LÓGICA MATEMÁTICALÓGICA MATEMÁTICA Para os antigos e os medievais aristotélicos, os Para os antigos e os medievais aristotélicos, os

princípios e as leis da lógica correspondiam à princípios e as leis da lógica correspondiam à estrutura da própria realidade, pois o pensamento estrutura da própria realidade, pois o pensamento exprime o real e dele participa. Aristóteles dizia exprime o real e dele participa. Aristóteles dizia que a verdade e a falsidade são propriedades do que a verdade e a falsidade são propriedades do pensamento e não das coisas; que a realidade e a pensamento e não das coisas; que a realidade e a irrealidade (aparência ilusória) são propriedades irrealidade (aparência ilusória) são propriedades das coisas e não do pensamento; mas que um das coisas e não do pensamento; mas que um pensamento verdadeiro devia exprimir a realidade pensamento verdadeiro devia exprimir a realidade da coisa pensada, enquanto um pensamento falso da coisa pensada, enquanto um pensamento falso nada podia exprimir.nada podia exprimir.

LÓGICA MATEMÁTICALÓGICA MATEMÁTICA Para os medievais terministas e para os Para os medievais terministas e para os

modernos (século XVII), a lógica era uma arte de modernos (século XVII), a lógica era uma arte de pensar, para bem conduzir a razão nas ciências. pensar, para bem conduzir a razão nas ciências. Os princípios e as leis da lógica correspondiam à Os princípios e as leis da lógica correspondiam à estrutura do próprio pensamento, sobretudo à do estrutura do próprio pensamento, sobretudo à do raciocínio dedutivo – para os filósofos franceses raciocínio dedutivo – para os filósofos franceses de Port-Royal – e à do raciocínio indutivo – para o de Port-Royal – e à do raciocínio indutivo – para o filósofo inglês Francis Bacon. Como arte de filósofo inglês Francis Bacon. Como arte de pensar, a lógica oferecia ao conhecimento pensar, a lógica oferecia ao conhecimento científico e filosófico as leis do pensamento científico e filosófico as leis do pensamento verdadeiro e os procedimentos para a avaliação verdadeiro e os procedimentos para a avaliação dos conhecimentos adquiridos.dos conhecimentos adquiridos.

LÓGICA MATEMÁTICALÓGICA MATEMÁTICA Essa lógica – antiga e moderna – não era Essa lógica – antiga e moderna – não era

plenamente formal, pois não era indiferente aos plenamente formal, pois não era indiferente aos conteúdos das proposições, nem às operações conteúdos das proposições, nem às operações intelectuais do sujeito do conhecimento. A forma intelectuais do sujeito do conhecimento. A forma lógica recebia o valor de verdade ou falsidade a lógica recebia o valor de verdade ou falsidade a partir da verdade ou falsidade dos atos de partir da verdade ou falsidade dos atos de conhecimento do sujeito e da realidade ou conhecimento do sujeito e da realidade ou irrealidade dos objetos conhecidos. Ao contrário, a irrealidade dos objetos conhecidos. Ao contrário, a lógica contemporânea, procurando tornar-se um lógica contemporânea, procurando tornar-se um puro simbolismo do tipo matemático e um cálculo puro simbolismo do tipo matemático e um cálculo simbólico, preocupa-se cada vez menos com o simbólico, preocupa-se cada vez menos com o conteúdo material das proposições (a realidade dos conteúdo material das proposições (a realidade dos objetos referidos pela proposição) e com as objetos referidos pela proposição) e com as operações intelectuais do sujeito do conhecimento operações intelectuais do sujeito do conhecimento (a estrutura do pensamento). Tornou-se plenamente (a estrutura do pensamento). Tornou-se plenamente formal.formal.

LÓGICA MATEMÁTICALÓGICA MATEMÁTICA Assim, como o matemático lida com objetos que Assim, como o matemático lida com objetos que

foram construídos pelas próprias operações foram construídos pelas próprias operações matemáticas, de acordo com princípios e regras matemáticas, de acordo com princípios e regras prefixados e aceitos por todos, assim também o prefixados e aceitos por todos, assim também o lógico elabora os símbolos e as operações que lógico elabora os símbolos e as operações que constituem o objeto lógico por excelência, a constituem o objeto lógico por excelência, a proposição. O lógico indaga que forma deve proposição. O lógico indaga que forma deve possuir uma proposição para que:possuir uma proposição para que:

seja-lhe atribuída o valor de verdade ou falsidade;seja-lhe atribuída o valor de verdade ou falsidade; represente a forma do pensamento; erepresente a forma do pensamento; e represente a relação entre pensamento, linguagem represente a relação entre pensamento, linguagem

e realidade.e realidade.

