lothar papula mathematik fur ingenieure und ...978-3-8348-9220-1/1.pdf · lothar papula mathematik...

20
Lothar Papula Mathematik fur Ingenieure und Naturwissenschaftler Band 1

Upload: others

Post on 30-Aug-2019

14 views

Category:

Documents


1 download

TRANSCRIPT

Page 1: Lothar Papula Mathematik fur Ingenieure und ...978-3-8348-9220-1/1.pdf · Lothar Papula Mathematik fijr Ingenieure und Naturwissenschaftler Band 1 Ein Lehr- und Arbeitsbuch furdasGrundstudium

Lothar Papula

Mathematik fur Ingenieure und Naturwissenschaftler Band 1

Page 2: Lothar Papula Mathematik fur Ingenieure und ...978-3-8348-9220-1/1.pdf · Lothar Papula Mathematik fijr Ingenieure und Naturwissenschaftler Band 1 Ein Lehr- und Arbeitsbuch furdasGrundstudium

Lothar Papula

Mathematik fijr Ingenieure und Naturwissenschaftler Band 1 Ein Lehr- und Arbeitsbuch furdasGrundstudium

11., verbesserte und erweiterte Auflage

Mit 493 Abbildungen, zahlreichen Beispielen aus Naturwissenschaft und Technik sowie 307 Ubungsaufgaben mit ausfiJhrlichen Losungen

STUDIUM

VIEWEG+ TEUBNER

Page 3: Lothar Papula Mathematik fur Ingenieure und ...978-3-8348-9220-1/1.pdf · Lothar Papula Mathematik fijr Ingenieure und Naturwissenschaftler Band 1 Ein Lehr- und Arbeitsbuch furdasGrundstudium

Bibiiografische Information Der Deutschen Nationalbibliothek Die Deutsche Nationalbibliothek verzeichnet diese Publikation in der Deutschen Nationalbibliografie; detaillierte bibiiografische Daten sind im Internet uber <http://dnb.d-nb.de> abrufbar.

1. Auflage 1983 2., durchgesehene Auflage 1984 3., durchgesehene Auflage 1986 4., durchgesehene und erweiterte Auflage 1988 5., verbesserte Auflage 1990 6., verbesserte Auflage 1991 7., uberarbeitete und erweiterte Auflage 1996 8,, verbesserte Auflage 1998 9., verbesserte Auflage 2000

10., erweiterte Auflage Oktober 2001 11., verbesserte und erweiterte Auflage 2007

unveranderter Nachdruck 2008

Alle Rechte vorbehalten © Vieweg+Teubner Verlag | GWV Fachverlage GmbH, Wiesbaden 2008

Lektorat: Ewald Schmitt

Der Vieweg+Teubner Verlag ist ein Unternehmen von Springer Science+Business Media. www.viewegteubner.de

Das Werk einschlieBlich aller seiner Telle ist urheberrechtlich geschutzt. Jede Verwertung auBerhalb der engen Grenzen des Urheberrechtsgesetzes ist ohne Zustimmung des Verlags unzulassig und strafbar. Das gilt insbesondere fur Vervielfaltigungen, Ubersetzungen, Mikroverfilmungen und die Einspeicherung und Verarbeitung in elektronischen Systemen.

Die Wiedergabe von Gebrauchsnamen, Handelsnamen, Warenbezeichnungen usw. in diesem Werk berechtigt auch ohne besondere Kennzeichnung nicht zu der Annahme, dass solche Namen im Sinne der Warenzeichen- und Markenschutz-Gesetzgebung als frei zu betrachten waren und daher von jedermann benutzt werden dijrften.

Technische Redaktion: Hartmut Kuhn von Burgsdorff, Wiesbaden Umschlaggestaltung: KunkelLopka Medienentwicklung, Heidelberg Satz: Druckhaus Thomas Muntzer, Bad Langensalza Druck und buchbinderische Verarbeitung: Tesinska Tiskarna, a.s., Tschechien Gedruckt auf saurefreiem und chlorfrei gebleichtem Papier. Printed in Czech Republic

ISBN 978-3-8348-0224-8

Page 4: Lothar Papula Mathematik fur Ingenieure und ...978-3-8348-9220-1/1.pdf · Lothar Papula Mathematik fijr Ingenieure und Naturwissenschaftler Band 1 Ein Lehr- und Arbeitsbuch furdasGrundstudium

V

Vorwort

Das dreibandige Werk Mathematik fiir Ingenieure und Naturwissenschaftler ist ein Lehr- und Arbeitsbuch fiir das Grund- und Hauptstudium der naturwissenschafdich-tech-nischen Disziplinen im Hochschulbereich. Es wird durch eine mathematische Formel-sammlung, einen Klausurentrainer und ein Buch mit Anwendungsbeispielen zu ei-nem kompakten Lehr- und Lernsystem erganzt. Die Bande 1 und 2 lassen sich dem Grundstudium zuordnen, wahrend der dritte Band spezielle Themen tiberwiegend aus dem Hauptstudium behandelt.

