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Luiz Fernando Martha – Método das Forças – 161 5.5. Exemplos de solução pelo Método das Forças Exemplo 01 Determine pelo Método das Forças o diagrama de momentos fletores do quadro hiperestático ao lado. Somente considere deformações por flexão. Todas as barras têm a mesma inércia à flexão EI = 1,0 x 105 kNm2.

X1 X1

X2

Sistema Principal e Hiperestáticos (g=2)

M0

Caso (0) – Solicitação externa isolada no SP

X1=1

X1=1

1/6 1/6

1/6

1/6

1/4

1/4

1/4 1/4

M1 . X1

Caso (1) – X1 isolado no SP

X2=1

1/4

M2

1/4

. X2


Equações de Compatibilidade

−=+=

⇒

=

+

kNmXkNmX

XX

82.4510.8

00

2

1

2

1

2221

1211

20

10

δδδδ

δδ

EIEI546361

31691

311

10 −=

⋅⋅⋅−⋅⋅⋅⋅=δ

EIEI3366721

214361

614721

311

20 +=

⋅⋅⋅+⋅⋅⋅+⋅⋅⋅⋅=δ

EIEI 320611

312411

3121

11 +=

⋅⋅⋅⋅+⋅⋅⋅⋅⋅=δ

01221 == δδ

EIEI 322611411

311

22 +=

⋅⋅+⋅⋅⋅⋅=δ

Diagrama de Momentos Fletores M = M0 + M1·X1 + M2·X2

M

(kNm)

162 – Métodos Básicos da Análise de Estruturas – Luiz Fernando Martha Exemplo 02 Considere as duas estruturas mostradas abaixo. A da esquerda é um quadro isostático e a da direita é um quadro hiperestático. Os dois quadros sofrem a mesma solicitação: uma força horizontal de 50 kN aplicada no apoio da direita e um recalque desse mesmo apoio de 6 mm para baixo. Todas as barras têm um material com módulo de elasticidade E = 1,0 x 108 kN/m2 e seções transversais com momento de inércia I = 1,0 x 10-3 m4. Considere válida a hipótese de pequenos deslocamentos.

Pede-se: (a) Determine o diagrama de momentos fletores da estrutura isostática. (b) Determine o diagrama de momentos fletores da estrutura hiperestática. Deve-se utilizar o Método das

Forças, adotando OBRIGATORIAMENTE como Sistema Principal a estrutura isostática da esquerda. Somente considere deformações por flexão.

(b.1) Dê a intepretação física do termo de carga δ10 do sistema de equações de compatibi- dade do Método das Forças para esta solução.

(b.2) Mostre a dedução do termo de carga δ10 pelo Princípio das Forças Virtuais. (c) Considere que as colunas dos quadros acima tiveram a seção transversal modificada para uma com

momento de inércia I = 2,0 x 10-3 m4 (a viga não se altera). Responda sem fazer nenhum cálculo: (c.1) O diagrama de momentos fletores da estrutura isostática se altera? Por que? (c.2) O diagrama de momentos fletores da estrutura hiperestática se altera? Por que? Item (a)

M

(kNm)

ρ = 0.006m

Como a estrutura é isostática, o “pequeno” recalque de apoio não provoca deformações (só movimento de corpo rígido). Portanto, o recalque não provoca momentos fletores, que só são devidos à carga de 50 kN aplicada.

Item (b) Caso (0) – Solicitação eterna isolada no SP Idêntico ao item (a).

X1=1

1/3

M1

. X1


1/3

Item (b.1) – Equação de compatibilidade

011110 =⋅+ Xδδ 10δ é a rotação da seção do apoio da esquerda no caso (0)

Luiz Fernando Martha – Método das Forças – 163 Item (b.2) – Cálculo de 10δ pelo Princípio das Forças Virtuais (PFV) Sistema Real (Estrutura da qual se quer calcular o desloca-mento.) É o caso (0), que é idêntico ao item (a).

Sistema Virtual (Estrutura com força unitária virtual na dire-ção do deslocamento que se quer calcular.) É o caso (1) com 11 =X .

PFV: UWE =

→EW Trabalho das forças externas do sistema virtual com os correspondentes deslocamentos externos do sistema real. Neste caso, o trabalho externo virtual é igual ao produto de 11 =X por 10δ mais o produto da reação vertical no apoio direito do caso (1) – força de 1/3 para baixo – pelo recalque de a-poio ρ :

ρδ ⋅+⋅= )3/1(1 10EW .

→U Energia de deformação interna virtual. Esta é a energia de deformação por flexão provocada pelos momentos fletores do sistema virtual 1MM = com as correspondentes rota-ções relativas internas do sistema real

dxEIMd )/( 0=θ . Deve ser observado que o recalque de apoio ρ não provoca deforma-ções internas (só provoca movimento de corpo rígido). Portanto, θd é somente devido à car-ga de 50 kN aplicada. Assim:

dxEI

MMdMdMUestruturaestruturaestrutura∫∫∫ === 01

1 θθ

Assim:

ρδ ⋅−⋅= ∫ )3/1()/1(.

0110 dxMMEIestrut

006.03121001

2131001

211

10 ⋅

−

⋅⋅⋅−⋅⋅⋅−⋅=EI

δ

radx 310 105.4 −−=δ

kNmradxEI

/103211311311 5

11−+=

⋅⋅+⋅⋅⋅⋅=δ

kNmXX 1500 111110 =⇒=⋅+δδ

Diagrama de Momentos Fletores M = M0 + M1·X1

M

(kNm)

Item (c.1) – Na estrutura isostática, o diagrama de momentos fletores só depende dos valores da carga e rea-ções, e da geometria da estrutura. Com a consideração da hipótese de pequenos deslocamentos, as equações de equilíbrio podem ser escritas para a geometria indeformada (original) da estrutura. Portanto, o diagrama de momentos fletores não se altera com a modificação do momento de inércia da seção transversal das colu-nas. Item (c.2) – Na estrutura hiperestática, por ter vínculos excedentes, os esforços internos dependem da rigidez relativa entre as barras. Com as colunas mais rígidas do que a viga, as rotações das extremidades da vigas são menores do que no caso com todas as barras com rigidez iguais, se aproximando do caso de uma viga com extremidades engastadas. Portanto, o diagrama de momentos fletores fica alterado com a modificação do momento de inércia da seção transversal das colunas. Exemplo 03 Determine pelo Método das Forças o diagrama de momentos fletores do quadro hiperestático ao lado. Somente considere deformações por flexão. Todas as barras têm a mesma inércia à flexão EI = 4,0 x 104 kNm2.