LÓGICA MATEMÁTICALÓGICA MATEMÁTICA A lógica descreve as formas, as A lógica descreve as formas, as

propriedades e as relações das propriedades e as relações das proposições, graças à construção de um proposições, graças à construção de um simbolismo regulado e ordenado que simbolismo regulado e ordenado que permite diferenciar linguagem cotidiana e permite diferenciar linguagem cotidiana e linguagem lógica formalizada.linguagem lógica formalizada.

Boole definiu a lógica como o “método que Boole definiu a lógica como o “método que repousa sobre o emprego de símbolos, dos repousa sobre o emprego de símbolos, dos quais se conhecem as leis gerais de quais se conhecem as leis gerais de combinação e cujos resultados admitem combinação e cujos resultados admitem interpretação coerente”.interpretação coerente”.

LÓGICA MATEMÁTICALÓGICA MATEMÁTICA A lógica tornou-se cada vez mais uma A lógica tornou-se cada vez mais uma

ciência formal da linguagem, mas de uma ciência formal da linguagem, mas de uma linguagem muito especial, que nada tem a linguagem muito especial, que nada tem a ver com a linguagem cotidiana, pois trata-se ver com a linguagem cotidiana, pois trata-se de uma linguagem inteiramente construída de uma linguagem inteiramente construída por ela mesma, partindo do modelo da por ela mesma, partindo do modelo da matemática.matemática.

Dois aspectos devem ser mencionados para Dois aspectos devem ser mencionados para melhor compreendermos a relação entre a melhor compreendermos a relação entre a lógica contemporânea e a matemática.lógica contemporânea e a matemática.

LÓGICA MATEMÁTICALÓGICA MATEMÁTICA 1. A mudança no modo de conceber o que seja a 1. A mudança no modo de conceber o que seja a

matemática:matemática: Durante séculos (na verdade, desde os gregos), Durante séculos (na verdade, desde os gregos),

considerou-se a matemática uma ciência baseada considerou-se a matemática uma ciência baseada na intuição intelectual de verdades absolutas, na intuição intelectual de verdades absolutas, existentes em si e por si mesmas, sem depender existentes em si e por si mesmas, sem depender de qualquer interferência humana. Os axiomas, as de qualquer interferência humana. Os axiomas, as figuras geométricas, os números e as operações figuras geométricas, os números e as operações aritméticas, os símbolos e as operações aritméticas, os símbolos e as operações algébricas eram considerados verdades absolutas, algébricas eram considerados verdades absolutas, universais, necessárias, que existiriam com ou universais, necessárias, que existiriam com ou sem os homens e que permaneceriam existindo sem os homens e que permaneceriam existindo mesmo se os humanos desaparecessem (para mesmo se os humanos desaparecessem (para muitos filósofos, a matemática chegou a ser muitos filósofos, a matemática chegou a ser considerada a ciência divina por excelência).considerada a ciência divina por excelência).

LÓGICA MATEMÁTICALÓGICA MATEMÁTICA No entanto, desde o século XIX passou-se a considerar a No entanto, desde o século XIX passou-se a considerar a

matemática uma ciência que resulta de uma construção matemática uma ciência que resulta de uma construção intelectual , uma invenção do espírito humano, sem que intelectual , uma invenção do espírito humano, sem que suas entidades sejam existentes em si e por si mesmas. suas entidades sejam existentes em si e por si mesmas. Os entes matemáticos são puras idealidades construídas Os entes matemáticos são puras idealidades construídas pelo intelecto ou pelo pensamento, que formula um pelo intelecto ou pelo pensamento, que formula um conjunto rigoroso de princípios, regras, normas e conjunto rigoroso de princípios, regras, normas e operações, para a criação operações, para a criação

de figuras, números, símbolos, cálculos, etc.de figuras, números, símbolos, cálculos, etc. No final do século XIX, o matemático italiano Peano No final do século XIX, o matemático italiano Peano

realizou um estudo sobre a aritmética dos números realizou um estudo sobre a aritmética dos números cardinais finitos demonstrando que podia ser derivada de cardinais finitos demonstrando que podia ser derivada de cinco axiomas ou proposições primitivas e de três termos cinco axiomas ou proposições primitivas e de três termos não definíveis –z e r o, Número e sucessor de.não definíveis –z e r o, Número e sucessor de.

