logico matematico
TRANSCRIPT
-
1
Lic. NINA MOTTA CANCHO
EDUCACIN PRIMARIA
2008
-
2
PRESENTACIN
Estimados Colegas,
Le damos una cordial bienvenida al Proyecto de Formacin Docente, Mejora de la
Gestin Educativa y Dotacin de Recursos en los Centros Educativos Pblicos del
Cono Este de Lima. Per, dirigido a Directivos y Docentes de Educacin Bsica
Regular de ambos niveles de las once Instituciones Educativas intervenidas.
El presente Material Educativo del rea de Matemtica del Nivel Primaria, tiene
por finalidad orientar el estudio de la fase a distancia.
El material de estudio est constituido por unidades, lecturas complementarias y
bibliografa. Cada unidad est compuesto por tres componentes: El compartir de
experiencias en el cual se recoge los conocimientos previos del que inicia el
material, continua con el desarrollo de contenidos, seguidamente con una
Actividad de reforzamiento de conocimiento y concluyendo con una Auto
evaluacin y la hoja de respuesta. La descripcin de las IV Unidades, es como
sigue: la Unidad I contiene Teoras e Historia de la Lgica, Lgica Proposicional,
Conectores Lgicos y Tablas de Verdad; la Unidad II se enfoca en el Algebra Boole,
Conjuntos, Diagramas de Venn y Carroll en relacin con las proposiciones, la
Unidad III desarrolla la Divisibilidad, Nmeros Primos y Compuestos
vinculndolos con el Mximo Comn Divisor y el Mnimo Comn Mltiplo y la
Unidad IV desarrolla Geometra aqu nos enfocarnos en las resolucin de
problemas propuestos empleando Axiomas, Postulados y Conceptos de la
geometra plana y del espacio, al final del mdulo presentamos una serie de
lecturas sobre estrategias metodolgicas en la enseanza de la matemtica.
Pretendemos que este material sea un instrumento de consulta acadmica en el
rea de Matemtica.
Esperamos que la informacin vertida en ste material sirva para
actualizar y desarrollar nuevos conocimientos y habilidades para la ejecucin
eficaz de su enseanza.
La autora
-
3
INDICE PG. Presentacin UNIDAD I OBJETIVO 5 COMPARTIENDO 6 Resea histrica de la lgica Aristteles y los orgenes de la lgica 7 Los precursores de la lgica matemtica 8 La lgica matemtica contempornea 10 La Lgica matemtica en Amrica Latina 11 La lgica formal 12 Qu es la lgica? LGICA PROPOSICIONAL 13
1 Qu es lo que hace que un razonamiento sea correcto o no lo sea
2 El Lenguaje: Sirve para desarrollar el pensamiento 3 Proposicin. 14 3,1 Pseudoproposicin 3,2 Clases de proposiciones 16 3,3 Expresiones no proposicionales 4 Variables 5 Argumento. 17 5,1 Estructura de una argumento 18 5,2 Reconocimiento de los Argumentos 19 6 Las Conectivas Lgicas 21 6,1 La conjuncin 22 6,2 Disyuncin inclusiva o incluyente 23 6,3 Disyuncin Fuerte o exclusiva 6,4 Condicional. 24 6,5 Bicondicional. 25 6,6 Negacin. 6,7 Negacin Alterna 26 7 Inferencia 7,1 Formalizacin o simbolizacin de inferencias 27 8 Uso de los signos de agrupacin 28 9 Tablas de verdad de las proposiciones con ms de dos variables 30 10 Tautologa, consistentes y contradictoria 31 11 Mtodos decisorios 32
ACTIVIDAD N 01 37 AUTOEVALUACIN 42 HOJA DE RESPUESTA 44 UNIDAD II CONJUNTOS Y DIAGRAMAS 45 OBJETIVO
1 COMPARTIENDO 46 2 Algebra Boole. 47 3 Teora de conjunto 48
-
4
a. Un conjunto se define por: 49 b. Conjunto por Extensin. 50
4 Conjunto por Comprensin. 5 Relacin de pertenencia(E) Operaciones con conjuntos Unin de conjuntos. 51 Interseccin de conjuntos. 52 Conjuntos Disjuntos 53 Diferencia de conjuntos. 54 Complemento de un conjunto 55
6 Relaciones de inclusin(subconjunto) 56 7 Diagrama de VENN EULER 57 8 Diagrama de CARROLL 64 9 Planteamiento de Operaciones entre conjuntos. 67 10 Interpretando Regiones 68
Problemas Propuestos. 70 ACTIVIDAD N 02 74 AUTOEVALUACIN 85 HOJA DE RESPUESTA 87 UNIDAD III DIVISIBILIDAD NMEROS PRIMOS Y COMPUESTOS 88 OBJETIVO COMPARTIENDO 89
1 Divisin entera y exacta 90 2 Mltiplos y divisores 91 Reglas o Criterio de divisibilidad 92
3 Otros criterios menos eficientes 93 4 Mximo comn divisor (MCD) 95 5 Nmeros primos entre si (PESI) 96 6 Nmeros primos entre s dos a dos 7 Mnimo comn mltiplo (MCM) 8 Nmeros primos 97 9 Nmeros compuestos. 98 10 Teorema de los nmeros primos 11 Criterio para saber si un nmero es primo 99 12 Descomposicin en factores primos 100
Ejercicios Propuestos. 101 ACTIVIDAD N 03 104 AUTOEVALUACIN 106 HOJA DE RESPUESTA 107 UNIDAD III OBJETIVO 108 GEOMETRA COMPARTIENDO 109
1 LLaa ggeeoommeettrraa 110 2 Trminos Matemticos 3 Conceptos Geomtricos Fundamentales a) El Punto 111 b) El plano c) La Recta 112 d) Espacio Geomtrico 113
-
5
4 Semirrecta y Rayo 114 5 Clases de Segmentos 115 6 Comparacin de Segmentos 116 7 Relaciones fundamentales 117
Semirrecta 120 8 Caractersticas de las semirrectas 121 9 Segmento 10 Adicin de segmentos 125
a. a.Ley conmutativa b. b. Ley asociativa c. Existencia de elemento neutro 126 d. c. Ley de composicin interna
11 Sustraccin de segmentos 127 Corolarios 128 Ley de cierre Ley uniforme Existencia del elemento neutro 129 Ley conmutativa Ley asociativa 130 Ley de composicin interna
12 Multiplicacin de un segmento por un nmero natural 131 Operaciones de suma y resta con Segmentos. 132 ACTIVIDAD N 04 137 AUTOEVALUACIN 138 HOJA DE RESPUESTA 139 LECTURAS SELECCIONADAS 140 ESTRATEGIAS Y MTODOS EN LA RESOLUCIN DE PROBLEMAS COMPARTIENDO
1 Matemticas de ayer y hoy 142 Lecturas en la enseanza de la geometra. 145
2 Mtodo de Polya para resolucin de problemas matemticos 149 3 La Heuristica en la enseanza de las matemticas 152 4 Didctica de las matemticas 156 5 Matemtica recreativa 164
BIBLIOGRAFA 165 REFERENCIAS ELECTRNICAS 167
-
6
UNIDAD I
LGICA - PROPOSICIONES
Objetivo.-
Reconocer la importancia de la lgica en la vida.
Identificar proposiciones.
Definir la conjuncin, disyuncin inclusiva y exclusiva, condicional, bicondicional y
la negacin como una conectiva proposicional.
Construir algortmicamente tablas de verdad.
-
7
COMPARTIENDO
Para realizar nuestro estudio, te pedimos que compartas con nosotros tus
conocimientos adquiridas en el aspecto acadmico.
I. Qu es la lgica? _________________________________________________________________
_________________________________________________________________
_________________________________________________________________
_________________________________________________________________
II. En las siguientes expresiones unas son proposiciones y otras no. Escriba en el lugar en blanco que se encuentra frente a cada expresin la palabra SI en caso de que sta
sea proposicin y la palabra NO, en caso contrario.
La manzana es una fruta __________________________
Hoy es lunes __________________________
Las rosas son rojas __________________________
El perejil tiene vitaminas __________________________
El presidente de Per es Alan Garca_________________________
Los cumpleaos son para celebrar _________________________
No digas que no! _________________________
La mentira es pecado _________________________
III. Cul es la estructura de un argumento?
_________________________________________________________________
_________________________________________________________________
_________________________________________________________________
_________________________________________________________________
-
8
RESEA HISTRICA DE LA LGICA1
Aristteles y los orgenes de la lgica
La disciplina cientfica conocida como lgica, en sentido ms propio, se denomina Lgica
Matemtica debido a que una de sus principales caractersticas, a partir del siglo pasado,
ha sido la incorporacin a su campo de mtodos y smbolos algebraicos. El desarrollo
desbordante de esta disciplina durante el ltimo siglo ha dado lugar a que influya
decisivamente en la ciencia contempornea, tanto en sus proyecciones tericas como
tecnolgicas. As, por ejemplo, puede afirmarse que la actual revolucin electrnica debe
su dinamismo y eficacia a las contribuciones del algebra de Boole, a las creaciones de
Turing y a la teora lgica de circuitos electrnicos de Claudio Shannon, entre otros
aportes.
Los orgenes de la lgica cientfica se remonta al filsofo griego Aristteles (384-322a.d.
C) quien en su trabajo conocido como el Organn desarroll el primer estudio sistemtico
de la deduccin en la seccin denominada Primeros Analticos. Aristteles examin en
particular un tipo especial de deduccin: el silogismo. Un ejemplo tpico de l nos lo
proporciona el razonamiento: si todos los cuadrados son rombos y todos los rombos son paralelogramo, entonces todos los cuadrados son paralelogramos. El acierto de Aristteles radic principalmente en estudiar estas deducciones
considerando slo su formato o estructura con independencia de su significado o
contenido. De esta manera un razonamiento como: Si todos los peruanos son americanos y todo los americanos son occidentales, entonces todos los peruanos son occidentales es, desde el punto de vista lgico, igual al anterior porque tienen exactamente la misma estructura o forma. Desde el punto de vista de su significado, el
primero habla de figuras geomtricas y el segundo de seres humanos pero, si se examina
las relaciones que existen entre sus trminos, se encontrarn que en ambos casos son
las mismas. Los dos ejemplos corresponden al esquema Si todo A es B y todo B es C,
Luego todo A es C.
