Canone Fabrizio

L’universo frattale:

Geometria, Natura, Filosofia, Arte

Tesina di Maturità Anno Scolastico 2011/2012 Classe V Bif

INDICE Introduzione ai frattali 2

CHE COS’E’ UN FRATTALE? 3

Un frattale personale 4

La curva di Koch in rapporto con la geometria euclidea e con le forme della natura 5

Quanto è lunga la costa della Gran Bretagna? 8

L’ORDINE E IL CAOS 9

La Teoria del Caos 9

L’esperimento dei tre magneti 10

GLI INSIEMI 12

Dimensioni frazionarie 12

Dal primo frattale alla matematica sperimentale 15

Gli insiemi di Julia e di Mandelbrot 16

APPLICAZIONI AI FENOMENI 19

Alcuni studi importanti 19

L’universo frattale 22

L’ARTE FRATTALE 23

Cenni storici 23

Galleria d’arte frattale 23

Bibliografia e sitografia 26

Introduzione ai frattali

"…La filosofia naturale è scritta in questo grandissimo libro che continuamente ci sta aperto

innanzi agli occhi, io dico l'universo, ma non si può intendere se prima non s'impara a intender la

lingua e conoscer i caratteri nei quali è scritto. Egli è scritto in lingua matematica, e i caratteri son

triangoli, cerchi ed altre figure geometriche, senza i quali mezzi è impossibile a intenderne

umanamente parola; senza questi è un aggirarsi vanamente per un oscuro labirinto…”

Galileo Galilei

La qui presente è una delle più celebri affermazioni deI matematico, fisico, astronomo e

filosofo Galileo Galilei. Egli è stato protagonista della più importante rivoluzione scientifica

nella storia, ma resta un pensatore del „600 e come tale basa le sue riflessioni su una

premessa di tipo metafisico: la matematica come struttura necessaria della realtà.

Al di là di ciò, questa frase esprime uno degli scopi fondamentali della scienza di ogni

tempo, ossia quello di trovare un linguaggio che sappia descrivere e spiegare il

funzionamento dell’universo, possa essere un linguaggio di parole, di formule o, nel

caso in questione, di forme.

Ma per descrivere la nostra realtà è sufficiente avvalersi di triangoli, cerchi e in generale

degli strumenti della geometria euclidea?

E‟ vero che la geometria euclidea descrive bene la forma dei pianeti, simili a sfere, il moto

delle loro orbite, che è ellittico, o il moto di un proiettile, che è parabolico, ma queste non

sono altro che eccezioni.

Gli oggetti della nostra esperienza non hanno i bordi lisci o le forme regolari di un cono, di

un cerchio, di una sfera o di una retta. Il mondo in realtà è rugoso, increspato, di forma

irregolare: è un mondo in disordine.

"…Perché la geometria viene spesso definita fredda e arida? Uno dei motivi è la sua incapacità di

descrivere la forma di una nuvola, di una montagna, di una linea costiera, di un albero. Osservando

la natura vediamo che le montagne non sono dei coni, le nuvole non sono delle sfere, le coste non

sono cerchi, ma sono degli oggetti geometricamente molto complessi…"

Benoit Mandelbrot

Così il matematico Benoit Mandelbrot introduce il suo libro, nel quale espone una nuova

geometria, quella dei frattali, che offre sorprendenti possibilità di descrivere il mondo

attorno a noi. Il suo maggiore lavoro si è svolto tra gli anni ‟70 e ‟80, questo significa che

solo recentemente si è potuto andare oltre i limitati mezzi delle forme euclidee: è merito di

Mandelbrot se oggi è possibile ragionare in modo diverso. Il linguaggio da lui introdotto ha

rivoluzionato il modo in cui gli scienziati studiano il mondo, e se non bastasse ha apportato

cambiamenti all‟idea stessa di matematica. Infatti, contrariamente a quel che avviene oggi,

in cui i modelli matematici sono utilizzati nei più svariati campi, qualche decennio fa era

diffusa una concezione, derivante ancora dalla filosofia Platonica, secondo cui la

matematica dovesse essere completamente separata dalla natura, e pertanto la geometria

fosse su un livello inferiore poiché si riconduceva a forme sensibili. Non solo Mandelbrot

ha portato a una grande rivalutazione della geometria, ma ha anche dimostrato come ciò

che veniva considerato matematica pura, cioè del tutto astratta, poteva trovare

applicazione nella descrizione delle coste, delle catene montuose, dei grandi computer,

del linguaggio, della variazione dei prezzi in finanza e di molto altro.