164 – Métodos Básicos da Análise de Estruturas – Luiz Fernando Martha Caso (0) – Solicitação externa isolada no SP

Caso (1) – Hiperestático X1 isolado no SP

M1 x X1


x X2

Equações de compatibilidade:

=++=++

00

22212120

21211110

XXXX

δδδδδδ

=

⋅

+−−+

⋅+

−−

⋅⇒00

822101

1141561

2

1

XX

EIEI

+=+=

⇒kNm1,19kNm4,19

2

1

XX

EIEI1566241

31691

326241

211

10 −=

⋅⋅⋅−⋅⋅⋅−⋅⋅⋅−⋅=δ

EIEI1146361

316361

31691

316241

311

20 −=

⋅⋅⋅−⋅⋅⋅−⋅⋅⋅−⋅⋅⋅+⋅=δ

EIEI10611

31611611

311

11 +=

⋅⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅⋅⋅=δ EIEI2611

311

2112 −=

⋅⋅⋅−⋅== δδ

EIEI8611

3141

22 +=

⋅⋅⋅⋅⋅=δ

Momentos Fletores Finais: 22110 XMXMMM ⋅+⋅+=

M2

[kNm]

M0

Sistema Principal eHiperestáticos

SP

X1

X1 X2 X2

X1 = 1 X1 = 1

1/6 1/6

X2 = 1

X2 = 1

1/6

1/6 1/6

1/6

1/6

1/6 1/6

1/6

[kNm]

M

Luiz Fernando Martha – Método das Forças – 165 Exemplo 04 Considere os quatro pórticos mostrados abaixo. Os pórticos do lado esquerdo são isostáticos e os do lado direito são hiperestáticos. Os pórticos superiores têm como solicitação uma carga uniformemente distribuí-da aplicada na viga. As duas estruturas inferiores têm como solicitação um aumento uniforme de tempera-tura (∆T = 12 °C) na viga. Todas as barras têm um material com módulo de elasticidade E = 108 kN/m2 e coeficiente de dilatação térmica α = 10–5 /°C. Todas a barras têm seções transversais com momento de inér-cia I = 1,0 x 10–3 m4.

Pede-se: (a) Indique os aspectos das configurações deformadas (amplificadas) das quatro estruturas. (b) Determine os diagramas de momentos fletores das estruturas isostáticas e os aspectos (não precisa dos

valores numéricos) dos diagramas de momentos fletores das estruturas hiperestáticas. (c) Determine o diagrama de momentos fletores (com valores numéricos) da estrutura hiperestática infe-

rior (solicitada pela variação de temperatura). Deve-se utilizar o Método das Forças, adotando obriga-toriamente como Sistema Principal a estrutura isostática da esquerda. Somente considere deforma-ções por flexão. Sabe-se que o alongamento relativo interno de um elemento infenitesimal de barra devido a uma variação uniforme de temperatura é du = α ∆T dx. Neste caso não existe rotação relativa interna do elemento infinitesimal.

(d) Considere que as colunas dos quadros acima tiveram a seção transversal modificada para uma com momento de inércia I = 2,0 x 10-3 m4 (a viga não se altera). Responda:

(d.1) Os diagramas de momentos fletores das estruturas isostáticas se alteram? Por que? (d.2) Os diagramas de momentos fletores das estruturas hiperestáticas se alteram? Por que? Item (a)

166 – Métodos Básicos da Análise de Estruturas – Luiz Fernando Martha Item (b)

M [kNm]

M[kNm]

M=0

M

[kNm]

(veja solução abaixo)

Item (c)

Caso (0) – Variação de temperatura no SP

δ10 M0=0

mLT 5510 107261210 −− ⋅+=⋅⋅=⋅∆⋅=αδ

Equação de compatibilidade

kNXX 10 111110 −=⇒=⋅+δδ Momentos fletores finais (veja acima)

11110 )1(0 MMXMMM −=−⋅+=⋅+=

X1 = 1


M1

. X1

X1 = 1

δ11

( )

⋅⋅+⋅⋅⋅⋅⋅== ∫ 63333331212

111 EI

dxEI

Mδ

kNm/1072 511

−⋅+=δ Item (d.1) – Na estrutura isostática, o diagrama de momentos fletores só depende dos valores da carga e rea-ções, e da geometria da estrutura. Com a consideração da hipótese de pequenos deslocamentos, as equações de equilíbrio podem ser escritas para a geometria indeformada (original) da estrutura. Portanto, o diagrama de momentos fletores não se altera com a modificação do momento de inércia da seção transversal das colunas. No caso da carga uniformente distribuída, a estrutura isostática terá sempre o diagrama de momentos fleto-res indicado no item (a) (diagrama parabólico no viga). No caso da variação de temperatura, a estrutura i-sostática terá sempre momentos fletores nulos. Item (d.2) – Na estrutura hiperestática, por ter vínculos excedentes, os esforços internos dependem da rigi-dez relativa entre as barras. Com as colunas mais rígidas do que a viga, as rotações das extremidades da viga são menores do que no caso com todas as barras com rigidez iguais, se aproximando do caso de uma viga com extremidades engastadas. Portanto, o diagrama de momentos fletores fica alterado com a modificação do momento de inércia da seção transversal das colunas. No caso da carga uniformente distribuída, a estrutura isostática terá como o mesmo aspecto do diagrama de momentos fletores indicado no item (a), mas os valores ficam alterados em relação ao diagrama com viga e colunas com mesma seção transversal.

Luiz Fernando Martha – Método das Forças – 167 A solução da estrutura hiperestática pelo Método das Forças, para a solicitação de variação uniforme de temperatura na viga, demonstra que a os valores dos momentos fletores finais dependem dos valores relati-vos entre momentos de inércia das seções transversais barras: O caso (0) mostrado no item (c) permanece inalterado, isto é:

mLT 5510 107261210 −− ⋅+=⋅⋅=⋅∆⋅=αδ .

O diagrama de momentos fletores M1 do item (c) é o mesmo, mas o valor do coeficiente de flexibilidade fica alterado:

[ ]

⋅⋅⋅⋅⋅+⋅⋅⋅= 33331216331

11colunaviga EIEI

δ

kNm/10631091054 55511

−−− ⋅=⋅+⋅=δ Equação de compatibilidade

kNXX 780 111110 −=⇒=⋅+δδ

Momentos fletores finais ( )7

81110 −⋅=⋅+= MXMMM

M

[kNm]8/7 8/7

24/7

24/7 24/7

24/7

Exemplo 05 Determine pelo Método das Forças o diagrama de momentos fletores do quadro hiperestático ao lado. Somente considere deformações por flexão. Todas as barras têm a mesma inércia à flexão EI = 1,0 x 105 kNm2.