Lo dicho anteriormente nos sirve para hacer comprensible que la notable contribucin
aristotlica fue desarrollada una teora sobre los razonamientos o deducciones que no
tenga en cuenta el contenido de los mismos, sino su forma o estructura. Esta es la razn
por la que la lgica desde su creacin es una ciencia formal o estructural y este carcter
1 campus.carmelitas.edu.pe/courses/CCP001/document/Historia_de_la_Logica.doc?cidReq=CCP001(consultado marzo del 2009)
-
9
lo mantiene hasta nuestros das despus de veinticuatro siglos. Asimismo, el tratamiento
estructural que hizo el estagirita (as se le llama a Aristteles por haber nacido en
Estagira) de la deduccin, le posibilit otro aporte sustancial al desarrollo de la lgica y de
la matemtica: el mtodo axiomtico. Debido a que todos los razonamientos podan ser
considerados como estructuras, Aristteles axiomatiz su teora del silogismo, o
silogstica, seleccionando como puntos de partida cuatro estructuras bsicas, a las que
llam axiomas, y luego construy todas las dems como derivaciones de las bsicas. De
esta manera la teora del silogismo constituye el primer sistema axiomtico de la historia
de la ciencia.
Casi contemporneos con Aristteles fueron los lgicos estoicos, quienes tuvieron el
mrito de profundizar en algunos campos a los que el autor del Organon no les haba
concedido suficiente atencin. Estos filsofos son los precursores ms lejanos de la
actual lgica proposicional y de las teoras que incluyen predicados relacionales que son
indispensables para dotar a la matemtica de una lgica adecuada que el silogismo no
proporciona. Tambin los lgicos conocidos como megricos hicieron en pocas
cercanas a Aristteles, aportes ingeniosos a la llamada lgica modal. El ms importante
de ellos Diodoro Cronos, se dedic a la lgica de las modalidades temporales
esclareciendo relaciones importantes entre verdad y tiempo. Sin embargo, el influjo de
Aristteles fue avasallador y los estoicos y megricos fueron desconocidos en la Edad
Media durante la cual las investigaciones lgicas se centraron en le silogismo y sus
aplicaciones. Esta temtica acapar las preocupaciones de Boecio, Toms de Aquino,
Pedro Hispano y Juan Buridano. Escaparon a ella Abelardo, Lulo y Occam que
visualizaron otros horizontes, especialmente este ltimo que trabaj apreciablemente la
lgica proposicional y conoci sus principales reglas de inferencia, a pesar de no
manejar un lenguaje simblico adecuado, lo que hizo muy difcil su tarea. Por aadidura,
su conocida concepcin nominalista de los universales, que interpreta a los conceptos
como nombres genricos, es muy prxima a la nocin contempornea de predicado
lgico.
Los precursores de la lgica matemtica Los especialistas consideran al filsofo alemn Leibniz (1646-1716) como el primer
genuino precursor de la Lgica Matemtica, aunque reconocen que esta idea ya estaba
en germen en la obra Ars Magna del espaol medieval Raimundo Lulio. Leibniz fue el
primero que sostuvo con claridad que el mtodo para convertir la teora de la deduccin
lgica en una ciencia estricta e infalible era convertido en un clculo mediante la
-
10
utilizacin de procedimientos matemticos. Esta nueva ciencia sera una mathesis
universales, cuya funcin consistira en demostrar la verdad de las afirmaciones
filosficas y cientficas sin tener en cuenta su significado sino solamente su estructura
expresada en smbolo de un lenguaje artificial, construido especialmente para calcular.
Liebniz deca que calcular era operar con smbolos y consecuentemente, as como se
poda calcular con smbolos aritmticos tambin ello era factible con smbolos que
representen estructuras deductivas. El ideal Leibniziano era lograr un instrumento lgico
lo suficientemente poderoso como para traducir cualquier discusin significativa sobre la
correccin de las deducciones a una operacin en la que los oponentes se limiten a
revisar los clculos para ubicar el error, de manera parecida a como se corrige una suma
cualquiera.
El proyecto de Leibniz era demasiado ambicioso y por ello fracas. Aunque su intuicin
fue grande, estuvo lejos de lo posible y de la construccin de un lenguaje simblico que
supere significativamente la vieja silogstica aristotlica. Fue la inexistencia de un
lenguaje lgico matemtico adecuado hasta mediados del siglo XIX lo que llev al filsofo
Kant (1724-1804) a pesar de su genialidad, a afirmar errneamente que la lgica creada
por Aristteles era un conocimiento acabado, cerrado y completo, puesto que la
investigacin post-aristotlica no haba ni refutado ni aportado nada nuevo en relacin
con las enseanzas del Organon. Este famoso error del filsofo de Knisberg se debi
fundamentalmente a que no conoci o no valor suficientemente los avances de los
estoicos, de los megricos y de Guillermo de Occam.
El creador indiscutible de la Lgica Matemtica fue el ingles George Boole (1815-1864) a
travs de su obra Anlisis matemtico de la lgica e investigaciones de las leyes del pensamiento. Boole utiliz el lenguaje del lgebra para atacar los problemas lgicos tradicionales planteados por el silogismo aristotlico, los cuales resolvi a travs de
procedimientos mecnicos de clculo. Sin embargo este nuevo lenguaje, conocido como
Algebra de Boole, manifest su potencia resolviendo problemas que excedan los
alcances de la lgica aristotlica y poniendo por primera vez en evidencia los errores del
estagirita. El algebra de Boole tambin conoce como algebra de clases o un lgebra de
conjuntos que contino investigando Augusto De Morgan (1806-1878). Posteriormente el
ingls Jevons, el alemn Schroeder y el sovitico Poretskiy convirtieron el lgebra de
clases en un lgebra de proposiciones; y Gottlob Frege en su trabajo titulado
Begriffsschrift (en espaol, Ideografa), propuso un mtodo de clculo de matrices para
la lgica proposicional muy semejante al que se usa actualmente. Asimismo, Frege
desarroll de manera importante la lgica predicativa con el fin de aplicar el mtodo
axiomtico a la naciente teora de conjuntos de G. Cantor.
-
11
La lgica matemtica contempornea.
La lgica contempornea debe mucho de manera inmediata a las enseanzas de Frege y
el hito que marca su inicio es la obra monumental de Bertrand Russell y Alfred Whitehead
titulada Principia Matemtica aparecida en 1910, editada en Inglaterra, en tres tomos. El
propsito de esta obra fue poner toda la matemtica conocida hasta entonces en estricto
orden lgico, utilizando lo que ahora se conoce como un lenguaje lgico de primer orden.
Para ello Russell y Whitehead aprovecharon los hallazgos del matemtico italiano Peano
expuestos en mtodo, en el que se aplica por primera vez el mtodo axiomtico a la
aritmtica. Debido a este hecho, el simbolismo lgico ms usado actualmente (es el que
se usa es este manual) recibe el nombre de notacin Peano- Russell.
La aplicacin de las geometras no euclidianas por creacin de Lobachevski (1793-1856),
Boyai (1826-1866) introdujo en la matemtica espacios hiperblicos y esfricos que
alteraban el espacio rectilneo trabajado por Euclides. Alteraciones semejantes en el
lgebra tradicional haban sido introducidas por la creacin del lgebra abstracta por
Evaristo Galois antes de 1832. Estos a fin de determinar sus propiedades. David Hilbert,
es esta lnea de trabajo, invent la Metamatemtica cuyo objetivo es el estudio de las
teoras matemticas aplicando los lenguajes lgicos que haban sido creados por Frege y
Russell. Notables investigadores han dedicado sus mejores esfuerzos a la
Metamatemtica y a la solucin de sus grandes problemas que en gran medida fueron
planteados por Hilbert en un Congreso de Matemticas realizado e 1900. El ms
conspicuo de todos ha sido Kart Gdel, quien demostr alrededor de 1930. El ms
importante teorema de Lgica Matemtica de este siglo de circuitos elctricos a
conmutadores y relays que constituyen el aporte ms importante a la construccin de las
modernas computadoras electrnicas digitales. De esta manera, la lgica Matemtica
dej de ser un instrumento puramente terico para convertirse en un instrumento que
sirve de soporte a la tecnologa ms sofisticada de nuestro siglo.
La diversificacin de las investigaciones en Lgica Matemtica, durante los ltimos
sesenta aos, ha conducido al surgimiento de ramas altamente especializadas. El polaco
Lukasiewicz desarroll las lgicas polivalentes y Tarski, del mismo origen, cre la
semntica lgica con sus investigaciones sobre el concepto de verdad en los lenguajes
formalizados y demostr la necesidad ineludible de usar metalenguajes, reafirmando as
los resultados de Russell y Hilbert. A partir de estos resultados se ha formulado la
moderna teora de modelos que tiene entre sus representantes a Keynes, Carnap y
Popper han desarrollado las lgicas probabilitarias y las han aplicado al anlisis de
teoras fsicas y del mtodo de investigacin cientfica. Estos estudios y sus resultados
-
12
han contribuido al nacimiento y afianzamiento de una nueva disciplina llamada
Epistemologa, cuyo sentido es el anlisis de la ciencia utilizando instrumentos
proporcionados por la lgica matemtica a travs de sus diferentes ramas. Han
destacado como epistemlogos el mismo Popper, Hempel, ngel, S. Barker, Stegmller
y el argentino Mario Bunge, entre otros. En Estados Unidos han descollado alrededor de
la dcada del cincuenta los trabajos de Kleene y los de Church sobre funciones
recursivas, cuyos resultados han permitido esclarecer a nivel terico y prctico las
limitaciones y los alcances de una computadora electrnica cualquiera. Tambin son
notables es este pas los trabajos del profesor W. O. Quine quien ha inventado lenguajes
muy complejos y potentes. Sin embargo, el mayor aporte de la lgica norteamericana
est dado por la demostracin que hizo Paul Cohen, en la dcada del sesenta, de la
independencia de la hiptesis del continuo en la teora de conjuntos de Cantor. Este
teorema, que al igual que el de Gdel, constituye una respuesta a uno de los veinte
problemas de Hilbert, puede ser considerado el segundo en importancia en la Lgica
matemtica de nuestro siglo.