Zur Stoffauswahl des ersten Bandes Die Erfahrungen der letzten Jahre zeigen, daB die Studienanfanger nach wie vor iiber sehr unterschiedliche und in der Regel nicht ausreichende mathematische Grundkennt-nisse verfiigen. Insbesondere in der Algebra bestehen groBe Defizite. Die Griinde hierfiir hegen u. a. in der Verlagemng der Schwerpunkte in der Schulmathematik und der Ab-wahl des Faches Mathematik als Leistungsfach in der gymnasialen Oberstufe. Ein naht-loser und erfolgreicher Ubergang von der Schule zur Hochschule ist daher ohne zusdtz-liche Hilfen kaum moghch. Dieser erste Band des Lehr- und Lemsystems leistet die dringend benotigte „Hilfestellung" durch Einbeziehung bestimmter Gebiete der Elemen-tarmathematik in das Grundstudium und schafft somit die Voraussetzung fiir eine tragfd-hige Verbindung („Briicke") zwischen Schule und Hochschule, ein Konzept, das sich bereits in der Vergangenheit bestens bewahrt hat und deshalb konsequent beibehalten wurde. Im vorliegenden ersten Band werden die folgenden Stoffgebiete behandelt:

• AUgemeine Grundlagen (u. a. Gleichungen und Ungleichungen, lineare Gleichungs-systeme, binomischer Lehrsatz)

• Vektoralgebra (zunachst in der anschaulichen Ebene und dann im Raum)

• Funktionen und Kurven (als wichtigste Gmndlage fiir die Differential- und Integral-rechnung)

• Differentialrechnung " (j^ii zahlreichen Anwendungen aus Naturwissenschaft • Integralrechnung / und Technik) • Potenzreihenentwicklungen (Mac Laurinsche und Taylorsche Reihen)

Eine Ubersicht iiber die Inhalte der Bande 2 und 3 erfolgt im AnschluB an das Inhalts-verzeichnis.

Page 5: Lothar Papula Mathematik fur Ingenieure und ...978-3-8348-9220-1/1.pdf · Lothar Papula Mathematik fijr Ingenieure und Naturwissenschaftler Band 1 Ein Lehr- und Arbeitsbuch furdasGrundstudium

VI Vorwort

Zur Darstellung des Stoffes Bei der Darstellung der mathematischen Stoffgebiete wurde von den folgenden tJberle-gungen ausgegangen:

• Mathematische Methoden spielen zwar in den naturwissenschaftlich-technischen Dis-ziplinen eine bedeutende RoUe, bleiben jedoch in erster Linie ein (unverzichtbares) Hilfsmittel

• Aufgrund der veranderten Eingangsvoraussetzungen und der damit verbundenen Defi zite soUte der Studienanfanger nicht iiberfordert werden.

Es wurde daher eine anschauliche, anwendungsorientierte und leicht verstandliche Dar-stellungsform des mathematischen Stoffes gewahlt. Begriffe, Zusammenhange, Satze und Formeln werden durch zahlreiche Beispiele aus Naturwissenschaft und Technik und an-hand vieler Abbildungen naher erlautert. Einen wesentlichen Bestandteil dieses Werkes bilden die Ubungsaufgaben am Ende eines jeden Kapitels (nach Abschnitten geordnet). Sie dienen zum Einiiben und Vertiefen des Stoffes. Die im Anhang dargestellten (und zum Teil ausfiihrlich kommentierten) Losungen ermoglichen dem Leser eine standige SelbstkontroUe. Mit der Verbesserung von Bildem wurden die Beispiele noch verstandlicher und opti-miert. Dazu zahlen auch zusatzlich aufgenommene Beispiele im Kapitel Potenzreihenent-wicklung.

Zur auBeren Form Zentrale Inhalte wie Defmitionen, Satze, Formeln, Tabellen, Zusammenfassungen und Beispiele sind besonders hervorgehober^:

• Definitionen, Satze, Formeln, Tabellen und Zusammenfassungen sind gerahmt und grau unterlegt.

• Anfang und Ende eines Beispiels sind durch das Symbol • gekennzeichnet.

Bei der (bildlichen) Darstellung von Flachen und raumlichen Korpern wurden Grau-raster unterschiedlicher Helligkeit verwendet, um besonders anschauliche und aussage-kraftige Bilder zu erhalten.

Zum Einsatz von Computeralgebra-Programmen In zunehmendem MaBe werden leistungsfahige Computeralgebra-Programme wie z. B. DERIVE, MATHCAD oder MATHEMATICA bei der mathematischen Losung naturwis-senschaftlich-technischer Probleme in Praxis und Wissenschaft erfolgreich eingesetzt. Solche Programme konnen bereits im Grundstudium ein niitzliches und sinnvoUes Hilfs-mittel sein und so z. B. als eine Art ,,Kontrollinstanz'' beim Losen von Ubungsaufgaben verwendet werden (Uberpriifung der von Hand ermittelten Losungen mit Hilfe eines Computeralgebra-Programms auf einem PC). Die meisten der in diesem Werk gestellten Aufgaben lassen sich auf diese Weise problemlos losen.