LÓGICA MATEMÁTICALÓGICA MATEMÁTICA Desta maneira, a matemática surgia como um ramo da Desta maneira, a matemática surgia como um ramo da

lógica, cabendo ao alemão Frege e aos ingleses Bertrand lógica, cabendo ao alemão Frege e aos ingleses Bertrand Russell e Alfred Whitehead prosseguir o trabalho de Russell e Alfred Whitehead prosseguir o trabalho de Peano, oferecendo as definições lógicas dos três termos Peano, oferecendo as definições lógicas dos três termos que o matemático italiano julgara indefiníveis. Frege que o matemático italiano julgara indefiníveis. Frege ofereceu o primeiro conceito de sistema formal e os ofereceu o primeiro conceito de sistema formal e os primeiros exemplos do cálculo de proposições e de primeiros exemplos do cálculo de proposições e de predicados.predicados.

A matemática é uma ciência de formas e cálculos puros A matemática é uma ciência de formas e cálculos puros organizados numa linguagem simbólica perfeita, na qual organizados numa linguagem simbólica perfeita, na qual cada signo é um algoritmo, isto é, um símbolo com um cada signo é um algoritmo, isto é, um símbolo com um único sentido. É elaborada pelo espírito humano e não um único sentido. É elaborada pelo espírito humano e não um pensamento intuitivo que contemplaria entidades perfeitas pensamento intuitivo que contemplaria entidades perfeitas e eternas, existentes em si e por si mesmas.e eternas, existentes em si e por si mesmas.

LÓGICA MATEMÁTICALÓGICA MATEMÁTICA Seu objeto passou a ser o estudo de um tipo determinado Seu objeto passou a ser o estudo de um tipo determinado

de discurso: a proposição e as relações entre de discurso: a proposição e as relações entre proposições. Sua finalidade tornou-se o projeto de proposições. Sua finalidade tornou-se o projeto de oferecer normas e critérios para uma linguagem perfeita, oferecer normas e critérios para uma linguagem perfeita, capaz de avaliar as demais linguagens (científicas, capaz de avaliar as demais linguagens (científicas, filosóficas, artísticas, cotidianas, etc.).filosóficas, artísticas, cotidianas, etc.).

Para conseguir seu propósito, a lógica distingue dois Para conseguir seu propósito, a lógica distingue dois níveis de linguagem:níveis de linguagem:

1. linguagem natural , isto é, aquela que usamos em 1. linguagem natural , isto é, aquela que usamos em nossa vida cotidiana, nas artes, na política, na filosofia;nossa vida cotidiana, nas artes, na política, na filosofia;

2. linguagem formal , isto é, aquela que é construída 2. linguagem formal , isto é, aquela que é construída segundo princípios e regras determinados que descrevem segundo princípios e regras determinados que descrevem um tipo específico de objeto, o objeto das ciências.um tipo específico de objeto, o objeto das ciências.

Essa distinção também pode ser apresentada como Essa distinção também pode ser apresentada como diferença entre dois tipos de linguagem simbólicas:diferença entre dois tipos de linguagem simbólicas:

LÓGICA MATEMÁTICALÓGICA MATEMÁTICA 1. a linguagem simbólica cultural (a 1. a linguagem simbólica cultural (a

linguagem “natural”), que usa signos, linguagem “natural”), que usa signos, metáforas, analogias, esquemas para metáforas, analogias, esquemas para exprimir significações cotidianas, exprimir significações cotidianas, religiosas, artísticas, políticas, filosóficas. A religiosas, artísticas, políticas, filosóficas. A principal característica desse simbolismo é principal característica desse simbolismo é ser conotativo, isto é, os símbolos ser conotativo, isto é, os símbolos carregam muitos sentidos e referem-se a carregam muitos sentidos e referem-se a muitas significações. A linguagem cultural muitas significações. A linguagem cultural é polissêmica, isto é, nela as palavras é polissêmica, isto é, nela as palavras possuem inúmeros significados;possuem inúmeros significados;