En la Unin Sovitica tambin ha habido aportes sustanciales a travs de Malsev,
Kolmogorov, P.S. Novikov, A. Harkov y Shanin, entre otros. En la China se han
destacado Wang Chun, Hao Wang y Shih Hua. El segundo ha trabajado en Estados
Unidos ha aportado al mtodo de procesamiento de teoremas a travs de computadoras.
La Lgica matemtica en Amrica Latina
La lgica matemtica ha ocupado la actividad de un nmero creciente de investigadores
latinoamericanos durante los ltimos veinte aos. Tal vez el ncleo ms activo sea el
ubicado en Brasil en las universidades de San Pablo y Campinas. Su representante ms
distinguido es Newton da Costa, quien es creador de lenguaje lgico especiales
conocidos como para consistentes debido a que hacen un uso muy especial del principio
de no contradiccin. Otro sector importante de investigadores se agrupa alrededor de la
diversidad de baha Blanca de Argentina y entre ellos merece especial mencin L.
Monteiro, que con un grupo
-
13
La lgica formal2
El lenguaje nos proporciona las herramientas mentales, la habilidad para dar razones de
lo que sabemos. En la experiencia diaria, esperamos que las personas tengan razones
para lo que dicen o hacen; es decir buscamos un principio de racionalidad una lgica. Lo
que parece una buena razn, puede variar de acuerdo con las circunstancias y
costumbres. La lgica en cambio, busca tipos particulares de demostraciones racionales
que fundamenten las conclusiones y respalden nuestra ciencia y conocimiento en
general.
Qu es la lgica? El estudio o la ciencia de las leyes del pensamiento, pero tambin se puede decir que es
la ciencia del razonamiento y adems nos da un mtodo y unos principios para distinguir
el razonamiento correcto del incorrecto, el bueno del malo.
La lgica es un saber terico prctico; es terico porque describe las leyes del
pensamiento, los rales por donde circula; y es prctico porque nos ensea a razonar, nos
da las normas para pensar correctamente. Es a la vez una ciencia y un arte, como
pensaron los lgicos del siglo XVII de Port Royal (Francia).
No quiere esto decir, que slo quien haya estudiado lgica, puede razonar bien, sera un
error parecido a afirmar que slo se corre bien si se sabe fsica y fisiologa; pero es
verdad que quien estudia lgica, tiene mayor posibilidad de razonar correctamente.
Esta definicin de lgica, puede producirnos dudas ya que tambin la Psicologa y las
Ciencias del lenguaje, se ocupan del pensamiento. El siguiente diagrama nos aclara la
perspectiva o el punto de vista desde el que cada una de estas ciencias estudia el
pensamiento y el lenguaje:
Psicologa Lgica Lgica matemtica y ciencias del lenguaje
Operaciones de la mente Producto mental Expresin verbal
Concebir Concepto Trmino o palabra
Juzgar Juicio Proposicin
Razonar Razonamiento o raciocinio Argumentacin
2 http://portales.educared.net/wikiEducared/index.php?title=Introducci%C3%B3n_a_la_l%C3%B3gica_formal (Consultado en marzo del 2009)
-
14
Segn el diagrama, la Psicologa se ocupa de las operaciones de la mente, estudia el
pensamiento como un proceso necesario en la adquisicin de conocimiento. Nuestra
mente acta como un ordenador, creando conceptos a partir de las percepciones e
imgenes sensibles, y una vez alcanzado el concepto, hace juicios, por ltimo enlaza los
juicios formando razonamientos.
La lgica se ocupa de los productos mentales considerados en s mismos, de las
correctas relaciones entre conceptos, juicios y razonamientos. Se interesa por la
estructura o forma del pensamiento, sin tomar en cuenta su contenido, por eso es la
lgica una ciencia formal. Adems, como el pensamiento se expresa en un lenguaje, en
este sentido tambin la lgica estudia el lenguaje.
La lgica formal clsica el lenguaje natural y la lgica formal matemtica, el lenguaje
formalizado. Dentro de la Lgica matemtica, Lgica proposicional estudia las
proposiciones y los razonamientos, y la Lgica de clases, los conceptos, trminos o
palabras.
LGICA PROPOSICIONAL
1. Qu es lo que hace que un razonamiento sea correcto o no lo sea Esta distincin entre el razonamiento correcto e incorrecto es el problema central con el
que trata la lgica.
Normalmente se cree que existe una nica manera de pensar lgicamente que
corresponda a la estructura profunda de la mente, de la razn o del cerebro, segn
sea el caso. Esto conduce a superar que la lgica se descubre de manera anloga a
como se habra descubierto la estructura de la clula o del tomo. En efecto en
sentido estricto no existe, dentro de la comunidad cientfica y filosfica, la lgica
comunidad, sino un conjunto diversificado de sistemas lgicos o en trminos ms
descriptivos de lenguajes lgicos que no siempre son equivalentes entre s 3.
La lgica est diseada estrictamente para transferir o transmitir la verdad de unas
afirmaciones a otras una vez que sta ya ha sido establecida, por medidas no lgicas.
3 PISCOYA HERMOZA, Lus. Lgica. Facultad de Educacin. Universidad Nacional Mayor de San Marcos. Primera Edicin. 1997. Lima Per. P 10.
-
15
La lgica es difcil a causa de los signos que utiliza.
El lenguaje poco natural denominado lenguaje formalizado, cuyos componentes han
sido tomados del lenguaje matemtico, hace la dificultad en el aprendizaje de la lgica,
debido a que en su lenguaje matemtico es un gran problema para nuestros
estudiantes.
Empero, es lo fundamental del aprendizaje de la lgica que consiste, como siempre que
se aprende una ciencia, en el aprendizaje de un sistema de conceptos con precisin tales
conceptos. Por tanto, la dificultad se produce cuando se olvida los conceptos y se
produce una enseanza mecanista que convierte la lgica en un ejercicio que consiste en
transformar unas manchas de tinta en otras manchas de tinta sin que comprenda el
sentido del simbolismo y el tipo de problemas que soluciona. Como se produce el mismo
riesgo corre la enseanza de la matemtica.
Es importante sealar que la lgica no establece relacionar de causa a efecto o de efecto
a causa sino relaciones de deduccin, pues no est prohibido por las reglas de los
sistemas lgicos en uso que la conclusin sea verdadera y las premisas, sin embargo,
falsas. En breve, la verdad de la conclusin no asegura la verdad de las premisas o
puntos de partida. Lo que si es correcto afirmar es que si la conclusin es falsa, entonces
al menos una de las premisas es falsa. Por ello se ha dicho que la lgica es la ciencia
que transmite la verdad y retrotrasmite la falsedad.
2. El Lenguaje: Sirve para desarrollar el pensamiento4
2.1. Lenguaje natural, comn o corriente. Es el lenguaje que utilizan las integrantes de
una comunidad para comunicarse.
Ejemplo. (1) El quechua, italiano, francs, etc.
(2) El sol es una estrella fija
2.2. Lenguaje Formalizado. Se utiliza en el desarrollo de las ciencias, empleando
smbolos o variables.
Ejemplo. (1) 2, 5, m, n, x, etc.
(2) 2+5 = 5+2
4 Mg. ALCANTARA MORALES, Gonzalo M. Separata. Desarrollo del Pensamiento Lgico Matemtico. 1997. Lima.
-
16
3. Proposicin. Es una oracin declarativa, verdadera o falsa. Son todas las secuencias finitas de
signos que con sentido pueden ser calificadas de verdaderas o de falsas.
En resumen, la proposicin es un enunciado o una expresin que tiene como
caracterstica principal de ser verdadero o falso, y debe cumplir la funcin informativa
del lenguaje, debe existir coherencia entre sujeto y predicado, debe estar sujeto a
comprobacin. Por lo tanto, toda proposicin debe estar basada en aspectos reales,
posibles, factibles, probables, realizables 5
Ejemplo.
a) El lapicero es rojo
b) Todo nmero entero positivo elevado a la potencia cero es igual a uno.
c) La tierra no se mueve
d) Existe al menos un crculo con rea equivalente a un cuadrado
e) La gnoseologa es una disciplina filosfica
f) El socialismo es un sistema poltico caduco
g) Francisco Pizarro no fue conquistador sino invasor
Nota: La proposicin no debe tener contradicciones ni ambigedades en el contenido de su mensaje.
Ejemplo: Manuel aprob y no aprob el curso de lgica (contradiccin). El espejo
del auto (ambiguo)
Corresponde a la formalizacin de las proposiciones usando smbolos establecidos
previamente.
3.1 Pseudoproposicin Es una expresin que parece ser proposicin, pero se diferencia de esta, porque
est basado en aspectos irrealizables, improbables, no factibles y no posibles. Se
relaciona con la funcin expresiva del lenguaje.
Ejemplos:
a) Luisa Condemarin se fue caminando hasta el sol.
b) Los ptalos de la rosa son inteligentes
c) Los hombres son inmortales
d) Los libros hablan con el lector
e) La bicicleta vuela por el espacio
5 POMA HENOSTROZA Csar Augusto, (1999)- Lgica, CAPOVI / Editores, Lima - Per
-
17
3.2 Expresiones no proposicionales Por regla, las expresiones sueltas (que no denotan informacin o son incompletas)
como: maana, el gobierno, San Martn, etc. no son proposiciones porque les falta
el predicado. Tambin las que se encuentran en este grupo las expresiones que se
encuentran entre signos de admiracin e interrogacin as como las que expresan
mandatos u rdenes a cumplirse. Se relaciona con la funcin operativa del lenguaje.
Ejemplos
a) Cinco
b) Auxilio!
c) El hijo de Huayna Cpac
d) La deuda externa
e) Cunto tiempo dur la poca colonial?
f) Jos Carlos Maritegui
g) Presente usted el informe urgente!
3.3 Clases de proposiciones Existen varias clasificaciones, pero desarrollaremos el sintctico.
a) Simples Llamados tambin atmicas, mondicas o monarias. Son a su vez de dos tipos:
Predicativas
Su estructura gramatical est compuesta por un sujeto y un predicado.
Ejemplos.
- Jorge Paredes es ingeniero industrial
- El Per es un pas pacfico
Relacionales
Su estructura gramatical est compuesta por ms de un sujeto y un slo
predicado.
Ejemplos:
- Romero am a Julieta
- Susar Mariella y Angela Indhira Poma son hermanas
- Piura y Tumbes son departamentos limtrofes.