Sistema Principal e Hiperestáticos

(g = 2)

X1

X1 X2 X2


M0

168 – Métodos Básicos da Análise de Estruturas – Luiz Fernando Martha

X1 = 1 X1 = 1


M1

1/6

1/6

1/6

1/6

. X1

X2 = 1


M2

1/6

. X2

1/6

1/6 1/6

1/6

1/6

1/6

1/6

1/6

1/6

X2 = 1


+=−=

⇒

=

+

kNmXkNmX

XX

7.1703.61

00

2

1

2

1

2221

1211

20

10

δδδδ

δδ

EIEI129662881

3162881

216721

311

10 +=

⋅⋅⋅+⋅⋅⋅+⋅⋅⋅−⋅=δ

EIEI1440

31445.03131445.0

31

34325.03134325.0

31

628813162881

316721

31

120 −=

⋅⋅⋅−⋅⋅⋅−

⋅⋅⋅+⋅⋅⋅−

⋅⋅⋅+⋅⋅⋅−⋅⋅⋅−

⋅=δ

EIEI10611

31611611

311

11 +=

⋅⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅⋅⋅=δ

EIEI4611

31611

21611

611

2112 −=

⋅⋅⋅−⋅⋅⋅−⋅⋅⋅⋅== δδ

EIEI735.05.0

314611

3131

22 +=

⋅⋅⋅⋅+⋅⋅⋅⋅⋅=δ

Momentos Fletores Finais

M

M = M0 + M1·X1 + M2·X2

[kNm]


Luiz Fernando Martha – Método das Forças – 169

X1

X1

X2


X2


M

M = M0 + M1·X1 + M2·X2

[kNm]


M0

X1=1

M1 . X1


1/3

1/3

1/3

1/3

1/31/3

X1=1

X2=1

M2. X2


1/3

X2=1

1/3 1/3 1/3 1/3 1/3

1/3

1/3 1/3

1/3


−=−=

⇒

=

+

kNmXkNmX

XX

1.525.20

00

2

1

2

1

2221

1211

20

10

δδδδ

δδ

EIEI3783361

213361

2131801

211

10 +=

⋅⋅⋅+⋅⋅⋅+⋅⋅⋅⋅=δ

EIEI405

391313361

31

3361313361

2131801

21

120 +=

⋅⋅⋅+⋅⋅⋅+

⋅⋅⋅+⋅⋅⋅+⋅⋅⋅⋅=δ

EIEI7311

313113111

11 +=

⋅⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅⋅=δ

EIEI 29311

213111

2112 +=

⋅⋅⋅+⋅⋅⋅== δδ

EIEI6311

3133111

22 +=

⋅⋅⋅⋅+⋅⋅⋅=δ

170 – Métodos Básicos da Análise de Estruturas – Luiz Fernando Martha Exemplo 07 Para a viga contínua com dois vãos mostrada abaixo pede-se o diagrama de momentos fletores utilizando o Método das Forças. As seguintes solicitações atuam na estrutura concomitantemente: · Uma carga concentrada de 40 kN no centro de cada vão. · Aquecimento das fibras superiores da viga de ∆Ts = 50 °C ao longo de toda a sua extensão (as fibras

inferiores não sofrem variação de temperatura, isto é, ∆Ti = 0 °C). · Recalque vertical (para baixo) de 3 cm do apoio direito.

Sabe-se: (a) A viga tem um material com módulo de elasticidade E = 108 kN/m2 e coeficiente de dilatação térmica

α = 10–5 /°C. (b) A viga tem seção transversal com área A = 1,0 x 10–2 m2 e momento de inércia I = 1,0 x 10–3 m4. A altu-

ra da seção transversal é h = 0,60 m e o seu centro de gravidade fica posicionado na metade da altura. (c) O deslocamento axial relativo interno provocado pela variação de temperatura em um elemento infi-

nitesimal de barra é duT = α ∆TCG dx, sendo ∆TCG a variação de temperatura na fibra do centro de gravidade da seção transversal.

(d) O rotação relativa interna provocada pela variação de temperatura em um elemento infinitesimal de barra é

( ) dxh

TTd siT ∆∆αθ −= .

X1 Sistema Principal e Hiperestático (g=1) X1


M0 [kNm]

Como o Sistema Principal é isostático, a variação de tempe-ratura e o recalque de apoio só provocam deslocamentos (não provocam esforços internos). Portanto, os momentos fletores só são devidos às cargas de 40 kN aplicadas.

X1=1

M1

. X1


1/3

X1=1 1/6 1/6

Equação de compatibilidade 011110 =⋅+ Xδδ

10δ é a rotação relativa entre as seções adjacentes à rótula introduzida na cria-ção do Sistema Principal no caso (0).

11δ é a rotação relativa entre as seções adjacentes à rótula introduzida na cria-ção do Sistema Principal devido a

11 =X no caso (1).

Luiz Fernando Martha – Método das Forças – 171 Cálculo de 10δ pelo Princípio das Forças Virtuais (PFV) Sistema Real (Estrutura da qual se quer calcular a rotação relativa.) É o caso (0).

Sistema Virtual (Estrutura com momentos unitários virtuais na di-reção da rotação relativa que se quer calcular.) É o caso (1) com 11 =X .

PFV: UWE =

→EW Trabalho das forças externas do sistema virtual com os correspondentes deslocamentos externos do sistema real. Neste caso, o trabalho externo virtual é igual ao produ-to de 11 =X por 10δ mais o produto da reação vertical no apoio direito do caso (1) – força de 1/6 para baixo – pelo recalque de apoio:

)03.0()6/1(1 10 −⋅−+⋅= δEW .

