logica voor informatica - cs.uu.nl · logica voor informatica i twee deeltentamens (week 51 en 5) i...
TRANSCRIPT
![Page 2: Logica voor Informatica - cs.uu.nl · Logica voor Informatica I Twee deeltentamens (week 51 en 5) I Eindcijfer is bepaald door: het gemiddelde cijfer van twee deeltentamens (80%)](https://reader031.vdocuments.net/reader031/viewer/2022013110/5c0d82f109d3f22d558b73bc/html5/thumbnails/2.jpg)
Organisatie
![Page 3: Logica voor Informatica - cs.uu.nl · Logica voor Informatica I Twee deeltentamens (week 51 en 5) I Eindcijfer is bepaald door: het gemiddelde cijfer van twee deeltentamens (80%)](https://reader031.vdocuments.net/reader031/viewer/2022013110/5c0d82f109d3f22d558b73bc/html5/thumbnails/3.jpg)
Logica voor Informatica
I Docent: Mehdi Dastani, BBG-521
I Inhoud (dictaat van J. van Eijck & E. Thijsse)
I Verzamelingen (3 hoorcol.)
I Propositielogica (3 hoorcol.)
I Predicatenlogica (5 hoorcol.)
I Logisch programmeren & Programma correctheid (2 hoorcol.)
![Page 4: Logica voor Informatica - cs.uu.nl · Logica voor Informatica I Twee deeltentamens (week 51 en 5) I Eindcijfer is bepaald door: het gemiddelde cijfer van twee deeltentamens (80%)](https://reader031.vdocuments.net/reader031/viewer/2022013110/5c0d82f109d3f22d558b73bc/html5/thumbnails/4.jpg)
Logica voor Informatica
I 2 hoor- en 2 werkcolleges per week
I Aanwezigheid tijdens hoor- en werkcolleges is niet verplicht,maar sterk aangeraden
I 7 mini-toetsen (multiplechoice) tijdens de werkcolleges opvrijdagen (12:00 uur)
![Page 5: Logica voor Informatica - cs.uu.nl · Logica voor Informatica I Twee deeltentamens (week 51 en 5) I Eindcijfer is bepaald door: het gemiddelde cijfer van twee deeltentamens (80%)](https://reader031.vdocuments.net/reader031/viewer/2022013110/5c0d82f109d3f22d558b73bc/html5/thumbnails/5.jpg)
Logica voor Informatica
I Twee deeltentamens (week 51 en 5)
I Eindcijfer is bepaald door:
het gemiddelde cijfer van twee deeltentamens (80%)+
het gemiddelde cijfer van zeven mini-toetsen (20%)
I Een herkansing (week 16)Deelname mogelijk als eindcijfer een onafgeronde 4 of een 5 is
![Page 6: Logica voor Informatica - cs.uu.nl · Logica voor Informatica I Twee deeltentamens (week 51 en 5) I Eindcijfer is bepaald door: het gemiddelde cijfer van twee deeltentamens (80%)](https://reader031.vdocuments.net/reader031/viewer/2022013110/5c0d82f109d3f22d558b73bc/html5/thumbnails/6.jpg)
Logica voor Informatica
I Er zijn 4 werkcollege groepen.
I Groep begeleiders zijn:
1. Nina Rosa & Yasmin van Dijk2. Davide Dell’Anna & Daphne Odekerken3. Lex de Kogel4. Max Hessey
I Verdeling in groepen kan niet gewijzigd worden
![Page 7: Logica voor Informatica - cs.uu.nl · Logica voor Informatica I Twee deeltentamens (week 51 en 5) I Eindcijfer is bepaald door: het gemiddelde cijfer van twee deeltentamens (80%)](https://reader031.vdocuments.net/reader031/viewer/2022013110/5c0d82f109d3f22d558b73bc/html5/thumbnails/7.jpg)
Logica voor Informatica
I Alle informatie over het vak op:
http://www.cs.uu.nl/docs/vakken/b1li/2017-18/
I NieuwsI SlidesI RoosterI Opgaven voor werkcollegesI TentamensI LiteratuurI Cijfers
![Page 8: Logica voor Informatica - cs.uu.nl · Logica voor Informatica I Twee deeltentamens (week 51 en 5) I Eindcijfer is bepaald door: het gemiddelde cijfer van twee deeltentamens (80%)](https://reader031.vdocuments.net/reader031/viewer/2022013110/5c0d82f109d3f22d558b73bc/html5/thumbnails/8.jpg)
Wat is Logica?