- Gabriel Castillo es primo de Gonzalo Barreto
-
18
b) Compuestas Llamadas tambin moleculares, son las que estn conformadas por ms de dos
proposiciones simples (predicativas y/o relacionales). Necesariamente una
proposicin compuesta tiene una letra, trmino de enlace o algn smbolo que
tcitamente implica unin.
Ejemplos.
1) La medicina y enfermera son carreras profesionales. 2) Si estudias, aprobars el curso. 3) Hace fro, entonces baj la temperatura.
En los ejemplos anteriores: y, , (coma) y entonces son las conectivas o enlazadores
4. Variables Son los smbolos que representan a una proposicin simple.
Ejemplos. a) Letras minsculas del alfabeto latino a partir de p, q, r, etc.
b) Letras griegas como: , , , , , etc. c) Letras maysculas del alfabeto latino desde A, B, C, etc.
En todos los casos cada smbolo representa a una proposicin; y, el uso de uno
supone haber usado el anterior.
La mayora de los lgicos tanto en Europa como en Amrica usan las minsculas p, q, r, s, etc., por lo que en este texto asumimos esta propuesta. 5. Argumento.
Es un conjunto de proposiciones, una de las cuales se designa como conclusin, y las
otras como premisas, que pretenden apoyar o fundamentar su verdad. Un argumento
pueden tener cualquier nmero de premisas, pero siempre una conclusin.4
5.1. Estructura de una argumento
Un argumento tiene:
-
19
a) Premisas o antecedentes: Son los motivos, causas, razones, circunstancias, mviles, fundamentos, etc., que nos conduce a un desenlace.
b) Conclusin o consecuente: Son los efectos, resultados concretos derivados de las causas. Surgen como respuesta
Por tanto, la estructura de un argumento es:
Premisas Conclusiones
Ejemplo.
(1) Dios es amor por tanto el que ama conoce a Dios
(2) a = 1; b = 2 a + b = 3
Nota.- Distinguir un argumento correcto implica reconocer cuando ste ocurre y determinar sus premisas y la conclusin. Dado que el argumento tiene diferente
estructura, la conclusin puede estar antes o despus de las premisas o en medio
de ella. Existen algunas frases que pueden facilitar su ubicacin:
9 Por lo tanto 9 Como resultado 9 De ah que 9 Por esta razn 9 As 9 Se sigue que 9 Correspondientemente 9 Lo cual muestra que 9 En consecuencia 9 Lo cual implica que 9 Lo cual prueba 9 Lo cual nos permite inferir que
9 Lo cual apunta hacia la conclusin de que
Algunas indicaciones de premisas:
9 Puesto que 9 Por que 9 Dado que 9 Pues 9 A cauda de 9 Por las siguientes razones 9 Se puede inferir de 9 Se puede deducir de 9 En vista de que
-
20
5.2. Reconocimiento de los Argumentos Para reconocer un argumento necesariamente debemos de encontrar las premisas y conclusin, sin dejar de identificar en ellas otros elementos que nos ayudarn a
identificar las partes que la conforman, entre ellos tenemos a:
a) Marcadores: Son trminos que unen las proposiciones consideradas premisas; es decir, unen una premisa con otra. Corresponde a la conectiva conjuntiva y o sus
equivalentes: porque, pero, empero, tambin, a la vez, no obstante,
sino, ms, adems, sin embargo, tanto como, etc.
b) Indicadores: Son trminos de enlace que sirven para unir las premisas con la conclusin, o la conclusin con las premisas.
Existen 2 tipos de indicadores:
b-1) Indicadores de Premisa: Si los trminos: dado que, puesto que, porque,
si, en vista de que, ya que, cuando, a condicin de que, debido a que
etc., estn en la parte central de un argumento, entonces podemos asumir que las proposiciones que estn despus de estos trminos corresponden a las
premisas y las que anteceden son las conclusiones.
Ejemplo:
El imperio Inca fue una cultura expansionista porque invadi a las culturas Chimu y Chincha.
b-2) Indicadores de Conclusin: Si los trminos luego, por lo tanto, en
consecuencia, entonces, por ello, por ende, en conclusin, por
consiguiente, etc., se encuentran en la parte central de un argumento,
entonces las proposiciones que se encuentran antes de estos trminos son las premisas o antecedentes y a las que aparecen despus corresponden a
conclusin o consecuente.
Ejemplo:
Jeanette Torres estudia Derecho y Ciencias Polticas en la Universidad
Inca Garcilaso de la Vega por lo tanto ser una eficiente abogada.
-
21
c) Diagramacin de Argumentos
Todo argumento se diagrama siguiendo el procedimiento siguiente:
a) Leer cuidadosamente todo el argumento para reconocer las premisas,
conclusin, indicadores, marcadores y signos de puntuacin.
b) A todas las proposiciones se subraya y numera secuencialmente; a los
indicadores se encierra con un crculo y representa a travs de una flecha vertical
con direccin abajo (), a los marcadores se representa con el smbolo (+).
Nota: En todo diagrama, la conclusin debe ubicarse necesariamente en la parte inferior.
Ejemplos. Determinar los argumentos y diagramar:
i. Argumentar es un juego del lenguaje y pensamiento, es decir, una practica
lingstica sometida a reglas (Wittgestein) que se produce en un contexto
comunicativo mediante el pretendemos dar razones ante los dems o ante
nosotros. Las razones que presentamos para critica y precisamente a travs de
ella llegar a acuerdos comunicativos.
Respuesta: No es Argumento
ii. La qumica es una ciencia esencialmente experimental, por lo tanto en su enseanza la actividad practica esta ntimamente relacionada con el experimento
docente vinculado a su objeto de estudio; las sustancias y sus transformaciones.
En consecuencia, el experimento qumico juega un papel decisivo en determinados aspectos del proceso de enseanza de esta ciencia.
Respuesta: Si es argumento:
iii. En los ltimos aos la computacin ha tenido un desarrollo acelerado y ha
contribuido en forma notable a la aparicin de nuevas tecnologas y a la
1 2 3
-
22
organizacin de la sociedad. Este desarrollo se ha llevado a cabo en un periodo
muy corto de tiempo, de manera que la mayor parte de las personas adultas hoy
en da, crecieron teniendo poco o nulo contacto con las computadoras,
percatndose tiempo despus de la gran importancia que estas tienen, ya que
estn presentes en casi todos los aspectos de nuestras vidas. En consecuencia,
esto ha ocasionado que todo el mundo este familiarizado con las computadoras,
pero que por otro lado, sean pocas las personas que tienen conocimiento de lo
que realmente son.
Respuesta: Si es argumento:
2 + 3 + 4
5
1 6
7
iv. Las interrelaciones entre crecimiento demogrfico y crecimiento econmico han
originado grandes debates en bsqueda de soluciones al problema del hambre
generalizada que afecta hoy a varios sectores del planeta. Algunos entienden que
el crecimiento de la poblacin es un obstculo para el crecimiento econmico,
otros, que es un estimulo para lograrlo.
Respuesta: No es Argumento
6. Las Conectivas Lgicas Son conocidas tambin como nexores, smbolos de enlace, operadores, uniones,
conectores, coligantes, etc. Cumplen el papel de unir a dos proposiciones simples
para convertirla en una compuesta.
Entre las ms comunes tenemos:
Conjuncin y Disyuncin inclusiva o Disyuncin exclusiva o Condicional sientonces
-
23
Bicondicional si y solo si Negacin no
6.1 La conjuncin
Si las variables proposicionales p y q representan cualquier par de proposiciones,
luego la proposicin conjuntiva p q es verdadera solamente en el caso que p sea
verdadera y q tambin sea verdadera. En cualquier otro caso la proposicin p q
es falsa.
La conjuncin tiene otros trminos equivalentes entre ellos: Pero, empero, como,
ms, mas, sin embargo, tambin, adems, aunque, no obstante, tanto... como..., a
pesar de, a menos que, igualmente, a la vez, sino, an cuando, etc.
Regla: Toda proposicin conjuntiva debe cumplir la ley conmutativa y asociativa.
Ejemplos.
p: Alan Garca es presidente del Per
q: Cesed es un centro de servicios educativos
Simbolizacin: p q
Algoritmo para la construccin de la tabla de verdad
Tabla de verdad de la conjuncin
p q p q
V V V V V
V F V F F
F V F F V
F F F F F
Nmero de valores de cada columna = 2n
Donde n es el nmero de variables proposicionales que tenga la proposicin que vamos a tabular.
MATRIZ DE LA CONJUNCIN
-
24
6.2 Disyuncin inclusiva o incluyente. Enlazan proposiciones a travs del trmino o. p v q es verdadera siempre que p
sea verdadera o que q sea verdadera o que ambas variables sean verdaderas. Es
falsa slo cuando ambas variables son falsas. Esta disyuncin plantea alternativas donde cabe como posibilidad escoger ambas.
Simblicamente se representa de la forma siguiente: v. Ejemplo:
Maana ser la prctica o maana es el examen: p v q
Tabla de verdad de la disyuncin inclusiva p q p V q V V V V V
V F V V F
F V F V V
F F F F F
6.3 Disyuncin Fuerte o exclusiva. Plantean dos situaciones, si se realiza una situacin, la otra es imposible de
realizarse, dando cierta prioridad a la primera.
Simblicamente se representa: W, V, , J, etc. p q es verdadera si una, y solamente una de las variables proposicionales, es verdadera. En cualquier otro
caso es falsa.
Tabla de verdad de la disyuncin exclusiva p q p q
V V V F V
V F V V F
F V F V V
F F F F F
MATRIZ DE LA DISYUNCIN INCLUSIVA
MATRIZ DE LA DISYUNCIN EXCLUSIVA
-
25
6.4 Condicional. Se refiere a la conectiva Si... entonces..., a la proposicin que se encuentra antes
de entonces, se le denomina antecedente o premisa y a la que se encuentra despus de la conectiva, consecuente o conclusin.
Simblicamente se representa: , , , C, etc.
Para efectos de formalizacin se debe siempre tener en cuenta que primero va el
antecedente y luego el consecuente.
Existen diversas formas de condicionales:
i. Directa.- Corresponde a la frmula p q, y tiene como trminos equivalentes: luego, de manera que, de ah que, por lo tanto, en consecuencia, de modo que,
de ah se sigue, se deduce, por ello, por ende, entonces, etc.
Ejemplo.
