EM

TEORIA ERORILOR DE

MĂSURĂ

Măsurare Erori sistematice Erori întâmplătoare Valoarea medie, abaterea pă-tratică medie Erori absolute, erori relative Măsurare indirectă, eroarea unei măsurări indirecte

Măsurarea mărimilor fizice este acti-vitatea principală în orice experienţă de laborator, dar nu numai în asemenea si-tuaţii (gândiţi-vă, de exemplu, la măsu-rarea gradului de poluare a aerului pe o arteră de circulaţie cu trafic intens). Gradul de încredere în valorile măsurate este strâns legat de corectitudinea cu ca-re au fost făcute măsurătorile şi de ero-rile care puteau interveni. De aceea, este necesară stabilirea unor reguli stricte privind modul de efectuare a măsurăto-rilor şi stabilirea gradului de eroare a acestora. Aplicaţia de faţă urmăreşte să vă familiarizeze cu aceste reguli.

CUVINTE CHEIE

TEMA APLICAŢIEI

SCOPUL APLICAŢIEI

Cunoaşterea tipurilor de erori de măsură. Cunoaşterea modului de calcul al erorilor în măsurătorile directe şi indirecte.

3

4

DEFINIŢII ŞI FORMULE

Măsurarea unei mărimi fizice înseamnă a determina de câte ori se cuprinde în ea o mărime fizică de acelaşi fel, aleasă ca unitate de măsură. Măsurarea poate fi directă sau indirectă. De exemplu, distanţa dintre două obiecte ar putea fi măsu-rată în mod direct cu rigla, dar ar putea fi determinată şi indirect cunoscând vite-za luminii şi măsurând timpul în care o rază de lumină parcurge distanţa dintre ele. În funcţie de cazul concret se alege una dintre cele două metode de măsură.

Operaţia de măsurare este însoţită de erori. Erorile de măsură pot fi împărţite în două categorii: sistematice şi întâmplătoare.

Erorile sistematice pot avea la origine mai multe cauze : defectele aparatelor de

măsură (de exemplu, ora afişată de un ceas care nu merge exact), utilizarea unui principiu de măsură greşit (de exemplu, aprecierea cantităţii de lichid dintr-un vas tronconic pe baza înălţimii acestuia) sau greşelilor făcute de observator (de exemplu, plasarea sa incorectă faţă de aparatul de măsură, ceea ce conduce la ci-tirea incorectă a indicaţiilor aparatului). Aceste erori pot fi înlăturate doar prin repararea aparatului defect, regândirea principiului măsurătorii sau înlăturarea greşelilor de observare.

Erorile întâmplătoare se datorează în special lipsei de precizie a citirilor indi-

caţiilor instrumentelor de măsură şi constituie un factor legat exclusiv de per-soana experimentatorului. În acest cazuri, rezultatul unei măsurători este fie mai mare, fie mai mic în comparaţie cu valoarea corectă. Caracterul statistic al ero-rilor întâmplătoare face ca la repetarea de un mare număr de ori a determinărilor numărul valorilor mai mari decât cele reale să egaleze practic numărul valorilor mai mici. Rezultă de aici că erorile întâmplătoare pot fi compensate prin repe-tarea de un mare număr de ori a determinărilor şi medierea rezultatelor obţinute. Printre erorile întâmplătoare întâlnim şi erorile grosolane, care se pot distinge de celelalte prin aceea că oferă valori complet diferite de şirul celorlalte valori experimentale. Erorile grosolane sunt înlăturate prin refacerea măsurătorii sau ignorarea rezultatului aberant.

Valoarea medie. Inerent, la măsurarea directă a oricărei mărimi fizice se face o

eroare de măsură. Repetând determinările de un număr mare de ori, rezultatele se distribuie simetric în jurul valorii adevărate. De aceea, prin medierea aritmeti-că a datelor obţinute, mai ales dacă numărul determinărilor este foarte mare,

5

există posibilitatea ca erorile care supraestimează valoarea adevărată să se com-penseze cu acelea care o subestimează. Acesta este motivul pentru care, în urma şirului de măsurători, valoarea acceptată ca rezultat final este media aritmetică a rezultatelor tuturor măsurătorilor, adică valoarea medie.

Abaterea pătratică medie. Faptul că valoarea medie aproximează cel mai bine

valoarea adevărată a mărimii fizice pe care o măsurăm, nu înseamnă că ştim şi cât de siguri putem fi de precizia măsurătorii. Precizia este legată de intervalul dintre cea mai mică valoarea obţinută prin măsurare şi cea mai mare valoare. Cu cât acest interval este mai mare în comparaţie cu valoarea medie a mărimii mă-surate, cu atât precizia măsurătorii este mai mică şi încrederea în privinţa rezul-tatului obţinut este ea mai mică. Imaginaţi-vă că aţi da examen din aceeaşi mate-rie cu 10 profesori diferiţi. Dacă la toate examenele aţi obţine note între 5 şi 7, aţi putea fi destul de siguri că ştiţi de nota 6. Dar dacă gama notelor obţinute ar fi între 2 şi 10, media fiind tot 6, aţi mai avea siguranţa că aţi fost examinat co-rect ? De aceea, alături de valoarea medie, trebuie prezentată şi o valoare care să exprime precizia măsurătorii. În cale mai multe cazuri această valoare comple-mentară este abaterea pătratică medie, a cărei formulă şi a cărei semnificaţie vă vor fi prezentate în paginile următoare.

Eroarea absolută reprezintă intervalul în care este cel mai probabil să se afle

valoarea mărimii măsurate. Eroarea relativă este raportul dintre eroarea absolu-tă şi valoarea medie a mărimii măsurate. De exemplu, dacă cumpăraţi o pungă de zahăr pe care scrie „Gramaj : 1000 g ± 10 g” eroarea absolută de măsură este de 10 g, iar cea relativă de 1%.

Măsurarea indirectă a unei mărimi fizice se face atunci când nu este posibilă

măsurarea ei directă. Se utilizează o lege a fizicii care cuprinde atât mărimea fi-zică pe care dorim s-o măsurăm indirect, cât şi alte mărimi fizice a căror măsura-re directă este posibilă. Valoarea pe care o căutăm se exprimă în virtutea legii folosite, în funcţie de valorile măsurate ale celorlalte mărimi fizice. Eroarea fina-lă de măsurare este determinată cunoscând erorile făcute la măsurarea fiecăreia dintre mărimile fizice implicate.

ASPECTE TEORETICE

seînm

UnGra

6

Teoria erorilor întâmplătoare

Să presupunem că trebuie măsurată o mărime fizică oarecare X. Pentru aceasta face un şir de determinări care generează valorile : x1, x2,… xN. Aceste valori diferă tre ele şi este puţin probabil ca măcar una dintre ele să reprezinte valoarea exactă a ărimii căutate.

Când toate măsurătorile au fost efectuate în aceleaşi condiţii de precizie experimentală se poate presupune că abaterile ξk = (xk - X) sunt distribuite sta-tistic în jurul lui zero. Dacă numărul determinărilor este foarte mare, N >> 1, atunci probabilitatea de apariţie a unei abateri ξk este cu atât mai mică cu cât va-loarea abaterii este mai mare. Mai mult, valori egale ale abaterilor, dar opuse ca semn, sunt egal probabile. Rezultă de aici că funcţia de distribuţie a abaterilor depinde doar de modulul abaterii sau de pătratul ei :

f = f(ξ2)

Împărţind domeniul de valori pe care le ia abaterea în intervale ∆ξ egale între ele şi repre-zentând numărul valorilor experimentale ∆N din fiecare interval în funcţie de abaterea ξ co-respunzătoare, obţinem graficul alăturat. Se ob-servă că numărul cel mai mare de determinări furnizează valori ale abaterii cuprinse în jurul lui zero, în intervalul - ξmax/2 şi ξmax/2. Când numărul determinărilor este extrem de mare, N → ∞, probabilitatea ca abaterea să se găsească în intervalul de valori (ξ, ξ + dξ) se poate scrie ca o funcţie continuă :

ξπ

=ξξ=∆ ξ−

∞→dead)(f

NNlim a

N

2

asemenea tip de distribuire a abaterilor se numeşte distribuţia normală a lui auss sau „clopotul” lui Gauss. Constanta reală şi pozitivă a este o mărime care ca-cterizează precizia determinărilor (pentru valori mici ale lui a clopotul lui Gauss es-

te mai larg, ceea ce înseamnă că există multe valori ale lui ξ care se abat semnificativ de la valoarea nulă). Aria de sub clopot reprezintă probabilitatea unei valori a lui ξ cuprinsă între -∞ şi +∞, adică evenimentul cert. Prin urmare, mărimea ariei este unita-ră. Pentru un număr infinit de determinări, valoarea medie <ξ>∞ a abaterii ξ se poa-te calcula cu relaţia :

0121 22

=π

−=ξξπ

=ξξξ=ξ+∞

∞−

ξ−∞+

∞−

ξ−∞+

∞−∞ ∫∫ aa e

adead)(f

Abaterea este exprimată în funcţie de va-lorile măsurate experimental şi de valoarea reală a mărimii fizice măsurate :

ξk = (xk - X) În cazul unui număr finit de determinări, me-dia valorilor ξk se calculează ca medie aritme-tică a valorilor obţinute :

( ) XxN

XxN

kk

N

k −=− ∑∑== 11

1NN k

N

kk =ξ=ξ ∑

=1

11

Se obţine :

ξ−x=ξ−= ∑=

xN

XN

kk

1

1

Atunci, în urma unui mare număr N de determinări (când <ξ> → <ξ>∞ → 0), re-zultă :

X → <x>

Cel mai probabil, valoarea experimentală căutată este egală cu media aritmetică a valorilor determinate prin măsurare :

X = ∑=

N

kkx

N 1

1

Acest rezultat arată că datorită caracterului statistic al erorilor de măsură există tendinţa ca erorile prin adaus să compenseze erorile prin lipsă dacă şirul de de-terminări este suficient de lung.

Să calculăm acum media pătratelor abaterilor. Când N → ∞ putem scrie :

adead)(f a

212222 =ξξ

π=ξξξ=ξ ∫∫

+∞

∞−

ξ−+∞

∞−∞

Pe de altă parte, pentru un număr finit de măsurători, şirul datelor experimentale fur-nizează valoarea :

7

( ) ( )22222

1

22

1

22 2211 XxxxXXxxXXxxNN

N

kkk

N

kk −+−=+−=+−=ξ=ξ ∑∑

==

Putem scrie şi :

( ) ∑ ∑∑ ∑∑= == ==

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=−

N

ii

N

kk

N

ii

N

kk

N

ii Nxx

Nxx

Nxx

1

2

12

1

2

11

2 11

( ) ∑ ∑∑∑= === ⎥

⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=−

N

iii

N

kk

N

kk

N

ii xNxxNx

Nxx

1

22

1

2

12

1

2 21

( ) ( )22

1

22

11

2

12

1

2 21 xxNxNxxNxNN

xxN

ii

N

ii

N

kk

N

kk

N

ii −=

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=− ∑∑∑∑∑

=====

Din cele două relaţii rezultă :

( ) ( )22

1

222 1 XxxxN

xxN

ii −−ξ=−=− ∑

=

Deci :

( ) ( )21

22 1 XxxxN

N

ii −+−=ξ ∑

=

Când N are valori suficient de mari, se poate considera că valorile celor două medii ale pătratelor abaterilor sunt practic egale : <ξ 2> → <ξ 2>∞, rezultând :

( ) ( )21

2121 Xxxx

Na

N

ii −+−= ∑

=

Mai putem observa că :

( ) ( ) ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ξ⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ξ=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡−=⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=− ∑∑∑∑

====

N

kk

N

jj

N

jj

N

jj N

XxN

XxN

Xx11

2

2

12

2

1

2 111

Dar :

( )NNN

N

kk

N

jj ...... ξξ++ξξ+ξξ+ξ++ξ+ξ=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ξ⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ξ −

==∑∑ 13121

222

21

112

Având în vedere că rezultatele determinărilor sunt distribuite simetric în jurul valorii medii (ceea ce înseamnă că practic pentru orice produs pozitiv ξiξj vom întâlni un produs negativ, egal în modul, ξkξl) singurii care nu se vor reduce sunt termenii care reprezintă pătratele factorilor ξi şi putem scrie :

( ) ( ) ( )∑∑∑∑∑=====

−≅−=ξ≅⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ξ⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ξ=−

N

ii

N

ii

N

ii

N

kk

N

jj xx

NXx

NNNXx

1

22

1

22

1

22

112

2 1111

Relaţia ( ) ( 2

1

2121 Xxxx

Na

N

ii −+−= ∑

=

) devine :

8

( ) ( ) ( )∑∑∑===

−⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +=−+−=

N

ii

N

ii

N

ii xx

NNxx

Nxx

Na 1

2

1

22

1

2 1111121

Deoarece pentru N >> 1 putem face aproximaţia :

NN 11

111−

≅+ , rezultă :

( ) ( )∑=

−−

≅N

iixx

Na 1

2

11

21

Valorile a2

1±=ξ au o semnificaţie deosebită pentru funcţia de distribuţie f(ξ), re-

prezentând punctele ei de inflexiune. Între aceste două coordonate este cuprinsă aproape 75% din aria clopotului, adică circa trei sferturi din valorile măsurătorilor.

Din acest motiv, cantitatea ( ) ( )∑=

−−

≅N

iixx

Na 1

2

11

21 poate fi considerată ca un cri-

teriu de stabilire a preciziei măsurătorii, purtând numele de eroare (sau abatere) pă-tratică medie şi fiind notată cu σ. Eroarea pătratică medie are formula :

( )1

1

2

−

−=σ∑=

N

xxN

ii

ÎN REZUMAT :

Valoarea cea mai probabilă care este atribuită unei mărimi fizice ca urma-re a unui şir de măsurători este media aritmetică a valorilor obţinute prin măsu-rare :

xxN

XN

kk =→ ∑

=1

1

Intervalul în care este cuprinsă valoarea reală a mărimii măsurate este, cu o pro-babilitate de 75%, egal cu :

[ ]( )

1:unde 1

2

−

−=σσ+σ−∈∑=

N

xxx,xX

N

kk

Pentru ca aceste afirmaţii să fie adevărate este necesar ca numărul determinărilor să fie suficient de mare, adică N ≥ 10.

Rezultatele acestei teorii sunt implementate în programe după care rulează chi-ar şi simplele calculatoare de buzunar (mai precis, acelea care au implementate funcţii statistice). Cu atât mai mult, teoria erorilor întâmplătoare este integrată în aplicaţiile complexe cum ar fi Excel sau Mathcad.

9

Uneori, atunci când numărul determinărilor experimentale este prea mic pentru a mai putea utiliza considerentele statistice, evaluarea preciziei măsurătorii este prezen-tată sub forma erorii aparente medii, δ, calculată ca medie aritmetică a modulelor abaterilor faţă de valoarea medie :

N

xxN

ii∑

=

−=δ 1

Şi în acest caz cea mai probabilă valoare a mărimii măsurate este dată de media arit-metică a valorilor experimentale :

xxN

XN

kk =→ ∑

=1

1

iar rezultatul este prezentat sub forma : [ ]δ+δ−∈ x,xX

Erori absolute, erori relative Diferenţele dintre valorile individuale ale unei măsurători şi valoarea medie, adică abaterile, se mai numesc şi erori absolute. De asemenea eroarea pătratică me-die sau eroarea aparentă medie sunt tot erori absolute. Erorile absolute oferă informa-ţie despre precizia măsurătorii, dar această informaţie este incompletă. Să spunem că am măsurat o lungime cu o eroare absolută de 1 mm. Este aceasta o eroare mare sau o eroare mică ? Răspunsul la această întrebare depinde şi de valoarea medie a măsură-torii. Dacă lungimea măsurată a fost de 1 m, atunci eroarea este mică, dar dacă lun-gimea măsurată era de 5 mm, eroarea era foarte mare. Pentru a caracteriza precizia unei măsurători şi din acest punct de vedere se foloseşte mărimea numită eroare rela-tivă. Eroarea relativă se exprimă în procente şi reprezintă raportul dintre eroarea ab-solută şi valoarea medie a măsurătorii :

%x

%x

100sau100 ⋅δ

=ε⋅σ

=ε

Erorile relative sub 5% pot fi considerate acceptabile în condiţiile experimentale pe care le oferă laboratorul de fizică al facultăţii. În unele cazuri erorile de măsurare se datorează chiar instrumentelor de măsură utilizate. Dacă am dori să măsurăm lăţimea unei foi de hârtie cu o riglă obişnuită, am constata că aproape niciodată marginea acesteia nu se aliniază perfect unei diviziuni a riglei. De aceea rezultatul pe care îl oferim este aproximativ, urmând a ne decide dacă el este, de exemplu, 32,1 cm sau 32,2 cm. Luând această decizie, acceptăm o eroare absolută de măsură egală cu jumătatea celei mai mici diviziuni a scalei aparatului de măsură (în cazul relatat, de 0,5 mm). Eroarea relativă a unei asemenea determinări es-te dată de raportul dintre valoarea care corespunde jumătăţii intervalului dintre două diviziuni consecutive şi valoarea măsurată.

10

Se spune că rigla este un instrument având o anumită clasă de precizie. Această clasă de precizie nu este legată doar de distanţele dintre două diviziuni consecutive ale riglei ci şi de precizia cu care au fost trasate acestea, sau chiar temperatura la care lucrăm. Orice aparat de măsură are o anumită clasă de precizie, iar micşorarea erori-lor relative care apar la măsurare impune folosirea unui aparat de măsură având o cla-să de precizie corespunzătoare.

Calculul erorilor la o măsurare indirectă În unele cazuri, mărimile fizice nu se măsoară direct, ci indirect, utilizând o anumită lege a fizicii şi măsurând celelalte mărimi fizice implicate. De exemplu, uti-

lizând legea perioadei unui pendul gravitaţional : glT π= 2 am putea determina ac-

celeraţia gravitaţională după relaţia : 224

Tlg π= . În acest caz, este suficientă măsura-

rea lungimii şi perioadei pendulului, pentru a găsi prin calcul valoarea acceleraţiei gravitaţionale. Problema pe care ne-o punem este aceea a preciziei măsurătorii. Mai exact, cunoscând preciziile cu care s-au determinat lungimea şi perioada, să estimăm precizia măsurării indirecte a acceleraţiei gravitaţionale. Pentru a estima precizia unei măsurători indirecte, vom presupune mai întâi că legea utilizată este de forma :

,...)x,x(fy 21= Diferenţiala acestei funcţii este :

...dxxfdx

xfdy +

∂∂

+∂∂

= 22

11

În cazul unei măsurări destul de precise erorile de măsură absolute δxk sunt mici, şi pot asimilate diferenţialelor :

...xxfx

xfy +δ

∂∂

+δ∂∂

=δ 22

11

Eroarea relativă la determinarea mărimii y va fi :

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+δ

∂∂

+δ∂∂

=δ

=ε ...xxfx

xf

fyy

y 22

11

1

Putem pune în evidenţă erorile relative la măsurarea mărimilor x1, x2,… astfel :

...xf

fx

xf

fx...

xx

xf

fx

xx

xf

fx

y +ε∂∂

+ε∂∂

=+δ

∂∂

+δ

∂∂

=ε 22

21

1

1

1

2

2

2

1

1

1

1

Termenii acestei sume pot lua atât valori pozitive, cât şi valori negative. Pe de altă parte erorile de măsurare pot fi făcute atât în exces, cât şi în lipsă. În cel mai defavo-rabil caz toţi termenii acestei sume vor fi pozitivi.

11

12

Eroarea calculată corespunde întotdeauna celui mai defavorabil caz, astfel încât expresia finală pe care o obţinem este :

...xf

fx

xf

fx

y +ε∂∂

+ε∂∂

=ε 22

21

1

1

Rezultă că : eroarea relativă la o măsurare indirectă se poate calcula ca o sumă ponderată a erorilor relative de măsură ale mărimilor implicate. Fac-torii ponderatori pot fi calculaţi doar cunoscând forma explicită a legii utilizate.

De exemplu, în cazul pendulului gravitaţional :

pentru T = 1 s, δT = 0,01 s ⇒ εT = 1% pentru l = 500 mm, δl = 1 mm ⇒ εl = 0,2%

⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ π−⋅

π=

∂∂

=π⋅π

=∂∂

⇒π==

284

1144

4

32

222

2

22

221

1

22

Tl

Tl

Txf

fx

TTl

lxf

fx

Tl)T,l(fg

%,%%,xf

fx

xf

fx

Tlg 22220222

21

1

1 =+=ε+ε=ε∂∂

+ε∂∂

=ε

Există şi cazuri ceva mai complicate, în care mărimea pe care dorim s-o măsu-răm indirect se poate exprima ca o sumă de funcţii de mai multe variabile :

( ) ( )4321 x,xgx,xfy += Eroarea absolută este :

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ε

∂∂

+ε∂∂

⋅+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ε

∂∂

+ε∂∂

⋅=ε⋅+ε⋅=δ+δ=δ 44

43

3

32

2

21

1

1

xg

gx

xg

gx

gxf

fx

xf

fxfgfgfy gf

Eroarea relativă se calculează cu relaţia :

gfxg

gx

xg

gxg

xf

fx

xf

fxf

yy

y +

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ε

∂∂

+ε∂∂

⋅+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ε

∂∂

+ε∂∂

⋅

=δ

=ε4

4

43

3

32

2

21

1

1

EXEMPLE

Măsurare directă : valoare medie, abaterea pătratică medie Fie şirul de date :

Nr. crt. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 x 2,73 2,58 2,60 2,57 2,63 2,69 2,55 2,71 2,70 2,64

Calculul direct al mediei ∑=

=10

1

1i

ixN

x este :

640210

402610

642702712552692632572602582732 ,,,,,,,,,,,,x ==+++++++++

=

Calculul direct al abaterii pătratice medii ( )

1

10

1

2

−

−=σ∑=

N

xxi

i

este :

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

90060070090050010070040060090 2222222222 +++−++−+−+−+−+

=σ,,,,,,,,,

0644709

03740 ,,==σ

Eroarea relativă la determinarea lui x este :

%,%,

,%xx 4422100

642064470100 =⋅=⋅

σ=ε

Prezentarea rezultatului final se face cu un număr de zecimale care reflec-tă eroarea. În cazul nostru, eroarea de 0,0644 ne arată că a doua zecimală a me-diei este deja imprecisă, astfel încât următoarele zecimale nu mai au relevanţă. De aceea, prezentarea finală a rezultatului trebuie să fie : x = 2,64 ± 0,06.

13

În acelaşi exemplu, eroarea aparentă medie N

xxN

ii∑

=

−=δ 1 ar fi fost :

054010540

100060070090050010070040060090 ,,,,,,,,,,,

==+++++++++

=δ

Dacă doriţi să prelucraţi aceleaşi date utilizând calculato-rul ştiinţific din Windows, proce-daţi astfel :

Deschideţi programul (link-ul se poate găsi în folderul „Accesorii”) Din meniul „Vizualizare” alegeţi varianta „Ştiinţific” Se va afişa pe ecran ceea ce vedeţi în imaginea alăturată Apăsaţi butonul „Sta” Veţi observa că se activează butoanele „Ave”, „Sum”, „s”, „Dat” şi se activează o fereas-tră numită „Casetă de statis-tici”, căreia puteţi să nu-i daţi mare importanţă, doar să nu o închideţi Introduceţi fiecare valoare a lui x, având grijă să apăsaţi după fiecare nouă dată buto-nul „Dat”

După ce aţi terminat introducerea datelor, apăsând butonul „Ave” calculatorul afişează valoarea medie şi apăsând butonul „s” obţineţi pe afişaj valoarea abaterii pătratice medii. Închizând caseta statistică care este prezentă pe ecran alături de calculator, ieşiţi din modul de lucru cu funcţii statistice.

Şi programul „Excel” poate fi folosit pentru a calcula valorile medii şi abaterile pătratice medii. Pentru început va trebui să deschideţi programul şi să introduceţi da-tele experimentale fie pe o linie, fie pe o coloană.

14

Apoi veţi selecţiona o celulă, să spunem A2, şi veţi deschide meniul „Insert”, de unde veţi alege opţiunea „Function” :

Se va deschide o fereastră de forma următoare :

Pentru a calcula media şi abaterea pă-tratică medie trebuie să folosiţi funcţiile „AVERAGE” şi „STDEV”. În figură, este deja selectată funcţia „AVERAGE” şi vă es-te indicată şi funcţia „STDEV”. După ce aţi selectat funcţia dorită, apăsaţi butonul „OK”. Se va deschide fereastra „Function

Arguments”. Caseta „Number 1” este selectată automat. În acest moment, este suficient ca ţinând apăsat butonul stâng al mouse-ului să selectaţi toate numerele a căror medie doriţi să o obţineţi (pe ecran, căsuţele selectate sunt înconjurate de un chenar format dintr-o linie între-ruptă mişcătoare) :

15

În căsuţa A2 scrie acum „AVERAGE(A1:J1)” iar în caseta „Number 1” apare plaja de căsuţe selectate : A1:J1. Deja fereastra „Function Arguments” vă indică valoarea medie în dreptul textului „Formula result =”. Pentru a încheia, nu vă mai rămâne de-cât să apăsaţi butonul „OK”, iar rezultatul va fi înscris în căsuţa A2. Pentru a obţine şi abaterea pătratică medie, va trebui să selectaţi o altă căsuţă, de exemplu A3, şi să repetaţi operaţiile, folosind de această dată funcţia „STDEV”.

Măsurare indirectă : eroarea măsurării

Să ne imaginăm că doriţi să măsuraţi rezis-tenţa interioară a unei surse de curent continuu (o baterie sau un acumulator). O metodă (nu foarte exactă, dar simplă) ar fi să utilizaţi circui-tul electric alăturat. Legea a doua a lui Kirchhoff arată că într-un asemenea circuit tensiunea elec-tromotoare a sursei este proporţională cu intensi-tatea curentului electric şi cu suma dintre rezis-tenţa interioară a sursei şi rezistenţa totală a cir-cuitului exterior :

16

( )RrIE += Dacă ne situăm în ipoteza că ampermetrul şi

voltmetrul din circuit sunt ideale (adică simpla lor prezenţă în circuit nu introduce erori de măsură suplimentare), iar firele de legătură au rezistenţă neglijabilă, ajungem la concluzia că rezistenţa circuitului exterior aparţine în întregime reostatului. Prin deplasarea cursorului reostatului, putem face să varieze rezistenţa acestuia. Astfel, pentru două poziţii ale cursorului, putem scrie :

reostat

E,r A

V

( )( )⎩

⎨⎧

+=+=

22

11

RrIERrIE

Eliminând tensiunea electromotoare E între cele două ecuaţii, obţinem : ( ) 112221 RIRIIIr −=−

Conform legii lui Ohm, produsul IR este chiar tensiunea U la bornele rezistorului. Această tensiune este măsurată de voltmetrul inserat în circuit. Obţinem în final :

21

12

IIUUr

−−

=

Aparatele de măsură din circuit ne permit să aflăm valorile intensităţilor şi tensiunilor în cele două cazuri, iar prin calcul putem determina indirect valoarea rezistenţei in-terioare. Să presupunem că am obţinut următoarele valori :

U1 = (1,3 ± 0,01) V, U2 = (1,4 ± 0,01) V, I1 = (150 ± 5) mA, I2 = (135 ± 5) mA

Rezistenţa interioară are valoarea : ( )( ) Ω=Ω=

−−

= 666666015010

A10V

1351503141

3- ,,

,,,r

Ce eroare de măsură s-a făcut ? Dacă diferenţiem expresia lui r obţinem :

22

11

11

22

dIIrdI

IrdU

UrdU

Urdr

∂∂

+∂∂

+∂∂

+∂∂

=

( ) ( ) 2221

1212

21

121

212

21

11 dIIIUUdI

IIUUdU

IIdU

IIdr

−−

+−−

−−

−−

=

Eroarea absolută δr se calculează utilizând modulele acestor cantităţi :

( ) ( )( )(

( ))

221

2112

21

2122

21

1212

21

121

212

21

11II

IIUUIIUUI

IIUUI

IIUUU

IIU

IIr

−

δ+δ−+

−δ+δ

=δ−

−+δ

−

−+δ

−+δ

−=δ

Eroarea relativă este :

( )( )( )

21

21

12

21

21

12

221

2112

21

21

IIII

UUUU

IIUU

IIIIUU

IIUU

r −δ+δ

+−δ+δ

=

−−

−δ+δ−

+−δ+δ

=ε

Obţinem :

%,,,,

,r 8686066020

1510

10020

==+=+=ε

În aceste condiţii experimentale, nu putem pretinde că am măsurat rezistenţa interioară a sursei ! Eroarea este atât de mare încât valoarea de 6,6 Ω nu poate fi susţinută experimental. Dacă precizia instrumentelor de măsură ar fi fost de zece ori mai mare (0,01 V → 0,001 V, 5 mA → 0,5 mA) eroarea era doar de 8,6%, iar rezulta-tul de 6,6 Ω credibil.