LÓGICA MATEMÁTICALÓGICA MATEMÁTICA 2. a linguagem simbólica lógico-científica (a 2. a linguagem simbólica lógico-científica (a

linguagem “construída”), que usa um sistema linguagem “construída”), que usa um sistema fechado de signos ou símbolos (o algoritmo), em fechado de signos ou símbolos (o algoritmo), em que cada símbolo é símbolo de uma única coisa e que cada símbolo é símbolo de uma única coisa e corresponde a uma única significação. Sua corresponde a uma única significação. Sua principal característica é ser essencialmente um principal característica é ser essencialmente um simbolismo denotativo ou indicativo, evitando a simbolismo denotativo ou indicativo, evitando a polissemia e afirmando a univocidade do sentido polissemia e afirmando a univocidade do sentido simbolizado. Por exemplo: H2O, +, x, =,→ ,≡ , etc. simbolizado. Por exemplo: H2O, +, x, =,→ ,≡ , etc. são símbolos denotativos ou indicativos de um só são símbolos denotativos ou indicativos de um só objeto ou de um só sentido; são algoritmos.objeto ou de um só sentido; são algoritmos.

LÓGICA MATEMÁTICALÓGICA MATEMÁTICA A lógica ocupa-se com a linguagem formal A lógica ocupa-se com a linguagem formal

ou com a linguagem simbólico-científica. Por ou com a linguagem simbólico-científica. Por ser um discurso ou uma linguagem que fala ser um discurso ou uma linguagem que fala de outro discurso ou de outra linguagem, se de outro discurso ou de outra linguagem, se diz que ela é uma diz que ela é uma mealinguagemmealinguagem..

Obs.: Copi – p. 225 – o valor dos símbolosObs.: Copi – p. 225 – o valor dos símbolos

LÓGICA MATEMÁTICALÓGICA MATEMÁTICA

Lógica MatemáticaLógica Matemática - -Conceitos PreliminaresConceitos PreliminaresCálculo ProposicionalCálculo Proposicional

Como primeira e indispensável parte da Lógica Matemática temos o CÁLCULO PROPOSICIONAL ou CÁLCULO SENTENCIAL ou ainda CÁLCULO DAS SENTENÇAS.

CONCEITO DE PROPOSIÇÃO Sentenças declarativas afirmativas (expressão de uma linguagem) da qual tenha sentido afirmar que seja verdadeira ou que seja falsa.· A lua é quadrada.· A neve é branca.· Matemática é uma ciência.

. 3 < 4

. = 3,14

. 1 é primo

. Zero é par

Sentença e ProposiçãoSentença e Proposição A lógica formal pode representar as afirmações que A lógica formal pode representar as afirmações que

fazemos em linguagem cotidiana para apresentar fatos fazemos em linguagem cotidiana para apresentar fatos ou transmitir informações. Uma ou transmitir informações. Uma proposiçãoproposição ( (ouou declaraçãodeclaração) é uma ) é uma sentençasentença que é que é falsafalsa ou ou verdadeiraverdadeira..

Considere as seguintes sentenças:Considere as seguintes sentenças:

(a) Dez é menor do que sete.(a) Dez é menor do que sete.

(b) Como está você?(b) Como está você?

(c) Ela é muito talentosa.(c) Ela é muito talentosa.

(d) Existe vida em outros planetas do universo.(d) Existe vida em outros planetas do universo.

É uma proposição, já que é falsa.

Não pode ser considerada falsa ou verdadeira, não é proposição.

Não é uma proposição. Ela não está especificada, não é falsa nem verdadeira.

É proposição.

Não é preciso sermos capazes de decidir qual das alternativas é válida.

Consideração inicialConsideração inicial A lógica analisa os argumentos em vista de sua A lógica analisa os argumentos em vista de sua validadevalidade, ,

não de sua não de sua veracidadeveracidade.. Ex: Se todo homem dessa sala é candidato a engenheiroEx: Se todo homem dessa sala é candidato a engenheiro e se todo candidato a engenheiro é bonitoe se todo candidato a engenheiro é bonito então todo homem dessa sala é bonito.então todo homem dessa sala é bonito.

Ex:Ex: Pedro é um sujeito mais bonito que o Brad Pitt e o Pedro é um sujeito mais bonito que o Brad Pitt e o

Marcelo Anthony juntos.Marcelo Anthony juntos. O time das Malucas Felizes vai ganhar o torneio de O time das Malucas Felizes vai ganhar o torneio de

Handball da Faculdade.Handball da Faculdade. Essa frase é falsaEssa frase é falsa..