1) Estudias en la universidad, por lo tanto eres universitario ( p q ) 2) Hoy es feriado, en consecuencia, no es da laborable ( p ~ q )
ii. Recproca.- Corresponde a la frmula q p, dado que los trminos invierten en el orden de antecedente y consecuente. En este caso primero aparece el
consecuente, luego el antecedente. Los trminos condicionales que permiten
invertir sus componentes son: Cada vez, ya que, puesto que, porque, supone,
suficiente que, a condicin de que, si, siempre que, pues, en vista de que, dado
que, etc.
Ejemplo.
1) Jugars en la seleccin si tienes cualidades (q q) 2) Estudiar bastante dado que tengo examen de lgica (q p) 3) Se suspendi el examen puesto que no lleg el profesor (~ q p)
La proposicin condicional p q, que tiene como antecedente a p y como consecuencia a q, es falsa solamente cuando p es verdadera y q es falsa. En
cualquier otro caso es verdadera.
-
26
Tabla de verdad de la condicional
p q p q V V V V V
V F V F F
F V F V V
F F F V F
6.5 Bicondicional.
Vincula enunciados o proposiciones a travs de la conectiva Si y slo si y tiene
como smbolos: , , , E, etc. Sus trminos equivalentes son: Cuando y slo cuando, entonces y slo entonces, si y solamente si, es una condicin necesaria y
suficiente de, etc.
La proposicin bicondicional p q es verdadera cuando las variables p y q tiene el mismo valor, esto es, cuando ambas son verdaderas y cuando ambas son falsas.
En cualquier otro caso es falsa.
Tabla de verdad de la bicondicional
p q p q V V V V V
V F V F F
F V F F V
F F F V F
6.6 Negacin.
a. La Negacin Conjunta.- Llamado tambin doble negacin, binegacin o Funcin de Nicod. No corresponde necesariamente a un trmino conectivo especial, se
produce cuando los dos componentes de una proposicin conjuntiva estn
negados de manera independiente. Simblicamente se representa as: , X, etc.
MATRIZ DE LA PROPOSICIN CONDICIONAL
MATRIZ DE LA PROPOSICIN
BICONDICIONAL
-
27
Ejemplo.
Ni Vallejo fue matemtico, ni Ciro Alegra fue pintor.
De manera normal se formaliza as: ~ p ~ q Aplicando la negacin conjunta la frmula es: p q Por lo tanto, (~ p ~ q) = (p q)
b. La Negacin Alterna.- Llamado tambin incompatibilidad o funcin de Sheffer, como en el caso de la negacin conjunta, no tiene trmino especial, se refiere a
una proposicin compuesta negada en sus componentes y cuyo operador sea la
disyuncin dbil. Simblicamente se representa: /. |, etc.
Ejemplo:
No comprar el libro o no viajar a Ica. Simbolizando, la frmula es: ~ p v ~ q
Segn la negacin alterna la frmula es p / q
Por lo tanto, (~ p v ~ q) = (p / q)
La proposicin negativa p es verdadera solamente cuando la variable p es falsa
solamente cuando la variable p es verdadera.
Tabla de verdad de la negacin
p p V F
F V
7. Inferencia
Segn la filosofa existen tres modos bsicos de razonamiento: Deduccin: inferencia desde las causas hacia los efectos, o desde lo universal hacia
lo particular.
Induccin: Recorre el camino inverso.
Abduccin o reproduccin: Relacionado con la gnesis de la hiptesis
MATRIZ DE LA PROPOSICIN
NEGATIVA
-
28
Deductiva o analtica
Induccin Inferencia Sinttica Hiptesis
La inferencia lgica es tambin llamada Lgica inferencial, es un proceso que consiste
en pasar de un conjunto de premisas a una conclusin, sin la necesidad de elaborar
tablas o cuadros muy extensos. Todo problema o ejercicio que se resuelve usando
inferencia lgica, tiene la forma:
(p q r s) w
Aqu p, q, r, s son llamadas premisas y W es la conclusin o ARGUMENTO.
7.1 Formalizacin o simbolizacin de inferencias
Pasos para simbolizar las inferencias:
1) Encierra con un crculo a los trminos de enlace y a los signos de puntuacin.
Luego subraya las proposiciones simples y representarlos a travs de variables
(p, q, r, s, etc.)
2) Elaborar la estructura formal transcribiendo textualmente todo lo que se encerr
en crculo y las variables otorgadas de manera secuencial.
3) Elaborar la frmula teniendo en cuenta el uso correcto de los signos de
puntuacin que permiten jerarquizar los operadores.
Ejemplo.
Paso 1:
Es falso que las plantas y los animales no tengan vida, ya que, tanto las plantas
como los animales cumplen con un ciclo natural, luego, si el hombre tiene vida,
cumple un ciclo natural.
p q r
s t
u
-
29
Paso 2:
Es falso que no p y no q; ya que, tanto r como s. Luego, si t, u.
Paso 3:
{[(r s) ~(~ p ~ q)]} (t u)
Nota: Cuando se formaliza una inferencia, primero va el antecedente y despus el consecuente
Ejemplo.
Si Hegel fue idealista y Marx materialista, no fueron amigos. No fueron amigos porque
no se conocieron adems vivieron en tiempos diferentes. En consecuencia si Hegel y
Marx se hubieran conocido no hubieran sido amigos.
Solucin.
Si p y q, no r. No r porque no s adems t. En consecuencia si s, no r.
[ (p q) ~ r] [(~ s t) ~ r] (s ~ r)
Ejercicios Desarrollados: Hallar la formula de las siguientes estructuras.
1) No p y q, porque no r. Luego, si q y p, no r.
[~ r (~ p q)] [ (q p) ~ r]
2) Ni p ni q, si p o r. No r. En consecuencia, no q o r porque p.
{[(p r) (~ p ~ q)]} ~ r [p (~ q r)]
3) p. Por lo tanto es mentira que r y no s en vista de que no q.
p [~ q ~(r ~ s)]
4) p o no q, adems no r si y solo si no p. Entonces no p o no q.
[(p ~ q) (~ r ~ p)] (~ p v ~ q)
-
30
5) Es falso que no p o no r, porque s. Dado que r y s si no q.
[~ q (r s)] [ s ~ (~ p ~ r) ]
8. Uso de los signos de agrupacin 6
Los signos de agrupacin (parntesis, corchetes y llaves) se usan en lgica cuando se trata de obtener esquemas lgicos ms complejos con el fin de evitar la ambigedad de
las frmulas. As, por ejemplo, la expresin:
p v q r es ambigua; pero asociando sus trminos:
(p v q) r p v (q r)
La expresin dada tiene un sentido y deja de ser ambigua. Otra finalidad de los signos
de agrupacin es darle mayor o menor jerarqua a los conectivos. En general, es la conectiva de menor jerarqua, le siguen , v que son de igual jerarqua, y luego que es el de mayor jerarqua. Sin embargo, cada conectiva puede ser de mayor jerarqua si as lo indica el signo de coleccin.
Ejemplo: No es el caso de que 9 es mltiplo de 3 o que 2 x 8 = 15
Resolucin.
Asignndole una variable a cada proposicin simple se tiene
p = 9 es mltiplo de 3; q = 2 x 8 = 15.
Notacin simblica es: (pq) Ntese que aqu la negacin afecta a las variables dentro del parntesis.
Ejemplo: Si el testigo no dice la verdad, entonces Juan es inocente o culpable
Solucin.
Si p = El testigo dice la verdad, q = Juan es inocente y r = Juan es culpable;
entonces se simboliza: p (q r) Aqu, el smbolo de mayor jerarqua es . Obsrvese que solo afecta la variable
6 FIGUEROA G. R. Matemtica Bsica . 2001. Stima edicin. Editorial Amrica. Lima. Pp.13-14.
-
31
p y que v est limitado por el parntesis.
Observacin.
La combinacin de las variables y los operadores o conectivos proposicionales por
medio de los signos de agrupacin se denomina esquema molecular. En cada esquema
molecular solo uno de los operadores es el de mayor jerarqua y es el que le da nombre
a dicho esquema.
Ejemplo
A= p (q v r) B= [ (p q) v ] p C= [(p q] (p v q) (q v r)
Podemos notar que los operadores de mayor jerarqua en A, B y C son: , y y los nombres que llevan cada uno de estos esquema son: esquema condicional,
esquema bicondicional y esquema negativo, respectivamente.
9. Tablas de verdad de las proposiciones con ms de dos variables7
En este caso la mayor variante est en el margen, pues al haber tres proposiciones
entonces la frmula 2n para n=3 da lugar a 8 arreglos que es de valor de dos al cubo.
A continuacin daremos un ejemplo sealando previamente el orden de operaciones
establecido por los parntesis para luego construir la tabla de verdad.
( ( p q ) v ( p r ) ) p
La tabla de verdad es como sigue: 7 PISCOYA HERMOZA, Lus. Lgica. Facultad de Educacin. Universidad Nacional Mayor de San Marcos. Primera Edicin. 1997. Lima Per. P.86
3ra. matriz 2da. matriz 1ra. matriz
4ta. matriz
5ta. Matriz (principal)
-
32
p q r ((p q) v (pr)) p V V V V V V F F
V V F V V F F F
V F V F V V F F
V F F F F F V F
F V V F F F F V
F V F F F F F V
F F V F F F F V
F F F F F F F V
10. Tautologa, consistentes y contradictoria8
En lgica se entiende por tautologa aquella proposicin cuya tabla de verdad da
siempre el valor de verdad V en todos los casos posibles de los valores de verdad (V,
F) de cada una de las proposiciones que la integran, o de un modo ms sencillo: la
supuesta explicacin de algo mediante una perogrullada, la explicacin o definicin
de algo mediante una ligera variacin de palabras que tienen en conjunto el mismo
significado ya conocido de lo supuestamente explicado (Ejemplo: Existe el calor porque lo provoca el calrico).
Tautologa: en todos los casos la forma del argumento ofrece un resultado verdadero, por lo que el argumento es vlido.
Una contradiccin: es una expresin lgica que es falsa para todos sus valores. Una consistencia: es una expresin lgica que es verdadera y falsa al mismo tiempo.
Ejemplo: De Tautologa:
8 http://www.mitecnologico.com/Main/TautologiasYContradicciones. Consultado 27/11/08.
