lÄromedelsanalys ur ett variationsteoretiskt …

LÄROMEDELSANALYS

UR ETT

VARIATIONSTEORETISKT

PERSPEKTIV – EN STUDIE MED FOKUS PÅ

MATEMATIKENS FYRHÖRNINGAR

2020

Avancerad Pedagogiskt arbete

Sandra Goyette

Jonny Nguyen

2020-LÄR1-3-A20

2020-LÄR1-3-A20

2020-LÄR1-3-A20kkkkkk

2020-LÄR1-3-A20 2020-LÄR 2020-LÄR1-3-A20ksksksk1-3-A20

Program: LAGF316h

Svensk titel: Läromedelsanalys ur ett variationsteoretiskt perspektiv

Engelsk titel: Textbook analysis from a variation theory perspective

Utgivningsår: 2020

Författare: Sandra Goyette, Jonny Nguyen

Handledare: Petter Johansson

Examinator: Anita Norlund

Nyckelord: Matematik, variationsteori, läromedelsanalys, fyrhörningar

_________________________________________________________________

Sammanfattning

Den här studien syftar till att utifrån en variationsteoretisk utgångspunkt, analysera olika

läromedel inom matematik för att urskilja de olika dimensioner av variation som tydliggörs

inom arbetsområdet med de tvådimensionella formerna fyrhörningar.

Att läromedel i matematik är ett väl vedertaget arbetssätt i de flesta klassrum. Läromedel

granskas inte längre statligt och det ligger därför ett stort ansvar på den enskilda läraren att

själv bedriva läromedelsanalys. Samtidigt är matematik efter svenska det ämne i skolan som

har flest timmar i timplanen och behovet av kunskap om läromedel samt att analysera dem är

stort.

Studien har genomförts genom en kvalitativ läromedelsanalys för att finna vilka dimensioner

av variation som kan urskiljas i uppgifterna, samt vilka variationsmönster man kan se.

Resultatet visar att flera olika dimensioner av variation öppnas i uppgifterna som exempelvis

färg, vinklar i hörnen och proportioner mellan sidlängder. Vidare upptäcktes att

variationsmönstren “kontrast” och “generalisering” ges utrymme i läromedlen.

INNEHÅLLSFÖRTECKNING

FÖRORD .................................................................................................................... 1

INLEDNING ................................................................................................................ 2

Teoretisk bakgrund .......................................................................................................................................... 3

Begrepp ............................................................................................................................................................ 3

Läromedel ........................................................................................................................................................ 5

2 GEOMETRI ............................................................................................................. 6

2.1 Van Heiles .................................................................................................................................................. 6

3 FORSKNING KRING ELEVERS FÖRSTÅRLSE AV FYRHÖRNINGAR ................ 8

3.1 Forskningsproblem och syfte av en läromedelsanalys med fokus på fyrhörningar ................................... 11

4 METOD .................................................................................................................. 13

4.1 Urval och arbetsgång ................................................................................................................................ 13

4.2 Forskningsetik .......................................................................................................................................... 13

4.3 Analys ....................................................................................................................................................... 14

5 RESULTAT ........................................................................................................... 17

5.1 Kontrast.................................................................................................................................................... 17

5.2 Generalisering .......................................................................................................................................... 20

5.3 Fusion ....................................................................................................................................................... 22

6 RESULTAT ........................................................................................................... 25

6.1 Resultatdiskussion .................................................................................................................................... 25

6.2 Metoddiskussion ...................................................................................................................................... 26

6.3 Didaktiska konsekvenser .......................................................................................................................... 27

6.4 Vidare forskning ....................................................................................................................................... 28

1

FÖRORD

Den här studien bedrevs under vårterminen 2020. Att vi ville bedriva en läromedelsstudie var

något som bestämdes i ett tidigt skede. Studien har bedrivits gemensamt av Sandra och Jonny

på högskolan i Borås och allt arbete har gjorts tillsammans. Jonny har gjort alla tabeller och

figurer. Vi båda har letat efter den forskning som finns med i den här studien. Sandra har skrivit

mycket i både inledning och diskussion. Jonny har skrivit mest i delen om geometri. Analysen

har gjorts gemensamt. Vi vill skänka ett stort tack till vår handledare Petter Johansson för all

stöttning och hjälp under arbetets gång.

2

INLEDNING

“Matematisk verksamhet är till sin art en kreativ, reflekterande och problemlösande

aktivitet som är nära kopplad till den samhälleliga, sociala, tekniska och digitala

utvecklingen. Kunskaper i matematik ger människor förutsättningar att fatta

välgrundade beslut i vardagslivets många valsituationer och ökar möjligheterna att

delta i samhällets beslutsprocesser” (Läroplan för grundskolan, förskoleklassen och

fritidshemmet 2011).

Stycket ovan är hämtat från syftesdelen i kursplanen för matematik och utgör en

sammanfattande beskrivning av behovet och nyttan med matematikämnet. PISA:s (Programme

for International Student Assessment) undersökningar under 00-talet har visat på en

nedåtgående trend för resultat i matematik. Sedan 2012 har förändringar skett och en positiv

ökning ifråga om resultaten kan urskiljas (Skolverket 2019a).

Matematik är det ämne i skolan som efter svenska har det högsta antalet timmar i timplanen

(Skolverket 2019b). Studier för att utveckla kunskap inom didaktik för matematikämnet har

därför en befogad grund. Den här studien undersöker läromedel i matematik, på grundat i att

läromedel ofta har en stor plats i matematikundervisningen (Ammert 2018, s. 17). Det faktum

att läromedel inte längre statligt granskas lyfter även det vikten av läromedelsstudier.

Geometri fyller en stor del av det centrala innehållet i årskurs 1–3 i läroplanen. Fyrhörningar är

en av de geometriska figurer elever möter i ett tidigt stadium i geometriundervisningen. De

tvådimensionella figurerna fortsätter att användas längre fram i skolåren, men då genom

arbetsområdena tredimensionella figurer och senare omkrets och area. Kunskaper om de

tvådimensionella figurernas grundläggande aspekter är därför en viktig del av

geometriundervisningen. För att synliggöra aspekterna krävs en varierad undervisning där

eleverna på olika vis och med olika infallsvinklar får möta de geometriska figurerna.

Läroplanen för grundskolan kräver en varierad undervisning där elever möter olika metoder,

arbetssätt och uppgifter.

Skolan ska främja elevernas harmoniska utveckling. Detta ska åstadkommas genom en

varierad och balanserad sammansättning av innehåll och arbetsformer (Lgr11, 2011).