17

18

TEMĂ

Ce lungime aţi putea măsura cu o riglă obişnuită fără ca eroarea să depăşească 10% ? Dacă aveţi la dispoziţie o riglă de 10 cm şi doriţi să măsuraţi lungi-mea unei mese din laborator, ce eroare absolută credeţi că se face ? Fie două şiruri de date, corespunzând măsurătorilor făcute de doi operatori diferiţi : A: 1,1; 1,15; 1,125; 1,05; 1,2; 1; 1,25; 1,12; 1,13; 1,125 B: 1,12; 1,13; 1,125; 1,1; 1,15; 1,09; 1,16; 1,11; 1,14; 1,125 Prin ce se deosebesc rezultatele obţinute de ei ? Aruncaţi în aer de 100 de ori o monedă. Evident, veţi constata că du-pă cădere, moneda vă înfăţişează capul sau pajura. Înregistraţi şi de câte ori la rând se întâmplă să obţineţi doar cap sau doar pajură. Faceţi un tabel de date în care înscrieţi 1 dacă a căzut cap şi a urmat pajură, 2 dacă a căzut cap şi a urmat tot cap, 3 dacă a căzut de trei ori la rând cap, etc. Faceţi ace-laşi lucru, dar punând un semn negativ dacă situaţia este inversă. Calculaţi în final suma cifrelor din tabel. Ce vă spune această sumă ? Verificaţi de câte ori apare aceeaşi cifră în tabel. Ce constataţi ? Studiind datele, ce cotă de pariu aţi accepta pentru a susţine că dacă la prima aruncare a căzut cap, la a doua va cădea tot cap ? Inversaţi cerinţa în cazul circuitului electric prezentat ca exemplu şi aflaţi eroarea făcută la determinarea prin aceeaşi metodă a tensiunii elec-tromotoare. Acceleraţia gravitaţională ar putea fi determinată cunoscând înălţi-mea de la care cade liber un corp greu şi timpul de cădere : g = 2h/t2. Gă-siţi formula erorii relative în cursul acestei determinări.

AD

MĂSURARE, SISTEMUL

INTERNAŢIONAL, ANALIZĂ

DIMENSIONALĂ

Măsurare Teorema fundamentală a unităţilor de măsură Mărimi fizice fundamentale şi mărimi fizice derivate Formulele dimensionale ale mărimilor fizice Analiza dimensională Metoda lui Rayleigh

Fizica este în bună măsură o ştiinţă experimentală. Legile sale fundamenta-le se descoperă prin cercetări de labora-tor, care implică măsurarea unor mărimi fizice şi găsirea corelaţiilor dintre aces-tea. Fizica modernă, în particular, dar şi alte ştiinţe exacte, necesită utilizarea unui sistem de unităţi de măsură, întoc-mit pe principii de simplitate, adecvare, universalitate. Sistemul Internaţional de Unităţi de Măsură (SI) corespunde în acest moment cel mai bine acestor ne-voi. De aceea, urmărim familiarizarea dvs. cu acest sistem.

CUVINTE CHEIE

TEMA APLICAŢIEI

SCOPUL APLICAŢIEI

Însuşirea noţiunii de mărime fizică măsurabilă, cunoaşterea mări-milor fizice fundamentale şi unităţilor lor de măsură în Sistemul In-ternaţional. Iniţierea în metodele analizei dimensionale şi rezolvarea de probleme dimensionale utilizând metoda lui Rayleigh.

19

DEFINIŢII ŞI FORMULE

Măsurare înseamnă compararea a două mărimi fizice de acelaşi fel, dintre care una este luată ca etalon. Rezultatul măsurării este un număr. Acest număr nu poate avea o semnificaţie ulterioară dacă nu este specificat şi etalonul (numit în mod obişnuit „unitate de măsură”. De exemplu, măsurând camera cu pasul şi gă-sind că acesta intră de şase ori în lungimea camerei, informaţia că lungimea în-căperii este 6 este absolut inutilă dacă nu adăugăm şi cuvântul „paşi”.

Teorema fundamentală a unităţilor de măsură afirmă că raportul numerelor care reprezintă rezultatele măsurării unei aceleiaşi mărimi fizice cu două etaloa-ne diferite este egal cu inversul raportului dintre cele două etaloane. Cunoaşterea acestei teoreme ne ajută să găsim valoarea pe care am determina-o măsurând cu un anumit etalon, în funcţie de rezultatul măsurării cu alt etalon, doar cunoscând raportul celor două etaloane. De exemplu, un coleg al dumneavoastră are un monitor cu diagonala de 21 de inch. Dacă doriţi să ştiţi mărimea diagonalei în centimetri, nu este nevoie să mergeţi la el acasă cu ruleta pentru a o măsura per-sonal. Este suficient să ştiţi că 1 inch are aproximativ 2,5 cm, pentru a calcula mărimea diagonalei : 21×2,5 = 52,5 cm.

În sistemele de unităţi de măsură există mărimi fizice având etaloane a căror de-

finire se face în mod arbitrar. Aceste mărimi fizice se numesc mărimi fizice fundamentale, iar unităţile lor de măsură sunt unităţile de măsură fundamen-tale ale sistemului de unităţi de măsură. Alte mărimi fizice au unităţi de măsură care se definesc cu ajutorul unităţilor de măsură fundamentale. Acestea se nu-mesc mărimi fizice derivate, iar unităţile lor de măsură sunt unităţi de măsură derivate. În Sistemul Internaţional există doar şapte mărimi fizice funda-mentale, restul mărimilor fizice fiind mărimi derivate.

Mărimile fizice fundamentale ale unui sistem de unităţi de măsură se mai nu-

mesc dimensiunile sistemului de unităţi de măsură. Relaţia care există între o unitate de măsură derivată şi unităţile de măsură fundamentale poate fi transpusă în mod mai general ca o relaţie cu dimensiunile sistemului de unităţi de măsură. Această relaţie se numeşte formulă dimensională.

Analiza dimensională este domeniul care se ocupă cu stabilirea relaţiilor între

formulele dimensionale ale diferitelor mărimi fizice. Pe baza acestor relaţii se

20

pot uneori determina forme aproximative ale unor legi valabile în anumite situa-ţii experimentale. Chiar dacă formulele determinate utilizând analiza dimensio-nală sunt doar aproximative, ele pot constitui un mare ajutor în simplificarea ex-perimentelor care urmează să stabilească forma corectă a legilor respective. De asemenea, prin analiza dimensională se pot pune în evidenţă rapoarte adimensionale ale unor mărimi fizice, numite criterii, care sunt utilizate pentru a caracteriza preponderenţa unui anumit efect fizic în raport cu altul. De exemplu, raportul adimensional (adică fără unitate de măsură) între densitatea unui corp şi densitatea unui lichid (ρcorp/ρlichid) constituie un criteriu de flotabilitate. Dacă valoarea criteriului este supraunitară, corpul se scufundă complet în lichid, iar în caz contrar, pluteşte. Analiza dimensională se asociază şi cu o altă metodologie de lucru, denumită similitudine. Dacă formulele dimensionale care caracterizea-ză un anumit proces fizic (de exemplu, mecanic) coincid cu acelea care se referă la alt proces fizic (de exemplu, electric), atunci prin studiul experimental al unu-ia dintre ele şi utilizând ştiinţa similitudinii se pot trage concluzii asupra rezulta-telor care s-ar obţine studiind celălalt proces.

Metoda lui Rayleigh constituie o modalitate relativ simplă de a stabili posibile

formule matematice care să descrie interdependenţa mărimilor fizice care carac-terizează desfăşurarea unui anumit proces fizic. În esenţă, metoda presupune că una dintre mărimile implicate în proces este un produs de puteri necunoscute ale celorlalte mărimi. Considerentele de analiză dimensională permit găsirea de rela-ţii între exponenţii (puterile) din formulă, rezultatul fiind în cazul cel mai favo-rabil chiar legea care guvernează respectivul proces, determinată până la nivelul unei constante ce urmează a fi măsurată experimental. Metoda Rayleigh este efi-cientă mai ales în studiul unor procese fizice în care numărul parametrilor impli-caţi este mic, în caz contrar aplicarea ei devenind greoaie. În situaţiile mai com-plicate se foloseşte o altă metodă, numită teorema ∏, care are avantajul de a fi mai corectă din punct de vedere fizic.

21

ASPECTE TEORETICE

Scopul fizicii este acela de a stabili legile în virtutea cărora se desfăşoară proce-sele din natură. Aceste legi pot fi exprimate atât sub formă calitativă cât şi sub formă cantitativă. Forma calitativă a unei legi fizice este de cele mai multe ori prea vagă pentru a avea aplicaţii practice. De aceea, este necesară stabilirea unei forme canti-tative pentru fiecare lege a fizicii.

Forma cantitativă a unei legi a fizicii este o relaţie matematică între mărimi fizi-ce măsurabile.

Mărimile fizice măsurabile sunt, aşa cum le spune şi numele, acele mărimi fizice care pot fi măsurate. Iată definiţia măsurării : măsurarea unei mărimi fi-zice înseamnă compararea ei cantitativă cu o mărime fizică de aceeaşi natură, aleasă ca unitate de măsură.

Vom folosi în continuare următoarele notaţii : A = mărimea fizică măsurabilă <A> = unitatea de măsură a = valoarea numerică rezultată în urma măsurării Între aceste mărimi există următoarea relaţie :

AAa =

Evident, aceeaşi mărime fizică poate fi măsurată cu două unităţi de măsură dife-rite :

11 A

A = a ; 2

2 AA = a

Făcând raportul celor două valori numerice, rezultă :

1

2

2

1

AA

= aa

Această relaţie a primit denumirea de teorema fundamentală a unităţi-lor de măsură şi se enunţă astfel : măsurând o mărime fizică cu două unităţi de măsură diferite, raportul valorilor numerice obţinute este invers proporţional cu raportul celor două unităţi de măsură, fiind independent de mărimea fizică măsu-rată.

Forma cantitativă a unei legi fizice poate fi exprimată în două moduri diferite :

22

• formula matematică, adică relaţia matematică dintre mărimile fizice : ( )n,...A,AA = FA 210

• formula fizică, adică relaţia matematică dintre valorile mărimilor fizice : ( )n,...a,aa = fa 210

În general, determinarea unei legi a fizicii se face pe cale experimentală, găsindu-se corelaţiile între valorile mărimilor fizice care intervin. Aceste valori sunt stabilite utilizând unităţi de măsură specifice fiecăreia dintre mărimile fizi-ce implicate. Totalitatea unităţilor de măsură ataşate mărimilor fizice cunoscute la un moment dat se numeşte sistem de unităţi de măsură.

Dacă unităţile de măsură aparţinând unui sistem de unităţi de măsură sunt definite în mod arbitrar atunci sistemul de unităţi de măsură se numeşte incoe-rent. Folosirea unui sistem de unităţi de măsură incoerent generează nea-junsuri în ceea ce priveşte relaţia dintre formulele fizică şi matematică ale unei legi a fizicii.

Eliminarea discrepanţelor între formula fizică şi cea matematică este aceea care impune reducerea la minimum posibil a mărimilor fizice care au unităţi de măsură alese arbitrar.

Dacă într-un sistem de unităţi de măsură numărul mărimilor fizice funda-mentale este cel mai mic posibil, sistemul de unităţi de măsură se numeşte sis-tem coerent de unităţi de măsură.

Dacă există N mărimi fizice distincte şi n legi fizice independente, obţinem n re-laţii între unităţile de măsură ale celor N mărimi fizice, numărul mărimilor fizice fun-damentale devenind egal cu diferenţa N – n. Notând mărimile fizice fundamentale cu :

N-n F ........ F, F 21 şi unităţile lor de măsură (stabilite arbitrar) cu :

nNF...........F,F −21 rezultă că unităţile de măsură derivate se pot exprima ca produse ale unor anumite pu-teri ale unităţilor fundamentale :

( )knNkknNk F......FFA −ϕ

−ϕϕ ⋅= 21

21 În istoria ştiinţei şi tehnicii s-au folosit diverse sisteme coerente de unităţi de măsură. Utilizarea lor simultană putea duce la confuzii. De aceea prin hotărârea Con-ferinţei Generale de Măsuri şi Greutăţi (Paris, 1960) s-a adoptat un sistem de uni-tăţi de măsură unic pe plan internaţional, bazat pe sistemul metric. Acesta poartă de-numirea de Sistemul Internaţional de Unităţi de Măsură sau, prescurtat, SI.

23

Sistemul Internaţional este un sistem coerent care cuprinde şapte mărimi fizice fundamentale, numite dimensiuni ale acestui sistem de unităţi.

Tabelul următor cuprinde lista mărimilor fizice fundamentale ale Sistemului

Internaţional :

Mărimea fizică

Simbolul dimensional

Unitate demăsură

Simbolul unităţiide măsură

LUNGIME L metru m TIMP T secundă s MASĂ M kilogram kg

TEMPERATURĂ Θ kelvin K CANTITATE DE

SUBSTANŢĂ N kilomol kmol

INTENSITATEA CURENTULUI ELECTRIC

I amper A

INTENSITATE LUMINOASĂ

E candelă cd

Toate cele şapte unităţi de măsură fundamentale sunt definite în mod arbi-trar (de exemplu, kelvinul este a 273,16-a parte din intervalul de temperatură între zero absolut şi temperatura punctului triplu al apei distilate). Toate celelalte unităţi de măsură utilizate de Sistemul Internaţional sunt unităţi de măsură derivate (de exemplu, viteza se măsoară în metri pe secundă). Sistemul metric (folosit pentru prima oară după Revoluţia Franceză din 1789) a urmărit exprimarea simplă a multiplilor sau submultiplilor unităţilor de măsură fun-damentale. Ideea principală a fost aceea că multiplii sau submultiplii se precizează prin folosirea unor prefixe, adăugate unităţii de măsură. Aceste prefixe nominalizează multiplicarea (sau demultiplicarea) prin 10 sau 1000. Iată, în continuare, prefixele fo-losite la ora actuală :

24

PREFIX SIMBOL VALOAREMultiplicare

1.000.000.000.000 Terra T 1012

1.000.000.000 Giga G 109

1.000.000 Mega M 106

1.000 kilo k 103

100 hecto h 102

10 deca da 10

UNITATE FUNDAMENTALĂ Demultiplicare

0,1 deci d 10-1

0,01 centi c 10-2

0,001 mili m 10-3

0,000.001 micro µ 10-6

0,000.000.001 nano n 10-9

0,000.000.000.001 pico p 10-12

0,000.000.000.000.001 femto f 10-15

0,000.000.000.000.000.001 atto a 10-18

Omogenitatea dimensională a legilor fizicii, formula di-mensională a unei mărimi fizice

Fie un de unităţi de măsură sistem coerent şi fie mărimile fizi-ce fundamentale ale acestuia. Fie de asemenea formula matematică

şi formula fizică

m F ........ F, F 21

( nA,....A,AfA 210 = ) ( )na,....a,afa 210 = ale unei legi a fizicii. Deoa-rece sistemul de unităţi de măsură este coerent, forma matematică a celor două formu-le este identică. În această situaţie, unitatea de măsură a mărimii A0 se exprimă astfel :

( )( )n

n

a,....a,afA,....A,AfA

21

210 =

Unitatea de măsură ⟨A0⟩ nu poate depinde de valorile particulare a1, a2,... an pe care le iau mărimile fizice A1, A2,.... An ! Rezultă că legea fizică

( )na,....a,afa 210 = trebuie să fie o funcţie omogenă în raport cu unităţile de măsură ale mărimilor fizice de care depinde :

25

( ) ( ) ( )nnnnn a,....a,afA......AAAa,....Aa,AafA,....A,Af n2121221121

21 ααα ⋅== Această cerinţă care trebuie satisfăcută de legea fizică se numeşte condiţia de omogenitate. Dacă condiţia de omogenitate este satisfăcută, rezultă :

nnA......AAA ααα ⋅= 21

210 Pe de altă parte, unităţile de măsură derivate ⟨A0⟩ , ⟨A1⟩ ,....⟨An⟩ se exprimă în funcţie de unităţile fundamentale, conform relaţiilor :

mkkkmk F......FFA ϕϕϕ ⋅= 21

21 Înlocuind în relaţia rezultată din condiţia de omogenitate obţinem :

( ) ( ) nmnnnmmmmm F......FF....F......FFF......FF

αϕϕϕαϕϕϕϕϕϕ ⋅⋅=⋅ 2111211102010212121

sau :

nmnmmnn

nnm

....m

....

....m

F......F

FF......FFαϕ++αϕ+αϕαϕ++αϕ+αϕ

αϕ++αϕ+αϕϕϕϕ

⋅

⋅=⋅22112222121

121211102010

2

121

Deoarece unităţile de măsură ⟨F0⟩ , ⟨F1⟩ ,... ⟨Fm⟩ au fost definite arbitrar, relaţia poate fi satisfăcută doar dacă exponenţii aceleiaşi unităţi de măsură valori egale în cei doi membri ai ecuaţiei :

⎪⎩

⎪⎨

⎧

αϕ++αϕ+αϕ=ϕ

αϕ++αϕ+αϕ=ϕ

nmnmmm

nn

.........................................................

....

22110

121211110

Ele sunt echivalente următoarei formulări a condiţiei de omogenitate :

Termenii unei expresii matematice, care corespunde unei legi a fizicii, trebuie să aibă acelaşi grad de omogenitate în raport cu fiecare dintre unităţile de măsură fundamentale.

Condiţia de omogenitate este independentă de unităţile de măsură ale mărimilor fizice fundamentale ale sistemului de unităţi de măsură.

Deoarece condiţia de omogenitate depinde doar de alegerea mărimilor fi-zice fundamentale, putem introduce noţiunea de dimensiune asociată unei mă-rimi fizice fundamentale Fi , notată [Fi].

26

În aceste condiţii, relaţiilor între unităţile de măsură derivate şi unităţile de măsură fundamentale :

mkkkmk F......FFA ϕϕϕ ⋅= 21

21 le corespund relaţii asemănătoare între dimensiunea mărimii derivate şi dimen-siunile mărimilor fundamentale :

[ ] [ ] [ ] [ ] mkkkmk F......FFA ϕϕϕ ⋅= 21

21 Acest tip de relaţie poartă numele de formulă dimensională a unei mărimi fi-zice.

Metoda Rayleigh Să presupunem că suntem în situaţia că trebuie să determinăm expresia exactă a unei legi a fizicii, încă necunoscută, de forma :

( )n,...A,AA = fA 210 Există o infinitate de relaţii matematice posibile între mărimile fizice A0,A1,… An. Nu toate aceste relaţii matematice au şi sens fizic ! Pot avea sens fizic doar expresiile care verifică condiţia de omogenitate :

[ ] [ ] [ ] [ ] nαn

ααα A.....AA= A 210210

Ce avantaje ar putea rezulta din acest fapt ? Pentru a înţelege cum putem utiliza condiţia de omogenitate dimensională, să examinăm în continuare un :

EXEMPLU

• Să considerăm că viteza v cu care atinge solul un corp lăsat liber la o înălţime h de-pinde şi de masa sa m şi de acceleraţia gravitaţională g. • Frecările se pot neglija. • Căutăm o lege a fizicii de forma :

( )h, m, gv = f • Formulele dimensionale ale mărimilor care intervin sunt :

[ ] [ ] [ ] [ ] 2TL = g = M ; m = L ; h ;

TL = v SISISISI

• Conform condiţiei de omogenitate dimensională avem : [ ] [ ] [ ] [ ] 321 ααα g m h = v

sau : 3

212

ααα

TL M = L

TL

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

sau : 2331 2011 αα- + αα- MT= LM TL

27

• Dimensiunile sistemului de unităţi de măsură sunt mărimi independente, ceea ce are drept urmare faptul că exponenţii lor din membrul stâng trebuie să fie egali cu ex-ponenţii din membrul drept al expresiei :

⎪⎩

⎪⎨

⎧

αα−

αα

0 = 1- = 21 = +

2

3

31

• Soluţiile acestui sistem de ecuaţii sunt :

21 = ,0 = ,2

1= 321 ααα

• Rezultă că relaţia de omogenitate are forma :

[ ] [ ] [ ] [ ] 2102

1g m h = v

sau : [ ] [ ]ghv =

• Se ştie că legea vitezei căderii libere a unui corp în câmpul gravitaţional terestru este :

ghv 2= • Comparând condiţia de omogenitate dimensională cu legea vitezei, remarcăm ase-mănarea lor ! Diferenţa este dată doar de un coeficient numeric adimensional. Concluzia pe care o sugerează acest exemplu este următoarea :

Cel puţin în anumite cazuri, expresia matematică a unei legi a fizicii co-respunde până la unii factori numerici adimensionali cu expresia matematică a condiţiei de omogenitate.

Desigur, exemplul studiat a fost unul particular. În cazul general, există urmă-toarele posibilităţi : 1. Numărul ecuaţiilor independente ale sistemului de ecuaţii, p ≤ m, este mai mare decât numărul n al exponenţilor αj . În acest caz, sistemul de ecuaţii este incompati-bil. Sensul fizic al acestei situaţii matematice este acela că numărul mărimilor fizice luate în considerare este prea mic, fenomenul studiat depinzând şi de alte mărimi fizice. Legea pe care o căutăm ( )n,...A,AA = fA 210 nu există ! 2. Numărul ecuaţiilor independente ale sistemului de ecuaţii, p ≤ m, este egal cu numărul n al exponenţilor αj. În acest caz, sistemul de ecuaţii este compatibil deter-minat, iar exponenţii αj sunt unic determinaţi. Sensul fizic este acela că există o sin-gură relaţie matematică între mărimile fizice considerate care să reprezinte o lege a fizicii.

28

3. Numărul ecuaţiilor independente ale sistemului de ecuaţii, p ≤ m, este mai mic decât numărul n al exponenţilor αj . În acest caz, sistemul de ecuaţii este compatibil nedeterminat. Dintre exponenţii αj , p se exprimă în funcţie de ceilalţi (n - p) expo-nenţi, luaţi ca parametri. Sensul fizic este că există mai multe expresii matematice compatibile cu legea fizică căutată.

Rayleigh şi-a propus să determine forma concretă a legii fizice în cazurile al doilea şi al treilea. Pentru aceasta el face următoarea afirmaţie suplimentară :

Ipoteza lui Rayleigh : omogenitatea în raport cu dimensiunile mărimilor fizice este o consecinţă a omogenităţii în raport cu însăşi mărimile fizice ce in-tervin în expresia unei legi fizice.

Matematic această ipoteză se poate exprima astfel :

( )n,...A,AA = fA 210 ⇒ [ ] [ ] [ ] [ ] nα

nααα A.....AA= A 210

210 ⇒ nα

nααα .....AA= KAA 210210

unde K este o constantă numerică ([K] = 1 ). În cazul al doilea, această ipoteză, ne permite să afirmăm că legea fizică căuta-tă are o formă unică :

( ) ( )mnnmn ,.....µµαn

,.....µµα ....... A =K AA 1010110

În cazul al treilea, în funcţie de rangul nedeterminării, (n - p), se vor introduce parametrii λ1 , λ2 ,.... λn-p, astfel încât soluţiile sistemului de ecuaţii sunt de forma :

( )p-n21mn10ii = λλλµµαα ,...,;,... Conform ipotezei lui Rayleigh, rezultă :

( ) ( )∑

j

,.....λ,λ;λ,.....µµαn

,.....λ,λ;λ,.....µµαj

n-pmnjnn-pmnj ....... AAK = A 21102110110

adică A0 reprezintă o sumă finită sau infinită de expresii matematice compatibile cu legea fizică cerută, diferind una de cealaltă prin valorile parametrilor λ. Va-lorile parametrilor Kj şi λ , precum şi numărul de termeni ai sumei urmează să se stabilească pe cale experimentală. În final, putem face următoarele observaţii asupra metodei lui Rayleigh :

Ea reprezintă o cale lesnicioasă pentru determinarea expresiei matematice a unor legi fizice simple, care depind de un număr redus de parametri. Dificulta-tea de a o utiliza creşte odată cu mărirea numărului de parametri fizici implicat de legea căutată. Ipoteza lui Rayleigh privind omogenitatea legilor fizicii nu este valabilă în toate cazurile şi de aceea soluţiile pe care le obţinem sunt uneori ero-nate sau incomplete.

29

ALTE EXEMPLE

Determinaţi formula dimensională a lucrului mecanic. Rezolvare Formula de definiţie a lucrului mecanic este :

α= cosFdL Prin urmare, formula dimensională este :

[ ] [ ][ ][ ]α= cosdFL Dimensiunea deplasării d este lungime L, iar funcţia cosinus este adimensională: [cos α] = 1. Pentru a găsi dimensiunea forţei, vom utiliza principiul fundamental al dina-micii :

[ ] [ ][ ] [ ]aamFamF M==⇒= Folosind definiţiile acceleraţiei şi vitezei, mai obţinem :

[ ] [ ][ ]

[ ]Tv

tva

tva ∆

=∆∆

=⇒∆∆

=

[ ] [ ][ ] T

L=

∆∆

=⇒∆∆

=tsv

tsv

Rezultă :

[ ] [ ] 22 TML

TL

== F,a

În final :

[ ] 12-22

2

MTLT

ML==L

Determinaţi formula dimensională a constantei gazelor perfecte. Rezolvare Vom porni de la ecuaţia de stare a gazului ideal :

[ ] [ ][ ][ ][ ]T

VpRT

pVRRTpVν

=⇒ν

=⇒ν=

Dar : [ ] [ ] [ ] Θ==ν= T,V ,NL3

iar :

30

[ ] [ ][ ] 22

2

LTM

LTML

===⇒=SFp

SFp

Rezultă

[ ] 11-12-232 NMTL

N1L

LTM −Θ=

Θ⋅⋅⋅=R

Determinaţi formula dimensională a tensiunii electrice.

Rezolvare

Formula de definiţie a tensiunii electrice este :

qLU =

unde L este lucrul mecanic făcut de câmpul electric la deplasarea sarcinii q. Sarcina electrică poate fi definită în funcţie de intensitatea curentului electric :

[ ] [ ][ ] TI==⇒=⇒= tIqdtIdqdtdqI

Rezultă :

[ ] 1-13-22

2

IMTLTI

TML

==U

Utilizaţi metoda Rayleigh pentru a determina formula presiunii hi-drostatice.

Rezolvare

Presiunea hidrostatică depinde de densitatea ρ şi adâncimea h ale lichidului, precum şi de acceleraţia gravitaţională g. Putem scrie :

( )g,h,fp ρ= Conform condiţiei de omogenitate dimensională, putem scrie :

[ ] [ ] [ ] [ ]zyx ghp ρ= Substituind cu formulele dimensionale corespunzătoare, rezultă :

( ) ( ) ( )zyx 02-1001103121 MTLMTLMTLMTL −−− = De aici :

xzzyx MTLMTL 2-3121 ++−−− = Prin egalarea exponenţilor celor trei dimensiuni, obţinem :

31

⎪⎩

⎪⎨

⎧

=−=

−=++−

122-

13

xz

zyx

Soluţiile acestui sistem de ecuaţii sunt x = 1, y = 1 şi z = 1. Prin urmare, condiţia de omogenitate dimensională se scrie astfel :

[ ] [ ] [ ] [ ]111 ghp ρ= Conform ipotezei făcute de Rayleigh, condiţia de omogenitate ar reflecta chiar legea căutată :

ghKp ρ= K fiind un coeficient numeric adimensional care urmează să fie determinat pe cale experimentală. Utilizaţi metoda Rayleigh pentru a determina înălţimea h la care urcă un lichid de densitate ρ într-un tub capilar de rază r. Coeficientul de tensi-une superficială al lichidului este σ şi se măsoară în N/m, iar acceleraţia gravitaţională este g. Se ştie că înălţimea este invers proporţională cu raza tubului capilar.

RezolvareÎnălţimea cerută depinde de densitatea ρ şi coeficientul de tensiune superficială

σ ale lichidului, de raza tubului capilar r, precum şi de acceleraţia gravitaţională g. Putem scrie :

( )g,r,,fh σρ= Condiţia de omogenitate dimensională este :

[ ] [ ] [ ] [ ] [ ] ( ) ( ) ( ) ( )wzyxwzyx grh 02-100112-0103-001 MTLMTLMTLMTLMTL =⇒σρ= Se formează sistemul de ecuaţii :

⎪⎩

⎪⎨

⎧

=+=−

=++−

0022-

13

yxwy

wzx

Acesta este un sistem compatibil simplu nedeterminat. Va trebui ca una dintre necu-noscute să fie luată ca parametru. Fie aceasta w. Soluţiile sunt x = w, y = -w şi z = 1 + 2w. Prin urmare, condiţia de omogenitate dimensională se scrie astfel :

[ ] [ ] [ ] [ ] [ ]wwww grh 21+−σρ= Putem scrie şi :

[ ] [ ] [ ][ ] [ ][ ]

wgrrh ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

σρ

=2

1

Conform ipotezei lui Rayleigh :

32

wgrKrh ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛σ

ρ=

2

Cantitatea conţinută în paranteză este un complex adimensional. În adevăr : [ ][ ] [ ]

[ ]( )( ) ( )

( ) 1MTL

MTLMTLMTL12-0

02-12001103-2

==σ

ρ gr

În general, fiecărei variabile luată ca parametru îi corespunde câte un complex adimensional. Dacă folosim şi informaţia oferită de enunţ, rezultă că exponentul 1 + 2w al ra-zei capilarului trebuie să aibă valoarea -1. Rezultă w = -1 şi :

grKh

ρσ

=

Utilizaţi metoda Rayleigh pentru a găsi relaţia de legătură între vite-

za termică a moleculelor unui gaz, masa molară a gazului, temperatura ga-zului şi constanta gazelor ideale.