Matriz principal
-
33
p q p v (p q) V V V V V F V F
F V V V F F V V
Ejemplo: De Consistentes
p q ((p v q) p) V V V F V V F V V V F V F F V F F V V F
Ejemplo: De Contradiccin
p q r ((p v
~ p) (q q)) r
V V V V F F F F F V V F V F F F F F V F V V F F F V F V F F V F F F V F F V V V V F F F F F V F V V F F F F F F V V V F F V F F F F V V F F V F
11. Mtodos decisorios
2da.matriz (Principal o final)
1ra.matriz
2da.matriz (Principal o final) 1ra.matriz
1ra.matriz
2da.matriz
1ra.matriz 5ta.matriz
4ta.matriz 3ra.matriz
Matriz principal
-
34
a. Mtodos de tablas
Permite determinar el tipo de frmula (tautologa, contradiccin o consistencia) a
travs de la confrontacin de las posibilidades de verdad o falsedad que tienen las
variables con las frmulas de los operadores.
p q [(~ p q) ~ q] p
V V
V F
F V
F F
F
F
V
V
V
V
F
F
V
V
V
F
V
F
V
F
F
V
F
F
F
V
F
V
V
F
V
F
V
V
V
V
V
V
F
F
TAUTOLOGIA (T)
b. Mtodo abreviado
El Mtodo Abreviado.- El uso de tablas de verdad es adecuado para formulas que tienen menos de tres variables; pero, no es el ms indicado en formulas con mayor
cantidad de variables; ya que, es ms compleja por la laboriosidad y extensin. El
mtodo abreviado permite determinar la tautologa, contradiccin o consistencia de
cualquier formula, teniendo en cuenta el procedimiento siguiente:
i. Para buscar Tautologa (T):
Ejemplo.
1) Ubicar el operador de mayor jerarqua de la formula problema.
[( ~ p v q ) ~ ( p ~ q )] (p q )
Operador mayor (condicional)
2) Asignar el valor de falsedad F debajo del operador mayor.
[(~ p v q ) ~ ( p ~ q )] (p q ) F
-
35
3) Justificar el valor de F poniendo valores de V o F debajo de los operadores
que siguen en jerarqua tanto en la formula derecha como izquierda del operador
mayor. Estos valores se asignarn teniendo en cuenta la frmula de dicho
operador.
[( ~ p v q ) ~ ( p ~ q )] (p q ) V F F
4) Se asignan valores de verdad o falsedad (segn los casos) debajo de cada
variable justificando siempre la frmula de los operadores. Las variables
redundantes tendrn los mismos valores asignados a los primeros.
[(~ p v q ) ~ ( p ~ q )] (p q ) F V F V V V F V F V F F
5) Un operador ser tautolgico cuando al verificar los valores asignados con las
frmulas de los operadores presentan una o ms contraposiciones. Caso contrario
(cuando todo se justifica) la formula puede ser contradiccin o consistencia.
[(~ p v q ) ~ ( p ~ q )] (p q ) F V F V V V F V F V F F
F V
hay dos contraposiciones, por lo tanto es una tautologa
Ejemplo.
[(p v ~ q ) ~ ( ~ p q )] (p q ) V V V V V F F F F V F F
En este ejemplo no hay contraposicin, entonces no es tautologa
ii. Para buscar Contradiccin ():
Se sigue el mismo procedimiento usado para tautologa, con la diferencia de asignar
el valor de verdad V (verdad supuesta) debajo del operador mayor. Un esquema
ser contradictorio cuando al verificar los valores asignados con las frmulas de sus
operadores se encuentran una o ms contraposiciones. Caso contrario ser una
tautologa o consistencia.
iii. Para buscar la Consistencia:
-
36
No existe procedimiento especial alguno, se llega a ella descartando. Es decir si la
frmula no es tautolgica ni contradictoria, entonces es consistencia. Se reconoce
cuando todos sus valores justifican plenamente con las frmulas de los operadores
(no existe contraposicin alguna).
Ejemplos de aplicacin.
Determinar el tipo de formula:
1) ~ [ ~ ( p q ) ( ~ p v q )] Buscando (T) F (operador mayor)
~ [ ~ ( p q ) ( ~ p v q )] F V
La falsedad ingresa dentro del corchete debajo de la bicondicional que es el de
mayor jerarqua (dentro del corchete). Para justificar V de la bicondicional podemos poner VV o FF. Luego ponemos los valores a las variables segn las frmulas de
los operadores y hacemos la confrontacin final.
~ [ ~ ( p q ) ( ~ p v q ) F V V F F V F V F
F
Se encuentra un valor que se contrapone, por lo tanto es tautologa
Buscando contradiccin.
2) ~ [ ~ ( p q ) ( ~ p v q ) ] V F F V V F V V V
En este caso, al verificar los valores asignados con las frmulas de los operadores
se observa que todo se justifica plenamente, por lo tanto la formula no es una contradiccin.
1) ( ~ p v q ) ( ~ r p) F V V F V F F
-
37
En este caso todos los valores estn debidamente justificados con las
formulas de los operadores, por lo tanto no es tautologa.
ACTIVIDAD N 01
1. Instrucciones9: Escriba en el lugar en blanco que se encuentra frente a cada expresin la palabra
SI en casi de que sta sea proposicin y la palabra NO, en caso contrario10.
(1) El cuadrado de 3 a 6 ____________________________
(2) Eureka! ____________________________
(3) El teorema es de Pitgoras ____________________________
(4) El teorema de Pitgoras ____________________________
(5) Fuego! ____________________________
(6) Tres al cubo ____________________________
(7) Tres no es cbico ____________________________
(8) Dos ms 3 es igual a cinco ____________________________
(9) Te amo! ____________________________
(10) Perro es un mamfero ____________________________
(11) Ojal me amaras! ____________________________
(12) a2 es siempre par ____________________________
(13) El dios de los incas ____________________________
(14) Soy yo el guardin de mi hermana? ____________________________
(15)Ningn gusano es idntico a as mismo ____________________________
(16) Y dale U! ____________________________
(17) Tanto amor, y no poder nada contra la muerte! ______________________
(18) Prohibido fumar ____________________________
(19) El crneo consta de ocho huesos ____________________________
(20) Cada loco con sus cosas ____________________________ 9 TRELLES MONTERO, Oscar. Introduccin a la lgica. Pontificia Universidad Catlica del Per. Fondo Editorial 2002. Segunda Edicin. Lima-Per
10 PISCOYA HERMOZA, Lus. Lgica. Facultad de Educacin. Universidad Nacional Mayor de San Marcos. Primera Edicin. 1997. Lima.
-
38
(21) Existe a lo ms un perro ____________________________
(22) El dios de los griegos ____________________________
(23) Las olimpiadas se realizaron en China ____________________________
(24) Las olimpiadas de China ____________________________
(25) Ojal fuera un hombre ____________________________
(26) Llueve ____________________________
(27) Feliz cumpleaos ____________________________
(28) Feliz navidad ____________________________
(29) El que sirve, sirve ____________________________
(30) 4 es mltiplo de 2 ____________________________
(31) Al rincn quita calzn ____________________________
(32) Todos los cisnes son blancos ____________________________
(33) Las ballenas azules estn en peligro de extincin __________________
(34) 90% de los que han usado cocana han tratado de dejarla ___________
(35) El ro que cruza Pars ___________________________
(36) Cmprame una novela ____________________________
(37) La Biblia es la palabra de Dios ___________________________
(38) La Universidad de San Marcos se fund en 1551 __________________
(39) Lima es la capital de Per ____________________________
(40) Algunos hombres son profesores ____________________________
(41) Cierra la puerta ____________________________
(42) Camina 3 metros ____________________________
2. El lenguaje de la lgica proposicional y la conjuncin
Escriba las proposiciones componentes de las siguientes expresiones, reemplace
cada proposicin componente por una variable proposicional y luego construya
una frmula conjuntiva.
1. Lenin y Pedro viajarn a Italia
2. La profesora de matemtica es alegre pero recta
3. El hijo de Diego Maradona es guapo pero no un buen volante de creacin
4. El problema de la cuadratura del crculo ha tenido solucin, aunque fue
difcil en su empeo.
5. El nmero ocho es una potencia par y Lima es una ciudad grande.
6. 2n es una potencia par pero 3 n es una potencia impar
-
39
7. La raz cuadrada de 2 es irracional y el gato es tambin irracional.
8. Pedrito predica caridad; sin embargo vive con mucho lujo
9. la integral de Newton era correcta pero la de Riemann ms sencilla
10. Ftbol y circo distraen a las multitudes.
3. Disyuncin inclusiva
Usando el lenguaje lgico expresar las siguientes proposiciones, distinguiendo las
disyunciones inclusivas de las exclusivas:
1. Jaime es pimponista o tenista
2. Jean Marco es cantante y compositor
3. Este polgono es un tringulo o un cuadrado
4. Se presentarn al jurado los que tengan libreta electoral o sean mayores
de 18 aos
5. Perico nunca ganar el premio o ser feliz
6. Perico no es piadoso o Jaime no es belicoso
7. Csar conquista las Galias o Cleopatra no es reina de Egipto
8. O aceptas el aumento o vas a la crcel
9. El libro es voluminoso o interesante
10. El soldado sobrevivir o perecer en combate
4. El condicional
Seala el antecedente y el consecuente de cada una de las siguientes
proposiciones:
1. Si vas a Iglesia, entonces eres creyente
2. Si comes alimentos, entonces no adelgazars
3. Si llora, entonces no demostraras valor
4. Si Arstides no es honrado, entonces nadie es honrado en Atenas
5. Si Pancho no es deshonesto, entonces nadie es deshonesto
6. Si los precios suben por la crisis, entonces hay quien est ganando dinero
con la crisis
7. Si la Aritmtica es consistente, luego la Geometra tambin lo es
8. Si hay problemas sociales, entonces seremos muy cautos con las
distracciones
-
40
5. Expresar en el lenguaje lgico las siguientes proposiciones
1. Ir al cine solamente si tengo dinero
2. Las crisis se producen porque alguien toma malas decisiones
3. Un nmero es par si es divisible por 2
4. Una figura es un tringulo siempre que tenga exactamente 3 lados
5. la geometra de Riemann fue posible porque existi la de Euclides
6. Los vendedores de armas ganan dinero solamente si hay guerra
7. Si alguien gana dinero con la crisis, entonces hay alguien que tiene inters
en mantener la crisis
8. No es posible gastar en distracciones porque no hay dinero para la
solucin de las necesidades primarias.
