l~tetim de ~iÊn~iu e~~n~mi~u
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l~tETIM DE ~IÊN~IU E~~N~MI~U SUPLEMENTO AO BOLETIM DA FACULDADF. DE DIREITO
VOLUME X
1 9 6 7
FACULDADE DE DIREITO
COIMBRA
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Pro urou Tinb >r'~ n rl'l1111r, numa. .... íntl" oJl:-.trutiv<l,
onh 'C111l1'11tO
C Illleia: teoria
até nUo <lJ"pl'r"o:-, por \ .trio" ramo:-. da.
) on' mie,). (teO\ü do" 'i 'lo. 'c nóm ieo
do Lf" imento t' onômi o; mode1o:-. dinàmi o· sob a forma
til . I t 'm,b d' equ.l -l'" !-imultân 'a:-.). ,l\1áli:-. > ma tem '!tira
(trat.tm ' l1to dI.' ,,\:-.t ma" linâmico:-. 'omo t'quaçõ" às dif ,
r 'n a:-., ordin.tna ou c tn ástl a,,) método l':-.latí:-.ticos ( ':-.ti
maç ào . te de hipote l' ,) ( ~ ). Jlai:-. importante ainda, 001"-
ti 'nou o. onh cim'nto:-. te'ri o
on..,truçà de moddo .... dinâ)11ilo:-.
Embora a:-. r 'laçõe. mat\:n Ati ,1." apre:-.entauas I 01' Till
her T '11 ,ti\l' em c gTupada" 'm :-.i~t m s, a . tima ào dos
parim troo fazia-s eparadam nt por quaçõ p la apli-
a ao do m't d d mínimo quadrad S. " .... ist ma usa lo~
lor > te autor ã d tipo re ur:-.iyo', amo salientar mos n
nún1('ro eruintc-.,· 1 'Títima a aplica(;ào dir cta do métod
UL' mínimo quadrad ne :-. i..,t mas .
Em 1~)-t3, Haa\' 'Imo hama a atençã para o fa to
d o nu' "m rit rio d mínim s quadrados produzir esti
matrize . ·c'ntrica quand as quaçõ . r pr ntativa duma
trutura ..,tão r unida numi"t 'ma int rdep ndente para
a nec "idade d encontra7', para tai si t mas, outr pro-
e-."'o" d timaçào do parâm tro .
E a foi a principal tar fa da 07 . ...tC ollllHi lOn no ano
e.CTuinte e em 19-0 publica-o a prim ira obra d vulto
obre e tImaçào imultân a, -lal islical lnferCllce in Dynamic
Ecollomic .l/ode! . que, a par de um e tudo ir un .... tanciado
de m . todo .... d ~timaçào d parâm tro , refere ao pro
bl ma da id ntificaçào. até aí ó a id ntalm nt abordado.
Tr'" ano. d pois a oli.'le ommi ion publica nova olec-
(~ H O .. -\ . \\'old (19-9. páa . 356).
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tânea d studos, .(·itudics út Economctrlc Jl!ctltod, em qu'
"ao abordados alguns dCh t mas já in luíclos na obra ant<,rior,
mas agora escritos d f rma mais ar' ,sívcl, e a C[ll - se juntam trabalhos ntretanto 'laborados.
Desd' 'ntao, grande número d estudos foram publi
cados sob r . tim çao ele parâm tros m moei los economé
tri o,>. Dado que os m todos de má'ima verosimilhança
- sobretudo o d' informaçao ompleta - são muito tra
balho , pro uraram- outros proc s. o alt rnatlvos que,
mbora mant ndo todas, ou alguma,>, propri -dades óptimas
daqu la stimatrizc. , foss m d' cálculo mais acessível.
J .2 OBJECTIVO DE TE E T DO
orno sab, a r solução d um probl ma cono-
m trico comporta, m r gra, e. ta quatro fase ... : a sp ci
Ii a ào, a tima ão, a verificação a predição. Delas obre
ai, pela ua importância p la: di cu ,ões a qu t m dado
orig m, a tima ão, a úni a fas a que nos ref riremos.