Rezolvare

Condiţia de omogenitate dimensională este : [ ] [ ] [ ] [ ] ( ) ( ) ( )zyxzyx RTv 1-1-12-21000001-1000001-1 NMTLNMTLNMTLNMTL ΘΘΘ=Θ⇒µ=

Soluţiile sunt x = -1/2, y = 1/2 şi z = 1/2. Conform ipotezei lui Rayleigh :

µ=

RTKv

Utilizaţi metoda Rayleigh pentru a găsi frecvenţa de oscilaţie ν a

unei plăcuţe de cuarţ în funcţie de grosimea d a plăcuţei, de densitatea cu-arţului ρ şi de modulul de elasticitate E (care se măsoară în N/m2).

Rezolvare

Condiţia de omogenitate dimensională este : [ ] [ ] [ ] [ ] ( ) ( ) ( )zyxzyx Ed 12-1-103-00101-0 MTLMTLMTLMTL =⇒ρ=ν

Soluţiile sunt x = -1, y = -1/2 şi z = 1/2. Prin urmare, condiţia de omogenitate dimen-sională se scrie astfel :

[ ] [ ] [ ] [ ] 21211 // Ed −− ρ=ν Conform ipotezei lui Rayleigh :

ρ=ν

Ed

K 1

33

TEMĂ

uc r u a

r

x

Determinaţi formula dimensională a inductanţei electrice.

IndicaţieEnergia câmpului magnetic al unui curent electric are formula

2

2LIWm =

Determinaţi formula dimensională a inducţiei magnetice. IndicaţieForţa electromagnetică are expresia

α= sinlIBF

Un corp se roteşte uniform pe o traiectorie circulară de rază r. Viteza nghiulară a rotaţiei este ω. Folosiţi metoda Rayleigh pentru a afla forţa entripetă.

Utilizaţi metoda Rayleigh pentru a găsi relaţia de legătură între pute-e, forţă şi viteză.

Utilizaţi metoda Rayleigh pentru a determina timpul de urcare al nui corp aruncat vertical în sus.

Utilizaţi metoda Rayleigh pentru a determina viteza iniţială v a unui utoturism care frânează cu acceleraţia a până la oprire.

Utilizaţi metoda Rayleigh pentru a găsi relaţia de legătură între pute-e, intensitatea curentului electric şi tensiunea electrică.

Utilizaţi metoda Rayleigh pentru a găsi relaţia de legătură între flu-ul de inducţie magnetică, inductanţă şi intensitatea curentului electric.

34

UM

UNITĂŢI DE MĂSURĂ,

TRANSFORMĂRI DE UNITĂŢI DE

MĂSURĂ

Sistemul Internaţional Sistemul MKS Sistemul CGS Sistemul MKfS Sistemul anglo-american Sistemul CGSε0 Sistemul CGSµ0 Sistemul CGS Gauss Unităţi de măsură tolerate

În decursul timpului atât în ştiinţă, cât şi în tehnică s-au folosit numeroase unităţi de mă-sură, destinate măsurării aceloraşi mărimi fizi-ce. În Antichitate şi Evul Mediu, mijloacele reduse de comunicare între diverse regiuni ge-ografice făceau posibilă existenţa unor sisteme de unităţi de măsură locale, dintre care unele se mai păstrează şi astăzi. Doar epoca moder-nă, în care a devenit necesară comunicarea globală, a impus unificarea şi standardizarea sistemelor de unităţi măsură. Cu toate acestea, există cărţi şi manuale vechi care mai folosesc unităţi de măsură aparent neobişnuite celui familiarizat cu Sistemul Internaţional. De ace-ea este necesar să cunoaştem unităţile de mă-sură care nu mai sunt în uz şi să le putem transforma în cele cu care se operează la mo-

entul actual. m

CUVINTE CHEIE

TEMA APLICAŢIEI

SCOPUL APLICAŢIEI

Familiarizarea cu sisteme de unităţi de măsură sau cu unităţi de măsură mai puţin cunoscute. Formarea capacităţii de a transforma valori ale unor mărimi fizice exprimate în anumite unităţi de măsură în valori exprimate în alte unităţi de măsură.

35

36

DEFINIŢII ŞI FORMULE

Sistemul Internaţional de Unităţi de Măsură (SI) este folosit prin lege atât în ţara noastră, cât şi pe plan internaţional. Tabelul următor cuprinde lista mărimilor fi-zice fundamentale ale Sistemului Internaţional :

Mărimea

fizică Simbolul

dimensional Unitatea de

măsură Simbolul unităţii

de măsură LUNGIME L metru m

TIMP T secundă s MASĂ M kilogram kg

TEMPERATURĂ Θ kelvin K CANTITATE DE SUBSTANŢĂ N kilomol kmol

INTENSITATE A CURENTULUI ELECTRIC

I amper A

INTENSITATE LUMINOASĂ E candelă cd

Sistemul MKS a fost la origine un sistem de unităţi de măsură folosit în tehnică, în domeniul mărimilor fizice mecanice. Dimensiunile sale sunt lungimea, masa şi timpul, iar unităţile de măsură corespunzătoare sunt metrul, kilogramul şi se-cunda.

Sistemul CGS a fost la origine un sistem de unităţi de măsură folosit în fizică

sau alte ştiinţe experimentale şi acoperă tot domeniul mărimilor fizice mecanice. Dimensiunile sale sunt lungimea, masa şi timpul, iar unităţile de măsură cores-punzătoare sunt centimetrul, gramul şi secunda.

Formulele dimensionale ale mărimilor fizice sunt aceleaşi atât în sistemul CGS,

cât şi în sistemul MKS, dar unităţile de măsură diferă.

Sistemul MKfS a fost la origine un sistem de unităţi de măsură folosit în tehnică, în domeniul mărimilor fizice mecanice. Dimensiunile sale sunt lungimea, forţa şi timpul, iar unităţile de măsură corespunzătoare sunt metrul, kilogramul-forţă şi secunda.

Sistemul de unităţi de măsură anglo-american are o foarte lungă istorie.

37

Încă din timpurile când a fost elaborată Magna Carta (1215), a fost nece-sară includerea în conţinutul ei a unor prevederi legate de măsurile folosite pentru cereale şi vinuri. Câţiva ani mai târziu, printr-o ordonanţă regală, s-a stabilit o lungă listă de unităţi şi standarde, care a rămas în vigoare aproape 600 de ani. De atunci datează yardul, divizat în trei picioare, de câte 12 inch fiecare. Multiplul yardului este prăjina (5,5 yarzi). Interesantă este şi origi-nea cuvântului inch. Această unitate de măsură îşi trage numele din vechile cuvinte englezeşti „unce” (sau „ynche”), care, la rândul lor provin din lati-nul „uncia”, care era a douăsprezecea parte din piciorul roman. Vechiul ynche a fost definit de regele David I al Scoţiei, pe la anul 1150. Un ynche trebuia să fie egal cu lăţimea degetului gros al unui bărbat, la baza unghiei. Pentru a se evita încurcăturile sau confuziile, în practică se măsurau lăţimile degetelor a trei bărbaţi de staturi de la mic, la mediu şi la mare, după care se făcea media aritmetică. Pe vremea regelui Edward al II-lea, la începutul se-colului 14, un inch se definea ca lungimea a trei seminţe de orz uscate, puse cap la cap. Din 1959, oficial, un inch reprezintă 2,54 centimetri.

Expansiunea colonială şi comercială a Angliei a făcut ca măsurile de englezeşti de lungime, masă, volum să capete importanţă deosebită la nivelul comerţului mondial. Din acest motiv, chiar după dobândirea independenţei, Statele Unite ale Americii nu au adoptat sistemul metric, preferând păstrarea celui englezesc. Principalul neajuns al sistemului de unităţi anglo-american este legat de transformările dificile între unităţile de măsură.

Sistemele CGSε0 (sistemul absolut de unităţi electrostatice), CGSµ0 (sistemul absolut de unităţi electromagnetice) şi CGS Gauss (sistemul absolut de unităţi al lui Gauss) au în comun ca unităţi de măsură fundamentale centimetrul, gramul şi secunda, dar atribuie valori convenţionale, unitare, adimensionale, unor constan-te fizice universale (în CGSε0 permitivitatea electrică a vidului este egală cu 1, în CGSµ0 permeabilitatea magnetică a vidului este egală cu 1, iar în sistemul Gauss aceste două constante universale sunt ambele egale cu unitatea. Dacă în domeniul mecanicii folosirea acestor sisteme de unităţi de măsură nu are prea mare influenţă, în electromagnetism ecuaţiile câmpului electromagnetic se scriu sub o formă neraţionalizată.

Unităţile de măsură tolerate nu aparţin Sistemului Internaţional şi nici altor sis-

teme de unităţi de măsură, dar se folosesc din motive practice, istorice sau pur şi simplu din inerţie. În general, se recomandă evitarea lor, şi cu toate acestea le putem întâlni adesea în viaţa de zi cu zi.

38

ASPECTE TEORETICE

Vom oferi în continuare câteva tabele de transformări, punând în evidenţă doar un număr de mărimi fizice mai importante.

RELAŢII ÎNTRE UNITĂŢI DE MĂSURĂ MECANICE ÎN SISTEMELE SI (MKS) ŞI CGS

Mărimea fizică

Formula dimensiona-

lă

Unitatea de măsură

în SI

Simbo-lul uni-tăţii de măsură în SI

Unitatea de măsură în

CGS

Simbo-lul uni-tăţii de măsură în CGS

Raportul în-tre unităţile de măsură

lungime L1M0T0 metru m centimetru cm 1 m = 102 cm timp L0M0T1 secundă s secundă s 1 s = 1 s masă L0M1T0 kilogram kg gram g 1 kg = 103 g viteză L1M0T-1 metru pe

secundă m/s centimetru pe

secundă cm/s 1 m/s = 102

cm/s acceleraţie L1M0T-2 metru pe

secundă la pătrat

m/s2 centimetru pe secundă la

pătrat

cm/s2 1 m/s2 = 100 cm/s2

forţă L1M1T-2 newton N dyn dyn 1 N = 105 dyn impuls L1M1T-1 kilogram -

metru pe secundă

kg⋅m/s gram - centi-metru pe se-

cundă

g⋅cm/s 1 kg⋅m/s = 105 g⋅cm/s

energie L2M1T-2 joule J erg erg 1 J = 107 erg putere L2M1T-3 watt W erg pe secun-

dă erg/s 1 W = 107

erg/s presiune L-1M1T-2 pascal Pa barye barye 1 Pa = 10

barye densitate L-3M1T0 kilogram

pe metru cub

kg/m3 gram pe cen-timetru cub

g/cm3 1 kg/m3 = 10-3 g/cm3

momentul forţei

L2M1T-2 newton - metru

N⋅m dyn - centi-metru

dyn⋅cm 1 N⋅m = 107 dyn⋅cm

moment cinetic

L2M1T-1 kilogram – metru pă-trat pe se-

cundă

kg⋅m2/s gram - centi-metru pătrat pe secundă

g⋅cm2/s 1 kg⋅m2/s = 107 g⋅cm2/s

moment de inerţie

L2M1T0 kilogram – metru pă-

trat

kg⋅m2 gram - centi-metru pătrat

g⋅cm2 1 kg⋅m2 = 107 g⋅cm2

Atât sistemul CGS cât şi sistemul MKS sunt sisteme de unităţi de măsură coe-rente. Mai mult, mărimile fizice fundamentale ale celor două sisteme sunt ace-leaşi. Rezultă de aici că transformările de unităţi de măsură între cele două sisteme, revin, de fapt, la redefinirea unităţilor de măsură fundamentale :

iii FKF = adică noile unităţi de măsură sunt multipli ai vechilor unităţi, factorii Ki fiind doar co-eficienţi numerici. Condiţia de omogenitate dimensională corespunzătoare unei legi a fizicii de forma :

( )nA,...A,AfA 210 = este :

nmnmmnn

nnm

....m

....

....m

F......F

FF......FFαϕ++αϕ+αϕαϕ++αϕ+αϕ

αϕ++αϕ+αϕϕϕϕ

⋅

⋅=⋅22112222121

121211102010

2

121

şi devine :

nmnmnmnm

nnnnmm

..m

..m

....mm

FK....

FKFK...FKαϕ++αϕαϕ++αϕ

αϕ++αϕαϕ++αϕϕϕϕϕ

⋅

⋅=

1111

111111110010101111

În virtutea condiţiei de omogenitate, nn.... αϕ++αϕ+αϕ=ϕ 121211110 , rezultând nn..KK αϕ++αϕϕ = 111110

11 ş.a.m.d., astfel încât toţi coeficienţii numerici se simplifică, rămânându-ne :

nmnmnnm ..m

..m F....FF...F αϕ++αϕαϕ++αϕϕϕ

⋅= 11111101011

Concluzia este aceea că date fiind două sisteme de unităţi de măsură coerente, ba-zate pe aceleaşi mărimi fizice fundamentale, formulele dimensionale ale mărimi-lor fizice au aceeaşi formă în ambele sisteme, diferite fiind doar unităţile de mă-sură. Pornind de la această concluzie, putem găsi o relaţie generală după care se poa-te face transformarea unei unităţi de măsură din MKS în CGS sau invers. Avem :

[ ] [ ] τµλMKSCGS TMLAA ==

Atunci :

µτλ

µτλ

kg s m =

g s cm =

MKS

CGS

A

A

Rezultă : µλ

µτλ

µτλ

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

gkg

cmm =

g s cmkg s m =

CGS

MKS

AA

Deci :

( ) ( ) µλµλ 32

CGS

MKS 10 10 = 1000100 = AA

39

astfel încât, în final obţinem :

CGS3+2

MKS 10 = AA µλ În tehnică, s-a folosit în paralel cu sistemul MKS sistemul MKfS (metru - kilo-gram-forţă - secundă). Mărimile fizice fundamentale ale celor două sisteme sunt dife-rite. Aşa cum am văzut sistemul MKS este bazat pe lungime (L), timp (T) şi masă (M), în timp ce sistemul MKfS are ca mărimi fundamentale lungimea (L), timpul (T) şi forţa (F). În aceste condiţii, formulele dimensionale ale mărimilor fizice sunt di-ferite în cele două sisteme. Să luăm ca exemplu puterea mecanică, definită ca lucrul mecanic efectuat în uni-tatea de timp :

tLP =

• obţinem următoarele relaţii dimensionale [ ] [ ] [ ][ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] 111111

13211221

F T = L = F L TtdF = t L = P

M T = L T M T = Lt L = P---

MKfSMKfSMKfS-MKfSMKfSMKfS

----SISISI

• unităţile de măsură corespunzătoare sunt

smkgf = kgf s m =

(watt) W = kg s m =

111MKfS

132SI

⋅−

−

P

P

Dacă ţinem cont că 1 kgf = 9,8 N, rezultă

9,8 = SI

MKfS

PP

adică unitatea de măsură a puterii în MKfS este de 9,8 ori mai mare decât în SI.

În general, relaţiile de transformare ale formulelor dimensionale şi ale unităţilor de măsură din sistemul MKfS în Sistemul Internaţional se scriu astfel:

[ ] [ ] kg s m 9,8 = kgf s m = 2-

SIMKfS

2

'''''''''

'''τ''λSI

''τ'λMKfS

AA

MTLA F T = LAϕϕ−τϕ+λϕϕτλ

ϕϕ−ϕ+ϕ

↔

=↔

Pentru mărimile mecanice mai importante, tabelul de transformări între MKS şi CGS este următorul :

40

41

RELAŢII ÎNTRE UNITĂŢI DE MĂSURĂ MECANICE ÎN SISTEMELE SI (MKS) ŞI MKfS

Mărimea fizică

Unitatea de măsură în SI

Simbolul unităţii de măsură în

SI

Unitatea de măsură în

MKfS

Simbolul unităţii

de măsu-ră în

MKfS

Raportul între unităţile de mă-

sură

lungime metru m metru cm 1 m = 1 m timp secundă s secundă s 1 s = 1 s masă kilogram kg kilogram kg 1 kg = 1 kg =

1/9,8 kgf⋅s2/m viteză metru pe se-

cundă m/s metru pe secundă m/s 1 m/s = 1m/s

acceleraţie metru pe se-cundă la pă-

trat

m/s2 metru pe secundă la pătrat

m/s2 1 m/s2 = 1 m/s2

forţă newton N kilogram-forţă kgf 1 N = 1/9,8 kgf energie joule J kilogram-forţă -

metru kgf⋅m 1 J = 1/9,8 kgf⋅m

putere watt W kilogram-forţă – metru pe secundă

kgf⋅m/s 1 W = 1/9,8 kgf⋅m/s

presiune pascal Pa kilogram-forţă pe metru pătrat

kgf/m2 1 Pa = 1/9,8 kgf/m2

Ne vom mărgini în continuare să prezentăm, fără prea multe amănunte, unităţile de măsură ale unor mărimi electromagnetice în SI, CGSµ0 şi CGSε0 :

UNITĂŢI DE MĂSURĂ Mărimea fizică SI CGSµ0 CGSε0Intensitatea curen-

tului electric (I) amper (A) biot (Bi) statamper (stA)

Sarcina electrică (Q)

coulomb (C) abcoulomb (abC) statcoulomb (stC)

Tensiunea electrică (U)

volt (V) abvolt (abV) statvolt (stV)

Rezistenţa electrică (R)

ohm (Ω) abohm (abΩ) statohm (stΩ)

Capacitatea electri-că (C)

farad (F) abfarad (abF) statfarad (stF)

Inductanţa (L) henry (H) abhenry (abH) stathenry (stH) Intensitatea câmpu-

lui electric (E) volt pe metru (V/m) abvolt pe centime-

tru (abV/cm) statvolt pe centime-

tru (stV/cm) Inducţia câmpului

magnetic (B) tesla (T) gauss (Gs) stattesla (stT)

42

Alături de unităţile de măsură aparţinând diferitelor sisteme de unităţi de măsură, putem întâlni şi unităţile de măsură tolerate. Acestea sunt menţinute fie datorită ca-racterului lor istoric, fie pentru că utilizarea lor este răspândită în practică. Vom men-ţiona în continuare câteva dintre cele mai cunoscute unităţi de măsură tolerate:

Nume

Simbol Mărimea măsurată

Relaţia cu unitatea SI

tonă t masa 1 t = 1000 kg carat ct masa 1 ct = 2 10-4 kg

unitate atomică de masă uam masa 1 uam = 1,67 10-27 kg kilogram-forţă kgf forţa 1 kgf = 9,8 N

bar bar presiunea 1 bar = 100000 Pa atmosferă fizică atm presiunea 1 atm = 101325 Pa

atmosferă tehnică at presiunea 1 at = 98000 Pa milimetru coloană de mer-

cur (torr) mmHg (torr)

presiunea 1 mmHg = 133,32 Pa

milimetru coloană de apă mmH2O presiunea mmH2O = 9,8 Pa calorie cal căldura 1 cal = 4,18 J

kilowatt-oră kWh energia 1 kWh = 3,6 106 J electron-volt eV energia 1 eV = 1,6 10-19 J

cal-putere CP puterea 1 CP = 735,5 W litru l volumul 1 l = 0,001 m3

angstrom Å lungimea 1 Å = 10-10 m

Cu titlu de curiozitate, deoarece nu mai au de mult timp semnificaţia originală, vom menţiona şi câteva unităţi de măsură româneşti :

Nume

Mărimea măsurată

Relaţia cu unitatea SI

litră volum 0,322 dm3 în Muntenia, 0,380 dm3 în Moldova litră masă 0,318 kg în Muntenia, 0,323 kg în Moldova oca volum 1,288 dm3 în Muntenia, 1,250 dm3 în Moldova oca masă 1,71 kg în Muntenia, 1,291 kg în Moldova

baniţă volum de cereale circa 34 dm3

ar suprafaţă de teren 100 m2

cot lungime 0,664 m în Muntenia, 0,637 m în Moldova vadră volum 12,88 dm3 în Muntenia, 12,50 dm3 în Moldova

prăjină lungime 5,9 m în Muntenia, 6,69 m în Moldova prăjină suprafaţă de teren 202,8 m2 în Muntenia, 179 m2 în Moldova dram volum 3,22 cm3 în Muntenia, 3,80 dm3 în Moldova dram masă 3,18 g în Muntenia, 3,23 g în Moldova

Iată şi câteva unităţi de măsură anglo-americane :

43

• 1 inch = 2,54 cm • 1 picior = 0,3048 m • 1 yard = 0,9144 m • 1 milă terestră = 1,6093 km • 1 milă marină = 1,852 km • 1 acru = 0,4047 ha • 1 gallon (SUA) = 3,7854 l, 1 gallon (MB) = 4,546 l • 1 pintă (SUA) = 0,4732 l, 1 pintă (MB) = 0,5682 l • 1 uncie = 28,3495 g • 1 livră (funt) = 453,59 g

În strânsă legătură cu sistemele de unităţi de măsură se găsesc şi valorile con-stantelor fizice universale. Iată, în continuare, un tabel cu cele mai reprezentative din-tre acestea :

Constante fizice universaleDenumirea constantei Simbol Valoarea în SI

Accceleraţia gravitaţională la latitudi-nea de 45°, la nivelul mării

g g = 9,80616 m/s2

Constanta gravitaţională k k = 6,67⋅10-11 N⋅m2/kg2

Constanta gazelor ideale R R = 8310 J/(kmol⋅K) Volumul molar în condiţii normale Vµ0 Vµ0 = 22,4146 m3/kmol

Numărul lui Avogadro NA NA = 6,0288⋅1026 kmol-1

Constanta lui Boltzmann k k = 1,38047⋅10-23 J/K Numărul lui Faraday F F = 96501,2 C/echiv-gram

Masa de repaus a protonului mp mp = 1,67248⋅10-27 kg Masa de repaus a electronului me me = 9,1066⋅10-31 kg Sarcina electrică a electronului e e = -1,60203⋅10-19 C Sarcina specifică a electronului e/ me e/ me = -1,7592⋅1011 C/kg

Viteza luminii în vid c c = 2,99776⋅108 m/s Constanta lui Planck h h = 6,624⋅10-34 J⋅s

Constanta lui Rydberg R R = 1,09737⋅107 m-1

Permitivitatea electrică absolută a vi-dului

ε0 ε0 = 8,856⋅10-12 F/m

Permeabilitatea magnetică absolută a vidului

µ0 µ0 = 4π⋅10-7 H/m

Lungimea de undă Compton Λ Λ = 2,4⋅10-12 m Constanta Stefan-Boltzmann σ σ = 5,6687⋅10-8 W/(m2⋅K4)

EXEMPLU

Sistem de unităţi de măsură bazat pe constante fizice universale Într-un sistem de unităţi de măsură, aşa cum este şi Sistemul Internaţional, unită-

ţile de măsură fundamentale sunt stabilite în mod arbitrar. Pentru a evita definirea ar-bitrară a unităţilor de măsură fundamentale, s-ar putea imagina un sistem de unităţi de măsură bazat pe un număr de constante fizice universale. Definirea arbitrară a uni-tăţilor de măsură ar fi înlocuită în acest caz cu atribuirea unor valori egale cu unitatea acestor constante fizice. Să luăm în discuţie următoarea propunere de sistem de unităţi de măsură :

constanta universală

valoarea şi unitatea de

măsură în SI

formula di-mensională

în SI

noua formulă

dimensională

noua valoare şi unitate

de măsură viteza luminii

în vid c = 2,998 108 m/s LT-1

C c = 1 Ei (einstein)

constanta lui Planck

h = 6,626 10-34 Js L2MT-1H h = 1 Pl

(planck) constanta

gravitaţională γ = 6,673 10-11

Nm2/kg2L3M-1T-2

G γ = 1 Ne (newton)

sarcina electronului

e = 1,602 10-19 C TI E e = 1 Mi (millikan)

constanta lui Boltzmann

k = 1,381 10-23 J/K

L2MT-2Θ-1 K k = 1 Bo (boltzmann)

numărul lui Avogadro

NA = 6,023 1026 kmol-1

N-1N NA = 1 Av

(avogadro) Ne propunem să determinăm formula dimensională şi valoarea unei mărimi fi-zice în noul sistem al mărimilor fizice fundamentale (SMU). • fie formulele dimensionale ale unei mărimi A în cele două sisteme de unităţi de

măsură : [ ][ ] 654321

654321

ββββββ=

=

NKEGHCSMU

ααααααSI

A

NΘIMTLA

• problema pe care trebuie s-o rezolvăm constă în a găsi expresiile exponenţilor β1, β2,... β6 în funcţie de exponenţii α1, α2,... α6 şi formulele dimensionale ale noilor mărimi fundamentale

44

• mai întâi, vom înlocui în a doua formulă dimensională noile dimensiuni cu cele vechi :

[ ] ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 654321 1122213121 β-β-ββ--β-β-SMU NΘMTLTITMLMTLLTA −=

• am efectuat astfel transformarea formulei dimensionale a mărimii A, obţinând : [ ] 654532543215321 22232 βββββββββββββββ

SISMU NΘIMTLA −−+−−+−−−+++→ =

• deoarece exponenţii celor două modalităţi de exprimare a formulei dimensionale a mărimii A în SI trebuie să fie egali, rezultă :

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

=−=−

==+−

=−+−−−=+++

66

55

44

3532

254321

15321

22232

αβαβ

αβαβββ

αβββββαββββ

• putem transcrie acest sistem de ecuaţii sub forma matricială :

⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

=

⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

−−

−−−−−

6

5

4

3

2

1

6

5

4

3

2

1

100000010000001000010110021211020321

αααααα

ββββββ

sau, pe scurt : ( ) ( ) ( )βBα ⋅=

unde (B) este matricea dimensională de trecere de la SMU la SI. • determinantul matricei de transformare este unitar, iar inversa matricei de

transformare este :

( )

⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

−

−

−−−

−

−−

=−

100000

010000

001000

021

21

21

21

21

021

21

21

21

21

025

25

21

25

23

1B

• în aceste condiţii matricea (β) este dată de :

45

( ) ( ) ( )α=β −1B sau :

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

α−=βα−=β

α=βα+α−α−α+α=βα+α−α+α+α=β

α+α+α+α−α−=β

66

55

44

543213

543212

543211

22

55532

• formula dimensională şi unitatea de măsură ale mărimii A în SMU devin :

[ ]654543215432154321

654543215432154321

2225553SMU

2225553

SMU

AvBoMiNePlEi α−α−αα+α−α−α+αα+α−α+α+αα+α+α+α−α−

α−α−α+−−++−+++++−−

=

=

A

Aααααααααααααααα

NKEGHC

Fie o altă constantă fizică universală: ε0 =8,856 10-12 F/m. Deoarece :

3

42

mkgsA =

mCJ

sA = mVsA =

mVC

= mF

⋅⋅

⋅

⋅⋅⋅

Rezultă : [ ] 002143

0 NΘIMTLε SI−−=

şi :

0 , 0 , 2 , 1 , 4 , 3 654321 =α=α=α−=α=α−=α În aceste condiţii :

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

=β=β=β

=β⇒=−++−=β−=β⇒−=−−+−=β

β⇒−=+−−=β

002

0 0214321 221432 -1= 21012092

6

5

4

33

22

11

sau :

46

[ ] 211SMU0 EHC −−=ε

Conform acestei formule, noua unitate de măsură a permitivităţii este :

PlEiMiMiPlEi

2211

SMU0 ⋅==ε −−

Raportul unităţilor de măsură din cele două sisteme de unităţi este :

( )13-

3

42

34-8

219-

3

42

2

SI0

SMU0 101,292 =

mkgsA

Js 106,626 sm 109982

C 101,602

=

mkgsAPlEi

Mi

= ⋅

⋅⋅

⋅⋅

⋅

⋅⋅⋅

ε

ε ,

Conform teoremei fundamentale a unităţilor de măsură, raportul valorilor nume-rice ale permitivităţii electrice absolute a vidului în cele două sisteme de unităţi de măsură este invers proporţional cu raportul unităţilor de măsură. Rezultă :

( )13-

SMU0

SI012-

SMU0

101,2921 = =

108,856 ⋅ε

ε

⋅

εval

sau :

68,545 = 101,292108,856 = 13-

-12

SMU0 ⋅⋅

ε

sau :

PlEiMi 68,545 =

2

0 ⋅ε

Am urmărit prin acest exemplu să rezolvăm cea mai complexă problemă de transformare a unităţii de măsură a unei mărimi fizice (şi implicit a valorii sale nume-rice) dintr-un sistem de unităţi de măsură bazat pe anumite mărimi fizice fundamenta-le în alt sistem de unităţi de măsură, bazat pe alt set de mărimi fundamentale. Conclu-zia este următoarea :

Operaţia de transformare a valorii şi unităţii de măsură este posibilă dacă se cunosc relaţiile dimensionale şi numerice între mărimile fizice fundamentale ale celor două sisteme de unităţi de măsură, precum şi formula dimensională şi valoarea numerică a mărimii considerate într-unul din cele două sisteme de uni-tăţi de măsură.