⇒= UWE

∫∫ ⋅−∆−∆⋅

+= 03.061)(

101

10 dxMh

TTdxEI

MM siαδ

EI

EI

18003.0610.16

212

60.0)50(

3600.1613605.0

313605.0

3121

10

−=⋅−

⋅⋅−⋅⋅−⋅

+

⋅⋅⋅−⋅⋅⋅−⋅⋅⋅−⋅⋅=

α

δ

EIEI460.10.1

3121

11 +=

⋅⋅⋅⋅⋅=δ

kNmXX 450 111110 =⇒=⋅+δδ Momentos Fletores Finais

M M = M0 + M1·X1 [kNm]

→U Energia de deformação interna virtual. (Despreza-se a energia de deformação por cisalha-mento e, como o esforço normal no caso (1) é nulo, a energia de deformação axial é nula.) Portanto, a energia de deformação é somente devi-da à flexão, isto é, é a energia (virtual) provocada pelos momentos fletores do sistema virtual 1MM = com as correspondentes rotações relativas internas do sistema real θd . A rotação relativa interna real no caso (0) é devida às cargas de 40 kN aplicadas e devida à variação de temperatura:

TP ddd θθθ += Sendo,

dxEIMd P )/( 0=θ e

dxhTTd siT ]/)([ ∆−∆⋅= αθ

Deve ser observado que o recalque de apoio não provoca rotação relativa interna (só provoca movi-mento de corpo rígido). Assim:

∫∫∫∫ +===estrutura

T

estrutura

P

estruturaestruturadMdMdMdMU θθθθ 111

∫∫∆−∆⋅⋅

+⋅

= dxh

TTMdxEI

MMU si )(101 α

Exemplo 08 Determine pelo Método das Forças o diagrama de momentos fletores do quadro hiperestático ao lado. Todas as barras têm a mesma inércia à flexão EI = 4.0x104 kNm2. Somente considere deformações por flexão.

172 – Métodos Básicos da Análise de Estruturas – Luiz Fernando Martha Sistema Principal e Hiperestáticos

X2

X2X1 X1


[kNm]

M0


M1 x X1

X1 = 1

X1 = 1

1/3

1/3

1/3

1/3

1/3

1/3

1/3

1/3

1/3 1/3

2


M2x X2

X2 = 1X2 = 1

1/6

1 1/3

1/6

1/3 1/6

1/31/3

1/6

1/3

1/3

1/6

1/6

Sistema de Equações de Compatibilidade

+=−=

⇒

=

+

kNmXkNmX

XX

3.246.48

00

2

1

2

1

2221

1211

20

10

δδδδ

δδ

EIEI936391

31391

313721

313722

2132162

211

10 +=

⋅⋅⋅+⋅⋅⋅−⋅⋅⋅+⋅⋅⋅+⋅⋅⋅⋅=δ

EIEI486391

31391

313721

313721

2132161

211

20 −=

⋅⋅⋅+⋅⋅⋅+⋅⋅⋅−⋅⋅⋅−⋅⋅⋅−⋅=δ

EIEI16311

3143221

11 +=

⋅⋅⋅⋅+⋅⋅⋅=δ

EIEI 213311

61311

313121

2112 −=

⋅⋅⋅+⋅⋅⋅−⋅⋅−⋅== δδ

EIEI7611

31311

3123111

22 +=

⋅⋅⋅+

⋅⋅⋅⋅+⋅⋅⋅=δ

Momentos fletores finais

22110 XMXMMM ++=

[kNm]

M

Luiz Fernando Martha – Método das Forças – 173 Exemplo 09 Considere a estrutura hiperestática abaixo, onde também está indicado o seu diagrama de momentos fleto-res. Todas as barras têm a mesma inércia a flexão EI e pode-se considerar que não existem deformações axi-ais e de cisalhamento nas barras.

M [kNm]

Pede-se: Item (a) Determine um possível sistema principal (Método das Forças) para o quadro acima. As incógnitas

(hiperestáticos) também devem ser indicadas. Mostre a decomposição do sistema principal em qua-dros isostáticos simples (tri-articulados, bi-apoiados ou engastados e em balanço).

Item (b) Considerando o sistema principal encontrado no item anterior, indique os casos básicos – caso (0), ca-

so (1), caso (2), etc. – utilizados para análise da estrutura pelo Método das Forças. Determine os dia-gramas de momentos fletores para todos os casos básicos.

Item (c) Escreva literalmente (somente símbolos, sem números) o sistema de equações finais da solução desta

estrutura pelo Método das Forças. Escolha uma destas equações e indique as expressões numéricas envolvidas nos cálculos de cada um dos coeficientes da equação escolhida. Não é preciso completar as contas para calcular os coeficientes. Indique que tipo de condição que esta equação está impondo. In-dique as interpretações físicas e unidades de todos os coeficientes que aparecem na equação escolhida.

Item (d) Com base no diagrama de momentos fletores fornecido para a estrutura hiperestática e no sistema

principal escolhido, determine os valores das incógnitas (hiperestáticos) que resultariam da solução da estrutura pelo Método das Forças. Demonstre que a superposição dos casos básicos, considerando os valores dos hiperestáticos encontrados, resulta no diagrama de momentos fletores fornecido.

Item (a)

X1

X1

X2


X2

X3

X1

X1

X2

X2

X3

174 – Métodos Básicos da Análise de Estruturas – Luiz Fernando Martha Item (b) Caso (0) – Solicitação externa isolada no SP

M0

X1=1

M1

. X1


1/3X1=1

1/3 1/3

1/3

1/6

1/6

1/6

1/6

1/6 1/6

X2=1

M2

. X2


X2=1

1/3

1/3

1/3 1/3

1/3 1/3

X3=1M3

. X3


1/3 1/3

Item (c) Equações de Compatibilidade

=

+

000

3

2

1

333231

232221

131211

30

20

10

XXX

δδδδδδδδδ

δδδ

Considere a primeira equação deste sistema: Esta equação impõe uma condição de compatibilidade interna: a rotação relativa entre as seções adjacentes à rótula associada a X1 é nula, isto é, no ponto onde foi introduzida a rótula a rotação da elástica é contínua. Termo de carga δ10 [rad] → rotação relativa entre as seções adjacentes à rótula associada a X1 devida à solicitação externa no caso (0):

⋅⋅⋅+⋅⋅⋅+⋅⋅⋅+⋅⋅⋅−⋅⋅⋅−⋅⋅⋅−⋅= 3725.03131325.0

313725.0

3131925.0

313601

316361

311

10 EIδ

Coeficiente de flexibilidade δ11 [rad/kNm] → rotação relativa entre as seções adjacentes à rótula associada a X1 devida a X1 = 1:

⋅⋅⋅⋅+

⋅⋅⋅⋅+⋅⋅⋅⋅= 35.05.0314311

312611

311

11 EIδ



⋅⋅⋅−⋅⋅⋅−⋅⋅⋅−⋅⋅⋅+⋅⋅⋅−⋅= 315.031315.0

31315.0

21311

61311

311

12 EIδ


⋅⋅⋅−⋅⋅⋅⋅= 315.021315.0

311

13 EIδ

Item (d) Os valores dos hiperestáticos podem ser ob-tidos do diagrama de momentos fletores fi-nais da estrutura que foi fornecido:

M [kNm]

X1 = +35.1 kNm

X2 = +28.2 kNm

X3 = +89.1 kNm

Demonstração de que a superposição dos casos básicos resulta nos momentos finais: M0 + M1·X1 + M2·X2 + M3·X3 = M Considere o momento fletor assinalado no dia-grama. Observa-se que este valor pode ser ob-tido pela superposição dos momentos fletores dos casos básicos nesta seção: +132 + 0.5·35.1 + (-1.0)·28.2 + (-1.0)·89.1 = +32.3 O mesmo pode ser verificado para outras se-ções.