CHE COS’È UN FRATTALE?

La definizione più semplice e intuitiva lo descrive come una figura geometrica in cui un

motivo identico si ripete su scala continuamente ridotta. Questa proprietà fondamentale

delle figure frattali è chiamata autosimilarità o autosomiglianza. Vale a dire che,

ingrandendo la figura, si otterranno forme ricorrenti e che ad ogni ingrandimento si

riveleranno nuovi dettagli. Contrariamente a qualsiasi altra figura geometrica, un frattale

invece di perdere dettaglio quando è ingrandito, si arricchisce di nuovi particolari: possiede

una struttura complessa a qualsiasi scala di riproduzione.

Il cavolfiore è un tipico esempio di struttura frattale

naturale. Infatti, se si osserva separatamente una delle

ramificazioni principali in cui la pianta si articola, si trova

una struttura molto simile a quella del cavolfiore intero,

su scala ridotta. Si può ripetere più volte la divisione,

trovando sempre forme che ricordano quella del vegetale

nel suo complesso, finché non si arriva alla sua unità

fondamentale.

Geometricamente parlando, il processo può procedere

ad un livello infinito di ingrandimento.

Un frattale personale

La prima volta in cui mi imbattei in un frattale geometrico, ancora non sapevo che avesse

quel nome. Fu durante un compito a casa di matematica che prevedeva di tracciare il

grafico della funzione tan(1/x).

Partiamo dal dominio della funzione elementare tan(x): esso è costituito dalla retta reale

privata dei punti

dove k rappresenta gli infiniti valori dei numeri interi. Se x è posta a denominatore, allora

gli infiniti valori interi generano infinite frazioni diverse con infiniti valori compresi tra -1 e 1.

Pertanto la funzione tan(1/x) possiede infiniti punti di frontiera nell‟intervallo [-1,1], che si

concentrano sempre di più verso l‟origine degli assi. Effettuando uno zoom, se ne

scoprono sempre di nuovi. Si tratta di un dominio frattale: è chiaro che non avrei mai

potuto esaurire il disegno del grafico della funzione, con i suoi infiniti archi, simili a quelli

del grafico della tangente, che si restringono sempre più verso l‟asse y.

Figure a cui oggi si da il nome di frattale esistevano già da tempo: furono elaborate tra la

fine dell‟ „800 e l‟inizio del „900 ed erano chiamate “strutture patologiche”. Tuttavia, i

matematici le consideravano dei meri luoghi geometrici, dei casi insoliti, figure prive di

relazioni con la natura e quindi prive di qualsivoglia utilità o applicazione pratica, quindi di

interesse puramente accademico. L‟esempio più noto è il seguente.

La curva di Koch in il rapporto con la geometria euclidea e con le forme della natura

Nel 1904, il matematico svedese Helge van Koch creò

una curva che cambiava così tante volte direzione che

un viaggiatore che si fosse improvvisamente trovato in

un suo punto non avrebbe saputo in quale direzione

muoversi. La curva di Koch, o a fiocco di neve, inizia

come perimetro di un triangolo equilatero. Inserendo

al centro di ciascun lato un nuovo triangolo equilatero

di lato pari ad 1/3 del lato di quello precedente, la

figura diventa così una stella a sei punte. Il perimetro

della stella è costituito da 12 segmenti e ha una

lunghezza pari a 4/3 rispetto a quella del triangolo di

partenza. Il passo successivo consiste nell'aggiungere

altri 12 triangoli più piccoli nel centro del lato di ogni

stella. Continuando il processo mediante l'inserimento

di triangoli sempre più piccoli, si ottiene il fiocco di

neve di Koch. Ognuno di questi passi è chiamato

iterazione. Tra due punti qualsiasi della curva

sorgono un numero infinito di triangoli ed è pertanto

infinita la distanza tra due suoi punti qualsiasi, anche

se la curva circoscrive un'area finita non molto più

grande di quella del triangolo di partenza. Si suppone

che, al primo stadio della sua costruzione, la curva a

fiocco di neve abbia lato 1 centimetro.