3

Teoretisk bakgrund

Den bakomliggande teorin för det här arbetet är variationsteorin. Teorin är fortfarande under

utveckling och grundas i den fenomenografiska forskningstraditionen (Holmqvist 2004, s. 75).

Ference Marton, professor vid Göteborgs Universitet, har utvecklat den fenomenografiska

forskningsmetoden och även variationsteorin (Marton 2014, s. 8). Marton (2014 s. 89) beskriver

att variationsteorin bygger på olika sätt att se på fenomen och situationer. Uppgifter har olika

förutsättningar att möjliggöra för den lärande att se på världen på andra sätt. Det betyder att en

uppgift bör vara öppen för tolkning för att den lärande ska kunna öppna upp nya dimensioner

av variation, där det behövs för att ett lärande ska ske (Marton 2014, s. 89). För att ett lärande

ska uppstå krävs variation av olika slag, och enligt variationsteorin ska individen mötas av

“kritiska ögonblick”, som innebär att vår förståelse av omvärlden förändras (Holmqvist 2004,

s. 75). Kritiska ögonblick sker när man erfar ett fenomen på ett nytt sätt än tidigare, och för att

kunna se på fenomen med nya ögon krävs en variation för att urskilja nya aspekter (Hansson

2019).

Begrepp

Lärandeobjekt- Learning object, “lärande är att konstituera lärandets objekt” (Marton &

Booth, 2000 s. 208). Lärandeobjektet är det som i undervisning kallas “VAD”, enkelt beskrivet

det eleverna ska lära sig och det läraren lär ut (Häggström 2008, s. 53). Lärandeobjektet får inte

blandas ihop med själva innehållet i exempelvis matematiken, utan ska snarare ses som en

förmåga att förstå innehållet på ett särskilt sätt.

Kritiska aspekter- Inom fenomenografisk forskning ses en kritisk aspekt som något som har

kvaliteten att separera en kategori av förståelse från andra (Häggström 2008, s. 52). För att göra

det tydligt för eleven bör läraren vara medveten om de kritiska aspekterna för ett lärandeobjekt.

Det är den kritiska aspekten som ska varieras medan de andra aspekterna ska hållas konstanta.

När eleven upplever variation inom de kritiska aspekterna ges eleven möjlighet att ändra en

tidigare uppfattning, vilket är målet i en lärandesituation (Kerekes 2015, ss. 34–35).

4

Dimensioner av variation (DoV)- Att uppleva samma lärandeobjekt med olika tankesätt, kan

beskrivas som dimension av variation. Eleven måste kunna urskilja lärandeobjektet och se det

ur ett annat sammanhang (Marton 1997, ss. 108–109). Genom att ge elever olika uppgifter och

övningar där de får möjlighet att lösa dem på olika sätt, kan man säga att de har upplevt

dimensioner av variation. Det är oftast den undervisande läraren som öppnar upp olika

dimensioner av variation, vilket innebär att möjligheterna för elevernas lärande är beroende av

läraren. Även eleverna kan öppna upp dimensioner av variation vid frågeställningar (Kerekes

2014, ss. 33–36).

Variationsmönster- För att förstå vad som är möjligt att lära sig i en lärandesituation behöver

man ha kunskap om vad som varierar och vad som är konstant. Nedan nämns fyra olika

variationsmönster (Marton, Runesson & Tsui 2004, ss. 16–17).

Separation - Genom att endast ändra en aspekt och låta de andra aspekterna vara konstanta,

sker en separation. Om båda aspekter förändras samtidigt har ingen separation skett (Häggström

2008, s. 52).

Kontrast - För att urskilja en viss dimension av variation, behöver man uppleva ett annat

alternativ i samma kontext. Genom att påvisa en aspekt upptäcker man hur andra aspekter också

kan användas (Häggström 2008, s. 52). Kontrast innebär att man låter eleven erfara en kritisk

aspekt i samband med vad det inte är. Vid de här tillfällena lär eleven sig att urskilja skillnader

istället för likheter (Kerekes 2014, ss. 37–39).

Generalisering - För att vi fullt ska förstå meningen av ett fenomen behöver vi uppleva olika

framställningar av fenomenet. Marton, Runesson och Tsui (2004 ss. 16–17) använder sig av

exemplet “tre”, och menar att vi behöver uppleva olika aspekter av “tre”, tre äpplen, tre apor

och så vidare, för att senare kunna bortse från de icke-relevanta aspekterna från “tre”

exempelvis färgen på äpplet eller även vilket slags objekt som ska bli tre.

Fusion - Fusion innebär att eleven måste kvalitativt kunna urskilja vilken kritisk aspekt den bör

ta hänsyn till i mötet då det finns flera kritiska aspekter. Det är sällan man i en lärandesituation

möter enbart en kritisk aspekt, alla olika kritiska aspekter behöver man ta hänsyn till på samma

5

gång och uppleva dem simultant (Marton, Runesson & Tsui, 2004 ss. 16–17). Att använda

fusion som variationsmönster sker oftast i ett senare skede när eleven har fått möjlighet att

urskilja de kritiska aspekterna genom till exempel kontrast eller generalisering. Vid fusion får

eleven möjlighet att se alla kritiska aspekter i relation till varandra och helheten (Kerekes 2014,

ss. 38–40).

Läromedel

Läromedel fick sin definition 1975 i Sverige som “sådant material som förmedlar innehållet i

läroplanen” (Ammert 2018, s. 17). Idag ses begreppet läromedel som det undervisningsmaterial

vilket lärare och elever gemensamt kommer överens om att använda i undervisningen för att

uppnå läroplanens mål. Vidare berättar Ammert (s.17) att innehållet i läromedlen fram till 1991

har granskats av staten för att uppnå kraven av saklighet och att vara läroplansenlig. I dag vilar

ansvaret på läraren att avgöra om läromedlen är lämpliga att använda i undervisningen. Vikten

av att en lärare då har kunskap om läromedel och de kan analysera dem är därför av stor vikt,

och lägger ett stort ansvar i lärarutbildningens undervisning av läromedelskunskap för att

förbereda blivande lärare för yrket.

Ammert (2018 s. 17) beskriver att läromedel i dag ofta utgör det huvudsakliga stoff i

undervisningen som ska beröras. Vidare lyfter författaren att läromedel för många lärare är en

ständig följeslagare att falla tillbaka på i den vardagliga undervisningen. Löwing (2004 s .88)

beskriver hur läromedel i matematikundervisningen, för de lärare som är läromedelsbundna ofta

skapar ett ramverk för eleverna. Löwing problematiserar det med att ett läromedelsbundet

arbetssätt kan leda till att eleverna möts av en arbetsgång som satsar mer på kvantitet än

kvalitet.