![Page 9: Logica voor Informatica - cs.uu.nl · Logica voor Informatica I Twee deeltentamens (week 51 en 5) I Eindcijfer is bepaald door: het gemiddelde cijfer van twee deeltentamens (80%)](https://reader031.vdocuments.net/reader031/viewer/2022013110/5c0d82f109d3f22d558b73bc/html5/thumbnails/9.jpg)
Wat is Logica?
Logica is fundamenteel voor de wetenschap en iseven oud als de geschiedenis
Aristoteles Leibniz Frege Russel Wittgenstein Turing384-322 BC 1646-1716 1828-1925 1872-1970 1889-1951 1912-1954
![Page 10: Logica voor Informatica - cs.uu.nl · Logica voor Informatica I Twee deeltentamens (week 51 en 5) I Eindcijfer is bepaald door: het gemiddelde cijfer van twee deeltentamens (80%)](https://reader031.vdocuments.net/reader031/viewer/2022013110/5c0d82f109d3f22d558b73bc/html5/thumbnails/10.jpg)
Wat is Logica?
I Logica is de wetenschap die zich bezighoudt met de regelsvoor de geldige manieren van redeneren
I Redeneren is het proces waarmee uit een aantal beweringen,argumenten of feiten een conclusie getrokken wordt
![Page 11: Logica voor Informatica - cs.uu.nl · Logica voor Informatica I Twee deeltentamens (week 51 en 5) I Eindcijfer is bepaald door: het gemiddelde cijfer van twee deeltentamens (80%)](https://reader031.vdocuments.net/reader031/viewer/2022013110/5c0d82f109d3f22d558b73bc/html5/thumbnails/11.jpg)
Wat is Logica?
Redeneer voorbeelden
Bewering
Conclusie
Als Jan zijn medicijnen neemtdan Jan voelt zich beter
En
Jan neemt zijn medicijnen
Jan voelt zich beter
X
![Page 12: Logica voor Informatica - cs.uu.nl · Logica voor Informatica I Twee deeltentamens (week 51 en 5) I Eindcijfer is bepaald door: het gemiddelde cijfer van twee deeltentamens (80%)](https://reader031.vdocuments.net/reader031/viewer/2022013110/5c0d82f109d3f22d558b73bc/html5/thumbnails/12.jpg)
Wat is Logica?
Redeneer voorbeelden
Bewering
Conclusie
Als Jan zijn medicijnen neemtdan Jan voelt zich beter
En
Jan neemt zijn medicijnen
Jan voelt zich beterX
![Page 13: Logica voor Informatica - cs.uu.nl · Logica voor Informatica I Twee deeltentamens (week 51 en 5) I Eindcijfer is bepaald door: het gemiddelde cijfer van twee deeltentamens (80%)](https://reader031.vdocuments.net/reader031/viewer/2022013110/5c0d82f109d3f22d558b73bc/html5/thumbnails/13.jpg)
Wat is Logica?
Redeneer voorbeelden
Als X dan Ybla
En
X
Y
Als Jan zijn medicijnen neemtdan Jan voelt zich beter
En
Jan neemt zijn medicijnen
Jan voelt zich beter
X
![Page 14: Logica voor Informatica - cs.uu.nl · Logica voor Informatica I Twee deeltentamens (week 51 en 5) I Eindcijfer is bepaald door: het gemiddelde cijfer van twee deeltentamens (80%)](https://reader031.vdocuments.net/reader031/viewer/2022013110/5c0d82f109d3f22d558b73bc/html5/thumbnails/14.jpg)
Wat is Logica?
