lois de comportement en transformations...
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Lois de comportementen transformations finies
Samuel Forest
Centre des Materiaux/UMR 7633Mines Paris ParisTech/CNRSBP 87, 91003 Evry, [email protected]
Bibliographie (1)Les ouvrages de reference en francais -
[1] J. Mandel. Cours de mecanique des milieux continus. EditionsJacques Gabay, Paris, 1966–1994.
[2] J. Mandel. Plasticite classique et viscoplasticite. CISM Coursesand Lectures No. 97, Udine, Springer Verlag, Berlin, 1971.
[3] J. Mandel. Introduction a la mecanique des milieux continusdeformables. Academie Polonaise des Sciences, Varszawa, 1974.
[4] C. Truesdell. Introduction a la mecanique rationnelle des milieuxcontinus. Masson, Paris, 1974.
[5] P. Germain. Cours de mecanique des milieux continus T.I./Theoriegenerale. Masson, Paris, 1973.
[6] P. Germain. Mecanique, tomes I et II. Ellipses, Paris, 1986.
[7] F. Sidoroff. Les grandes transformations. rapport GRECO, no 51,1982.
[8] P. Ladeveze. Sur la theorie de la plasticite en grandesdeformations. rapport interne LMT No.9, 1980.
[9] P. Rougee. Mecanique des Grandes Transformations. SpringerVerlag, 1997.
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Bibliographie (2)Les ouvrages de reference en anglais -
[10] C. Truesdell and W. Noll. The non-linear field theories ofmechanics. Handbuch der Physik, edited by S. Flugge, reeditionSpringer Verlag 1994, 1965.
[11] R.W. Ogden. Non–linear elastic deformations. Dover, New York,1984–1997.
[12] C. Teodosiu. Large plastic deformation of crystalline aggregates.CISM Courses and Lectures No. 376, Udine, Springer Verlag, Berlin,1997.
[13] P. Haupt. Continuum Mechanics and Theory of Materials.Springer Verlag, 2000.
[14] I-S. Liu. Continuum Mechanics. Springer, 2002.
[15] A. Bertram. Elasticity and Plasticity of Large Deformations.Springer, 2005.
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Bibliographie (3)Supports de ce cours accelere -
[16] J. Besson, G. Cailletaud, J.-L. Chaboche, and S. Forest.Mecanique non lineaire des materiaux. Hermes, 2001.
[17] S. Forest and M. Amestoy. Mecanique des milieux continus.Cours de l’Ecole des Mines de Paris, Les Presses de l’Ecole des Mines,a paraıtre, 2008.
Plate–forme d’enseignement Mecanique Materiaux StructuresSite Web mms2.ensmp.fr
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Plan1 Cinematique et statique du milieu continu
Transformations, deformationsVitesses de deformationsContraintesChangement de referentiel
2 Formulation des lois de comportementPrincipe d’indifference materielleGroupe des symetries materiellesLe crible de la thermodynamique
3 Elastoviscoplasticite en transformations finiesDecomposition multiplicativeFormulation en referentiels locaux objectifsExemple : le glissement simple
4 Milieux continus generalises en transformations finiesCinematique et statique du milieu de CosseratElastoviscoplasticte de Cosserat
5 Conclusions et recommandations
Plan1 Cinematique et statique du milieu continu
Transformations, deformationsVitesses de deformationsContraintesChangement de referentiel
2 Formulation des lois de comportementPrincipe d’indifference materielleGroupe des symetries materiellesLe crible de la thermodynamique
3 Elastoviscoplasticite en transformations finiesDecomposition multiplicativeFormulation en referentiels locaux objectifsExemple : le glissement simple
4 Milieux continus generalises en transformations finiesCinematique et statique du milieu de CosseratElastoviscoplasticte de Cosserat
5 Conclusions et recommandations
Plan1 Cinematique et statique du milieu continu
Transformations, deformationsVitesses de deformationsContraintesChangement de referentiel
2 Formulation des lois de comportementPrincipe d’indifference materielleGroupe des symetries materiellesLe crible de la thermodynamique
3 Elastoviscoplasticite en transformations finiesDecomposition multiplicativeFormulation en referentiels locaux objectifsExemple : le glissement simple
4 Milieux continus generalises en transformations finiesCinematique et statique du milieu de CosseratElastoviscoplasticte de Cosserat
5 Conclusions et recommandations
Corps materiel M
M
M
( , )E R
Le corps materielMest un ensemble depoints materiels
Cinematique et statique du milieu continu 8/146
Placement de reference dans l’espace physique
M
Ω0
M
X
( , )E R
p0
• Ω0 est laposition occupeedans l’espacephysique E munid’un referentielR a un instantdonnee t0
• le point materielM ∈M occupela position Xdans cetteconfiguration
• on l’adopteracommeconfigurationde reference
Cinematique et statique du milieu continu 9/146
Configuration actuelle dans l’espace physique
M
Ω Ω0 t
M
X x
( , )E R
p p0 t
• Ωt est laposition actuelleoccupee par lecorps materieldans l’espacephysique E al’instant t
• le point materielM ∈M occupela position xdans cetteconfiguration
• on l’appelleconfigurationactuelle
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Configuration actuelle dans l’espace physique
M
Ω Ω0 t
M
X x
( , )E R
p p0 t
Φ
• La transformation
x = Φ(X , t)
fait passer de Ω0 aΩt
• La transformationest supposeebijective etbicontinue
X = Φ−1(x , t)
? pas de fission!? pas de fusion!
Cinematique et statique du milieu continu 11/146
Configuration intermediaire du corps materiel
M
Ω
Ω
Ω0 t
τ
M
X x
x( )τ
( , )E R
p p
p
0
τ
t
Φ
• La position de Ma 0 ≤ τ ≤ t estnotee Ωτ s’appelleconfigurationintermediaire ducorps materiel
• La transformationΦ(X , τ)0≤τ≤t
contient l’histoirede deformationdu corps materielentre ces instants
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Transformation du milieu continu
Ω
Ω
Ω0 t
τ
X x
x( )τ
( , )E R
Φ
• La transformation
x = Φ(X , t)
fait passer de Ω0 aΩt
• Le deplacementdu point materielest defini par
u (X , t) = x − X
u (X , t) = Φ(X , t)−X
Cinematique et statique du milieu continu 13/146
Champs de tenseurs sur MDes grandeurs physiques et thermomecaniques peuvent etre attachees a
chaque point du corps materiel.
• cas des milieux a microstructure sous–jacente : “solides”L’element de volume dV ∈ Ω0 centre en X devient dv ∈ Ωt
centre en x . dV et dv contiennent les memes particulesmaterielles.champs de fonctions tensorielles F (X , t)
c’est l’approche lagrangienne ou materielle
• cas des milieux sans microstructure sous–jacente : “fluides”Les particules materielles sont interchangeables et nonidentifiees. On ne s’interesse qu’aux quantites moyennes(vitesses) relatives aux particules traversant dv centre aupoint geometrique x ∈ Ωt a l’instant tchamps de fonctions tensorielles f (x , t)
c’est l’approche eulerienne ou spatiale
• Les points de vue lagrangien et eulerien sont equivalents :
f (x , t) := F (Φ−1(x , t), t), F (X , t) := f (Φ(X , t), t)Cinematique et statique du milieu continu 14/146
Un exemple de transformation du milieu continu
x (t) = Q∼(t).X + c (t)
xi = Qijxj + cj
Q∼
tenseur d’ordre 2 orthogonal : Q∼.Q∼
T = Q∼
T .Q∼
= 1∼ avecdetQ
∼= 1
Il s’agit d’unmouvement de corps rigide= rotation(t)+translation(t)d’ensembleLa rotation et la translation ne doivent pas dependre de X . La
dependance en t peut etre quelconque (acceleration non nulle).