Mot den här bakgrunden vill vi bidra med att dels se över möjligheterna som ges eleverna i

läromedlen att möta kritiska aspekter, samt hur resultatet påverkar den undervisning lärare

behöver bedriva utöver läromedlen för att eleverna ska ges möjlighet att möta flera olika

kritiska aspekter för att ett lärande ska kunna ske.

6

2 GEOMETRI

Thompson (1991) beskriver geometri som den huvudgren av matematiken som behandlar

rummets natur och form, storlek och andra egenskaper hos figurer. I den här

läromedelsanalysen kommer fokus att ligga på tvådimensionella fyrhörningar där

tvådimensionell endast innebär höjd och bredd som dimensioner och inte djup. Fyrhörning i

läromedelsanalysen definieras som en månghörning med fyra hörn och sidor. Under

geometriundervisningen menar Thompson vidare att man bör belysa sida, hörn, vinkel och

egenskaper som parallell och symmetrisk, för att underlätta lärandet för eleverna.

2.1 Van Heiles

Van Hiele har skapat en modell som beskriver olika nivåer i geometri. Beroende på vilken nivå

man befinner sig i finns det beskrivet hur man tänker inom den nivån samt vad man klarar av.

Modellen förklarar hur alla börjar på nivå 0, men klättrar upp i nivå eftersom elevens kunskaper

utvecklas. Nivå 3 och 4 är avsedda för högre åldrar och därför kommer enbart nivåerna 0–2

beskrivas här.

Nivå 0: Visualisering

Elever vid nivå 0 kan känna igen och namnge figurer baserat på de grundläggande visuella

egenskaperna, alltså hur de ser ut. Vid den här nivån kan eleven ha svårt att veta att en vriden

kvadrat fortfarande är en kvadrat. När eleven ska försöka sortera och klassificera liknande

former görs det baserat på hur lik varandra de ser ut att vara varandra. Eleven förklarar olika

former med elevnära exempel utan att uttrycka kunskap om dess kritiska aspekter.

Nivå 1: Analys

Nivå 1 elever försöker att bena ut kritiska aspekter för en viss form, för att sedan kunna

reflektera och placera dem i en grupp/kategori. Eleven försöker att generalisera egenskaper för

en viss kategori, istället för att endast tala om just den specifika figuren.

Nivå 2: Informell deduktion

7

I den här nivån har eleven samlat på sig tillräckligt med kunskap för att själv kunna argumentera

för om en viss form ska tillhöra en viss kategori. Eleven kan skapa former genom att endast

tänka på de kritiska aspekterna hos en viss form (Van de Walle, Karp och Bay-Williams 2017

ss. 513–517).

8

3 FORSKNING KRING ELEVERS FÖRSTÅRLSE AV

FYRHÖRNINGAR

Studier med en variationsteoretisk utgångspunkt har tidigare gjorts, men då främst genom

observationer. Kerekes (2014) utförde en studie där man tittade på hur lärare behandlar

innehållet i undervisning om växande geometriska mönster. Kerekes (2014) menar att lärare i

sin undervisning fokuserar vissa aspekter av undervisningsinnehållet, medan andra aspekter

lämnas onämnda. Det påverkar i sin tur vilka förändringar i det undervisade innehållet elever

får erfara. I nämnd studie analyserades vilka aspekter av innehållet som fokuserades i

undervisning samt vilka dimensioner av variation lärarna genom sin undervisning öppnade upp

och vad eleverna i sin tur då gavs möjlighet att lära.

Juhlin (2015 s. 92) tog i sin studie utgångspunkt i variationsteorin och tittade på hur elever gör

för att uttrycka sina kunskaper i att beskriva den tvådimensionella geometriska figuren

fyrhörning. Juhlin (2015) beskriver vidare att i den egna studien genom analys påvisade tre

olika kategorier i vilka eleverna beskrev fyrhörningar, “Order of focus” “Vocabulary” och

“Critical attributes involved”. Order of focus innebär vilken aspekt eleven huvudsakligen

fokuserade på när eleven skulle beskriva en fyrhörning, vilket oftast var antal hörn/sidor och

sedan längden på sidorna. Vocabulary handlar om hur eleverna satte ord på fyrhörningarnas

aspekter. Juhlin (2015 s.61) fann att det fanns fyra olika varianter för hur eleverna beskrev

objekten, korrekt användning av de geometriska orden, inkorrekt användning av de geometriska

orden, ord som förvirrar eleven samt elevnära ord. Den sistnämnda, critical attributes, som

Juhlin upptäckte var vanligast efter att ha studerat eleverna, var den relativa längden av sidorna

i figuren, att antal hörn är fyra samt vinklarna inuti figuren. Kritiska attribut berättar om de

olika kritiska aspekterna i en fyrhörning eleverna behöver utveckla kunskaper om för att förstå

den geometriska figurerens grundläggande egenskaper.

Juhlin (2015 s. 17) förklarar hur en polygon med endast raka linjer och fyra hörn skapar en

fyrhörning (se figur 2.1). Vidare kan även en polygon vara både stäng eller öppen (se figur 2.2).

9

Figur 2.1.

Enkel, stängd, konvex fyrhörning enkel, konkav fyrhörning korsad fyrhörning

Figur 2.2.

Stängd polygon Öppen polygon

Även Wernberg (2009) har bedrivit en studie ur ett variationsteoretiskt perspektiv där de

studerade hur lärandeobjekt behandlades under tre learning studies. De undersökte även på

lärandeobjektets framträdelseformer och relationerna mellan dem. Resultatet av studien var hur

lärandeobjektet kom till uttryck och skapade olika möjligheter för eleverna att lära. Utrymmet

för lärande var beroende av lärarens bemötande av eleven där läranderummet i vissa fall vidgats

och i andra fall krymptes, vilket i sin tur påverkade elevernas möjlighet att erfara

lärandeobjektet och dess kritiska aspekter. Wernberg (2009 s. 197) menar avslutningsvis att de

mönster av variation som skapas under en lektion är en avgörande del i vad eleverna ges

möjlighet att lära.