Con una risoluzione di 1 centimetro, la curva appare

come un triangolo composto da 3 segmenti di retta; le

pieghe più piccole non sono visibili. Se la risoluzione passa ad 1/3 di centimetro, i

segmenti sono 12, ciascuno lungo 1/3 di centimetro. Ogni volta che l'unità di misura viene

ridotta a 1/3, il numero di segmenti visibili aumenta di 4 volte. Un comportamento così

strano ha portato i matematici di inizio Novecento a definire questa ed altre curve come

“mostruosità matematiche”.

Di seguito si dimostra una delle particolarità di questa figura: il fatto che abbia area finita

ma perimetro infinito.

Se per l'n-esima iterazione denotiamo con il numero totale di lati, la lunghezza di un

lato, il perimetro, l'area, l'area del triangolo iniziale e supponiamo per brevità di

scrittura

Risulta allora

da cui

mentre per l'area risulta

da cui

Un‟altra proprietà della curva di Koch che creò stupore è

quella per cui, pur essendo continua, non ammette

derivata in alcun punto. Prima che questi “mostri

matematici” fossero concepiti, era invece noto che le

curve continue fossero sempre derivabili in un certo

insieme di punti, e quindi si potessero sempre tracciare

tangenti. Se si prende in esame ad esempio una curva

parabolica, essa ha un andamento molto regolare ed è

chiara la possibilità di accostarvi una tangente. Ma lo

stesso vale per curve euclidee decisamente irregolari e

frastagliate: più numerosi sono i punti angolosi, cioè i punti

che individuano angoli e non ammettono tangente, tanto

più numerosi sono gli archi e i segmenti che di per sé sono

lisci e regolari, quindi derivabili.

Il paradosso scaturiva dal fatto che tutti i punti della curva di Koch risultano essere punti

angolosi, e tra due di essi non vi è mai un segmento liscio e regolare, ma una superficie

infinitamente frastagliata. Quanto più si provi ad ingrandire, tanto più si trovano dettagli

che rendono impossibile posizionare la tangente.

Insomma, le curve con un simile comportamento non potevano essere studiate con i soliti

metodi, ragion per cui erano ritenute paradossali e astruse. Tuttavia, se si considera un

oggetto reale con una superficie anche molto liscia, e lo si ingrandisce al microscopio fin

quanto possibile, si trovano sempre nuove irregolarità e nuovi dettagli: un oggetto reale ha

una struttura complessa ad ogni scala di ingrandimento, proprio come un frattale. Anche in

questo caso non sarebbe possibile tracciare una tangente se non con

un‟approssimazione, un procedimento astratto. Perciò quale delle due geometrie è più

lontana dalla descrizione precisa della realtà?

Contrariamente a quello che sorge spontaneo pensare con mentalità euclidea, si può ora

comprendere che la geometria frattale, un tempo considerata solo uno stravagante

artificio, è invece più “naturale” e autentica di quanto non lo siano le forme regolari di una

sfera o di un triangolo.

Ma in quali termini si presenta in natura la proprietà fondamentale dei frattali, ossia

l‟autosomiglianza? Allo studio della natura con il linguaggio frattale è dedicata la sezione

“Applicazioni ai Fenomeni”, ma, a prescindere dalla scienza, basta osservare

attentamente le catene montuose per averne un esempio. Infatti, montanari affermano di

notare spesso come il contorno della cresta di un monte ricordi quello di tutta la catena, o

almeno di una parte di essa. Si capirà presto che questa similitudine non è solo frutto

dell‟immaginazione dell‟osservatore.

E per quanto riguarda il perimetro infinito? A questo proposito si analizzerà un problema

che Benoit Mandelbrot mette in evidenza nei primi capitoli del suo libro.

Quanto è lunga la costa della Gran Bretagna?

