luiza jaramillo
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República Bolivariana de Venezuela.
Universidad Nororiental privada “Gran Mariscal de Ayacucho”
Escuela de Ingeniería de Mtto. Industrial.
Sede El Tigre
MODELOS MATEMÁTICOS Y SISTEMA FÍSICO,
MODELO DISCRETO, SOLUCION DISCRETA
INTEGRANTES:
JARAMILLO LUIZA
ZABALA JOSE
NAVARRO YENNIRE
POLEO OSWUAL
LUGO YULIZMA
AGUILAR KELVIS
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Sistemas y Modelos
• Se entiende por sistema a un conjunto de cosas que
ordenadamente relacionadas entre si, contribuyen a
determinado objetivo.
• Abordar la realidad desde este concepto es lo que
denominamos enfoque sistémico.
• Según el cual, los factores determinantes de la
naturaleza son totalidades irreductibles a la suma de
sus partes --> objetos sinérgicos.
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Modelos
• Es una abstracción de la realidad.
• Es una representación de la realidad que ayuda a
entender cómo funciona.
• Es una construcción intelectual y descriptiva de una
entidad en la cual un observador tiene interés.
• Se construyen para ser transmitidos.
• Supuestos simples son usados para capturar el
comportamiento importante.
Un modelo es un sistema desarrollado para entender la realidad y en
consecuencia para modificarla.
No es posible modificar la realidad, en cierta dirección, si es que no se
dispone de un modelo que la interprete.
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Maneras de estudiar un
sistema • Según Law y Kelton
Sistema
Experimentar con el
sistema
Experimentar con un modelo
del sistema
Modelo
físico Modelo
matemático
Solución
analítica SIMULACIÓN
• El gráfico muestra el proceso de decisión de cómo realizar el estudio de un sistema.
• En primer lugar hacer el estudio directamente en el sistema o en un modelo.
• Luego si es en un modelo matemático o físico.
• Y finalmente si es en modelo analítico o la simulación.
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Simulación
• La simulación puede ser obtenida de las siguiente forma:
• Observación de un sistema físico
• Formulación de una hipótesis o modelo matemático para
explicar una observación
• Predicción del comportamiento del sistema de soluciones o
propiedades del modelo matemático
• Teste de validad de la hipótesis o modelo matemático
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Modelos matemáticos
• Un Modelo matemático es una formulación o una ecuación que
expresa las características esenciales de un sistema físico o proceso
en términos matemáticos
fuerza de
funciones , parámetros ,
ntesindependie
variables
edependient
Variable f
• Variable dependiente: característica que refleja el comportamiento o estado
de un sistema
• Variables independientes: generalmente dimensiones tales como tiempo y
espacio, a través de las cuales se determina el comportamiento del sistema
• Parámetros: son las propiedades o la composición del sistema
• Funciones de fuerza: influencias externas que actúan sobre el sistema
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Un modelo matemático simple
• Segunda Ley de Newton
maF m
Fa
• a: variable dependiente
• F: función de fuerza
• m: parámetro que representa una propiedad del sistema
Por su forma algebraica sencilla puede despejarse directamente
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Un modelo matemático más
complicado
• Segunda Ley de Newton para determinar la velocidad terminal de
caída libre de un cuerpo cerca de la superficie de la Tierra
(paracaidista)
m
F
dt
dv cvmgFFF
UD
• g: aceleración de la gravedad
• c: coef. de arrastre
vm
cg
dt
dv
Sustituyendo F
Es una ecuación diferencial
Solución analítica tmce
c
gmtv
/1
*Hay casos donde es imposible obtener una solución analítica
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Un modelo matemático más
complicado • Solución numérica
– Se busca una aproximación a la razón de cambio de la
velocidad con respecto al tiempo con una diferencia finita
dividida
ii
ii
tt
tvtv
t
v
dt
dv
1
1
i
ii
iitv
m
cg
tt
tvtv
1
1
Sustituyendo
Solución numérica
*Es necesario el valor de la velocidad en un tiempo inicial ti
iiiii
tttvm
cgtvtv
11
0 2 4 6 8 10 120
5
10
15
20
25
30
35
40
45
50
v, m/s
t, s
Pendiente
verdadera
Pendiente
aproximada
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Un modelo matemático más
complicado
• Solución analítica vs. Solución numérica
*mejor solución numérica implica mayor costo computacional
0 2 4 6 8 10 120
5
10
15
20
25
30
35
40
45
50
v,
m/s
t, s
Solucion analitica
Solucion numerica
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El estado del sistema cambia en tiempos discretos del
tiempo
e = f(nT)
Método numérico: usa procedimientos computacionales
para resolver el modelo matemático.
Un modelo Discreto
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Las variables de estado del sistema cambian en un cierto
instante o secuencia de instantes, y permanecen
constantes el resto del tiempo. La secuencia de instantes
sigue un patrón periódico.
Modelo Discreto
estado
tiempo t0 t1 t2 t3 t4 t5 t6 t7
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Estructura de un modelo de
simulación
si = f(ci, ni)
ci: variable exógena controlable
ni: variable exógena no controlable
ei: variable endógena (estado del sistema)
si: variable endógena (salida del sistema)
ci
ni
ni
si
si
ei
ei
ei
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Modelos de Simulación de Eventos
Discretos
Los modelos de eventos discretos son modelos dinámicos,
estocásticos y discretos en los que las variables de estado
cambian de valor en instantes no periódicos de tiempo.
Un evento es el acontecimiento que hace variar el estado
del sistema.