Leung (2008) förhåller sig i sin studie till Van Hieles nivåer för lärandet. Leungs (2008)

utgångspunkt består i huruvida en sådan metod ger eleverna möjlighet att lära att förhållandet

mellan två fyrhörningar inte enbart begränsas till deras olika egenskaper som skiljer dem från

varandra utan snarare att olika fyrhörningar ändå kan dela samma egenskaper. De ville även se

om elever kunde lära sig att argumentera med giltiga resonemang att exempelvis en kvadrat är

en romb. I studien bedrevs en undervisning med hjälp av smartboards, där eleverna skulle lära

10

sig om fyrhörningens olika egenskaper. Bland annat ändrades olika dimensioner hos

fyrhörningen efter Van Hieles olika steg, samt arbetade dem med venn-diagram för att

tydliggöra likheter och skillnader hos olika fyrhörningar. Leung (2008) menar att många elever

får lära sig att urskilja olika geometriska figurer och kategorisera dem efter deras egenskaper

som sidornas längd och vinklar i hörn. Leung (2008) menar att kunskap om hur man skiljer de

geometriska figurerna från varandra utefter egenskaper inte nödvändigtvis hjälper elever att

utveckla ett abstrakt tänkande.

Ytterligare en forskare som har tagit sin utgångspunkt i Van Hieles modell är Jones (2001).

Jones (2001 s. 55) beskriver att elever behöver stöttning för att skifta från tänket “därför att det

ser rätt ut” till övertygande argument om svarets generaliserbarhet. Eleverna fick testa en

stegvis arbetsgång där de fick utveckla sina kunskaper om fyrhörningar och träna sin

resonemangsförmåga. Genom arbetsgången utvecklade eleverna sin förmåga att resonera för

att beskriva fyrhörningarnas olika aspekter.

Lai (2012) har studerat hur kooperativ inlärning i mindre grupper med teknologiska hjälpmedel

kunde stötta elever i deras lärande om fyrhörningar. Varje elev i en grupp av fyra var ansvarig

för en specifik del av ett gemensamt geometriskt utrymme. Gemensamt skapade elevernas olika

delar av en helhet, fyrhörningar. Eleverna fick experimentera och diskutera för att komma fram

till olika lösningar. Resultatet visade att interaktion mellan eleverna i grupper där de diskuterade

figurernas olika aspekter är enligt Lai (2012) en kritisk mekanism för inlärningsprocessen.

In’am och Hajar (2016) undersökte hur eleverna kunde lära sig geometri genom att studera tre

aspekter, läraktiviteter, elevaktiviteter och insatsens resultat.

Forskarna ville arbeta in fem aspekter från det vetenskapliga tillvägagångssättet in i

undervisningen vilka var, observera, ställa frågor, resonera, testa och presentera. Att ge eleverna

något konkret att observera är enkelt att införa i undervisningen, det framkallar elevernas

intresse och de kan därmed formulera frågor kring observationen. En god lärare bör ha en god

kännedom om sina elever, därmed kan läraren ställa frågor som utmanar och samtidigt

uppmuntrar eleverna till att bli goda inlärare. Frågorna bör utveckla elevernas resonemang och

logiska tankegång. Genom att låta eleverna testa själva, blev det lättare för eleverna att veta vart

fel kunde uppstå. När en lösning hade uppstått kunde eleverna antingen själva eller i grupp

11

presentera hur lösningen gått till. Resultatet av studien visade sig ha en god effekt på elevers

inlärning.

För att sammanfatta tidigare avsnitt kan vi se att den tidigare forskning som bedrivits kring

elevers lärande i geometri är att man genom bland annat en stegvis undervisning, som Van

Hieles model, kan gynna elevers lärande. Även laborationer med och samtal kring geometriska

figurer är något många forskare studerat och har sett är positivt för inlärningen. Något alla

forskare i tidigare stycken lyfte på olika vis var vikten av att lära ut och låta eleverna lära om

de geometriska figurernas kritiska aspekter. Mönster av variation som lärare genom sin

undervisning öppnar är avgörande för vad eleverna ges möjlighet att lära (Wernberg 2009;

Kerekes 2014; Juhlin 2015). Det vi kan se är att alla de här arbetssätten och metoder bygger på

den undervisning läraren bedriver i klassrummet och med sina elever, men frågan kvarstår kring

läromedlen och deras möjlighet att ge eleverna möten med olika aspekter av lärandeobjekt.

3.1 Forskningsproblem och syfte av en läromedelsanalys med fokus

på fyrhörningar

Något som tydligt framgick i föregående avsnitt är att variationsteoretiska studier tidigare har

bedrivits. Tidigare i den här studien lyftes läromedlets stora plats i matematikundervisningen,

dock har all forskning som tidigare nämnts bedrivits i klassrumsmiljö genom observationer och

intervjuer. Tidigare kunde vi se studier som lyfter behovet av vidare forskning med en

variationsteoretisk utgångspunkt av läromedel (Wernberg 2009; Häggström 2008). Även de

andra studier som tittat på inlärningsprocessen av geometriska figurer har bedrivit sin forskning

i klassrumsmiljö. I tidigare stycke nämns att de variationsmönster och dimensioner av variation

som eleverna ges möjlighet att erfara är beroende av den undervisningen läraren bedriver.

Läromedlets stora plats i matematikämnet gör att variationsmönster och dimensioner av

variation bör studeras i läromedlen, då de ofta är ett viktigt undervisningsverktyg i de flesta

klassrum, och därmed styr den undervisning som bedrivs och i förlängningen avgör vad som

ger eleverna möjlighet att lära.

Den här studien syftar till att genom en variationsteoretisk utgångspunkt, analysera olika

läromedel inom matematik i syfte att urskilja de olika dimensioner av variation som tydliggörs

12

inom arbetsområdet med de tvådimensionella formerna fyrhörningar. Genom analys av vilka

aspekter som tydliggörs kommer följande frågeställningar besvaras:

● Vilka dimensioner av variation för lärandeobjektet fyrhörningar öppnas i läromedlen?

● Vilka variationsmönster kan urskiljas i läromedlen där eleverna ska lära sig om

fyrhörningar?

13

4 METOD

Nedan beskrivs den metod som används vid den här studien. Studien är bedriven med en

kvalitativ metod och med fokus på de innehållsliga aspekterna i den insamlade empirin. Vidare

kommer forskningsetiskt förhållningssätt samt analys presenteras.

4.1 Urval och arbetsgång

Studien fokuserar på arbetsområdet tvådimensionella former, därav gjordes valet att använda

läromedel från förskoleklass till årskurs 2. Matematikböcker som har använts är från serien

Favorit matematik. Valet av serie togs på ett par olika grunder. Det framkom genom räkning

av antal uppgifter med fyrhörningar i 20 olika läromedel, att just Favorit matematikserien hade

högst antal. Sökning efter statistik över sålda matematikböcker i Sverige gav inga konkreta

resultat. Det som framkom var att förlaget, vilka publicerar Favorit matematik aerien, på sin

hemsida framställer det här läromedlet som det ledande i landet. Årskurs 3 i serien valdes bort

på den grunden att den börjar fokusera mer på beräkningar av omkrets, area och

tredimensionella former och mindre på de tvådimensionella formerna, vilka den här studien

syftar till att undersöka.

