ÕTÜ Viitnalaager 2017

Lõpmatus ja lõplikkus

füüsikas

Laur JärvTartu Ülikooli füüsika instituut

teoreetilise füüsika labor

Kahte tüüpi lõpmatus

(1) Ekstensiivne lõpmatus

1 + 1 + ...

nt. lõpmatu vahemaa, ruumala, aeg, ... enamasti „ohutu”

(2) Intensiivne lõpmatus, „singulaarsus”

1 / 0

nt. lõpmatu tihedus, energia, temperatuur, jõud, kiirendus, ... problemaatiline

Funktsioonid 1/x2 ja x2

Loengu kava

(1) Mõned singulaarsuse näited füüsikast(a) Newtoni gravitatsioonijõud(b) Elektrostaatika(c) Ultravioletne katastroof(d) Osake kvantfüüsikas

(2) Lõpmatus ja lõplikkus kosmoloogias (a) Kosmoloogia Einsteini üldrelatiivsusteoorias(b) Universumi ruumi geomeetria ja topoloogia(c) Suure Paugu singulaarsus (d) Universumi lõpu stsenaariumid

(1a) Newtoni gravitatsioon

● Kirjeldab nii maiste kui taevaste kehade liikumist● Millise jõuga (F) tõmbab keha massiga m

1 teist keha massiga m

2,

mis asub kaugusel r

● Kehal m2 ilmneb kiirendus a = F / m

2

(1a) Newtoni gravitatsioon

● Milline on raskuskiirendus, kui r=0 ?

(1b) Elektrilaengud

● Coulomb’i seadus:Teineteisest kaugusel r asuvate laenguteq

1 ja q

2 vaheline jõud

(mida vahendab elektriväli).

● Elektroni (laenguga „-”)ja prootoni (laenguga „+”)vaheline elektrostaatilinetõmme on 1039 korda tugevamkui gravitatsiooniline tõmme.

(1b) Elektrilaengud

● Coulomb’i seadus:Teineteisest kaugusel r asuvate laenguteq

1 ja q

2 vaheline jõud

(mida vahendab elektriväli).

● Mis saab siis, kuielektron (laenguga „-”)ja prooton (laenguga „+”)liiguvad teineteise poole?

● Singulaarsus kui r = 0 ?

● Elektromagnetlainedväiksem lainepikkus, suurem sagedus, suurem energiasuurem lainepikkus, väiksem sagedus, väiksem energia

(1c) Ultravioletne katastroof

● Absoluutselt must keha (ei peegelda elektromagnetlaineid)aga kiirgab ise vastavalt oma temperatuurile, näiteks tähed.

● Klassikalise füüsika järgi(19. saj) kiirgab pidevalt,mida väiksem lainepikkus, seda intensiivsemalt -- ultavioletis singulaarsus!

● Kvantfüüsika järgi(Planck, Einstein) kiirgab pakettidena kvantidena --singulaarsust ei teki!

(1d) Osake kvantfüüsikas (piltlikult)

● Kvantvaakum pole tühivaid täidetud hetkeks tekkivate ja kohe kaduvateosakeste-antiosakeste „virtuaalsete” paaridega.

● Reaalse osakese ümbervaakum polariseerub:virtuaalne „-” osaketõmbub rohkem reaalse „+” osakese poole.

● Reaalse osakese laengon efektiivselt „laiali määritud”.

Vahekokkuvõte

● Kui füüsikalises teoorias/mudelis ilmneb singulaarus, siis on see märk, et vastav teooria/mudel sel piiril enam ei kehti ning tuleks asendada parema ja üldisema mudeliga (näiteks klassikalise füüsika mudel kvantfüüsika mudeliga).

● Reaalsed füüsikalised objektid ei ole singulaarsed.● Kvantväljateoorias matemaatilised meetodid singulaarsustega

toimetulekuks: regulariseerimine ja renormaliseerimine.

(2a) Einsteini üldrelatiivsusteooria

● Aeg ja ruum ühendatud aegruumiks.● Gravitatsioonivälja allikaks on energia ja impulss (mass ja rõhk).● Gravitatsiooniväli avaldub aegruumi geomeetriana (kõverusena).

