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<>-+ Logique linéaire et complexité polynomiale Patrick Baillot CNRS-Laboratoire d’Informatique de Paris-Nord [email protected] 2/2/2005 MPRI : LL et paradigmes logiques du calcul Logique lin ´ eaire et complexit ´ e polynomiale – p.1/30

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Logique linéaire et complexité polynomiale

Patrick Baillot

CNRS-Laboratoire d’Informatique de Paris-Nord

[email protected]

2/2/2005

MPRI : LL et paradigmes logiques du calcul

Logique lineaire et complexite polynomiale – p.1/30

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Introduction

la LL est née de la décomposition de ⇒ en ( et ! :

analyse.

un statut logique est ainsi donné à la duplication d’argument

−→ synthèse: moduler les règles du ! pour avoir une discipline plusstricte:duplication modérée et via élimination des coupures caractériserclasses de complexité.

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Introduction (2)

pourquoi faire ...?

un modèle logique, implicite, structuré, de caractérisation de lacomplexité, alternatif aux machines de Turing, circuits booléns. . .

étendre la correspondance de Curry-Howard à Ptime et auxclasses de complexité, avec tous les bénéfices associés:

langage de programmation ptime, ou types pour la vérificationde complexité

systèmes pour preuves de terminaison ptime

sémantique: compréhension mathématique du calcul ptime:catégories, jeux ?

Logique lineaire et complexite polynomiale – p.3/30

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Plan du cours

1. Logique linéaire élémentaire (ELL) et complexité élémentairementrécursive:un premier pas, un système simple . . .

2. Logique linéaire light (LLL) et complexité Ptime:la complexité Ptime, via les réseaux de preuves.

3. types light simplifiés (DLAL):la complexité Ptime, dans le λ-calcul.

4. conclusion et directions

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Logique linéaire élémentaire (ELL)

correspond aux fonctions élémentairement récursives : temps

22...

2n

, à hauteur fixée. . .

des applications en réduction optimale: simplification del’algorithme,

GoI/ algèbre dynamique plus simples.

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ELL : définition

on considère ici la version intuitionniste, du 2nd ordre (à la système F).le langage de formules est celui de ILL (sans additifs)

A, B ::= α | A ( B | A ⊗ B | !A | ∀α.A

on enlève une règle: déreliction,

et on remplace la promotion par une version (multi-)fonctorielle:

B1, . . . , Bn ` A

!B1, . . . , !Bn ` !A

les autres règles sont inchangées.

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ELL : remarques

les principes !A ( A (déreliction) et !A ( !!A (digging) ne sontpas valides dans ELL;

contrairement à ILL/CLL : un nombre infini de modalités (suites de!, ?) à équivalence près;

traduction ELL → ILL, compatible avec élimination descoupures (simulation de ELL vers ILL);

pour avoir plus de souplesse, on peut ajouter l’affaiblissementgénéral : logique affine élémentaire (EAL);

pour l’intuition calculatoire : on peut voir ELL/EAL comme unsystème de types pour le λ-calcul.

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EAL et λ-calcul

x :A ` x :AId

Γ1 ` u :A x :A, Γ2 ` t :C

Γ1, Γ2 ` t[u/x] :CCut

Γ1 ` u :A1 x :A2, Γ2 ` t :C

Γ1, y :A1 −◦ A2, Γ2 ` t[(y)u/x] :C−◦l

x :A1, Γ ` t :A2

Γ ` λx.t :A1 −◦ A2

−◦r

x :A[B/α], Γ ` t :C

x :∀α.A, Γ ` t :C∀l

Γ ` t :AΓ ` t :∀α.A

∀r (α non libre dans Γ)

Γ ` t :C∆, Γ ` t :C

Weakx : !A, y : !A,Γ ` t :C

z : !A,Γ ` t[z/x, z/y] :CCntr

Γ ` t :A!Γ ` t : !A

!r

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Types de données EAL

entiers unaires

système F: ILL: EAL:

NF NEAL

∀α.(α → α) → (α → α) ∀α.!(α ( α) ( (α ( α) ∀α.!(α ( α) ( !(α ( α)

Exemple: 2, dans F:

2 = λf : (α → α).λx : α.(f)(f)x .

listes binaires

système F: EAL:

W F W EAL

∀α.(α → α) → (α → α) → (α → α) ∀α.!(α ( α) ( !(α ( α) ( !(α ( α)

Exemple: w = [1, 0, 0], dans F:

w = λz : (α → α).λu : (α → α).λx : α.(u)(z)(z)x .