Häggström (2008) har bedrivit studier med utgångspunkt i variationsteorin. Häggström (2008

ss. 225–229) säger i avsnittet om vidare forskning att variationsteorin med goda resultat bör

kunna användas vid läromedelsstudier. En variationsteoretisk utgångspunkt i en

läromedelsanalys visar inte bara vilka uppgifter läromedlet innehåller eller hur läroplansenlig

den är, variationsteorin ger möjlighet att studera ett läromedel för att se vilka olika aspekter av

lärandeobjektet som fokuseras och vilka som lämnas ofokuserade. Tidigare nämndes det här i

Kerekes (2014) att läromedel påverkade vilka aspekter av lärandeobjektet som den lärande

faktiskt har möjlighet att lära.

4.2 Forskningsetik

14

I vetenskapsrådet (2002 s. 6) nämns de fyra främsta forskningsetiska principerna,

informationskravet, samtyckeskravet, konfidentialitetskravet och nyttjandekravet. I den här

studien är det läromedel som har granskats, vilket lett till att de här principerna inte har behövt

vidta några särskilda åtgärder för att följas.

Vetenskapsrådet (2011 s. 12) beskriver de forskningsetiska principerna som närliggande de

etiska principer som finns i samhället i stort. Nedan presenteras åtta regler vetenskapsrådet tagit

fram för att hjälpa forskare i etiskt förhållningssätt.

1 Du ska tala sanning om din forskning

2 Du ska medvetet granska och redovisa utgångspunkterna för dina studier

3 Du ska öppet redovisa metoder och resultat

4 Du ska öppet redovisa kommersiella intressen och andra bindningar

5 Du ska inte stjäla forskningsresultat från andra

6 Du ska hålla god ordning i din forskning, bl.a. genom dokumentation och arkivering

7 Du ska sträva efter att bedriva din forskning utan att skada människor, djur eller miljö

8 Du ska vara rättvis i din bedömning av andras forskning

(Vetenskapsrådet 2011 s. 12)

Under arbetet med den här studien har vi förhållit oss till de regler som står ovan. Något vi

behövde tänka lite extra på i den här studien är punkt fyra, eftersom vi valt ut läromedel på vissa

grunder behövde det tydligt visas att det inte är någon reklam för förlaget, utan att läromedel

valdes ut på de grunder som presenterades tidigare i metoddelen.

4.3 Analys

För att kunna besvara forskningsproblemet behöver den insamlade datan tolkas. Det empiriska

material för den här analysen består i ett antal matematikböcker för årskurs F-2. Analysen

genomfördes efter de variationsteoretiska begreppen, framförallt kontrast och generalisering.

Analys av läromedlen genomfördes enligt de fyra stegen i Häggström (2008 ss. 74–78).

Steg 1-Identifiera innehållet som kan jämföras

15

Det här första steget handlar enligt Häggström (2008 s. 74) om att identifiera ett lärandeobjekt

som är möjligt att jämföra. Enligt första steget genomsöktes ungefär 20 olika matematikböcker

i årskurs F-3, för att hitta något som går att analysera ur ett variationsteoretiskt perspektiv.

Geometriska figurer är en återkommande typ av arbetsområde och valdes därför ut som ett

lärandeobjekt att titta närmare på. Antalet uppgifter inom geometri räknades i de olika

läromedlen och böckerna Favorit matematik i årskurs F-2 valdes ut på den grunden. Vidare

upptäcktes problemet med det stora omfånget av uppgifter inom geometri. Valet fick då tas att

fokusera specifikt på den tvådimensionella figuren fyrhörning.

Steg 2-Analys av upplevt lärandeobjekt i läromedlen

När lärandeobjektet fyrhörningar samt läromedel blivit utvalda påbörjades ett systematiskt

undersökande i läromedlen. De olika dimensioner av variation som fanns i läromedlen

sammanställdes för att senare kunna jämföras. Frågor som formulerades i detta steg för att hålla

analysen nära forskningsproblemet var, vilka variationsmönster kan urskiljas? samt, vad

varieras och vad hålls konstant.

Steg 3-Fokusera ett lärandeobjekt åt gången

I det tredje steget fortsatte analysen av lärandeobjektet, men med ytterligare noggrannhet över

vilka dimensioner av variation som öppnas i de olika uppgifterna om fyrhörningar i läromedlen.

Varje dimension av variation undersöktes för sig i det här steget. I och med den här ytterligare

omgång av analys utökades antalet dimension av variation, exempelvis “På vilka olika sätt

framställs en figur?”.

Steg 4-Fokusera på aspekten vilken är “tagen för given”

I det här steget är tanken att analysera och se de aspekter som inte finns där. I de olika uppgifter

i läromedlen kunde man se att alla dimensioner av variation inte öppnades i varje uppgift. I det

här slutliga steget hade det framträtt vilka olika dimensioner av variation som upptäckts i

läromedlen. Fyrhörningar är en typ av polygoner och den variant av fyrhörning som

representerats i de läromedel vi har studerat är den enkla stängda konvexa fyrhörning. Vi

16

använde oss av Juhlins resultat, vilka presenterats tidigare, för att hitta aspekter som är tagna

för givna, med andra ord de varianter av fyrhörningar som inte finns i läromedlen, vilka efter

analys upptäcktes vara exempelvis öppna fyrhörningar eller konkava och korsade fyrhörningar.

17

5 RESULTAT

Nedan kommer resultatet från föregående analys presenteras. De mest framstående

variationsmönster i matematikböckerna är kontrast och generalisering och kommer med det

inneha en större plats i resultatet. Separation kan brytas ner till kontrast och generalisering och

kommer därför inte presenteras.

Dimensioner av variation som öppnas i de olika läromedlen som analyserats:

Efter analys av läromedlen samt med utgångspunkt i fyrhörningens kritiska aspekter i Juhlin

(2015 s. 93), framkom ett antal dimensioner av variation som sammanställs i listan nedan.

På vilka olika sätt framställs en figur?

● Färg

● Stängd

● Öppen

● Konvex

● Konkav

● Korsad

● Storlek

● Vinklar i hörnen

● Antal hörn

● Proportioner mellan sidlängder

● Vridning (se figur 5.1).

Figur 5.1.

5.1 Kontrast

Kontrast var en av de mer framträdande variationsmönster i läromedlen som har analyserats.

