logik, mengen, relationen

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Der Titel sagt alles. Aussagenlogik, Prädikatenlogik, Mengen und Relationen im Schnelldurchlauf für den eiligen Lerner

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  • 1. Methodenlehre Logik, Mengen, Relationen Klaus Frieler Musikwissenschaftliches Institut Universitt Hamburg17.11.2009

2. Aussagenlogik Die Aussagenlogik beschreibt die Wahrheitsfunktionen von zusammengesetzten Aussagen Die Aussagenlogik sagt nichts ber die Wahrheit atomarer Aussagen. Atomare Aussagen knnen durch Junktoren (=Verbindern) zu neuen Aussagen verbunden werden Die klassische Aussagenlogik geht von zwei mglichen Wahrheitswerten aus: Wahr (true, T, W, 1) oder Falsch (false, F, 0) (Zweiwertigkeit) Menge der Wahrheitswerte = {W , F } 3. Aussagenlogik Die Aussagenlogik beschreibt die Wahrheitsfunktionen von zusammengesetzten Aussagen Die Aussagenlogik sagt nichts ber die Wahrheit atomarer Aussagen. Atomare Aussagen knnen durch Junktoren (=Verbindern) zu neuen Aussagen verbunden werden Die klassische Aussagenlogik geht von zwei mglichen Wahrheitswerten aus: Wahr (true, T, W, 1) oder Falsch (false, F, 0) (Zweiwertigkeit) Menge der Wahrheitswerte = {W , F } 4. Aussagenlogik Die Aussagenlogik beschreibt die Wahrheitsfunktionen von zusammengesetzten Aussagen Die Aussagenlogik sagt nichts ber die Wahrheit atomarer Aussagen. Atomare Aussagen knnen durch Junktoren (=Verbindern) zu neuen Aussagen verbunden werden Die klassische Aussagenlogik geht von zwei mglichen Wahrheitswerten aus: Wahr (true, T, W, 1) oder Falsch (false, F, 0) (Zweiwertigkeit) Menge der Wahrheitswerte = {W , F } 5. Aussagenlogik Die Aussagenlogik beschreibt die Wahrheitsfunktionen von zusammengesetzten Aussagen Die Aussagenlogik sagt nichts ber die Wahrheit atomarer Aussagen. Atomare Aussagen knnen durch Junktoren (=Verbindern) zu neuen Aussagen verbunden werden Die klassische Aussagenlogik geht von zwei mglichen Wahrheitswerten aus: Wahr (true, T, W, 1) oder Falsch (false, F, 0) (Zweiwertigkeit) Menge der Wahrheitswerte = {W , F } 6. Aussagenlogik Die Aussagenlogik beschreibt die Wahrheitsfunktionen von zusammengesetzten Aussagen Die Aussagenlogik sagt nichts ber die Wahrheit atomarer Aussagen. Atomare Aussagen knnen durch Junktoren (=Verbindern) zu neuen Aussagen verbunden werden Die klassische Aussagenlogik geht von zwei mglichen Wahrheitswerten aus: Wahr (true, T, W, 1) oder Falsch (false, F, 0) (Zweiwertigkeit) Menge der Wahrheitswerte = {W , F } 7. Aussagenlogik Die klassische Aussagenlogik besitzt 5 klassische Junktoren Negation, Konjunktion, Disjunktion, materiale Implikation (Subjunktion, Konditional), Bikonditional Junktoren sind einstellige (Negation) oder zweistellige Funktionen der Wahrheitswerte in die Wahrheitswerte f1 : f2 : Traditionell und am einfachsten durch Wahrheitstafeln darstellt 8. Aussagenlogik Die klassische Aussagenlogik besitzt 5 klassische Junktoren Negation, Konjunktion, Disjunktion, materiale Implikation (Subjunktion, Konditional), Bikonditional Junktoren sind einstellige (Negation) oder zweistellige Funktionen der Wahrheitswerte in die Wahrheitswerte f1 : f2 : Traditionell und am einfachsten durch Wahrheitstafeln darstellt 9. Aussagenlogik Die klassische Aussagenlogik besitzt 5 klassische Junktoren