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Élimination des coupures

réduction dans les réseaux : cas boîte-boîte= fusion

Proposition 1 (simulation ELL-Λ) Si R est un réseau ELLcorrespondant à une preuve de conclusion Γ ` t : A et si R → R′ parréduction, alors R′ correspond à une preuve de conclusion Γ ` t′ : A,

avec tβ?−→ t′.

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Élimination des coupures (suite)

R réseau ELL. e arête de R.profondeur de e, d(e): nombre de boîtes qui contiennent e.profondeur de R, d(R): maximum des profondeurs de ses arêtes.taille de R, |R|: nombre de noeuds de R.

Proposition 2 (Stratification) La profondeur d’une arête d’un réseauELL ne change pas après une étape de réduction.

Noter que ceci n’est pas vrai dans LL: la profondeur peut diminuer

(étape déreliction) ou augmenter (étape boîte-boîte).

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Borne de complexité sur la réduction

Theorem 3 Si R est un réseau de ELL, alors la réduction de R en saforme normale peut être faite en un nombre d’étapes inférieur à

22...

2O(n)

, où n = |R| et la hauteur est 2d(R).

Remarques:

hauteur de la tour ne dépend que de la profondeur, et pas de lataille;

aucune référence aux formules apparaissant sur le réseau;

cette borne est obtenue en appliquant une stratégie par niveaux.

exercice: mq si R est normal jusqu’à profondeur i (pas de coupure),

alors l’élimination d’une coupure à profondeur i + 1 n’introduit pas de

nouvelle coupure à profondeur j ≤ i.

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Représentation de fonctions

Π preuve de x : !kN ` t : !lN , où !kA = ! . . . !A.on dit que π représente la fonction f : N → N si: pour tout entier n lapreuve obtenue en coupant ` n : !kN avec Π se réduit en ` n′ : !lN , oùn′ = f(n).

Definition 1 une fonction f est élémentairement récursive s’il existeun entier h et une machine de Turing M qui calcule f en un temps

majoré par 22...

2n

, de hauteur h.

Theorem 4 les fonctions représentables dans EAL sont exactementles fonctions élémentairement récursives.

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Réduire la complexité ?

comment passer de EAL à une complexité polynomiale ?

essayons de limiter la propagation des contractions. . .

idée: on va distinguer dans les réseaux entre

des boîtes non dupliquables,

des boîtes dupliquables, mais à 1 seule entrée.

pour cela on considère une nouvelle modalité: §.

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Logique linéaire light (LLL)

langage de formules

A, B ::= α | A ( B | A ⊗ B | !A | §A | ∀α.A

règles:B ` A!B `!A

` A`!A

Γ, ∆ ` A

!Γ, §∆ ` §A

les autres règles sont inchangées.

on considérera la version affine : light affine logic (LAL);

comme pour EAL on utilisera LAL comme un système de typespour le λ-calcul.