Dans un repere cartesien orthonorme dont le troisieme axe est l’axede rotation x1
x2
x3
=
cos θ − sin θ 0sin θ cos θ 00 0 1
X1
X2
X3
+
c1
c2
c3
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Le gradient de la transformation
Φ
X
xdX dx
application lineaire tangente associee a Φ
Φ(X + dX )− Φ(X ) =∂Φ
∂X.dX + o(X ,dX )
element de fibre materielle dX initiale et dx actuelle
F∼(X , t) =∂Φ
∂X= Grad Φ = 1∼ + Gradu , dx = F∼.dX
Le gradient de la transformation F∼ est une caracterisation locale de la
transformation (F∼(X , t = 0) = 1∼)
Cinematique et statique du milieu continu 16/146
Le gradient de la transformation
Le gradient en coordonnees cartesiennes orthonormees (e i )i=1,3
dxi = FijdXj , avec Fij =∂xi
∂Xj= δij +
∂ui
∂Xjet F∼ = Fij e i ⊗ e j
dx1 =∂Φ1
∂X1dX1 +
∂Φ1
∂X2dX2 +
∂Φ1
∂X3dX3
dx2 =∂Φ2
∂X1dX1 +
∂Φ2
∂X2dX2 +
∂Φ2
∂X3dX3
dx3 =∂Φ3
∂X3dX1 +
∂Φ3
∂X3dX2 +
∂Φ3
∂X3dX3
dx1
dx2
dx3
=
F11 F12 F13
F21 F22 F23
F31 F32 F33
dX1
dX2
dX3
les composantes de F∼ sont sans dimension physique
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Transport d’un element de volume
• volume elementaire initial dV et actuel dv
dV = dX 1.(dX 2∧dX 3) = [dX 1,dX 2,dX 3] = det(dX 1,dX 2,dX 3)
dv = [dx 1,dx 2,dx 3] = [F∼.dX 1,F∼.dX 2,F∼.dX 3]
dv = J dV
J = detF∼ > 0
jacobien de la transformation
• transformation isochore en un point ou en tout pointun materiau est dit incompressible s’il ne peut subir que destransformations isochores
J = 1
Cinematique et statique du milieu continu 18/146
Conservation de la masse
ρ dv = ρ0 dV = ρ J dV =⇒ ρ0 = Jρ
interpretation en terme de changement de variable dans uneintegrale sur un domaine materiel D(t)∫
D(t)ρ(x , t) dv =
∫D0
ρ(Φ(X , t), t) J︸ ︷︷ ︸ρ0(X )
dV
avec D0 = Φ−1(D(t))
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Transport d’un element de surface
Φ
X
x
N n
dS = dX 1 ∧ dX 3 = dS N , ds = dx 1 ∧ dx 3 = ds n
l’element de surface est defini par les directions materiellesorthogonales dX 1 et dX 3 qu’il contient. Le vecteur element desurface dS ne se transforme pas comme une fibre materielle :
ds = J F∼−T .dS
dS et ds (resp. N et n ) ne sont pas constitues des memes pointsmateriels
Cinematique et statique du milieu continu 20/146
Les tenseurs de Cauchy–Green
Φ
X
xdX 1 dX 2
dx 1dx 2
dx 1.dx 2 = (F∼.dX 1).(F∼.dX 2) = dX 1.F∼T .F∼.dX 2 = dX 1.C∼ .dX 2
le tenseur de Cauchy–Green droit C∼ = F∼T .F∼ instaure une metrique sur Ω0
dX 1.dX 2 = dx 1.B∼−1.dx 2
le tenseur de Cauchy–Green gauche B∼ = F∼.F∼T instaure une metrique sur
Ωt
(C∼ et B∼ sont symetriques et definis positifs, B∼ 6= C∼T !!)
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Variation de longueurs
• variation de longueurs
‖dx ‖2 − ‖dX ‖2 = dX .(C∼ − 1∼).dX = dx .(1∼ − B∼−1).dx
• allongement relatif
dX = ‖dX ‖M
λ(M ) =‖dx ‖‖dX ‖
=√
M .C∼ .M = ‖F∼.M ‖ = ‖U∼ .M ‖
• interpretation des composantes de C∼
λ(e 1) =√
C11 =√
F 211 + F 2
21 + F 231
C11 designe donc le carre de l’allongement du premier vecteur de
base
Cinematique et statique du milieu continu 22/146
Variation d’angles
• variation d’angle entre deux elements de fibre materielle
dX 1 = |dX 1|M 1, dX 2 = |dX 2|M 2
dx 1 = |dx 1|m 1, dx 2 = |dx 2|m 2
cos Θ = M 1.M 2
cos θ = m 1.m 2
• angle de glissement γ des directions M 1 et M 2 dans le plande glissement (M 1,M 2)
γ := Θ− θ
Si Θ = π/2 (directions initialement orthogonales)
sin γ =
• interpretation des composantes de C∼ : M 1 = E 1 et M 2 = E 2
sin γ =
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Variation d’angles
• variation d’angle entre deux elements de fibre materielle
dX 1 = |dX 1|M 1, dX 2 = |dX 2|M 2
dx 1 = |dx 1|m 1, dx 2 = |dx 2|m 2
cos Θ = M 1.M 2
cos θ = m 1.m 2 =M 1.C∼ .M 2
λ(M 1)λ(M 2)
• angle de glissement γ
γ := Θ− θ
Si Θ = π/2 (directions initialement orthogonales)
sin γ =M 1.C∼ .M 2
λ(M 1)λ(M 2)
• interpretation des composantes de C∼ : M 1 = E 1 et M 2 = E 2
sin γ =C12√C11C22
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Mesures de deformation (1)
• candidatsC∼,B∼ ,U∼ ,V∼
• quelques regles supplementaires conventionnelles pour une mesurede deformation :
? elle est symetrique et sans dimension physique ;? elle est nulle pour un mouvement de corps rigide et en F∼ = 1∼ ;? son developpement limite autour de F∼ = 1∼ s’ecrit
12 (H∼ + H∼
T ) + o(H∼ )
H∼ = F∼ − 1∼ = Gradu
• les tenseurs de Green–Lagrange et d’Almansi
E∼ :=1
2(C∼ − 1∼), A∼ :=
1
2(1∼− B∼
−1)
E∼ =1
2(H∼ + H∼
T + H∼T .H∼ )
Eij =1
2(∂ui
∂Xj+∂uj
∂Xi+∂uk
∂Xi
∂uk
∂Xj)
• mesures lagrangiennes / mesures euleriennes de deformation
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“Mesures” de deformations (2)
E∼ =1
2(C∼−1∼) tenseur de Green− Lagrange,Eij =
1
2(ui,j+uj,i+uk,iuk,j)
A∼ =1
2(1∼− B∼
−1) = τ−1F−1F (E∼) tenseur d′Almansi
E∼1= U∼ − 1∼, A∼−1
= 1∼− V∼−1
E∼n=
1
n(U∼
n − 1∼), A∼n=
1
n(V∼
n − 1∼)
E∼0= log U∼ = P∼
log(1 + λ1) 0 00 log(1 + λ2) 00 0 log(1 + λ3)
P∼−1
A∼0= logV∼
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“Mesures” de deformations (3)1D :
C = (l
l0)2, B = (
l
l0)2, E1 =
l − l0l0
, A−1 =l − l0
l
E2 =1
2((
l
l0)2−1), A−2 =
1
2(1−(
l0l)2), E0 = log
l
l0, A0 = log
l
l0
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Transformations homogenes
• transformation homogene : F∼(X , t) = F∼(t)
etat initial homogene heterogene
lorsque tous les carres deformes sont superposables, ladeformation est homogene
• consequence sur le champ de deplacement :
x (t) = F∼(t).X + c (t)
pour tout couple de points materiels
x 1 − x 2 = F∼.(X 1 − X 2)
Cinematique et statique du milieu continu 28/146
Extension simple
x1 = X1(1 + λ)x2 = X2
x3 = X3
F∼ = 1∼+λe 1⊗e 1, [F∼] =
1 + λ 0 00 1 00 0 1
R∼ = 1∼, U∼ = F∼
Cinematique et statique du milieu continu 29/146
Glissement simple
x1 = X1 + γX2
x2 = X2
x3 = X3
, F∼ = 1∼ + γe 1 ⊗ e 2, [F∼] =
1 γ 00 1 00 0 1
Cinematique et statique du milieu continu 30/146
Glissement simple
C∼ = 1∼+γ(e 1⊗e 2+e 2⊗e 1)+γ2e 2⊗e 2, [C∼ ] =
1 γ 0γ 1 + γ2 00 0 1
Les valeurs propres de C∼ sont
λ1 =1
2(γ2 + 2 + γ
√γ2 + 4) = (
1
2(γ +
√γ2 + 4))2
λ2 =1
2(γ2 + 2− γ
√γ2 + 4) = (
1
2(−γ +
√γ2 + 4))2
λ3 = 1
Les vecteurs propres de C∼ et U∼ sont
V 1 =1
2(−γ +
√γ2 + 4)e 1 + e 2
V 2 =1
2(−γ −
√γ2 + 4)e 1 + e 2
V 3 = e 3
Cinematique et statique du milieu continu 31/146
Glissement simple
U∼ =
26666664
1q1 + (γ/2)2
γ
2q
1 + (γ/2)20
γ
2q
1 + (γ/2)2
1 + γ2/2q1 + (γ/2)2
0
0 0 1
37777775
V∼ =
26666664
1 + γ2/2q1 + (γ/2)2
γ
2q
1 + (γ/2)20
γ
2q
1 + (γ/2)2
1q1 + (γ/2)2
0
0 0 1
37777775
R∼ =
1√1 + (γ/2)2
γ
2√
1 + (γ/2)20
−γ
2√
1 + (γ/2)2
1√1 + (γ/2)2
0
0 0 1
la rotation propre est une rotation autour de e 3 d’angle tan θ = −γ
2
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Plan1 Cinematique et statique du milieu continu
Transformations, deformationsVitesses de deformationsContraintesChangement de referentiel
2 Formulation des lois de comportementPrincipe d’indifference materielleGroupe des symetries materiellesLe crible de la thermodynamique
3 Elastoviscoplasticite en transformations finiesDecomposition multiplicativeFormulation en referentiels locaux objectifsExemple : le glissement simple
4 Milieux continus generalises en transformations finiesCinematique et statique du milieu de CosseratElastoviscoplasticte de Cosserat
5 Conclusions et recommandations
Champ des vitesses
• champ de vitesses
V (X , t) =∂Φ
∂t(X , t)
• descriptions materielle/spatiale (lagrangienne/eulerienne)
v (x , t) := V (Φ−1(x , t), t)
plus generalement
f (x , t) := F (X , t), avec x = Φ(X , t)
• derivee temporelle en suivant le mouvement
F (X , t) :=d
dtF (X , t) =
∂F
∂t(X , t)
=d
dtf (x , t) =
∂f
∂t(x , t) +
∂f
∂x.v (x , t) = f (x , t)
Cinematique et statique du milieu continu 34/146
Le champ de gradient des vitesses
• evolution instantanee d’un vecteur materiel transporte par lemouvement
dx = F∼.dX•︷︸︸︷
dx = L∼.dx , avec L∼ = F∼.F∼−1
• le tenseur gradient des vitesses
F∼ =∂2Φ
∂t∂X(X , t) =
∂2Φ
∂X ∂t(X , t)
= GradV (X , t) = (grad v (x , t)).F∼
L∼(x , t) = grad v (x , t) = F∼.F∼−1
Cinematique et statique du milieu continu 35/146
Tenseur vitesse de deformations
• evolution instantanee du produit scalaire de deux elements de fibresmateriellesd’une part...