Redeneer voorbeelden
Bewering
Conclusie
Als Jan zijn medicijnen neemtdan Jan voelt zich beter
En
Jan voelt zich beter
Jan neemt zijn medicijnen
E
![Page 15: Logica voor Informatica - cs.uu.nl · Logica voor Informatica I Twee deeltentamens (week 51 en 5) I Eindcijfer is bepaald door: het gemiddelde cijfer van twee deeltentamens (80%)](https://reader031.vdocuments.net/reader031/viewer/2022013110/5c0d82f109d3f22d558b73bc/html5/thumbnails/15.jpg)
Wat is Logica?
Redeneer voorbeelden
Bewering
Conclusie
Als Jan zijn medicijnen neemtdan Jan voelt zich beter
En
Jan voelt zich beter
Jan neemt zijn medicijnen E
![Page 16: Logica voor Informatica - cs.uu.nl · Logica voor Informatica I Twee deeltentamens (week 51 en 5) I Eindcijfer is bepaald door: het gemiddelde cijfer van twee deeltentamens (80%)](https://reader031.vdocuments.net/reader031/viewer/2022013110/5c0d82f109d3f22d558b73bc/html5/thumbnails/16.jpg)
Wat is Logica?
Redeneer voorbeelden
Als X dan Ybla
En
Y
X
Als Jan zijn medicijnen neemtdan Jan voelt zich beter
En
Jan voelt zich beter
Jan neemt zijn medicijnen
E
![Page 17: Logica voor Informatica - cs.uu.nl · Logica voor Informatica I Twee deeltentamens (week 51 en 5) I Eindcijfer is bepaald door: het gemiddelde cijfer van twee deeltentamens (80%)](https://reader031.vdocuments.net/reader031/viewer/2022013110/5c0d82f109d3f22d558b73bc/html5/thumbnails/17.jpg)
Wat is Logica?
Redeneer voorbeelden
Bewering
Conclusie
Als Jan zijn medicijnen neemtdan Jan voelt zich beter
En
Jan voelt zich NIET beter
Jan neemt zijn medicijnen NIET
X
![Page 18: Logica voor Informatica - cs.uu.nl · Logica voor Informatica I Twee deeltentamens (week 51 en 5) I Eindcijfer is bepaald door: het gemiddelde cijfer van twee deeltentamens (80%)](https://reader031.vdocuments.net/reader031/viewer/2022013110/5c0d82f109d3f22d558b73bc/html5/thumbnails/18.jpg)
Wat is Logica?
Redeneer voorbeelden
Bewering
Conclusie
Als Jan zijn medicijnen neemtdan Jan voelt zich beter
En
Jan voelt zich NIET beter
Jan neemt zijn medicijnen NIET
X
![Page 19: Logica voor Informatica - cs.uu.nl · Logica voor Informatica I Twee deeltentamens (week 51 en 5) I Eindcijfer is bepaald door: het gemiddelde cijfer van twee deeltentamens (80%)](https://reader031.vdocuments.net/reader031/viewer/2022013110/5c0d82f109d3f22d558b73bc/html5/thumbnails/19.jpg)
Wat is Logica?
Redeneer voorbeelden
Als X dan Ybla
En
NIET Y
NIET X
Als Jan zijn medicijnen neemtdan Jan voelt zich beter
En
Jan voelt zich NIET beter
Jan neemt zijn medicijnen NIET
X
![Page 20: Logica voor Informatica - cs.uu.nl · Logica voor Informatica I Twee deeltentamens (week 51 en 5) I Eindcijfer is bepaald door: het gemiddelde cijfer van twee deeltentamens (80%)](https://reader031.vdocuments.net/reader031/viewer/2022013110/5c0d82f109d3f22d558b73bc/html5/thumbnails/20.jpg)
Wat is Logica?
Redeneer voorbeelden
Bewering
Conclusie
Alle mensen zijn sterfelijk
En
Socrates is een mens
Socrates is sterfelijk
X
![Page 21: Logica voor Informatica - cs.uu.nl · Logica voor Informatica I Twee deeltentamens (week 51 en 5) I Eindcijfer is bepaald door: het gemiddelde cijfer van twee deeltentamens (80%)](https://reader031.vdocuments.net/reader031/viewer/2022013110/5c0d82f109d3f22d558b73bc/html5/thumbnails/21.jpg)
Wat is Logica?
