UNIDAD 1 LGICA MATEMTICA

UNIDAD 1LGICA MATEMTICAOBJETIVO: Aplicar los principios bsicos de la Lgica a la Matemtica

1SUMARIOProposiciones simples: PrincipiosEstructura lgica de la MatemticaOperaciones con proposicionesProposiciones compuestas: TiposTautologas, contradicciones e indeterminacionesImplicacin y equivalencia lgicasPrincipales TautologasJerarqua de las operacionesFunciones proposicionales y cuantificadoresLeyes de Morgan para cuantificadoresCircuitos lgicosEjercicios propuestosIntroduccin:La lgica es una herramienta fundamental de la Matemtica que determina la forma en que sta se construye en todas sus ramas, bsicamente con cuatro elementos conceptuales: trminos no definidos, definiciones, axiomas y teoremas.La lgica es el lenguaje de la Matemtica y por eso no constituye un fin en si misma. El objetivo central de su estudio no son las tablas de verdad y la demostracin de tautologas complicadas sino la forma en que contribuye a determinar la estructura del pensamiento matemtico.Lgica MatemticaNos permite determinar cuando un razonamiento es correcto o incorrecto y si se aplica a la Matemtica se denomina Lgica Matemtica.

Proposiciones Simples:Es todo enunciado gramatical o expresin matemtica de la que tiene sentido afirmar que es verdadera o falsa, pero no ambas a la vez.Ej:Quito es la capital del Ecuador proposicin (V)Todo ngulo agudo es igual a 90 grados proposicin (F)El sol es un satlite proposicin (F)1 kg = 1000 g proposicin (V)Qu hora es? No es proposicinCllate! No es proposicin2 + 5 No es proposicin

En conclusin toda proposicin es una oracin, pero no toda oracin es una proposicinValor de verdad de una proposicin:Sea p una proposicin cualquiera. Si la proposicin p es verdadera, se utiliza la expresin: v (p) = V y se lee: valor de verdad de p, verdaderoSi la proposicin p es falsa se utiliza la expresin: v (p)=F y se lee: valor de verdad de p, falsoEj.:v(p) = V; 1; Tv(q) =

En otros casos suele utilizarse los valores de 1 y 0 ( si se toma como referencia el sistema de numeracin binario) T (true) y F (false) en lugar de verdadero y falso respectivamente.

Proposicin compuesta:Se llama proposicin compuesta a la combinacin de dos proposiciones simples mediante trminos lgicos (letras, palabras, vocablos)Ej.:

Hugo Chvez est vivo o muertoTabla de verdad:Es una forma sencilla y concisa de indicar los valores de verdad de varias proposiciones de una manera ordenada, as:Para 1 proposicin:

Principios Generales de las ProposicionesPrincipio de No contradiccin: Una proposicin es solo verdadera o falsa, no puede tener los dos valores de verdad al mismo tiempo.Principio del Tercero Excludo: Una proposicin puede ser verdadera o falsa, no existe un tercer valor de verdad, porque la lgica que maneja la Matemtica es binaria.Estructura Lgica de la MatemticaLa lgica como herramienta esencial para construir el edificio matemtico, lo hace a travs de cuatro elementos conceptuales que son:Trminos no definidos: Son conceptos no expresados a travs de otros trminos ms sencillos, pero de los cuales todos tenemos una idea similar.Ej.: Conjunto, nmero, punto, recta, plano, relacin de pertenencia y otrosDefiniciones: Son proposiciones que dan un significado a un smbolo, expresin, operacin, palabra o trminos.Ej.: definicin de resta, definicin de segmento de recta, definicin de nmero impar, etc.

Axiomas: Son proposiciones que se suponen verdaderas y por lo tanto no necesitan ser demostradasEj.: los axiomas de la suma, de la multiplicacin, de la igualdad, de orden y otros.Teoremas: Son proposiciones que deben ser demostradas.Ej.:

Operaciones con ProposicionesSe puede realizar operaciones lgicas con las proposiciones simples, las ms usadas son:ConjuncinDisyuncinBidisyuncinNegacin CondicionalBicondicionalConjuncin negativaConjuncin ( ; ...y)

Dos proposiciones simples se pueden coordinar mediante la letra (y) para formar una proposicin compuesta llamada conjuncin de las dos primeras. Simblicamente se indica: , se lee: p y qSu valor de verdad est dado por la propiedad fundamental que se resume en la siguiente tabla:

Disyuncin inclusiva ( ; y/o):

Dos proposiciones simples se pueden coordinar mediante la letra (y/o) para formar una proposicin compuesta llamada disyuncin inclusiva de las dos primeras. Simblicamente se indica: , se lee: p y/o qSu valor de verdad est dado por la propiedad fundamental que se resume en la siguiente tabla:

Disyuncin exclusiva (Bidisyuncin) ( ; o)

Dos proposiciones simples se pueden coordinar mediante la letra (o) para formar una proposicin compuesta llamada disyuncin exclusiva de las dos primeras. Simblicamente se indica: , se lee: p o qSu valor de verdad est dado por la propiedad fundamental que se resume en la siguiente tabla:

Negacin ( ; No):

Dada una proposicin p cualquiera, se puede formar la negacin de dicha proposicin insertando el adverbio No en la proposicin o anteponiendo la frase es falso.Simblicamente se indica: , se lee No pSu valor de verdad est dado por la propiedad fundamental que se resume en la siguiente tabla:

Doble negacin (Negacin de la negacin)Dada una proposicin p cualquiera, al efectuar la doble negacin de dicha proposicin, se obtiene la misma proposicin inicial.Ej.:p: Jefferson Prez gan la competencia en el 2004 v(p)=V p: Jefferson Prez no gan la competencia en el 2004 v( p)=F No gan es equivalente a Perdip: Jefferson Prez perdi la competencia en el 2004 v( p)=F