Det fanns ett tydligt system i att lärandeobjektet, fyrhörning, skulle läras in genom att jämföra

18

med och utesluta mot andra geometriska figurer. För att kontrast ska gynna lärandet behöver

först kunskap om de grundläggande aspekterna för lärandeobjektet finnas, i detta fall vad som

gör en fyrhörning till en fyrhörning och inte en cirkel. När det är inlärt kan nya kritiska aspekter

uppstå när det redan inlärda sätts i en ny kontext och med nya dimension av variation.

Nedan (se figur 5.2 och figur 5.3) visas exempel där lärandeobjektet ska läras in genom att

utesluta andra geometriska former än fyrhörningar. Här behöver den lärande förstå dels vad

som karaktäriserar en fyrhörning och vad som inte gör det.

Figur 5.2. Uppgift ur Favorit matematik 2B. (Studentlitteratur 2012)


De kommande uppgifterna (se figur 5.4 och 5.5) visar ytterligare exempel på att lärandeobjektet

ska läras in genom kontrast. Vi kan se att den nedre bilden, med en uppgift från årskurs 2,

öppnar en ytterligare dimension av variation för den lärande, där kravet för att lösa uppgiften

är högre i den nedre bilden på grund av att det finns två fyrhörningar att välja på.

19



Det sista exemplet (se figur 5.6) på kontrast visas nedan. Här ska eleverna lära sig om olika

sorters fyrhörningar, även fyrhörningarna kvadrater och rektanglar, genom att utesluta de som

inte är den geometriska form som efterfrågas. I uppgiften nedan är det aspekten vinklar i hörn,

både antal vinklar och grader i vinklar, som är avgörande för att lärandeobjekten fyrhörning,

rektangel och kvadrat ska kunna separeras och läras.


Tabell 5.1. Sammanställning av öppnade dimensioner i uppgifterna.

Dimensioner inom vilka kontrast

sker

Figur

5.2

åk 2

Figur

5.3

åk 1

Figur

5.4

åk 1

Figur

5.5

åk 2

Figur

5.6

åk 2

Öppen/stängd figur? nej nej nej nej nej

Konvex/konkav/korsad fyrhörning? nej nej nej nej nej

Vinklar ja ja nej nej ja

20

Proportioner mellan sidlängder ja ja nej nej ja

Antal hörn ja ja ja ja ja

Något som tydligt framgick är att läromedlen inte öppnar variation mellan dimensionerna

stängd och öppen fyrhörning eller mellan konvex, konkav eller korsad fyrhörning (se tabell

5.1).

5.2 Generalisering

Generalisering är ett annat variationsmönster som sågs i läromedlen. Dimensioner av variation

kan skilja sig men ändå beröra samma lärandeobjekt.

Figuren nedan (se figur 5.7) visar på att flera olika dimensioner av variation öppnar sig, genom

att form, storlek och vinklar skiljer sig mellan figurerna och skapar en möjlighet för

generalisering i variationsmönstret. Generalisering uppstår när man, trots olikheter i

ovannämnda dimensioner av variation, ser att båda figurerna ändå är fyrhörningar. Det här är

en uppgift för årskurs ett.


Exemplet nedan (se figur 5.8) är för årskurs två och är lik föregående, det som upptäcks här är

att ytterligare en dimension av variation kan urskiljas, färg.

21


Nedan (se figur 5.9) är ett annat exempel på generalisering. De markerade fyrhörningarna

(kvadrater) öppnar inte mer dimension av variation än att de är vridna åt olika håll. Att

kvadraterna är vridna åt olika håll är en icke relevant aspekt, som den lärande behöver bortse

från för att förstå vad med en kvadrat som är konstant.


Nedan (se figur 5.10) visas ett exempel på generalisering från Favorit matematik för

förskoleklass. I uppgiften ska den lärande leta likadana former i bilden som i exemplet. Bilden

öppnar dimension av variation på så vis att aspekterna vridning, färg och proportioner mellan

sidlängder skapar generalisering i uppgiften.

Figur 5.10. Uppgift ur Favorit matematik F. (Studentlitteratur 2012)

22


Dimensioner inom vilka generalisering sker Figur 5.7

åk 1

Figur 5.8

åk 2

Figur 5.9

åk 2

Figur 5.10

fsk

Färg nej ja nej ja

Öppen/stängd figur nej nej nej nej

Konvex/konkav/korsad fyrhörning nej nej nej nej

Storlek ja ja ja nej

Vinklar ja ja ja nej

Proportioner mellan sidlängder ja ja nej ja

Vridning nej nej ja ja

Även här framgår att läromedlen ej ger möjlighet för generalisering mellan öppen och stängd

figur, samt mellan konvex, konkav och korsad figur (se tabell 5.2).

5.3 Fusion

I nedanstående (se figur 5.11) exempel ges den lärande möjlighet att möta flera olika kritiska

aspekter för att kunna lösa uppgiften. Kunskap om flera olika geometriska formers

grundläggande egenskaper krävs och de olika kritiska aspekter som samverkar skapar fusion.

Fyrhörningens kritiska aspekter finns beskriven i Juhlin (2005 s. 93) exempelvis antal hörn,

antalet sidor, vinklar inuti hörnen och parallella sidor.

23


Exemplet nedan (se figur 5.12) ställer höga krav på kunskap om många olika dimensioner. De

tre fyrhörningarna har alla olika utseende i form och färg. Här krävs kunskap om rektangelns

grundläggande aspekter samt att graderna i vinklarna i hörnen är avgörande för att kunna lösa

uppgiften. För att se vilka dimensioner som samspelar se tabell 5.3.

åk 2


24


Dimensioner inom vilka fusion sker Figur 5.11

åk 2

Figur 5.12

åk 2

Färg nej ja

Öppen/stängd figur nej nej

Konvex/konkav/korsad fyrhörning nej nej

Storlek ja ja

Vinklar ja ja

Proportioner mellan sidlängder ja ja

Vridning ja nej

Antal hörn ja ja

25

6 RESULTAT

Den här studien syftar till att genom en variationsteoretisk utgångspunkt, analysera olika

läromedel inom matematik för att urskilja de olika dimensioner av variation som tydliggörs

inom arbetsområdet med de tvådimensionella formerna fyrhörningar. Nedan kommer resultat,

metod, didaktiska konsekvenser och behovet av vidare forskning diskuteras.