Ejemplo: Sistema de procesado de órdenes o pedidos
EXPEDICIÓN
RECEPCIÓN
DE ÓRDENES
O PEDIDOS
PROCESADO
DEL PEDIDO
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Modelos de Simulación de Eventos
Discretos
• En promedio se reciben 10 pedidos al día: el 40% son ordinarios y
el 60% restante son prioritarios
• El tiempo de procesado es de 2 horas para los pedidos ordinarios
y de 4 horas para las órdenes prioritarias
• Hay 4 trabajadores que trabajan 8 horas (de 9 a 17 horas)
• Sólo se aceptan pedidos hasta las 13 horas.
• La jornada se puede alargar hasta que se procesan todos los
pedidos pendientes.
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¿Cuando es apropiado simular?
• No existe una completa formulación matemática del
problema (líneas de espera, problemas nuevos).
• Cuando el sistema aún no existe (aviones, carreteras).
• Es necesario desarrollar experimentos, pero su ejecución
en la realidad es difícil o imposible (armas,
medicamentos, campañas de marketing)
• Se requiere cambiar el periodo de observación del
experimento (cambio climático, migraciones, población).
• No se puede interrumpir la operación del sistema actual
(plantas eléctricas, carreteras, hospitales).
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¿Cuándo no es apropiado
simular?
• El desarrollo del modelo de simulación requiere
mucho tiempo.
• El desarrollo del modelo es costoso comparado
con sus beneficios.
• La simulación es imprecisa y no se puede medir
su imprecisión. (El análisis de sensibilidad puede ayudar).
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Sistema Físico
• Un modelo físico puede referirse a una construcción teórica (modelo
matemático) de un sistema físico. También a un montaje con objetos
reales que reproducen el comportamiento de algunos aspectos de un
sistema físico o mecánico más complejo a diferente escala (modelo
material en miniatura). El término aparece con diferentes acepciones
en el ámbito de la física o en el de la física aplicada, como la
ingeniería.
• En ingeniería los modelos físicos, por contraposición a los modelos
matemáticos y a los modelos analógicos, normalmente son
construcciones en escala reducida o simplificada de obras, máquinas
o sistemas de ingeniería para estudiar en ellos su comportamiento y
permitir así perfeccionar los diseños, antes de iniciar la construcción
de las obras u objetos reales. Por ese motivo, a este tipo de modelo
se le suele llamar también modelo reducido o modelo simplificado.
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“El conocimiento de la Función de Transferencia de un
sistema proporciona un conjunto de informaciones
importantes acerca del sistema que representa”
“El diagrama de polos y ceros de la Función de
Transferencia de un sistema proporciona información
acerca de su respuesta natural y de la estabilidad”
Respuesta de un Sistema
Discreto
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Respuesta de un Sistema Discreto
por Transformada Z
Sistema Lineal e
Invariante en Tiempo
(LIT)
x[n] Z{x[n]}=X(z)
En general
y[n] = (x[n])
Al aplicar Transformada Z a esta ecuación queda Y(z)
= Z{ (x[n])} entonces el objetivo es estudiar esa
ecuación en el plano z
y[n] Z{y[n]}=Y(z)
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)()(2
1][
l Unilatera daTransforma-anti lay
][)(][
l Unilatera daTransforma la define se manera igual De
)()(2
1][
será Bilateral daTransforma-anti la que mientras
][)(][
será Bilateral daTransformasu ][función una Dada
1
0
1
zXdzzzXj
nx
Z
znxzXnx
Z
zXdzzzXj
nx
Z
znxzXnx
Znx
U
n
U
n
n
U
B
n
B
n
n
B
Respuesta de un Sistema Discreto
por Transformada Z
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0
0
00
2121
1
1
]}[{
z dominio elen toEscalamien 4)
)(]}[{
Faseen entoDesplazami 3)
)(]}[][{
Tiempoen entoDesplazami 2)
)(*)(*]}[*][*{
Linealidad 1)
serán interés de spropiedade Algunas
)}({][
cióntransforma-anti ladenotar para ausar se operador el que mientras
]}[{)(
ación transformladenotar para operador el usará Se
00
0
z
zXnxzZ
zeXnxeZ
zXznnunnxZ
zXbzXanxbnxaZ
zXZnx
Z
nxZzX
Z
n
jnj
n
U
U
Respuesta de un Sistema Discreto
por Transformada Z
![Page 23: Luiza jaramillo](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022042509/55c28b62bb61ebe3428b45aa/html5/thumbnails/23.jpg)
Diagrama de polos y ceros (ejemplo)
Re(z)
Imag(z)
0.3
-4
-2 -3
-0.5
Respuesta de un Sistema Discreto
por Transformada Z
4
1
-1
1
-1
![Page 24: Luiza jaramillo](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022042509/55c28b62bb61ebe3428b45aa/html5/thumbnails/24.jpg)
si ][)(1
0 si ][)sen
1sen
0 si ][1
][
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][]2[]1[)cos(2][
siguientes ticascaracterís las eorden tien segundo de sistemaUn
22
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yr
nxnyrnyrny
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n
n
jj
j
Respuesta de un Sistema Discreto
por Transformada Z
![Page 25: Luiza jaramillo](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022042509/55c28b62bb61ebe3428b45aa/html5/thumbnails/25.jpg)
Conclusiones
• Los modelos se construyen para entender la realidad.
• Los modelos de simulación hacen uso intensivo del
computador
• El tipo de comportamiento de las variables determinan el
comportamiento del sistema.