47

TEMĂ

d et m r

FtrF s dvcn

48

Exprimaţi în milibari presiunea de 752 torr.

O forţă de 14 kgf face un lucru mecanic de 1250000 erg. Calculaţi eplasarea punctului de aplicaţie al forţei.

Diferenţa de presiune între gazul dintr-o incintă şi aerul atmosferic ste de 20 mm coloană de mercur. Exprimaţi diferenţa de presiune în cen-imetri coloană de apă.

Un motor de 50 CP funcţionează jumătate de oră. Exprimaţi lucrul ecanic făcut în kilowaţi-oră.

Puterea calorifică a unui cărbune este 6000 kcal/kg. Exprimaţi pute-ea calorifică a cărbunelui în Sistemul Internaţional.

Un grad Celsius corespunde ca diferenţă de temperatură cu 1,8 grade ahrenheit, iar temperatura de 0°C reprezintă o valoare de 32°F. Tempera-

ura normală a corpului omenesc este de 36°C. Ce valoarea are temperatu-a normală a corpului într-o ţară care foloseşte termometre gradate în scara ahrenheit ?

Înălţimea unui american este de 5 picioare. Este acesta înalt sau cund ?

„A fost prins cu ocaua mică” este o expresie care datează din perioa-a Unirii Principatelor. Cel care vinde cu ocaua mică era persoana care indea în Muntenia având ca unitate de măsură ocaua moldovenească. Da-ă aţi fi cheltuit 100 de lei cumpărând carne de porc, ce sumă ar fi câştigat emeritat acela care vindea cu ocaua mică ?

Câţi electron-volţi are un kilowatt-oră ?

PD

PRELUCRAREA DATELOR

EXPERIMENTALE

Tabele de date Reprezentări grafice Metoda celor mai mici pătrate Metode de fitare a datelor ex-perimentale

În munca de laborator există câteva etape importante : proiectarea şi execu-tarea dispozitivului experimental, achi-ziţia de date şi prelucrarea datelor obţi-nute. Fiecare dintre aceste etape îşi are importanţa ei, dar scopul final este atins doar printr-o bună cunoaştere a modali-tăţilor şi tehnicilor care manipulează da-tele experimentale, cu obiectivul de a stabili formularea matematică a legii pe care o căutăm sau o verificăm. Acesta este şi motivul pentru care considerăm importantă aplicaţia de faţă.

CUVINTE CHEIE

TEMA APLICAŢIEI

SCOPUL APLICAŢIEI

Cunoaşterea modului de alcătuire a tabelelor de date experimen-tale. Formarea abilităţii de a reprezenta grafic datele obţinute expe-rimental. Capacitatea de a folosi tehnica de calcul în scopul prelucră-rii datelor experimentale.

49

DEFINIŢII ŞI FORMULE

50

Tabelele de date sunt necesare pentru prezentarea ordonată şi sugestivă a rezul-tatelor determinărilor experimentale. Există reguli de întocmire a tabelelor de date care vor fi prezentate în cuprinsul acestui material.

Reprezentările grafice constituie de multe ori un ajutor preţios în efortul de a

stabili corelaţii matematice între datele experimentale. Curba obţinută ca grafic poate sugera adesea forma matematică a legii pe care urmăm să o stabilim în fi-nal. De asemenea, reprezentarea grafică a unor legi ale fizicii sau tehnicii permi-te găsirea cu uşurinţă a unor valori care ar fi identificate relativ dificil în tabele de date (de exemplu, reprezentarea grafică a presiunii vaporilor saturanţi ai apei în funcţie de temperatură este o modalitate foarte simplă de a stabili presiunea de saturaţie cunoscând temperatura, în comparaţie cu localizarea aceleiaşi valori într-un tabel de date întins pe o întreagă pagină de carte). Valoarea unei repre-zentări grafice stă şi în modul în care este făcută. Paginile următoare vor cuprin-de explicaţii care să vă familiarizeze cu modul corect de realizare a unei repre-zentări grafice de calitate. Utilizând tehnica de calcul şi programe adecvate (Excel, Mathcad, Origin, etc.) se pot obţine reprezentări grafice de foarte bună calitate.

Metoda celor mai mici pătrate sau metoda regresiei liniare este utilizată pen-

tru trasarea graficelor. O curbă experimentală se trasează printre punctele expe-rimentale, lăsând de o parte şi de alta cam acelaşi număr de puncte. Metoda celor mai mici pătrate permite găsirea traseului cel mai puţin depărtat de fiecare punct în parte, dar care este totuşi o curbă continuă, fără variaţii prea bruşte.

Fitarea datelor experimentale este procedeul prin care dintr-un şir de date ex-

perimentale se pot trage concluzii cu privire la forma matematică a unei anumite legi a fizicii. În esenţă, fitare (din englezescul a potrivi) înseamnă să cauţi fun-cţia matematică care să ofere cea mai bună corelare între datele experimentale. Trebuie menţionat că funcţia găsită prin fitare nu este şi în mod necesar adevă-rata lege după care decurge procesul respectiv ! În funcţie de domeniul de valori al parametrului experimental se pot găsi formule aproximative, valabile doar în domeniul considerat. Diferitele metode de fitare sunt integrate în programe de calcul cum ar fi Excel, Mathcad, Mathlab şi altele.

ASPECTE TEORETICE

beca

ensăloNu

51

Înregistrarea datelor experimentale, reprezentare grafică

Înregistrarea datelor experimentale se face în tabele întocmite în prealabil. Orice tabel trebuie să cuprindă un cap de tabel. Capul de tabel : • cuprinde în mod obligatoriu simbolul mărimii fizice şi unitatea de măsură • este aşezat în mod obişnuit deasupra coloanelor rezervate datelor, dar poate

fi plasat uneori şi la stânga lor • poate cuprinde uneori formula de calcul utilizată pentru obţinerea valorilor

din coloana respectivă Coloanele tabe-lului de date sunt re-zervate fie mărimi-lor considerate ca variabile indepen-dente, fie datelor ob-ţinute prin măsurare, fie rezultatelor. Pri-mele coloane din stânga sunt rezervate pentru mărimile in-dependente, iar ur-mătoarele mărimilor măsurate. În fine, ultimele coloane cu-prind rezultatele, de multe ori calculate în funcţie de mări-mile măsurate. Ta-

lul de date poate avea un nume, care, de cele mai multe ori, descrie scopul pentru re sunt făcute măsurătorile experimentale.

Exemplu de întocmire a unui tabel de date

Scopul experienţei

Număr curent

Aparat sau

element utilizat

Valoare constantă (unitate de

măsură)

Mărime măsurată

(unitate de măsură)

Valoare fi-nală

(unitate de măsură)

1 x 1 y 1 2 elem. I CCC x 2 y 2 3 x 3 y3

Spaţiu pen-tru date

Cap de tabel plasat la stânga

Spaţiu pen-tru rezultate

Cap de tabel plasat deasupra datelor

Valorile mărimilor independente sunt trecute în tabel înainte de efectuarea experi-ţei. Unităţile de măsură trebuie astfel alese încât numerele care sunt trecute în tabel nu fie excesiv de mari sau de mici. Astfel, nu este indicat să fie trecută în tabel va-area (t =) 0,0000043 (s), ci valoarea (t =) 4,3 (µs) sau valoarea (t =) 4,3 (10-6 s). mărul de zecimale cu care este trecută în tabel o anumită mărime trebuie să cores-

52

pundă preciziei cu care ea a fost determinată. Astfel, nu este indicat să fie trecută în tabel valoarea (v =) 23,4215867 (m/s), ci valoarea (v =) 23,4 (m/s) dacă precizia mă-surătorii este de ordinul a 1%. În fine, pentru facilitarea citirii datelor, pe aceeaşi co-loană, valorile prezentate vor avea acelaşi număr de zecimale, iar virgulele care sepa-ră zecimalele de întregi vor fi plasate una sub alta. În multe cazuri prezentarea sau chiar prelucrarea datelor experimentale este fa-cilitată de reprezentările grafice. Avantajele acestora sunt:

• permit observarea cu uşurinţă a variaţiilor mărimii studiate în raport cu vari-aţia parametrului ales, evidenţiind eventualele maxime sau minime

• curba trasată printre punctele experimentale este o reprezentare mai exactă a legăturii dintre mărimea studiată şi parametru decât fiecare pereche de date experimentale în parte

• sugerează relaţia matematică dintre mărimea studiată şi parametru Întocmirea unei reprezentări grafice se supune unor reguli practice care vor fi prezentate în continuare : ⇒ graficele se trasează pe hârtie milimetrică sau pe caroiaje întocmite anterior ⇒ formatul hârtiei trebuie să fie suficient de mare pentru ca aspectul curbei să nu

aibă de suferit (este recomandat formatul A5 sau A6) ⇒ intervalele de valori ale axelor trebuie astfel alese încât curba obţinută să fie

repartizată pe întreaga suprafaţă a graficului ⇒ aceasta înseamnă şi faptul că valorile coordonatelor axelor nu trebuie să în-

ceapă obligatoriu de la zero, fiind de preferat ca originea axei să corespundă celei mai mici valori reprezentate, iar extremitatea sa celei mai mari ⇒ distanţa dintre două linii îngroşate pe hârtia milimetrică sau distanţa dintre

două linii alăturate ale caroiajului trebuie să corespundă unui număr de unităţi ale mă-rimii reprezentate care să permită reprezentarea cu uşurinţă a valorilor intermediare (de exemplu, în cazul hârtiei milimetrice, distanţa dintre două linii îngroşate poate co-respunde la o unitate, la două unităţi, la cinci unităţi sau la zece unităţi, dar este ne-practic ca ea să corespundă la şapte unităţi) ⇒ fiecare pereche de date se va reprezenta ca un punct pe suprafaţa graficului,

iar acest punct va fi bine marcat (însemnat, de exemplu, cu o steluţă) ⇒ coordonatele punctelor experimentale nu se notează pe grafic (ele pot fi de-

duse cu ajutorul marcajelor principale de pe axele de coordonate) ⇒ curba experimentală va fi trasată printre puncte, lăsând de o parte şi de alta

cam acelaşi număr de puncte ⇒ este util ca trasarea curbei să fie făcută cu un florar ⇒ se va urmări ca aspectul curbei să fie cât mai continuu, fără variaţii bruşte de

pantă sau de curbură ⇒ dacă un punct experimental este plasat mult în afara curbei, este recomandat

ca măsurătoarea respectivă să fie refăcută

⇒ dacă în acelaşi grafic se reprezintă mai multe curbe, ele vor fi trasate cu culori diferite, iar punctele experimentale corespunzătoare vor fi marcate în mod diferit

01 2 3 4 5 6 7 8 91011121314151617181920212223242526272829303132333435363738394041424344454647484950

2468

101214161820222426283032343638404244464850525456586062646668707274767880828486889092949698

100

Valorile numerice corespunzătoare gradaţii-lor axelor sunt prea dese ! (ar fi fost suficient

ca ele să fie marcate din cinci în cinci)

X 12 14 16 18 20 22 24 26 28Y 15 29 21 27 28 36 38 39 50

Y

Cum nu trebuie făcută o reprezentare grafică !

X

Curba este obţinută prin uni-rea punctelor experimentale !

Domeniul de valori al fiecărei axe este prea mare, astfel încât curba nu este distribuită în întreaga

suprafaţă a graficului !

53

Graficul X=f(Y)

10 15 20 25 3010

15

20

25

30

35

40

45

50

Y(u.m.)

X(u.m.)

Puncte experimentale

X 12 14 16 18 20 22 24 26 28Y 15 29 21 27 28 36 38 39 50

Curbă trasată printre puncte

Cum trebuie făcută reprezentarea grafică !

Metoda celor mai mici pătrate

Să urmărim exemplul din figura alăturată. Să presupunem că legea fi-zică pe care o vom pune în evidenţă este o lege liniară. Putem duce printre punctele experimentale mai multe drepte care să corespundă criteriilor de întocmire a unei reprezentări grafi-ce. Care dintre aceste drepte repre-zintă cel mai corect legea căutată ? Metoda celor mai mici pătrate răspun-

de tocmai acestei întrebări.

y

x

Conform metodei celor mai mici pătrate, panta dreptei şi coordonata in-tersecţiei sale cu axa Oy vor fi astfel alese încât suma pătratelor distanţelor de la fiecare punct experimental la dreaptă să fie minimă.

54

55

kkk 'yyd −

Să urmărim figura alăturată. Presupunem că parametrii xk ai mă-surătorii au fost determinaţi precis (de exemplu, acul instrumentului de măsură era poziţionat exact în drep-tul unei gradaţii a scalei). În schimb, mărimile corespunzătoare, yk, nu mai sunt stabilite tot atât de precis prin măsurare. Considerăm că valoa-rea corectă a mărimii y corespunde punctului y'k de pe dreaptă. Distanţa dintre aceste puncte este :

y = ax+ b

y

x

xk, y'k

xk, yk

=Conform ecuaţiei dreptei, obţinem :

bax'y kk += şi deci :

baxyd kkk −−= Suma pătratelor distanţelor de la dreaptă la toate punctele experimentale este :

( )∑=

−−=N

kkk baxyS

1

2

sau :

∑∑∑∑∑=====

+−−++=N

kk

N

kk

N

kkk

N

kk

N

kk xabybyxaNbxayS

111

2

1

22

1

2 222

Împărţind la N, punem în evidenţă valorile medii :

xabybxyabxayNS 2222222 +−−++=

Factorul S/N este o funcţie de doi parametri necunoscuţi, a şi b. Valoarea sa este mi-nimă atunci când derivatele parţiale în raport cu a şi b se anulează simultan :

0222 2 =+−=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ σ

∂∂ xbxyxa

Na

0222 =+−=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ σ

∂∂ xayb

Nb

Rezultă :

22 xxyxxy

a−

−=

şi :

22

2

xx

xxyxyxayb

−

−=−=

Dreapta căutată are ecuaţia :

( ) yxxxx

yxxyy +−

−

−= 22

unde :

∑∑∑∑====

====N

kkk

N

kk

N

kk

N

kk yx

Nxyx

Nxy

Nyx

Nx

11

22

11

1111

Metoda celor mai mici pătrate se poate utiliza şi în cazul altor tipuri de funcţii decât cele liniare. De exemplu, în cazul y = cxp, logaritmăm relaţia :

clnxlnpyln += şi observăm că ln y este funcţie liniară de ln x. Constantele p şi ln c pot fi calculate acum utilizând metoda celor mai mici pătrate.

Alte modalităţi de fitare a datelor experimentale Există şi numeroase legi ale fizicii care nu sunt exprimabile prin funcţii liniare sau exponenţiale. Un exemplu ar fi legea spaţiului în mişcarea rectilinie uniform vari-ată :

( ) ( )20000 21 ttattvxx −+−+=

Această lege are o formă polinomia-lă. Chiar şi legi cu mult mai compli-cate pot fi puse sub formă polinomi-ală, gradul polinomului fiind cu atât mai mare cu cât intervalul de valabi-litate este mai mare şi precizia mai necesară. De exemplu, elongaţia unui oscilator armonic xsiny = , poate fi aproximată ca funcţie poli-nomială prin (x măsurat în radiani) :

56

...x!

+7x!

x!

xy −+−= 53

71

51

31

...x +7

50401xxxy −+−= 53

1201

61

În graficul alăturat, curba îngroşată este graficul sinusului, iar liniile în-trerupte sunt prima şi a doua apro-

ximaţie polinomială. Cea de-a treia aproximaţie se suprapune exact peste graficul si-nusului. Se poate face şi o teorie care să explice modul prin care se găsesc coeficienţii polinomului în funcţie de datele experimentale. Rezultatele acestei teorii sunt imple-mentate în programe de calcul tabelar, cum ar fi programul Excel.

0 0.5 1 1.50

0.5

1

1.5

Aproximatii polinomiale ale functiei y = sin x

EXEMPLU

Să presupunem că dorim să verificăm experimental legea perioadei micilor osci-laţii ale unui pendul gravitaţional :

glT π= 2

Valoarea acceleraţiei gravitaţionale este cunoscută : g = 9,8 m/s. În cursul experienţei vom varia (şi măsura) lungimea firului de suspensie şi vom calcula perioada împăr-ţind timpul necesar efectuării unui anumit număr de oscilaţii complete la acest număr.

Trebuie să demonstrăm prin experiment că perioada T este o funcţie lineară de gl şi

să găsim că panta dreptei respective este egală cu 2π. În acest scop, vom folosi meto-da regresiei lineare. Ceasul cu care lucrăm are precizia de 1 secundă, iar lungimea fi-rului se poate măsura cu precizie de 1 centimetru. Pentru fiecare lungime a firului de suspensie vom face câte 5 măsurări ale perioadei. Să presupunem că am obţinut ur-mătoarele date experimentale : ⇒ Pentru lungimea de 109 cm, 5 oscilaţii se fac în 10 s, 6 oscilaţii în 12 s, 7 osci-

laţii în 15 s, 8 oscilaţii în 16 s şi 9 oscilaţii în 19 s ⇒ Pentru lungimea de 132 cm, 5 oscilaţii se fac în 11 s, 6 oscilaţii în 14 s, 7 osci-

laţii în 16 s, 8 oscilaţii în 18 s şi 9 oscilaţii în 20 s ⇒ Pentru lungimea de 182 cm, 5 oscilaţii se fac în 13 s, 6 oscilaţii în 16 s, 7 osci-

laţii în 19 s, 8 oscilaţii în 21 s şi 9 oscilaţii în 24 s ⇒ Pentru lungimea de 236 cm, 5 oscilaţii se fac în 15 s, 6 oscilaţii în 18 s, 7 osci-

laţii în 21 s, 8 oscilaţii în 24 s şi 9 oscilaţii în 27 s ⇒ Pentru lungimea de 295 cm, 5 oscilaţii se fac în 17 s, 6 oscilaţii în 21 s, 7 osci-

laţii în 24 s, 8 oscilaţii în 27 s şi 9 oscilaţii în 31 s Prima problemă pe care o întâlnim este aceea de a pune aceste date într-o formă mai ordonată, de a calcula perioadele corespunzătoare şi eroarea măsurării. Vă pot recomanda să lucraţi în modul următor : ⇒ Deschideţi programul Excel ⇒ Înscrieţi în căsuţele de la A4 la A8 numerele curente ale determinărilor :

1,2,3,4,5 ⇒ Înscrieţi în căsuţele B2, E2, H2, K2, N2, lungimile firului : 1,09 (m), 1,32

(m), 1,82 (m), 2,36 (m) şi 2,95 (m) ⇒ Înscrieţi în căsuţele B4-8, E4-8, H4-8, K4-8, N4-8 numerele de oscilaţii

57

⇒ Înscrieţi în căsuţele C4-8, F4-8, I4-8, L4-8, M4-8 intervalele de timp cores-punzătoare ⇒ Foaia Excel arată acum aşa :

⇒ Selectaţi căsuţa D4, şi apoi daţi un click în caseta fx, după care tastaţi semnul

„=” ⇒ Selectaţi căsuţa C4, apăsaţi tasta de împărţire şi apoi selectaţi căsuţa B4. Tas-

taţi „Enter” ⇒ Selectaţi din nou căsuţa D4 ⇒ Foaia Excel arată acum aşa :

⇒ Remarcaţi pătrăţelul din colţul dreapta-jos al căsuţei D4. Duceţi pointer-ul mouse-ului pe acest pătrăţel (observaţi că el se transformă într-o cruciuliţă), apăsaţi butonul stâng al mouse-ului şi, ţinându-l apăsat, trageţi colţul (pătrăţelul) în jos, până la căsuţa D8. Eliberaţi butonul mouse-ului, şi selectaţi o căsuţă liberă ⇒ Foaia Excel arată acum aşa :

58

⇒ Coloana D cuprinde acum valorile perioadelor pentru cele cinci determinări corespunzătoare lungimii de 1,09 m ⇒ Eroarea de măsurare este destul de mare (1 secundă la 10 până la 19 secunde).

De aceea numărul mare de zecimale este inutil. Considerând că eroarea este de ordi-nul a 1%, înseamnă că numai primele trei cifre ale unui număr sunt semnificative. De aceea, valoarea 2,142857 trebuie rotunjită la 2,14. Pentru a realiza aceasta procedaţi astfel :

⇒ Mai întâi selectaţi toate căsuţele de la D4 la D8 ⇒ Apoi, deschideţi meniul „Format” şi alegeţi opţiunea „Cells…”

⇒ Se va deschide o fe-reastră nouă : „Format Cells”

59

⇒ În meniul „Category” alegeţi opţiunea „Number”, iar în caseta „Decimal places” in-troduceţi valoarea 2 ⇒ Apăsaţi butonul „OK” ⇒ Rezultatul va fi că toate

numerele in coloana D sunt acum rotunjite până la două zecimale ⇒ Realizaţi aceleaşi operaţi-

uni pe coloanele G, J, M şi P (evident folosind coloanele de da-

te corespunzătoare). ⇒ Pe pagina următoarea pu-

teţi vedea modul în care arată foa-ia Excel în acest moment. ⇒ Este momentul să alcătuim

un tabel care să conţină şi alte elemente decât acelea cuprinse de programul Excel ⇒ Fără a închide programul

Excel, deschideţi programul Word, iar pentru mai multă siguranţă tas-taţi de câteva ori „Enter” ⇒ Reveniţi la Excel şi selec-

taţi toate căsuţele între A1 şi P8 ⇒ Daţi comanda „Copy”

(aflată şi pe bara „Standard”, sau în meniul „Edit”

⇒ Reveniţi în Word şi daţi comanda „Lipire” (sau „Paste”). Rezultatul va fi ur-

mătorul : 1,09 1,32 1,82 2,36

1 5 10 2,00 5 11 2,20 5 13 2,60 52 6 12 2,00 6 14 2,33 6 16 2,67 63 7 15 2,14 7 16 2,29 7 19 2,71 74 8 16 2,00 8 18 2,25 8 21 2,63 85 9 19 2,11 9 20 2,22 9 24 2,67 9

⇒ Nu arată prea bine, dar nu vă descurajaţi ! ⇒ Selectaţi prima căsuţă a tabelului, deschideţi meniul „Table” :

⇒ Alegeţi opţiunea „AutoFit” şi, apoi, „AutoFit to Window” ⇒ Rezultatul operaţiunii este prezentat în continuare :

60

61

1,09 1,32 1,82 2,36 2,95

1 5 10 2,00 5 11 2,20 5 13 2,60 5 15 3,00 5 17 3,402 6 12 2,00 6 14 2,33 6 16 2,67 6 18 3,00 6 21 3,503 7 15 2,14 7 16 2,29 7 19 2,71 7 21 3,00 7 24 3,434 8 16 2,00 8 18 2,25 8 21 2,63 8 24 3,00 8 27 3,385 9 19 2,11 9 20 2,22 9 24 2,67 9 27 3,00 9 31 3,44

⇒ Selectaţi toate celulele tabelului ⇒ Din bara „Table and Borders” alegeţi opţiunile şi +, apoi din bara

„Formatting” alegeţi opţiunile „Center” şi „Times New Roman” „10”. Tabelul capătă înfăţişarea :

1,09 1,32 1,82 2,36 2,95

1 5 10 2,00 5 11 2,20 5 13 2,60 5 15 3,00 5 17 3,40 2 6 12 2,00 6 14 2,33 6 16 2,67 6 18 3,00 6 21 3,50 3 7 15 2,14 7 16 2,29 7 19 2,71 7 21 3,00 7 24 3,43 4 8 16 2,00 8 18 2,25 8 21 2,63 8 24 3,00 8 27 3,38 5 9 19 2,11 9 20 2,22 9 24 2,67 9 27 3,00 9 31 3,44

⇒ Pe linia a treia a tabelului, începând cu coloana a doua, înscrieţi următoarele

informaţii (caracterele greceşti se pot selecta prin apăsarea butonului Ω din bara „Standard”) :

1,09 1,32 1,82 2,36 2,95

N ∆t (s) T (s) N

∆t (s) T (s) N

∆t (s) T (s) N

∆t (s) T (s) N

∆t (s)

T (s)

1 5 10 2,00 5 11 2,20 5 13 2,60 5 15 3,00 5 17 3,40 2 6 12 2,00 6 14 2,33 6 16 2,67 6 18 3,00 6 21 3,50 3 7 15 2,14 7 16 2,29 7 19 2,71 7 21 3,00 7 24 3,43 4 8 16 2,00 8 18 2,25 8 21 2,63 8 24 3,00 8 27 3,38 5 9 19 2,11 9 20 2,22 9 24 2,67 9 27 3,00 9 31 3,44

⇒ Selectaţi prima linie a tabelului şi daţi comanda „Merge Cells” (evidenţiată în

bara „Table and Borders”). Veţi obţine :

1,09 1,32 1,82 2,36 2,95

N ∆t (s) T (s) N

∆t (s) T (s) N

∆t (s) T (s) N

∆t (s) T (s) N

∆t (s) T (s)

1 5 10 2,00 5 11 2,20 5 13 2,60 5 15 3,00 5 17 3,40 2 6 12 2,00 6 14 2,33 6 16 2,67 6 18 3,00 6 21 3,50 3 7 15 2,14 7 16 2,29 7 19 2,71 7 21 3,00 7 24 3,43 4 8 16 2,00 8 18 2,25 8 21 2,63 8 24 3,00 8 27 3,38 5 9 19 2,11 9 20 2,22 9 24 2,67 9 27 3,00 9 31 3,44

62

⇒ Selectaţi prima linie din tabel şi înscrieţi textul „PERIOADELE DE OSCILAŢIE, ÎN

FUNCŢIE DE LUNGIMEA FIRULUI DE SUSPENSIE” (textul este scris în „Times New Roman”, mărimea „10”)

PERIOADELE DE OSCILAŢIE, ÎN FUNCŢIE DE LUNGIMEA FIRULUI DE SUSPENSIE 1,09 1,32 1,82 2,36 2,95

N ∆t (s) T (s) N

∆t (s) T (s) N

∆t (s) T (s) N

∆t (s) T (s) N

∆t (s) T (s)

1 5 10 2,00 5 11 2,20 5 13 2,60 5 15 3,00 5 17 3,40 2 6 12 2,00 6 14 2,33 6 16 2,67 6 18 3,00 6 21 3,50 3 7 15 2,14 7 16 2,29 7 19 2,71 7 21 3,00 7 24 3,43 4 8 16 2,00 8 18 2,25 8 21 2,63 8 24 3,00 8 27 3,38 5 9 19 2,11 9 20 2,22 9 24 2,67 9 27 3,00 9 31 3,44

⇒ În linia a doua, contopiţi căsuţele 2-5, 6-8, 9-11, 12-14 şi 15-17 prin selectare şi aplicarea comenzii „Merge Cells” :

PERIOADELE DE OSCILAŢIE, ÎN FUNCŢIE DE LUNGIMEA FIRULUI DE SUSPENSIE 1,09 1,32 1,82 2,36 2,95

N ∆t (s) T (s) N

∆t (s) T (s) N

∆t (s) T (s) N

∆t (s) T (s) N

∆t (s) T (s)

1 5 10 2,00 5 11 2,20 5 13 2,60 5 15 3,00 5 17 3,40 2 6 12 2,00 6 14 2,33 6 16 2,67 6 18 3,00 6 21 3,50 3 7 15 2,14 7 16 2,29 7 19 2,71 7 21 3,00 7 24 3,43 4 8 16 2,00 8 18 2,25 8 21 2,63 8 24 3,00 8 27 3,38 5 9 19 2,11 9 20 2,22 9 24 2,67 9 27 3,00 9 31 3,44

⇒ Adăugaţi unitatea de măsură a lungimii :

PERIOADELE DE OSCILAŢIE, ÎN FUNCŢIE DE LUNGIMEA FIRULUI DE SUSPENSIE 1,09 (m) 1,32 (m) 1,82 (m) 2,36 (m) 2,95 (m)

N ∆t (s) T (s) N

∆t (s) T (s) N

∆t (s) T (s) N

∆t (s) T (s) N

∆t (s) T (s)

1 5 10 2,00 5 11 2,20 5 13 2,60 5 15 3,00 5 17 3,40 2 6 12 2,00 6 14 2,33 6 16 2,67 6 18 3,00 6 21 3,50 3 7 15 2,14 7 16 2,29 7 19 2,71 7 21 3,00 7 24 3,43 4 8 16 2,00 8 18 2,25 8 21 2,63 8 24 3,00 8 27 3,38 5 9 19 2,11 9 20 2,22 9 24 2,67 9 27 3,00 9 31 3,44

⇒ În căsuţa a doua din prima coloană, înscrieţi textul „l →” ⇒ În căsuţa a treia din prima coloană înscrieţi textul „ N.C. ↓”. Obţineţi :

PERIOADELE DE OSCILAŢIE, ÎN FUNCŢIE DE LUNGIMEA FIRULUI DE SUSPENSIE

l → 1,09 (m) 1,32 (m) 1,82 (m) 2,36 (m) 2,95 (m) N.C. ↓ N

∆t (s)

T (s) N

∆t (s)

T (s) N

∆t (s)

T (s) N

∆t (s)

T (s) N

∆t (s) T (s)