ProposiçãoProposiçãoExemplo: Exemplo: Foi detectado que alguns prefeitos não moram Foi detectado que alguns prefeitos não moram

nos municípios onde trabalham. O governo federal nos municípios onde trabalham. O governo federal criou então o município de Pizzalândia e nele só criou então o município de Pizzalândia e nele só podem morar os prefeitos que não moram em podem morar os prefeitos que não moram em seus municípios. seus municípios.

Onde mora o prefeito de Pizzalândia?Onde mora o prefeito de Pizzalândia?

Definição de um objeto.

TERMO (Palavra) – Definição:

Paula

Um filme de terror

Triângulo retângulo

Exemplo:

Cálculo ProposicionalCálculo Proposicional

Todo o conjunto de termos ou símbolos que exprimem um pensamento

de sentido completo.

Todo homem é mortal.A Lua é um satélite da Terra.

Exemplo:

sen /2 = cos /2

PROPOSIÇÃO – DefiniçãoPROPOSIÇÃO – Definição

As PROPOSIÇÕES transmitem pensamentos,

isto é, afirmam fatos ou exprimem juízos

que formamos a respeito de determinados entes.

PROPOSIÇÃO

PROPOSIÇÃO – DefiniçãoPROPOSIÇÃO – Definição

A linguagem NATURAL permite vários tipos de proposições:

DECLARATIVA: Meu carro é azul.

INTERROGATIVA: Está frio?

EXCLAMATIVA: Que lindo!

IMPERATIVA: Cale a boca.

PROPOSIÇÃO – DefiniçãoPROPOSIÇÃO – Definição

CÁLCULO PROPOSICIONAL:

Permite apenas as proposições

DECLARATIVAS.

PROPOSIÇÃO – DefiniçãoPROPOSIÇÃO – Definição

ExercícioExercício Quais das frases a seguir são proposições Quais das frases a seguir são proposições

declarativas?declarativas? A lua é feita de queijo verde.A lua é feita de queijo verde. Ele é, certamente, um homem alto.Ele é, certamente, um homem alto. Dois é um número primo.Dois é um número primo. O jogo vai acabar logo?O jogo vai acabar logo? Os juros vão subir ano que vem.Os juros vão subir ano que vem. Os juros vão descer ano que vem.Os juros vão descer ano que vem. xx22 – 4 = 0. – 4 = 0.

ExercícioExercício Quais das frases a seguir são proposições?Quais das frases a seguir são proposições?

A lua é feita de queijo verde.A lua é feita de queijo verde. Ele é, certamente, um homem alto.Ele é, certamente, um homem alto. Dois é um número primo.Dois é um número primo. O jogo vai acabar logo?O jogo vai acabar logo? Os juros vão subir ano que vem.Os juros vão subir ano que vem. Os juros vão descer ano que vemOs juros vão descer ano que vem.. xx22 – 4 = 0. – 4 = 0.

PRINCÍPIOS LÓGICOS FUNDAMENTAIS

I - PRINCÍPIO (Axioma) DA NÃO CONTRADIÇÃO.

II - PRINCÍPIO (Axioma) DO TERCEIRO EXCLUÍDO.

A Lógica Matemática adota como regrasfundamentais do pensamento os 2 princípios:

PRINCÍPIOS LÓGICOS FUNDAMENTAIS

I - PRINCÍPIO (Axioma) DA NÃO CONTRADIÇÃO:

Uma proposição NÃO pode ser FALSA e VERDADEIRA ao mesmo tempo.

O Brasil é pentacampeão de futebol.

O Brasil possui pena de morte.

Verdade (V)

Falso (F)

II - PRINCÍPIO (Axioma) DO TERCEIRO EXCLUÍDO:

Toda proposição ou é VERDADEIRA ou FALSA, isto é, verifica-se sempre um destes casos

e NUNCA UM TERCEIRO.

LÓGICA BIVALENTE

PRINCÍPIOS LÓGICOS FUNDAMENTAIS

O Valor Lógico de uma PROPOSIÇÃO é:

VERDADE se esta for VERDADEIRA;

FALSIDADE se a PROPOSIÇÃO for FALSA.

VALOR LÓGICO DE UMA PROPOSIÇÃO

Assim, o que os princípios da não contradiçãoe o do terceiro excluido afirmam é que:

Toda proposição tem um, e um só, dos valores V, F.

