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Logik fr Informatiker

Wintersemester 2007/08

Thomas Schwentick

1. Einleitung

Version von: 22. Oktober 2007(09:03)

Inhalt

1.1 Einleitende Beispiele

1.2 Logik und Mathematik

1.3 Logik und Informatik

1.4 Inhalt dieser Vorlesung

1.5 Literatur

1.6 Organisatorisches

Logik fr Inf. / Schwentick / WiSe 07/08 1. Einleitung Folie 1

Ein Affe, ein Stuhl und einige Bananen

Ein Affe ist in einem Raum eingeschlossen

An der Decke hngt eine Bananenstaude

Es steht ein Stuhl im Raum

Kann der Affe die Bananen erreichen?

Logik fr Inf. / Schwentick / WiSe 07/08 1. Einleitung Folie 2

Was wir wissen

Nehmen wir an, wir wissen das Folgende ber Tiere, Affen,Bananen Gegenstnde usw.:

(1) Ein Tier, das Arme hat und nahe bei einem Ding ist, kann diesesDing erreichen

(2) Ein Tier auf einem hohen Gegenstand, der unter den Bananensteht, ist nahe bei den Bananen

(3) Wenn ein Tier einen Gegenstand zu einem Ding schiebt, undbeide sind im Raum, dann ist das Ding nahe am Boden oder derGegenstand ist unter dem Ding

(4) Wenn ein Tier einen Gegenstand ersteigt, ist es auf demGegenstand

(5) Der Affe ist ein Tier, das Arme hat

(6) Der Stuhl ist ein hoher Gegenstand

(7) Der Affe, der Stuhl, die Bananen sind im Raum

(8) Der Affe kann den Stuhl unter die Bananen schieben

(9) Die Bananen sind nicht nahe am Boden

(10) Der Affe kann den Stuhl ersteigen

Gilt dann auch: (11) Der Affe kann die Bananen erreichen ?

Logik fr Inf. / Schwentick / WiSe 07/08 1. Einleitung Folie 3

Folgt (11) aus (1) - (10)?

Es erscheint mglich, dass die Frage durch logischeSchlsse aus den Aussagen (1) - (10) beantwortetwerden kann

Wir gehen systematisch in vier Schritten vor:I. Begriffe Formalisieren: wir bertragen die

vorkommenden Begriffe in die Sprache derMathematik

II. Aussagen Formalisieren: wir bertragen dievorkommenden Aussagen in die Sprache derMathematik

III. Schlussweisen Formalisieren: wir legen fest,welche Arten von Schlssen wir ziehen drfen

IV. Schlussweisen Anwenden: Wir wendenerlaubte Schlussweisen (III) auf die formalisiertenAussagen (1-10) an, um (11) zu herzuleiten

Warnung: Eine exakte Definition der im Folgendenverwendeten Begriffe erfolgt erst in den spterenKapiteln

Hier geht es nur ums PrinzipLogik fr Inf. / Schwentick / WiSe 07/08 1. Einleitung Folie 4

Schritt I: Begriffe Formalisieren

formal umgangssprachlich

Erreichen(x, y) x kann y erreichen

Arme(x) x hat Arme

Nah(x, y) x kann nahe bei y sein

Auf(x, y) x kann auf y sein

Unter(x, y) x kann unter y sein

Hoch(x) x ist hoch

In(x) x ist im Raum

Schieben(x, y, z) x kann y zu z schieben

Steigen(x, y) x kann auf y steigen

A B A und B

A B wenn A dann B

A B A oder B

A nicht A

x . . . fr alle x gilt...

