INSTITUTO UNIVERSITARIO DE TECNOLOGÍA

“ANTONIO JOSÉ DE SUCRE”

EXTENSIÓN BARQUISIMETO

DEPARTAMENTO DE DISEÑO DE OBRAS CIVILES

Longitud de una curva

Leonard S. Colmenarez G.

C.I: 22.190.454

Diseño de Obras civiles

Sección S2

BARQUISIMETO AGOSTO 2015

INTRODUCCION

Si se planea recorrer la ruta de las montañas hacia el mar en Carolina del Norte,

necesitara conocer la longitud de ese camino curvo para saber la cantidad de comida

y el equipo que se debe llevar consigo. En esta investigación se analizara como

determinar la longitud de una trayectoria curva y la idea íntimamente relacionada con

esta de determinar el área de una superficie curva.

Longitud de una curva plana

¿Cuál es la longitud de la curva espiral que se muestra en la

figura 1?

Si fuese un pedazo de cuerda, la mayoría de nosotros la

estiraríamos y la mediríamos con una regla. Pero si es la

grafica de una ecuación, resulta más difícil de hacer.

Un poco de reflexión sugiere una pregunta previa. ¿Qué es

una curva plana?

Hasta ahora hemos utilizado el término curva de manera informal, con frecuencia, en

referencia a la grafica de una función. Este es el momento de ser más precisos, aun

para curvas que no son graficas de funciones. Comenzaremos con varios ejemplos.

La grafica de y=sen x ,0 ≤ X ≤ π es una curva plana (véase la figura 2). También lo es

la grafica de x= y2 , −2 ≤ y ≤ 2 (véase la figura3). En ambos casos, la curva es la

grafica de una función, la primera de la forma y=f ( x ), la segunda de la forma

x=g ( y ) .

Sin embargo, la curva espiral no se ajusta a ninguno de estos patrones. Tampoco la

circunferencia x2+ y2=a2, aunque en este caso podríamos considerarla como la grafica

combinada de las dos funciones y=f ( x )0√a2−x2 y y=g ( x )=−√a2−x2.

La circunferencia sugiere otra manera de pensar con respecto a las curvas. De

trigonometría, recuerde que

x=acos t , y=a sent , 0 ≤ t ≤ 2 π

Describen la circunferencia x2+ y2=a2 (vease la

figura 4). Considere a t como el tiempo y que x y

y dan la posicion de una particula en el instante t .

La variable t se denomina parametro. Tanto x

com y se expresan en terminos de este parametro.

Decimos que x=acos t, y=asen t ,0≤ t ≤ 2 π , son

escuaciones parametricas que describen a la

circunferencia.

Si tuviesemos que graficar las ecuaciones parametricas x=t cos t , y=t sen t ,0 ≤ t ≤ 5 π ,

obtendriamos una curva parecida a la espiral con la que iniciamos. Incluso, podemos

pensar en la curva seno (figura 2) y la parabola (figura 3) en forma parametrica.

Escribimos

x=t , y=sen t , 0≤ t ≤ π

Y

x=t 2 , y=t ,−2≤ t ≤ 2

Asi, para nosotros una curva plana esta determinada por un par de ecuaciones

parametricas x= f (t ) , y=g (t ) , a ≤ t ≤ b , en donde suponemos que f y g son continuas

en el intervalo dado. Conforme t aumenta de a a b, el punto (x , y ¿ traza una curva en

el plano. He aquí otro ejemplo.

ejemplo 1

Dibuje la curva determinada por las ecuaciones parametricas

x=2 t+1 , y=t 2−1 ,0 ≤t ≤ 3.

SOLUCION Construimos una tabla de valores, con tres columnas, despues trazamos

las parejas ordenadas (x , y ), y por ultimo conectamos estos puntos en el orden

creciente de t , como se muestra en la figura 5.para producir tal grafica, puede

utilizarse una calculadora grafica o un CAS (del ingles computer algebra sistem:

sistema de algebra computacional). Por lo regular, tal software produce una grafica

creando una tabla, al igual que una persona que resuelva el caso, y conecta los puntos.

En realidad, la definicion que se ha dado es demasiado amplia para los propositos que

se tienen en mente , asi que de inmediato se restringira a lo que se denomina curva

suave. El abjetivo suave se eligio para indicar eso como un objeto que se mueve a lo

largo de la curva, de modo que su posicion en el instante t , que es (x , y ¿, no sufrira

cambios repentinos de direccion (la continuidad de f ´ y de g ´, aseguran esto) y no se

detiene ni regresa por la misma curva (esto se asegura si f ´ (t) y g ´ (t ) no son cero de

manera simultanea).

DEFINICION

Una curva plana es suave si esta determinada por un par de ecuaciones parametricas

x= f (t ) , y=g ( t ) , a≤ t ≤ b ,en donde f ´ y g´ existen y son continuas en [a ,b], y f ´ (t) y

g´ ( t ) no son cero de manera simultanea en (a , b¿.