Negation, Konjunktion, Disjunktion, materiale Implikation (Subjunktion, Konditional), Bikonditional Junktoren sind einstellige (Negation) oder zweistellige Funktionen der Wahrheitswerte in die Wahrheitswerte f1 : f2 : Traditionell und am einfachsten durch Wahrheitstafeln darstellt 10. Aussagenlogik Der Wahrheitswert (P) von zusammengesetztenAussagen ergibt sich aus den Wahrheitswerten derEinzelaussagen und den Funktionswerten der beteiligtenJunktoren (Extensionalitt) Zwei Aussagen P, Q heien quivalent (P Q, P = Q),wenn sie bei jeder Interpretation denselben Wahrheitswertergeben 11. Aussagenlogik Der Wahrheitswert (P) von zusammengesetztenAussagen ergibt sich aus den Wahrheitswerten derEinzelaussagen und den Funktionswerten der beteiligtenJunktoren (Extensionalitt) Zwei Aussagen P, Q heien quivalent (P Q, P = Q),wenn sie bei jeder Interpretation denselben Wahrheitswertergeben 12. Aussagenlogik Negation (P): Umkehrung des WahrheitswertesW= FF = W Idempotent: P = P Beispiel: P = 2147483647 ist eine Primzahl, P = 2147483647 ist keine Primzahl 13. Aussagenlogik Negation (P): Umkehrung des WahrheitswertesW= FF = W Idempotent: P = P Beispiel: P = 2147483647 ist eine Primzahl, P = 2147483647 ist keine Primzahl 14. Aussagenlogik Negation (P): Umkehrung des WahrheitswertesW= FF = W Idempotent: P = P Beispiel: P = 2147483647 ist eine Primzahl, P = 2147483647 ist keine Primzahl 15. Aussagenlogik Konjunktion (P Q): Umgangsprachlich und. Wahr, wenn beide Aussagen wahr sind W F W W FF F F Kommutativ und Assoziativ: P Q = Q P, (P Q) R = P (Q R) Beispiel: P = 4 ist eine gerade Zahl (W), Q =4 ist eine Primzahl (F), P Q = 4 ist eine gerade Primzahl (F) 16. Aussagenlogik Konjunktion (P Q): Umgangsprachlich und. Wahr, wenn beide Aussagen wahr sind W F W W FF F F Kommutativ und Assoziativ: P Q = Q P, (P Q) R = P (Q R) Beispiel: P = 4 ist eine gerade Zahl (W), Q =4 ist eine Primzahl (F), P Q = 4 ist eine gerade Primzahl (F) 17. Aussagenlogik Konjunktion (P Q): Umgangsprachlich und. Wahr, wenn beide Aussagen wahr sind W F W W FF F F Kommutativ und Assoziativ: P Q = Q P, (P Q) R = P (Q R) Beispiel: P = 4 ist eine gerade Zahl (W), Q =4 ist eine Primzahl (F), P Q = 4 ist eine gerade Primzahl (F) 18. Aussagenlogik Disjunktion (P Q): Umgangsprachlich oder. Wahr, wenn mindesten eine der Aussagen wahr ist (nicht entweder- oder!) W F W W W F W F Kommutativ und Assoziativ: P Q = Q P, (P Q) R = P (Q R) Beispiel: P = 4 ist eine gerade Zahl (W), Q =4 ist eine Primzahl (F), P Q = 4 ist eine Primzahl oder 4 ist gerade (W) 19. Aussagenlogik Disjunktion (P Q): Umgangsprachlich oder. Wahr, wenn mindesten eine der Aussagen wahr ist (nicht entweder- oder!) W F W W W F W F Kommutativ und Assoziativ: P Q = Q P, (P Q) R = P (Q R) Beispiel: P = 4 ist eine gerade Zahl (W), Q =4 ist eine Primzahl (F), P Q = 4 ist eine Primzahl oder 4 ist gerade (W) 20. Aussagenlogik Disjunktion (P Q): Umgangsprachlich oder. Wahr, wenn mindesten eine der Aussagen wahr ist (nicht entweder- oder!) W F W W W F W F Kommutativ und Assoziativ: P Q = Q P, (P Q) R = P (Q R) Beispiel: P = 4 ist eine gerade Zahl (W), Q =4 ist eine Primzahl (F), P Q = 4 ist eine Primzahl oder 4 ist gerade (W) 21. Aussagenlogik Konditional, materiale Implikation (P Q): Umgangsprachlich (schon) wenn - dann. Falsch, wenn aus einer wahren Aussagen etwas Falsches