Exemplo 10 Considere os dois pórticos mostrados abaixo. As duas estruturas têm como solicitação o carregamento uni-formemente distribuído indicado e um aumento de temperatura ∆Ti = 16 °C nas fibras inferiores da viga. As fibras superiores da viga não sofrem variação de temperatura (∆Ts = 0 °C). Todas as barras têm um material com módulo de elasticidade E = 1,0 x 108 kN/m2 e coeficiente de dilatação térmica α = 10–5 /°C. Todas a bar-ras têm seções transversais com momento de inércia I = 1,0 x 10–3 m4, altura h = 0.60 m e centro de gravidade no meio de altura. Somente considere os efeitos axiais para a variação de temperatura.

176 – Métodos Básicos da Análise de Estruturas – Luiz Fernando Martha Pede-se: Item (a): Determine o diagrama de momentos fletores da estrutura isostática. Item (b): Determine o diagrama de momentos fletores da estrutura hiperestática. Item (c): Considere que as colunas dos quadros acima tiveram a seção transversal modificada para uma com

momento de inércia I = 2,0 x 10-3 m4 (a viga não se altera). Responda: (c.1) Os diagramas de momentos fletores das estruturas isostáticas se alteram? Por que? (c.2) Os diagramas de momentos fletores das estruturas hiperestáticas se alteram? Por que? Item (a)

M [kNm]

Item (b)

X1

Sistema Principal e Hiperestático (g=1)


M0 δ10

X1=1 M1

. X1


1 X1=11

δ11

N1= +1

N1= 0 N1= 0


011110 =⋅+ Xδδ Sendo Tq

101010 δδδ += :

→q10δ deslocamento horizontal da seção do

apoio da direita devido à carga distribuída no caso (0).

→T10δ deslocamento horizontal da seção do

apoio da direita devido à variação de temperatura no caso (0).

mEI

dxEI

MMq 50110 108646723

321 −⋅+=

⋅⋅⋅== ∫δ

∫∫ +=

viga

T

viga

TT duNdM 1110 θδ

( ) dxdxh

TTd siT

380⋅=

∆−∆⋅= ααθ

dxdxTdu GCT ⋅⋅=⋅∆⋅= 8αα

∫∫ ⋅+⋅=

vigaviga

T dxNdxM 1110 8380 ααδ

mT 510 1052816836

380 −⋅+=⋅⋅⋅+⋅⋅⋅= ααδ


( )

⋅⋅+⋅⋅⋅⋅⋅== ∫ 63333331212

111 EI

dxEI

Mδ

kNm/1072 511

−⋅+=δ

( )

kNX

X

X

358

0107210528864

0

1

155

11110

−=⇒

=⋅⋅+⋅+

→=⋅+−−

δδ

Momentos fletores finais

110 XMMM ⋅+=

M [kNm]

Item (c) Item (c.1) – Na estrutura isostática, o diagrama de momentos fletores só depende dos valores da carga e rea-ções, e da geometria da estrutura. Com a consideração da hipótese de pequenos deslocamentos, as equações de equilíbrio podem ser escritas para a geometria indeformada (original) da estrutura. Portanto, o diagrama de momentos fletores não se altera com a modificação do momento de inércia da seção transversal das colunas. No caso da carga uniformente distribuída, a estrutura isostática terá sempre o diagrama de momentos fleto-res indicado no item (a) (diagrama parabólico na viga). Momentos fletores devidos à variação de temperatu-ra isolada na estrutura isostática são sempre nulos. Item (c.2) – Na estrutura hiperestática, por ter vínculos excedentes, os esforços internos dependem da rigidez relativa entre as barras. Com as colunas mais rígidas do que a viga, as rotações das extremidades da viga são menores do que no caso com todas as barras com mesma rigidez à flexão EI, se aproximando do caso de uma viga com extremidades engastadas. Portanto, o diagrama de momentos fletores fica alterado com a modificação do momento de inércia da seção transversal das colunas. A solução da estrutura hiperestática pelo Método das Forças mostrada no item (b) demonstra que os valores dos momentos fletores finais dependem dos valores relativos entre momentos de inércia das seções transver-sais das barras. Exemplo 11 Determine pelo Método das Forças o diagrama de momentos fletores do quadro hiperestático ao lado. Somente considere deformações por flexão. Todas as barras têm a mesma inércia à flexão EI = 1,0 x 105 kNm2.

178 – Métodos Básicos da Análise de Estruturas – Luiz Fernando Martha Sistema Principal e Hiperestáticos

(g = 2)

X1X1 X2 X2


M0

X1 = 1X1 = 1


M1 . X1

1/3 1/3

1/3 1/3

X2 = 1


M2 . X2

X2 = 1

1/61/6

1/6

1/6

1/61/6

1/31/3

1/3 1/3


−=+=

⇒

=

+

kNmXkNmX

XX

8.436.14

00

2

1

2

1

2221

1211

20

10

δδδδ

δδ

EIEI2703181

316721

213721

311

10 −=

⋅⋅⋅+⋅⋅⋅−⋅⋅⋅−⋅=δ

EIEI270

3181316721

313721

31

31805.03131805.0

31

3365.0313365.0

31

120 +=

⋅⋅⋅+⋅⋅⋅+⋅⋅⋅+

⋅⋅⋅−⋅⋅⋅+

⋅⋅⋅+⋅⋅⋅+

⋅=δ

EIEI8311

31611311

311

11 +=

⋅⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅⋅⋅=δ

EIEI 27311

61611

21311

311

2112 −=

⋅⋅⋅+⋅⋅⋅−⋅⋅⋅−⋅== δδ

EIEI5611

31311

31235.05.0

3141

22 +=

⋅⋅⋅+⋅⋅⋅⋅+⋅⋅⋅⋅⋅=δ


M

M = M0 + M1·X1 + M2·X2

[kNm]

Luiz Fernando Martha – Método das Forças – 179 Exemplo 12 Determine pelo Método das Forças o diagrama de momentos fletores do quadro hiperestático ao lado. Somente considere deformações por flexão. Todas as barras têm a mesma inércia à flexão EI = 2,4 x 104 kNm2.