L‟unico modo per rispondere è quello di misurare la costa. Si immagini di avere a

disposizione un modello in scala perfetto della Gran Bretagna e alcuni righelli

corrispondenti a una lunghezza reale di 200 km, 100 km e 50 km. La prima misurazione si

effettua con il righello che corrisponde a 200 km. Potendo posizionare 7 righelli, si

ammetterà che a tale livello di approssimazione la misura della costa della Gran Bretagna

è 7x200=1400 km. La seconda misurazione si effettua con il righello che corrisponde a

100 km. Questa volta è possibile seguire in modo più dettagliato l‟andamento della costa,

ed è possibile posizionare un numero molto maggiore di righelli, cioè 21. La misura risulta

21x100=2100 km. La terza misurazione si effettua con il righello che corrisponde a 50 km

e permette di posizionare ben 63 righelli. Per questo livello di ingrandimento sembra

essere accurata, e porta ad una misura di 63x50=3150 km. Tuttavia, ingrandendo di poco

il modello in scala, si nota che anche questa misurazione trascura un‟infinità di capi, golfi e

penisole, che emergono in numero sempre maggiore proseguendo nell‟ingrandimento.

Non sarà mai possibile riprodurne il contorno preciso servendosi di segmenti. Anche se i

righelli fossero lunghi pochi millimetri, resterebbero le irregolarità delle rocce che

compongono le coste, come espresso nel paragrafo precedente. Si noti che

nell‟approssimare la costa, se si riducono le dimensioni dei righelli, la quantità di righelli

necessaria aumenta ad un ritmo più veloce, pertanto la misura della costa tende a ∞ quando la misura dei righelli tende a 0, cioè quando la precisione tende a essere

massima.

La situazione è pertanto analoga a quella che si presenta nel voler misurare la curva di

Koch, in cui compaiono sempre nuovi triangoli: occorre fissare convenzionalmente l‟unità

minima entro cui considerare i particolari, o l‟idea stessa di misurazione non avrebbe

senso.

Questo problema portò Mandelbrot ad introdurre il concetto di dimensione frattale, che

sarà esposto nella sezione “Gli Insiemi”.

L’ORDINE E IL CAOS

La geometria dei frattali descrive bene le forme apparentemente casuali della natura, i

fenomeni naturali e quelli artificiali, le distribuzioni disordinate riguardanti ad esempio

l‟economia o l‟informatica e in generale tutte le circostanze in cui il risultato è imprevedibile

perché segue leggi molto complesse. Qui di seguito si renderà l‟idea della complessità dei

fenomeni naturali, e si spiegherà perché in molti casi non è possibile effettuare alcun tipo

di previsione deterministica.

La Teoria del Caos

“Può il minimo battito d’ali di una farfalla provocare un uragano dall’altra parte del mondo?”

Edward Lorentz

La premessa fondamentale della fisica classica è sempre stata il determinismo, ossia il

dominio incontrastato della necessità causale in senso assoluto secondo la quale è

inammissibile l'esistenza del caso. Sebbene fin dall‟inizio del „900 si fosse invece scoperto

quanto questo modello fosse inadeguato nella descrizione del mondo atomico e

subatomico (che invece è descritto dalle leggi probabilistiche della meccanica quantistica),

tuttavia si riteneva ancora di grande efficacia nella previsione dei fenomeni macroscopici.

L‟efficacia c‟è e non si mette in dubbio, ma la possibilità di effettuare previsioni a lungo

termine fu decisamente sopravvalutata, e i suoi limiti furono messi in evidenza nei primi

anni „60 quando, grazie all‟avvento dei primi super-computer, fu possibile simulare lo

sviluppo di sistemi molto complessi, come ad esempio quello delle condizioni

metereologiche. Fu proprio la questione che indagò Edward Lorentz, pioniere della teoria

del caos, quando nei primi anni ‟60 si cimentò in una di queste simulazioni al computer, la

quale si basava su dodici variabili, espresse con dodici equazioni di stato della

fluidodinamica e della termodinamica, incluse relazioni non lineari. Quando Lorentz volle

ripetere la simulazione per la seconda volta, fu sorpreso di ottenere uno sviluppo che sul

lungo termine era completamente diverso da quello precedentemente ottenuto. Credette di

aver commesso un errore, dopodiché si accorse di aver soltanto arrotondato in modo

leggermente diverso le variabili. In tal modo i valori erano cambiati, ma il cambiamento

non era molto maggiore di quello che nella realtà potrebbe corrispondere a un soffio di

vento in più o, volendo, ad un battito di ali di una farfalla. Intuitivamente, si è convinti che

una modifica trascurabile nelle condizioni iniziali produca un‟alterazione trascurabile delle

condizioni finali, si ebbe invece la prova che in generale non è così. Per i sistemi lineari,

come un bambino che tira un calcio ad un pallone, questo ha senso, ma nei sistemi

complessi una piccola variazione si propaga per effetto valanga fino a sconvolgerne

completamente gli sviluppi futuri.