6.1 Resultatdiskussion

Tidigare studier över vilka dimensioner av variation samt variationsmönster som går att se i

läromedel inom matematik saknas. Den här studien visar på att både dimensioner av variation

och olika variationsmönster går att urskilja i de analyserade läromedlen. Två studier diskuterade

möjligheterna kring att göra en läromedelsstudie ur ett variationsteoretiskt perspektiv, och den

forskning vi nu har bedrivit visar på goda möjligheter till det (Wernberg 2009; Häggström

2008). Det som upptäcks i studien är att variationsmönstren generalisering och kontrast är de

mest framträdande. Fusion finns representerade i två uppgifter i den här studien. Fusion som vi

tidigare beskrivit som att kvalitativt kunna urskilja vilken kritisk aspekt den bör ta hänsyn till i

mötet då det finns flera kritiska aspekter, borde kunna visa flera exempel då väldigt få uppgifter

i matematik innefattar enbart en kritisk aspekt. Efter analys av utvalda läromedel framkom ett

antal olika dimensioner av variation som fyrhörningarnas färg, storlek och vinklar. Vi kan se

att olika dimension av variation öppnas i uppgifterna i läromedlen. Aspekter som uteslutits i

läromedlen är huruvida sidorna är parallella, om figuren är konkav, konvex eller korsad samt

om figuren är öppen eller stängd. De kritiska aspekterna korsad, konkav och öppen, uppdagades

i vårt resultat som en dimension av variation som inte öppnades i någon av de uppgifter som

fanns med i de läromedel vi analyserade. Juhlin (2015) såg i sin studie hur eleverna valde att

beskriva en fyrhörning, genom antal sidor, antal hörn och så vidare. Att de nämnda aspekterna

inte öppnas i läromedlen kan vara problematiskt, vilket vi tidigare sett, eftersom det leder till

att elever som har läromedelsbundna lärare inte får möjlighet att möta de mer atypiska

fyrhörningarna, som korsad och öppen. Läraren är den som ansvar för vad som ges eleven

möjlighet att lära och behöver stora kunskaper om de läromedel man använder dels presenterar

för eleverna dels vad de utesluter.

26

6.2 Metoddiskussion

Valet att utföra en läromedelsanalys ur ett variationsteoretiskt perspektiv mötte flera

svårigheter. Det främsta hindret var att det inte fanns några liknande tidigare studier på

läromedel. Den tidigare forskning som ligger till grund för den här studien har bedrivits i

klassrum genom observationer av lärare samt olika arbetssätt och modeller för att gynna

lärandet. Häggströms (2008, ss. 225–229) idé om läromedelsanalys utefter variationsteorin är

vad som låg till grund för det teoretiska ramverk som användes i studien.

Tidigare forskning kring elevers lärande av geometri har tidigare redovisats i den här studien.

Många av artiklarna har dock berört geometri generellt och inte enbart fokuserat på

fyrhörningar, vilket kan påverka applicerbarheten till den här studien. Flertalet av de artiklar

som låg till grund för den här studien hade en utgångspunkt i Van Hieles modell om elevers

utveckling i matematik. Van Hieles verkar vara ett vanligt förekommande arbetssätt för att se

elevers kunskapsutveckling om man ser till den forskning som funnits representerad i den här

studien. Flera av studierna hade även sin teoretiska utgångspunkt i variationsteorin. Eftersom

den tidigare forskning som ligger till grund för den här studien har använt samma teoretiska

ramverk samt studerat elevers geometriinlärning har de kunnat användas som en utgångspunkt.

Vidare, som tidigare nämnts, framkom behovet av en läromedelsstudie ur ett

variationsteoretiskt perspektiv efter att insamlade data visade på kunskapsluckor i det

forskningsfältet.

Leung (2008) beskrev hur elever lärde sig om geometriska figurer genom att kategorisera dem

samt att lära in geometriska figurers kritiska aspekter. I läromedlen kunde vi se att eleverna

genom olika uppgifter, under bland annat uppgifterna där det uppstod kontrast, gavs möjlighet

att lära sig urskilja kritiska aspekter hos fyrhörningarna genom att separera dem från andra

geometriska former, vilket kräver kunskap om fyrhörningens kritiska aspekter. Eleverna fick

även möjlighet i ett antal uppgifter att kategorisera olika sorters fyrhörningar (se figur 5.2 och

5.6).

27

Tidigare forskning som utgått från stegvisa inlärningsprocesser och nyttan med dem kan även

de kopplas ihop med uppbyggnaden av de medtagna läromedlen i den här studien (Jones 2001;

Leung 2008). Uppgifterna börjar på en enklare nivå som både genom samma bok och genom

läromedlen årskursvis blir svårare och svårare.

Två studier ittade på elevers geometriinlärning genom att låta dem laborera och samtala för att

uppmärksamma kritiska aspekter hos geometriska figurer (Lai 2012; In’am och Hajar 2016).

De uppgifter som finns representerade från läromedlen i den här studien ger inget utrymme för

lärande genom laboration eller samtal, utan det ligger på den undervisande läraren att

komplettera läromedlen med.

Under analysen utgick vi från Häggströms (2008 ss. 74–78) analysmodell. Det som var

problematiskt med att efterfölja den modellen var dels att tolka stegen på ett korrekt vis, men

även att applicera en modell, som tidigare mestadels utförts i klassrumsmiljö, genom

observationer till en läromedelsanalys.

Det fördelaktiga med att bedriva en studie genom analys av läromedel är bland annat att

läromedlen inte ändrar sig, de är konstanta, de är även lättillgängliga och inte lika många

åtgärder behöver vidtas som vid exempelvis intervjuer med barn. Det fördelaktiga med fysiska

personer är det djup kring förståelse om olika personers inlärning och kunskaper man får vid

exempelvis just intervjuer av personer.

Att inte ha lärare och elever som respondenter skapar även svårigheter i att utpeka de kritiska

aspekter som finns vid lärandet om fyrhörningar. Juhlin (2015 s. 93) kan dock ge en

utgångspunkt i vilka de kritiska aspekterna kan vara genom att presentera ett resultat av de

aspekter av en fyrhörning eleverna nämner när de beskriver en fyrhörning. Eleverna beskrev en

fyrhörnings egenskaper genom att tala om antalet hörn, sidor och vinklar.

6.3 Didaktiska konsekvenser

Genom analys av läromedlen framkom ett antal icke existerande figurer, eller icke framkomna

kritiska aspekter, som exempelvis den konkava fyrhörningen eller den öppnade. Med det kan

28

slutsatsen dras att eftersom läromedel har en så stor plats i matematikundervisningen läggs ett

stort ansvar på den undervisande läraren att påvisa de aspekter av en fyrhörning som inte finns

representerade i läromedlen för att öppna fler dimensioner av variation för den lärande. Läraren

behöver därför kunskaper om de kritiska aspekterna, vilka aspekter som öppnas, samt hur de

öppnas och när.

Den här studien ökar kunskap om vilka dimensioner av variation samt vilka variationsmönster

som öppnas i en vanligt förekommande läromedelsserie. Förhoppningen är att den kan vara ett

stöd till verksamma lärare i att identifiera vilka dimensioner av variation som öppnas i

läromedlen och med det få kunskap om vilka kritiska aspekter som lämnas oberörda och

behöver lyftas i undervisningen utöver användandet av läromedlen.