Logik fr Inf. / Schwentick / WiSe 07/08 1. Einleitung Folie 5

Schritt II: Aussagen Formalisieren(1) Ein Tier, das Arme hat und nahe bei einem

Ding ist, kann dieses Ding erreichen(2) Ein Tier auf einem hohen Gegenstand, der

unter den Bananen steht, ist nahe bei denBananen

(3) Wenn ein Tier einen Gegenstand zu einemDing schiebt, und beide sind im Raum, dannist das Ding nahe am Boden oder derGegenstand ist unter dem Ding

(4) Wenn ein Tier einen Gegenstand ersteigt, istes auf dem Gegenstand

(5) Der Affe ist ein Tier, das Arme hat(6) Der Stuhl ist ein hoher Gegenstand(7) Der Affe, der Stuhl, die Bananen sind im

Raum(8) Der Affe kann den Stuhl unter die Bananen

schieben(9) Die Bananen sind nicht nahe am Boden

(10) Der Affe kann den Stuhl ersteigen

(11) Der Affe kann die Bananen erreichen

(1) x, y (Arme(x) Nah(x, y)) Erreichen(x, y)

(2) x, y (Auf(x, y)Unter(y, Bananen) Hoch(y))

Nah(x, Bananen)

(3) x, y, z (In(x) In(y) In(z)Schieben(x, y, z))

(Nah(z, Boden) Unter(y, z))

(4) x, y Steigen(x, y) Auf(x, y)

(5) Arme(Affe)

(6) Hoch(Stuhl)

(7) In(Affe) In(Bananen) In(Stuhl)

(8) Schieben(Affe, Stuhl, Bananen)

(9) Nah(Bananen, Boden)

(10) Steigen(Affe, Stuhl)

(11) Erreichen(Affe, Bananen)

Logik fr Inf. / Schwentick / WiSe 07/08 1. Einleitung Folie 6

Schritt III: Schlussweisen Formalisieren

(A) Aus B1 und (B1 Bn) C folgt(B2 Bn) C

(B) Aus B und B C folgt C

(C) Aus C1 und C1 Cn folgtC2 Cn

(D) Aus x F (x) folgt F (a) fr jedes Objekt a und

jede Formel F

Logik fr Inf. / Schwentick / WiSe 07/08 1. Einleitung Folie 7

Schritt IV: Schlussweisen Anwenden

(1) x, y (Arme(x) Nah(x, y)) Erreichen(x, y)

(2) x, y (Auf(x, y)Unter(y, Bananen) Hoch(y))

Nah(x, Bananen)

(3) x, y, z (In(x) In(y) In(z)Schieben(x, y, z))

(Nah(z, Boden) Unter(y, z))

(4) x, y Steigen(x, y) Auf(x, y)

(5) Arme(Affe)

(6) Hoch(Stuhl)

(7) In(Affe) In(Bananen) In(Stuhl)

(8) Schieben(Affe, Stuhl, Bananen)

(9) Nah(Bananen, Boden)

(10) Steigen(Affe, Stuhl)

(11) Erreichen(Affe, Bananen)

Mehrmaliges Anwenden von (D) auf (3)liefert: (12)(In(Affe) In(Bananen) In(Stuhl)Schieben(Affe, Stuhl, Bananen)) (Nah(Bananen, Boden)

Unter(Stuhl, Bananen)) (Mehrfache) Anwendung von (A),(B) auf (12)

mit (3),(7),(8) ergibt: (13)(13) (Nah(Bananen, Boden)

Unter(Stuhl, Bananen)) Anwendung von (C) auf (13) und (9) ergibt:

(14) Unter(Stuhl, Bananen) Zweifache Anwendung von (D) auf (4) ergibt:

(15) Steigen(Affe, Stuhl) Auf(Affe, Stuhl) Anwendung von (B) auf (15) und (10) ergibt:

(16) Auf(Affe, Stuhl) Analog liefert Anwendung von (D) auf (2)

und dann (A) und (B) mit (6), (14), (16):(17) Nah(Affe, Bananen)

Dann Anwendung von (D) auf (1) und (A),(B)mit (5),(17): Erreichen(Affe, Bananen)

Logik fr Inf. / Schwentick / WiSe 07/08 1. Einleitung Folie 8

Ein Beispiel aus der Mathematik

Die Gruppentheorie beschftigt sich mitStrukturen mit einer Verknpfung undeinem ausgezeichneten Einselement e