( p): Jefferson Prez no perdi la competencia en el 2004 v[ ( p)]= V No perdi es equivalente a gan ( p): Jefferson Prez gan la competencia en el 2004 v[ ( p)]= VSi la primera proposicin es verdadera, al efectuar la doble negacin, el valor de verdad de la proposicin sigue siendo verdadera.Si la proposicin inicial es falsa, luego de la doble negacin, el valor de verdad sigue siendo falso,

lo dicho anteriormente se resume en la siguiente tabla de verdad:

Condicional ( ; si entonces) :

Dos proposiciones simples se pueden coordinar mediante las palabras (si entonces) para formar una proposicin compuesta llamada condicional de las dos primeras. Simblicamente se indica: , se lee: si p entonces qSu valor de verdad est dado por la propiedad fundamental que se resume en la siguiente tabla:

Bicondicional ( ; si y solo si ):

Dos proposiciones simples se pueden coordinar mediante el trmino lgico (si y solo si) para formar una proposicin compuesta llamada bicondicional de las dos primeras. Simblicamente se indica: , se lee: p si y solo si qSu valor de verdad est dado por la propiedad fundamental que se resume en la siguiente tabla:

Conjuncin Negativa ( ; Ni Ni ):

Dos proposiciones simples se pueden coordinar mediante el trmino lgico (Ni ni) para formar una proposicin compuesta llamada conjuncin negativa de las dos primeras. Simblicamente se indica: , se lee: Ni p ni qSu valor de verdad est dado por la propiedad fundamental que se resume en la siguiente tabla:

Tipos de Proposiciones Compuestas:Recordemos que una proposicin compuesta resulta de la combinacin de proposiciones simples y operaciones lgicas, y las principales son: Tautologas, contradicciones e indeterminacionesTautologas:Se llaman tambin leyes lgicas y se consideran como tales si son siempre verdaderas independientemente del valor de verdad de las proposiciones simples que las componen.Contradicciones:Se llaman tambin antitautologa o falsedad lgica.Son proposiciones cuyo valor de verdad es siempre falso.Indeterminaciones:Se llaman tambin contingencias . Son proposiciones compuestas que no son tautologas ni contradicciones.Polinomio boolianoEs la expresin simblica constituida por la aplicacin repetida de algunas operaciones sobre un retculo distributivo complementado.En Resumen:

Implicacin Lgica:Se dice que una proposicin P implica lgicamente a una proposicin Q y se representa as: si el condicional es una tautologa.

Equivalencia LgicaUna proposicin P es lgicamente equivalente a una proposicin Q y se representa as: , si el bicondicional es una tautologa

Leyes del lgebra Proposicional:

Otras leyes:

JERARQUA DE LAS OPERACIONES ORDENADAS DE MAYOR A MENORIMPORTANCIA

NOTAS:

1) Si hay dos operadores iguales se procede de izquierda a derecha.2) No existe una sola forma de simplificar una expresin lgica.3) Los parntesis destruyen la jerarqua porque sealan una operacin que debe realizarse primero.

Ejercicios de Aplicacin:Observe con mucha atencin los ejercicios que se resolvern en la pizarra y transcrbalos a su cuadernoFunciones Proposicionales y Cuantificadores :Funciones proposicionales en un conjunto A: Son expresiones que contienen una o ms variables, las cuales toman sus valores del conjunto A. A las funciones proposicionales suelen llamrselas tambin oraciones abiertas o condiciones. Ej.: En la pizarraNotas:Una funcin proposicional no es ni verdadera ni falsaSi el conjunto A de referencia llamado tambin universo de la variable no aparece escrito expresamente, se sobreentiende que es el conjunto de los nmeros reales.Cuantificadores:Son expresiones que limitan el alcance de la o las variables de una funcin proposicional y por lo tanto la transforman en una proposicin. A continuacin analizaremos dos tipos de cuantificadores:Cuantificador UniversalCuantificador ExistencialCuantificador SingularCuantificador Nulo.1. Proposiciones con cuantificador universal:Son las proposiciones en las cuales se afirma que todos los elementos del conjunto universo satisfacen la forma proposicional p(x).Simblicamente se escribe , se lee para todo xLas proposiciones de este tipo son verdaderas cuando todos los elementos del conjunto universo satisfacen la condicin p(x), es decir cuando el conjunto solucin de p(x) es el conjunto universo, as:

Ej.:2. Proposiciones con cuantificador existencial:Son proposiciones en las cuales se afirma que por lo menos un elemento del conjunto universo satisface una condicin p(x), Simblicamente se escribe , se lee existe un xLas proposiciones de este tipo son verdaderas cuando hay algunos elementos del conjunto universo para el cual p(x) es verdadera, es decir cuando el conjunto solucin de p(x) es diferente del conjunto vaco, as:

Ej.:Leyes de Morgan para Cuantificadores:

Circuitos Lgicos:Resultan de la aplicacin de la lgica a los circuitos elctricos. Una proposicin se representa por un interruptor, as:

Si el interruptor est cerrado, p es verdadera y pasa corriente como en el grfico anterior.Si el interruptor est abierto, p es falsa y no pasa corriente:

La operacin de conjuncin se representa como un circuito en serie, as:

Y la operacin de disyuncin tiene la representacin de un circuito en paralelo, as:

Las dems operaciones tienen representaciones que utilizan las dos anteriores.Ej.: se representa: as:

A los circuitos lgicos se los denomina compuertas lgicasEj.: En la pizarra