•︷ ︸︸ ︷dx 1.dx 2 = dx 1.L∼
T .dx 2 + dx 1.L∼.dx 2 = 2dx 1.D∼ .dx 2
... et d’autre part•︷ ︸︸ ︷
dx 1.dx 2 =
•︷ ︸︸ ︷dX 1.C∼.dX 2 = dX 1.C∼.dX 2 = 2dX 1.E∼.dX 2
d’ou ...
E∼ =1
2C∼ = F∼
T .D∼ .F∼, D∼ :=1
2(L∼ + L∼
T )
tenseur vitesse de deformation ou taux de deformation
• taux d’allongement relatif :
dx = ‖dx ‖ m , m unitaire λλ =
•︷ ︸︸ ︷‖dx ‖‖dx ‖ = m .D∼ .m
Cinematique et statique du milieu continu 36/146
Taux de glissement angulaire
Φ
X
xdX 1 dX 2
dx 1dx 2
• angle de glissement : γ = Θ− θ
γ = −θ•︷ ︸︸ ︷
dx 1.dx 2 =
•︷ ︸︸ ︷‖dx 1‖ ‖dx 2‖ cos θ = 2dx 1.D∼ .dx 2
Si θ = π2 a l’instant t donne,
γ = 2m 1.D∼ .m 2
ou m 1 = dx 1/‖dx 1‖, m 2 = dx 2/‖dx 2‖• cas particulier, m 1 = e 1, m 2 = e 2 =⇒ γ = 2D12
Cinematique et statique du milieu continu 37/146
Directions orthogonales dans le mouvement
• Consequence 1 : m 1,m 2 2 elements de fibres materiellescoıncidant a l’instant t avec 2 directions principalesorthogonales de D∼ restent orthogonales a l’instant t
• Consequence 2 : Les triedres de directions materielles deux adeux orthogonales et qui le restent a l’instant t sont lestriedres des directions materielles qui coıncident a l’instant tavec les directions principales du tenseur D∼ des taux dedeformation. Lorsque les valeurs propres de D∼ sont distinctes,un tel triedre est unique.
Cinematique et statique du milieu continu 38/146
Le tenseur vitesse de rotation
• evolution d’une direction de fibre materielle m = dx /‖dx ‖m = L∼.m − (m .D∼ .m )m
• cas ou m est parallele a une direction principale de D∼
W∼ := L∼ −D∼ =1
2(L∼ − L∼
T )
m = W∼ .m =×W ∧m
tenseur vitesse ou taux de rotation
• Consequence : Le triedre orthonorme des vecteurs unitairesportes par les directions materielles qui coıncident a l’instant tavec les directions principales de D∼ , evolue selon unmouvement de solide rigide dont le taux de rotation a l’instantt vaut W∼ .
• Attention : Le triedre des directions principales de D∼ netournent pas a la vitesse W∼ ... (voir le cas du glissementsimple)
Cinematique et statique du milieu continu 39/146
Decomposition du gradient des vitesses
• vitesse de deformation + vitesse de rotation
L∼ = D∼ + W∼
parties symetrique et antisymetrique
• decomposition polaireF∼ = R∼ .U∼
L∼ = F∼.F∼−1 = R∼ .R∼
T + R∼ .U∼ .U∼−1.R∼
T
attention, le dernier terme n’est pas necessairementsymetrique... En general,
W∼ 6= R∼ .R∼T
• vecteur vitesse de rotation ∀y , W∼ .y =×W ∧y
×W 1 = −W23 = 1
2(∂v3∂x2
− ∂v2∂x3
)×W 2 = −W31 = 1
2(∂v1∂x3
− ∂v3∂x1
)×W 3 = −W12 = 1
2(∂v2∂x1
− ∂v1∂x2
)
,×W =
1
2rot v
Cinematique et statique du milieu continu 40/146
Mouvement de corps rigide
x = Q∼(t).X + c (t)
v (x , t) = W∼ (t).x + v 0(t) =×W (t) ∧ x + v 0(t)
W∼ = Q∼.Q∼
T v1
v2
v3
=
v01
v02
v03
+
0 −r qr 0 −p−q p 0
x1
x2
x3
=
v01
v02
v03
+
pqr
∧ x1
x2
x3
Cinematique et statique du milieu continu 41/146
Le glissement simple
[L∼] =
0 γ 00 0 00 0 0
[D∼ ] =
0
γ
20
γ
20 0
0 0 0
[W∼ ] =
0
γ
20
− γ2
0 0
0 0 0
Remarquer que les directions principales de D∼ ne tournent pas.Pour autant, W∼ n’est pas nul...
