~p)e) (p r) (~q r)f) (p q) r (~p ~q) (~r)

6. Por medio de una tabla de valores, establecer, si cada una de los siguientes esquemas moleculares es tautologa, contingencia o contradictoria.

a) ~[~p ~(~q ~p)] ~(~p ~q)b) [(p ~q) ~p] (~q p)c) ~(p q) ~(~q ~p)d) [p (q r)] [(p ~r) ~q]e) [p (~q p)] ~[(p ~q) ( q ~p)]f) [~p (q ~r)] [(~p q) ~(p r)

7. Simplificar las siguientes proposiciones:a) {[(~q)(~q) ] [(~p)(~q) ] }~(pq) b) [(pq)~p](~qp) c) ~{[~(~pq)~p] [~(pq) ] }d) (~p~q) [~p (qp)] e) [(pq) (pq)] (pr)f) ~[~(pq)q]p g) [(~pq)(qp) ]p

8. Si ~ [(~p q) (r q)] [(~p q) (q ~p)] es verdadera, hallar los valores de verdad de p, q y r.

9. Si la proposicin (p ~q) (r ~s) es falsa. Hallar el valor de verdad de las proposiciones p,q,r,s.

10. Si la proposicin ~(p q) (q p) es verdadera; entonces hallar los valores de verdad de p y q respectivamente.

11. Si la proposicin (p ~q) (~r s) es falsa. Hallar el valor de verdad de los siguientes esquemas moleculares.a) (p q) [(p q) ~q]b) (~r q) [(~q r) s]c) (~p ~q) ~q

12. Determinar el valor de verdad de las proposiciones p y q si se conoce la informacin siguiente:

a) (p q) (p q) es verdaderob) ~(p q) es verdadero

13. Determinar el valor de verdad de las proposiciones p y q si se conoce que el valor de verdad del siguiente esquema [~(~p q) ~(p ~q)] (p q) es falso.

14. Si p y q son verdaderos para qu valores de r, el esquema siguiente es verdadero? (r p) (~q r)

15. Si se tiene los siguientes datos: p es verdadero; r ~p es verdadero y w t es verdadero, hallar el valor de verdad de ~r y de t.

16. Si el esquema (p q) (p r) tiene valor de verdad, falso, halla el valor de verdad de los esquemas.

a) [(p q) (q ~r)] (p ~r)b) (p ~ q) (~r q)c) ~(q r) (p q)

17. Si la proposicin (~p q) [(p r) t] es falsa. Hallar el valor de verdad de cada una de las siguientes proposiciones.

a) (~p t) (~q r)b) (~q ~r) [~t (p q)]c) ~[(~p ~q) (r ~t)]

18. Demostrar si las siguientes frmulas son lgicamente equivalentes:

a) ~p q ~(p q)b) p ~p ~[(p p) p]c) ~q p ~(~p q) ~p (p ~q)d) ~[(p q) ~r] ~[(~p ~q) (p r)]e) ~(p q) ~p q p ~q ~(~p ~q)

19. Probar la equivalencia de las siguientes proposiciones:

a) ~(p q) y p (~q)b) ~(p q) y (~p) (~q)c) ~(p q) y (~p) ~qd) p q y ~q ~pe) (p q) (q r) y p r

20. Demostrar que las bicondicionales siguientes son equivalencias lgicas.

a) (p q) (~p) qb) (p q) (p q) (q p)c) (p q) p pd) (p q) p pe) ~(p q) (p ~q)

21. Determinar el valor de verdad de los siguientes enunciados considerando como universo a los nmeros reales.

a) {R / = }b) { x R / 2x = x}c) {R / + 3 2 = 0}d) {R / 2 + 5 = 0}e) { x R / 2x + 3x = 5x}f) {R / 2 + = 15}g) { x R / x 3 < x}h) { x R / x + 3 < 6}i) { x R / x + 3 < 6}j) {R / 10 8}

22. Sean las proposiciones p: { / + > 0}, q: { x I / x + 0 = }, r: {R / + 1 = 0}. Hallar el valor de [(p q) r] ~q

23. Cules son equivalencias lgicas?

a) ~(q ~p) (q p)b) [(~p ~q) ~q] [(p q) q]c) ~(p q) [(p q) ~q]

24. Determinar el valor de cada uno de las siguientes proposiciones:

a) { Z / = }b) { x Z / x 7 < x}c) { x Z / x + 5 = 5}d) { x Z / x + 8 > x}e) { Z / }f) { x Z / x + 1 = x}

25. Si U = {1, 2, 3,99}, determinar cules de los siguientes proposiciones son verdaderos.

a) { U / x + 5 = 2x}b) { x U / x +1 U}c) { x U / | x - 8 | > 5}d) { x U / 20 3x 0}

26. Cules de las siguientes proposiciones son verdaderas o falsas. Si U = {1, 2, 3} es el universo y si x, y U

a) , / xb) / + 1 = 0c) / = d) / - 1 > 0

28. Negar las siguientes proposiciones.

a) x / x 7 < yb) ( x / p(x)) ( y / q(y))c) ( x / p(x)) ( y / ~p(y))d) (p ~q) (p ~r)e) x / q(x) _ 5x + 7 < 10f) x / 5x + 8 < 4

29. Determinar los circuitos lgicos que representan a los siguientes esquemas moleculares.

a) (~p) (p ~q)b) p (q ~p)c) ~[p ~(q r)]d) {[(r q) p] ~r} qe) (p q) [(~p q) (p q)]f) [(p q) p] [(p q) ~p]

30. Representar mediante funciones booleanas los siguientes argumentos:

a)

b)

c)

d)

31. Dado el circuito lgico, hallar el circuito lgico ms simple posible.

32. Simplificar el siguiente circuito

33. Representar mediante funciones Booleanas los circuitos.

a)

b)