Page 6: Lothar Papula Mathematik fur Ingenieure und ...978-3-8348-9220-1/1.pdf · Lothar Papula Mathematik fijr Ingenieure und Naturwissenschaftler Band 1 Ein Lehr- und Arbeitsbuch furdasGrundstudium

Vorwort VII

Mit der Verbesserung von Bildem wurden die Beispiele noch verstandlicher und opti-miert. Dazu zahlen auch zusatzlich aufgenommene Beispiele im Kapitel Potenzreihenent-wicklung.

Eine Bitte des Autors Fiir Hinweise und Anregungen - insbesondere auch aus dem Kreis der Studenten - bin ich stets sehr dankbar. Sie sind eine unverzichtbare Voraussetzung und Hilfe fiir die per-manente Verbesserung dieses Lehrwerkes.

Ein Wort des Dankes . . . . . . an alle FachkoUegen und Studenten, die durch Anregungen und Hinweise zur Ver-besserung dieses Werkes beigetragen haben, . . . an die Mitarbeiter des Verlages, ganz besonders aber an Herm Ewald Schmitt, fur die hervorragende Zusammenarbeit wahrend der Entstehung und Drucklegung dieses Werkes.

Wiesbaden, im Sommer 2007 Lothar Papula

Page 7: Lothar Papula Mathematik fur Ingenieure und ...978-3-8348-9220-1/1.pdf · Lothar Papula Mathematik fijr Ingenieure und Naturwissenschaftler Band 1 Ein Lehr- und Arbeitsbuch furdasGrundstudium

VIII

Inhaltsverzeichnis

I AUgemeine Grundlagen 1

1 Einige gmndlegende Begriffe iiber Mengen 1

1.1 Definition und Darstellung einer Menge 1 1.2 Mengenoperationen 3

2 Die Menge der reellen Zahlen 6

2.1 Darstellung der reellen Zahlen und ihrer Eigenschaften 6 2.2 Anordnung der Zahlen, Ungleichung, Betrag 7 2.3 Teilmengen und Intervalle 8

3 Gleichungen 9

3.1 Lineare Gleichungen 10 3.2 Quadratische Gleichungen 10 3.3 Gleichungen 3. und hoheren Grades 11

3.3.1 AUgemeine Vorbetrachtung 11 3.3.2 Kubische Gleichungen vom speziellen Typ ax^ -\- bx^ + ex = 0 .... 12 3.3.3 Bi-quadratische Gleichungen 12

3.4 Wurzelgleichungen 13 3.5 Betragsgleichungen 14

3.5.1 Definition der Betragsfunktion 15 3.5.2 Analytische Losung einer Betragsgleichung durch

Fallunterscheidung (Beispiel) 17 3.5.3 Losung einer Betragsgleichung auf halb-graphischem Wege

(Beispiel) 18

4 Ungleichungen 18

5 Lineare Gleichungssysteme 21

5.1 Ein einfiihrendes Beispiel 21 5.2 Der GauBsche Algorithmus 24 5.3 Ein Anwendungsbeispiel: Berechnung eines elektrischen Netzwerkes . . . . 33

6 Der Binomische Lehrsatz 35

Page 8: Lothar Papula Mathematik fur Ingenieure und ...978-3-8348-9220-1/1.pdf · Lothar Papula Mathematik fijr Ingenieure und Naturwissenschaftler Band 1 Ein Lehr- und Arbeitsbuch furdasGrundstudium

Inhaltsverzeichnis IX

Ubungsaufgaben 39

Zu Abschnitt 1 und 2 39 Zu Abschnitt 3 39 Zu Abschnitt 4 40 Zu Abschnitt 5 41 Zu Abschnitt 6 42

II Vektoralgebra 43

1 Gmndbegriffe 43

1.1 Definition eines Vektors 43 1.2 Gleichheit von Vektoren 44 1.3 Parahele, anti-parallele und koUineare Vektoren 45 1.4 Vektoroperationen 46

1.4.1 Addition von Vektoren 46 1.4.2 Subtraktion von Vektoren 49 1.4.3 Muhiphkation eines Vektors mit einem Skalar 50

2 Vektorrechnung in der Ebene 52

2.1 Komponentendarstellung eines Vektors 52 2.2 Darstellung der Vektoroperationen 56

2.2.1 Muhiphkation eines Vektors mit einem Skalar 56 2.2.2 Addition und Subtraktion von Vektoren 57

2.3 Skalarprodukt zweier Vektoren 59 2.3.1 Definition und Berechnung eines Skalarproduktes 59 2.3.2 Winkel zwischen zwei Vektoren 62