X1

X1

X2


X2


M0

M1

. X1


1/6

1/6

1/6

1/4 1/4

1/6

X1=1

X1=1

M2

. X2


X2=1

X2=11/4

1/4

1/4

1/4

1/4

1/4


+=−=

⇒

=

+

kNmXkNmX

XX

6,600,13

00

2

1

2

1

2221

1211

20

10

δδδδ

δδ

EIEI280

64513141201

31

61201216301

216301

31

110 −=

⋅⋅⋅+⋅⋅⋅−

⋅⋅⋅−⋅⋅⋅+⋅⋅⋅⋅=δ

EIEI43041201

3161201

216301

211

20 −=

⋅⋅⋅−⋅⋅⋅−⋅⋅⋅⋅=δ

EIEI 338

411312

611611312

111 +=

⋅⋅⋅⋅+

⋅⋅+

⋅⋅⋅⋅⋅=δ

EIEI 322411

316111

2112 +=

⋅⋅⋅+⋅⋅⋅== δδ

EIEI 326411

3126111

22 +=

⋅⋅⋅⋅+⋅⋅⋅=δ


M

M = M0 + M1·X1 + M2·X2

[kNm]

180 – Métodos Básicos da Análise de Estruturas – Luiz Fernando Martha Exemplo 13 – Provão de Engenharia Civil, 2002 Em uma construção a meia encosta, a laje de piso foi apoiada em estruturas metálicas compostas de perfis I, colocados de modo a oferecer a maior resistência ao momento fletor atuante. Ao inspecionar a obra para recebimento, você verificou a existência de um recalque vertical de 1 cm no engaste A de uma das estruturas metálicas, cujo modelo estrutural é apresentado na figura abaixo (na esquerda). A fim de avaliar os esforços adicionais nessa estrutura, ocasionados pelo recalque, você utilizou o Método das Forças e, para tanto, esco-lheu o Sistema Principal (no qual foi colocada uma rótula no nó B) e o hiperestático X1 (carga momento em ambos os lados da rótula inserida em B), mostrados na figura (no centro). A seção transversal do perfil e a orientação dos eixos x e y estão representadas na figura (na direita).

A

B C

laje

encosta

X1

X1

x

y Módulo de elasticidade do material: E = 2,0 x 108 kN/m2

Momentos de inércia da seção transversal: Jx = 5,1 x 10-5 m4 Jy = 8,4 x 10-6 m4

Com base no exposto, pede-se o diagrama de momentos fletores, causado apenas pelo recalque em A. Despreze deformações axiais das barras. Caso (0) – Solicitação externa isolada no SP

M0 = 0 01,0=ρ m

ρ4/10 ρδ =

310 105,2 −⋅+=δ rad

M1 . X1


1/4

=AV 1/4

1

X1=1X1=1


011110 =⋅+ Xδδ

10δ é a rotação relativa entre as seções adjacentes à rótula do Sistema Principal provocada pelo recalque de apoio no caso (0).

11δ é a rotação relativa entre as seções adjacentes à rótula do Sistema Principal provocada por 11 =X no caso (1).

EIEI 310411

312111

11 +=

⋅⋅⋅+⋅⋅⋅=δ

O enunciado diz que os perfis metálicos foram colocados de modo a oferecer a maior resis-tência ao momento fletor atuante. Portanto, o momento de inércia da seção transversal a ser adotado é o maior momento de inércia da barra: I = Jx = 5,1 x 10-5 m4.

65,7101,51023

10105,20 11583

11110 −=⇒

⋅⋅⋅⋅+⋅→=⋅+ −

− XXXδδ kNm.

Cálculo de 10δ pelo Princípio das Forças Virtuais (PFV) Sistema Real (Estrutura da qual se quer calcular a rotação relativa.) É o caso (0).

Sistema Virtual (Estrutura com momentos unitários virtuais na direção da rotação relativa que se quer cal-cular.) É o caso (1) com 11 =X .

Luiz Fernando Martha – Método das Forças – 181 PFV: UWE =

→EW Trabalho das forças externas do sistema virtual com os correspondentes deslocamentos externos do sistema real. Neste caso, o trabalho externo virtual é igual ao produto de 11 =X por 10δ mais o produto da reação vertical no apoio esquerdo do caso (1) – força de 1/4 para cima – pelo recalque de apoio:

ρδ ⋅+⋅= AE VW 101

)01,0()4/1(1 10 −⋅++⋅= δEW

→U Energia de deformação interna virtual. O recalque de apoio não provoca deformações internas (só provoca movimentos de corpo rígido das barras). Portanto:

0=U

⇒= UWE 0)01,0()4/1(10 =−⋅++δ 3

10 105,24/01,0 −⋅+==∴ δ rad Momentos Fletores Finais

M

M = M0 + M1·X1

[kNm] M0 = 0 X1 = –7,65


X1

X1 X2


X2


M0


M1 . X1


1/3

1/6

X1=1

X1=1 1/3 1/3 1/3

1/6

1/6

1/6

1/6 1/6

. X2


M2

1/3 X2=1

X2=1

1/3 1/3 1/3

1/6

1/6 1/6

1/6


−=+=

⇒

=

+

kNm5,21kNm8,6

00

2

1

2

1

2221

1211

20

10

XX

XX

δδδδ

δδ

EIEI147

36131361

21

6601313181

313601

31

110 −=

⋅⋅⋅+⋅⋅⋅+

⋅⋅⋅−⋅⋅⋅+⋅⋅⋅−⋅=δ

EIEI156361

316601

313181

313601

311

20 +=

⋅⋅⋅−⋅⋅⋅+⋅⋅⋅−⋅⋅⋅⋅=δ

EIEI9

311311312

611312

111 +=

⋅⋅+

⋅⋅⋅⋅

+

⋅⋅⋅⋅⋅=δ

EIEI4611

31311

3121

2112 −=

⋅⋅⋅−

⋅⋅⋅−⋅⋅== δδ

EIEI6311

312611

3121

22 +=

⋅⋅⋅⋅+

⋅⋅⋅⋅⋅=δ

Momentos Fletores Finais M = M0 + M1·X1 + M2·X2

M

[kNm]

Exemplo 15 Utilizando o Método das Forças, determine o dia-grama de esforços normais para a treliça hiperestáti-ca ao lado submetida ao carregamento indicado e a um aumento uniforme de temperatura de 50 °C em todas as barras. Todas as barras têm o mesmo valor para a inércia axial EA = 1,0 x 105 kN e para o coefi-ciente de dilatação térmica α = 1,0 x 10-5 /°C. Sabe-se que o deslocamento axial relativo interno para uma variação uniforme de temperatura T é igual a: duT = αTdx.


