ludwig krippahl, 2009 programação para as ciências experimentais 2008/9 teórica 7
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Ludwig Krippahl, 2009
Programação para as Ciências Experimentais
2008/9
Teórica 7
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Ludwig Krippahl, 2009 2
Na aula de hoje...
Métodos estocásticos (Monte Carlo)• Calculo de áreas
• Integração de funções
Simulação• Contar unidades formadoras de colónias
Trabalho 1 (dúvidas)
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Ludwig Krippahl, 2009 3
Monte Carlo
Nome cunhado pelo matemático Nicholas Constantine Metropolis• (1915-1999)
Conjunto de métodos baseados em números aleatórios.
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Ludwig Krippahl, 2009 4
Calcular uma área
x>1
y<x-1y2+x2<4
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Ludwig Krippahl, 2009 5
Calcular uma área
x>1
y<x-1y2+x2<4
Área?
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Ludwig Krippahl, 2009 6
Algoritmo
Pontos ao acaso no quadrado -2, 2.
Área?
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Ludwig Krippahl, 2009 7
Algoritmo
Contamos os pontos dentro e fora.
Área?
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Ludwig Krippahl, 2009 8
Algoritmo
Contamos os pontos dentro e fora. A fracção de pontos dentro da área será
a proporção entre a área a medir e a área do quadrado.
Quanto mais pontos melhor.
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Ludwig Krippahl, 2009 9
Implementação
Separar as tarefas:• Dentro ou fora?
• Uma função que recebe x, y e devolve true ou false conforme x, y está dentro da área que queremos.
• Contar os pontos• Outra função que recebe o nome da função que
testa, o rectângulo que inclui a área a medir, e o número de pontos, e devolve a área pretendida.
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Ludwig Krippahl, 2009 10
Implementação
Função triangcirc testa se está dentro do triângulo e circulo
function dentro=triangcirc(x,y)
dentro= ( x^2+y^2<4 && x>1 && y<x-1);
endfunction
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Ludwig Krippahl, 2009 11
Implementação
Função areamc:• devolve área
• recebe• nome da função teste (string, para o feval)
• mínimos de x e y
• máximos de x e y (definem o rectângulo)
• número de pontos
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Ludwig Krippahl, 2009 13
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Ludwig Krippahl, 2009 17
Implementação
Função areamc:
function a=areamc(testfn,minx,miny,maxx,maxy,pontos)
• valor a devolver com a área
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Ludwig Krippahl, 2009 18
Implementação
Função areamc:
function a=areamc(testfn,minx,miny,maxx,maxy,pontos)
• string com o nome da função que testa cada ponto
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Ludwig Krippahl, 2009 19
Implementação
Função areamc:
function a=areamc(testfn,minx,miny,maxx,maxy,pontos)
• rectângulo que contêm a área a determinar
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Ludwig Krippahl, 2009 20
Implementação
Função areamc:
function a=areamc(testfn,minx,miny,maxx,maxy,pontos)
• número de pontos a testar
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Implementação
Função areamc:• área (variável a) começa a zero
• calcular a largura e altura do rectângulo
• ciclo para testar o número especificado de pontos.
• no final, a área é o número de pontos dentro a dividir pelo total de pontos e multiplicar pela área do rectângulo
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Ludwig Krippahl, 2009 22
Implementação
Função areamc:• ciclo para testar o número especificado de
pontos.• criar coordenadas x,y aleatórias, de minx a maxx,
e miny a maxy respectivamente.
• se feval(testefn, x, y) for verdadeiro então incrementar a variável a (para contar o número de pontos dentro da área)
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Ludwig Krippahl, 2009 23
Implementação
Para fazer os gráficos:• Além da área devolver também duas matrizes
com as coordenadas x,y dos pontos dentro e fora.
function [a,dentros,foras]=areamc(testfn,minx,miny, maxx,maxy,pontos)
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Ludwig Krippahl, 2009 24
Exemplo de utilização
octave:13> areamc("triangcirc",-2,-2,2,2,1000)
ans = 1.7440
Nota: chamando assim ignora os outros valores devolvidos, dentros e foras.
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Ludwig Krippahl, 2009 25
Exemplo de utilização
pontos=1000;[a,ds,fs]=areamc("triangcirc",-2,-2,2,2,pontos);hold offaxis("equal") eixos iguaistitle([num2str(pontos)," pontos"]);plot(ds(:,1),ds(:,2),"og;;");hold on;plot(fs(:,1),fs(:,2),"or;;");“or;;” – circulo, red, ;; indica que não tem legenda
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Dicas
Mais pontos, mais rigor:
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Ludwig Krippahl, 2009 27
Dicas
Mais pontos, mais rigor. O rectângulo deve estar o mais próximo
possível da área que queremos.• Em vez de (-2,-2) a (2,2), usar (1, -2) a (2,1)
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Ludwig Krippahl, 2009 28
Dicas
• Em vez de (-2,-2) a (2,2)
usar (1, -2) a (2,1)
• Área=1.7
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Ludwig Krippahl, 2009 29
Integrar função
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Ludwig Krippahl, 2009 30
Integrar função
O integral de f(x)=exp(-x3) não tem solução analítica.
Mas o integral é a área:
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Ludwig Krippahl, 2009 31
Integrar função
Podemos usar a areamc, só precisamos de uma função nova:
function dentro=expxcubo(x,y)
dentro=y<=exp(-x^3);
endfunction
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Ludwig Krippahl, 2009 32
Integrar função
Basta usar:
areamc("expxcubo",0,0,2,1.2,5000);
ans= 0.89952
Nota: neste caso só é devolvido o primeiro valor (a).