2.4 Anwendungsbeispiel: Resuhierende eines ebenen Kraftesystems 65

3 Vektorrechnung im 3-dimensionalen Raum 67

3.1 Komponentendarstehung eines Vektors 68 3.2 DarsteUung der Vektoroperationen 72

3.2.1 Muhiphkation eines Vektors mit einem Skalar 72 3.2.2 Addition und Subtraktion von Vektoren 73

3.3 Skalarprodukt zweier Vektoren 76 3.3.1 Definition und Berechnung eines Skalarproduktes 76 3.3.2 Winkel zwischen zwei Vektoren 79 3.3.3 Richtungswinkel eines Vektors 80 3.3.4 Projektion eines Vektors auf einen zweiten Vektor 82 3.3.5 Ein Anwendungsbeispiel: Arbeit einer Kraft 84

3.4 Vektorprodukt zweier Vektoren 86 3.4.1 Definition und Berechnung eines Vektorproduktes 86 3.4.2 Anwendungsbeispiele 92

Page 9: Lothar Papula Mathematik fur Ingenieure und ...978-3-8348-9220-1/1.pdf · Lothar Papula Mathematik fijr Ingenieure und Naturwissenschaftler Band 1 Ein Lehr- und Arbeitsbuch furdasGrundstudium

X Inhaltsverzeichnis

3.4.2.1 Drehmoment (Moment einer Kraft) 92 3.4.2.2 Bewegung von Ladungstragern in einem Magnetfeld

(Lorentz-Kraft) 93 3.5 Spatprodukt (gemischtes Produkt) 94

4 Anwendungen in der Geometric 98

4.1 Vektorielle Darstellung einer Geraden 98 4.1.1 Punkt-Richtungs-Form einer Geraden 98 4.1.2 Zwei-Punkte-Form einer Geraden 100 4.1.3 Abstand eines Punktes von einer Geraden 101 4.1.4 Abstand zweier paralleler Geraden 103 4.1.5 Abstand zweier windschiefer Geraden 105 4.1.6 Schnittpunkt und Schnittwinkei zweier Geraden 107

4.2 Vektorielle Darstellung einer Ebene 109 4.2.1 Punkt-Richtungs-Form einer Ebene 109 4.2.2 Drei-Punkte-Form einer Ebene 112 4.2.3 Gleichung einer Ebene senkrecht zu einem Vektor 114 4.2.4 Abstand eines Punktes von einer Ebene 115 4.2.5 Abstand einer Geraden von einer Ebene 117 4.2.6 Schnittpunkt und Schnittwinkei einer Geraden mit einer Ebene . . . . 119 4.2.7 Abstand zweier paralleler Ebenen 122 4.2.8 Schnittgerade und Schnittwinkei zweier Ebenen 124

Ubungsaufgaben 128

Zu Abschnitt 2 und 3 128 Zu Abschnitt 4 132

III Funktionen und Kurven 137

1 Definition und Darstellung einer Funktion 137

1.1 Definition einer Funktion 137 1.2 Darstellungsformen einer Funktion 138

1.2.1 Analytische Darstellung 138 1.2.2 Darstellung durch eine Wertetabelle (Funktionstafel) 138 1.2.3 Graphische Darstellung 138 1.2.4 Parameterdarstellung einer Funktion 140

2 AUgemeine Funktionseigenschaften 141

2.1 NuUstellen 141 2.2 Symmetrieverhalten 142 2.3 Monotonie 144 2.4 Periodizitat 147 2.5 Umkehrfunktion oder inverse Funktion 148

Page 10: Lothar Papula Mathematik fur Ingenieure und ...978-3-8348-9220-1/1.pdf · Lothar Papula Mathematik fijr Ingenieure und Naturwissenschaftler Band 1 Ein Lehr- und Arbeitsbuch furdasGrundstudium

Inhaltsverzeichnis XI

3 Koordinatentransformationen 152

3.1 Ein einftihrendes Beispiel 152 3.2 Parallelverschiebung eines kartesischen Koordinatensystems 153 3.3 Ubergang von kartesischen Koordinaten zu Polarkoordinaten 158

3.3.1 Definition der Polarkoordinaten 158 3.3.2 Darstellung einer Kurve in Polarkoordinaten 161

4 Grenzwert und Stetigkeit einer Funktion 163

4.1 Reelle Zahlenfolgen 163 4.1.1 Definition und Darstellung einer reellen Zahlenfolge 163 4.1.2 Grenzwert einer Folge 165

4.2 Grenzwert einer Funktion 168 4.2.1 Grenzwert einer Funktion fiir x —> XQ 168 4.2.2 Grenzwert einer Funktion fiir x ^ ± oo 171 4.2.3 Rechenregeln fiir Grenzwerte 173

4.3 Stetigkeit einer Funktion 174

5 Ganzrationale Funktionen (Polynomfunktionen) 179

5.1 Definition einer ganzrationalen Funktion 179 5.2 Konstante und lineare Funktionen 180 5.3 Quadratische Funktionen 183 5.4 Polynomfunktionen hoheren Grades 187 5.5 Horner-Schema und Nullstellenberechnung einer Polynomfunktion 191 5.6 Interpolationspolynome 195