Redeneer voorbeelden
Bewering
Conclusie
Alle mensen zijn sterfelijk
En
Socrates is een mens
Socrates is sterfelijkX
![Page 22: Logica voor Informatica - cs.uu.nl · Logica voor Informatica I Twee deeltentamens (week 51 en 5) I Eindcijfer is bepaald door: het gemiddelde cijfer van twee deeltentamens (80%)](https://reader031.vdocuments.net/reader031/viewer/2022013110/5c0d82f109d3f22d558b73bc/html5/thumbnails/22.jpg)
Wat is Logica?
Redeneer voorbeelden
Alle X zijn Y
En
A is een X
A is Y
Alle mensen zijn sterfelijk
En
Socrates is een mens
Socrates is sterfelijk
X
![Page 23: Logica voor Informatica - cs.uu.nl · Logica voor Informatica I Twee deeltentamens (week 51 en 5) I Eindcijfer is bepaald door: het gemiddelde cijfer van twee deeltentamens (80%)](https://reader031.vdocuments.net/reader031/viewer/2022013110/5c0d82f109d3f22d558b73bc/html5/thumbnails/23.jpg)
Wat is Logica?
Redeneer voorbeelden
Sommige X zijn Y
En
A is een X
A is Y
Sommige mensen zijn Frans
En
Socrates is een mens
Socrates is Frans
E
![Page 24: Logica voor Informatica - cs.uu.nl · Logica voor Informatica I Twee deeltentamens (week 51 en 5) I Eindcijfer is bepaald door: het gemiddelde cijfer van twee deeltentamens (80%)](https://reader031.vdocuments.net/reader031/viewer/2022013110/5c0d82f109d3f22d558b73bc/html5/thumbnails/24.jpg)
Wat is Logica?
Redeneer voorbeelden
Sommige X zijn Y
En
A is een X
A is Y
Sommige mensen zijn Frans
En
Socrates is een mens
Socrates is Frans
E
![Page 25: Logica voor Informatica - cs.uu.nl · Logica voor Informatica I Twee deeltentamens (week 51 en 5) I Eindcijfer is bepaald door: het gemiddelde cijfer van twee deeltentamens (80%)](https://reader031.vdocuments.net/reader031/viewer/2022013110/5c0d82f109d3f22d558b73bc/html5/thumbnails/25.jpg)
Wat is Logica?
Afleiden van conclusies uit aannames
1. Tenminste een is schuldig.
2. Niet alle zijn schuldig.
3. Als Sara schuldig is, dan isJan ook schuldig.
4. Als Petra niet schuldig is,dan is Jan ook niet.
![Page 26: Logica voor Informatica - cs.uu.nl · Logica voor Informatica I Twee deeltentamens (week 51 en 5) I Eindcijfer is bepaald door: het gemiddelde cijfer van twee deeltentamens (80%)](https://reader031.vdocuments.net/reader031/viewer/2022013110/5c0d82f109d3f22d558b73bc/html5/thumbnails/26.jpg)
Wat is Logica?
Afleiden van conclusies uit aannames
1. Tenminste een is schuldig.
2. Niet alle zijn schuldig.
3. Als Sara schuldig is, dan isJan ook schuldig.
4. Als Petra niet schuldig is,dan is Jan ook niet.
Jan Sara Petra
Schuldig Schuldig Schuldig
Schuldig Schuldig niet Schuldig
Schuldig niet Schuldig Schuldig
Schuldig niet Schuldig niet Schuldig
niet Schuldig Schuldig Schuldig
niet Schuldig Schuldig niet Schuldig
niet Schuldig niet Schuldig Schuldig
niet Schuldig niet Schuldig niet Schuldig
![Page 27: Logica voor Informatica - cs.uu.nl · Logica voor Informatica I Twee deeltentamens (week 51 en 5) I Eindcijfer is bepaald door: het gemiddelde cijfer van twee deeltentamens (80%)](https://reader031.vdocuments.net/reader031/viewer/2022013110/5c0d82f109d3f22d558b73bc/html5/thumbnails/27.jpg)
Wat is Logica?