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LAL: remarques

la règle § peut être vue comme une sorte de déreliction multiple,avec un marqueur §;

d’un point de vue typage: !A sous-type de §A;

d’un point de vue sémantique:!, § sont des foncteurs, et on a les principes!A ( (!A ⊗ !A)

!A ( §A §A ⊗ §B ( §(A ⊗ B)

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LAL et λ-calcul

x :A ` x :AId

Γ1 ` u :A x :A, Γ2 ` t :C

Γ1, Γ2 ` t[u/x] :CCut

Γ1 ` u :A1 x :A2, Γ2 ` t :C

Γ1, y :A1 −◦ A2, Γ2 ` t[(y)u/x] :C−◦l

x :A1, Γ ` t :A2

Γ ` λx.t :A1 −◦ A2

−◦r

x :A[B/α], Γ ` t :C

x :∀α.A, Γ ` t :C∀l

Γ ` t :AΓ ` t :∀α.A

∀r (α non libre dans Γ)

Γ ` t :C∆, Γ ` t :C

Weakx : !A, y : !A,Γ ` t :C

z : !A,Γ ` t[z/x, z/y] :CCntr

x :B ` t :Ax : !B ` t :!A

!r` t :A` t :!A

!r

Γ, ∆ ` t :A

!Γ, §∆ ` t :§A§r

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Traduction LAL -> EAL

traduction (.)o : LAL −→ EAL:

(!A)o = (§A)o = !Ao,

(.)o commute aux autres connecteurs.

Ceci donne une traduction des preuves LAL vers les preuves EAL.En fait il s’agit même d’une simulation.Bien sûr, toutes les preuves EAL ne sont pas dans l’image de (.)o.

exercice: mq toute preuve EAL sans coupure est l’image d’une preuveLAL par (.)o.

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Types de données LAL

entiers unaires

EAL: LAL:

NEAL NLAL

∀α.!(α ( α) ( !(α ( α), ∀α.!(α ( α) ( §(α ( α) .

listes binaires

EAL: LAL

W EAL W LAL

∀α.!(α ( α) ( !(α ( α) ( !(α ( α), ∀α.!(α ( α) ( !(α ( α) ( §(α ( α) .

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Élimination des coupures (LLL)

réduction des réseaux: similaire à ELL.

Proposition 5 (simulation LLL-Λ) Si R est un réseau LLLcorrespondant à une preuve de conclusion Γ ` t : A et si R → R′ parréduction, alors R′ correspond à une preuve de conclusion Γ ` t′ : A,

avec tβ?−→ t′.

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Borne de complexité sur la réduction

Comme les réseaux ELL, les réseaux LLL vérifient la ppté destratification.

Theorem 6 Si R est un réseau de LLL, alors la réduction de R en saforme normale peut être faite en un nombre d’étapes en O(n2

d+1

), oùn = |R| et d = d(R).

Remarques:

si la profondeur est fixée, alors le nombre d’étapes est polynomialen |R| ;

cette borne est obtenue avec une stratégie par niveaux.

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Représentation de fonctions

pour le calcul Ptime le choix de la représentation des données estimportante: listes binaires.

dans LAL on peut faire des changements de type sur les données:coercion: N ( §N , qui transforme ` n : N en ` n : §N .plus généralement: N ( §i+1!jN , avec i, j ≥ 0.Même chose pour le type W . Ceci nous permet de nous ramener àdes types de la forme W ( §kW .

On dit qu’une fonction f : {0, 1}? → {0, 1}? est représentable dans LALs’il existe une preuve Π d’un x : W ` t : §kW telle que :pour tout w de {0, 1}?, la preuve obtenue en coupant ` w : W avec Π

se réduit en ` w′ : !kW , où w′ = f(w).

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Complexité de LAL

Theorem 7 Les fonctions représentables dans LAL sont exactementles fonctions Ptime, c’est-à-dire calculables en temps polynomial surune machine de Turing.

Remarques:

même si un terme t est typable dans LAL, pour l’exécuter avec laborne de complexité attendue on doit le compiler en un réseau depreuve;

attention: un terme peut représenter une fonction Ptime et ne pasêtre typable dans LAL.

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Un système de types light plus simple : DLAL

langage de types de DLAL:

A, B ::= α | A ( B | A ⇒ B | §A | ∀α.A

traduction (.)∗

: DLAL −→ LAL:

(A ⇒ B)∗

= !A∗( B∗,

(.)∗ commute aux autres connecteurs.