1 5 10 2,00 5 11 2,20 5 13 2,60 5 15 3,00 5 17 3,40 2 6 12 2,00 6 14 2,33 6 16 2,67 6 18 3,00 6 21 3,50 3 7 15 2,14 7 16 2,29 7 19 2,71 7 21 3,00 7 24 3,43 4 8 16 2,00 8 18 2,25 8 21 2,63 8 24 3,00 8 27 3,38 5 9 19 2,11 9 20 2,22 9 24 2,67 9 27 3,00 9 31 3,44

⇒ Cu aceasta, primul tabel de date al lucrării este terminat. Dacă doriţi ca el să fie mai sugestiv îl puteţi pune sub forma (cum veţi reuşi este deja un exerciţiu pentru dumneavoastră !) :

PERIOADELE DE OSCILAŢIE, ÎN FUNCŢIE DE LUNGIMEA FIRULUI DE SUSPENSIE l → 1,09 (m) 1,32 (m) 1,82 (m) 2,36 (m) 2,95 (m) N.C. ↓ N

∆t (s)

T (s) N

∆t (s)

T (s) N

∆t (s)

T (s) N

∆t (s)

T (s) N

∆t (s) T (s)

1 5 10 2,00 5 11 2,20 5 13 2,60 5 15 3,00 5 17 3,402 6 12 2,00 6 14 2,33 6 16 2,67 6 18 3,00 6 21 3,503 7 15 2,14 7 16 2,29 7 19 2,71 7 21 3,00 7 24 3,434 8 16 2,00 8 18 2,25 8 21 2,63 8 24 3,00 8 27 3,385 9 19 2,11 9 20 2,22 9 24 2,67 9 27 3,00 9 31 3,44

⇒ Este deja momentul să ne îndreptăm către finalizarea prelucrării datelor ⇒ Va trebui să determinăm valorile medii ale perioadelor, eroarea de măsură şi

valorile factorului gl

⇒ Pentru început deschideţi din nou tabelul Excel ⇒ În coloana A12-16 înscrieţi numerele curente 1,2,3,4,5 ⇒ În coloana D12-16 înscrieţi valorile lungimilor firului de suspensie ⇒ Selectaţi căsuţa E12 şi apoi daţi un click în caseta fx, tastaţi „=”, apoi scrieţi

SQRT(D12/9,81) şi finalizaţi tastând „Enter” ⇒ Selectaţi din nou căsuţa E12 şi trageţi colţul din dreapta-jos, acoperind coloa-

na E, până la E16 ⇒ Rotunjiţi la două zecimale numerele din coloana E. În acest moment aveţi cal-

culate valorile lui gl pentru toate cele cinci lungimi considerate

⇒ Pentru a calcula valorile medii ale perioadelor, precum şi abaterile pătratice medii, procedaţi aşa cum v-a fost indicat în lucrarea „Teoria erorilor de măsură”. Me-diile perioadelor le treceţi în coloana B, iar abaterile pătratice în coloana C. Dacă este nevoie, rotunjiţi din nou rezultatele la două zecimale ⇒ Porţiunea din foaia Excel cu care aţi lucrat ar trebui să arate aşa :

⇒ Este momentul să impor-taţi acest tabel în documentul Word ⇒ Selectaţi toate căsuţele

de la A10 la E16 şi procedaţi în acelaşi mod ca la operaţia ante-rioară de importare şi formatare a unui tabel de date

⇒ Ar trebui să obţineţi :

63

PERIOADELE DE OSCILAŢIE ŞI ABATEREA PĂTRATICĂ MEDIE

Nr. crt. <T> (s) σT l (m) gl (s)

1 2,05 0,07 1,09 0,33 2 2,26 0,05 1,32 0,37 3 2,65 0,04 1,82 0,43 4 3,00 0,00 2,36 0,49 5 3,43 0,05 2,95 0,55

⇒ Ultima etapă constă în trasarea graficului, utilizând metoda celor mai mici pă-

trate ⇒ Reveniţi la foaia Excel ⇒ Deschideţi meniul „Insert” şi alegeţi opţiunea „Chart”

⇒ Se va deschide o nouă fereastră :

64

⇒ În lista „Chart type” alegeţi opţiunea „XY (Scatter)”. Pe ecranul monitorului

apare : ⇒ Dacă căsuţa aflată sub inscripţia

„Chart sub-type” este înnegrită apăsaţi bu-tonul „Next >”. În caz contrar, selectaţi mai întâi căsuţa şi apoi apăsaţi „Next >” ⇒ Înfăţişarea ferestrei cu care lucraţi

se modifică după cum urmează :

⇒ Daţi un click pe ”Series”

65

⇒ Fereastra îşi schimbă înfăţi-

şarea şi arată ca în imaginea din dreapta. Apăsaţi butonul „Add” şi din nou veţi observa că fereastra îşi schimbă înfăţişarea :

⇒ Trebuie acum să introduceţi datele experimentale Acestea se in-troduc în casetele „X Values” şi „Y Values”. Procedaţi astfel :

⇒ Daţi un click în caseta „X Values” ⇒ Apoi selectaţi toate valori-

le numerice din coloana E12-16

(adică valorile factorului gl )

⇒ După aceea daţi un click în caseta „Y Values” şi selectaţi tot cuprinsul ei ⇒ În continuare, selectaţi toa-

te valorile numerice din coloana B12-16 ⇒ După aceste operaţii, fereas-

tra din foaia Excel ar trebui să arate ca în imaginea următoare :

⇒ Apăsaţi butonul „Next” ⇒ Fereastra îşi schimbă din nou înfăţi-

şarea ⇒ În meniul „Titles”, caseta „Chart

title”, scrieţi „PERIOADA DE OSCILAŢIE A PENDULULUI GRAVITAŢIONAL ÎN FUNCŢIE DE LUNGIMEA FIRULUI DE SUSPENSIE” ⇒ Treceţi la meniul „Gridlines” şi

marcaţi căsuţa „Major gridlines” de sub ti-tlul „Value (X) axis” ⇒ În meniul „Legend”, deselectaţi op-

ţiunea „Show legend” ⇒ În fine, apăsaţi butonul „Finish” ⇒ Fereastra „Chart Options se închide

şi pe foaia Excel apare un grafic

⇒ Pe pagina următoare puteţi vedea înfăţişarea pe care o capătă acum foaia

Excel ⇒ Graficul mai trebuie prelucrat pentru a ajunge la forma finală ⇒ Mai întâi, fixând cursorul mouse-ului pe el îl veţi „trage” într-o porţiune a fo-

ii, în care să nu obtureze tabelele de date ⇒ Apoi, veţi da un dublu click pe suprafaţa sa în porţiunea cenuşie, fără ca vâr-

ful cursorului să atingă nici liniile de marcaj, nici punctele experimentale :

66

⇒ Se va deschide o nouă fereastră : ⇒ Selectaţi opţiunea „None” din zona

„Area” şi apoi apăsaţi butonul „OK”

67

⇒ Daţi un dublu click pe una din liniile de marcaj verticale ⇒ Din nou se deschide o fereastră, în

care alegeţi tab-ul „Scale” :

⇒ Această fereastră vă solicită să

alegeţi valorile extreme pe axa Ox.

Deoarece x = gl are valoarea minimă

egală cu 0,33 şi cea maximă egală 0,55, este bine să înscrieţi în caseta „Minimum” valoarea 0,3, iar în caseta „Maximum” valoarea 0,6 ⇒ Apăsaţi butonul „OK” ⇒ Daţi acum un dublu click pe o linie de marcaj orizontală ⇒ Va apărea o fereastră asemănătoare cu cea anterioară, dar care face referire la

valorile minimă sau maximă ale lui y = T. Daţi valoarea minimă 2 şi cea maximă 3,6, după care apăsaţi din nou butonul „OK” ⇒ Zona graficului se modifică aşa cum este arătat mai jos :

⇒ Urmează să tra-saţi dreapta prin metoda celor mai mici pătrate şi să aflaţi panta ei

68

⇒ Pentru început daţi un click-dreapta pe unul dintre punctele experimentale ⇒ Apare pe ecran

o casetă având şi opţiu-nea „Add Trendline”. Selectaţi-o ! ⇒ Din nou se des-

chide o fereastră, numi-tă Add Trendline” :

⇒ Marcaţi căsuţa „Linear” şi apă-saţi butonul „OK” ⇒ Rezultatul este apariţia pe gra-

fic a unei drepte, care este chiar dreap-ta căutată :

⇒ Pentru a afla panta acestei drepte procedaţi astfel : ⇒ Daţi un click într-un punct oarecare al dreptei ⇒ Se deschide o casetă, în care selectaţi opţiunea „Format Trendline” ⇒ Efectul este deschiderea unei noi ferestre, numită „Format Trendline”

⇒ Selectaţi tab-ul „Options”, iar fereastra va arăta ca în figura alăturată

69

⇒ Selectaţi căsuţa „Display equation on chart”, după care apă-saţi butonul „OK” ⇒ Fereastra se închide, iar în

interiorul graficului apare o căsuţă de text, care, de obicei nu este po-ziţionată convenabil ⇒ De aceea, aşezaţi cursorul

mouse-ului pe ea, apăsaţi butonul stâng şi, ţinându-l apăsat „trageţi” căsuţa de text într-o poziţie conve-nabilă. Puteţi chiar formata textul din căsuţă, schimbând fontul şi mă-

rimea acestuia, înlocuind literele care de la bun început sunt „y” şi „x” prin acelea pe care le doriţi dumneavoastră. De asemenea se poate reduce numărul zecimalelor. Du-pă aceste operaţii, graficul ar trebui să arate aşa :

⇒ Ultima etapă pe care trebuie s-o parcurgeţi este importul graficului în docu-mentul Word ⇒ Pentru aceasta, daţi un click în interiorul suprafeţei graficului ⇒ Veţi observa că el arată ca în figura de mai sus

⇒ Daţi comanda „Copy” ⇒ Redeschideţi documentul Word şi daţi comanda „Lipire” („Paste”) ⇒ Rezultatul va fi următorul :

PERIOADA DE OSCILAŢIE A PENDULULUI GRAVITAŢIONAL ÎN FUNCŢIE DE

LUNGIMEA FIRULUI DE SUSPENSIET = 6,323 x - 0,0652

2,002,202,402,602,803,003,203,403,60

0,30 0,35 0,40 0,45 0,50 0,55 0,60

⇒ Daţi un click pe suprafaţa figurii (în acest mod o selectaţi) şi apoi încadraţi-o

într-un chenar (comanda „Insert Frame”) : ⇒ În acest moment,

graficul poate fi deplasat în orice punct al foii şi poate fi redimensionat.

70

⇒ Redimensionarea se face prin selectarea graficului şi acţiunea asupra celor opt pătrăţele care sunt marcate pe marginile cadrului ⇒ O altă modalitate

de redimensionare este selectarea graficului, ur-mată de deschiderea me-

niului „Format” şi alegerea comenzii „Picture”. Se va deschide o fereastră care vă oferă informaţii despre modul în care puteţi face redimensionarea, precum şi alte ope-raţii.

PERIOADA DE OSCILAŢIE A PENDULULUI GRAVITAŢIONAL ÎN FUNCŢIE DE

LUNGIMEA FIRULUI DE SUSPENSIET = 6,323 x - 0,0652

2,002,202,402,602,803,003,203,403,60

0,30 0,35 0,40 0,45 0,50 0,55 0,60

În mare, cam acestea sunt operaţiunile necesare pentru a face o prezentare de ca-litate a rezultatelor pe care le-aţi obţinut în urma măsurătorilor experimentale. Mai rămâne de discutat un aspect : valoarea pe care am obţinut-o pentru pantă este de

6,323, puţin diferită faţă de cea teoretică : 2π = 6,283. Evident, diferenţa se datorează erorilor experimentale. Eroarea relativă este :

%,%,

,, 6301003236

28363236=⋅

−=ε

Având în vedere că abaterea pătratică medie la determinarea perioadei a avut chiar şi valori de 7%, rezultatul obţinut este neobişnuit de bun pentru condiţiile experimentale menţionate la începutul acestui material. În fine, cum trebuie să arate în cele din urmă modul de prezentare a rezultatelor? Iată un exemplu :

71

72

TEME

Urmăriţi pas cu pas instrucţiunile expuse în exemplul precedent şi încercaţi să obţineţi o pagină de prezentare a datelor, asemănătoare cu cea pe care v-o sugerează acest referat. Nu ar fi neindicat să vă stabiliţi o cale proprie, chiar diferită de aceea pe care am expus-o. Nu uitaţi că Isaac Newton, Albert Einstein şi Niels Bohr nu aveau la dispoziţie decât creio-nul şi hârtia ! Legea Boyle-Mariotte (valabilă pentru transformarea izotermă a unei cantităţi de gaz ideal) are forma pV = const. Încercaţi să verificaţi experi-mental această lege. Variaţi volumul ocupat de gaz cu câte 1 cm3, înce-pând de la 29 cm3 până la 20 cm3. La volumul de 29 cm3, presiunea gazu-lui este egală cu presiunea atmosferică normală : 760 mmHg (760 torr). Măsurarea diferenţei de presiune între gazul examinat şi presiunea atmos-ferică constă în determinarea diferenţei de nivel între mercurul cuprins în două ramuri ale unui tub în formă de U. Diferenţele de nivel înregistrate experimental sunt : 0, 27 mm, 56 mm, 88 mm, 122 mm, 138 mm, 199 mm, 242 mm, 290 mm, 342 mm. Întocmiţi un tabel de date şi verificaţi în ce măsură produsul dintre presiune şi volum este constant. Calculaţi abaterea pătratică medie. Reprezentaţi grafic funcţia p = p(V). Considerând că p es-te o funcţie de o putere necunoscută a lui V, determinaţi această putere. Puteţi folosi în acest scop metoda celor mai mici pătrate. Vom prezenta în continuare un tabel cu date experimentale privind presiunea vaporilor saturanţi ai apei la diverse temperaturi. Tabelul mai cuprinde şi umiditatea absolută a aerului, exprimată în g(apă)/cm3. Se cere să prelucraţi datele oferite în acest tabel. Trebuie să obţineţi graficul presi-unii vaporilor saturanţi în funcţie de temperatură şi graficul umidităţii ab-solute în funcţie de temperatură. De asemenea, trebuie să determinaţi fun-cţiile polinomiale de gradele 1 până la 5 care oferă legile de variaţie ale presiunii vaporilor saturanţi şi umidităţii absolute în funcţie de temperatu-ră. Apreciaţi ce grad are polinomul care exprimă cel mai simplu aceste legi.

Presiunea şi umiditatea absolută a vaporilor de apă saturanţi la diferite temperaturi

Temperatura

(°C) Presiunea

(torr) Umiditatea

absolută (g/m3)

Temperatura (°C)

Presiunea (torr)

Umiditatea absolută (g/m3)

-10 2,05 2,14 13 11,2 11,4 -9 2,13 2,33 14 12,0 12,1 - 8 2,32 2,54 15 12,8 12,8 - 7 2,53 2,76 16 13,6 13,6 - 6 2,76 2,99 17 14,5 14,5 -5 3,01 3,24 18 15,5 15,4 - 4 3,28 3,51 19 16,5 16,3 - 3 3,57 3,81 20 17,5 17,3 - 2 3,68 4,13 21 18,7 18,3 - 1 4,22 4,47 22 19,8 19,4 0 4,58 4,84 23 21,1 20,6 1 4,90 5,2 24 22,4 21,8 2 5,3 5,9 25 23,8 23,0 3 5,7 6,0 26 25,2 24,4 4 6,1 6,4 27 26,7 25,8 5 6,6 6,8 28 28,4 27,2 6 7,0 7,3 29 30,1 28,7 7 7,5 7,8 30 31,82 30,3 8 8,0 8,3 35 42,18 39,6 9 8,6 8,8 40 55,32 51,2

10 9,2 9,4 45 71,88 64,5 11 9,8 10,0 50 92,5 83,0 12 10,5 10,7 55 118,0 104,3

După ce aţi rezolvat problema precedentă, verificaţi care aproximaţie polinomială vă oferă, şi cu ce precizie, presiunea vaporilor saturanţi ai apei la temperatura de 100 °C : 760 torr. Dacă rezultatul nu vă satisface, ce explicaţie puteţi da ? Ştiind că apa fierbe la temperatura la care presiunea vaporilor satu-ranţi egalează presiunea atmosferică şi că presiunea atmosferică variază

după legea RTgh

eppµ

−= 0 , unde p0 = 760 torr, µ = 29 kg/kmol, g = 9,8 m/s2,

R = 8310 J/kmol⋅K şi T = 300 K, iar h este altitudinea faţă de nivelul mă-rii, aflaţi la ce altitudine, fierbând un ou, indiferent de intervalul de timp,

73

74

acesta va rămâne crud ? Temperatura minimă la care trebuie să fiarbă un ou pentru a se întări este de minimum 70°C. Umiditatea relativă este raportul procentual între presiunea parţială a vaporilor de apă la o anumită temperatură şi presiunea vaporilor saturanţi la aceeaşi temperatură. Presiunea parţială se calculează după ecuaţia de stare a gazului perfect RTmpV

µ= , unde m este masa gazului (sau vapori-

lor), iar V este volumul ocupat de tot amestecul de gaze (vapori). Masa molară a aerului este 29 kg/kmol, iar masa molară a apei este 18 kg/kmol. Presupunând că la temperatura de 20°C umiditatea absolută este de 20% şi că amestecul aer-apă este separat de exterior, determinaţi umiditatea abso-lută a amestecului la 40°C. Confortul termic depinde de umiditatea relati-vă (cu cât umiditatea relativă este mai mare, cu atât avem o senzaţie de zăpuşeală mai accentuată). La care dintre cele două temperaturi confortul termic este mai favorabil ?

GR

STUDIUL GOLIRII UNUI REZERVOR CU

LICHID

Metoda Rayleigh Ecuaţia de continuitate Debit Conservarea energiei mecani-ce Legea lui Bernoulli

Studiul scurgerii lichidului dintr-un rezervor. Fenomenul este prezentat din prisma analizei dimensionale, precum şi din prisma unor principii fundamentale ale fizicii. Aplicaţia are la bază un pro-gram de simulare pe calculator, bazat pe soluţiile analitice ale ecuaţiilor rezultate din principiul conservării masei şi prin-cipiul conservării energiei mecanice, neglijând unii factori reali cum ar fi curgerea turbulentă şi manifestarea efectelor de vâscozităţii. De aceea, ar fi recomandabil ca studenţii să încerce studiul amintit în condiţii experimentale reale.

CUVINTE CHEIE

TEMA APLICAŢIEI

SCOPUL APLICAŢIEI

a) verificarea legii curgerii lichidului dintr-un rezervor, în condiţii ideale b) determinarea ariei secţiunii transversale a rezervorului c) determinarea debitului sursei de alimentare astfel încât nivelul lichidului să nu depăşească un anumit nivel de siguranţă

75

DEFINIŢII ŞI FORMULE

Metoda Rayleigh : ⇒ procedură utilizată pentru a găsi formule matematice compatibile cu o lege a

fizicii care depinde de un set dat de mărimi fizice

Ecuaţia de continuitate : ⇒ exprimă conservarea masei de substanţă ⇒ în cazul curgerii unui lichid, forma ei este urmă-

toarea : S1v1 = S2v2, unde S1 şi S2 sunt ariile secţiunilor transversale ale jetului de lichid, iar v1 şi v2 sunt vitezele de curgere a lichidului în punctele corespunzătoare ce-lor două secţiuni ⇒ produsul Sv este egal cu debitul volumic al li-

chidului D

v2S2

v1S1

Debit : ⇒ debitul poate fi de două tipuri : masic sau volumic ⇒ debitul masic Dm reprezintă masa de lichid care trece în unitatea de timp prin

secţiunea transversală a unui jet de lichid ⇒ debitul volumic D reprezintă volumul de lichid care trece în unitatea de timp

prin secţiunea transversală a unui jet de lichid ⇒ notând densitatea lichidului cu ρ, relaţia între debitul masic şi debitul volumic

este : Dm = ρD

Conservarea energiei mecanice : ⇒ este o lege generală a fizicii care se aplică sistemelor fizice izolate de exterior,

în interiorul cărora nu acţionează forţe neconservative (de exemplu, forţe de frecare) ⇒ aplicând legea conservării energiei mecanice în cazul curgerii laminare (fără

vârtejuri) a unui lichid se obţine legea lui Bernoulli :

constghvp =ρ+ρ

+2

2

unde p este presiunea statică, ρ este densitatea lichidului, v este viteza de curgere a lichidului, h este înălţimea măsurată în raport cu un nivel de referinţă, iar g este acce-leraţia gravitaţională. Termenul se numeşte presiune dinamică, iar termenul ρgh se numeşte presiune de poziţie.

22 /vρ

76

ASPECTE TEORETICE

GOLIREA REZERVORULUI Considerăm un rezervor cilin-dric care conţine o cantitate de lichid. Aria transversală a rezervorului este S. Lichidul se poate scurge printr-un ori-ficiu de secţiune s, aflat la baza rezer-vorului. Iniţial, înălţimea lichidului din rezervor este h0. După un timp t de la începutul scurgerii, înălţimea lichidului din rezervor devine h. Dorim să determinăm legea care stabileşte modul în care înălţimea h va-riază în funcţie de timpul t. În lipsa oricăror alte informaţii, putem recurge la metoda Rayleigh. În acest scop, va

trebui mai întâi să stabilim lista mărimilor fizice implicate în procesul de curgere a lichidului. Evident, mărimi implicate sunt : h, h0, t, S şi s. La acestea trebuie adăugată acceleraţia gravitaţională g deoarece curgerea se face sub influenţa gravitaţiei şi, eventual, densitatea lichidului ρ. Vom mai face ipoteza că procesul de scurgere se desfăşoară în condiţii ideale : frecările sunt neglijabile, curgerea este laminară, etc. Legea pe care o căutăm va fi de forma :

u

v

dV

s

dVS S

h - dhh

( )ρ= ,g,s,S,t,hfh 0 Conform condiţiei de omogenitate dimensională, rezultă :

[ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ]qvwzyx gsSthh ρ⋅⋅⋅⋅⋅= 0 Înlocuind cu formulele dimensionale, rezultă :

( ) ( )qvwzyx MLLTLLTLL 3222 −− ⋅⋅⋅⋅⋅= sau :

qvyqvwzx MTLMTL ⋅⋅=⋅⋅ −−+++ 2322001 Rezultă sistemul de ecuaţii

⎪⎩

⎪⎨

⎧

==−

=−+++

002

1322

qvy

qvwzx

Soluţiile sale sunt :

77

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

−−−=

=

=

2221

2

0

ywzx

yv

q

Conform ipotezei lui Rayleigh, rezultă :

22221

0

ywzy

ywzgsStKhh

−−−=

sau : wzy

hs

hS

hgtKhh ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛= 2

0200

0

Pe lângă factorul adimensional K există trei parametri (y, z, w) cu valori nedeterminate. Consecinţa este aceea că există un număr infinit de combinaţii, fieca-re dintre ele corespunzând unei valori aparţinând unuia dintre cei trei parametri. Este momentul să recurgem la considerente de natură fizică pentru a găsi valo-rile corecte ale parametrilor necunoscuţi. Există două legi generale pe care le putem aplica : ⇒ conservarea masei de lichid ⇒ conservarea energiei mecanice

Din prima condiţie decurge ecuaţia de continuitate : suSv =

(u este viteza de curgere în dreptul orificiului de secţiune s, iar v este viteza de curge-re la suprafaţa lichidului din rezervor). Pentru a aplica a doua condiţie de natură fizică, vom considera un interval de timp foarte scurt dt. În acest interval de timp, o cantitate de lichid dV trece prin orifi-ciu, rezultatul fiind scăderea nivelului de lichid din rezervor cu dh (vezi şi figura). Deoarece am făcut ipoteza că procesul de curgere este ideal, rezultă că energia meca-nică se conservă. Deci, energia mecanică a stratului de lichid de volum dV de la su-prafaţă la începutul intervalului de timp dt trebuie să fie egală cu energia mecanică a jetului de volum dV format la baza rezervorului la sfârşitul intervalului de timp dt :

22

22 udmghdmvdm=+

(termenul dm gh reprezintă energia potenţială gravitaţională faţă de nivelul de referin-ţă care corespunde bazei rezervorului, iar termenii care conţin pătratul vitezei repre-zintă valorile energiei cinetice). Rezultă :

22 2 ughv =+ Eliminând viteza u a jetului cu ajutorul ecuaţiei de continuitate, obţinem :

78

ghsSv 21

22 =

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

Notând S/s cu σ şi derivând în raport cu timpul, rezultă :

( ) ( ) ( )1

212212 222

−σ−=⇒−=−σ⇒=−σ

gavgvadtdhg

dtdvv

(dh/dt = -v rezultă din aceea că dh este negativ (nivelul lichidului descreşte) iar viteza de curgere îndreptată în jos este considerată pozitivă; faptul că acceleraţia este nega-tivă indică faptul că orientarea ei este inversă în raport cu orientarea acceleraţiei gra-vitaţionale sau cu orientarea vitezei de curgere, ceea ce arată că viteza de scurgere li-chidului se micşorează în timp). Rezultatul obţinut arată că acceleraţia este con-stantă, ceea ce înseamnă că înălţimea lichidului din rezervor descreşte după o lege corespunzătoare mişcării uniform variate :

2

2

00ta

tvhh +−=

Această relaţie indică faptul că exponentul y din formula obţinută folosind metoda Rayleigh poate lua doar trei valori : 0, 1 şi 2. Să discutăm aceste cazuri pe rând. Cazul y = 0 Avem :

00

20

20

00

wz

hs

hShKh ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

Parametrii z0 şi w0 pot lua încă valori arbitrare. De aceea, luând în consideraţie toate valorile posibile ale acestor parametri, putem scrie :

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛= 2

020

00 hs,

hSFhh

unde funcţia ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛20

20

0 hs,

hSF este necunoscută. Dar, aşa cum rezultă din ecuaţia determi-

nată din considerente fizice, termenul care nu depinde de timp trebuie să fie constant şi egal cu h0. Aceasta impune ca funcţia F0 să fie constantă şi egală cu 1. Cazul y = 2 Avem :

220

20

2

22

gths

hSKh

wz

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

Parametrii z2 şi w2 pot lua încă valori arbitrare. De aceea, luând în consideraţie toate valorile posibile ale acestor parametri, putem scrie :

79

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛= 2

020

22

hs,

hSFgth

unde funcţia ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛20

20

2 hs,

hSF este necunoscută. Dar, aşa cum rezultă din ecuaţia determi-

nată din considerente fizice, termenul care depinde de pătratul timpului trebuie să fie

proporţional cu o constantă care este : ( )122 2 −σ=

ga. Aceasta impune ca funcţia F2 să

fie constantă şi egală cu ( )1212 −σ

.

Cazul y = 1 Avem :

tghhs

hSKh

wz

020

20

1

11

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

Parametrii z1 şi w1 pot lua încă valori arbitrare. De aceea, luând în consideraţie toate valorile posibile ale acestor parametri, putem scrie :

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛= 2

020

10 hs,

hSFtghh

unde funcţia ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛20

20

1 hs,

hSF este necunoscută. Dar, aşa cum rezultă din ecuaţia determi-

nată din considerente fizice, termenul direct proporţional cu timpul trebuie să fie pro-porţional cu viteza iniţială de curgere : v0. Folosind ecuaţia lui Galilei, şi deoarece la sfârşitul timpului de scurgere viteza de scurgere se anulează, obţinem :

12220 2

0000

20 −σ

==⇒−=ghhavhav

Concluzia este aceea că funcţia F1 este egală cu : 1

22 −σ

− .

În final, concluzia acestei analize este aceea că ecuaţia nivelului lichidului este:

( )1212

2

2

20

0 −σ+

−σ−=

gttghhh

Experimental, va trebui să determinăm validitatea acestei legi şi să calculăm aria sec-ţiunii rezervorului, cunoscând aria orificiului de scurgere.

80

UMPLEREA REZERVORULUI

h

D S

s

Considerăm acelaşi rezervor, prevăzut cu orificiu de scurgere, alimentat permanent cu lichid de o sursă cu debitul volumic D. În cazul ideal, considerentele fizice de care trebu-ie ţinut seamă sunt aceleaşi : ⇒ conservarea masei de lichid ⇒ conservarea energiei mecanice

Condiţia de conservare a masei conduce la ecuaţia de continuitate :

suDSv −= Condiţia de conservare a energiei mecanice se exprimă

prin relaţia : 2u2 2ghv =+

Eliminând viteza u între cele două relaţii, obţinem ecuaţia :

02212

2 =−⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+−

⎥⎥⎦

⎤gh

sDv

sSD2

2

⎢⎢⎣

⎡−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

sSv

Există două posibilităţi : fie debitul este suficient de mare astfel încât nivelul lichidu-lui să depăşească înălţimea rezervorului, fie debitul are o asemenea valoare încât, în timp, nivelul lichidului se stabilizează la o anumită cotă. În al doilea caz, viteza lichi-dului din rezervor, la suprafaţa sa, se anulează (h = const ⇒ v = 0). Din ecuaţia ante-rioară obţinem înălţimea maximă pe care o poate atinge lichidul :

2

2

2gsDhmax =

Experimental, se poate verifica validitatea acestei relaţii. NOTĂ Se poate determina analitic, în condiţiile amintite, relaţia între înălţimea mo-mentană a lichidului din rezervor şi timp. Expresia este :

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−+−

−

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−+−

=1212

2

2

2

2

2

2

22

1

121sS

Dsgh

Ss

DStgs

e

sS

sS

Dsgh

sS

e

După cum se poate remarca, înălţimea se află într-o relaţie destul de complicată cu timpul. Examinând expresia, putem totuşi remarca faptul că, matematic vorbind, înăl-ţimea limită (maximă) nu se atinge decât după un timp infinit de lung. Din punct de vedere practic, timpul de umplere este finit, valoarea sa depinzând de gradul de preci-zie cu care putem măsura înălţimea lichidului din rezervor.