VALOR LÓGICO DE UMA PROPOSIÇÃO

Qual é Valor Lógico (Qual é Valor Lógico (VV ou ou FF) ) das proposições a seguir?das proposições a seguir?

O número 17 é primo. ( )O número 17 é primo. ( ) Fortaleza é a capital do Maranhão. ( )Fortaleza é a capital do Maranhão. ( ) TIRADENTES morreu afogado. ( )TIRADENTES morreu afogado. ( ) (3 + 5)(3 + 5)22 = 3 = 322 + 5 + 522. ( ). ( ) O valor archimediano de O valor archimediano de é 22/7. ( ) é 22/7. ( ) -1 < -7. ( )-1 < -7. ( ) 0,131313… é uma dízima periódica simples. ( )0,131313… é uma dízima periódica simples. ( ) As diagonais de um paralelogramo são iguais. ( )As diagonais de um paralelogramo são iguais. ( ) Todo polígono regular convexo é inscritível. ( )Todo polígono regular convexo é inscritível. ( ) O hexaedro regular tem 8 arestas. ( )O hexaedro regular tem 8 arestas. ( )

O número 17 é primo. ( O número 17 é primo. ( VV Fortaleza é a capital do Maranhão. ( Fortaleza é a capital do Maranhão. ( FF TIRADENTES morreu afogado. ( TIRADENTES morreu afogado. ( FF (3 + 5)(3 + 5)22 = 3 = 322 + 5 + 522. ( . ( FF O valor archimediano de O valor archimediano de é 22/7. ( é 22/7. ( VV -1 < -7. ( -1 < -7. ( FF 0,131313… é uma dízima periódica simples. ( 0,131313… é uma dízima periódica simples. ( VV As diagonais de um paralelogramo são iguais. ( As diagonais de um paralelogramo são iguais. ( FF Todo polígono regular convexo é inscritível. ( Todo polígono regular convexo é inscritível. ( VV O hexaedro regular tem 8 arestas. ( O hexaedro regular tem 8 arestas. ( FF

A expressão nA expressão n22 – n + 41 (n – n + 41 (nN) só produz números primos.N) só produz números primos. ( ( ) )

Todo número divisível por 5 termina por 5. ( )Todo número divisível por 5 termina por 5. ( ) O produto de dois números ímpares é um número ímpar. ( O produto de dois números ímpares é um número ímpar. (

) ) sensen22 30º + sen 30º + sen22 60º = 2. ( ) 60º = 2. ( ) 1 + 3 + 5 + … + (2n – 1)1 + 3 + 5 + … + (2n – 1)22 = n = n22. ( ). ( ) As raízes da equação xAs raízes da equação x3 3 - 1 = 0 são todas reais. ( )- 1 = 0 são todas reais. ( ) O número 125 é cubo perfeito. ( )O número 125 é cubo perfeito. ( ) 0, 4 e -4 são raízes da equação x0, 4 e -4 são raízes da equação x3 3 - 16x = 0. ( )- 16x = 0. ( ) O cubo é um poliedro regular. ( )O cubo é um poliedro regular. ( ) tg tg /4 < tg /4 < tg /6. ( ) /6. ( )

Qual é Valor Lógico (Qual é Valor Lógico (VV ou ou FF) ) das proposições a seguir?das proposições a seguir? A expressão nA expressão n22 – n + 41 (n – n + 41 (nN) só produz números primos.N) só produz números primos.

( ( FF Todo número divisível por 5 termina por 5. ( Todo número divisível por 5 termina por 5. ( FF O produto de dois números ímpares é um número ímpar. ( O produto de dois números ímpares é um número ímpar. ( VV sensen22 30º + sen 30º + sen22 60º = 2. ( 60º = 2. ( FF 1 + 3 + 5 + … + (2n – 1)1 + 3 + 5 + … + (2n – 1)22 = n = n22. ( . ( VV As raízes da equação xAs raízes da equação x3 3 - 1 = 0 são todas reais. ( - 1 = 0 são todas reais. ( VV O número 125 é cubo perfeito. ( O número 125 é cubo perfeito. ( VV 0, 4 e -4 são raízes da equação x0, 4 e -4 são raízes da equação x3 3 - 16x = 0. ( - 16x = 0. ( VV O cubo é um poliedro regular. ( O cubo é um poliedro regular. ( VV tg tg /4 < tg /4 < tg /6. ( /6. ( FF