(2a) Einsteini üldrelatiivsusteooria kosmoloogia

Mateeria universumis:● rasked elemendid● neutriinod● tähed● vaba vesinik ja heelium● tumeaine● tumeenergia

Mõõtmed universumis● Linnutee galaktika

läbimõõt 30 kpc (100 000 va), siin 100 mlrd tähte

● Andromeda galaktika kaugus 780 kpc (2,5 milj va)

● Kohaliku galaktikate grupi läbimõõt 3 Mpc (10 milj va)

● Virgo galaktikate parve läbimõõt 33 Mpc (110 milj va)

● Laniakea superkparve läbimõõt 160 Mpc (520 milj va), siin 100 000 galaktikat

(2a) Einsteini üldrelatiivsusteooria kosmoloogia

● Kosmilistes mõõtmetes ruum homogeenne (sama igas punktis) ja isotroopne (igas suunas)

● Ruumi paisumist/kokkutõmbumist kirjeldab mastaabikordaja a(t)

(2b) Ruumi geomeetria universumis

Homogeenne ja isotroopne ruum võib olla

(a) Sfääriline (positiivse kõverusega, lõpliku ulatusega,mateeria tihedus üle kriitilise)

(b) Hüperboolne (negatiivse kõverusega,lõpmatu ulatusega,mateeria tihedus alla kriitilise)

(c) Tasane (kõverus null, lõpmatu ulatusega,mateeria tihedus täpselt kriitiline)

Vaatlused BOOMERanG, WMAP, Planck: tasane 99,6% tõenäosusega.

h

(2b) Ruumi topoloogia universumis

Aga tasane geomeetria lubab erinevaid topoloogiaidnäiteks toor (kinnine, lõpliku ruumalaga)

Vaatlused kooskõlas triviaalse avatud topoloogiaga (lõpmatu ruum), aga siiski pole välistatud kinnine topoloogia (lõplik ruum), näiteks sfääriline Poincaré dodekaeeder, tasane hüpertoor või hõperboolne Picardi sarv.

Universumi areng

(2c) Suur Pauk vs Suur Põrge

● Suur Pauk – 13,8 mlj aastat tagasi lõpmatu tihedus, temperatuur, aegruumi kõverus – singulaarsus

● Suur Põrge – alternatiiv Suurele Paugulepaisumise algusele eelneskokkutõmbumine

● Erinevad tsüklilised mudelid● Kvantgravitatsioon?

(2d) Universumi tulevikustsenaariumid

● Vastavalt tumeenergia omadustele• Kokkutõmbumine lõpliku aja jooksul (Big Crunch)• Jätkuv paisumine lõpmatu aja jooksul (Big Freeze)• Lõhkirebimine lõpliku aja pärast (Big Rip)

(2d) Universumi tulevikustsenaariumid

● Suur Lõhkirebiminemastaabikordaja singulaarsus

● Mõned tumeenergiamudelid lubavad veelolukordi, kus singulaarseksmuutub näitekstumeenergia tihedus või rõhk (aga aegruumikõverus mitte)

● Kvantgravitatsioon?

Kokkuvõte(a) Kui füüsikalises teoorias/mudelis ilmneb singulaarus, siis on see

märk, et vastav teooria/mudel sel piiril enam ei kehti ning tuleks asendada parema ja üldisema mudeliga (näiteks klassikalise füüsika mudel kvantfüüsika mudeliga).

(b) Reaalsed füüsikalised objektid ei ole singulaarsed.(c) Universum paistab olevat ruumiliselt lõpmatu (ja on seda kogu

aeg olnud).(d) Hetkel valdava mudeli järgi on universumi minevik lõplik ja ta

algas singulaarsusest, aga vt punkt (a). Võimalikud alternatiivid.(e) Hetkel valdava mudeli järgi on universumi tulevik lõpmatu, aga

ei saa välistada alternatiive.(f) Küsimus on kvantgravitatsioonis, kas aegruum on lõpmatult

jagatav?

Slaid 1Slaid 2Slaid 3Slaid 4Slaid 5Slaid 6Slaid 7Slaid 8Slaid 9Slaid 10Slaid 11Slaid 12Slaid 13Slaid 14Slaid 15Slaid 16Slaid 17Slaid 18Slaid 19Slaid 20Slaid 21Slaid 22Slaid 23