81

MATERIALE ŞI APARATE

Programul „GOLREZ” Tehnică de calcul necesară prelucrării rezultatelor

5

4

3

2

1

EXPLICAŢII : (1) control de incrementare-decrementare a suprafeţei orificiului de scurgere, (2) indicator de nivel, (3) slider pentru modificarea debitului de alimentare cu lichid, (4) tabel de date care se completează efectuând un click pe indicatorul de nivel, (5) mâţă care studiază fenomenul.

82

MOD DE LUCRU

Se deschide programul „GOLREZ”.

Se fixează valoarea 1 (cm2) cu ajutorul controlului (1). Se foloseşte sliderul (3) pentru a stabili debitul. Se recomandă ca debitul să fie mare, astfel încât rezervorul să se umple repede. Se apasă butonul „Umplere” şi se urmăreşte creşterea nivelului lichidului până la limita superioară a cotei 48 de pe indicatorul de nivel (2). În momentul în care s-a atins această înălţime se apasă butonul „Stop”. Se apasă butonul „Golire” Se urmăreşte nivelul lichidului. Când acesta trece prin dreptul limitei superioare al unei cote de pe indicatorul de nivel se dă un click pe cota respectivă. Tabelul de date (4) se va completa automat cu valoarea nivelului lichidului şi cu momentul de timp corespunzător. După completarea tabelului, se notează datele într-o foaie „Excel” Se apasă butonul „Reiniţializare”, după care se reiau procedurile până la comple-tarea tabelului „DATE EXPERIMENTALE ALE CURGERII” Cu ajutorul programului „Excel” se fitează datele, corespunzător unei funcţii po-linomiale de gradul al doilea. În total, în urma fitării, trebuie obţinute 10 ecuaţii (câte una pentru fiecare suprafaţă a orificiului de scurgere × 2 înălţimi iniţiale). Aceste ecuaţii se trec în tabelul „LEGEA CURGERII” Se verifică dacă media termenilor care nu depind de timp este comparabilă cu înălţimea iniţială Se verifică dacă coeficienţii termenului în t2 au valori comparabile pentru valori egale ale ariei orificiului de scurgere şi se face media lor pentru fiecare valoare a ariei orificiului de scurgere

Ştiind că valoarea coeficientului lui t2 este gCsS

sS

gC 2112 2

2+=⇒

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

= , se

calculează S cu ajutorul celor cinci valori medii calculate anterior (g = 981 cm/s2). În final se calculează valoarea medie a lui S şi se trece în rubrica corespunzătoare pe pagina „PRELUCRAREA DATELOR”.

FACULTATIV : se verifică relaţia 2

2

2gsDhmax = alegând o valoare predeterminată

a înălţimii maxime şi calculând debitul corespunzător, după care cu sliderul (3) se fixează această valoare a debitului şi se urmăreşte umplerea rezervorului.

83

PRELUCRAREA DATELOR

DATE EXPERIMENTALE ALE CURGERII Înălţime iniţială h0 (cm) Înălţime iniţială h0 (cm)

56 76 Aria orificiului de scurgere s (cm2) Aria orificiului de scurgere s (cm2) 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5

NC

h (cm)

t (s)

h (cm)

t (s)

h (cm)

t (s)

h (cm)

t (s)

h (cm)

t (s)

h (cm)

t (s)

h (cm)

t (s)

h (cm)

t (s)

h (cm)

t (s)

h (cm)

t (s)

1 2 3 4 5 6 7 8 9

10

ECUAŢIA CURGERII 1 2 3 4

h0(cm)

56 s (cm2)

5 1 2 3 4

h0(cm) 76 s

(cm2)

6

Aria secţiunii transversale a rezervorului

S = …….. cm2

STUDENŢI 1) 2) 3) 4) 5) SEMNĂTURA CADRULUI DIDACTIC

84

FL

ETALONAREA UNUI GENERATOR DE

OSCILAŢII ELECTRICE

UTILIZÂND METODA FIGURILOR LISSAJOUS

generator de oscilaţii electri-ce etalonare osciloscop sumarea oscilaţiilor perpen-diculare figuri Lissajous metoda celor mai mici pătra-te

În montajele electronice, este uneori necesar să verificăm frecvenţa semnalu-lui electric furnizat de un circuit osci-lant. Alteori, se poate întâmpla ca gene-ratorul de curent alternativ de frecvenţă variabilă pe care îl folosim să nu furni-zeze un semnal de frecvenţă egală cu aceea indicată de afişajul aparatului. De aceea, este necesar să măsurăm aceste frecvenţe, prin comparare cu frecvenţa unui generator etalon. O metodă practi-că de realizare a acestei comparaţii vă este prezentată în lucrarea de faţă.

CUVINTE CHEIE

TEMA APLICAŢIEI

SCOPUL APLICAŢIEI

Etalonarea scalei de măsură a frecvenţei aparţinând unui generator de oscilaţii electrice, utilizând un generator etalon.

85

DEFINIŢII ŞI FORMULE

INFORMAŢIE SUPLIMENTARĂ Într-un circuit electric închis, format dintr-un condensator şi o bobină tensiunea autoindusă în bobină este egală cu tensiunea la

bornele condensatorului : Cq

dtdiL =− (unde i este intensitatea cu-

rentului, iar q este sarcina acumulată pe condensator).

Intensitatea curentului electric este egală cu viteza de variaţie a sarcinii : dtdqi ,

astfel încât :

=

qdt

qddtdi

&&== 2

2

. Ecuaţia tensiunii devine :

001 20 =ω+⇔=+ qqq

LCq &&&&

Această ecuaţie este similară cu aceea a oscilatorului armonic şi are soluţia : ( ) ( )000000 ϕ+ω=⇔ϕ+ω= tcosiitsinqq

Generatorul de oscilaţii electrice : ⇒ este un aparat de laborator desti-nat obţinerii unor curenţi electrici alter-nativi, cu frecvenţă reglabilă, cuprinsă într-un interval larg de valori

UL' L C sursa

de energie

cuplaj inductiv

tensiune de ieşire

⇒ funcţionarea sa se bazează pe în-treţinerea şi amplificarea curentului electric dintr-un circuit oscilant ⇒ circuitul oscilant este format dintr-un condensator şi o bobină, legate în paralel la o sursă de curent electric care asigură energia necesară întreţinerii oscilaţiei ⇒ frecvenţa proprie a circuitului os-cilant :

νπ0

12

=LC

(unde L este inductanţa bobinei şi C capacitatea condensatorului) şi poate fi modifica-tă prin schimbarea capacităţii condensatorului variabil C

86

⇒ condensatorul variabil C poate fi construit din două sau mai multe plăci me-talice semicirculare, alternativ capabile să fie rotite în jurul centrului lor sau fixe ⇒ în funcţie de unghiul de rotaţie al plăcilor mobile, suprafaţa pe care plăcile se suprapun variază. Capacitatea sistemu-lui de plăci este proporţională cu suprafaţa comună, astfel încât există o relaţie de le-

gătură între capacitate şi unghiul de rotaţie

plăci semicirculare

indicator

cadran

⇒ deoarece frecvenţa proprie depinde de valoarea capacităţii, rezultă că ea este în cele din urmă o funcţie de unghiul de rotaţie al plăcilor şi ar putea fi măsurată prin vizualizarea acestuia cu ajutorul unui indicator pe un cadran circular

Etalonarea semnifică în cazul nostru stabilirea unei corespondenţe între frec-venţa curentului alternativ furnizat de oscilator şi unghiul de rotaţie al plăcilor condensatorului, aşa cum este el indicat pe cadran.

Osciloscopul : ⇒ este un aparat electronic de labora-tor, destinat vizualizării unor caracteristici ale curenţilor electrici variabili, cum ar fi intensitatea sau frecvenţa

xy +

sursa deelectroni

plăci de deflexie

-

ecran

⇒ funcţionarea osciloscopului se ba-zează pe devierea unui fascicol paralel de electroni (emis de catodul tubului catodic al osciloscopului) în zona de suprapunere a două câmpuri electrice (sau magnetice) cu linii de câmp perpendiculare atât între ele, cât şi faţă de direcţia fascicolului de elec-troni

⇒ dacă tensiunea electrică variabilă de măsurat (Uy) se aplică plăcilor de deflexie verticale atunci fascicolul de electroni este deviat în direcţie verticală, proporţional cu valoarea acestei tensiuni ⇒ analog, aplicarea unei tensiuni plăcilor de deflexie orizontale determină devie-rea orizontală a fascicolului de electroni ⇒ la capătul drumului său fascicolul de electroni cade pe un ecran fluorescent, ceea ce are ca rezultat apariţia în locul de impact a unui punct luminos, numit spot ⇒ dacă spotul se deplasează suficient de rapid, mişcarea sa nu poate fi urmărită cu ochiul şi se creează impresia că pe ecran există o linie luminoasă care evidenţiază tra-iectoria spotului

87

Adunarea (sau compunerea) oscilaţiilor perpendiculare are loc atunci când un punct material participă simultan la două mişcări oscilatorii pe direcţii per-pendiculare.

Figurile Lissajous : ⇒ reprezintă traiectoriile urmate de corpurile care oscilează simultan după două direcţii perpendiculare ⇒ ele sunt curbe închise atunci când raportul celor două frecvenţe de oscilaţie este un număr raţional (adică raportul a două numere întregi) ⇒ o figură Lissajous se înscrie într-un dreptunghi de bază 2Ax şi înălţime 2Ay, unde Ax şi Ay reprezintă amplitudi-nile oscilaţiei orizontale, respectiv celei verticale

⇒ dacă se notează cu nx numărul punctelor de tangenţă ale unei figuri Lissajous închise cu latura orizontală a dreptunghiului circumscris şi cu ny numărul punctelor de tangenţă cu latura verticală, atunci este valabilă relaţia:

νν

x

y

y

x

nn

=

unde νx şi νy sunt frecvenţele celor două oscilaţii.

Metoda celor mai mici pătrate: este utilizată pentru a construi funcţia y(x) = Ax + B care aproximează cel mai bine pe-rechile de date experimentale (x1, y1), (x2, y2),…, (xn, yn) dreapta y(x) se trasează astfel încât suma pătratelor distanţelor de la fiecare punct ex-perimental la această dreaptă să fie minimă. se poate demonstra că valorile coeficienţi-lor A şi B se calculează cu relaţiile:

xAyB;xx

yxxyA −=

−

−= 22

xx

ny

y

nx

x

nxy

x y

n

ii

n

ii

n

ii

n

i ii

n

= = = == = =∑ ∑ ∑

1 1 2

2

1 1 ; ; ; =∑

88

89

PRINCIPIUL METODEI

Dacă poate fi examinată traiectoria unui punct material care participă simultan la două mişcări oscilatorii pe direcţii perpendiculare, atunci este posibilă determinarea raportului frecvenţelor de oscilaţie. Cunoscând una dintre frecvenţe, cealaltă poate fi determinată prin calcul.

Pentru a măsura pe această cale frecvenţa unei surse de curent electric alternativ, este suficient să aplicăm tensiunea dată de sursă plăcilor de deflexie verticală ale tu-bului catodic al unui osciloscop electronic, provocând astfel oscilaţia verticală a fas-cicolului de electroni. De asemenea este necesar ca pe plăcile de deflexie orizontală să se aplice tensiunea alternativă generată de o sursă-etalon, determinând în acest mod şi oscilaţia orizontală a fascicolului electronic. Consecinţa este că punctele de impact ale fascicolului de electroni cu ecranul tubului catodic vor forma o figură Lissajous. Cunoscând frecvenţa sursei-etalon şi examinând figura Lissajous, astfel încât să determinăm raportul frecvenţelor de oscilaţie, vom afla frecvenţa sursei de etalonat cu relaţia :

ν νyx

yx

nn

=

De exemplu, pentru figura prezentată în cuprinsul referatului lucrării practice se obţi-ne :

ν νy x=32

Frecvenţa astfel calculată, considerată ca frecvenţa reală a curentului furnizat de sursa de etalonat, se compară cu frecvenţa citită pe cadranul acestei surse, a cărei valoare ν'y se presupune a fi eronată.

Scopul operaţiunii de etalonare este acela de a atribui o valoare corectă fiecărei diviziuni de pe cadranul sursei de etalonat. Deoarece sur-sa de curent electric alternativ cercetată a mai fost etalonată în momentul construcţiei, este de aşteptat ca abaterile de la valorile măsurate ale frecvenţei la valorile citite pe cadran să fie mici, iar frecvenţa reală să fie o funcţie practic liniară de frecvenţa citită. În aceste condiţii operaţiunea de etalonare se reduce la aceea de a trasa grafic dreapta corespunzătoare.

νy (Hz) (frecvenţa reală)

ν'y (Hz)(frecvenţa indicată de scala aparatului)

Deoarece orice determinare experimentală comportă erori de măsurare sau de altă natură, este previzibil că punctele experimentale nu se vor aşeza cu precizie de-a lungul unei drepte. De aceea, pentru a trasa dreapta va trebui utilizată metoda celor mai mici pătrate.

90

MATERIALE ŞI APARATE

generator de curent electric alternativ sursă-etalon de curent electric alternativ

osciloscop electronic conductoare electrice de conexiune

SCHIŢA DISPOZITIVULUI EXPERIMENTAL

2

10

9

7 8

11 126

3

4

5

1

EXPLICAŢII : (1) generator-etalon, (2) generator care trebuie etalonat, (3) osci-loscop, (4) şi (7) disc cu scala de măsură a frecvenţei, (6) şi (12) butoane pentru re-glajul fin al frecvenţei, (5) şi (8) potenţiometre pentru reglarea valorii tensiunii de ie-şire, (9) ecranul osciloscopului, (10) buton de reglare pe orizontală a poziţiei spotului, (11) buton de reglare pe verticală a poziţiei spotului.

91

MOD DE LUCRU

se branşează sursa etalon (1), generatorul de etalonat (2) şi osciloscopul electro-nic (3) la reţeaua electrică şi se pun în funcţiune

se verifică dacă sursa etalon este conectată la intrarea Ox a osciloscopului, iar generatorul de etalonat la intrarea Oy

se reglează dimensiunile figurii Lissajous de pe ecranul osciloscopului cu ajuto-rul potenţiometrelor (5) şi (8) şi se centrează figura rotind butoanele (10) şi (11) ale osciloscopului

se fixează de la butonul (6) frecvenţa sursei etalon, indicată de cadranul (4), la prima valoare notată în tabelul de rezultate

se reglează cu butonul (12) frecvenţa generatorului de etalonat până la formarea figurii Lissajous având caracteristicile din tabelul de rezultate

se citeşte frecvenţa sursei de etalonat pe cadranul (7) şi i se notează valoarea în tabelul de rezultate se repetă determinările până la completarea coloanei ν'y a acestui tabel se calculează mediile :

νν

ν νν ν

''

''

y

yi

y y

y yi

i i

= == =∑ ∑

1

10

1

10

10 10 ;

i

se calculează panta A cu relaţia :

A y y y=−ν ν ν' '440

64900

se calculează valoarea coordonatei punctului de intersecţie al graficului cu axa Oy, utilizând relaţia :

B A y= −440 ν'

se face reprezentarea grafică a relaţiei νy = Aν'y + B, trecându-se în acelaşi grafic şi poziţiile punctelor experimentale

operaţiunile relatate în caseta de mai sus se pot face mai uşor prelucrând datele în modul prezentat în lucrarea „Prelucrarea datelor experimentale”

92

PRELUCRAREA DATELOR

ETALONAREA UNUI GENERATOR DE OSCILAŢII ELECTRICE UTILIZÂND

METODA FIFURILOR LISSAJOS nr. crt. νx

(Hz) nx ny νy

(Hz) ν'y

(Hz) 1 1 3 100

REZULTATE

FINALE

νy = Aν'y + B

B

A

νy = .........ν'y + ..........

2 1 2 150 3 300 1 1 300 4 2 3 200 5 3 2 450 6 1 1 600 7 3 2 900 8 600 4 3 800 9 2 3 400 10 5 6 500

STUDENŢI

8

6

4

2

νy (102Hz)

0 2 4 6 8 10 ν'y (102Hz)

GRAFICUL FRECVENŢEI REALE ÎN FUNCŢIE DE FRECVENŢA MĂSURATĂ

1) 2) 3) 4)

SEMNĂTURA CADRULUI DIDACTIC

TK

DETERMINAREA VITEZEI DE

PROPAGARE A SUNETELOR PRIN AER UTILIZÂND TUBUL KÖNIG

unde acustice, sunete lungimea de undă fenomenul de interferenţă osciloscop tubul König generator de curent electric alternativ de frecvenţă reglabi-lă

metoda celor mai mici pătra-te

cască telefonică, microfon

Viteza sunetului într-un gaz depinde de temperatura, exponentul adiabatic şi masa molară ale gazului după relaţia :

µγ

=RTc

Aceasta este o formulă teoretică, iar măsurarea vitezei sunetului se poate fa-ce prin diverse alte metode care fac apel la fenomenele întâlnite în cursul propa-gării undelor sonore. Unul dintre aces-tea este interferenţa. Dispozitivul reali-zat de König utilizează interferenţa şi permite determinarea valorii vitezei su-netului, prin simple măsurători de lun-gime şi intensitate a sunetului.

CUVINTE CHEIE

TEMA APLICAŢIEI

SCOPUL APLICAŢIEI

Determinarea experimentală a vitezei de propagare a su-netelor în aer.

93

DEFINIŢII ŞI FORMULE

94

Undele acustice : ⇒ sunt unde mecanice longitudinale ⇒ se pot propaga prin medii solide, lichide sau gazoase ⇒ reprezintă un fenomen de transfer de energie, fără transport de substanţă ⇒ se propagă cu viteză constantă în mediile omogene şi izotrope

Sunetele sunt unde mecanice, longitudinale, cu frecvenţa cuprinsă între 16 şi 16000 Hz

Lungimea de undă (λ) reprezintă distanţa pe care se propagă unda în timp de o

perioadă :

λν

= ⋅ =c T c

unde : c = viteza de propagare a undei (numită şi viteză de fază) T = perioada de oscilaţie a undei ν = frecvenţa undei

Fenomenul de interferenţă : ⇒ este un fenomen specific propagării undelor ⇒ reprezintă rezultatul compunerii în aceeaşi regiune din spaţiu a două sau mai multe unde coerente (adică unde având aceeaşi frecvenţă de oscilaţie şi diferenţă de fază constantă în timp) ⇒ se manifestă printr-o redistribuire spaţială a energiei undelor care se compun, caracterizată de prezenţa maximelor şi minimelor de interferenţă ⇒ condiţia de apariţie a maximelor de interferenţă este ca diferenţa de drum între undele care se compun să fie egală cu un număr întreg de lungimi de undă, iar condi-ţia de apariţie a minimelor de interferenţă este ca diferenţa de drum să fie egală cu un număr semiîntreg de lungimi de undă ⇒ poate fi obţinut pe cale experimentală doar prin împărţirea unei unde sonore iniţiale în două unde secundare separate care parcurg drumuri diferite până în regiu-nea în care se întâlnesc din nou

Osciloscopul este un aparat electronic complex, utilizat în această lucrare pentru vizualizarea amplitudinii tensiunii electrice aplicate la bornele sale

Tubul König este un dispozitiv format din două tuburi îndoite în formă de U, ale căror capete coincid. El permite, la un capăt, divizarea unei unde sonore în alte două unde şi reunirea lor la celălalt capăt. Unul dintre tuburi se poate alungi, permiţând ca undele sonore să parcurgă drumuri de lungime diferită.

Generatorul de curent electric alternativ de frecvenţă reglabilă :

⇒ are ca element constructiv principal un circuit de curent electric oscilant, for-mat dintr-o bobină şi un condensator variabil ⇒ oscilaţiile electrice generate de circuitul oscilant sunt amplificate şi determină prezenţa unei tensiuni electrice alternative la bornele de ieşire ale aparatului ⇒ valoarea frecvenţei poate fi reglată modificând capacitatea condensatorului va-riabil din circuitul oscilant

Casca telefonică :

95

⇒ este un traductor curent electric-sunet, adică un dis-pozitiv care transformă un curent electric variabil în sunet ⇒ principiul ei de funcţionare se bazează pe un elec-tromagnet şi o membrană metalică ⇒ curentul electric variabil determină în miezul elec-tromagnetului un câmp magnetic variabil, care, la rândul

său provoacă acţiunea unor forţe variabile asupra membranei, care o aduc în stare de oscilaţie mecanică

membrană

⇒ oscilaţiile mecanice ale membranei generează sunetul

Microfonul : ⇒ este un traductor sunet-curent electric, adică un dispozitiv care transformă su-netul în curent electric variabil ⇒ principiul său de funcţionare este asemănător cu cel al căştii telefonice, cu deo-sebirea că de această dată vibraţiile membranei sunt cele care determină apariţia cu-rentului electric variabil în înfăşurarea electromagnetului

Metoda celor mai mici pătrate : ⇒ este utilizată pentru a construi dreapta y(x) = Ax + B care aproximează cel mai bine perechile de date experimentale (x1, y1), (x2, y2),…, (xn, yn). Se arată că :

xAyB;xx

yxxyA −=

−

−= 22

xx

ny

y

nx

x

nxy

x y

n

ii

n

ii

n

ii

n

i ii

n

= = = == = =∑ ∑ ∑

1 1 2

2

1 1 ; ; ; =∑

PRINCIPIUL METODEI

po

direun

Fă

sa

De

re

cu toni

96

Să considerăm o sursă S de sunet de frecvenţă constantă. Sunetele plecate din S t urma drumurile SAI şi SBI, reunindu-se în punctul I, unde interferă.

Să presupunem că în punctul I se produce un minim de interfe-renţă. În acest caz diferenţa de drum între undele care interferă este un număr semiîntreg de lun-gimi de undă :

l3

l2

l1

I

C

A

S

l3

l2

l1

B

( ) Z∈λ

+=− kkll ; 2

1222 12

Deplasând punctul de reflexie B în poziţia C, rezultatul interferenţei

n I se modifică. Să presupunem că poziţia lui C corespunde altui minim de interfe-nţă (primul care se poate obţine în timpul deplasării BC). În acest caz k creşte cu o itate :

( )( )[ ]2 2 2 1 123 1l l k− = + +λ

când diferenţa dintre cele două relaţii, obţinem : 2 23 2l l− = λ

u : ( )λ = −2 3 2l l

oarece :

λν

=c

zultă posibilitatea de a determina viteza de fază după relaţia : ( )c l l= −2 3 2ν

condiţia de a cunoaşte frecvenţa sunetului şi diferenţa de drum (l3 - l1).

În practică, putem obţine un sunet de frecvenţă dată (numit şi sunet pur) cu aju-rul unui generator de curent alternativ de frecvenţă reglabilă şi al unei căşti telefo-ce, care transformă în sunet curentul alternativ furnizat de generator.

Două tuburi îndoite în formă de U conduc sunetul furnizat de casca (C) pe două căi de la sursă la punctul de interferenţă, aflat în dreptul unui microfon (M). Tubul su-perior este mobil, iar deplasa-rea sa poate fi măsurată cu aju-torul unei rigle gradate R. Acest dispozitiv, care permite măsurarea diferenţei de drum dintre două sunete coerente

care provin de la aceeaşi sursă, se numeşte tub König. Microfonul îngăduie transformarea sunetului obţinut prin interferenţă într-un semnal electric, a cărui am-plitudine este direct proporţională cu tăria sunetului. Semnalul electric obţinut poate fi analizat cu ajutorul unui osciloscop, iar amplitudinea sa este vizualizată ca înălţime a liniei luminoase care apare pe ecranul osciloscopului.

(B)

(A)

(I)

(S)

M

C

R

Deoarece lungimea deplasării între poziţiile tubului superior care corespund minimelor succesive de interferenţă este dată de relaţia :

l l c3 2 2

1− = ⋅

ν

rezultă că aceasta este o funcţie lineară de inversul frecvenţei. Găsind prin măsurare mai multe perechi experimentale (l3 - l2, 1/ν) şi determinând funcţia lineară corespun-zătoare (l3 – l2 = A⋅1/ν + B)prin utilizarea metodei celor mai mici pătrate, putem de-termina viteza de fază a sunetului ca fiind dublul pantei funcţiei lineare (c = 2A). Trebuie făcut şi un comentariu în privinţa preciziei cu care se face această de-terminare. Frecvenţele ν se pot măsura cu precizie destul de mare dacă generatorul de curent alternativ este corespunzător. În laborator, această precizie este, teoretic, de 0,1%. Distanţele l3 şi l2 se pot măsura pe riglă cu precizie de 1 mm. La o frecvenţă a sunetului de 2000 Hz, diferenţa l3 – l2 ar trebui să fie de aproximativ 8,5 cm. Eroarea relativă făcută la o asemenea determinare este :

%,lll 42

mm85mm22

23≅=

−δ

=ε

ceea ce înseamnă pentru măsurarea vitezei sunetului c o eroare de aproape 5%. Eroa-rea este amplificată de dificultatea de a observa pe ecranul osciloscopului momentul exact în care înălţimea liniei luminoase este minimă sau maximă, ceea ce are drept consecinţă o eroare de măsurare a diferenţei l3 – l2 mai mare decât aceea asigurată de riglă. De aceea măsurătorile trebuie făcute cu o atenţie deosebită !

97

MATERIALE ŞI APARATE

generator de curent electric alternativ tub König

cască telefonică, microfon osciloscop electronic

conductoare de conexiune

3

12

42

Oy 11

10 9

8

7 6

5

1

SCHIŢA DISPOZITIVULUI EXPERIMENTAL

EXPLICAŢII : (1) ramura fixă a tubului König, (2) ramura mobilă a tubului König, (3) riglă, (4) cască telefonică, (5) microfon, (6) firele de conexiune la generatorul de curent alternativ, (7) generatorul de curent alternativ, (8) afişajul generatorului, (9) potenţiometru pentru reglarea frecvenţei, (10) fire de conexiune la osciloscop, (11) osciloscop, (12) ecranul osciloscopului şi linia luminoasă care trebuie observată. NOTĂ : este posibil ca frecvenţa tensiunii de la bornele generatorului de curent alter-nativ să fie măsurată cu un frecvenţmetru. În acest caz, valoarea frecvenţei se citeşte pe afişajul frecvenţmetrului şi nu pe acela al generatorului.

98

99

MOD DE LUCRU

se verifică dacă casca telefonică este racordată la generatorul de curent alternativ şi microfonul la bornele Oy ale osciloscopului

se alimentează de la reţeaua electrică şi se pun în funcţiune generatorul de curent alternativ şi osciloscopul, iar dacă este necesar şi frecvenţmetrul

se stabileşte frecvenţa generatorului la valoarea ν = 1000 Hz

pe ecranul osciloscopului trebuie să apară o dungă luminoasă verticală

se alungeşte tubul superior al aparatului König până ce se observă pe ecranul os-ciloscopului un minim al înălţimii dungii luminoase

în acest moment se citeşte şi se notează în tabelul de date valoarea indicată în dreptul poziţiei cursorului pe rigla gradată (l2)

se alungeşte din nou tubul superior până la apariţia următorului minim, citindu-se şi notându-se în tabel poziţia corespunzătoare (l3)

se readuce tubul superior la limita din stânga şi se stabileşte frecvenţa generato-rului la o nouă valoare, indicată în tabelul de date, repetându-se măsurătorile până la completarea acestuia

se calculează diferenţele de lungime (l3 - l2) şi se notează în tabel

În cazul în care faceţi calculele manual : se calculează viteza sunetului în aer cu relaţia:

( )cxy x y

xy x y= ⋅−

⋅ ⎛⎝⎜

⎞⎠⎟= ⋅ − ⋅ ⎛

⎝⎜⎞⎠⎟

20 0223

8958,

dmms

ms

se trasează graficul l3 - l2 = f(1/ν)

dacă utilizaţi programul Excel pentru a trasa graficul şi a determina panta A, pen-tru a afla viteza sunetului va trebui să transformaţi valoarea pantei exprimată în dm/ms în m/s (prin înmulţire cu 100) şi apoi să dublaţi valoarea obţinută.