Afleiden van conclusies uit aannames
1. Tenminste een is schuldig.
2. Niet alle zijn schuldig.
3. Als Sara schuldig is, dan isJan ook schuldig.
4. Als Petra niet schuldig is,dan is Jan ook niet.
Jan Sara Petra
Schuldig Schuldig Schuldig
Schuldig Schuldig niet Schuldig
Schuldig niet Schuldig Schuldig
Schuldig niet Schuldig niet Schuldig
niet Schuldig Schuldig Schuldig
niet Schuldig Schuldig niet Schuldig
niet Schuldig niet Schuldig Schuldig
niet Schuldig niet Schuldig niet Schuldig
![Page 28: Logica voor Informatica - cs.uu.nl · Logica voor Informatica I Twee deeltentamens (week 51 en 5) I Eindcijfer is bepaald door: het gemiddelde cijfer van twee deeltentamens (80%)](https://reader031.vdocuments.net/reader031/viewer/2022013110/5c0d82f109d3f22d558b73bc/html5/thumbnails/28.jpg)
Wat is Logica?
Afleiden van conclusies uit aannames
1. Tenminste een is schuldig.
2. Niet alle zijn schuldig.
3. Als Sara schuldig is, dan isJan ook schuldig.
4. Als Petra niet schuldig is,dan is Jan ook niet.
Jan Sara Petra
Schuldig Schuldig Schuldig
Schuldig Schuldig niet Schuldig
Schuldig niet Schuldig Schuldig
Schuldig niet Schuldig niet Schuldig
niet Schuldig Schuldig Schuldig
niet Schuldig Schuldig niet Schuldig
niet Schuldig niet Schuldig Schuldig
niet Schuldig niet Schuldig niet Schuldig
![Page 29: Logica voor Informatica - cs.uu.nl · Logica voor Informatica I Twee deeltentamens (week 51 en 5) I Eindcijfer is bepaald door: het gemiddelde cijfer van twee deeltentamens (80%)](https://reader031.vdocuments.net/reader031/viewer/2022013110/5c0d82f109d3f22d558b73bc/html5/thumbnails/29.jpg)
Wat is Logica?
Afleiden van conclusies uit aannames
1. Tenminste een is schuldig.
2. Niet alle zijn schuldig.
3. ls Sara schuldig is, dan isJan ook schuldig.
4. Als Petra niet schuldig is,dan is Jan ook niet.
Jan Sara Petra
Schuldig Schuldig Schuldig
Schuldig Schuldig niet Schuldig
Schuldig niet Schuldig Schuldig
Schuldig niet Schuldig niet Schuldig
niet Schuldig Schuldig Schuldig
niet Schuldig Schuldig niet Schuldig
niet Schuldig niet Schuldig Schuldig
niet Schuldig niet Schuldig niet Schuldig
![Page 30: Logica voor Informatica - cs.uu.nl · Logica voor Informatica I Twee deeltentamens (week 51 en 5) I Eindcijfer is bepaald door: het gemiddelde cijfer van twee deeltentamens (80%)](https://reader031.vdocuments.net/reader031/viewer/2022013110/5c0d82f109d3f22d558b73bc/html5/thumbnails/30.jpg)
Wat is Logica?
Afleiden van conclusies uit aannames
1. Tenminste een is schuldig.
2. Niet alle zijn schuldig.
3. ls Sara schuldig is, dan isJan ook schuldig.
4. Als Petra niet schuldig is,dan is Jan ook niet.
Jan Sara Petra
Schuldig Schuldig Schuldig
Schuldig Schuldig niet Schuldig
Schuldig niet Schuldig Schuldig
Schuldig niet Schuldig niet Schuldig
niet Schuldig Schuldig Schuldig
niet Schuldig Schuldig niet Schuldig
niet Schuldig niet Schuldig Schuldig
niet Schuldig niet Schuldig niet Schuldig
![Page 31: Logica voor Informatica - cs.uu.nl · Logica voor Informatica I Twee deeltentamens (week 51 en 5) I Eindcijfer is bepaald door: het gemiddelde cijfer van twee deeltentamens (80%)](https://reader031.vdocuments.net/reader031/viewer/2022013110/5c0d82f109d3f22d558b73bc/html5/thumbnails/31.jpg)
Wat is Logica?