Dabei mssen die folgenden Axiome gelten:(G1) fr alle x, y, z:

(x y) z = x (y z)(G2) fr alle x: x e = x(G3) fr alle x gibt es y: x y = e

Eine Gruppe G = (UG, G, eG)besteht aus

Menge UG

Verknpfung G auf G

ausgezeichnetem Element eG

Satz

Ist G Gruppe, so gibt es fr jedes Elementx UG ein Element y UG mity x = e

Beweis

Sei x UG

Wegen (G3) gibt es ein y UG mit(1) x y = e

Ebenfalls wegen (G3) gibt es ein z UG

mit(2) y z = e

Dann gilt:y x = (y x) e (G2)

= (y x) (y z) (2)

= y (x (y z)) (G1)

= y ((x y) z) (G1)

= y (e z) (1)

= (y e) z (G1)

= y z (G2)

= e (2)

Logik fr Inf. / Schwentick / WiSe 07/08 1. Einleitung Folie 9

Gemeinsamkeiten der beiden Beispiele

Formalisierte Begriffe

Formalisierte Aussagen

Formalisierte Schlussweisen, die reinsyntaktisch Aussagen in neue Aussagenumwandeln

Die Formalisierung von Begriffen, Aussagenund Schlussweisen ermglicht es, neuesWissen aus gegebenem Wissen durch reinsyntaktisches Schlieen zu gewinnen

Das ist sowohl fr die Mathematik als auchfr die Informatik sehr interessant

Schauen wir uns den Zusammenhangzwischen syntaktischem Schlieen undinhaltlichem (semantischen) Folgern etwasabstrakter an

Formelmenge F , Formel F

Semantisch Folgern : F |= F

Aus F folgt F In allen Situationen, in denen F gilt, gilt

auch F

Syntaktisch Schlieen : F ` F F ist aus F beweisbar F kann durch Anwendung von

Schlussregeln schrittweise aus Fabgeleitet werden

abhngig von Beweissystem(Mindestforderung: Beweissysteme

korrekt)

Typische Fragen:

Gilt F |= F = F ` F ?(Wunsch: Beweissysteme vollstndig)

Lsst sich berechnen, ob F |= F gilt?

Falls F |= F , wie lsst sich ein Beweiskonstruieren?

Logik fr Inf. / Schwentick / WiSe 07/08 1. Einleitung Folie 10

Inhalt

1.1 Einleitende Beispiele

1.2 Logik und Mathematik

1.3 Logik und Informatik

1.4 Inhalt dieser Vorlesung

1.5 Literatur

1.6 Organisatorisches

Logik fr Inf. / Schwentick / WiSe 07/08 1. Einleitung Folie 11

Logik als Fundament der Mathematik

David HilbertZiel: Formale Grundlegung der MathematikMittel: Mathematische Logik

Mathematische Strukturen als logischeStrukturen

Mathematische Aussagen als logischeFormeln

Mathematische Beweise durchsyntaktisches Schlieen(Symbolmanipulation: Axiome &Schlussregeln)

Ansatz: Rckfhrung der Mathematik aufArithmetik (N, +, ) und Mengenlehre

Beispiel

Principia Mathematica:

Logik fr Inf. / Schwentick / WiSe 07/08 1. Einleitung Folie 12

Hilberts Programm (ca. 1900-1928)

Zwei Kernfragen:(1) Kann jede mathematische Aussage

durch mathematisches Schlieenbewiesen oder widerlegt werden?

(2) Gibt es ein Verfahren, das zu jedermathematischen Aussage automatischentscheidet, ob sie wahr oder falschist?

Es gilt: (1) (2)

Eine quivalente Formulierung diesesEntscheidungsproblems (2) ist dasAllgemeingltigkeitsproblem derPrdikatenlogik:

Definition

Gegeben: Formel

Frage: Gilt fr alle Modelle M:M |= ?

Beispiel

Sei die Formel

x yz y > x z = y + 2uv u v = y (u = 1 v = 1)

u v = z (u

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