6. Negacin
Usando el lenguaje lgico expresar las siguientes proposiciones (no debe usarse
la disyuncin exclusiva)
1. No es el caso que seis sea impar o que existan agujeros negros en el
cosmos
2. No es el caso que seis sea impar, o que existan gatos
3. No es el caso que el acusado sea inocente y que sea sentenciado
4. No es el caso que un nmero sea divisible entre dos y que no sea par
5. No es el caso que un apersona obligatoriamente sea atea o inmoral
6. Es el caso que Lina es estudiosa o no es aplicada
7. No es el caso que no te diviertas o seas infeliz
8. No tengo nada o soy muy rico
7. Determinar en las siguientes frmulas Cul de ellas son tautologas, consistentes y contradictorias?
i. (pq)p ii. (p v q)(pq) iii. (pq) ((pq)v(rp) iv. (pq)(pq) v. ((pq)(qp))(rp) vi. ((pq)q)p
-
41
8. Bicondicional
Sabiendo que las letras p, q, etc. Representan proposiciones, expresar
completamente en lenguaje lgico las siguientes afirmaciones.
1. p, si y solamente si p
2. No p si y solamente si no p
3. Si no p, entonces no q
4. Si no q, entonces p
5. No p si y solamente si q
9. Traducir al lenguaje lgico las siguientes afirmaciones.
1. Un nmero es par si y solamente si es divisible por 2
2. Ir a juicio si y slo si estoy seguro de ganar
3. Ganars dinero solamente si trabajas
4. Juan campeonar si gana la pelea
5. El postulado V es verdadero si y slo si el espacio es recto
-
42
AUTOEVALUACIN
1. En las siguientes expresiones redactadas, indica en los espacios en blanco con
un SI aquellas que son proposiciones y en caso fuera lo contrario indicar con un
NO.
a) Ojal me amaras!
b) Perro es un mamfero
c) El APEC se desarroll en Lima-Per.
d) Carla es bisilbica..
2. Si la proposicin a tabular contiene 4 variables Cuntos arreglos se emplearn
en la tabla de verdad?
a) 14
b) 16
c) 18
d) 20
3. Determina a que lenguaje formalizado pertenece: No existe(no existe (en el
recinto al menos una persona))
a) p
b) p c) p d) p e) N.A.
4. Cules de las siguientes frmulas son tautologa, cules consistentes y cules
contradictorias?
a) ((pq)q)p b) (pq)((pq)(qp)) c) p((pq)(pr)) d) ((pq)p)q
-
43
5. Determinar si es valido o no el siguiente razonamiento a travs de la tcnica de la
tabla de verdad: Si la tierra es un planeta, entonces no posee luz propia. La tierra
es un planeta. Por lo tanto no posee luz propia.
a) Vlido
b) No vlido
6. Un argumento es vlido cuando:
a) El antecedente es tautolgico
b) El antecedente es consistente
c) El consecuente es tautolgico
d) El resultado final es tautolgico
HOJA DE RESPUESTA
1. a) No b) Si c) Si d) Si
2. b)
3. c)
4.
a) Consistente b) Tautologa c) Consistente d) Tautologa
5. a) 6. d)
-
44
UNIDAD II
CONJUNTOS Y DIAGRAMAS
Objetivos.-
Reconocer el lenguaje del algebra de Boole.
Relacionar las expresiones del algebra de Boole en los diagramas de Venn y
Carroll.
Aplicar diagramas para determinar la validez de las inferencias.
Resolver problemas propuestos aplicando los diagramas.
-
45
COMPARTIENDO
Para realizar nuestro estudio, te pedimos que compartas con nosotros tus
conocimientos adquiridas en el aspecto acadmico.
1 Traducir al lenguaje de Boole y construir en cada caso el correspondiente
diagrama de Venn.
a) Ningn S es P
b) Algunos S son P
c) Algunos S no son P
-
46
1. Algebra Boole.
El lgebra booleana11 es un sistema matemtico deductivo centrado en los valores cero
y uno (falso y verdadero). Un operador binario " " definido en ste juego de valores
acepta un par de entradas y produce un solo valor booleano, por ejemplo, el operador
booleano AND acepta dos entradas booleanas y produce una sola salida booleana.
Para cualquier sistema algebraico existen una serie de postulados iniciales, de aqu se
pueden deducir reglas adicionales, teoremas y otras propiedades del sistema, el
lgebra booleana a menudo emplea los siguientes postulados:
Cerrado. El sistema booleano se considera cerrado con respecto a un operador binario si para cada par de valores booleanos se produce un solo resultado
booleano.
Conmutativo. Se dice que un operador binario " " es conmutativo si A B = B A para todos los posibles valores de A y B.
Asociativo. Se dice que un operador binario " " es asociativo si (A B) C = A (B C) para todos los valores booleanos A, B, y C.
Distributivo. Dos operadores binarios " " y " % " son distributivos si A (B % C) = (A B) % (A C) para todos los valores booleanos A, B, y C.
Identidad. Un valor booleano I se dice que es un elemento de identidad con respecto a un operador binario " " si A I = A.
Inverso. Un valor booleano I es un elemento inverso con respecto a un operador booleano " " si A I = B, y B es diferente de A, es decir, B es el valor opuesto de
A.
Para nuestros propsitos basaremos el lgebra booleana en el siguiente juego de
operadores y valores:
- Los dos posibles valores en el sistema booleano son cero y uno, a menudo llamaremos
a stos valores respectivamente como falso y verdadero.
- El smbolo representa la operacin lgica AND. Cuando se utilicen nombres de
variables de una sola letra se eliminar el smbolo , por lo tanto AB representa la
operacin lgica AND entre las variables A y B, a esto tambin le llamamos el producto
entre A y B.
11 http://www.monografias.com/trabajos14/algebra-booleana/algebra-booleana.shtml (Consultado abril del 2009)
-
47
- El smbolo "+" representa la operacin lgica OR, decimos que A+B es la operacin
lgica OR entre A y B, tambin llamada la suma de A y B.
- El complemento lgico, negacin NOT es un operador unitario, en ste texto
utilizaremos el smbolo " ' " para denotar la negacin lgica, por ejemplo, A' denota la
operacin lgica NOT de A.
- Si varios operadores diferentes aparecen en una sola expresin booleana, el resultado
de la expresin depende de la procedencia de los operadores, la cual es de mayor a
menor, parntesis, operador lgico NOT, operador lgico AND y operador lgico OR.
Tanto el operador lgico AND como el OR son asociativos por la izquierda. Si dos
operadores con la misma procedencia estn adyacentes, entonces se evalan de
izquierda a derecha. El operador lgico NOT es asociativo por la derecha.
Utilizaremos adems los siguientes postulados:
P1 El lgebra booleana es cerrada bajo las operaciones AND, OR y NOT P2 El elemento de identidad con respecto a es uno y con respecto a + es cero.
No existe elemento de identidad para el operador NOT
P3 Los operadores y + son conmutativos. P4 y + son distributivos uno con respecto al otro, esto es, A (B+C) =
(AB)+(AC) y A+ (BC) = (A+B) (A+C).
P5 Para cada valor A existe un valor A' tal que AA' = 0 y A+A' = 1. ste valor es el complemento lgico de A.
P6 y + son ambos asociativos, sto es, (AB) C = A (BC) y (A+B)+C = A+ (B+C).
El algebra Boole es rama de las matemticas con propiedades y reglas similares, aunque
diferentes, al lgebra ordinaria. Es til para la lgica y la teora de conjuntos, pues se
ocupa de proposiciones y sus valores de verdad, en vez de variables, y sus valores
numricos. Formalmente, el lgebra de Boole es un sistema matemtico compuesto por
un conjunto de elementos, llamado normalmente B, junto a dos operaciones binarias, que
se pueden escribir con los smbolos y .
2. Teora de conjunto12
La idea de conjunto se adquiere en los comienzos de la vida, al manifestarse una de las
virtudes primordiales del espritu, la diferenciacin. Se empieza a percibir distintamente
los objetos del mundo exterior, y a tener conciencia de la propia personalidad,
originndose estos conceptos primarios, desarrollaremos aqu, en forma breve y explcita, 12 Ministerio de Educacin, componente lgico matemtico. 2007, Lima - Per
-
48
lo que suele llamarse teora intuitiva de conjunto. Es bueno precisar que George F. L. P. Cantor (Ruso) fue el primero en desarrollar y formalizar la Teora de Conjuntos.
Un conjunto13 es la reunin en un todo de objetos bien definidos y diferenciables entre si, que se llaman elementos del mismo.
Si a es un elemento del conjunto A se denota con la relacin de pertenencia a A. En caso contrario, si a no es un elemento de A se denota a A.
Ejemplos de conjuntos:
o : el conjunto vaco, que carece de elementos. o N: el conjunto de los nmeros naturales. o Z: el conjunto de los nmeros enteros. o Q: el conjunto de los nmeros racionales. o R: el conjunto de los nmeros reales. o C: el conjunto de los nmeros complejos.
3. Un conjunto se define por:
a. Conjunto por Extensin. Un conjunto queda determinado por extensin o enumeracin cuando se nombran
explcitamente a cada uno de sus elementos. Ejemplo: El conjunto formado por los meses del ao. Resolucin.
A ={enero, febrero, marzo, abril, mayo, junio, julio, agosto, septiembre, octubre,
noviembre, diciembre}
Grficamente se tiene:
13 http://wmatem.eis.uva.es/~matpag/CONTENIDOS/Conjuntos/marco_conjuntos.htm (Consultado abril 2009)
.marzo
.enero .febrero
.abril .mayo
.junio .julio .agosto
.septiembre.octubre
.noviembre
.diciembre
A
-
49
Ejercicio personal: Represente grficamente el conjunto de los das de la semana.
Ejemplo: El conjunto formado por los nmeros pares de una cifra. Resolucin.
P= {2; 4; 6; 8}, grficamente se tiene:
Ejercicio personal: Determine y represente al conjunto de los nmeros pares comprendidos entre 5 y 18.
Observacin: En ambos conjuntos se nombran los elementos con detalle.
b. Conjunto por Comprensin.
