lorator n3_tpi

8

Universitatea Tehnic a Moldovei

Facultatea Calculatoare, Informatic i Microelectronic

Catedra Automatica i Tehnologii InformaionaleRAPORT

Lucrarea de laborator nr. 2realizat n Wolfram Mathematica 8.0

Tema: Teoria probabilitilor

Varianta 17

A efectuat:

st. gr. TI - 122

A.Cobla

A verificat: lect. Assist

I.LisnicChiinu | UTM | 2012

Rezolvare: 1. Este dat seria de repartiie a variabilei aleatoare discrete (:

Se cere: 1)s introduc n Sistemul Mathematica v.a.d. (; 2)funcia de repartiie i graficul ei; 3)probabilitatea ca ( s primeasc valori din intervalul [1;4); 4) sperana matematic; 5) dispersia; 6) abaterea medie ptratic; 7) momentele pniiale de ordine pn la 4 inclusiv; 8) momentele centrate de ordine pn la 4 inclusiv; 9) aspmetria; 10) excesul.

Rezolvare:

1)Introducem n sistemul Mathematica seria de repartiie:

2)Aplicnd formula , obinem:

Introducem funcia de repartiie n sistemul Mathematica:

3)Probabilitatea c ( va primi valori de pe intervalul [1;4) se calculeaz conform forumulei

4)Sperana matematic se calculeaz dup formula

Aplicm sistemul Matematica:

5)Dispersia se calculeaz dup formula:

Aplicm sistemul Matematica:

6)Abaterea medie ptratic este rdcina patrat din valoarea dispersiei:

Aplicm sistemul Mathematica:

7)Momentele iniiale se calculeaz dup formula

unde s=1,2,


8)Momentele centrate se calculeaz dup formula

Apicm sistemul Mathematica:

9) Asimetria poate fi calculat dup formula


10)Excesul se gsete dup formula


2. Presupunem c probabilitatea statistic ca un copil nou nscut s fie in biat este 0,51. Se cere: 1)s se determine seria de repartiie a variabilei aleatoare ( care reprezint numrul de biei printre 1000 de copii noi nscui; 2) s se calculeze probabilitatea ca printre 1000 de copii noi nscui numrul bieilor s fie cuprims ntre 3017 i 5017.Rezolvare:

Numrul de biei printre 1000 de copii nou-nscui este o variabil aleatoare discret, care determin o serie de repartiie binomial (merge vorba de repetarea unor probe independente, cu probabilitatea evenimentelor ce se pot produce constant, de un numr tiut de ori).Aadar,

1)

2) Se va utiliza suma probabilitilor incluse n acest interval, adic

Dac p=0,51, tunci q=1-p=1-0,51=0,49.


3. Numrul ( de particule alfa emise de un gram de o substan radioactiv ntr-o secund este o variabil aleatoare discret cu legea de repartiie Poisson cu parametrul a, unde a este numrul mediu de particule alfa emise ntr-o secund i se determin experimental pentru fiecare substan radioactiv. 1) S se determine seria de repartiie a v.a.d. (. 2)S se calculeze probabilitile evenimentelor: A = (ntr-o secund vor fi emise nu mai mult de dou particule alfa( i B = (ntr-o secund vor fi emise cinci particule alfa(. C = (ntr-o secund vor fi emise mai mult de zece particule alfa(. Care este numrul de particule alfa care corespunde celei mai mari probabiliti? S se considere c a=5,25Rezolvare:

S-a spus n condiiile problemei c v.a.d. are o repartiie Poisson.

n cazul nostru, a=5.25, aa c repartiia va avea forma

Fraza Nu mai mult de 2 (-particule vor fi emise este echivalent cu zero, una sau dou (-particule vor fi emise. Formula va fi, conform principiului probabilitii sumei evenimentelor incompatibile, urmtoarea:


Cazul B este mai simplu calculm doar valoarea pentru (=5: Aplicm sistemumul Mathematica: Pentru cazul C, nu se poate calcula suma n mod direct (avem o infinitate de termeni); putem ns aplica formula; cum evenimentul opus lui C este nu mai mult de 10 (-particule vor fi emise, avem:


4. S se scrie legea de repartiie a variabilei aleatoare ( care reprezint numrul de aruncri nereuite ale unui zar pn la prima apariie a numrului 4. S se calculeze probabilitatea ca n timpul aruncrilor cu numerele de ordin de la 22 pn la 32 numrul 4 nu va aprea.Rezolvare:

Pentru rezolvarea acestei probleme foosim schema de repartiie Pascal (geometric) clasic.