timaçã pod r 'portar- e a uma só r lação mat _
máti a ou a umi t ma d r laçõc qu dev m v rificar-se njuntam nt ; diz-s , n t cas, que
imultân a . trata d e.timação
B. O crit rio d nummlzação duma orna d quadra
dos d rro , empr t m d . emp nhado um papel d pn
melr plano na timação d parâmetro 'truturais. om
ef ito, f i o m todo d mínimo quadrado qu aplicou
inicialm nt para atimação do parâmetro d uma qua-
ão trutural , qu r tratas, e d uma relação umca, qll r
fo ' uma de vária r laçõ d um i t ma. Depoi ', quando
om çaram a u 'ar-e mod I s interdepend nt ,o ritério
de mínimo quadrado pa ou aer aplicado à timação
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de par.im tr struturai d si. temas
ficado.. .\ ne 'sidade d> nc ntrar pr
xa tam nte id 'nti
sO d aplicaçã
g ralo I ara , istemas id 'ntificáwi". !C,' tI algum aut r s a propor u o rcp tido. 111 duas ou trê tapas, do mét do
dt' mínullos quadrad .. P rqu s r "ultado btido' atra
'\' dt.: -tas última - ,,,timatrizes cio satisfatório e omp n
o m amplamente acr' lnl d> ál. ulo a que brigam.
par c-nos que de ,'cm _ r r com ndada , mpr qu não
. Ja uÍlci ntc a utiliza ào. uma ' v z, d m todo d míni-
mo quadrado:.
Rei re- o no trabalho à. apli açào d m t d
de mínim quadrado à timação imultânea.
omeçámo. por faz r. n -t núm ro, um bre"
hi -t' ric do probl ma da timação. l' núm ro . uinte, r f rimo-no ao m todo que n
i -t na aplicação directa do ritério d minimização da
oma d quadrado d rro para a e timação do parâ
m tro de urna quação -trutural. Tanto e t proce o,
com a ua eneralização - propo ta por itken a qu
também no ref rimo -, ão u ado na dedução do méto
do mai ' complexo que e eauem. Depoi - ( 3. ), tratamo da aplicação do método d
mínimo quadrado a i terna de equaç e imultânea
xactamente identificadas (r ar ão indir cta) ou me mo
obreid ntificadas (método bietápico).
Referimo-no, m eguida (4.), à timatriz de míni
mo quadrado mai r cente, denominada trietápica, reco
mendável quando o i tema contém equaçõe imultânea
obreidentificad .
Por fim C .), apreciam- e o método de e timação expla
nado no número anteriore e comparam- e com outros
método de e timação.
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2. REGRESSÃO DIRECTA
2. 1 - PRES PO TO. PROPRIEDADE
proc s d mínimo quadrados foi propo~to pela primeira vez por L cici1dr m 18 . Pouco temp d poi ,
Lapla Gau. apre" ntaram algumas propri dades óptima
d t m todo. D sde ntão, foram muita~ as contribuiçõe por matemático ilu tres como Markov, itk n, Fi h r, DarmIe outro.
proce so de ~timação p lo qual se determinam os parâmetros e truturai pela aplicação directa do método d
mínimos quadrado é conh cido por método directo de míni
mo quadrados ou regressão directa.
B. amo ref rir-no ap nas ao caso da regressão múl-tipla, m que há diversa variá ei· «(independente ), por a
r gre ão impl er exc pcional em Economia - uma ez
qu a variaçõ numa grandeza económica dificilmente serão
xplicadas atra é da rn,odificaçõe duma ó variável -por
tipla. poder bter como ca o particular da regre ão múl-
Parta- e, poi , do princípio que a variável cuja flutuaçõe
pr tend m xplicar contém uma parte sistemática que
d p nd linearment de um certo número de variávci e
uma parte não-sistemática de cuja di tribuição de proba-bilidade conh cemo algun parâmetro.
v I ( 3) toma valore Yg (t); a variávei pnmelra variá
xplicativa a u-
( 3) vanável individuailza- e pelo índice g, que poderá igni-ficar a ordem da equação no i tema em que e tá integrada .
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mém \"alons "1 (t), ... , "1-0: (t) t' a ' plfturbaçôl' aleatórias ,,<lo
' , pr .... ,t · por u" (t) :
(2.1) (t) = Y~I " 1 (t) + .. , + YgJo: Xh (t) + llg (t)
(t = 1, ... ,T).
critéri l1"ado n> t nll{todo o da dd rminaçào
do hip rphno II.' mínimo" qUJ.drad s.
(2.~) y: (t) = C~l Xl (t) + .. , + g K XI>: (t),
m qu as e timativas Cg k d s
da ' de forma a minimizar .... ma do
Ygkão alcula
quadrado ' do
T
rro · Z = -- u~ (t) . nsider mos Xl (t) = I, i. ., variá\'cl
t = 1
auxiliar . Faça-~c a r pr entaçào matri ial do .... i t ma d T qua-
-e (2.1) :
(2.3) yg = X Yg + Ug
em que • - é a matriz d va.lore tomado,> p la ariá IS
explicativa y , Yg U g ào o \' ctore -coluna do alo
re ' , r pecti\'ament, da variável g (t). do. coeficiente Yg k
e da.-; perturba õe aleatória ug (t) .