Cinematique et statique du milieu continu 42/146
Le glissement simple
[W∼ ] =
0
γ
20
− γ2
0 0
0 0 0
, [R∼ ] =
1√
1+(γ/2)2γ
2√
1+(γ/2)20
−γ2√
1+(γ/2)21√
1+(γ/2)20
0 0 1
θW = − γ
2, tan θR = −γ
2, θR = − γ
2
1
1 + γ2/4
Cinematique et statique du milieu continu 43/146
Le tourbillon ponctuel
Cinematique et statique du milieu continu 44/146
Le tourbillon ponctuel
Cinematique et statique du milieu continu 45/146
Le tourbillon ponctuel
Cinematique et statique du milieu continu 46/146
Le tourbillon ponctuel
Cinematique et statique du milieu continu 47/146
Le tourbillon ponctuel
Cinematique et statique du milieu continu 48/146
Le tourbillon ponctuel
Cinematique et statique du milieu continu 49/146
Le tourbillon ponctuel
Cinematique et statique du milieu continu 50/146
Le tourbillon ponctuel
Cinematique et statique du milieu continu 51/146
Le tourbillon ponctuel
Cinematique et statique du milieu continu 52/146
Le tourbillon ponctuel
Cinematique et statique du milieu continu 53/146
Le tourbillon ponctuel
Cinematique et statique du milieu continu 54/146
Le tourbillon ponctuel
Cinematique et statique du milieu continu 55/146
Le tourbillon ponctuel
• cinematique
v (r , θ, z , t) =Γ
2πre θ
les lignes de courant sont des cercles de centre O
• gradient des vitesses
L∼ = − Γ
2πr2(e r ⊗ e θ + e θ ⊗ e r )
• la transformation est localement isochore
traceD∼ = div v = 0
• l’ecoulement est irrotationnel
W∼ = 0
• circulation de v autour de O∮
v .e θ rdθ = Γ
Cinematique et statique du milieu continu 56/146
Le vorticimetre
Cinematique et statique du milieu continu 57/146
Le vorticimetre
Cinematique et statique du milieu continu 58/146
Le vorticimetre
Cinematique et statique du milieu continu 59/146
Le vorticimetre
Cinematique et statique du milieu continu 60/146
Le vorticimetre
Cinematique et statique du milieu continu 61/146
Le vorticimetre
Cinematique et statique du milieu continu 62/146
Le vorticimetre
Cinematique et statique du milieu continu 63/146
Le vorticimetre
Cinematique et statique du milieu continu 64/146
Le vorticimetre
Cinematique et statique du milieu continu 65/146
Le vorticimetre
Cinematique et statique du milieu continu 66/146
Le vorticimetre
Cinematique et statique du milieu continu 67/146
Le vorticimetre
Cinematique et statique du milieu continu 68/146
Le vorticimetre (1)
• directions unitaires caracterisant le croisillon m 1 et m 2
m 1 = L∼.m 1 − (m 1.D∼ .m 1)m 1
m 2 = L∼.m 2 − (m 2.D∼ .m 2)m 2
• Evolution de l’angle entre un axe du croisillon et une directionfixe de l’espace a
− sinϕ1 ϕ1 = m 1.a = a .L∼.m 1 − (m 1.D∼ .m 1)m 1.a
Le choix de a n’importe pas si l’on s’interesse a ϕ seulement.Prenons
ϕ1 = (a = m 2,m 1) = −π2
=⇒ ϕ1 = m 2.L∼.m 1
ϕ2 = (a = m 1,m 2) =π
2=⇒ ϕ2 = −m 1.L∼.m 2
Cinematique et statique du milieu continu 69/146
Le vorticimetre (2)
• Lorsque l’assemblage est rigide (m 1.m 2 = 0 a chaqueinstant), sa vitesse de rotation sera la moyenne des vitessesinstantanees precedentes :
ϕ =ϕ1 + ϕ2
2= m 2.W∼ .m 1
= m 2.(×W ∧m 1) =
×W ∧(m 1 ∧m 2) =
×W .e z
• La vitesse de rotation du croisillon rigide est exactementdonnee par le taux de rotation du fluide W∼ . Le vorticimetrepermet de mesurer ce taux de rotation.
• Dans le cas du tourbillon simple, W∼ = 0. Le vorticimetre netourne pas!
Cinematique et statique du milieu continu 70/146
Plan1 Cinematique et statique du milieu continu
Transformations, deformationsVitesses de deformationsContraintesChangement de referentiel
2 Formulation des lois de comportementPrincipe d’indifference materielleGroupe des symetries materiellesLe crible de la thermodynamique
3 Elastoviscoplasticite en transformations finiesDecomposition multiplicativeFormulation en referentiels locaux objectifsExemple : le glissement simple
4 Milieux continus generalises en transformations finiesCinematique et statique du milieu de CosseratElastoviscoplasticte de Cosserat
5 Conclusions et recommandations
Puissance de deformationSoit σ∼(x , t) un champ de contraintes verifiant les equations locales de ladynamique pour les efforts imposes (cas regulier)
• Puissance des efforts appliques sur un domaine materiel D ⊂ Ωt
Pc(v ) + Pe(v ) =
∫∂D
t .v ds +
∫Dρf .v dv
• Puissance du champ d’acceleration
Pa(v ) :=
∫Dρa .v dv
• Puissance des efforts interieurs
P i (v ) := −∫D
σ∼ : D∼ dv , σ∼ : D∼ ∼ MPa.s−1 = Wm−3
• on aPc(v ) + Pe(v ) + P i (v ) = Pa(v )
−∫D
σ∼ : D∼ dv +
∫∂D
t .v ds +
∫Dρf .v dv =
∫Dρa .v dv
Cinematique et statique du milieu continu 72/146
Principe des puissances virtuelles
• enonce (cas regulier) : Le champ des contraintes σ∼ etd’acceleration a dans un corps materiel soumis aux effort ρfet t , verifient les equations locales de la dynamique si etseulement si la puissance des efforts interieurs, a distance etde contact equilibre la puissance du champ d’acceleration danstout mouvement virtuel v ? et sur tout sous–domaine D ⊂ Ωt :
P i (v ?) + Pc(v ?) + Pe(v ?) = Pa(v ?)
−∫D
σ∼ : D∼? dv +
∫∂D
t .v ? ds +
∫Dρf .v ? dv =
∫Dρa .v ? dv
Cinematique et statique du milieu continu 73/146
Le tenseur des contraintes nominales
Φ
N
n
t TS
• le tenseur des contraintes nominales
t ds = T SdS = S∼.N dS , avec S∼ := Jσ∼ .F∼−T
tenseur des contraintes nominales, dit de Boussinesq.
Cinematique et statique du milieu continu 74/146
Le tenseur des contraintes de Piola–Kirchhoff
• puissance des efforts interieurs∫D
σ∼ : D∼ dv =
∫D0
Π∼ : E∼ dV
Π∼ = J F∼−1.σ∼ .F∼
−T = F∼−1.S∼
tenseur des contraintes de Piola–Kirchhoff
• densite massique de puissance des efforts interieurs
σ∼ : D∼ρ
=Π∼ : E∼ρ0
couples de contraintes et deformations conjuguees
• transport convectif du vecteur traction
T dS := F∼−1.t ds = F∼
−1.T S dS = Π∼ .N dS
Cinematique et statique du milieu continu 75/146
Retour sur les transports convectifs
espace tangentinitial
espace tangentactuel
F
F
T
F
1
F
T
dx = F∼.dX
ds = JF∼−T .dS
T dS = F∼−1.t ds
T M dS = F∼T .t ds
= C∼ .Π∼ .N dS
tenseur descontraintes deMandel
Cinematique et statique du milieu continu 76/146
Transports convectifs
τF−1F (T∼) = F∼−1.T∼ .F∼
τF−1F−T (T∼) = F∼−1.T∼ .F∼
−T
τFT F−T (T∼) = F∼T .T∼ .F∼
−T
τFT F (T∼) = F∼T .T∼ .F∼.
conservation du produit scalaire de deux tenseurs par transport ?
A∼ : B∼ = τF−1F (A∼) : τFT F−T (B∼) = τFT F (A∼) : τF−1F−T (B∼)
Cinematique et statique du milieu continu 77/146
Plan1 Cinematique et statique du milieu continu
Transformations, deformationsVitesses de deformationsContraintesChangement de referentiel
2 Formulation des lois de comportementPrincipe d’indifference materielleGroupe des symetries materiellesLe crible de la thermodynamique
3 Elastoviscoplasticite en transformations finiesDecomposition multiplicativeFormulation en referentiels locaux objectifsExemple : le glissement simple
4 Milieux continus generalises en transformations finiesCinematique et statique du milieu de CosseratElastoviscoplasticte de Cosserat
5 Conclusions et recommandations
Changement de referentiel d’espace
Cinematique et statique du milieu continu 79/146
Changements de referentielreferentiel (E ,E ), un autre referentiel (E ′,E ′)
• changement de referentiel euclidien
x ′ = Q∼(t).x + c (t), t ′ = t − t0
commodite : Q∼(t0) = 1∼ (X ′ = X ), c (t0) = 0
• Comment se transforment les grandeurs mecaniques lorsqu’onchange de referentiel ?? le gradient de la transformation? les tenseurs de Cauchy–Green? le gradient des vitesses
Cinematique et statique du milieu continu 80/146
Changements de referentielreferentiel (E ,E ), un autre referentiel (E ′,E ′)
• changement de referentiel euclidien
x ′ = Q∼(t).x + c (t), t ′ = t − t0
commodite : Q∼(t0) = 1∼ (X ′ = X ), c (t0) = 0
• Comment se transforment les grandeurs mecaniques lorsqu’onchange de referentiel ?? le gradient de la transformation dx ′ = Q
∼.dx F∼
′ = Q∼.F∼
? les tenseurs de Cauchy–Green
C∼′ = C∼, B∼
′ = Q∼.B∼ .Q∼
T
? le gradient des vitesses
L∼′ = Q
∼.L∼.Q∼
T+Q∼.Q∼
T , D∼′ = Q
∼.D∼ .Q∼
T , W∼′ = Q
∼.W∼ .Q∼
T+Q∼.Q∼
T
Cinematique et statique du milieu continu 81/146
“Derivation” objectivederivee particulaire d’un segment rigide dans un referentiel mobile :
u ′ = Q∼.Q∼
T .u ′
Elle est non nulle!