, unde p=1/6, q=5/6.

Ideea rezolvrii este urmtoarea: condiia este c la aruncrile de ordinele incluse ntre 22 i 32 (inclusiv) nu va aprea numrul 4. Nu ne intereseaz ce se ntmpl la celelalte nici dup, nici nainte; aadar, vom scdea suma probabilitilor c numrul apare la aruncrile de la 1 la 6 (cu valoarea (, respectiv, lund valori ntregi de la 0 la 5) din suma probabilitilor c numrul apare la aruncrile de la 1 la 16 i rezultatul l vom scdea din 1.


5.Variabila aleatoare continue ( este definit de densitatea sa de repartiie f(x). S se determine: 1) reprezentarea v.a.c. ( n Sistemul Mathematica; 2) linia de repartiie, 3) funcia de repartiie F(x) i graficul ei, 4) sperana matematic, 5) dispersia, 6) abaterea medie ptratic, 7) coeficientul de variaie, 8) momentele iniiale de ordinele pn la 4 inclusiv, 9) momentele centrale de ordinele pn la 4 inclusiv, 10) asimetria, 11) excesul, 12) probabilitatea ca ( s primeasc valori din prima jumtate a intervalului de valori posibile.

Rezolvare:

1,2)Introducem densitatea de repartiie n sistemul Mathematica i linia de repartiie: 3) Funcia de repartiie se determin prin integrare pe segmentul, pe care funcia de dispersie ia valori nenule:


Prin urmare, funcia de repatiie este:


4) Sperana matematic se calculeaz dup formula :


5) Dispersia se calculeaz dup formula


6) Abaterea patratic medie este rdcina patrat din Dispersie:

7) Coeficientul de variaie se calculeaz dup formula

Aplicm sistemul Mathematica: 8) Momentele iniiale: 9) Momentele centrate:

Momentul centrat de ordinul 1 este egal cu 0 prin definiie; momentul centrat de ordinul 2 este egal cu dispersia (a fost calculat mai sus).


10) Asimetria se calculeaz conform formulei


11) Excesul se calculeaz din formula


12) Probabilitatea c ( va lua valori din prima jumtate a intervalului se calculeaz dup formula


6. Variabila aleatoare ( are repartiie normal cu sperana matematic m=7 i cu abaterea medie ptratic (=4. 1) s se instaleze pachetul de programe Statistics`NormalDistribution`; 2) s se defineasc (introduc) v.a.c. dat; 3) s se defineasc (determine) densitatea de repartiie; 4) s se construiasc linia de repartiie; 5) s se defineasc (determine) funcia de repartiie; 6) s se construiasc graficul funciei de repartiie; 7) s se construiasc pe acelai desen graficele densitii de repartiie i al funciei de repartiie; 8) s se construiasc pe acelai desen gfaficele densitii de repartiie i al funciei de repartiie astfel, ca grosimea graficului densitii de repartiie s fie egal cu 0,5 din grosimea standard, iar grosimea graficului funciei de repartiie s fie egal cu 0,9 din grosimea standard; 9)S se calculeze probabilitatea ca ( s primeasc valori din intervalul [5,8].

Rezolvare:

Mai nti se determin v.a.c. (: Pentru o v.a.c. cu repartiie normal, densitatea de repartiie este

n cazul nostru,

Fiindc se folosete sistemul Mathematica 8, nu este nevoie de iniializat pachetul Statistics`NormalDistribution` el este deja iniializat.

2) Introducem v.a.c. n Mathematica: 3) Definim funcia (densitatea de repartiie): 4) i construim graficul: 5)Determinm funcia de repartiie: 6)Construim graficul: 7) Construim densitatea de repartiie i funcia de repartiie pe acelai grafic: 8) Acelai lucru, dar cu grosimi diferite:

9) Probabilitatea se calculeaz dup formula utilizat mai sus:

7. nlimea unui brbat matur este o variabil aleatoare cu repartiie normal. Presupunem c aceast repartiie are parametrii m=175 cm i (=6 cm. S se fomeze programul de conficionare a costumelor brbteti pentru o fabric de confecii care se refer la asigurarea cu costume a brbailor, nlimile crora aparin intervalelor: [150,155), [155,160), [160,165), [165,170), [170,175), [175,180), [180,185), [185,190), [190,195), [195,200].Rezolvare:

Pentru problema in cauz vom avea urmtoarea formula pentru calculul densitaii de repartiie a v.a.c.