100

PRELUCRAREA DATELOR

MĂSURAREA VITEZEI SUNETULUI ÎN AER UTILIZÂND TUBUL KÖNIG

Nr. crt. ν (kHz)

x = 1/ν (ms)

y = l3-l2(dm)

l3(dm)

l2(dm)

1 1,0 1,0000 2 1,1 0,9091 3 1,2 0,8333 4 1,3 0,7692 5 1,4 0,7143 6 1,5 0,6667 7 1,6 0,6250 8 1,7 0,5882 9 1,8 0,5556

10 1,9 0,5263

l3 – l2(dm)

1/ν (ms)

GRAFICUL DISTANŢEI ÎNTRE DOUĂ MINIME CONSECUTIVE ÎN FUNCŢIE DE

INVERSUL FRECVENŢEI

c = ……….. m/s

REZULTATE FINALE

STUDENŢI

1) 2) 3) 4)

SEMNĂTURA CADRULUI DIDACTIC

OA

OSCILATORUL AMORTIZAT

oscilaţii oscilatorul armonic oscilatorul amortizat coeficient de amortizare forţă arhimedică vâscozitate, coeficient de vâscozitate (viscozitate) legea lui Stokes

Oscilaţiile armonice, neamortizate, sunt de fapt doar idealizări ale situaţiilor reale. În cazul unui oscilator real, amor-tizarea este datorată forţelor de rezisten-ţă la înaintare. Rezultatele acţiunii aces-tora sunt micşorarea amplitudinii şi vi-tezei de oscilaţie. Dacă un corp se de-plasează în interiorul unui lichid, asupra sa acţionează forţe de frecare cu lichi-dul, numite forţe de vâscozitate. Forţele de vâscozitate sunt proporţionale cu vi-teza de deplasare a corpului. Măsurând amortizarea oscilaţiilor efectuate de un corp imersat într-un lichid, putem de-termina prin calcul coeficientul de vâs-cozitate al lichidului.

CUVINTE CHEIE

TEMA APLICAŢIEI

SCOPUL APLICAŢIEI

Determinarea experimentală (prin simulare) a coeficientului de vâscozitate al unui lichid.

101

DEFINIŢII ŞI FORMULE

102

Oscilaţii :

⇒ Un sistem fizic efectuează oscilaţii mecanice dacă parametrii care-l descriu iau succesiv valori care variază alternativ în jurul valorilor care caracterizează starea de echilibru a sistemului ⇒ În cazul în care parametrii ce caracterizează sistemul mecanic iau valori egale după intervale de timp egale, oscilaţia se numeşte oscilaţie periodică, iar intervalul de timp caracteristic acesteia se numeşte perioada oscilaţiei şi se notează cu T.

Oscilatorul armonic : ⇒ Mişcările oscilatorii de tipul ( )ϕ+ω= tsinAx 0 sau ( ϕ+ω )= tcosAx 0 se nu-mesc oscilaţii armonice. Parametrii care intervin în expresie au următoarele semnifi-caţii : x – elongaţia oscilaţiei, A – amplitudinea oscilaţiei, ω0 - pulsaţia oscilaţiei, ϕ - faza iniţială a oscilaţiei, Φ = ωt + ϕ - faza oscilaţiei, t – momentul de timp. ⇒ Ecuaţia diferenţială a oscilatorului armonic este :

020

20 =ω+⇔ω−= xxxa &&

⇒ Condiţia necesară pentru ca un corp să oscileze armonic este aceea ca rezultan-ta forţelor care acţionează asupra sa să fie de tip elastic : R = -kx.

Oscilatorul amortizat : ⇒ Mişcarea oscilatorie amortizată este descrisă matematic prin ecuaţia diferen-ţială : , unde γ se numeşte coeficient de atenuare. 02 2

0 =ω+γ+ xxx &&&

⇒ Pentru a avea loc oscilaţia periodică este necesar să fie îndeplinită condiţia: . 022

0 >γ−ω⇒ În cazul oscilatorului amortizat, elongaţia depinde de timp după legea :

( )ϕ+ω= γ− tsineAx t0

unde 220 γ−ω=ω . Amplitudinea scade în timp după legea : . teAA γ−= 0

⇒ Perioada oscilaţiei (definită drept dublul intervalului de timp care corespunde la două treceri succesive ale oscilatorului prin poziţia de echilibru) are expresia :

ωπ

=2T

⇒ Condiţia necesară pentru ca un corp să oscileze după legea de mai sus este aceea ca rezultanta forţelor care acţionează asupra sa să fie suma dintre o forţă de tip elastic şi o forţă de rezistenţă la înaintare, proporţională cu viteza : R = -kx – fv.

Forţa arhimedică : ⇒ Este rezultanta forţelor de presiune pe care le exercită un fluid aflat la echilibru asupra unui corp imersat în acel fluid ⇒ Forţa arhimedică este numeric egală cu greutatea volumului de lichid dezlocuit de corp, are aceeaşi direcţie ca şi greutatea, dar este orientată de jos în sus ⇒ Expresia sa matematică este : gVF corplichidA ρ= , unde ρlichid este densitatea lichi-dului, Vcorp este volumul de lichid dezlocuit de corp (egal şi cu volumul corpului dacă acesta se află în întregime în lichid), iar g este acceleraţia gravitaţională

Vâscozitatea : ⇒ este proprietatea lichidelor (fluidelor) de a curge cu mai multă sau mai puţină uşurinţă ⇒ este rezultatul forţelor de frecare care apar între straturile de fluid alăturate şi curg cu viteze diferite

⇒ Legea experimentală a vâscozităţii a fost determinată de Newton şi are forma :

103

( )dr

rdvdSdF η−=

Enunţul este următorul : forţa de frecare care se exercită între straturile de fluid vecine este pro-porţională cu aria de contact dS a acestora şi cu gradientul vitezei de curgere a fluidului dv/dr

în direcţie perpendiculară aceleia de curgere. Forţele de frecare acţionează astfel încât să mi micşoreze viteza straturilor rapide şi să o mărească pe aceea a straturilor lente. Coeficientul de viscozitate dinamică (sau viscozitatea) η este o constantă de material care caracterizează fluidul.

v(r+dr

drdF

dS

v(r) v(r)

r

Legea lui Stokes se referă la forţa de frecare care se exercită asupra unui corp

sferic ce se deplasează în interiorul unui fluid. Expresia ei este : rvFS πη= 6

unde r este raza corpului sferic, iar v este viteza de deplasare a corpului în interiorul fluidului. Dacă lichidul udă corpul, η este chiar viscozitatea lichidului.

PRINCIPIUL METODEI

Să examinăm situaţia din fi-gura alăturată. Folosim un corp format dintr-o sferă (de rază r) continuată printr-un tub lung, ci-lindric, de rază r0 < r. Corpul are pereţi din sticlă foarte subţiri şi es-te gol pe dinăuntru. În interiorul sferei sunt introduse câteva alice din plumb care constituie aproape toată masa corpului. Alicele de plumb aflate în sferă asigură stabi-litatea, astfel încât, introdus într-un lichid, corpul pluteşte, tija având direcţie verticală, iar sfera şi o par-te din tijă fiind cufundate în lichid. Un asemenea „corp” se numeşte densimetru (sau areometru) şi ser-veşte la măsurarea densităţii unor lichide. Dacă este scos din poziţia de echilibru, fiind tras sau împins

în direcţie verticală, densimetrul oscilează, amplitudinea fiind mai mare la început şi descrescând treptat, până la anulare.

FS

FA

a v

l G

Să examinăm forţele care acţionează în timpul oscilaţiei : ⇒ Greutatea Masa densimetrului este concentrată aproape în totalitate în interiorul sferei. În aceste condiţii, este convenabil să afirmăm că masa se poate exprima în funcţie de volumul sferei şi densitatea medie :

grGrm ρπ

=⇒ρπ

=3

43

4 33

Valoarea densităţi medii poate fi ajustată în funcţie de dorinţă, folosind mai multe sau mai puţine alice de plumb. În cazul de faţă, vom considera că densitatea medie este 1400 kg/m3. ⇒ Forţa arhimedică Aceasta este proporţională cu volumul lichidului dezlocuit şi are doi termeni : unul corespunzător sferei şi celălalt porţiunii de tijă aflate sub nivelul lichidului :

104

glrgrF llA ρπ+ρπ

= 20

3

34

(ρl = densitatea lichidului, l = lungimea porţiunii de tijă aflată în lichid) Forţa arhimedică cu care aerul acţionează asupra porţiunii de tijă aflată în afara lichidului se poate neglija. ⇒ Forţele de frecare Forţa de frecare principală se exercită între lichid şi sferă. Expresia ei este dată de le-gea lui Stokes :

rvFS πη= 6 unde η este viscozitatea lichidului, iar v este viteza mişcării oscilatorii. Se mai exerci-tă forţe de frecare între tijă şi lichid, sau între tijă şi aer, dar ele pot fi neglijate. Ar mai putea fi menţionate şi forţele de tensiune superficială care apar la su-prafaţa lichidului, în zona de contact cu tija. Vom considera că şi acestea sunt negli-jabile. Conform principiilor dinamicii, putem calcula acceleraţia densimetrului :

SA FFGma −−=

rvglrgrgrarll πη−ρπ−ρ

π−ρ

π=ρ

π 63

43

43

4 20

333

ρη

−ρρ

−⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ρρ

−= 23

20

29

431

rvg

rlrga ll

La echilibru, corpul fiind în repaus (v = 0), acceleraţia este nulă. Notând cu l0 lungi-mea porţiunii de tijă aflată sub nivelul lichidului în poziţia de echilibru, obţinem :

grlrg ll

ρρ

−⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ρρ

−= 30

20

4310

Scăzând ultima ecuaţie din cea anterioară, obţinem : ( )

ρη

−ρρ−

−= 230

20

29

43

rvg

rllra l

Putem face notaţiile :

xvdtdvax

dtdlvxll &&&& ===⇒==⇒=− 0

ρρ

=ω l

rgr3

202

0 43

ρη

=γ 249r

Cu aceste notaţii, ecuaţia diferenţială de mişcare capătă forma : 02 2

0 =ω+γ+ xxx &&& Această ecuaţie diferenţială descrie mişcarea oscilatorie amortizată şi are soluţia ur-mătoare :

105

( )00 ϕ+ω= γ− tsineAx t

unde 220 γ−ω=ω , iar ϕ0 este faza iniţială. Viteza mişcării oscilatorii este :

( ) ( )0000 ϕ+ωω+ϕ+ωγ−== γ−γ− tcoseAtsineAxv tt& La momentele de timp ti când oscilatorul trece prin poziţia de echilibru avem :

( )( )⎩

⎨⎧

±=ϕ+ω=ϕ+ω

10

0

0

i

i

tcostsin

Rezultă :

ii ti

ti eAveAv γ−γ− ω=⇒ω±= 00

adică modulul vitezei oscilatorului la trecerea prin poziţia de echilibru este o funcţie exponenţială de timp.

Prin logaritmare, rezultă :

( )0Alntvln ii ω+γ−=

Logaritmul modulului vitezei oscilatorului la trecerea prin poziţia de echi-libru este o funcţie lineară de timp, panta dreptei corespunzătoare fiind chiar fac-torul de amortizare γ.

Cunoscând factorul de amortizare, densitatea medie a densimetrului şi ra-za porţiunii sferice, putem calcula viscozitatea lichidului după formula :

94 2ργ

=ηr

Mişcarea oscilatorie amortizată este periodică, în sensul că trecerile succesive prin poziţia de echilibru au loc la intervale de timp egale între ele :

N∈∀ωπ

==−=∆ + iTttt ii 21

Cunoscând relaţia între ω şi ω0, putem scrie :

( )22

2220 t∆

π=ω=γ−ω

( )22

23

20

43

trgr l

∆π

+γ=ρρ

Rezultă că putem calcula densitatea lichidului după relaţia :

106

107

( ) ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

∆π

+γρ=ρ 2

22

20

3

34

tgrr

l

Cunoscând factorul de amortizare, densitatea medie a densimetrului, raza porţi-unii sferice, raza secţiunii tijei şi intervalul de timp între două treceri succesive prin poziţia de echilibru putem calcula viscozitatea lichidului după formula de mai sus.

Tija densimetrului (porţiune opacă)

Fotoce-lulă 2

Rază laser

Diodă laser 1

Orizontala corespunzătoare poziţiei de echilibru

Fotoce-lulă 1

Crono-metru

electro-nic

Diodă laser 2

∆h

Tija densimetrului (porţiune transpa-

rentă)

Pentru a măsura momentele de timp ti se poate concepe un montaj experimental, asemănător aceluia prezentat în figura de mai sus. Diodele laser sunt poziţionate si-metric, la mică distanţă de orizontala corespunzătoare poziţiei de echilibru a densime-trului. Tija densimetrului are o porţiune transparentă. De fiecare dată când aceasta trece prin dreptul diodelor laser, raza laser o traversează şi cade pe o fotocelulă, care, la rândul ei, transmite un puls de tensiune către un cronometru electronic ce înregis-trează momentul de timp. Fiecărei treceri a densimetrului prin dreptul poziţiei de echilibru îi corespund două pulsuri, unul provenind de la dioda 1, iar celălalt de la di-oda 2. Se înregistrează astfel două momente de timp : ti’ şi ti”. Momentul trecerii prin dreptul poziţiei de echilibru ti se poate aproxima prin media :

2"t'tt ii

i+

=

iar viteza densimetrului prin relaţia :

't"tsv

iii −

∆=

MATERIALE ŞI APARATE

programul de simulare „Oscam”

EXPLICAŢII : (1) cronometru, (2) icon (click-ul pe acest icon declanşează cronome-trul şi eliberează densimetrul), (3) tabel cu momentele de timp ti’ şi ti”, (4) buton de pornire/resetare, (5) buton de oprire, (6) buton de închidere a programului.

6 5 4

3

1

2

108

109

MOD DE LUCRU

deschideţi programul „Oscam”

apăsaţi butonul (4). Veţi observa coborârea densimetrului. Valoarea amplitudinii iniţiale este generată aleatoriu.

daţi un click pe iconul (2). Veţi observa oscilaţiile densimetrului şi marcarea timpului de către cronometru. În tabelul (3) sunt înregistrate automat momentele de timp ti’ şi ti”. Programul face automat 16 înregistrări, după care se opreşte.

dacă din diverse motive doriţi oprirea înregistrărilor înainte de termen apăsaţi bu-tonul (5). Reiniţializarea experimentului se face apăsând din nou butonul(4).

după încheierea determinărilor notaţi datele în tabelul de date.

calculaţi momentele de timp ti cu relaţia 2

"t'tt iii

+= . Calculaţi de asemenea inver-

sul intervalului de timp 't"t ii

i −=α

1 .

găsiţi (prin metoda celor mai mici pătrate) panta dreptei ln αi = f(ti). Aceasta este valoarea coeficientului de atenuare γ.

calculaţi intervalele de timp ∆ti = ti+1 - ti, precum şi valoarea lor medie ∆t.

ştiind că : r = 1 cm, ρ = 1400 kg/m3, r0 = 0,25 cm, g = 9,8 m/s2, calculaţi viscozi-tatea şi densitatea lichidului, cu formulele :

94 2ργ

=ηr

respectiv :

( ) ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

∆π

+γρ=ρ 2

22

20

3

34

tgrr

l

înscrieţi în tabel toate valorile obţinute

110

PRELUCRAREA DATELOR

MĂSURAREA COEFICIENTULUI DE ATENUARE Nr. crt. t’ (s) t” (s) t (s) α (s-1) ∆t (s) γ (s-1)

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16

STUDENŢI

ρl = ………… kg/m3

η = ………… kg/(m⋅s)

T = 2<∆t> = …… s

REZULTATE FINALE 1) 2) 3) 4)

SEMNĂTURA CADRULUI DIDACTIC

VU

VITEZA DE PROPAGARE A

ULTRASUNETELOR ÎNTR-UN LICHID

unde acustice viteza de propagare a unde-lor acustice în lichide ultrasunete tren de unde generator şi detector de ul-trasunete defectoscop

Viteza sunetelor în lichide sau solide are valori destul de mari. De exemplu, într-un mediu continuu din oţel valoarea sa este de 6100 m/s. Aceste valori mari fac dificilă măsurarea directă a vitezei, ca raport între distanţa parcursă şi timp, deoarece pentru corpuri de dimensiuni obişnuite intervalele de timp sunt ex-trem de mici. Cu toate acestea, se pot imagina şi metode de măsurare directă, una dintre ele fiind prezentată în lucra-rea de faţă, împreună cu toate constrân-gerile inerente acestei metode.

CUVINTE CHEIE

TEMA APLICAŢIEI

SCOPUL APLICAŢIEI

Determinarea experimentală a vitezei de propagare a ul-trasunetelor în apă distilată şi măsurarea coeficientului de com-presibilitate al apei.

111

DEFINIŢII ŞI FORMULE

112

Undele acustice :

⇒ sunt unde mecanice longitudinale ⇒ se pot propaga în medii solide, lichide şi gazoase ⇒ reprezintă un fenomen de transfer al energiei, fără transport de substanţă ⇒ într-un mediu omogen şi izotrop, viteza lor de propagare (denumită şi viteză de fază) este constantă, având aceeaşi valoare în toate direcţiile

Viteza de propagare a undelor acustice într-un lichid : ⇒ se calculează conform relaţiei :

βρ=

1v

unde β este coeficientul de compresibilitate adiabatică al lichidului, iar ρ este densita-tea lichidului ⇒ valoarea sa depinde de natura lichidului, frecvenţa undei acustice şi temperatu-ra lichidului

Ultrasunetele sunt unde acustice cu frecvenţă mai mare de 16.000 Hz.

Trenul de unde : ⇒ reprezintă (spre deosebire de unda plană armonică) o perturbaţie având întinde-re spaţială sau temporală limitată ⇒ poate fi modelat matematic ca o suprapunere de unde plane armonice ⇒ poate fi aproximat cu o undă armonică plană doar dacă durata sa este cu mult mai mare decât perioada de oscilaţie a undei plane (ceea ce este echivalent cu a spune că extinderea sa spaţială este cu mult mai mare decât lungimea de undă a undei plane)

Generatorul de ultrasunete : ⇒ este un aparat electronic complex

principiul său de funcţionare este următorul : se generează un curent electric alternativ de foarte înaltă frecvenţă (de ordinul a

1 MHz sau mai mult)

acest curent electric alternativ trecând printr-o bobină generează un câmp magnetic variabil în timp

113

deoarece miezul bo-binei este construit dintr-o ferită magneto-strictivă, câmpul magnetic variabil determină variaţia dimensi-unilor sale geometrice, astfel încât miezul oscilează me-canic cu o frecvenţă egală cu cea a curentului alternativ

vibraţiile mecanice ale feritei sunt în fapt sursa

undei acustice

Generator de curent electric alternativ

Detectorul de ultrasunete : ⇒ este un aparat electronic, cuplat constructiv cu un generator de ultrasunete ⇒ este echipat cu un disc de ceramică piezoelectrică, care pus în oscilaţie mecanică prin interacţiune cu unda acustică se polarizează sau se depolarizează electric cu o frecvenţă egală cu a undei acustice ⇒ sarcina electrică de polarizare a discului generează un câmp electric variabil care este amplificat electronic, punându-se astfel în evidenţă unda acustică incidentă

Defectoscopul : ⇒ este un aparat electronic, care are posibilitatea de a genera şi a recepţiona ul-trasunete ⇒ principala sa caracteristică este aceea că poate măsura intervalul de timp între emisia unui tren de ultrasunete şi recepţionarea sa ⇒ există mai multe modele constructive, unele prevăzute cu un singur palpator (ca-re are atât rol de emiţător, cât şi de receptor), altele prevăzute cu două palpatoare (dintre care unul este emiţătorul, iar celălalt receptorul). Timpul de propagare al ul-trasunetului între emisie şi recepţie este fie marcat pe un afişaj digital, fie evidenţiat pe ecranul unui tub catodic ⇒ în general, este întrebuinţat pentru măsurători nedistructive. De exemplu, cu aju-torul unui defectoscop se poate determina locul unde o piesă metalică are un defect de turnare, fără distrugerea piesei.

PRINCIPIUL METODEI

deca

avpoaib mor

afm

114

Ne propunem să utilizăm o metodă directă de măsurare a vitezei de pro-pagare a undelor acustice în apă distilată.

În acest scop trebuie determinate experimental atât lungimea drumului parcurs unda acustică (∆s), cât şi intervalul de timp necesar (∆t). Viteza de propagare se lculează în acest caz cu relaţia:

tsv

∆∆

=

În acest scop, va trebui să închidem o cantitate de apă distilată într-o incintă ând dimensiuni relativ mici. Dimensiunile incintei în care se află apa distilată nu t depăşi câţiva centimetri, rezultând că traseul parcurs de unda acustică trebuie să ă o lungime de acelaşi ordin de mărime.

Viteza de propagare a undelor acustice în apă este de ordinul de mărime a 1500 /s. Prin urmare, timpul necesar parcurgerii unei distanţe de un centimetru este de dinul de mărime :

∆t = = ⋅ −1 6 7 10 6 cm1500 m / s

s = 6,7 s, µ

Valoarea extrem de redusă a timpului de propagare pe care dorim să-l mă-surăm are consecinţe extrem de importante asupra tipului de unde acustice care trebuie folosite şi asupra aparaturii experimentale utilizate.

Intervalul de timp ne-cesar propagării ar putea fi măsurat cu un cronometru electronic, între momentul în care un tren de unde părăseş-te sursa acustică şi momentul în care acelaşi tren de unde ajunge la un detector aflat la celălalt capăt al traseului. Pentru ca măsurătoarea să fie

ectată de erori cât mai mici este necesar ca lungimea trenului de unde (∆l) să fie ult mai mică decât distanţa pe care o are de străbătut acesta (∆s). Numai în acest caz

λ

∆l v

∆s

Detector de sunet

Sursa de sunet

el poate fi aproximat cu un punct material, astfel încât să fie valabilă relaţia de calcu-lare a vitezei amintită anterior. Matematic, transcriem condiţia astfel :

∆l << ∆s O valoare acceptabilă minimă ar putea fi : ∆s = 5 ∆l. Pe de altă parte lungimea trenului de unde ar trebui să fie, la rândul ei, mult mai mare decât lungimea de undă :

λ << ∆l Şi valoarea minimă acceptabilă în acest caz ar putea fi : ∆l = 5 λ. Rezultă :

λmin =∆s25

Pentru ∆s = 1 cm obţinem λmin = 0,4 mm. Având în vedere relaţia dintre lungi-mea de undă şi viteza de fază a unei unde :

ν=λ

v

unde ν reprezintă frecvenţa, rezultă pentru o viteză de fază de 1500 m/s o frecvenţă minimă :

νmin ,= =1500 3 75 m / s

0,4 mm MHz

Conform acestui calcul estimativ rezultă că în condiţiile experimentale date, având la dispoziţie o cuvă cu dimensiunea de ordinul a câţiva centimetri, nu poate fi măsurată prin această metodă directă decât viteza de propagare a unor unde acustice având frecvenţa superioară valorii de 1MHz.

Deci metoda de măsurare directă propusă poate da rezultate corecte doar dacă dispunem de o sursă de ultrasunete de foarte înaltă frecvenţă (ν > 1 MHz), de un detector capabil să pună în evidenţă asemenea ultrasunete şi de un crono-metru electronic care măsoară intervale de timp cu o rezoluţie minimă de 0,1 µs.

Pentru că între emiţător şi receptor ultrasunetul nu străbate doar stratul de apă distilată, existând în drumul său şi pereţii cuvei sau suportul pe care este aşezată aceasta, este necesar ca în scopul determinării intervalului de timp de propagare prin apă să facem două măsurători : ⇒ prima dintre ele cu receptorul lipit de fundul cuvei (∆t') ⇒ a doua, lăsând între receptor şi fundul cuvei o distanţă ∆s (∆t") Intervalul de timp necesar ultrasunetului să se propage prin stratul de apă de grosime ∆s se poate calcula utilizând rezultatele celor două măsurători, după relaţia :

∆t = ∆t" - ∆t' Grosimea stratului de apă aflat între receptor şi fundul cuvei se determină cu ajutorul unei rigle gradate, de-a lungul căreia se deplasează un cursor legat rigid de receptorul de ultrasunete.

115

MATERIALE ŞI APARATE

aparatul ultrasonic N 2702 (având şi rol de cronometru electronic) sursa de alimentare a aparatului ultrasonic

două traductoare de ultrasunete (emiţătorul şi receptorul) dispozitivul de susţinere a cuvei şi traductoarelor

rigla gradată

12

1

10

3

2

9

11 13

8

7

5

4

6

EXPLICAŢII : (1) palpator, emiţător de ultrasunete, (2) palpator, receptor de ultrasu-nete, (3) sistem de prindere, cu riglă gradată şi cursor, (4) suport pentru cuva cu apă, (5) apă distilată, (6) defectoscop, prevăzut cu cronometru electronic, (7) şi (8) firele de legătură între defectoscop şi palpatoare. NOTĂ : Instalaţia din laborator permite măsurarea vitezei la diferite temperaturi. De aceea, ea este prevăzută şi cu unele elemente suplimentare, care nu sunt folosite în experimentul de faţă. Aceste elemente sunt : (9) termometru, (10) cămaşă de termos-tatare prin care poate circula apă încălzită la o temperatură prestabilită, (11) ultrater-mostat care reprezintă sursa de apă încălzită sau răcită, (12) ţevi prin care circulă agentul de răcire al termostatului, (13) furtunurile prin care apa circulă de la termostat la cămaşa de termostatare şi înapoi. Pentru a împiedica reflexia ultrasunetelor la su-prafeţele de separaţie între diferite elemente, acestea sunt unse cu un strat de vaselină.

116

117

MOD DE LUCRU

se racordează la reţeaua electrică şi se pun în funcţiune sursa de alimentare a apa-ratului ultrasonic şi aparatul ultrasonic

se coboară receptorul de ultrasunete până atinge fundul cuvei

se citeşte pe afişajul aparatului ultrasonic intervalul de timp ∆t' şi se notează va-loarea sa în tabelul de date

se ridică receptorul cu 0,5 cm, măsurându-se deplasarea acestuia pe rigla gradată, prevăzută cu vernier

se citeşte şi se notează noua valoare a intervalului de timp ∆t”

se fac în total 10 determinări, mărind de fiecare dată distanţa dintre receptor şi fundul cuvei cu câte 0,5 cm

dacă receptorul iese din apă înaintea epuizării celor 10 măsurători, ele se conti-nuă prin coborârea receptorului

după completarea tabelului de date se întrerupe funcţionarea aparatului ultrasonic şi a sursei sale de alimentare, deconectându-se, după caz, de la reţeaua electrică

se calculează pentru fiecare dintre măsurători intervalele de timp ∆t, vitezele de propagare corespunzătoare şi se trec valorile obţinute în tabel.

se calculează valoarea medie a vitezei de propagare a ultrasunetului, abaterea pă-tratică medie şi eroarea relativă

se calculează coeficientul de compresie adiabatică al apei şi eroarea de măsurare. Se poate lua densitatea apei ca fiind egală cu 1000 kg/m3.

118

PRELUCRAREA DATELOR

MĂSURAREA VITEZEI ULTRASUNETELOR ÎN APĂ

DISTILATĂ Nr. crt.

∆s (cm)

∆t' (µs)

∆t" (µs)

∆t = ∆t" - ∆t' (µs) t

sv∆∆

=

(m/s) 1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

εβ = ………… %

βapă = ………… m2/N

εv = ………… %

σv = ………… m/s

<v> = ………… m/s

REZULTATE FINALE STUDENŢI

1) 2) 3) 4)

SEMNĂTURA CADRULUI DIDACTIC

PS

MĂSURAREA NIVELULUI DE

POLUARE SONORĂ

propagarea sunetelor presiunea sonoră, câmp so-nor intensitatea undei sonore tăria sunetului intensitatea sonoră nivelul de intensitate acusti-că subiectivitatea percepţiei acustice ponderarea nivelului de in-tensitate acustică măsurarea zgomotelor sonometrul

Ingineria mediului este un domeniu tehnic aflat în plin avânt. Integrarea României în Uniunea Europeană presu-pune şi adaptarea legislaţiei mediului la normele europene. În acest context, po-luarea sonoră este unul din domeniile de mare interes. În marile aglomerări urba-ne există numeroase surse de poluare sonoră, dintre care să pomenim doar tra-ficul rutier. Poate, în timpul orelor de curs aţi fost deranjaţi de zgomotul pro-venit din stradă. Este util să ştiţi să mă-suraţi nivelul de zgomot, pentru a putea lua apoi măsuri împotriva poluării sono-re. De aceea, dorim să vă familiarizăm cu unele noţiuni de bază.

CUVINTE CHEIE

TEMA APLICAŢIEI

SCOPUL APLICAŢIEI

Măsurarea nivelului de poluare sonoră stradală.

119

DEFINIŢII ŞI FORMULE

120

Propagarea sunetelor are loc sub formă de unde elastice. În medii gazoase şi lichide undele sonore sunt unde longitudinale (adică oscilaţiile particulelor me-diului, induse de undă, au loc pe direcţie paralelă cu direcţia de propagare). În solide sunetele se pot propaga atât ca unde longitudinale, cât şi ca unde transver-sale (la care oscilaţia particulelor mediului are direcţie perpendiculară celei de propagare).