La forma en que una curva se parametriza, esto es, la forma en que se eligen las

funciones f (t ) y g(t ) y el dominio para t , determina una direccion positiva. Por

ejemplo cuando t=0, en el ejemplo 1 (figura 5)., la curva esta en el punto (1, -1), y

cuando t=1, la curva esta en (3,0). Cuando t aumenta desde t=0 hasta t=3, la curva

sigue una trayectoria de (1, -1) a (7,8). Esta direccion, que a menudo se indica por

medio de una flecha en la curva, como se muestra en la figura 5, se denomina la

orientacion de la curva. La orientacion de una curva es irrelevante para la determinacion de su

longitud, pero en problemas que se encontraran mas adelante, la orientacion es importante.

Ejemplo 2

Dibuje la curva determinada por medio de

las ecuaciones parametricas

x=t−sent , y=1−cost , 0≤ t ≤ 4 π .Indique la

orientacion. ¿la curva es suave?

SOLUCION

La tabla que muestra los valores de x

Y y para varios valores de t , desde 0 hasta

4π, guía a la grafica de la figura 6. Esta

curva no es suave aunque x y y son

funciones diferenciales de t . El problema es

que dxdt

=1−cos t y dydt

=sent son 0 de

forma simultánea cuando t=2 π . El objeto baja lentamente hasta detenerse en el

instante t=2π , luego empieza a subir en una nueva dirección.

Figura 6

La curva descrita en el ejemplo 2 se denomina cicloide. Describe la trayectoria de un

punto fijo en el borde de una rueda de radio 1, cuando la rueda se hace rodar a lo largo

del eje x.

Longitud de arco Por último, se está ya preparado para la pregunta principal.

¿Qué significa la longitud de la curva suave dada de forma parametrica por

x=f (t ) , y=g (t ) , a≤ t ≤ b ?

Divida el intervalo [a, b] en n subintervalos por medio de los puntos t i:

Esto corta a la curva en n pedazos con correspondientes

puntos extremos Q0 ,Q1 ,Q2 ,….Qn−1 ,Qn ,como se muestra

en la figura 7.

La idea es aproximar la curva por medio del segmento de

línea poligonal indicada, calcular su longitud total y

después tomar el límite cuando la norma de la partición

tiene a cero. En particular, aproximamos la longitud ∆ si

del i-esimo segmento (véase la figura 7) por

Del teorema del valor medio para derivadas, se sabe que existen puntos en (t i−1 , ti ¿

tales que

En donde ∆ t i=t i−t i−1 . Por lo tanto,

Y la longitud total del segmento de línea poligonal es

La última expresión es casi una suma de Riemann, la única dificultad es que t i y ti no

parecen ser el mismo punto. Sin embargo, se demuestra en textos de cálculo avanzado

que el limite (cuando la norma de la partición tiende a 0) esto no importa. Por esto,

podemos definir la longitud de arco L de la curva como el límite de la expresión

anterior cuando la norma de la partición tiende a cero; es decir,

Dos casos especiales son de gran interés, Si la curva está dada por y=f ( x ) , a ≤ x≤ b ,

tratamos a x como el parámetro y el resultado del recuadro toma la forma

De manera análoga, si la curva está dada por x=g ( y ) , c≤ y≤ d , consideramos a y

como el parámetro, obteniendo

Estas formulas dan los resultados conocidos para círculos y segmentos de recta, como

lo ilustran los siguientes ejemplos.

Ejemplo 3 encuentre el perímetro de la

circunferencia x2+ y2=a2.

SOLUCION Escribimos la ecuación de la

circunferencia en forma parametrica:

x=a cos t , y=a sen t , 0≤ t ≤ 2π . Entonces

dxdt

=−asen t , dydt

=acos t , y por primera de

nuestras formulas,

Ejemplo 4 Encuentre la longitud del segmento de recta de A (0, 1) a B (5, 13).

SOLUCIÓN El segmento de recta dado se

muestra en la figura 8. Observe que la ecuación

de la recta correspondiente es y=125 x

+1, de

modo que dydx

=125 ; y así, por la segunda de las

tres fórmulas para la longitud,

Esto coincide con el resultado que se obtiene por medio de la formula de distancia.

Ejemplo 5 Encuentre la longitud del arco de la curva y = x3>2, desde el punto

(1, 1) hasta el punto (4, 8) (véase la figura 9).

SOLUCION Empezamos por estimar esta longitud

encontrando la longitud del segmento que va de (1,

1) a (4, 8):√(4−1)2+(8−1)2=√58 ≈ 7.6 La longitud

real debe ser un poco mayor.