E‟ questo che si intende per teoria del caos, e preso atto di ciò si hanno delle importanti

implicazioni gnoseologiche. Infatti, nella pratica, non è possibile effettuare una

misurazione infinitamente precisa di una variabile, ma vi è sempre un margine di errore,

entro il quale coesistono un‟infinità di sviluppi possibili che sul lungo termine si discostano

completamente l‟uno dall‟altro rendendo priva di senso qualunque previsione. Questa è la

ragione per cui il meteo non si spinge mai oltre le due settimane dalla data corrente.

«Lo spostamento di un singolo elettrone per un miliardesimo di centimetro, a un

momento dato, potrebbe significare la differenza tra due avvenimenti molto diversi, come l'uccisione di un uomo un anno dopo, a causa di una valanga, o la sua salvezza»

Alan Turing

Questa frase porta all‟estremo le considerazioni della Teoria del Caos. Ma se un elettrone,

che è soggetto alle leggi probabilistiche della meccanica quantistica, può influenzare

drasticamente il mondo macroscopico, ne segue che gli sviluppi di un qualunque sistema

fisico non sono mai determinati a priori, e non è solo una questione di imprecisione nelle

misure: il divenire di uno stato di cose resta ontologicamente non definito.

L’esperimento dei tre magneti

“I sistemi più semplici creano problemi di prevedibilità estremamente difficili... in quei

sistemi si produce spontaneo l'ordine: disordine e ordine assieme.”

James Gleick

Per dimostrare quanto detto sulla teoria del caos, e indicare come essa si colleghi alla

geometria dei frattali, si effettuerà un esperimento virtuale prendendo in esame un sistema

molto semplice, se comparato all‟atmosfera terrestre e al suo enorme numero di variabili.

Consideriamo una sfera di ferro sospesa al soffitto del laboratorio tramite un'asta rigida

(pendolo sferico), e collochiamo sul pavimento del laboratorio tre magneti, che

chiameremo per convenzione rosso, verde e blu.

Indichiamo con (x, y) le coordinate della

proiezione sul piano orizzontale del

centro della sfera. A un certo istante,

diciamo t=0, collochiamo la sfera nella

posizione di coordinate (x0, y0) e

lasciamo che il sistema evolva sotto

l'azione del campo magnetico generato

dai tre magneti. Il sistema seguirà

traittorie in generale molto complicate.

Visto che il sistema è sottoposto alle

forze d'attrito, dopo un certo tempo il

pendolo si fermerà in prossimità di uno

dei tre magneti. Notiamo subito una particolarità. Traiettorie che partono vicine, anche

estremamente vicine, possono terminare su magneti differenti: una piccola variazione

nelle condizioni iniziali del sistema, può portare a conseguenze profondamente diverse. Si

tratta dell‟effetto farfalla.

Per studiare l'effetto farfalla e la caoticità

della dinamica è utile "colorare" i punti del

pavimento. Innanzitutto abbiamo bisogno

di una griglia immaginaria per suddividere

lo spazio in caselle e studiare il

comportamento del pendolo a partire dai

centri di ciascuna di esse. Più il lato delle

caselle è piccolo, più otterremo una

mappa precisa dei domini di attrazione di

ciascun magnete, ossia le zone entro cui

uno o l‟altro magnete si appropria della

sfera. Con l‟aiuto di un calcolatore

possiamo suddividere il piano in caselle

infinitesimali, al limite tendenti a singoli

punti. Collochiamo il pendolo inizialmente

nel punto (x0, y0) e osserviamo la

traiettoria del pendolo, sino a quando si

raggiunge uno dei tre magneti. Se, ad esempio, il pendolo raggiunge il magnete rosso,

coloriamo il punto (x0, y0) di rosso. Con l'aiuto di un calcolatore possiamo iterare il

processo migliaia e migliaia di volte fino ad ottenere le figura seguente: un‟autentica

rappresentazione grafica dell‟effetto farfalla.