Variaţia de presiune înregistrată într-un punct al materialului în timpul propagă-

rii undei elastice, în comparaţie cu presiunea în absenţa undei, se numeşte presi-une sonoră şi poate constitui o măsură a prezenţei undei şi a calităţii acesteia. Totalitatea presiunilor suplimentare generate în mediul elastic alcătuieşte un câmp de presiune sonoră, denumit uneori şi câmp sonor.

Intensitatea sonoră este cantitatea de energie sonoră transportată în medie în unitatea de timp, prin unitatea de suprafaţă perpendiculară direcţiei de propagare a sunetului şi caracterizează din punct de vedere obiectiv tăria unui sunet :

tn

s

dtdSdWI =ν

În cazul unei unde sonore plane, armonice, de frecvenţă bine stabilită, se poate arăta că intensitatea undei sonore are forma matematică :

cpp

cI efsmax

ρ=⋅

ρ=

22

21

unde ps,max este presiunea sonoră maximă, ρ este densitatea mediului, iar c este viteza de fază a undei. Factorul ρc se numeşte impedanţă sonoră, iar raportul psmax

/ 2 este desemnat ca presiune efectivă, pef.

Intensitatea sonoră minimă care mai poate fi sesizată de analizatorul auditiv uman se numeşte intensitatea pragului de audibilitate. Valoarea intensităţii sonore ce corespunde pragului de audibilitate este o funcţie de frecvenţa sunetu-lui. Domeniul de maximă sensibilitate al urechii umane este cuprins între frec-venţele de 600 Hz şi de 7000 Hz. În acest interval pot fi percepute sunete de in-tensitate I = 10-12-10-11 W/m2. S-a ales ca valoare standard a pragului de au-dibilitate intensitatea pragului de audibilitate al sunetului pur cu frecvenţa de 1000 de Hz :

I0 = 10-12 W/m2

Există pentru fiecare frecvenţă şi o valoare maximă a intensităţii care mai poate fi suportată fără a produce efecte ireversibile asupra aparatului auditiv. Aceasta este aşa-numita intensitate a pragului de durere. Intensitatea pragului de dure-re este mai mică în intervalul de frecvenţe pentru care urechea este mai sensibilă (0,1 W/m2 la 6000 Hz), ajungând pentru alte frecvenţe până la 10 W/m2.

Tăria unui sunet este o mărime legată, pe de-o parte, de cantitatea de energie pe

care o transportă unda sonoră şi, pe de altă parte, de efectul auditiv pe care-l produce sunetul. Din cauza caracterului subiectiv al percepţiei auditive, efectul auditiv şi energia undei nu se află într-o simplă relaţie de proporţionalitate. Din acest motiv trebuie să utilizăm mărimi fizice diferite pentru a caracteriza tăria sunetului, fie din punctul de vedere obiectiv al transportului de ener-gie sonoră, fie din punctul de vedere subiectiv al efectului auditiv.

Nivelul de intensitate acustică se foloseşte deoarece valorile numerice extreme

ale intensităţilor sonore care trebuie luate în consideraţie în ceea ce priveşte efectul auditiv diferă prin 13 ordine de mărime. Nivelul intensităţii acustice se defineşte ca fiind de zece ori logaritmul zecimal al raportului dintre intensi-tatea sonoră a sunetului considerat şi intensitatea standard a pragului de audibilitate :

L II

= 100

lg

Unitatea de măsură a nivelului intensităţii acustice este decibelul, cu simbolul dB.

Subiectivitatea percep-ţiei acustice face ca su-nete având acelaşi nivel al intensităţii acustice să provoace senzaţii auditi-ve diferite. Graficul ală-turat prezintă variaţia pragului de audibilitate în funcţie de frecvenţa sune-telor pure, pentru persoa-ne tinere, normale din punct de vedere auditiv. Se observă că spre limite-

le extreme ale domeniului de frecvenţe, pragul de audibilitate creşte mult, iar va-lorile minime sunt întâlnite pentru frecvenţe între 500 şi 5000 de Hz.

dB 60 40 20 0

20 50 100 200 500 1000 2000 5000 10000 Hz

Pragul de audibilitate în funcţie de frecvenţă

121

Măsurarea zgomotelor se face de cele mai multe ori prin transformarea semna-lului acustic în semnal electric şi analizarea ulterioară a acestuia. În acest scop este necesară folosirea unui traductor sunet-curent electric, denumit în mod uzual microfon.

Sonometrul este un aparat portabil, destinat măsurării nivelului de presiune so-

noră. El poate furniza şi informaţii obiective privind energia sonoră, dar este prevăzut şi cu un etaj de ponderare a intensităţii acustice, astfel încât poate avea un răspuns faţă de sunet asemănător celui al urechii umane. În figura de mai jos este reprezentată schema de principiu a unui sonometru :

sunet

M Ampli-ficator

Reţele de

ponde-rare

Ampli-ficator

Filtre externe

Redre-sor de valori eficace

ieşire

Circuit de menţinere

Instru-ment de măsură

Microfonul transformă sunetul în semnal electric. Primul amplificator determi-nă creşterea amplitudinii semnalului electric înainte de intrarea în reţelele de ponderare sau în filtrele externe. Rolul reţelei de ponderare este acela de a mode-la modul subiectiv al percepţiei sonore umane. Circuitul de menţinere are rolul de-a menţine acul indicator al instrumentului de măsură la valoarea maximă atinsă în cursul determinării. Borna de ieşire este destinată facilitării conectării sonometrului la un înregistrator extern. Instrumentul de măsură este acela care permite vizualizarea rezultatului determinării.

Ponderarea intensităţii acustice se face utilizând circuite electronice care mo-

delează subiectivitatea percepţiei acustice. În cele mai multe dintre situaţii, uni-tatea de măsură a nivelului ponderat al intensităţii acustice este decibelul(A).

122

123

PRINCIPIUL METODEI

O întrebare pe care ne-o putem pune este următoarea : dacă unei surse de zgo-mot, caracterizată de nivelul intensităţii acustice L1, i se adaugă o altă sursă de zgomot cu nivelul intensităţii acustice L2, cât va fi nivelul rezultant al intensităţii acustice ? Răspunsul :

L = L1 + L2

este greşit ! Să explicăm în continuare de ce acest răspuns este greşit. Formula nivelului intensităţii acustice este :

010

IIlgL =

unde I este intensitatea zgomotului, iar I0 este intensitatea de referinţă. În cazul suprapunerii a două zgomote, energiile celor două unde sonore se însumează, astfel încât intensitatea totală este :

21 III += Cum :

100

010

10

L

IILIIlg ⋅=⇒=

rezultă :

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+=⇒⋅+⋅=⋅

−10101010

010

010

0

12121

1011010101010LLLLLLL

III

Prin logaritmare, rezultă

⎟⎟⎠

⎞1L

⎜⎜⎝

⎛++=

−1012

1011010

L

lgLL

sau :

⎟⎟⎠

⎞−10

1L

⎜⎜⎝

⎛++= 1

2

10110L

lgLL

Pe baza acestei relaţii se poate construi o diagramă pentru adunarea nivelelor de intensitate sonoră. Diagrama poate fi utilizată astfel :

Să presupunem că se compun zgomotele cu nivelele de intensitate sonoră 60 dB, respectiv 65 dB. Nivelul rezultant se calculează astfel : ⇒ Diferenţa între nivelele sonore este de 5 dB ⇒ Se citeşte ordonata punctului de abscisă egală cu diferenţa nivelelor sonore (în

cazul nostru, diferenţei de 5 dB îi corespunde abscisa de 6 dB) ⇒ Se adaugă această valoare nivelului cel mai mic de intensitate sonoră (în cazul

nostru, 60 dB). Rezultatul este nivelul rezultant al intensităţii sonore (în cazul nostru, 66 dB). Problema cu care se confruntă persoana care măsoară nivelul de poluare sonoră stradală este asemănătoare.

În cazul că se măsoară nivelul de poluare sonoră, nu interesează faptul că se suprapun mai multe surse de zgomot la acelaşi moment de timp, ci medierea intensităţilor sonore pe o anumită durată.

De exemplu, într-un cartier rezidenţial, confortul sonor este asigurat dacă, în orele de seară, media intensităţii sonore nu depăşeşte o anumită valoare. Evident, in-tensitatea sonoră nu este constantă (zgomotul poate fi produs de mijloacele de transport în comun care nu trec permanent, ci cu o anumită periodicitate). În aceste condiţii, trebuie măsurată întreaga energie sonoră degajată în intervalul de timp con-siderat, găsită valoarea medie care revine unităţii de timp şi calculat pe baza acesteia nivelul mediu al intensităţii sonore. Cu un aparat care măsoară doar nivelul momen-tan al intensităţii sonore, această operaţie prezintă anumite dificultăţi. Acestea pot fi evitate în modul următor :

• se recurge la eşantionarea măsurătorilor • prin aceasta se înţelege că măsurătorile de nivel acustic se repetă la intervale

scurte de timp (de exemplu, de câte un minut)

• se consideră că nivelul acustic este constant pe întreaga durată a intervalu-lui de timp considerat

• se calculează energia sonoră corespunzătoare unui interval de timp :

100

01010

kL

kk

k IIIIlgL ⋅=⇒=

100 10

kL

kkk

k StIStIWtS

WI ⋅δδ⋅=δδ=δ⇒δδ

δ=

124

• se calculează energia sonoră totală (N este numărul de măsurători) :

∑∑==

δδ=δ=N

k

LN

kk

k

StIWW1

100

110

• se calculează energia medie care revine unui interval de timp şi intensitatea co-

respunzătoare :

∑=

=δδ

δ==δ

N

k

Lk

INSt

WI;

NWW

1

100 101

• se calculează nivelul acustic mediu :

Nlg

II

lgL

N

k

Lk

∑=== 1

10

0

101010

• valoarea obţinută trebuie să se încadreze între nivelul sonor maxim şi nivelul

sonor minim

• la fel se poate proceda şi pentru calcularea nivelului acustic ponderat, măsurat în dB(A)

Rezultatele determinărilor ex-perimentale se pot reprezenta într-o histogramă (cum este aceea din figura alăturată), punând în eviden-ţă valoarea medie a nivelului de zgomot şi locul unde s-au făcut măsurătorile.

125

MATERIALE ŞI APARATE

sonometru RFT 00014 pistofon pentru etalonare

7

6

3

2

1

5

4

EXPLICAŢII : (1) microfon, (2) comutator pentru stabilirea tipului de măsurare, (3) comutator pentru stabilirea domeniului de măsură, (4) buton pentru verificarea stării de încărcare a bateriilor, (5) butonul de pornire a aparatului, (6) locaşul din pistofon în care se introduce microfonul sonometrului în timpul etalonării, (7) comutatorul ca-re permite pornirea sau oprirea pistofonului.

126

127

MOD DE LUCRU

se verifică starea de încărcare a bateriilor apăsând pe butonul (4) (acul instrumen-tului de măsură trebuie să se oprească în zona 6-10 dB) se porneşte aparatul apăsând butonul (5) se etalonează sonometrul cu ajutorul pistofonului. Pistofonul are ca piesă princi-pală un vibrator, alimentat de la baterii, care generează un sunet de frecvenţă şi in-tensitate bine determinate. Pentru etalonare: se fixează comutatorul (2) în poziţia „LIN” se fixează domeniul de măsură de 110 dB cu comutatorul (3) se porneşte pistofonul cu butonul (7) se introduce microfonul (1) al sonometrului în locaşul (6) al pistofonului indicaţia instrumentului de măsură trebuie să fie în acest moment de 6 dB (nive-lul sonor fiind de (110 + 6) = 116 dB) dacă această condiţie nu este îndeplinită sonometrul nu este corect etalonat şi tre-buie chemat cadrul didactic pentru a pune la punct aparatul se întrerupe alimentarea pistofonului şi acesta se îndepărtează, sonometrul fiind acum pregătit pentru măsurătorile propriu-zise se deplasează aparatul la locul măsurătorilor (pe o arteră circulată) pentru efectuarea măsurătorii comutatorul (3) este adus într-o poziţie care permi-te ca acul instrumentului de măsură să nu se stabilească la una dintre extremităţile cadranului valoarea nivelului sonor (care trebuie notată) este dată de suma dintre indica-ţia citită pe cadran şi cifra care indică domeniul de măsură stabilit cu ajutorul comutatorului (3) se trece comutatorul (2) pe poziţia „A” care corespunde punerii în funcţiune a fil-trelor care simulează percepţia auditivă a urechii umane, se citeşte şi se notează noua valoare indicată de aparatul de măsură se repetă toate operaţiile de măsură anterioare, la intervale de timp de câte un mi-nut, de încă 14 ori după terminarea măsurătorilor se revine în laborator, se întocmeşte histograma nivelelor acustice, se prelucrează datele şi se obţin valorile medii ale nivelului acustic şi nivelului acustic ponderat toate operaţiile de prelucrare a datelor, precum şi întocmirea histogramelor se pot face cu programul Excel

128

PRELUCRAREA DATELOR

MĂSURAREA NIVELULUI DE POLUARE SONORĂ Nr. crt. Lk (dB)

1010kL

LAk (dB(A))

1010AkL

1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15.

HISTOGRAMA NIVELULUI DE ZGOMOT ÎN FUNCŢIE DE TIMP

STUDENŢI

<LA> = ……… dB(A)

<L> = ……… dB

REZULTATE FINALE

1) 2) 3)

SEMNĂTURA CADRULUI

DIDACTIC

RD

ETALONAREA REŢELELOR DE DIFRACŢIE CU

RADIAŢIE LASER MONOCROMATICĂ

Lumină Lungime de undă Lumină monocromatică Difracţie Reţea de difracţie Constanta reţelei de difracţie Laser Calităţile fascicolului laser

Din materia acestui curs face parte explicarea unor fenomene întâlnite în cursul propagării undelor, fenomene comune atât undelor mecanice, cât şi undelor luminoase. Difracţia este unul dintre aceste fenomene. Reţeaua de di-fracţie este un element întâlnit în con-strucţia spectroscoapelor, aparate care realizează descompunerea luminii în cu-lorile componente, ceea ce permite şi identificarea unor componenţi chimici după amprenta lor spectrală. Laserul es-te utilizat la ora actuală în foarte multe domenii. Iată de ce ne propunem să vă familiarizăm în această lucrare cu di-fracţia, reţeaua de difracţie şi laserul.

CUVINTE CHEIE

TEMA APLICAŢIEI

SCOPUL APLICAŢIEI

Scopul lucrării constă în calcularea constantei unei reţele de di-fracţie, pe baza măsurătorilor făcute asupra figurii de difracţie obţi-nută utilizând lumina emisă de un laser şi reţeaua.

129

DEFINIŢII ŞI FORMULE

130

Lumină : ⇒ este numele dat radiaţiilor care sunt capabile să producă senzaţii vizuale ⇒ o caracterizăm printr-o serie de calităţi subiective, între care şi „culoarea”, care se află în legătură cu unele din proprietăţile obiective ale câmpului luminos ⇒ Fenomenele fizice asociate câmpului luminos pot fi modelate teoretic utilizând două ipoteze diferite : ⇒ lumina este un fenomen ondulatoriu, de natură electromagnetică, caracterizat de anumite mărimi specifice undelor (printre care şi lungimea de undă) ⇒ lumina este un flux de particule, numite fotoni

Lungimea de undă :

⇒ reprezintă distanţa parcursă de o undă armonică în decursul unei perioade de oscilaţie ⇒ este asociată culorii luminii, ochiul fiind sensibil doar la prezenţa undelor electromagnetice ce au lungimea de undă cuprinsă între 400 nm (violet) şi 700 nm (roşu)

Lumina monocromatică : ⇒ este o radiaţie electromagnetică de lungime de undă bine stabilită ⇒ poate fi percepută ca una din nuanţele de culoare din spectrul luminii ⇒ se poate obţine în unele cazuri prin interpunerea în calea fascicolului luminos a unui filtru monocromatic

Difracţia : ⇒ se întâlneşte când în calea unei unde se interpune un obstacol de dimensiuni comparabile cu lungimea de undă ⇒ este explicată conform principiului lui Huygens- Fresnel ⇒ uneori, este definită ca ocolirea de către undă a unor obstacole comparabile cu lungimea de undă

Reţeaua de difracţie este confecţionată dintr-o plăcuţă plană, transparentă, pe care este trasat un mare număr de zgârieturi fine, paralele, echidistante şi opace. Reţeaua de difracţie este echivalentă unui număr N de fante, aşezate paralel, la distanţe egale.

Constanta reţelei de difracţie a este distanţa dintre două fante consecutive. Tot prin constantă a reţelei de difracţie n se poate înţelege şi numărul de fante pre-zent pe unitatea de lungime. În acest sens, vorbind despre unde sonore, un nu-măr de blocuri de locuinţe, plasate la distanţe egale între ele, distanţe aproxima-tiv egale cu lungimea blocurilor, şi aşezate în lungul unei artere de circulaţie constituie o „reţea de difracţie” pentru sunete (mai precis pentru sunetele de frecvenţe foarte joase, în jur de 16-20 Hz). Datorită efectului unei asemenea „re-ţele de difracţie”, în spatele blocurilor ar putea apare zone în care zgomotul cir-culaţiei nu este perceput şi zone în care el este perceput destul de intens.

Laserul este aparat care permite obţinerea unui fascicol paralel de lumină mo-

nocromatică, relativ intensă. Numele său provine din limba engleză („Light Amplification by Stimulated Emission of Radiation” = „Lumină amplificată prin stimularea emisiei de radiaţie”). Deoarece cursul de fizică pe care-l urmaţi nu cuprinde informaţii despre laser şi efectul laser, ne permitem să prezentăm pe scurt modul de obţinere şi proprietăţile radiaţiei laser.

Să considerăm un mediu format din atomi cu două nivele de energie: E1 şi E2 > E1. Sunt po-sibile trei procese diferite :

E2

131

12 EEh⇒ absorbţia unui foton de energie :

−=ν ⇒ având ca rezultat excitarea energetică a atomului prin trecerea unui electron de pe nivelul E1 pe nivelul E2. Acest proces se numeşte ab-sorbţie stimulată. ⇒ emisia spontană a unui foton având aceeaşi energie, însoţită de revenirea electronului de pe nivelul E1 pe nivelul E2. Acest proces se numeşte emisie spontană. ⇒ interacţiunea dintre atomul excitat şi un foton de energie hν, având ca rezultat emisia unui al doilea foton şi revenirea atomului în stare fun-

damentală. Acest proces se numeşte emisie stimulată. Fotonul eliberat prin emisie stimulată are aceeaşi frecvenţă, aceeaşi fază şi aceeaşi direcţie de mişcare ca şi foto-nul care stimulează emisia. Dacă procesul de emisie stimulată se repetă de mai multe ori, poate rezulta o creştere în avalanşă a numărului de fotoni. Deoarece, conform re-laţiei lui Einstein, numărul de absorbţii stimulate este :

hν hν hν

hν

hν

e-

e-

e-E1

E2

E1

E2

E1

dtwNdN λ= 11 iar numărul de emisii stimulate este :

dtwNdN λ= 22

rezultă că pentru ca prin emisie stimulată să se intensifice fluxul de energie luminoasă trebuie ca :

1212 NNdNdN >⇒> adică numărul de atomi aflaţi în stare energetică excitată să fie mai mare decât numă-rul de atomi din starea fundamentală. Un mediu în care numărul atomilor în stare excitată depăşeşte numărul atomi-lor în stare fundamentală nu este un mediu la echilibru termodinamic şi poate fi obţi-nut doar prin excitarea energetică din exterior. Spunem în acest caz că s-a realizat in-versia de populaţie. Deci : inversia de populaţie este condiţia necesară obţinerii efectului de amplificare a luminii prin emisie stimulată, sau, pe scurt, a efectului laser.

Printre tipurile de laser utilizate la ora actuală se află laserele cu mediu activ gazos. Astfel, laserele He-Ne folosesc ca mediu activ un amestec de heliu şi neon. Prin de-clanşarea unei descărcări electrice, atomii de heliu pot fi excitaţi prin ciocniri cu elec-tronii acceleraţi în câmpul electric. Interacţiunea directă dintre atomii de heliu excitaţi şi cei de neon face ca aceştia din urmă să preia energie de la primii, trecând pe un ni-vel excitat metastabil (adică un nivel energetic al cărui timp mediu de viaţă este cu un ordin de mărime mai mare decât valorile obişnuite). În timp, numărul de atomi ex-citaţi pe nivelul metastabil creşte mult, realizându-se astfel inversia de populaţie. Prin emisie stimulată, ei emit ulterior radiaţie laser. Lungimea de undă a acestei radiaţii este λ = 632,8 nm.

NEON HELIU

Nivel metastabil

Excitarea he-liului prin ci-ocniri între electroni şi

atomi

Transfer ra-diativ

Excitarea neo-

Tranziţia laser

nului

132

pereţi absorbanţi

oglindă semitransparentă

oglindă

Un dispozitiv laser foloseşte în construcţia sa alături de mediul activ şi un sistem care asigură excitarea mediului activ. Tubul laser este de fapt o cavitate rezonantă, adică o incintă cu pereţi absorbanţi, prevăzută la capete cu două oglinzi, din care una semitransparentă. În cazul laserului He-Ne, mediul activ îl constituie plasma unei descărcări electrice dintr-un tub de sticlă, cu lungimea de 10-30 cm, aflată la o presi-une de 100 N/m2. Razele de lumină rezultate din emisia stimulată vor fi absorbite de pereţi, cu excepţia acelora care au direcţia de propagare paralelă cu axul longitudinal al cavităţii. Acestea, fiind reflectate între cele două oglinzi, vor parcurge de mai multe ori drumul dus-întors prin cavitate, mărind astfel probabilitate producerii emisiei sti-mulate. Fascicolul laser iese în exterior prin oglinda semitransparentă.

Calităţile fascicolului laser : ⇒ este format din lumină monocromatică, care are în cazul laserului He-Ne lun-gimea de undă λ = 632,8 nm, corespunzătoare tranziţiei electronului de pe nivelul metastabil pe nivelul fundamental ⇒ este coerent datorită faptului că radiaţia emisă stimulat este în fază cu radiaţia excitatoare ⇒ este foarte bine colimat, adică razele de lumină care îl compun au un grad de paralelism foarte ridicat, deoarece razele care nu sunt paralele cu axul longitudinal al cavităţii au fost eliminate prin absorbţia de către peretele tubului ⇒ are intensitate mare, în sensul în care energia stocată pe nivelul metastabil al atomilor mediului activ este eliberată într-un timp mult mai scurt decât timpul de ex-citare, realizându-se astfel o putere de emisie însemnată ⇒ este autofocalizat, adică razele care compun fascicolul laser au tendinţa de a se aduna spre centrul fascicolului. Această proprietate se explică prin aceea că indicele de refracţie al unui mediu depinde slab de intensitatea luminii. În cazul radiaţiei laser, caracterizată de o valoare mare a intensităţii, indicele de refracţie al mediului creşte dinspre marginea fascicolului către centrul său. Acest fapt provoacă devierea razelor dinspre marginea fascicolului spre interior. După parcurgerea unei anumite distanţe dimensiunile transversale ale fascicolului se stabilizează, aspectul acestuia fiind fili-form.

133

PRINCIPIUL METODEI

Reţeaua de difracţie este con-fecţionată dintr-o plăcuţă plană, transparentă, pe care este trasat un mare număr de zgârieturi fine, parale-le, echidistante şi opace. Reţeaua de difracţie este echivalentă unui număr N de fante, aşezate paralel, la distanţe egale. Iluminarea reţelei se face cu un fascicul paralel de lumină monocro-matică, care cade pe reţea la incidenţă normală. Pe fiecare dintre fante are loc fenomenul de difracţie, undele se-cundare împrăştiindu-se în toate di-recţiile. Undele secundare corespun-zătoare razelor de lumină ce fac un-

ghiul α cu direcţia iniţială a fasciculului sunt concentrate în focarul secundar M al unei lentile convergente L. În punctul M se produce interferenţa undelor secundare, rezultând o anumită stare de iluminare. Undele secundare care se întâlnesc în M par-curg drumuri inegale. Dacă ţinem seamă că de la sursa de lumină la reţeaua de difrac-ţie şi de la frontul de undă AB la punctul M razele parcurg acelaşi drum, rezultă că diferenţa de drum între raza AM (raza „zero”) şi raza cu numărul de ordine k este:

B

A

δ5

a

a a a a a

f

α

α

O'

M

Ox

L ER

δ αk ka= sin unde a este distanţa dintre fante, numită şi constanta reţelei. Rezultatul interferenţei se obţine prin însumarea tuturor contribuţiilor undelor secundare în M şi depinde de diferenţele de drum δk. Calculele teoretice arată că raportul dintre iluminarea ecranu-lui într-un punct oarecare M şi iluminarea în focarul principal O este :

II

Na

N aM

0

2

=

⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟

sin sin

sin sin

π αλ

π αλ

unde N este numărul total de fante al reţelei. Reprezentarea grafică a acestei expresii pune în evidenţă existenţa unor maxime şi a unor minime de iluminare pe ecran. Ma-ximele principale, mult mai luminoase decât cele secundare, sunt poziţionate în punc-tele de pe ecran care corespund condiţiei :

134

⇒ x fk =

kaka

− ⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

λ

λ12

sinα λk k

a=

unde f este distanţa focală a lentilei. Teoretic, intensitatea luminoasă a tuturor maximelor principale este aceeaşi. Deoarece :

− ≤ ≤1 1αksin ⇒

− ≤ ≤ ⇒ −1 1ka

a≤ ≤k aλ

λ λ

adică numărul maximelor principale care pot fi observate este limitat :

12 +⎟⎠⎞

⎜⎝⎛λ

⋅=antregm î

Dacă distanţa dintre reţeaua de difracţie şi ecran este foarte mare în comparaţie cu dimensiunile reţelei, razele de lumină care sosesc de la fantele reţelei într-un punct al ecranului sunt practic paralele între ele, ceea ce permite renunţarea la lentila conver-gentă. În acest caz, expresia coordonatei maximului principal de difracţie devine :

2

1 ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ λ

−

λ

=

ak

ak

Dxk

unde D este distanţa dintre reţea şi ecran. În condiţiile în care lungimea de undă λ este cunoscută, iar mărimile xk, D şi k sunt determinate prin măsurători experi-mentale, expresia poate fi utilizată pentru calcularea constantei reţelei : a. Uzual, în locul constantei a se preferă ca reţeaua să fie caracterizată printr-o altă constantă : n = 1/a, care reprezintă numărul de trăsături pe unitatea de lungime a reţelei. Expresia lui n este :

22

1

k

k

xDx

kn

+⋅

λ=

Posibilitatea de a pune în practică această metodă de măsură a constantei reţelei de difracţie este condiţionată de obţinerea unui fascicol paralel de lumină monocro-matică, necesar iluminării reţelei de difracţie. În acest sens, fascicolul laser este cea mai bună alegere care se poate face.

135

MATERIALE ŞI APARATE

Laser He-Ne banc optic

ecran riglă

reţea de difracţie

4

7

5

1

2

6

3

EXPLICAŢII : (1) sursa de alimentare a laserului, (2) laser, (3) fantă, (4) reţeaua de difracţie, (5) ecran mobil, (6) banc optic, (7) locaşul cheiţei pentru pornirea laserului

136

137

MOD DE LUCRU

se introduce alimentatorul (1) în priză, se conectează mufa de ieşire la laserul (2), se porneşte laserul utilizând cheiţa de activare (7) şi se urmăreşte ca fascicolul laser să treacă prin fanta cea mai largă a discului cu fante (3)

se introduce reţeaua de difracţie (4) în suportul său, astfel încât fascicolul laser să treacă prin centrul ei

se observă figura de difracţie de pe ecranul (5). Aceasta trebuie să fie formată dintr-o serie de puncte luminoase, aşezate simetric faţă de maximul central (maxi-mul de ordin zero). Pentru reţeaua folosită în laborator se văd cu totul cinci puncte luminoase

se măsoară pe ecran distanţa X1 dintre cele două maxime de ordinul întâi, aflate de o parte şi de alta a maximului central. Valoarea obţinută se notează în tabelul de date

se măsoară pe ecran distanţa X2 dintre cele două maxime de ordinul doi, aflate în exteriorul maximelor de ordinul întâi, iar valoarea se notează şi ea în tabelul de da-te

se măsoară distanţa D dintre reţeaua de difracţie şi ecran, iar valoarea obţinută se notează în tabelul de date

se modifică distanţa D şi se reiau măsurătorile până la completarea tabelului de date

se scoate din funcţiune laserul

se calculează constanta reţelei cu formula (k este ordinul maximului de difracţie):

2241

k

k

XD

Xk

n+

⋅λ

=

se calculează valoarea medie a constantei reţelei, precum şi abaterea pătratică medie corespunzătoare, ca şi eroarea relativă

138

PRELUCRAREA DATELOR

ETALONAREA UNEI REŢELE DE DIFRACŢIE Nr. crt. λ (mm) k Xk (mm) D (mm) n (mm-1)

1 1 2 2 3 1 4 2 5 1 6 6328⋅10-7 2 7 1 8 2 9 1

10 2

<εn> = ……….. %

<σn> = ……….. trăs/mm

<n> =………trăs/mm

REZULTATE FINALE

STUDENŢI 1) 2) 3) 4)

SEMNĂTURA CADRULUI DIDACTIC