Soit alors
DJu ′ = u ′ −W∼ .u′
avec le taux de rotation du milieu W∼ = Q∼.Q∼
T
pour T∼ = u ⊗ v , on definit
T∼J = u J ⊗ v + u ⊗ v J
d’ouT∼
J = T∼ + T∼ .W∼ −W∼ .T∼
appelee derivee de Jaumann
Cinematique et statique du milieu continu 82/146
Derivees convectives
T∼(1) = F∼(F∼
−1T∼F∼)·F∼−1 = T∼ − L∼T∼ + T∼L∼
T∼(2) = F∼(F∼
−1T∼F∼−T )·F∼
T = T∼ − L∼T∼ − L∼TT∼
T∼(3) = F∼
−T (F∼TT∼F∼
−T )·F∼T = T∼ + L∼
TT∼ − T∼L∼T
T∼(4) = F∼
−T (F∼TT∼F∼)·F∼
−1 = T∼ + L∼TT∼ + T∼L∼.
On remarquera que
T∼J =
1
2(T∼
(1) + T∼(3))
τJF−1F−T (T∼) = JF∼−1T∼F∼
−T
dont la derivee associee est :
T∼(5) =
1
JF∼(τJF−1F−T (T∼))•F∼
T = T∼ − L∼T∼ − T∼L∼T + T∼TrL∼
dite aussi derivee de TruesdellsCinematique et statique du milieu continu 83/146
Derivation dans un referentiel local objectif
repere local objectif : famille dereferentiels Ex ou Ex est le referentiellocal privilegie en x et Q
∼x la rotation
associee. Les referentiels locaux objectifsdoivent etre tels que
Q∼x ′ = Q
∼x Q∼
T
derivee de T∼ dans Ex :
DE,x T∼ = Q∼
Tx
•︷ ︸︸ ︷(Q∼x T∼Q
∼Tx )Q
∼x
DET∼ = T∼ + T∼Ω∼ El−Ω∼ El
T∼
ou Ω∼ El= Q
∼
T
x Q∼x
Ex Ex
E
E
Q
Q x
Q x x
x
Cinematique et statique du milieu continu 84/146
Referentiels corotationnel et en rotation propre
• Referentiel corotationnel : il existe une famille unique dereferentiels locaux objectifs Ec
x telle qu’en tout point et achaque instant, le taux de rotation par rapport a ce referentielsoit nul ;
∀x ∈ Ω, W∼′ = Q
∼.Q∼
T + Q∼.W∼ .Q∼
T
pour que W∼′ = 0, il faut que −Q
∼Tc.Q∼ c
= Q∼
T
c.Q∼ c
= W∼(Q∼ cx (t) = Q
∼ c(x , t))
la derivee associee est :
DEcT∼ = Q∼
Tc.(Q∼ c.T∼ .Q∼
Tc
)·Q∼ c
= T∼ + T∼ .W∼ −W∼ .T∼
i.e. la derivee de Jaumann!
• Referentiel en rotation propre : decomposition polaire
F∼ = R∼ .U∼ = V∼ .R∼
Q∼ ER
= R∼T
ce referentiel depend de la configuration de reference
Cinematique et statique du milieu continu 85/146
Plan1 Cinematique et statique du milieu continu
Transformations, deformationsVitesses de deformationsContraintesChangement de referentiel
2 Formulation des lois de comportementPrincipe d’indifference materielleGroupe des symetries materiellesLe crible de la thermodynamique
3 Elastoviscoplasticite en transformations finiesDecomposition multiplicativeFormulation en referentiels locaux objectifsExemple : le glissement simple
4 Milieux continus generalises en transformations finiesCinematique et statique du milieu de CosseratElastoviscoplasticte de Cosserat
5 Conclusions et recommandations
Necessite et forme de la loi de comportement
• la reponse actuelle depend a priori de l’histoire complete dedeformation
σ∼(x , t) = F0≤s≤t,Y ∈Ω0
(Φ(Y , s))
fonctionnelle–memoire F
Formulation des lois de comportement 87/146
Premieres simplifications
• principe du determinisme
σ∼(x , t) = F0≤s≤t,Y ∈Ω0
(Φ(Y , s))
theorie non locale
• principe de l’action locale
σ∼(x , t) = F0≤s≤t,n>0
(Φ(X , s),
∂nΦ
∂X n (X , s)
)• milieu materiellement simple : theorie du premier gradient
σ∼(x , t) = F0≤s≤t
(Φ(X , s),F∼(X , s)
)
Formulation des lois de comportement 88/146
Cas thermoelastique
• Forme generale de la loi de comportement
σ∼(x , t) = F0≤s≤t
(Φ(X , s),F∼(X , s),T (X , s),G (X , s)
)• Loi de comportement thermoelastique
σ∼(x , t) = FΩ0(F∼(X , t),T (X , t))
• Loi de comportement elastique
σ∼ = FΩ0(F∼)
Formulation des lois de comportement 89/146
Plan1 Cinematique et statique du milieu continu
Transformations, deformationsVitesses de deformationsContraintesChangement de referentiel
2 Formulation des lois de comportementPrincipe d’indifference materielleGroupe des symetries materiellesLe crible de la thermodynamique
3 Elastoviscoplasticite en transformations finiesDecomposition multiplicativeFormulation en referentiels locaux objectifsExemple : le glissement simple
4 Milieux continus generalises en transformations finiesCinematique et statique du milieu de CosseratElastoviscoplasticte de Cosserat
5 Conclusions et recommandations
Principe d’objectivite des contraintes
Changement de referenriel euclidien pour le tenseur des contraintest ′ = Q
∼.t , df ′ = σ∼
′.ds ′, σ∼′ = Q
∼.σ∼ .Q∼
T
consequence : la densite de puissance virtuelle des efforts interieursest independante du referentiel d’observation
p(i)′ = σ∼′ : D∼
?′ = σ∼′ : (Q
∼.D∼
?.Q∼
T ) = (Q∼
T .σ∼′.Q∼) : D∼
? = p(i)
personne ne conteste ce principe (representation des efforts)...
Formulation des lois de comportement 91/146
Principe d’invariance de forme de la loi decomportement
• Prendre comme arguments de la loi de comportement desgrandeurs objectives.Exemple de grandeurs objectives liees a la matiere : F∼,D∼ etc.Contrexemple : W∼Les observateurs voient le meme tenseur...
• Comment se transforme la loi de comportement parchangement de referentiel ?
σ∼ = FΩ0(F∼)
σ∼′ = F ′
Ω0(F∼
′)
=⇒ F ′Ω0
(F∼′) = Q
∼.FΩ0(Q∼
T .F∼′).Q
∼T
Formulation des lois de comportement 92/146
Principe d’invariance de forme de la loi decomportement
• Principe d’invariance de forme (dit aussi principed’indifference materielle) :
F ′Ω0
= FΩ0
la matiere est indifferente a qui l’observe...la propriete physique du materiau (ex : sa rigidite) ne dependpas du referentiel d’observation
=⇒ FΩ0(Q∼ .F∼) = Q∼.FΩ0(F∼).Q
∼T
• Pour ceux qui contestent ce principe et privilegient lesreferentiels galileens pour des raisons physiques evidentes :elargir les arguments a des variables objectives immaterielles...
Formulation des lois de comportement 93/146
Forme reduite de la loi de comportementLa loi d’elasticite s’ecrit sous la forme reduite
σ∼(X , t) = R∼(X , t).FΩ0(U∼ (X , t)).R∼T (X , t)
ou, de maniere equivalente,
Π∼ = FΠΩ0
(C∼)
Π∼ = FΠΩ0
(E∼)
Formulation des lois de comportement 94/146
Plan1 Cinematique et statique du milieu continu
Transformations, deformationsVitesses de deformationsContraintesChangement de referentiel
2 Formulation des lois de comportementPrincipe d’indifference materielleGroupe des symetries materiellesLe crible de la thermodynamique
3 Elastoviscoplasticite en transformations finiesDecomposition multiplicativeFormulation en referentiels locaux objectifsExemple : le glissement simple
4 Milieux continus generalises en transformations finiesCinematique et statique du milieu de CosseratElastoviscoplasticte de Cosserat
5 Conclusions et recommandations
Changement de configuration de reference
Ω0
Ω0
Ω0
P
Ω0
P
P
Ωt
F
F
F
F
P∼ est une applicationlineaire quelconque(inversible mais non
necessairement orthogo-
nale)
F∼ = F∼.P∼−1
Formulation des lois de comportement 96/146
Changement de configuration de referenceX −→ X
• formes de la loi de comportement
σ∼(x , t) = FΩ0(F∼(X , t))
σ∼(x , t) = FΩ0(F∼(X , t))
FΩ0(F∼) = FΩ0(F∼.P∼)
• deux configurations de reference sont materiellementindiscernables si
FΩ0 = FΩ0
la loi de comportement doit alors verifier pour un tel P∼
FΩ0(F∼) = FΩ0(F∼.P∼)
une telle transformation P∼ s’appelle symetrie materielle(abus de langage courant, car ce ne sont pas que dessymetries...)