folgt.PQ PQWWWWFFFWWex falso sequitur quodlibetFFWex falso sequitur quodlibet Nicht assoziativ, nicht kommutativ. Beispiel: P = Es regnet, Q =Die Strae ist nass, P Q = Wenn es regnet, dann ist die Strae nass 22. Aussagenlogik Konditional, materiale Implikation (P Q): Umgangsprachlich (schon) wenn - dann. Falsch, wenn aus einer wahren Aussagen etwas Falsches folgt.PQ PQWWWWFFFWWex falso sequitur quodlibetFFWex falso sequitur quodlibet Nicht assoziativ, nicht kommutativ. Beispiel: P = Es regnet, Q =Die Strae ist nass, P Q = Wenn es regnet, dann ist die Strae nass 23. Aussagenlogik Konditional, materiale Implikation (P Q): Umgangsprachlich (schon) wenn - dann. Falsch, wenn aus einer wahren Aussagen etwas Falsches folgt.PQ PQWWWWFFFWWex falso sequitur quodlibetFFWex falso sequitur quodlibet Nicht assoziativ, nicht kommutativ. Beispiel: P = Es regnet, Q =Die Strae ist nass, P Q = Wenn es regnet, dann ist die Strae nass 24. Aussagenlogik Bikonditional (P Q): Umgangsprachlich genau wenn - dann. P Q P Q Q P PQPQWW WWF FFW FFF W Kommutativ und assoziativ Beispiel: P = x besitzt nur sich selbst und 1 als Teiler, Q =x ist eine Primzahl, P Q = x ist genau dann eine Primzahl, wenn es nur sich selbst und 1 als Teiler besitzt 25. Aussagenlogik Bikonditional (P Q): Umgangsprachlich genau wenn - dann. P Q P Q Q P PQPQWW WWF FFW FFF W Kommutativ und assoziativ Beispiel: P = x besitzt nur sich selbst und 1 als Teiler, Q =x ist eine Primzahl, P Q = x ist genau dann eine Primzahl, wenn es nur sich selbst und 1 als Teiler besitzt 26. Aussagenlogik Bikonditional (P Q): Umgangsprachlich genau wenn - dann. P Q P Q Q P PQPQWW WWF FFW FFF W Kommutativ und assoziativ Beispiel: P = x besitzt nur sich selbst und 1 als Teiler, Q =x ist eine Primzahl, P Q = x ist genau dann eine Primzahl, wenn es nur sich selbst und 1 als Teiler besitzt 27. Aussagenlogik Tautologie: Logische Form, die immer Wahr ist, unabhngig vom Wahrheitswert der Aussagen, z. B. P P (Satz vom ausgeschlossenen Dritten, tertium non datur )P P P P WF W F WW 28. Aussagenlogik Widerspruch: Logische Form, die immer Falsch ist, unabhngig vom Wahrheitswert der Aussagen, z. B. P P (Verneinung des Satz vom Widerspruch)PP P P W FF FW F Paradoxon: Logische Form, der kein (sinnvoller) Wahrheitswert zugeordnet werden kann (in der einfachen klassischen Aussagenlogik nicht mglich, da dort jeder Satz einen Wahrheitswert haben muss. Erscheint bei Selbstreferentialitt, z. B. in der Prdikatenlogik 2. Stufe) 29. Aussagenlogik Widerspruch: Logische Form, die immer Falsch ist, unabhngig vom Wahrheitswert der Aussagen, z. B. P P (Verneinung des Satz vom Widerspruch)PP P P W FF FW F Paradoxon: Logische Form, der kein (sinnvoller) Wahrheitswert zugeordnet werden kann (in der einfachen klassischen Aussagenlogik nicht mglich, da dort jeder Satz einen Wahrheitswert haben muss. Erscheint bei Selbstreferentialitt, z. B. in der Prdikatenlogik 2. Stufe) 30. Aussagenlogik Es gelten die de Morganschen Gesetze (P Q) = (P Q)(P Q) = (P Q) Distributivgesetze(P Q) R = (P R) (Q R) (P Q) R = (P R) (Q R) Absorptionsgesetze P (P Q) = PP (P Q) = P 31. Aussagenlogik Es gelten die de Morganschen Gesetze (P Q) = (P Q)(P Q) = (P Q) Distributivgesetze(P Q) R = (P R) (Q R) (P Q) R = (P R) (Q R) Absorptionsgesetz

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