5.6.1 AUgemeine Vorbetrachtung 195 5.6.2 Interpolationspolynom von Newton 196

5.7 Ein Anwendungsbeispiel: Biegelinie eines Balkens 200

6 Gebrochenrationale Funktionen 200

6.1 Definition einer gebrochenrationalen Funktion 200 6.2 Nullstellen, Definitionsliicken, Pole 201 6.3 Asymptotisches Verhalten einer gebrochenrationalen Funktion

im UnendHchen 206 6.4 Ein Anwendungsbeispiel: Kapazitat eines Kugelkondensators 208

7 Potenz- und Wurzelfunktionen 209

7.1 Potenzfunktionen mit ganzzahligen Exponenten 209 7.2 Wurzelfunktionen 211 7.3 Potenzfunktionen mit rationalen Exponenten 213 7.4 Ein Anwendungsbeispiel: Beschleunigung eines Elektrons in einem

elektrischen Feld 215

Page 11: Lothar Papula Mathematik fur Ingenieure und ...978-3-8348-9220-1/1.pdf · Lothar Papula Mathematik fijr Ingenieure und Naturwissenschaftler Band 1 Ein Lehr- und Arbeitsbuch furdasGrundstudium

XII Inhaltsverzeichnis

8 Algebraische Funktionen 215

8.1 Definition einer algebraischen Funktion 215 8.2 Gleichungen der Kegelschnitte 217

8.2.1 Darstellung eines Kegelschnitts durch eine algebraische Gleichung 2. Grades mit konstanten Koeffizienten 217

8.2.2 Gleichungen eines Kreises 218 8.2.3 Gleichungen einer Ellipse 219 8.2.4 Gleichungen einer Hyperbel 221 8.2.5 Gleichungen einer Parabel 224 8.2.6 Beispiele zu den Kegelschnitten 225

8.3 Ein Anwendungsbeispiel: Erzwungene Schwingung eines mechanischen Systems 230

9 Trigonometrische Funktionen 231

9.1 Definitionen und Grundbegriffe 231 9.2 Sinus- und Kosinusfunktion 236 9.3 Tangens- und Kotangensfunktion 237 9.4 Wichtige Beziehungen zwischen den trigonometrischen Funktionen 238 9.5 Anwendungen in der Schwingungslehre 240

9.5.1 Harmonische Schwingungen (Sinusschwingungen) 240 9.5.1.1 Die allgemeine Sinus- und Kosinusfunktion 240 9.5.1.2 Harmonische Schwingung eines Federpendels

(Feder-Masse-Schwingers) 244 9.5.2 Darstellung von Schwingungen im Zeigerdiagramm 246 9.5.3 Superposition (Uberlagerung) gleichfrequenter Schwingungen . . . . 252 9.5.4 Lissajous-Figuren 257

10 Arkusfunktionen 258

10.1 Das Problem der Umkehrung trigonometrischer Funktionen 258 10.2 Arkussinusfunktion 259 10.3 Arkuskosinusfunktion 260 10.4 Arkustanges- und Arkuskotangensfunktion 261 10.5 Trigonometrische Gleichungen 265

11 Exponentialfunktionen 267

11.1 Grundbegriffe 267 11.2 Definition und Eigenschaften einer Exponentialfunktion 267 11.3 Spezielle, in den Anwendungen haufig auftretende Funktionstypen 269

11.3.1 Abklingfunktionen 269 11.3.2 Sattigungsfunktionen 273 11.3.3 Darstellung aperiodischer Schwingungsvorgange durch

e-Funktionen 275 11.3.4 GauB-Funktionen 277

Page 12: Lothar Papula Mathematik fur Ingenieure und ...978-3-8348-9220-1/1.pdf · Lothar Papula Mathematik fijr Ingenieure und Naturwissenschaftler Band 1 Ein Lehr- und Arbeitsbuch furdasGrundstudium

Inhaltsverzeichnis XIII

12 Logarithmusfunktionen 278

12.1 Gmndbegriffe 278 12.2 Definition und Eigenschaften einer Logarithmusfunktion 280 12.3 Exponential- und Logarithmusgleichungen 284

13 Hyperbel- und Areafunktionen 286

13.1 Hyperbelfunktionen 286 13.1.1 Definition der Hyperbelfunktionen 286 13.1.2 Die Hyperbelfunktionen y = sinhx und y = coshx 286 13.1.3 Die Hyperbelfunktionen y = tanhx und y = cothx 288 13.1.4 Wichtige Beziehungen zwischen den hyperbolischen