Formulation des lois de comportement 97/146
Le groupe des symetries materielles
• L’ensemble des symetries materielles d’un milieu materiel parrapport a une configuration de reference Ω0 a une structurede groupe
GΩ0 ⊂ U(E )
ou U(E ) ⊂ GL(E ) est le groupe unimodulaire (| detP∼ |= 1)
• Regle de Noll : Si Ω0 et Ω0 sont deux configurations d’unmilieu materiel et si P∼ est le gradient de la transformation de
Ω0 vers Ω0, alors
GΩ0= P∼ .GΩ0 .P∼
−1
Formulation des lois de comportement 98/146
Milieux elastiques isotropes
• un milieu materiel est dit isotrope par rapport a laconfiguration Ω0 si
GΩ0 = GO(E )
• la fonction FΠΩ0
est alors dite isotrope
Q∼.FΠ
Ω0(C∼).Q
∼T = FΠ
Ω0(Q∼.C∼ .Q∼
T )
Formulation des lois de comportement 99/146
Milieux elastiques isotropes
• un milieu materiel est dit isotrope par rapport a laconfiguration Ω0 si
GΩ0 = GO(E )
• la fonction FΠΩ0
est alors dite isotrope
Q∼.FΠ
Ω0(C∼).Q
∼T = FΠ
Ω0(Q∼.C∼ .Q∼
T )
• theoreme de representation des fonctions isotropes
Π∼ = α01∼ + α1C∼ + α2C∼2
les αi sont des fonctions quelconques des invariants principauxde C∼d’ou, dans la description eulerienne,
σ∼ = β01∼ + β1B∼ + β2B∼2
Formulation des lois de comportement 100/146
• cas particulier :GΩ0 = U(E )
• la loi de comportement est donc telle que
FΩ0 = FΩ0, ∀P∼ ∈ U(E )
• decomposition de F∼ en une partie spherique et une partieunimodulaire
F∼ = F∼sph.F∼, F∼ : Ω0 −→ Ω0
on montre alors que FΩ0(F∼) = FΩ0(F∼sph) = FΩ0
(F∼sph)
la loi de comportement est donc de la forme σ∼ = f (J1∼)
• principe d’indifference materielle
σ∼′ = f (F∼
sph′) = f (J1∼) = σ∼
σ∼ = Q∼.σ∼ .Q∼
T , ∀Q∼∈ GO(E )
σ∼ ne peut etre qu’une homothetie...
Formulation des lois de comportement 101/146
Fluides elastiques
• cas particulier :GΩ0 = U(E )
• la loi de comportement est donc telle que
FΩ0 = FΩ0, ∀P∼ ∈ U(E )
• la loi de comportement est de la forme
σ∼ = −p(ρ)1∼
ou sa representation lagrangienne
Π∼ = JF∼−1.σ∼ .F∼
−T = −pJC∼−1
c’est un fluide elastique!
Formulation des lois de comportement 102/146
Une definition (mecanique) des fluides et des solides
• Un corps materiel est un fluide si, pour une configuration Ω0,le groupe des symetries materielles coıncide avec le groupeunimodulaire :
GΩ0 = U(E )
Le groupe des symetries materielles est alors le meme quelleque soit la configuration de reference.Un fluide ne possede pas de configuration de referenceprivilegiee.Un fluide est isotrope par rapport a toutes ses configurations.
• Un corps materiel est un solide s’il existe une configurationΩ0 par rapport a laquelle le groupe des symetries materiellesest un sous–groupe du groupe orthogonal :
GΩ0 ⊂ GO(E )
Une telle configuration est dite sans distorsion. C’est uneconfiguration privilegiee pour l’ecriture de la loi decomportement du solide.
Formulation des lois de comportement 103/146
Classification des corps materielson classe les corps materiels (non necessairement elastiques) en fonction
de leur groupe de symetrie
GLE
Formulation des lois de comportement 104/146
Classification des corps materielson classe les corps materiels (non necessairement elastiques) en fonction
de leur groupe de symetrie
GLE
UE (fluides)
Formulation des lois de comportement 105/146
Classification des corps materielson classe les corps materiels (non necessairement elastiques) en fonction
de leur groupe de symetrie
GLE
UE (fluides)
GOE
(solidesisotropes)
Formulation des lois de comportement 106/146
Classification des corps materielsGL
E
UE (fluides)
GOE
(solidesisotropes)
CristalE
(solides anisotropes)
(solides tricliniques)
Formulation des lois de comportement 107/146
Classification des corps materielsGL
E
UE (fluides)
(impossible)
GOE
(solidesisotropes)
CristalE
(solides anisotropes)
(solides tricliniques)
Formulation des lois de comportement 108/146
Classification des corps materielsGL
E
UE (fluides)
(impossible)
GOE
(solidesisotropes)
CristalE
(solides anisotropes)(cristaux liquides)
(solides tricliniques)
Formulation des lois de comportement 109/146
Milieux materiels visqueux
• on a generalise le comportement du “ressort” a un milieumateriel tridimensionnel
∆lF
F = kδl σ∼ = R∼ .FΩ0(C∼).R∼T
• comment generaliser le comportement d’un “amortisseur” aun milieu materiel tridimensionnel ?
∆lF
F = ηl σ∼ = FΩ0(ρ,D∼ )
Formulation des lois de comportement 110/146
Milieux materiels visqueux
• changement de configuration de reference
L∼ = F∼.F∼−1 =
•︷︸︸︷F∼.P∼ .(F∼.P∼)−1 = L∼
ce sont des fluides !
Formulation des lois de comportement 111/146
Milieux materiels visqueux
• changement de configuration de reference
L∼ = F∼.F∼−1 =
•︷︸︸︷F∼.P∼ .(F∼.P∼)−1 = L∼
ce sont des fluides visqueux, dits de Reiner–Rivlin (1945)
• changement de referentiel
Q∼.FΩ0(D∼ ).Q
∼T = FΩ0(Q∼ .D∼ .Q∼
T )
FΩ0 est une fonction isotrope de son argument
σ∼ = α01∼ + α1D∼ + α2D∼2
les αi sont des fonctions de ρ et des invariants de D∼il est remarquable que les principes fondamentaux conduisentdans ce cas a une forme si precise de la loi de comportement!Remarquer toutefois que l’on s’est restreint d’emblee au casde fluides en choisissant σ∼ = FΩ0(D∼ )...
Formulation des lois de comportement 112/146
Quelques lois de comportement illicites
Pourquoi les lois suivantes sont–elles inacceptables ?
σ∼ = ηx ⊗ x
σ∼ = ηv ⊗ v
B∼ = ηtnσ∼
σ∼ = ηD∼
Formulation des lois de comportement 113/146
Plan1 Cinematique et statique du milieu continu
Transformations, deformationsVitesses de deformationsContraintesChangement de referentiel
2 Formulation des lois de comportementPrincipe d’indifference materielleGroupe des symetries materiellesLe crible de la thermodynamique
3 Elastoviscoplasticite en transformations finiesDecomposition multiplicativeFormulation en referentiels locaux objectifsExemple : le glissement simple
4 Milieux continus generalises en transformations finiesCinematique et statique du milieu de CosseratElastoviscoplasticte de Cosserat
5 Conclusions et recommandations
Thermodynamique
• energieρe = σ∼ : D∼ + ρr − div q
ρ0e = Π∼ : E∼ + ρ0r − div Q
• entropie, inegalite de Clausius-Duhem
−ρ(e − T s)−q
T.gradT + σ∼ : D∼ ≥ 0
−ρ(Ψ + sT ) + σ∼ : D∼ −q
T.gradT ≥ 0
−ρ0(e − T s) + Π∼ : E∼ −Q
T.gradT >= 0
• dissipation
Dth = −q
T.gradT
D i = −ρ(Ψ + sT ) + σ∼ : D∼
Formulation des lois de comportement 115/146
Dissipation
• fonctions d’etat : energie interne e0(E∼, s0)energie libre de Helmholtz ψ(E∼,T ) = e0 − Ts0
• inegalite de Clausius–Duhem (dissipation volumique D)
D = Π∼ : E∼ − ρ0(ψ0 + T s0)−Q .Grad T
T≥ 0
• corps elastiques Π∼ = FΠΩ0
(E∼,T ), ψ0(E∼,T )
ψ0 =∂ψ0
∂E∼: E∼ +
∂ψ0
∂TT
D = (Π∼ − ρ0∂ψ0
∂E∼) : E∼ − ρ0(
∂ψ0
∂T+ s0)T −Q .