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Ludwig Krippahl, 2009 33
Integrar função Para fazer o gráfico:pontos=5000;[a,ds,fs]=areamc("expxcubo",0,0,2,1.2,pontos);clearplotaxis("equal")title([num2str(pontos)," pontos"]);plot(ds(:,1),ds(:,2),"og;;");hold on;plot(fs(:,1),fs(:,2),"or;;");
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Ludwig Krippahl, 2009 34
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Ludwig Krippahl, 2009 35
Contar microorganismos no ar
Bomba aspira ar. Orifícios sobre placa. Contar colónias. Estimar UFCs.
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Ludwig Krippahl, 2009 36
Contar microorganismos no ar
Problema:• Podem entrar vários esporos ou bactérias
pelo mesmo orifício, resultando numa só colónia.
Ar
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Ludwig Krippahl, 2009 37
Contar microorganismos no ar
Problema:• Podem entrar vários esporos ou bactérias
pelo mesmo orifício, resultando numa só colónia.
• Sabendo o número de colónias na placa, quantas UFCs no ar?
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Ludwig Krippahl, 2009 38
Contar microorganismos no ar
Dividir em 2 fases• Simular o processo para calcular quantas
colónias sabendo o número de UFCs.
• Usar a simulação com diferentes valores de UFCs até que obter o número de colónias observado.
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Ludwig Krippahl, 2009 39
Simulação
Temos N orifícios e X UFCs. Cada UFC pode entrar por qualquer dos
N orifícios. O número de colónias será o número de
orifícios diferentes por onde entraram UFCs
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Ludwig Krippahl, 2009 40
Algoritmo
Para cada UFC seleccionar um orifício aleatoriamente e marcar esse orifício.
Contar o número de orifícios marcados. Repetir um número grande de vezes (50,
100, ...) e tirar o valor médio.
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Ludwig Krippahl, 2009 41
Implementação
Função
function cs=colonias(buracos,ufcs,tentativas)
• Devolve o número de colónias
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Ludwig Krippahl, 2009 42
Implementação
Função
function cs=colonias(buracos,ufcs,tentativas)
• Número de orifícios
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Ludwig Krippahl, 2009 43
Implementação
Função
function cs=colonias(buracos,ufcs,tentativas)
• Número de UFCs no ar
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Ludwig Krippahl, 2009 44
Implementação
Função
function cs=colonias(buracos,ufcs,tentativas)
• Número de vezes que repete a simulação para calcular a média
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Ludwig Krippahl, 2009 45
Implementação
Dois ciclos for:• número de tentativas e, para cada tentativa
• número de ufcs.
A cada tentativa somar a um contador o número de orifícios marcados.
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Ludwig Krippahl, 2009 46
Implementação
Dois ciclos for:
for a=1:4
for b=1:3
disp([a,b])
endfor
endfor
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Ludwig Krippahl, 2009 47
Implementação
Dois ciclos for:
for a=1:4
for b=1:3
[a,b]
endfor
endfor
Repetido 4 vezes
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Ludwig Krippahl, 2009 48
Implementação
Dois ciclos for:
for a=1:4
for b=1:3
[a,b]
endfor
endfor
Repetido 3 vezes cada uma das 4 do ciclo de fora (12 vezes no total)
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Ludwig Krippahl, 2009 49
Implementação
Os orifícios podem ser representados como um vector de zeros, e marcados com 1.
O total de orifícios marcados é o somatório do vector.
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Ludwig Krippahl, 2009 50
Implementação
Como seleccionar o orifício aleatoriamente.• É preciso arredondar:
• round(x) inteiro mais próximo de x
• floor(x) maior inteiro menor que x
ix=floor(rand*buracos)+1; (de 1 a buracos)
Nota: o rand nunca devolve 1. Ver help.
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Ludwig Krippahl, 2009 51
Implementação
Exemplo: 10 orifícios e 3 UFCs,
[0 0 0 0 0 0 0 0 0 0] inicio, todos vazios
[0 0 1 0 0 0 0 0 0 0] 3
[0 0 1 0 0 0 1 0 0 0] 5
[0 0 1 0 0 0 1 0 0 0] 3
2 Colónias
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Ludwig Krippahl, 2009 52
Problema real: saber UFCs
A função colonias dá-nos o número de colónias formadas na placa sabendo as UFCs no ar.
O problema real é o inverso: as colónias na placa é o que se observa, e o que queremos saber é as UFCs do ar.
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Ludwig Krippahl, 2009 53
Algoritmo
O número de colónias será sempre igual ou inferior ao número de UFCs no ar.
Começar por UFCs= colónias, e ir incrementando os UFCs até obter da função colonias o número certo de colónias.
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Ludwig Krippahl, 2009 54
Implementação
Função contaufcs
function u=contaufcs(buracos,cs,tentativas)• Recebe o número de orifícios, colónias
observadas, e o número de tentativas para estimar as colónias para cada valor de u.
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Ludwig Krippahl, 2009 55
Implementação
Função contaufcs• u = cs
• Enquanto o número estimado de colónias for inferior a cs, incrementar u e recalcular a estimativa
• Para estimar o número de colónias em função de u usar a função colonias, com o número de tentativas no argumento do contaufcs
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Ludwig Krippahl, 2009 56
Para pensar
Outra maneira de implementar• Por bipartição, começando com um
intervalo, e.g., entre nc e nc*4.
• Como?
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Ludwig Krippahl, 2009 57
Dúvidas