Funktionen 289 13.2 Areafunktionen 290

13.2.1 Definition der Areafunktionen 290 13.2.2 Die Areafunktionen y = arsinhx und y = arcoshx 291 13.2.3 Die Areafunktionen y — artanhx und y = arcothx 292 \?>2A Darstellung der Areafunktionen durch Logarithmusfunktionen . 293 13.2.5 Ein Anwendungsbeispiel: Freier Fall unter Berticksichtigung

des Luftwiderstandes 293

Ubungsaufgaben 295

Zu Abschnitt 1 295 Zu Abschnitt 2 296 Zu Abschnitt 3 296 Zu Abschnitt 4 297 Zu Abschnitt 5 299 Zu Abschnitt 6 301 Zu Abschnitt 7 301 Zu Abschnitt 8 302 Zu Abschnitt 9 und 10 302 Zu Abschnitt 11, 12 und 13 305

IV Differentialrechnung 308

1 Differenzierbarkeit einer Funktion 308

1.1 Das Tangentenproblem 308 1.2 Ableitung einer Funktion 309 1.3 Ableitung der elementaren Funktionen 313

2 Ableitungsregeln 316

2.1 Faktorregel 316 2.2 Summenregel 317 2.3 Produktresel 318

Page 13: Lothar Papula Mathematik fur Ingenieure und ...978-3-8348-9220-1/1.pdf · Lothar Papula Mathematik fijr Ingenieure und Naturwissenschaftler Band 1 Ein Lehr- und Arbeitsbuch furdasGrundstudium

XIV Inhaltsverzeichnis

2.4 Quotientenregel 320 2.5 Kettenregel 322 2.6 Logarithmische Ableitung 327 2.7 Ableitung der Umkehrfunktion 328 2.8 Implizite Differentiation 330 2.9 Differential einer Funktion 332 2.10 Hohere Ableitungen 335 2.11 Ableitung einer in der Parameterform dargestellten Funktion (Kurve) .. 336 2.12 Anstieg einer in Polarkoordinaten dargestellten Kurve 339 2.13 Einfache Anwendungsbeispiele aus Physik und Technik 344

2.13.1 Bewegung eines Massenpunktes (Geschwindigkeit, Beschleunigung) 344

2.13.2 Induktionsgesetz 346 2.13.3 Elektrischer Schwingkreis 347

3 Anwendungen der Differentialrechnung 348

3.1 Tangente und Normale 348 3.2 Linearisierung einer Funktion 350 3.3 Charakteristische Kurvenpunkte 353

3.3.1 Geometrische Vorbetrachtungen 353 3.3.2 Kriimmung einer ebenen Kurve 355 3.3.3 Relative oder lokale Extremwerte 363 3.3.4 Wendepunkte, Sattelpunkte 368 3.3.5 Erganzungen 370

3.4 Extremwertaufgaben 372 3.5 Kurvendiskussion 378 3.6 Naherungsweise Losung einer Gleichung nach dem Tangentenverfahren

von Newton 383 3.6.1 Iterationsverfahren 383 3.6.2 Tangentenverfahren von Newton 384

Ubungsaufgaben 391

Zu Abschnitt 1 391 Zu Abschnitt 2 391 Zu Abschnitt 3 395

V Integralrechnung 398

1 Integration als Umkehrung der Differentiation 398

2 Das bestimmte Integral als Flacheninhalt 401

2.1 Ein einfiihrendes Beispiel 402 2.2 Das bestimmte Integral 405

Page 14: Lothar Papula Mathematik fur Ingenieure und ...978-3-8348-9220-1/1.pdf · Lothar Papula Mathematik fijr Ingenieure und Naturwissenschaftler Band 1 Ein Lehr- und Arbeitsbuch furdasGrundstudium

Inhaltsverzeichnis XV

3 Unbestimmtes Integral und Flachenfunktion 411

4 Der Fundamentalsatz der Differential- und Integralrechnung 414

5 Grund- oder Stammintegrale 418

6 Berechnung bestimmter Integrate unter Verwendung einer Stammfunktion . 420

7 Elementare Integrationsregeln 424

8 Integrationsmethoden 427

8.1 Integration durch Substitution 427 8.1.1 Ein einfiihrendes Beispiel 427 8.1.2 Spezielle Integralsubstitutionen 428

8.2 Partielle Integration oder Produktintegration 434 8.3 Integration einer echt gebrochenrationalen Funktion durch

Partialbruchzerlegung des Integranden 440 8.3.1 Partialbruchzerlegung 441 8.3.2 Integration der Partialbrtiche 443

8.4 Numerische Integrationsmethoden 447 8.4.1 Trapezformel 448 8.4.2 Simpsonsche Formel 453

9 Uneigentliche Integrale 459

10 Anwendungen der Integralrechnung 464

10.1 Einfache Beispiele aus Physik und Technik 464 10.1.1 Integration der Bewegungsgleichung 464 10.1.2 Biegelinie (elastische Linie) eines einseitig eingespannten Balkens 467 10.1.3 Spannung zwischen zwei Punkten eines elektrischen Feldes 469

