Universidad Centroamericana Jos Simen Caas Departamento de Matemtica Matemtica I (Ingeniera) Seccin 05

DISCUSIN: LOGICA PROPOSICIONAL E INDUCCIN MATEMTICA.

LOGICA PROPOSICIONAL. Construya tablas de verdad para las siguientes proposiciones. Cules son tautologas, contradicciones o contingencias? (Ejercicio 16, s)

[( ~ ) ] [(p ) (q r)]p q r r

Primera parte del bicondicional.

p q r ~ q ( ~ )p q [( ~ ) ]p q r

F F F V F F

F F V V F V

F V F F F F

F V V F F V

V F F V V V

V F V V V V

V V F F F F

V V V F F V

Segunda parte del bicondicional

p q r (p )r (q r) [(p ) (q r)]r

F F F F F F

F F V V V V

F V F F V F

F V V V V V

V F F V F F

V F V V V V

V V F V V V

V V V V V V

Desarrollo del bicondicional

[( ~ ) ]p q r [(p ) (q r)]r

F F V

V V V

F F V

V V V

V F F

V V V

F V F

V V V

Por lo tanto, es una contingencia. Compruebe la verdad de las siguientes equivalencias lgicas (Ejercicio 20, b)

~ [( )] (~ p ~ q) ~ pp q

Primera parte del condicional.

p q ( )p q ~ [( )]p q

F F V F

F V V F

V F F V

V V V F

Segunda parte del condicional.

p q ~ p ~ q (~ p ~ q) (~ p ~ q) ~ p

F F V V V V

F V V F F V

V F F V F F

V V F F F F

Desarrollo del bicondicional.

Es contingencia. DEMOSTRACION DIRECTA: Se pretende probar p q

Suponer p, se aaden axiomas a p (En muchos casos deben ser procedimientos algebraicos VALIDOS).

Se demuestran q, utilizando p.

Ejemplos de ellos, es la induccin matemtica. Antes de proceder con la induccin matemtica es necesario considerar la manera de operacin de las sumatorias y factoriales.

La expresin 2

1

n

i

i

, es una manera compacta de escribir una suma de muchos elementos, que equivaldra a

2 2 2 2 21 2 3 4 ... n . El ejemplo anterior con lmite superior n=5, se resolvera as:

52 2 2 2 2 2

1

1 2 3 4 5i

i

Considerando la expresin anterior como una ecuacin, es posible dar tratamiento a un lado de la ecuacin buscando no alterarla, con la finalidad de poder manipular la induccin con axiomas algebraicos vlidos, as:

52 2 2 2 2 2

1

5 42 2 2

1 1

1 2 3 4 5

5

i EQUIVALENCIA

i i

i

i i

De igual forma, la expresin !n indica de manera simplificada el factorial de un nmero, que es igual a 1x2x3x4x...xn El ejemplo anterior con lmite superior n=5, se resolvera as:

~ [( )]p q (~ p ~ q) ~ p

F V F

F V F

V F F

F F V

5! 1x 2x3x 4x5

5! 120

Nuevamente, se considera la manipulacin de la ecuacin, como en el caso de las sumatorias, de la siguiente forma:

5! 1x 2x3x 4x5

5! 4!x5

5! 120

4!x5 120

EQUIVALENCIA

INDUCCION MATEMATICA.

Utilizando el mtodo de induccin, demuestre las siguientes sumatorias para todo n N .

1. 2

1

2 1n

i

i n

PASO BASICO

12

1

2 1 1

2(1) 1 1

1 1

i

i

PASO INDUCTIVO.

Si 2

1

2 1k

i

i k

, entonces 1

2

1

2 1 ( 1)k

i

i k

.

Expansin de la sumatoria.

1

( ) 2 1 [2(1) 1] [2(2) 1] [2(3) 1] ... [2(k) 1]k

i

P k i

1

1

( 1) 2 1 [2(1) 1] [2(2) 1] [2(3) 1] ... [2(k) 1] [2(k 1) 1]k

i

P k i

Consideracin de la conclusin, con lmite de suma igual a la hiptesis para poder operar.

