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12006
Lugar de las Raíces
Tema 5
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22006
Índice
• Respuesta dinámica de un sistema• Respuesta dinámica de un sistema en bucle cerrado• Definición de Lugar de las Raíces (LR)• Ecuación Característica• Criterio del Argumento• Criterio del Módulo• Reglas de Trazado del Lugar de las Raíces• Ejemplo• Lugares de las raíces básicos• Lugar inverso de las raíces• Contorno de las raíces
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32006
El comportamiento dinámico de unsistema viene dado por los polos de laf.d.t. (raíces de la ecuacióncaracterística)
y(t)
Los ceros también influyen através de los coeficientes(pesos) de los modostransitorios
Respuesta Dinámica de un Sistema
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42006
Captador
Σ+
-
U(s)C(s) ε(s)
Ycap(s)
PlantaRegulador
Y(s)K
H(s)
G(s)
La dinámica del sistemaviene dada principalmente porlas raíces de la ec. característica
Problemas:• Difícil si el orden de la
ec. caract. >=3• Habitualmente,
necesario recalcularlosen función de unparámetro (ej.: K)
)()(1)()(
sHsKGsKGsM
+=
0)()(1 =+ sHsKG
Respuesta Dinámica de un Sistemaen Bucle Cerrado
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Polos y ceros del sistema realimentado
(s)D(s)NH(s)
(s)D(s)N
G(s)h
h
g
g == ,
Ceros de M(s):• Ceros de G(s)
• Polos de H(s)
Polos de M(s):dependen de K
)()(1)()(
sHsKGsKGsM
+=
(s)(s)NNK(s)(s)DD(s)(s)DNK
M(s)hghg
hg
⋅+⋅
=
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62006
K=16
Definición:El L.R. es el lugar geométrico en elplano complejo que ocupan las raícesde la ecuación característica cuandovaría el parámetro K
Captador
Σ+
-
U(s)C(s) ε(s)
Ycap(s)
PlantaRegulador
Y(s)K
K=5 K=10 K=20
Definición de Lugar de las Raíces (LR)
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El método del L.R. parte de la ecuación característica factorizada de lasiguiente forma:
Ecuación Característica
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Criterio del Argumento
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Criterio del Módulo
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s-p 1
s-p4 s-p3 s-z1s-p2
p3p4 p2 p1z1
s
θpi
Todo punto s del LR debesatisfacer esta condicióngeneral.
Ejemplo:Reglas de Trazadodel Lugar de las Raíces
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Reglas de trazado del Lugar de las Raíces
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Reglas de trazado del Lugar de las Raíces
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Reglas de trazado del Lugar de las Raíces
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1 2
3
4
Ramas Independientes
Lugar en el eje real
Simetría respecto aleje real
Puntos decomienzo del LR
Puntosfinales del LR
Reglas de Trazadodel Lugar de las Raíces
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θ
Reglas de Trazadodel Lugar de las Raíces
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Reglas de trazado del Lugar de las Raíces
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Reglas de trazado del Lugar de las Raíces
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pi
θp2
θz1θp1
θ
p1
p2
z1
Re
Im
Reglas de trazado del Lugar de las Raíces
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Reglas de trazado del Lugar de las Raíces
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Reglas de trazado del Lugar de las Raíces
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Captador
Σ+
-
U(s)C(s) ε(s)
Ycap(s)
PlantaRegulador
Y(s)K
Función de transferencia en bucle abierto:
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-2-5-7-10-20
2
3
14
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-2-5-7-10-20
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-2-5-7-10-20
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-2-5-7-10-20
Centroide, Asíntotas y Punto de Dispersión
centroideσc=10
Asíntotas
Pto. dispersión
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302006
37)1700(42037 K+−×
3701-)72000(37 ×+× K
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312006
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322006
Lugar de las Raíces final
-2-5-7-20 -10
+j14.439
-j14.439
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332006
Lugares de las Raícesbásicos
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342006
LR básicos: 1 polo real
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352006
LR básicos: 2 polos reales
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362006
LR básicos: 2 polos complejos
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372006
LR básicos: 3 polos reales
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382006
LR básicos: 3 polos (2 complejos + 1 real)
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392006
LR básicos: 4 polos
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402006
LR básicos: 1 polo + 1 cero
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Universidad de Oviedo
412006
LR básicos: 2 polos + 1 cero
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Universidad de Oviedo
422006
LR básicos: 3 polos + 2 ceros
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Universidad de Oviedo
432006
LR básicos: 3 polos + 1 cero
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442006
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472006
Examen Junio 2004
5. Se ha diseñado mediante el lugar de lasraíces otro regulador, y se ha obtenido lasiguiente representación. Sólo falta calcularsu ganancia estática k:
a.¿Para qué valores de k se cumplirá laespecificación del apartado 1?
b. Indique la función de transferencia delregulador ¿qué tipo de regulador es?
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Captador
Σ+
-
U(s)C(s)
ε(s)
Ycap(s)
PlantaRegulador
Y(s)K
Determinar el comportamiento del sistema realimentado en funciónde la constante de tiempo, τ, del captador para K=1
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502006
Solución:
La ecuación característica será:
Reordenando términos…
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512006
El problema queda planteado en términos de un LR:
El LR tiene 3 ceros…
… y dos polos
τ pequeñas:comportamientooscilatorio
τ=0.688:polo dobleamort. crítico τ=1:
3 polos realessobreamort.T = 2.6 seg
τ=10:3 polos realessobreamort.muy lentoT = 32 seg.
ConclusiónVemos cómo un captador lentoinfluye negativamente en elcomportamiento del lazoralentizándolo