10.2 Flacheninhalt 470 10.2.1 Bestimmtes Integral und Flacheninhalt. Erganzungen 470 10.2.2 Flacheninhalt zwischen zwei Kurven 476

10.3 Volumen eines Rotationskorpers (Rotationsvolumen) 481 10.4 Bogenlange einer ebenen Kurve 487 10.5 Mantelflache eines Rotationskorpers (Rotationsflache) 490 10.6 Arbeits- und EnergiegroBen 494 10.7 Lineare und quadratische Mittelwerte 500 10.8 Schwerpunkt homogener Flachen und Korper 504

10.8.1 Grundbegriffe 504 10.8.2 Schwerpunkt einer homogenen ebenen Flache 507 10.8.3 Schwerpunkt eines homogenen Rotationskorpers 513

10.9 Massentragheitsmomente 518 10.9.1 Grundbegriffe und einfache Beispiele 518 10.9.2 Satz von Steiner 522 10.9.3 Massentragheitsmoment eines homogenen Rotationskorpers . . . 523

Page 15: Lothar Papula Mathematik fur Ingenieure und ...978-3-8348-9220-1/1.pdf · Lothar Papula Mathematik fijr Ingenieure und Naturwissenschaftler Band 1 Ein Lehr- und Arbeitsbuch furdasGrundstudium

XVI Inhaltsverzeichnis

Ubungsaufgaben 528

Zu Abschnitt 1 bis 7 528 Zu Abschnitt 8 531 Zu Abschnitt 9 534 Zu Abschnitt 10 534

VI Potenzreihenentwicklungen 539

1 Unendliche Reihen 539

1.1 Ein einftihrendes Beispiel 539 1.2 Grundbegriffe 541

1.2.1 Definition einer unendlichen Reihe 541 1.2.2 Konvergenz und Divergenz einer unendlichen Reihe 543

1.3 Konvergenzkriterien 546 1.3.1 Quotientenkriterium 547 1.3.2 Leibnizsches Konvergenzkriterium fiir altemierende Reihen 550

2 Potenzreihen 552

2.1 Definition einer Potenzreihe 552 2.2 Konvergenzverhalten einer Potenzreihe 553 2.3 Eigenschaften der Potenzreihen 559

3 Taylor-Reihen 560

3.1 Ein einftihrendes Beispiel 560 3.2 Potenzreihenentwicklung einer Funktion 562

3.2.1 Mac Laurinsche Reihe 562 3.2.2 Taylorsche Reihe 569 3.2.3 Tabellarische Zusammenstellung wichtiger Potenzreihenentwicklungen 571

3.3 Anwendungen 573 3.3.1 Naherungspolynome einer Funktion 573 3.3.2 Integration durch Potenzreihenentwicklung des Integranden 584 3.3.3 Grenzwertregel von Bernoulli und de L'Hospital 587

3.4 Anwendungsbeispiele aus der Physik und Technik 593 3.4.1 Freier Fall unter Beriicksichtigung des Luftwiderstandes 593 3.4.2 Kapazitat einer elektrischen Doppelleitung 595 3.4.3 RC~Schaltung mit angelegter Rampenspannung 596

Ubungsaufgaben 598

Zu Abschnitt 1 598 Zu Abschnitt 2 599 Zu Abschnitt 3 599

Page 16: Lothar Papula Mathematik fur Ingenieure und ...978-3-8348-9220-1/1.pdf · Lothar Papula Mathematik fijr Ingenieure und Naturwissenschaftler Band 1 Ein Lehr- und Arbeitsbuch furdasGrundstudium

Inhaltsverzeichnis XVII

Anhang: Losungen der Ubungsaufgaben 604

I AUgemeine Grundlagen 604

Abschnitt 1 und 2 604 Abschnitt 3 604 Abschnitt 4 606 Abschnitt 5 608 Abschnitt 6 609

II Vektoralgebra 610

Abschnitt 2 und 3 610 Abschnitt 4 613

III Funktionen und Kurven 620

Abschnitt 1 620 Abschnitt 2 622 Abschnitt 3 622 Abschnitt 4 623 Abschnitt 5 625 Abschnitt 6 627 Abschnitt 7 629 Abschnitt 8 629 Abschnitt 9 und 10 630 Abschnitt 11, 12 und 13 633

IV Differentialrechnung 635

Abschnitt 1 635 Abschnitt 2 635 Abschnitt 3 642

V Integralrechnung 652

Abschnitt Ibis 7 652 Abschnitt 8 653 Abschnitt 9 656 Abschnitt 10 657

VI Potenzreihenentwicklungen 661

Abschnitt 1 661 Abschnitt 2 662 Abschnitt 3 663

Literaturhinweise 671

Sachwortverzeichnis 672

Page 17: Lothar Papula Mathematik fur Ingenieure und ...978-3-8348-9220-1/1.pdf · Lothar Papula Mathematik fijr Ingenieure und Naturwissenschaftler Band 1 Ein Lehr- und Arbeitsbuch furdasGrundstudium