X1


Caso (0) – Solicitação externa isolada

N0

(N0 só é devido à carga de 50 kN pois a variação de temperatura não provoca esforços no SP isostático )

+25

225-

+25

225-0

no SP

N1. X1


X1=11

+1 +1

0 0 0

Equação de Compatibilidade 011110 =+ Xδδ

Termo de carga: TP101010 δδδ +=

→P10δ deslocamento horizontal no

apoio da direita devido à carga P = 50 kN no caso (0).

→P10δ deslocamento horizontal no

apoio da direita devido à variação uniforme de temperatura T = 50 °C no caso (0).

( )[ ]EAEA

dxEA

NN

estrutura

P 2004251210110 +=⋅⋅⋅⋅== ∫δ

( )[ ] ααααδ 4004125050 11110 +=⋅⋅⋅=⋅=== ∫∫ ∫ dxNTdxNduNestrutura

TT

( )[ ]EAEA

dxEAN

estrutura

84112121

11 +=⋅⋅⋅⋅== ∫δ

kN75010810)400200(

/101kN101

1

155

55

−=∴=⋅+⋅+⇒

⋅=⋅=−−

−

XX

CEA �α

Esforços Normais Finais N = N0 + N1·X1

N

[kN]

–50

225-

–50

225-

0



X1 X1

X2

X2



M1

x. X1


1/6

X1=1

1/3

1/6

X1=1

1/3

1/3

1/3 1/3

1/3

1/6

1/6

1/6 1/6

1

M2


X2=1X2=1

1/3

1/6 1

1/6

1/6

1/6 1/3 1/3

1/3 1/3

1/3

Equações de compatibilidade:

−=+=

⇒

=

+

kNm7,29kNm6,60

00

2

1

2

1

2221

1211

20

10

XX

XX

δδδδ

δδ

EIEI528

31801213601

21

3601316541

31

110 −=

⋅⋅⋅−⋅⋅⋅−

⋅⋅⋅−⋅⋅⋅−⋅=δ

EIEI42031801

213601

213601

311

20 +=

⋅⋅⋅+⋅⋅⋅+⋅⋅⋅+⋅=δ

EIEI7311311

31311

31611

311

11 +=

⋅⋅+⋅⋅⋅+⋅⋅⋅+⋅⋅⋅+⋅=δ

EIEI 27311311

31311

611

2112 −=

⋅⋅−⋅⋅⋅−⋅⋅⋅+⋅== δδ

EIEI7311311

31611

31311

311

22 +=

⋅⋅+⋅⋅⋅+⋅⋅⋅+⋅⋅⋅+⋅=δ

Momentos fletores finais: M = M0 + M1·X1 + M2·X2

M

[kNm]

x. X2

Luiz Fernando Martha – Método das Forças – 185 Exemplo 17 Empregando-se o Método das Forças, obter os dia-gramas de momentos fletores e momentos torçores para a grelha ao lado. A relação entre a rigidez à torção e a rigidez à flexão é GJt = 6EI, para todas as barras.

Sistema Principal (SP) e Hiperestático

X1


120

M0

[kNm]

240

0

T0

[kNm]

+1200


M1

–3

T1

0 x X1

3 6

3

3

–6X1 = 1 X1 = 1

Equação de Compatibilidade

011110 =+ Xδδ

[ ]tGJEI

1120)6(61240363124036

6112066

31

10 ⋅⋅−⋅+⋅

⋅⋅⋅−⋅⋅⋅+⋅⋅⋅−=δ

EIEIEI2880

643202160

10 −=−−=δ

[ ]tGJEI

1)6()6(6)3()3(6166631333

31333

31333

31

11 ⋅−⋅−⋅+−⋅−⋅+⋅

⋅⋅⋅+⋅⋅⋅+⋅⋅⋅+⋅⋅⋅=δ

EIEIEI144

627099

11 +=+=δ

⇒ X1 = 20 kN

186 – Métodos Básicos da Análise de Estruturas – Luiz Fernando Martha Momentos Fletores e Momentos Torçores finais

110 XMMM += 110 XTTT +=

60

M

[kNm]

180

–60

T

[kNm]

0

60

0

0

Exemplo 18 Empregando-se o Método das Forças, obter os dia-gramas de momentos fletores e momentos torçores para a grelha ao lado. A relação entre a rigidez à torção e a rigidez à flexão é GJt = 3EI, para todas as barras.


X1


24 kN

12 kN 12 kN

M0

[kNm]

T0

[kNm]


M1 T1 x X1

X1 = 1 X1 = 1

3 –3

–3

0

0 3 3

3 2 1

Luiz Fernando Martha – Método das Forças – 187 Equação de Compatibilidade

011110 =+ Xδδ

[ ]EIEIEIGJEI t

35133242431)36()3(313633

31933

313633

31

10 +=+=⋅−⋅−⋅+⋅

⋅⋅⋅+⋅⋅⋅+⋅⋅⋅+=δ

[ ]EIEIEIGJEI t

54354361)3()3(3)3()3(31333

31333

31333

31333

31

11 +=+=⋅−⋅−⋅+−⋅−⋅+⋅

⋅⋅⋅+⋅⋅⋅+⋅⋅⋅+⋅⋅⋅=δ

⇒ X1 = –6.5 kN Momentos Fletores e Momentos Torçores finais

110 XMMM +=

24 kN

5.5 kN 1 kN

M

[kNm]

6.5 kN

110 XTTT +=

T

[kNm]



X1

Caso (0) – Solicitação externa isolada no SP M0 [kNm]

T0 [kNm]

188 – Métodos Básicos da Análise de Estruturas – Luiz Fernando Martha Caso (1) – Hiperestático X1 isolado no SP