Afleiden van conclusies uit aannames
1. Tenminste een is schuldig.
2. Niet alle zijn schuldig.
3. ls Sara schuldig is, dan isJan ook schuldig.
4. Als Petra niet schuldig is,dan is Jan ook niet.
Jan Sara Petra
Schuldig Schuldig Schuldig
Schuldig Schuldig niet Schuldig
Schuldig niet Schuldig Schuldig
Schuldig niet Schuldig niet Schuldig
niet Schuldig Schuldig Schuldig
niet Schuldig Schuldig niet Schuldig
niet Schuldig niet Schuldig Schuldig
niet Schuldig niet Schuldig niet Schuldig
![Page 32: Logica voor Informatica - cs.uu.nl · Logica voor Informatica I Twee deeltentamens (week 51 en 5) I Eindcijfer is bepaald door: het gemiddelde cijfer van twee deeltentamens (80%)](https://reader031.vdocuments.net/reader031/viewer/2022013110/5c0d82f109d3f22d558b73bc/html5/thumbnails/32.jpg)
Wat is Logica?
![Page 33: Logica voor Informatica - cs.uu.nl · Logica voor Informatica I Twee deeltentamens (week 51 en 5) I Eindcijfer is bepaald door: het gemiddelde cijfer van twee deeltentamens (80%)](https://reader031.vdocuments.net/reader031/viewer/2022013110/5c0d82f109d3f22d558b73bc/html5/thumbnails/33.jpg)
Wat is Logica?
![Page 34: Logica voor Informatica - cs.uu.nl · Logica voor Informatica I Twee deeltentamens (week 51 en 5) I Eindcijfer is bepaald door: het gemiddelde cijfer van twee deeltentamens (80%)](https://reader031.vdocuments.net/reader031/viewer/2022013110/5c0d82f109d3f22d558b73bc/html5/thumbnails/34.jpg)
Waarom Logica voor
Informatica
&
Game Technologie
![Page 35: Logica voor Informatica - cs.uu.nl · Logica voor Informatica I Twee deeltentamens (week 51 en 5) I Eindcijfer is bepaald door: het gemiddelde cijfer van twee deeltentamens (80%)](https://reader031.vdocuments.net/reader031/viewer/2022013110/5c0d82f109d3f22d558b73bc/html5/thumbnails/35.jpg)
Logica voor Informatica
Logica heeft veel raakvlakken met de informatica
I Kunstmatige Intelligentie
I Database & Semantische Web & Big Data
I Programmeren en Software Engineering
I Hardware Ontwerp
I Theorie van Berekenbaarheid
![Page 36: Logica voor Informatica - cs.uu.nl · Logica voor Informatica I Twee deeltentamens (week 51 en 5) I Eindcijfer is bepaald door: het gemiddelde cijfer van twee deeltentamens (80%)](https://reader031.vdocuments.net/reader031/viewer/2022013110/5c0d82f109d3f22d558b73bc/html5/thumbnails/36.jpg)
Logica voor Game Technologie
Logica heeft veel Raakvlakken met game technologie
I Non-player Characters (NPC):Intelligent, autonome, en geloofwaardige agenten
I Interactie tussen NPC’s en gebruikers:Ontwerpen en Ontwikkelen Multi-Agent Systemen
![Page 37: Logica voor Informatica - cs.uu.nl · Logica voor Informatica I Twee deeltentamens (week 51 en 5) I Eindcijfer is bepaald door: het gemiddelde cijfer van twee deeltentamens (80%)](https://reader031.vdocuments.net/reader031/viewer/2022013110/5c0d82f109d3f22d558b73bc/html5/thumbnails/37.jpg)
Bewijstechnieken
![Page 38: Logica voor Informatica - cs.uu.nl · Logica voor Informatica I Twee deeltentamens (week 51 en 5) I Eindcijfer is bepaald door: het gemiddelde cijfer van twee deeltentamens (80%)](https://reader031.vdocuments.net/reader031/viewer/2022013110/5c0d82f109d3f22d558b73bc/html5/thumbnails/38.jpg)
Notatie
Natuurlijke getallen N 1, 2, 3, 4, 5, . . .N0 0, 1, 2, 3, 4, 5, . . .