Grad T
T≥ 0
Formulation des lois de comportement 116/146
Lois d’etat des corps thermoelastiques
• relations d’hyperelasticite
Π∼ = ρ0∂ψ0
∂E∼, s0 = −∂ψ0
∂T
ψ0 s’appelle le potentiel d’elasticite (dissipation intrinsequenulle) remarque : ∂ψ0
∂Grad T = 0
• dissipation residuelle thermique
D = −Q .Grad T
T= −ρ0
ρq .gradT ≥ 0
loi de Fourier (loi de comportement thermique)
Q = −K∼ (E∼,T ).Grad T
il n’y a pas de potentiel thermique (dissipation totale)
• on peut utiliser d’autres mesures de deformation. En eulerien
σ∼ = 2ρ∂Ψ
∂B∼.B∼
(implique isotropie...)Formulation des lois de comportement 117/146
Hyperelasticite isotrope
• theoreme de representation pour les fonctions isotropes devariables tensorielles d’ordre 2
ψ0(E∼,T ) ≡ ψ0(I1, I2, I3,T )
les invariants principaux de E∼ sont
I1(E∼) := traceE∼, I2(E∼) :=1
2traceE∼
2, I3(E∼) :=1
3traceE∼
3
• lois de comportement hyperelastique
Π∼ = ρ0∂ψ0
∂I1
∂I1∂E∼
+ ρ0∂ψ0
∂I2
∂I2∂E∼
+ ρ0∂ψ0
∂I3
∂I3∂E∼
Π∼ = ρ0∂ψ0
∂I11∼ + ρ0
∂ψ0
∂I2E∼ + ρ0
∂ψ0
∂I3E∼
2
a rapprocher de la loi des corps elastiques isotropes dejaetablie
Π∼ = α01∼ + α1E∼ + α2E∼2
Formulation des lois de comportement 118/146
Exemple de loi elastique non hyperelastique
La loi suivante n’est pas hyperelastique
Π∼ =α
2(traceE∼
2) 1∼,∂α0
∂I2= 2 6= ∂α1
∂I1= 0
Pour le voir, on considere par exemple deux trajets, avecλ : 0 −→ 1 :
[E∼1(λ)] =
λ 0 00 λ 00 0 0
, [E∼2(λ)] =
λ 0 00 λ2 00 0 0
,W1 =
∫ tB
tA
2αλλ dt =2
3α, W2 =
∫ tB
tA
α
2(λ2+λ4)(1+2λ)λ dt =
41
60α
Le travail depend donc du trajet de deformation...
Formulation des lois de comportement 119/146
Hypoelasticite
5σ∼ = f (D∼ )
ou σ∼ est une derivee objective.Ce type de lois souffre des memes maux que les lois elastiques...
Formulation des lois de comportement 120/146
Plan1 Cinematique et statique du milieu continu
Transformations, deformationsVitesses de deformationsContraintesChangement de referentiel
2 Formulation des lois de comportementPrincipe d’indifference materielleGroupe des symetries materiellesLe crible de la thermodynamique
3 Elastoviscoplasticite en transformations finiesDecomposition multiplicativeFormulation en referentiels locaux objectifsExemple : le glissement simple
4 Milieux continus generalises en transformations finiesCinematique et statique du milieu de CosseratElastoviscoplasticte de Cosserat
5 Conclusions et recommandations
Plan1 Cinematique et statique du milieu continu
Transformations, deformationsVitesses de deformationsContraintesChangement de referentiel
2 Formulation des lois de comportementPrincipe d’indifference materielleGroupe des symetries materiellesLe crible de la thermodynamique
3 Elastoviscoplasticite en transformations finiesDecomposition multiplicativeFormulation en referentiels locaux objectifsExemple : le glissement simple
4 Milieux continus generalises en transformations finiesCinematique et statique du milieu de CosseratElastoviscoplasticte de Cosserat
5 Conclusions et recommandations
Plasticite anisotrope en transformations finiesexistence d’un triedre directeur
F p~
F~
e
F~
F∼ = F∼e .F∼
p
configuration intermediaire relachee isocline (locale, inaccessible(ecrouissage cinematique, viscoplasticite))archetype : le monocristal [Mandel 1973]plastic spin ? : il doit faire partie de la LDC
Elastoviscoplasticite en transformations finies 123/146
Materiaux standards generalises (1)
• deformation elastique et tenseur de contraintes sur laconfiguration intermediaire :
E∼e =
1
2(F∼
e .F∼eT − 1∼), Π∼
e =ρi
ρF∼
e−1.σ∼ .F∼e−T
energie libre Ψ(E∼e ,T ,α∼)
• puissance des efforts interieurs
1
ρσ∼ : (F∼.F∼
−1) =1
ρi(Π∼
e : E∼e+ (F∼
et .F∼e .Π∼
e) : (F∼p.F∼
p−1))
• l’inegalite de Clausius-Duhem s’ecrit alors :
ρ(Π∼
e
ρi− ∂Ψ
∂E∼e ) : E∼
e−ρ(s+∂Ψ
∂T)T−ρ∂Ψ
∂α∼: α∼+M∼ : F∼
p.F∼
p−1 ≥ 0
lois d’etat :
Π∼e
ρi=
∂Ψ
∂E∼e , X∼ = ρ
∂Ψ
∂α∼, s = −∂Ψ
∂T
Elastoviscoplasticite en transformations finies 124/146
Materiaux standards generalises (2)
• dissipation residuelle : D = M∼ : F∼p.F∼
p−1 − X∼ : α∼tenseur de Mandel :
M∼ := F∼eT .F∼
e .Π∼
e
ρi
• potentiel de dissipation Ω(M∼ ,X∼)
F∼p.F∼
p−1 =∂Ω
∂M∼, α∼ =
∂Ω
∂X∼
Elastoviscoplasticite en transformations finies 125/146
Plan1 Cinematique et statique du milieu continu
Transformations, deformationsVitesses de deformationsContraintesChangement de referentiel
2 Formulation des lois de comportementPrincipe d’indifference materielleGroupe des symetries materiellesLe crible de la thermodynamique
3 Elastoviscoplasticite en transformations finiesDecomposition multiplicativeFormulation en referentiels locaux objectifsExemple : le glissement simple
4 Milieux continus generalises en transformations finiesCinematique et statique du milieu de CosseratElastoviscoplasticte de Cosserat
5 Conclusions et recommandations
Approche en referentiel local objectif
On considere une loi de la forme :
σ∼∗ = f (D∼
∗)
ou σ∼∗ = Q
∼∗.σ∼ .Q∼
∗T et D∼∗ = Q
∼∗.D∼ .Q∼
∗T sont les contraintes ettaux de deformations lues dans un referentiel local objectif.
Exemple : referentiel corotationnel, cas isotrope
σ∼c = λ(TrD∼
c)1∼ + 2µD∼c
et revenons dans le referentiel d’observation, on trouve:
Q∼
cT .σ∼c .Q
∼c = σ∼
J = λ(TrD∼ )1∼ + 2µD∼
ou l’on reconnaıt la derivee de Jaumann.
avantage : f quelconque... inconvenient : hypoelastique...
Elastoviscoplasticite en transformations finies 127/146
Lois de comportement elastoviscoplastiques enreferentiel local objectif
ε∼ = ε∼e + ε∼
p
ε∼p = f (σ∼ ,α∼)
σ∼ = C∼∼: ε∼
e
α∼ = h(α, ε∼p)
=⇒e∼ = Q
∼T .D∼ .Q∼ ,
s∼ = Q∼
T .ρ0ρ σ∼ .Q∼
=⇒
e∼ = e∼e + e∼
p
e∼p = f (s∼,α∼)
s∼ = C∼∼: e∼
e
α∼ = h(α∼ , e∼p)
• referentiel corotationnel : Q∼
tel que Q∼
T.Q∼
= W∼• referentiel en rotation propre : Q
∼= R∼
• quelques precautions : base experimentale, identification,complements de lois d’ecrouissage...