M1 T1 x X1

X1 = 1 X1 = 1

3 –3

–3

0

0 3 3

3

6 Equação de Compatibilidade: 011110 =+ Xδδ ⇒ X1 = +10.25 kN

[ ]EIGJEI t

11071336)3(1393313363

313723

613363

3131083

613366

6131086

31

10 −=⋅⋅⋅−+⋅

⋅⋅⋅+⋅⋅⋅−⋅⋅⋅+⋅⋅⋅−⋅⋅⋅−⋅⋅⋅−⋅⋅⋅−=δ

( )[ ]EIEIEIGJEI t

1083549013)3()3(21333

313333

31363

61336

61366

31

11 +=+=⋅⋅−⋅−⋅+⋅

⋅⋅⋅⋅+⋅⋅⋅+⋅⋅⋅+⋅⋅⋅+⋅⋅⋅=δ

Momentos Fletores e Momentos Torçores finais

110 XMMM += M [kNm]

30.75

5.25 9 30.75

72

46.5

5.25

110 XTTT += T

[kNm]

–30.75

–72

0 +5.25



X1

Luiz Fernando Martha – Método das Forças – 189 Caso (0) – Solicitação externa isolada no SP M0 [kNm] T0 [kNm]

20

20 20

20

120

120

0 0

0 20

20 20

20

+120

0

0

0 0


1/2

0 0

0 0

M1 T1

x X1X1 = 1 X1 = 13 +3

1/2 3

3 3

+3

1/2

1/2

Equação de Compatibilidade:

[ ]EIGJEI t

3601016120361

10 −=⋅+⋅

⋅⋅⋅−=δ

[ ]EIEIEIGJEI t

813815416)3()3(3)3()3(1633

312333

31211 +=+=⋅⋅+⋅++⋅+⋅++⋅

⋅⋅⋅⋅+

⋅⋅⋅⋅=δ

011110 =+ Xδδ ⇒ X1 = +4.4 kN Momentos Fletores e Momentos Torçores finais

M [kNm] T [kNm]

120

120

+120

0

0

110 XMMM += 110 XTTT +=

13.3 13.3

13.3

13.3

+13.3+13.3


190 – Métodos Básicos da Análise de Estruturas – Luiz Fernando Martha Sistema Principal (SP) e Hiperestático (g = 1)

X1


M0 [kNm] T0 [kNm]

20

20

20

20

18060

60

60

60

+180 0

180

+60

+60


0

M1 T1

x X1 X1 = 1 –6

–3

3

3 6

0

3

X1 = 10

Equação de Compatibilidade:

[ ]EIEIEIGJEIGJ

EI

tt

39606

756027007560270016)180)(6(6)60()3(

1618033161803

616603

616603

3161806

316606

613603

31

10

−=−−=−−=⋅⋅−+⋅⋅−+

⋅

⋅⋅⋅−⋅⋅⋅+⋅⋅⋅+⋅⋅⋅−⋅⋅⋅−⋅⋅⋅+⋅⋅⋅−=δ

[ ]EIEIEIGJEIGJEI tt

1446270992709916)6()6(6)3()3(1666

31333

31311 +=+=+=⋅⋅−⋅−+⋅−⋅−+⋅

⋅⋅⋅+

⋅⋅⋅⋅=δ

011110 =+ Xδδ ⇒ X1 = +27.5 kN Momentos Fletores e Momentos Torçores finais

M [kNm] T [kNm]

15

60

60 22.5

+15 0

97.5

+60

–22.5

110 XMMM += 110 XTTT +=

22.5



Equação de compatibilidade: 011110 =+ Xδδ

EI13363

313183

313363

313363

31

10 ⋅

⋅⋅⋅+⋅⋅⋅+⋅⋅⋅−⋅⋅⋅+=δ

[ ]EIGJEIGJ tt

162016213)36)(3(3)36()3( +=++=⋅⋅+++⋅+⋅−+

[ ]tGJEI

13)3()3(3)3()3(133331411 ⋅⋅+⋅++⋅−⋅−+⋅

⋅⋅⋅+⋅=δ

EIEIEIGJEI t

45654365436

11 +=++=++=δ

0451621 =⋅+⇒ X

EIEI kN6,31 −=∴ X

Momentos Fletores Finais: 110 XMMM ⋅+=

[kNm]

M


Caso (1) – Hiperstático X1 isolado no SP

[kNm]

M0

x X1X1 = 1

SP

Sistema Principal e Hiperestático (g = 1)

X1 [kNm]

T0

M1

T1

0

–3

12

12

24

18

36

36

36

36

0

0

0

+36 +36

1

2 3 3

3

+3

0

0 0

0

Momentos Torsores Finais: 110 XTTT ⋅+=

[kNm]

T18 46,8

36

10,8 25,2 25,2

0 0

0

+25,2 +46,8

EIGJt 6=

Exemplo 23 Empregando-se o Método das Forças, obter os dia-gramas de momentos fletores e momentos torçores para a grelha ao lado. Todas as barras têm a relação indicada entre a rigidez à torção GJt e a rigidez à fle-xão EI.

EIGJt ⋅=23


Equação de compatibilidade: 011110 =+ Xδδ

[ ]tGJEI

13)72(616726313186

313726

31

10 ⋅⋅−⋅+⋅

⋅⋅⋅−⋅⋅⋅−⋅⋅⋅−=δ

EIGJEIGJEI tt

22683

1296214041296140410 −=

⋅⋅−−=−−=δ

[ ]tGJEI

16663661666312366

31211 ⋅⋅⋅+⋅⋅+⋅

⋅⋅⋅+⋅+

⋅⋅⋅+⋅=δ

EIEIEIGJEI t

4323

324221632421611 +=

⋅⋅++=++=δ

043222681 =⋅+−⇒ X

EIEI kN25,51 +=∴ X

Momentos Fletores Finais: 110 XMMM ⋅+=

[kNm]

M


Caso (1) – Hiperstático X1 isolado no SP

[kNm]

M0

x X1

X1 = 1

SP

Sistema Principal e Hiperestático (g = 1) X1

[kNm]

T0

M1

T1

0

+6

48

12

18 72

72

0 0

0

–72

1

2

6

6

6

+6

0 0

Momentos Torsores Finais: 110 XTTT ⋅+=

[kNm]

T

18

40,5

40,5 31,5

31,5

0 0

+31,5

–40,5

EIGJt ⋅=23

12

6

0

luiz fernando martha – método das forças – 161 … fernando martha – método das forças –...

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