Probabilitatea c un individ se va afla ntr-un anumit interval va fi partea fracionar din numrul total de costume. De exemplu, dac probabilitatea pentru intervalul [150,155) este 0.04, atunci 4% din toate costumele trebuie s corespund acestei nlimi.


Aadar, programul trebuie s fie urmtorul:

Pentru brbaii de nlimea 150-155 cm: 0.041% din producia fabricii;









Pentru brbaii de nlimea 195-200 cm: 0.041% din producia fabricii. 8. Presupunem c o conversaie telefonic dureaz n mediu 5 minute i este o variabil aleatoare ( de repartiie exponenial. 1)S se introduc n Sistemul Mathematica densitatea de repartiie a.v.a.c. (. 2)S se determine funcia de repartiie i s se construiasc graficul ei. 3)Dac v apropriai de o cabin telefonic imediat dup ce o persoan a ntrat n ea atunci care este probabilitatea c o s ateptai nu mai mult de minute?

Rezolvare:

1.a) La repartiia exponenial exist o proprietate: valoarea medie a ei este egal cu 1/(. Aadar, m(=5 => (=1/5.

Densitatea de repartiie este, prin urmare, urmtoarea:


b) Construim linia de repartiie:

2.a)Funcia de repartiie este, prin definiia repartiiei exponeniale, urmtoarea:


b) Construim linia de repartiie: 3) Aceasta intrebare poate fi dat si n alt mod: Care este probabilitatea c ( va lua valori din intervalul (0, )?

Probabilitatea ca nu ve-i fi nevoii sa ateptai mai mult de minute poate fi calculat dup formula : .


9. Un autobus circul regulat cu intervalul 30 minute. 1)S se scrie n Sistemul Mathematica densitatea de repartiie a v.a.c. ( care reprezint durata ateptrii autobusului de ctre un pasager care vine la staie ntr-un moment aleator de timp. 2) S se construiasc linia de repartiie. 3)S se determine funcia de repartiie i s se construiasc graficul ei. 4)Care este probabilitatea c, sosind la staie, pasagerul va atepta autobusul nu mai mult de minute.Rezolvare:

1)Lund n consideraie faptul c autobusul circul regulat pasagerul poate atepta autobusul maxim 30 de minute, astfel avem umtoare densitate de repartiie:

2)Construim linia de repartiie Funcia de repartiie va fi F(x)=x/30.


4) Probabilitatea c pasagerul nu va atepta mai mult de 12 minute i 30 secunde o putem calcula conform formulei:


10. Cantitatea anual de precipitaii atmosferice are repartiie normal. Presupunem c cantitatea anual de precipitaii ntr-o careva regiune este o variabil aleatoare de repartiie normal de parametrii m = 500 (mm) i ( = 150. Care este probabilitatea c la anul viitor cantitatea de precipitaii va fi cuprins ntre m=485(mm) i 585. Dac considerm c un an este secetos cnd cantitatea de precipitaii nu depete 300 (mm), atunci care este probabilitatea c doi din viitorii zece ani vor fi secetoi?

Rezolvare:

Mai nti se determin v.a.c. (:

Pentru o v.a.c. cu repartiie normal, densitatea de repartiie este

.

n cazul concret densitatea de repartiie va fi:


Acum folosim schema Bernoulli pentru a calcula care este probabilitatea c din 10 ani , 2 vor fi secetoi

Probabilitatea ca un an poate fi secetos o putem calcula astfel:

Dac p=0.0908 atunci q=1-p=0.9092.

Aplicm sistemul Mathematica pentru a calcula probabilitate c din urmatorii 10 ani 2 vor fi secetoi:

_1256936608.unknown

_1416055810.unknown

_1416082980.unknown

_1416085180.unknown

_1416559339.unknown

_1416560560.unknown

_1416561127.unknown

_1416085760.unknown

_1416083373.unknown

_1416081426.unknown

_1416082965.unknown

_1416056384.unknown

_1416062291.unknown

_1256942267.unknown

_1257019701.unknown

_1257042052.unknown

_1259299663.unknown

_1259309027.unknown

_1259344988.unknown

_1257043125.unknown

_1257043725.unknown

_1257042380.unknown

_1257022679.unknown

_1257023198.unknown

_1257008901.unknown

_1257012432.unknown

_1257016966.unknown

_1257011888.unknown

_1257008684.unknown

_1256941185.unknown

_1256908897.unknown

_1256922130.unknown

_1256928541.unknown

_1256928578.unknown

_1256922141.unknown

_1256910489.unknown

_1256906926.unknown

_1256906988.unknown

_1256834005.unknown

lorator n3_tpi

Documents