Remarquer que les types suivants ne sont pas dans l’image de DLAL :

A ( !B, §!A ( B, !A .

Pour typer dans DLAL : jugements mixtes Γ; ∆ ` t : C,

où ∆ contexte affine-linéaire, Γ non linéaire.

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DLAL

; x :A ` x :A(Id)

Γ1;∆1 ` u :A Γ2; x :A, ∆2 ` t :C

Γ1, Γ2;∆1, ∆2 ` t[u/x] :C(Cut)

Γ1;∆1 ` u :A Γ2; x :B, ∆2 ` t :C

Γ1, Γ2; y :A −◦ B, ∆1, ∆2 ` t[(y)u/x] :C(−◦l)

Γ; x :A, ∆ ` t :B

Γ;∆ ` λx.t :A −◦ B(−◦r)

; z :D ` u :A Γ; x :B, ∆ ` t :C

z :D, Γ; y :A ⇒ B, ∆ ` t[(y)u/x] :C(⇒ l)

x :A, Γ;∆ ` t :B

Γ;∆ ` λx.t :A ⇒ B(⇒ r)

Γ; x :A[B/α], ∆ ` t :C

Γ; x :∀α.A, ∆ ` t :C(∀l)

Γ;∆ ` t :A

Γ;∆ ` t :∀α.A(∀r), α non libre dans Γ, ∆

Γ;∆ ` t :C

Σ, Γ;Π, ∆ ` t :C(Weak)

x :A, y :A, Γ; ∆ ` t :C

z :A, Γ;∆ ` t[z/x, z/y] :C(Cntr)

; Γ, x1 :B1, . . . , xn :Bn ` t :A

Γ; x1 :§B1, . . . , xn :§Bn ` t :§A(§)

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Dérivations de type dans DLAL

Proposition 8 si Γ; ∆ `DLAL t : A et x ∈ ∆, alors x a au plus 1occurrence dans t (x linéaire).

Proposition 9 si Γ; ∆ `DLAL t : A alors !Γ∗, ∆∗ `LAL t : A∗.On obtient ainsi une simulation de DLAL dans LAL.

La profondeur d’une dérivation DLAL est la profondeur de la dérivationLAL correspondante.

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Types de données DLAL

entiers unaires

LAL: DLAL

NLAL NDLAL

∀α.!(α ( α) ( §(α ( α), ∀α.(α ( α) ⇒ §(α ( α) .

listes binaires

LAL: DLAL

W LAL W DLAL

∀α.!(α ( α) ( !(α ( α) ( §(α ( α), ∀α.(α ( α) ⇒ (α ( α) ⇒ §(α ( α) .

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Types dans DLAL

exemples de types:

` addition : N ( N ( N

` double : N ⇒ §N

Les fonctions représentables dans DLAL sont données par les types

W ( §kW .

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DLAL: bornes de complexité

DLAL satisfait la propriété de préservation du typage.

Theorem 10 (borne polynomiale forte) Si t est typable dans DLALavec une dérivation de profondeur d, alors toute suite de β-réduits de t

est de longueur majorée par O(|t|2d+1

).

Remarques:

il s’agit ici de β-réduction, et plus de réduction des réseaux;

cette borne s’applique pour toutes les stratégies de réduction;

en particulier, si ` t : W ( §kW alors on peut normaliser (t)w enun nombre d’étapes polynomial en longueur(w).

Theorem 11 Les fonctions représentables par des termes typablesdans DLAL sont exactement les fonctions Ptime.

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Conclusion

la LL offre une approche logique de la complexité;

cette approche fait un lien entrethéorie de la complexité d’une part,et programmation fonctionnelle, typage, preuve formelle del’autre. . .

d’autres caractérisations de programmation Ptime ont étéproposées (domaine de la complexité implicite) :réécriture, ordres de terminaison, théorie de la récursion . . .les liens entre ces approches sont encore assez peu connus.

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