Expresiones Algebraicas

Los 10 casos de Factorización

"Común" significa que están o que pertenecen a todos. De tal manera que factor común tiene el significado de la(s) cantidad(es) que aparece multiplicando en todos los términos de la expresión.

Ejemplo:4a 2b + 6abx 5= 2ab(2a + 3x 5)

Regla: Se localizan y se escriben todos los factores comunes en su máxima expresión, a continuación un paréntesis y adentro de él lo que queda de laexpresión original.

El proceso consiste en agrupar términos en cantidades iguales (de dos en dos, o de tres en tres, etc.), para luego factorizar cada grupo por factor común y finalmente volver a factorizar por factor común, en donde el paréntesis que debe quedar repetido en cada grupo es el factor común.

Ejemplo:2ac + bc + 10a + 5b = c(2a + b) + 5(2a + b)

Regla: el signo del primer término de cada grupo es el signo que debe ponerseen cada factorización por factor común.

Existe trinomio cuadrado perfecto cuando el primero y el tercer termino son raíces cuadradas exactas, y su segundo debe ser el doble producto de las raíces cuadradas de los términos cuadrados perfectos.

Ejemplo: x + 6x +9 = (x+3)2 2

X 32.x.3=6x

Regla: Para resolverlo sacamos las raíces del primer y el tercer término y seforma una resta de las dos raíces elevado al cuadrado.

Se lo utiliza cuando hay un binomio y sus dos términos son cuadrados perfectos y están separados por una resta.

Ejemplo:4a 2 - x 6= (2a + x 3)(2a - x 3)

Regla: Una diferencia de cuadrados se factoriza en dos binomios conjugados,formados con las raíces cuadradas de los términos originales.

Se lo utiliza cuando tenemos un trinomio y su segundo termino no es el resultado que da cuando se multiplica duplo de la raíz cuadradada del primero y el tercero.

Regla: Al comprobar que no es un trinomio cuadrado perfecto realizando laMultiplicación del duplo de la primera raíz por el tercer término. Procedemos aAgregamos un término y sumamos y restamos con el término para obtener elresultado

x + 3x +4 =4 2

+x -x(x + 4x + 4) - x 24 2

(x + 2) - x 2

[(x + 2) – x] [(x +2) – x]22

( x + 2 + x ) ( x + 2 – x )22

( x + x + 2 ) ( x + x – 2 )22

X + 3x + 4 = (x - x + 2 ) ( x - x + 2)2 24 2

Ejemplo:

Estos trinomios tienen que tener una sola equis cuadrada. La letra b representa en general a cualquier número que vaya junto a la x ; y la c representa a cualquier número que vaya sin la x.

Ejemplo:x + bx + c = (x+3)(x+2)

2

2

Regla: Para factorizar un trinomio de la forma x + bx + c , se buscan dosnúmeros que sumados den b y multiplicados den c. Estos números hallados secolocan cada uno en un paréntesis.

2

La diferencia de esta forma con la anterior es que en ésta debe haber más de una. La letra a representa un número que vaya junto a la x(indica cuántas equis cuadradas hay); la letra b representa a cualquier número que vaya junto a la x ; y la c representa a cualquier número que vaya sin la x .

2

Regla: Para factorizar se multiplica y se divide el trinomio por el coeficientedel 1er término, se resuelve el producto del primero y tercer término dejandoIndicado el segundo término, se factoriza como el caso de trinomio de laforma x + bx + c , o sea, se buscan dos números que multiplicados ysumados den lo mismo, y se factoriza los binomios resultantes sacándolesFactor común. Luego se descompone el denominador y por ultimo dividimos

Ejemplo:

15x - 23x + 415 ( 15x - 23x +4 )

15- 23 (15x) + 60(15x )

4 2

2 2-

(15x - 20) (15x – 3 )22

155 (3x -4) 3(5x -1)

5 . 315x - 23x + 4 = (3x -4) (5x -1)

La diferencia de esta forma con la anterior es que en ésta debe haber más de una. La letra a representa un número que vaya junto a la x(indica cuántas equis cuadradas hay); la letra b representa a cualquier número que vaya junto a la x ; y la c representa a cualquier número que vaya sin la x .

( a + b ) = a + 3 a b + 3 ab + b 33 22 3

( a - b ) = a - 3 a b + 3 ab - b 33 22 3

Regla: Una diferencia de cubos se factoriza en dos factores.El primer factor es un binomio formado con la resta de las raíces cúbicas de lostérminos; el segundo factor es un trinomio que se forma a partir delfactor anterior de la siguiente manera:Y Cuadrado del primer término (del primer factor antes obtenido);Y más el producto del primer término (del factor anterior) por el segundo;Y más el cuadrado del segundo término (del factor anterior).

Esta diferencia se da cuando tenemos dos términos y estos tiene raíces cubicas.

Ejemplo:

a -1 = (a-1) (a + a + 1)3 2

Siempre son dos términos sumados o restados que tienen raíz quinta, séptima u otra raíz impar

Regla: Abrir dos pares de paréntesis, en el primer paréntesis sacar raíz deambos términos y en el segundo paréntesis poner un polinomio donde el primertérmino vaya decreciendo y el segundo término vaya creciendo.Si es una suma, el polinomio es de signos intercaladosSi es una resta, el polinomio es de signos positivos.

Ejemplo:

X + y = (x + y) (x -x y + x y - xy +y )5 5 4 3 2 2 3 4