Gehele getallen Z . . . ,−3,−2,−1, 0, 1, 2, 3, . . .
Rationale getallen Q . . . , (−2)3 , 1
(−2) ,04 ,
18 ,
92 , . . .
Reele getallen R√
2, π,−2, 0, 18 , 0.91932, 3√
8
![Page 39: Logica voor Informatica - cs.uu.nl · Logica voor Informatica I Twee deeltentamens (week 51 en 5) I Eindcijfer is bepaald door: het gemiddelde cijfer van twee deeltentamens (80%)](https://reader031.vdocuments.net/reader031/viewer/2022013110/5c0d82f109d3f22d558b73bc/html5/thumbnails/39.jpg)
Bewijstechnieken
Wat is een bewijs?
I Bewijs door gevalsonderscheid
I Bewijs door contrapositie
I Bewijs uit het ongerijmde
I Bewijs door volledige inductie
I Niet-constructieve bewijzen
I Uniciteitsbewijzen
I . . .
![Page 40: Logica voor Informatica - cs.uu.nl · Logica voor Informatica I Twee deeltentamens (week 51 en 5) I Eindcijfer is bepaald door: het gemiddelde cijfer van twee deeltentamens (80%)](https://reader031.vdocuments.net/reader031/viewer/2022013110/5c0d82f109d3f22d558b73bc/html5/thumbnails/40.jpg)
Bewijs door Gevalsonderscheid
Let |x | =
{x x ≥ 0,
−x anders
Toon aan:
|x | ≥ x voor x een getal uit R
![Page 41: Logica voor Informatica - cs.uu.nl · Logica voor Informatica I Twee deeltentamens (week 51 en 5) I Eindcijfer is bepaald door: het gemiddelde cijfer van twee deeltentamens (80%)](https://reader031.vdocuments.net/reader031/viewer/2022013110/5c0d82f109d3f22d558b73bc/html5/thumbnails/41.jpg)
Bewijs door contrapositie
x ⇒ y = niet y ⇒ niet x
Toon aan:
In een groep van 37 mensen of meer zijn er 4 of meer mensen indezelfde maand jarig.
![Page 42: Logica voor Informatica - cs.uu.nl · Logica voor Informatica I Twee deeltentamens (week 51 en 5) I Eindcijfer is bepaald door: het gemiddelde cijfer van twee deeltentamens (80%)](https://reader031.vdocuments.net/reader031/viewer/2022013110/5c0d82f109d3f22d558b73bc/html5/thumbnails/42.jpg)
Bewijs uit het ongerijmde (reductio ad absurdum)
I Aanname: Ieder stelling is waar of onwaar.
I Bewijsmethode: Stelt dat de stelling niet waar is en laat ziendat dit tot een tegenspraak leidt.
I Toon aan: Er zijn oneindig veel priemgetallen.
![Page 43: Logica voor Informatica - cs.uu.nl · Logica voor Informatica I Twee deeltentamens (week 51 en 5) I Eindcijfer is bepaald door: het gemiddelde cijfer van twee deeltentamens (80%)](https://reader031.vdocuments.net/reader031/viewer/2022013110/5c0d82f109d3f22d558b73bc/html5/thumbnails/43.jpg)
Bewijs door volledige inductie
Als een eigenschap geldt voor het eerste getal uit N
en
de eigenschap plant zich van getal tot getal voort,
dan geldt de eigenschap voor alle getallen in N.