Un conjunto queda determinado por comprensin o en forma constructiva, cuando se
enuncia una propiedad comn a los elementos del conjunto.
Ejemplo: M = {x/x es un nmero impar positivo menor que 15) N = {x / x es una flor)
Q = {x/x es un nmero racional} T = {x / x es un colegio de Lima)
Observacin: En los conjuntos M, N, Q y T no se observan a los elementos.
Nota: La cantidad de elementos de un conjunto se denota con n(A) y es llamado tambin cardinal de A
4. Relacin de pertenencia(E)
Un elemento pertenece a un conjunto, cuando forma parte, figura en l, o es agregado
de dicho conjunto. La relacin de pertenencia es una correspondencia entre el
elemento y el conjunto, ms no as entre conjuntos.
(Elemento) (Conjunto)
Nota: En caso de no pertenecer se denota.
2.
4. 6.
8.
P
-
50
B
Ejemplo.
Dado el conjunto: J = {Juan, Csar, Marlene, Patricia, Alejandro)
Juan J Patricia J Alejandro J
Carlos J Orlando J Grimaldo J
Ejemplo.
Dado el conjunto P = {x / x es un colegio de La Victoria)
Guadalupe P Vallejo P V. A. Belaunde P
B. Herrera P M. Cabello P Bentn P.
5. Operaciones con conjuntos 14
Unin de conjuntos. La unin de dos conjuntos de dos conjuntos A y B es el conjunto de los elementos que pertenecen al menos a uno de los conjuntos A y B esto es, A B. Esta unin la
simbolizaremos AUB y se escribe:
AUB=
De aqu se tiene que: x (AUB) x A V x B Ejemplo:
Si A = y B =
14 CUROTTO, FELIX y otros. Matemtica Bsica. Universidad Nacional Mayor de San Marcos. Edicin Primera. 1994. Lima. p. 62
X / x A V x B
x
A
a, b, c, d c, d, e, f
-
51
Son dos conjuntos. Hallar AUB.
As: AUB =
Ejemplo:
Si A = y B = . Hallar AUB
Resolucin: AUB = = N
Propiedades:
1. y es nico AUB..p. uniformes 2. AUA =A ..p. idempotencia
3. AU=A ..p. elemento neutro 4. AUB=BUA...p. conmutativa
5. (AUB)UC= AU(BUC).p. asociativa
6. A(AUB), B 7. AB AUB=B 8. Si AUB= A= Y B= 9. Si AB C ; (AUC) (BUC) ..p. monotona 10. AU(BUC)= (AUB)U(AUC).p. distributiva
Interseccin de conjuntos. La interseccin de dos conjuntos A y B es el conjunto de los elementos que
pertenecen tanto al conjunto A como el conjunto B.
AB =
Su negacin; x AB x A V x B
Ejemplo: Sea A = , B= , entonces: AB =
a, b, c, d, e, f
x N / x es par x N / x es impar
x N / x es par V x es impar
X / x A y x B
a, b, c, d c, d, e c, d
c, d
A B
-
52
Sean A = ; B =
Entonces: AB =
Propiedades:
1. y es nico AB..p. uniformes 2. AA =A ..p. idempotencia 3. AU=A ..p. elemento neutro 4. AB=BA...p. conmutativa 5. (AB) C= A (BC).p. asociativa 6. A = 7. Si AB C ; AC B C 8. Si A B AB=A 9. Si AC B D AB C D 10. A(BC)= (AB) (AC).p. distributiva 11. A(BUC)= (AB) U (AC) 12. AU(BC)=(AUB) (AUC)
Conjuntos Disjuntos
Dos conjuntos A y B son disjuntos si A B =
As los conjuntos: A = B=
Son disjuntos; pues AB=
Diferencia de conjuntos.
Dado los conjuntos A y B, llamaremos diferencia entre A y B, al conjunto de todos los
elementos del conjunto A que no estn en B. Se denota como: A B
x/x N 1 x 6 x/x N 4 x 8
x/x N 4 x 6
x N/ x es par x N/ x es impar
AB
-
53
En smbolos se expresa:
B =
Luego A- B es el conjunto caracterizado por la propiedad:
x (A B) x A x B, su negacin ser. x (A B) x A V x B
Ejemplo.
Sean A = y B = dos conjuntos hallar A-B.
As:
A B =
Los elementos de A B estn en A pero no en B.
Ejemplo. Sean los conjuntos:
A = B=
Entonces: A B = = A
Propiedades:
1. y es nico A - B 2. A B A 3. A A = 4. A - = A 5. A-B= A (BC)...p. asociativa 6. A = 7. Si AB C ; AC B C
x/x A x B
A - B x
BA
a, b, c, d c, d, e, f
a, b
x N/ x es par x N/ x es impar
x/ x es par
-
54
8. Si A B AB=A 9. Si AC B D AB C D 10. A(BC)= (AB) (AC).p. distributiva 11. A(BUC)= (AB) U (AC) 12. AU(BC)=(AUB) (AUC)
Complemento de un conjunto: Llamaremos conjunto complementario de un conjunto A y representaremos por Ac
al conjunto diferencia (U-A) siendo U el conjunto universal.
AC= {x: x U x A}
El conjunto complemento de A es el conjunto de los elementos x, que cumplen que, x
pertenece a U, y que, x no pertenece a A.
Por ejemplo, si tenemos que:
U = {1, 2, 3,9, 10} y A = {3, 4, 5, 6} entonces: Ac = {1, 2, 7, 8, 9, 10} Propiedades
1. Uc = y c = U
2. A B = ABc 3. (Ac) c = A Propiedad involutiva 4. AAc = U y AAc = Propiedades de complementariedad 5. (AB) c = AcBc Y (AB) c = AcBc Leyes de Morgan
Nota: Otras notaciones para designar al conjunto complemento pueden ser: A A A
No obstante, alguna de estas notaciones puede llevar a confusin, ya que tambin se
usan para representar otros conceptos.
U
AAC
-
55
Relacin de inclusin (subconjunto)
Intuitivamente el conjunto A esta incluido, esta contenido o es subconjunto de B, cuando todos los elementos de A son tambin elementos del conjunto B y se denota:
A B.
A es subconjunto de B
Ejemplo. El conjunto del distrito de Brea est incluido en el conjunto de provincia de Lima.
Ejemplo.
El conjunto de cuadernos es subconjunto de tiles escolares.
Ejemplo.
Dado el conjunto A = {m, 3) entonces n(A) = 2.
Los subconjuntos son: , {m}, { 3 }, {m, 3), entonces N2 de subconjuntos = 22 Los subconjuntos propios son: , {m}, {3 }.
Brea Prov. Lima
cuadernos
Formalmente: A B x A x B
tiles escolares
A
B
A B
-
56
Ejemplo.
Ejercicio personal: Determinar todos los subconjuntos del conjunto A = {p, 6, h}.
Ejemplo. Dados los conjuntos E y F, determinar el nmero de subconjuntos y describa los
subconjuntos binarios y ternarios de cada uno de ellos.
E = {3, 5, 7, 9) F = {6, 8, 10, 12, 14)
6. Diagrama de VENN EULER
El matemtico Suizo Leonhard Euler utilizaba crculos slo para representar proposiciones, exhibindose las relaciones de inclusin y exclusin relativas a las
clases (conjuntos).
Al lgico y matemtico del siglo pasado John Venn se debe un mtodo intuitivo para
decidir la validez de argumentos del tipo del silogismo. Aunque este mtodo desde el
punto de vista lgico es limitado, es mucho ms simple y ms potente que las
numerosas y tediosas reglas que formul Aristteles con el mismo fin. La superioridad
de los llamados Diagramas de Venn en simplicidad y claridad se debe en gran medida,
a la incorporacin de mtodos de algebra de conjuntos a la lgica, que es una de las
notas ms saltantes de los desarrollados modernos de esta disciplina.
El mtodo de Venn consiste bsicamente en representar los trminos de las inferencias
mediante crculos. Se postula que uno de tales crculos encierra al conjunto de
individuos que tienen la propiedad denotada por un trmino dado. Esta postulacin
resulta correcta porque uno de los axiomas de la teora de conjuntos, el de
comprehensin, afirma que una propiedad determina inequvocamente un conjunto.
Ejemplo.
En conclusin: Si el conjunto A tiene n elementos entonces tiene 2n subconjuntos, de los cuales son subconjuntos propios 2n - 1.
A
E
-
57
Las ideas de conjunto, subconjunto, relaciones, operaciones, etc. Se ilustran mediante
los llamados diagramas de Venn. El fue quien ilustr al conjunto universal (U), mediante
un rectngulo, usando regiones planas limitadas por curvas cerradas (elipses, crculos
etc., generalmente) que se usan para representar a los conjuntos que intervienen en la
relacin de clases.
Ejemplo.
Los elementos de A estn dentro de
la elipse y los que no estn en A (Ac)
estn fuera de la elipse.
Ejemplo.
Regin (1): Son los elementos que no estn en A ni en B. Regin (2): Son los elementos que pertenecen slo a A. Regin (3): Son los elementos comunes de A y B. Regin (4): Son los elementos que pertenecen slo a B.
Significa que todos los elementos de A son tambin de B.
A E
U
A AC
1
2 3 4
Significa que A y B no tienen elementos comunes.
-
58
Ejemplo con el diagrama de Venn-Euler15.
Cuntas personas no tomaban ni t ni caf? Debe interpretarse el lenguaje coloquial en
que se habla y no una doble negacin lgica.
En el diagrama que colocamos a continuacin, se han volcado los datos obtenidos en
una encuesta, realizada a personas, donde se les pregunt si tomaban t o caf. Los
nmeros que aparecen se refieren a las cantidades de personas que respondieron a la
pregunta en las diversas formas posibles: solamente t, t y caf, ninguna de las dos
bebidas, etc.
Resolucin:
En base a estos datos responderemos a las siguientes preguntas:
Cuntas personas tomaban t?
Respuesta: 6 personas.
a. Cuntas personas tomaban caf?
Respuesta: 9 personas.
b. Cuntas personas tomaban t y caf?
Respuesta: 4 personas.
c. Cuntas personas no tomaban ninguna de las dos bebidas?
Respuesta: 1 persona.
d. Cuntas personas no tomaban t?
Respuesta: 6 personas.
e. Cuntas personas no tomaban caf?
Respuesta: 3 personas.
f