XVIII

Inhaltsiibersicht Band 2

Kapitel I: Lineare Algebra

1 Reelle Matrizen 2 Determinanten 3 Erganzungen 4 Lineare Gleichungssysteme 5 Komplexe Matrizen 6 Eigenwerte und Eigenvektoren einer quadratischen Matrix

Kapitel II: Fourier-Reihen

1 Fourier-Reihe einer periodischen Funktion 2 Anwendungen

Kapitel III: Komplexe Zahlen und Funktionen

1 Definition und Darstellung einer komplexen Zahl 2 Komplexe Rechnung 3 Anwendungen der komplexen Rechnung 4 Ortskurven

Kapitel IV: Differential- und Integralrechnung fiir Funktionen von mehreren Variablen

1 Funktionen von mehreren Variablen und ihre Darstellung 2 Partielle Differentiation 3 Mehrfachintegrale

Kapitel V: Gewohnliche Differentialgleichungen

1 Grundbegriffe 2 Differentialgleichungen 1. Ordnung 3 Lineare Differentialgleichungen 2. Ordnung mit konstanten

Koeffizienten 4 Anwendungen in der Schwingungslehre 5 Lineare Differentialgleichungen n-ter Ordnung mit konstanten

Koeffizienten 6 Numerische Integration einer Differentialgleichung 7 Systeme linearer Differentialgleichungen

Page 18: Lothar Papula Mathematik fur Ingenieure und ...978-3-8348-9220-1/1.pdf · Lothar Papula Mathematik fijr Ingenieure und Naturwissenschaftler Band 1 Ein Lehr- und Arbeitsbuch furdasGrundstudium

Inhaltsiibersicht Band 2 XIX

Kapitel VI: Laplace-Transformation

1 Grundbegriffe 2 Allgemeine Eigenschaften der Laplace-Transformation 3 Laplace-Transformierte einer periodischen Funktion 4 Rlicktransformation aus dem Bildbereich in den Originalbereich 5 Anwendungen der Laplace-Transformation

Anhang: Losungen der Ubungsaufgaben

Page 19: Lothar Papula Mathematik fur Ingenieure und ...978-3-8348-9220-1/1.pdf · Lothar Papula Mathematik fijr Ingenieure und Naturwissenschaftler Band 1 Ein Lehr- und Arbeitsbuch furdasGrundstudium

XX

Inhaltsiibersicht Band 3

Kapitel I: Vektoranalysis

1 Ebene und raumliche Kurven 2 Flachen im Raum 3 Skalar- und Vektorfelder 4 Gradient eines Skalarfeldes 5 Divergenz und Rotation eines Vektorfeldes 6 Spezielle ebene und raumliche Koordinatensysteme 7 Linien- oder Kurvenintegrale 8 Oberflachenintegrale 9 Integralsatze von GauB und Stokes

Kapitel II: Wahrscheinlichkeitsrechnung

1 Hilfsmittel aus der Kombinatorik 2 Grundbegriffe 3 Wahrscheinlichkeit 4 Wahrscheinlichkeitsverteilung einer Zufallsvariablen 5 Kennwerte oder MaBzahlen einer Wahrscheinlichkeitsverteilung 6 Spezielle Wahrscheinhchkeitsverteilungen 7 Wahrscheinhchkeitsverteilungen von mehreren Zufallsvariablen 8 Priif- oder Testverteilungen

Kapitel III: Grundlagen der mathematischen Statistik

1 Grundbegriffe 2 Kennwerte oder MaBzahlen einer Stichprobe 3 Statistische Schatzmethoden fiir die unbekannten Parameter einer

Wahrscheinlichkeitsverteilung (, ,Parameterschatzungen'') 4 Statistische Priifverfahren fiir die unbekannten Parameter einer Wahr-

scheinlichkeitsverteilung („Parametertests") 5 Statistische Priifverfahren fiir die unbekannte Verteilungsfunktion

einer Wahrscheinlichkeitsverteilung (,,Anpassungs- oder Verteilungs-tests")

6 Korrelation und Regression

Page 20: Lothar Papula Mathematik fur Ingenieure und ...978-3-8348-9220-1/1.pdf · Lothar Papula Mathematik fijr Ingenieure und Naturwissenschaftler Band 1 Ein Lehr- und Arbeitsbuch furdasGrundstudium

Inhaltsiibersicht Band 3 XXI

Kapitel IV: Fehler- und Ausgleichsrechnung

1 „Fehlerarten" (systematische und zufallige MeBabweichungen). Aufgaben der Fehler- und Ausgleichsrechnung Statistische Verteilung der MeBwerte und MeBabweichungen („MeBfehler") Auswertung einer MeBreihe „Fehlerfortpflanzung" nach GauB Ausgleichs- oder Regressionskurven

Anhang: Teil A: Tabellen zur Wahrscheinlichkeitsrechnung und Statistik Teil B: Losungen der Ubungsaufgaben