![Page 44: Logica voor Informatica - cs.uu.nl · Logica voor Informatica I Twee deeltentamens (week 51 en 5) I Eindcijfer is bepaald door: het gemiddelde cijfer van twee deeltentamens (80%)](https://reader031.vdocuments.net/reader031/viewer/2022013110/5c0d82f109d3f22d558b73bc/html5/thumbnails/44.jpg)
Bewijs door volledige inductie
I Stel we willen bewijzen:
Voor alle natuurlijke getallen n geldt: P(n)
I Dan is het voldoende te bewijzen:
P(1) [basis stap]P(n)→ P(n + 1) [inductie stap]
![Page 45: Logica voor Informatica - cs.uu.nl · Logica voor Informatica I Twee deeltentamens (week 51 en 5) I Eindcijfer is bepaald door: het gemiddelde cijfer van twee deeltentamens (80%)](https://reader031.vdocuments.net/reader031/viewer/2022013110/5c0d82f109d3f22d558b73bc/html5/thumbnails/45.jpg)
Bewijs door volledige inductie: Voorbeeld
Toon aan:
1 + 2 + . . .+ n =n(n + 1)
2for n ≥ 1
Basis stap: Geldt P(1)?
1 = 1(1+1)2 = 1
Inductiestap: Stel P(n) geldt voor n ≥ 1. Bewijs: P(n + 1)
1 + 2 + . . .+ n + (n + 1) =
n(n+1)2 + (n + 1) =
n(n+1)+2(n+1)2 =
(n+1)(n+2)2
![Page 46: Logica voor Informatica - cs.uu.nl · Logica voor Informatica I Twee deeltentamens (week 51 en 5) I Eindcijfer is bepaald door: het gemiddelde cijfer van twee deeltentamens (80%)](https://reader031.vdocuments.net/reader031/viewer/2022013110/5c0d82f109d3f22d558b73bc/html5/thumbnails/46.jpg)
Bewijs door volledige inductie: Voorbeeld
Toon aan:
1 + 2 + . . .+ n =n(n + 1)
2for n ≥ 1
Basis stap: Geldt P(1)?
1 = 1(1+1)2 = 1
Inductiestap: Stel P(n) geldt voor n ≥ 1. Bewijs: P(n + 1)
1 + 2 + . . .+ n + (n + 1) =
n(n+1)2 + (n + 1) =
n(n+1)+2(n+1)2 =
(n+1)(n+2)2
![Page 47: Logica voor Informatica - cs.uu.nl · Logica voor Informatica I Twee deeltentamens (week 51 en 5) I Eindcijfer is bepaald door: het gemiddelde cijfer van twee deeltentamens (80%)](https://reader031.vdocuments.net/reader031/viewer/2022013110/5c0d82f109d3f22d558b73bc/html5/thumbnails/47.jpg)
Bewijs door volledige inductie: Voorbeeld
Toon aan:
1 + 2 + . . .+ n =n(n + 1)
2for n ≥ 1
Basis stap: Geldt P(1)?
1 = 1(1+1)2 = 1
Inductiestap: Stel P(n) geldt voor n ≥ 1. Bewijs: P(n + 1)
1 + 2 + . . .+ n + (n + 1) =
n(n+1)2 + (n + 1) =
n(n+1)+2(n+1)2 =
(n+1)(n+2)2
![Page 48: Logica voor Informatica - cs.uu.nl · Logica voor Informatica I Twee deeltentamens (week 51 en 5) I Eindcijfer is bepaald door: het gemiddelde cijfer van twee deeltentamens (80%)](https://reader031.vdocuments.net/reader031/viewer/2022013110/5c0d82f109d3f22d558b73bc/html5/thumbnails/48.jpg)
Niet-constructieve bewijzen
Laat het bestaan van een ding zien zonder dat ding in hetalgemeen verder te specificeren.
Toon aan:
Er bestaan niet rationale (irrationale) getallen a en b zodat ab eenrationaal getal is.
![Page 49: Logica voor Informatica - cs.uu.nl · Logica voor Informatica I Twee deeltentamens (week 51 en 5) I Eindcijfer is bepaald door: het gemiddelde cijfer van twee deeltentamens (80%)](https://reader031.vdocuments.net/reader031/viewer/2022013110/5c0d82f109d3f22d558b73bc/html5/thumbnails/49.jpg)
Uniciteitsbewijzen
Laten zien dat er een ding met een bepaalde eigenschap bestaat.
Toon aan:
Er bestaat slechts een element 0 in gehele getallen zodat voor allegehele getallen k geldt dat: k + 0 = k.