Para el cálculo exacto, se observa que dydx

= 3

2 x12 , de modo que

Sea u=1+ 94 x

; entonces du=94

dx . de aquí que,

Por lo tanto,

Para la mayor parte de los problemas de longitud de arco es fácil configurar la

integral definida que proporciona la longitud. Sólo es cosa de sustituir las derivadas

necesarias en la fórmula. Sin embargo, con frecuencia es difícil, si no imposible,

evaluar estas integrales por medio del Segundo Teorema Fundamental del Cálculo, a

consecuencia de la dificultad de determinar las anti derivadas. Para muchos

problemas debemos recurrir a una técnica numérica tal como la regla de la parábola,

para obtener un aproximado de la integral definida.

Ejemplo 6 Dibuje la grafica de la curva

dada de forma parametrica por

x=2 cos t , y=4 sent ,0 ≤ t ≤ π . Establezca una

integral definida que proporcione la longitud

del arco y aproxime esta integral definida por

medio de la regla de la parábola con n=8.

SOLUCION La gráfica (véase la figura 10)

se dibujó, como en los ejemplos anteriores,

construyendo primero una tabla de valores

con tres columnas. La integral definida que

proporciona la longitud del arco es

Esta integral definida no puede evaluarse por medio del Segundo Teorema

Fundamental del Cálculo. Sea f ( t )=√1+3cos2t . La aproximación por medio de la

regla de parábola con n=8 es

Diferencial de la longitud de arco

Sea f continuamente diferente en (a,

b). Para cada x en (a, b), defínase s ( x )

como

Entonces, s(x) de la longitud del arco de la curva y=f (u) desde el punto (a , f (a)¿

hasta ( x , f ( x ) ) (véase la figura 11). Por medio del primer teorema fundamental del

calculo

Por lo que ds, la diferencial de la longitud del arco, puede escribirse como

En efecto, dependiendo de cómo se parametrica una

gráfica, llegamos a tres fórmulas para ds:

Algunas personas prefieren recordar estas fórmulas escribiendo (véase l figura 12)

Las tres formas surgen de dividir y multiplicar el

lado derecho por ,(dx )2 ,(dy)2 ,(dt )2,

respectivamente. Por ejemplo

Que da la primera de las tres formulas.

Área de una superficie de

revolución Si se hace girar una curva plana suave

alrededor de un eje en su plano, genera una

superficie de revolución, como se ilustra en la

figura 13. La meta es determinar el área de la

superficie.

Para empezar se introduce la fórmula para el

área de un tronco o cono truncado.

Un tronco o cono truncado es la parte de la

superficie de un cono comprendida entre dos

planos perpendiculares al eje del cono

(sombreado en la figura 14). Si un cono

truncado tiene radios de sus bases r1 y r2, y

altura oblicua l, entonces su área A está dada

por

La deducción de este resultado sólo depende de la fórmula para el área de un círculo.

Supóngase que y=f ( x ), a≤ x≤ bdetermina una curva suave en la

mitad superior del plano xy, como se muestra en la figura 15.

Divídase el intervalo [a, b] en n pedazos por medio de los puntos a=x0<x1<⋯<xn ¿b

, y por ello también se divide a la curva en n partes. Denótese con ∆ sisi a la longitud

del i-ésimo pedazo y sea y, la ordenada de un punto de ese pedazo. Cuando la curva

se hace girar alrededor del eje x, genera una superficie y el pedazo representativo

genera una banda angosta. El “área” de esta banda podría aproximarse a la de un cono

truncado, esto es, aproximadamente 2 π y i ∆ si . Cuando sumamos las contribuciones

de todos los pedazos y tomamos el límite cuando la norma de la partición tiende a

cero, obtenemos lo que definimos como el área de la superficie de revolución. Todo

esto está indicado en la figura 16. Así, el área de la superficie es

Ejemplo 7 Encuentre el área de la

superficie de revolución generada al hacer girar

la curva y=√x , 0≤ x≤ 4 , en torno al eje x (véase

la figura 17).

SOLUCION

Si la curva se da en forma parametrica por x=f (t ) , y=g (t ) , a ≤ t ≤ b , entonces la

formula parra el área de la superficie se transforma en

Conclusión

Hemos llegado al final de la investigación, y ahora solo no queda retomar las

ideas fundamentales desarrolladas a través de este trabajo. Considerando que el

estudio de las aplicaciones de la integral constituye uno de los ámbitos más

importantes en el estudio de las matemáticas, se ha intentado presentar una visión lo

más clara posible del mismo.

En tal sentido, el propósito fundamental no fue otro que ofrecer algunas de las

técnicas para el cálculo de la longitud de una curva que le ayude a abordar de manera

más eficaz los estudios referentes al tema y que, al mismo tiempo, constituirán las

herramientas de trabajo intelectual en un nivel inicial de las carreras de ingeniería.

Bibliografía

Cálculo Diferencial e Integral – Edwards & Penney – 4ta Edición

Cálculo Diferencial e Integral –Purcell Varberg Rigdon– 9na Edición