1

1

1

1 1

12

1

12

1

12

1

2 1 [2(1) 1] [2(2) 1] [2(3) 1] ... [2(k) 1] [2(k 1) 1]

2 1 2 1 [2(k 1) 1]

2 1 2 2 1

2 1 2 1

2 1 (k 1)

k

iEQUIVALENCIA

k k

i i

k

i

k

i

k

i

i

i i

i k k

i k k

i

LQQD

2. 1

( 1)2

n

i

ni n

PASO BASICO. 1

1

1(1 1)

2

11 (2)

2

1 1

i

i

PASO INDUCTIVO.

Si 1

(k 1)2

k

i

ki

, entonces 1

1

( 1)((k 1) 1)

2

k

i

ki

Al trabajar la conclusin algebraicamente.

1

1

1

1

( 1)((k 1) 1)

2

( 1)(k 2)

2

k

i

k

i

ki

ki

Expansin de la sumatoria.

1

1

1

( ) 1 2 3 4 ...

( 1) 1 2 3 4 ... ( 1)

k

i

k

i

P k i k

P k i k k

Consideracin de la conclusin, con lmite de suma igual a la hiptesis para poder operar.

1

( 1)( 1) (k 2)

2

k

i

ki k

Sustitucin y operacin de la hiptesis.

11

1

1 1

1

1

1

1

1

1

1

1

1 2 3 4 ... ( 1)

( 1)

(k 1) (k 1)2

(k 1) 12

2(k 1)

2

1( 2)

2

k

i EQUIVALENCIA

k k

i i

k

i

k

i

k

i

k

i

i k k

i i k

ki

ki

ki

ki k

LQQD

3. 1

1

, 11

nni

i

ar aar r

r

(Suma geomtrica)

PASO BASICO.

111

1

1 1

1

( 1)

1

i

i

ar aar

r

a rar

r

a a

PASO INDUCTIVO.

Si 1

1 1

kki

i

ar aar

r

, entonces

111

1 1

kki

i

ar aar

r

Expansin de sumatorias.

1 1 1 2 1 3 1 1

1

11 1 1 2 1 3 1 1 ( 1) 1

1

( ) ...

( 1) ...

ki k

i

ki k k

i

P k ar ar ar ar ar

P k ar ar ar ar ar ar

Consideracin de la conclusin, con lmite de suma igual a la hiptesis para poder operar.

11 1 1 2 1 3 1 1 ( 1) 1

1

11 1 ( 1) 1

1 1

11 1 ( 1) 1

1 1

11 1

1 1

...k

i k k

i EQUIVALENCIA

k ki i k

i i

k ki i k

i i

k ki i k

i i

ar ar ar ar ar ar

ar ar ar

ar ar ar

ar ar ar

Sustitucin y operacin de la hiptesis.

11 1

1 1

11

1

11

1

111

1

111

1

1

( 1)

1

1

1

k ki i k

i i

kki k

i

k kki

i

k k kki

i

kki

i

ar ar ar

ar aar ar

r

ar a r arar

r

ar a ar arar

r

ar aar

r

LQQD

4. 1

i( !) ( 1)! 1n

i

i n

PASO BASICO. 1

1

i( !) (1 1)! 1

1(1!) 2! 1

1 1

i

i

PASO INDUCTIVO

Si 1

i( !) (k 1)! 1k

i

i

, entonces 1

1

i( !) ((k 1) 1)! 1k

i

i

La conclusin queda como 1

1

i( !) (k 2)! 1k

i

i

Expansin de la sumatoria.

1

1

1

( ) i( !) 1(1!) 2(2!) 3(3!) ... (k!)

( 1) i( !) 1(1!) 2(2!) 3(3!) ... (k!) (k 1)(k 1)!

k

i

k

i

P k i k

P k i k

Consideracin de la conclusin, con lmite de suma igual a la hiptesis para poder operar. 1

1

1

1 1

i( !) 1(1!) 2(2!) 3(3!) ... ( !) ( 1)( 1)!

i( !) i( !) ( 1)(k 1)!

[(k 1)! 1] (k 1)(k 1)!

(k 1)! (k 1)(k 1)! 1

(k 1)![1 ( 1)] 1

(k 1)![ 2] 1

( 2)! 1

k

iEQUIVALENCIA

k k

i i

i k k k k

i i k

k

k

k

LQQD Obsrvese que en el ejercicio anterior, se aplica la definicin de factorial