Elastoviscoplasticite en transformations finies 128/146
Plan1 Cinematique et statique du milieu continu
Transformations, deformationsVitesses de deformationsContraintesChangement de referentiel
2 Formulation des lois de comportementPrincipe d’indifference materielleGroupe des symetries materiellesLe crible de la thermodynamique
3 Elastoviscoplasticite en transformations finiesDecomposition multiplicativeFormulation en referentiels locaux objectifsExemple : le glissement simple
4 Milieux continus generalises en transformations finiesCinematique et statique du milieu de CosseratElastoviscoplasticte de Cosserat
5 Conclusions et recommandations
Cinematique du glissement simple2
1
2
1
γ
θθ
ο
οC C
F∼ = 1∼ + γe 1 ⊗ e 2
rotation des fibres materielles :
tan θ = tan θ0 + γ, θ =γ
1 + (tan θ0 + γ)2
< θL >=γ
π
π/2∫−π/2
1
1 + (tan θ0 + γ)2dθ0 =
γ
2(1 + γ2
4 )
< θe >=γ
π
π/2∫−π/2
1
1 + tan2θdθ =
γ
2
le referentiel corotationnel tourne sans arret! la rotation propre sature...Elastoviscoplasticite en transformations finies 130/146
Glissement simple en elasticite
• formulation lagrangienne
Π∼ = 2µ E∼ + λTrE∼ 1∼
Π∼ et E∼ sont respectivement le second tenseur dePiola-Kirchhoff et le tenseur de Green-Lagrange
• formulation eulerienne
σ∼ = 2µ log V∼ + λ Tr (log V∼) 1∼
V∼ intervient dans la decomposition polaire F∼ = V∼R∼• formulations en referentiel local objectif
s∼ = 2µ e∼ + λTr e∼ 1∼
Q∼
= Q∼ c
(corotationnel)
Q∼
= R∼ (rotation propre)
Elastoviscoplasticite en transformations finies 131/146
Glissement simple en elasticite
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Elastoviscoplasticite en transformations finies 132/146
Glissement simple en plasticite
cas rigide plastique en referentiel corotationnel :
• critere f (s∼,R,X∼) = J2(s∼− X∼)− R
p =
√2
3D∼ : D∼ J2(s∼− X∼) =
√3
2(s∼
dev − X∼) : (s∼dev − X∼)
• regle d’ecoulement e∼ = p∂f
∂s∼• lois d’evolution
X∼ =2
3C e∼
p − D p X∼
• solution :8>><>>:σ11 = −σ22 =
C
D2 + 3(1− exp(−
D√
3γ)(cos γ +
D√
3sin γ))
σ12 =C
3exp(−
D√
3γ) sin γ +
DC√
3(D2 + 3)(1− exp(−
D√
3γ)(cos γ +
D√
3sin γ)) +
R√
3
Elastoviscoplasticite en transformations finies 133/146
Glissement simple en plasticite
05
1015
20γ 0.2
0.40.6
0.81
1.21.4
D
-300-200-100
0100200300400
ecrouissage cinematique
Elastoviscoplasticite en transformations finies 134/146
Glissement simple en plasticite
! ! "
ecrouissage isotrope
Elastoviscoplasticite en transformations finies 135/146
Theorie continue de la plasticite cristalline
decomposition multiplica-tive [Mandel, 1973]
F∼ = F∼e .F∼
p,
F∼p.F∼
p−1 =n∑
s=1
γsP∼s
P∼s = m s ⊗ n s
F p~
F~
e
F~
Loi de Schmid
τ s = P∼s : σ∼
s
γs =<| τ s | −r s
k>n signτ s
Loi d’ecrouissage r s = r0 + qn∑
r=1
hsr (1− exp(−b1vr ))
Elastoviscoplasticite en transformations finies 136/146
Le monocristal en glissement simple
e 1 = [100]/e 2 = [001]
Elastoviscoplasticite en transformations finies 137/146
Le monocristal en glissement simple
e 1 = [100]/e 2 = [001]
Elastoviscoplasticite en transformations finies 138/146
Plan1 Cinematique et statique du milieu continu
Transformations, deformationsVitesses de deformationsContraintesChangement de referentiel
2 Formulation des lois de comportementPrincipe d’indifference materielleGroupe des symetries materiellesLe crible de la thermodynamique
3 Elastoviscoplasticite en transformations finiesDecomposition multiplicativeFormulation en referentiels locaux objectifsExemple : le glissement simple
4 Milieux continus generalises en transformations finiesCinematique et statique du milieu de CosseratElastoviscoplasticte de Cosserat
5 Conclusions et recommandations
Mecanique des milieux continus generalises
Principe de l’action locale: seule compte l’histoire d’un voisinagearbitrairement petit de la particule X
[Truesdell, Toupin, 1960] [Truesdell, Noll, 1965]
Milieu
Continu
action
locale
action
non localetheorie non locale: formulation integrale [Eringen, 1972]
milieumateriellementsimple: F
milieu nonmateriellementsimple
milieu de Cauchy (1823)(classique / Boltzmann)
milieud’ordre n
milieude degre n
Cosserat (1909)u R
micromorphe[Eringen, Mindlin 1964]u χ
second gradient[Mindlin, 1965]F F ∇
gradient de variableinterne [Maugin, 1990]u α
Milieux continus generalises en transformations finies 140/146
Plan1 Cinematique et statique du milieu continu
Transformations, deformationsVitesses de deformationsContraintesChangement de referentiel
2 Formulation des lois de comportementPrincipe d’indifference materielleGroupe des symetries materiellesLe crible de la thermodynamique
3 Elastoviscoplasticite en transformations finiesDecomposition multiplicativeFormulation en referentiels locaux objectifsExemple : le glissement simple
4 Milieux continus generalises en transformations finiesCinematique et statique du milieu de CosseratElastoviscoplasticte de Cosserat
5 Conclusions et recommandations
Le milieu de Cosserat en transformationsinfinitesimales
cinematique D.O.F. u ,Φ
µ
µ
+=
µ
σ
σ
σσ
σ11 31
11
31
21
12
3222
L
1
2
elasticite isotrope
σ∼ = λ 1∼ Tr e∼e + 2µ e∼
e + 2µce∼
e
µ∼
= α 1∼ Trκ∼e + 2β κ∼
e + 2γ κ∼e
deformation de Cosse-rat
eij = ui,j + εijkΦk
tenseur de courbure
κij = Φi,j
statiqueforces–contraintes
σij,j + fi = 0
couples de contraintes
µij,j − εijkσjk + ci = 0
Milieux continus generalises en transformations finies 142/146
Plan1 Cinematique et statique du milieu continu
Transformations, deformationsVitesses de deformationsContraintesChangement de referentiel
2 Formulation des lois de comportementPrincipe d’indifference materielleGroupe des symetries materiellesLe crible de la thermodynamique
3 Elastoviscoplasticite en transformations finiesDecomposition multiplicativeFormulation en referentiels locaux objectifsExemple : le glissement simple
4 Milieux continus generalises en transformations finiesCinematique et statique du milieu de CosseratElastoviscoplasticte de Cosserat
5 Conclusions et recommandations
Le milieu de Cosserat en transformations finies
• D.O.F. et gradientsd i = R∼ .d
0i
F∼ = 1∼ + u ⊗∇
Γ∼ =1
2ε∼ : (R∼ (R∼
T ⊗∇ ))
• hyperelasticite σ∼ = ρ R∼ .
∂ψ
∂]F∼.F∼
T
µ∼
= ρ R∼ .∂ψ
∂]Γ∼.F∼
T
• elastoplasticite]F∼ = ]F∼
e ]F∼p
]Γ∼ = ]Γ∼e + ]Γ∼
p
]Γ∼ = ]Γ∼e ]F∼
p + ]Γ∼p
Milieux continus generalises en transformations finies 144/146
Plan1 Cinematique et statique du milieu continu
Transformations, deformationsVitesses de deformationsContraintesChangement de referentiel
2 Formulation des lois de comportementPrincipe d’indifference materielleGroupe des symetries materiellesLe crible de la thermodynamique
3 Elastoviscoplasticite en transformations finiesDecomposition multiplicativeFormulation en referentiels locaux objectifsExemple : le glissement simple
4 Milieux continus generalises en transformations finiesCinematique et statique du milieu de CosseratElastoviscoplasticte de Cosserat
5 Conclusions et recommandations
Conclusions et recommandationsapplications : mise en forme, rupture...
• pas d’etat d’ame sur les mesures de deformation...
• pas de religion des derivees objectives...
• concentrer l’effort sur l’interpretation des resultatsexperimentaux!
• concentrer l’effort sur l’anisotropie et l’evolution del’anisotropie
• par souci d’efficacite, on peut adopter les formulations enreferentiel local objectif
• concernant les LDC :? generaliser les lois HPP? ne pas extrapoler, reidentifier (eventuellement sur structure),
completer les LDC? utiliser les informations donnees par les textures, ce qui evite
de developper des modeles purement phenomenologiques tropcomplexes
Conclusions et recommandations 146/146