Explicitam nte:
y (1) XK (1)
+
y.; (T) Xl{ (T)
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D. método dir eto de mínimos quadrados ba eia-<)('
g ralm .nt no!-. !-.('gllinl<'!-. pr 'ssupostos ( 1 ) :
(2.5)
(1) a!-. perturba ões aI 'atórias cl' (2.3) tAm spC'rança
mat mátiea nula.: E (uI() = O;
(2) as pertmb2.ções aleatória" de (2.3) "ão homoeedás
ti as e não existe orrelação gueneial: E (u I( ug ) = = cr gg I , cr ~g < +
(3) o I -m ntos da matriz X são núm ro reai. não
estocásticos ou têm distribuição independ nte de
t d . valor pa 'sados, pr sentes futuro,> da
perturbação aI at6ria, i. " nã incluem variávei
nd6g na .
E. Pretende- minimizar o e calar
che- e a d rivada em ord m a Yg
X =- 2X'yg+ 2X'XYg Yg
igual.e- e ao v ctor nulo para obter a quaçõe normal
(2.6) X'Xcg = X'yg
(4) H . Theil (1958, pág. 20 ) e B . J. F . Murteira (1962).
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qu apr '" ntamo tamb m xplicitament
T
(2.7)
n1 qu' as ma ~e r fer m a t = 1, ... , T.
s lu ào d (2.) u (2.7)
(2. ) Cg= (X'.,r) 1 'I .< g,
~XI g I
qu r pr "enta o hiperplano d mínim ::, quadrad , pr urad
:l1põe-~e que a matriz X t m implica T » K e a nào xi tên ia d uma r lação lin ar
xacta ntre o ' K \' ctore d ,'alore., a urnido ' p la '
,-ariá,-ei::; xplicativa. om r (. ') = K, a matriz X '., d finida po iti a,
xi -t a ua inv r -a (X 'X) 1 g d t I1nina um mínimo,
Poi ê!!"./ 2 - 2 X ' X I. Yg - .< ..t.
F. ub titua-" em (2.) g pelo valor dado em (2.3);
obtém-
(2.9) Cg = Yg + (X'X) 1 X' ug ,
o que mo tra, dada a rupót e (1) e (3) , qu E cg = Y g' i. .,
trata- e d uma ti matriz cêntrica (5) .
(5) e as \'ariá \'ei explicativa lDcluem variávei end6a enas d ia adas, a e- tlmatnz é excêntrica e o me mo e verifica para a predição condiCionada da variável dependente.
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c ntinua v<Uido, mb ra método t nham ido m lh rad '
tenha feito um stud dos a-.05 particular a q u alient - qu m lhor r , ultad .
d vem s br -
pá 7) a afirmar, qlland r f r a
rado,' no futur próxim : «E p ro uma m lh ria na pr cião
do: ,tudo ' conom tri ' da rd m d grand za, d ' in
qu nta por ento c m rultado do m ]h r conh cim nto
do funcionam nto da
nov medida para a ariá\' i
pr ci o . Em contra t, P ro uma p qu na m lh ria d
cinco a dez por cento pelo u ' o de m todo mai pot nt
de inferência e tatí tica», ondui, porém , que: «Todo o
caminho qu conduzam ao aperf içoam nto de m er egui
do , porque todo o ganho, me mo p queno, ão pr cio o ;
todavia, deve dar- e ' diferent contribuiçõe o rele o que
merec m. A adopção de método de tatí tica matemática
mai pot nte ' não é uma panaceIa>).
B. Pelo tudo feito no número a nteriore, conclui
mo que o ~1l\1\' I poderá u ar- e quando o mod lo e tá
obreidentificado, o número de parâmetro a e timar nào
é muito elevado, e exige elevada preci ão na e timativa ,
, tá egurada a inexi tência da multicolinearidade, e ta-
mo certo de que a e pecificação u ada é a m ai conve
niente e é correcta a informação «a priorü); o MM IL poderá
usar- e quando o modelo e tá obreidentificado, no intere a
apenas e timar o parâmetro de alguma equaçõe do modelo,
e tá a egurada a inexi tência de multicolinearidade e m e mo
que haia dúvida quanto à pecificação correcta, à norma
lização mai adequada ou à veracidade da informação
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(Ca pri ri); o método da ariáv is in trum ntai u:a-s , sobre
tudo, para mod los 5ubid ntifi ado. No r tant asos - são a qua e totalidade - os
d minim. quadra los, pecialment o de r gre -
!;ão dir ta o bi tápi o, continuam a ter a preferência,
qu r por m no xig nt quanto à ondições em que sã
apli áv i , quer pelo menor núm ro de cálculo:> a qu obri
gam.
Jo É DlO. Í I DE LMEIDA
Professor da Faculdade de Economia do Porto
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