6.4 Vidare forskning

Det smala urvalet som återfinns i den här studien påverkar uppenbart generaliserbarheten av

resultatet. Vidare forskning med en variationsteoretisk utgångspunkt, på fler läromedel inom

matematik, är därför något som behövs i framtiden. Eftersom den här studien har tittat på

läromedel ur ett nyare perspektiv, kommer framtida forskning öka reliabiliteten hos den här

studien på så vis att framtida forskning ska kunna använda den här studiens metod för att få

fram liknande resultat i andra läromedel. Nyttan av läromedelsstudier ur ett variationsteoretiskt

perspektiv är som tidigare nämnt något som förespråkas av både (Wernberg 2009; Häggström

(2008).

REFERENSER

Ammert, N. (2018). Att spegla världen: läromedelsstudier i teori och praktik. Lund:

Studentlitteratur

Grönroos, L. (2012). Favorit matematik F-1. Lund: Studentlitteratur

Holmqvist, M. (2004). En främmande värld: om lärande och autism. Lund: Studentlitteratur

Häggström, J. (2008). Teaching systems of linear equations in Sweden and China: what is made

possible to learn? Diss. Göteborg : Göteborgs universitet, 2008

In’Am, A. & Hajar, S. (2017). Learning Geometry through Discovery Learning Using a

Scientific Approach. International Journal of Instruction. Vol. 10, nr. 1, ss.55–70.

Tillgänglig på internet:

http://search.proquest.com/docview/1895975142/.

Jones, K. (2000). Providing a Foundation for Deductive Reasoning: Students’ Interpretations

when Using Dynamic Geometry Software and Their Evolving Mathematical Explanations.

Educational Studies in Mathematics. Vol. 44, nr. 1, ss.55–85.

Juhlin, E. (2015). Traces of mathematical facts and students´ understanding of the concept

`quadrilateral an enquiry into young students´ communication. Lic.-avh. Luleå: Luleå tekniska

universitet

Tillgänglig på Internet: http://urn.kb.se/resolve?urn=urn:nbn:se:ltu:diva-25817

Kerekes, K. (2015). Undervisning om växande geometriska mönster: en variationsteoretisk

studie om hur lärare behandlar ett matematiskt innehåll på mellanstadiet.

Diss. Linköping:Linköpings universitet

Tillgänglig på Internet: http://urn.kb.se/resolve?urn=urn:nbn:se:liu:diva-114480

Lai, K. (2012). Exploring quadrilaterals in a small group computing environment. Computers

& Education. Vol. 59 nr. 3, ss.963–973.

http://search.proquest.com/docview/1895975142/

http://urn.kb.se/resolve?urn=urn:nbn:se:ltu:diva-25817

http://urn.kb.se/resolve?urn=urn:nbn:se:liu:diva-114480

Leung, I. (2008). Teaching and learning of inclusive and transitive properties among

quadrilaterals by deductive reasoning with the aid of SmartBoard. ZDM. Vol. 40, nr. 6,

ss.1007–1021.

Löwing, M. (2004). Matematikundervisningens konkreta gestaltning: en studie av

kommunikationen lärare - elev och matematiklektionens didaktiska ramar. Diss. Göteborg:

Universitet

Marton, F. & Booth, S. (1997). Learning and awareness. Mahwah, N.J.: Erlbaum

Marton, F. & Booth, S. (2000). Om lärande. Lund: Studentlitteratur

Marton, F. & Tsui, A. (2004). Classroom discourse and the space of learning. Mahwah, N.J.:

L. Erlbaum Associates

Ristola, K., Tapaninaho, T. & Tirronen, L. (2012). Favorit matematik 1B. Lund:

Studentlitteratur

Ristola, K., Tapaninaho, T. & Vaaraniemi, L. (2012). Favorit matematik 2B. Lund:

Studentlitteratur

Skolverket (2019a). Positiv svensk PISA-trend håller i sig. Stockholm:Skolverket


https://www.skolverket.se/om-oss/press/pressmeddelanden/pressmeddelanden/2019-12-03-

positiv-svensk-pisa-trend-haller-i-sig

Skolverket (2019b). Timplan för grundskolan. Stockholm:Skolverket


https://www.skolverket.se/undervisning/grundskolan/laroplan-och-kursplaner-for-

grundskolan/timplan-for-grundskolan

Thompson, J. (1991). Wahlström & Widstrands matematiklexikon. Stockholm: Wahlström &

Widstrand

https://www.skolverket.se/om-oss/press/pressmeddelanden/pressmeddelanden/2019-12-03-positiv-svensk-pisa-trend-haller-i-sig

https://www.skolverket.se/om-oss/press/pressmeddelanden/pressmeddelanden/2019-12-03-positiv-svensk-pisa-trend-haller-i-sig

https://www.skolverket.se/undervisning/grundskolan/laroplan-och-kursplaner-for-grundskolan/timplan-for-grundskolan

https://www.skolverket.se/undervisning/grundskolan/laroplan-och-kursplaner-for-grundskolan/timplan-for-grundskolan

Van de Walle, J. A. et al. (2015). Elementary and Middle School Mathematics: Teaching

Developmentally. 9e upl; Global edition. Harlow: Pearson Education Limited.

Vetenskapsrådet (2002). Forskningsetiska principer inom humanistisk-samhällsvetenskaplig

forskning. Stockholm:Vetenskapsrådet


http://www.gu.se/digitalAssets/1268/1268494_forskningsetiska_principer_2002.pdf

Vetenskapsrådet (2011). God forskningsed. Stockholm:Vetenskapsrådet

Tillgänglig på internet: https://konst.gu.se/digitalAssets/1372/1372748_god-forskningssed-

2011.1.pdf

Wernberg, A. (2009) Lärandets objekt: vad elever förväntas lära sig, vad görs möjligt för dem

att lära och vad de faktiskt lär sig under lektionerna. Umeå: Umeå universitet,

http://www.gu.se/digitalAssets/1268/1268494_forskningsetiska_principer_2002.pdf

https://konst.gu.se/digitalAssets/1372/1372748_god-forskningssed-2011.1.pdf

https://konst.gu.se/digitalAssets/1372/1372748_god-forskningssed-2011.1.pdf

Besöksadress: Allégatan 1 · Postadress: 501 90 Borås · Tfn: 033-435 40 00 · E-post: [email protected] · Webb: www.hb.se

lÄromedelsanalys ur ett variationsteoretiskt …

Documents