Notiamo che vi sono tre sottoinsiemi (isole) dove la dinamica non è caotica: se cambiamo

leggermente le condizioni iniziali, il risultato non cambierà per nulla. Nel resto del piano

però, la dinamica è estemamente sensibile al dato iniziale, come è testimoniato dalla

struttula frattale dei tre insiemi.

Infatti, nelle zone di dominio conteso, laddove due colori confinano, si interpone sempre

una striscia del terzo colore. Ad esempio, osservando più da vicino il contorno che separa

il blu e il rosso, si nota una strisciolina verde. A sua volta il rosso si trova anche tra il blu e

il verde, e il blu tra il verde e il rosso, l‟intreccio dei tre colori si ripete all‟infinito, e non si

esaurisce ad alcuna scala. L‟effetto farfalla è pertanto dimostrato anche per variazioni di

posizione microscopiche come nell‟esempio dell‟elettrone: non importa quanto sia piccolo

lo spostamento in una zona di dominio conteso, l‟effetto macroscopico si potrà manifestare

sempre, con totale arbitrio.

E‟ ora senz‟altro chiaro quanto la realtà sia complessa e quanto sia importante capire

meglio il funzionamento della geometria frattale per poter tornare a leggerla sotto un

qualche ordine.

GLI INSIEMI

Ora che è stata compresa l‟intima connessione tra la geometria frattale e la struttura dei

fenomeni caotici della natura, vale la pena trattare l‟argomento dal punto di vista più

propriamente matematico delle formule e degli insiemi.

Innanzitutto, si è osservato che alcuni frattali costruiti a partire da figure piane hanno

perimetro infinito e area finita. Altri, non visionati, hanno addirittura area nulla. Idem per

quanto riguarda le figure lineari: si vedrà a breve che è possibile avere “curve” di

lunghezza nulla. Viceversa esistono curve di lunghezza infinita che riescono a ricoprire

completamente una certa area o addirittura un certo volume, come la curva di Peano, e

questa risulta forse la questione più strana. Infatti, siamo abituati a pensare ad una curva

piana come ad un oggetto "filiforme" nel piano, ma è un‟idea in generale sbagliata: la

curva di Peano "si muove così tanto" dentro al quadrato da ricoprirlo interamente! Tale

curva è costruita come limite di

una successione di curve. L'esempio a

fianco, costruito dal matematico David

Hilbert, mostra i primi sei passi della

costruzione, all' infinitesimo passo si

otterrà la curva di Peano. Si può

dimostrare che una tale curva esiste

come funzione, è effettivamente continua

e ricopre l'intero quadrato.

Per comprendere tali bizzarre proprietà, non si può prescindere dall‟introdurre il concetto

di dimensione frattale.

Dimensioni frazionarie

.....delle grandezze, quella che ha una dimensione è linea, quella che ne ha due è superficie, quella che ne ha tre è corpo, e al di fuori di queste non si hanno altre grandezze.....

Aristotele

Questa è l‟idea intuitiva di dimensione che tutt‟oggi si ha comunemente. Ebbene,

contrariamente ad essa, una figura frattale si può estendere in una dimensione che non è

intera, e che, ad esempio, si trova a metà tra quella delle superfici e quella delle linee. In

tal caso, essa si esprime con un valore non intero compreso tra 1 e 2, che può avere

anche infinite cifre dopo la virgola.

E‟ difficile immaginare qualcosa di simile, perciò si farà dapprima riferimento ad un

esempio: l‟insieme di Cantor.

L'insieme è costruito seguendo il seguente metodo iterativo in cui il passo zero corrisponde alla figura di partenza non ancora trasformata: 1. Si prende come figura di partenza un segmento: si pone per comodità la lunghezza = 1; 2. Si elimina dal segmento la terza parte centrale: si ottengono 2 segmenti di lunghezza = 1/3; 3. Si ripete il procedimento su ognuno dei 2 segmenti che si sono così formati: si ottengono 4 segmenti di lunghezza = 1/9; 4. Si ripete il procedimento su ognuno dei 4 segmenti che si sono così formati: si ottengono 8 segmenti di lunghezza = 1/27; Si osservi che ogni volta il numero di segmenti si raddoppia, mentre la lunghezza di ciascuno di essi diventa 1/3 della precedente. E' quindi facile dedurre che al passo k: • la misura di un lato è (1/3)k • il numero di segmenti è 2k. Un importante assioma della geometria assicura che è possibile dividere un segmento in un qualsiasi numero di parti uguali: il procedimento sopra descritto potrà essere ripetuto senza limite. Come figura limite si ottiene l'insieme di Cantor, un frattale. Come varia la lunghezza? Essa diventa ogni volta i 2/3 della precedente, infatti ogni volta si elimina la terza parte centrale di ognuno dei segmenti. Dopo infinite iterazioni, la lunghezza complessiva della curva diventa 0 in quanto la somma totale dei segmenti eliminati è pari a:

Si è pertanto ottenuto un insieme infinito di punti isolati. La dimensione non è 0 poiché in

una zona finita dell‟insieme di Cantor si trovano infiniti punti, come in un segmento; eppure

la dimensione non è 1, poiché i punti non si toccano mai a differenza di quanto

costituirebbe un segmento.

A livello intuitivo, si può quindi supporre che la dimensione in cui si estende l‟insieme sia

una via di mezzo tra quella del punto e quella della retta.

Tuttavia è bene fornire anche una definizione rigorosa di dimensione frattale, che

permetterà di guardare al concetto di dimensione sotto un altro aspetto.

1. Se n è il numero di ingrandimenti lineari, indichiamo con f(n) il numero di copie dell'oggetto. 2. Si ha che f(n) è rappresentato dalla potenza di base n e di esponente la dimensione. 3. Dunque possiamo scrivere f(n) = nd 4. Si ha quindi d =logn(f(n)) = ln(f(n))/ln(n)

Esempi:

Si consideri un segmento e si raddoppi la lunghezza del suo lato. Si ottengono 2

copie del segmento originale: 2=21. In generale si ottengono tante copie quanto è il

numero di ingrandimenti. Si ha che f(n) = n. Dunque d=1.

Si consideri un quadrato e si raddoppi la lunghezza del suo lato. Si ottengono 4

copie dell'originale: 4=22. Triplicando la lunghezza del lato, si ottengono invece 9

copie dell'originale: 9=32. In generale, le copie sono uguali al quadrato del numero

di ingrandimenti lineari. Si ha che f(n) = n2. Dunque d=2.

Si consideri un cubo e si raddoppi la lunghezza del suo lato. Si ottengono 8 copie

dell'originale: 8=23. Quadruplicando la lunghezza del lato, si ottengono invece

sessantaquattro copie dell'originale! 64=43. In generale le copie sono uguali al cubo

del numero di ingrandimenti lineari. Si ha che f(n) = n3. Dunque d=3

Per quanto riguarda i frattali, è possibile calcolare la dimensione applicando la definizione nel passaggio fra il passo iniziale ed il primo passo:

nel caso della curva di Koch, si hanno 4 segmenti ognuno di lunghezza 1/3 della precedente. Dunque la dimensione è ln(4)/ ln(3) ≈ 1.26. La curva di Koch è più di una linea e meno di una superficie!

Nel caso del frattale di Cantor si hanno 2 segmenti ognuno di lunghezza = 1/3 della precedente. Dunque la dimensione è ln(2)/ln(3) ≈ 0.63. Il frattale di Cantor è meno di una linea!

Nel caso del frattale di Peano si hanno 9 segmenti ciascuno di lunghezza uguale ad 1/3 del segmento di partenza. La dimensione frattale è quindi ln(9)/ln(3) = 2. Dunque il frattale di Peano ha la dimensione di una superficie.

Ora è tutto più logico!

Resta in ultimo da osservare che il concetto di dimensione frattale non soddisfa soltanto

uno sfizio matematico, ma è un numero che qualifica il frattale stesso, e designa il suo

grado di complessità, perciò ha un utilizzo pratico nello studio e nel confronto delle varie

forme della natura. Infatti, come accennato nella prima sezione, l‟idea fu introdotta da

Mandelbrot in merito al problema sulla misurazione della costa della Gran Bretagna, a cui

finalmente si potrà dare risposta. Infatti, grazie a questa breve trattazione, è ora possibile

attribuire una determinata misura al suo perimetro, che non riguarda più la lunghezza, ma

il grado di complessità in cui si articola.

Con lo stesso ragionamento effettuato per le curve geometriche, si osserva che, ad ogni

passo, la lunghezza aumenta di 3/2. Se ne conclude che la costa della Gran Bretagna ha

una dimensione frattale approssimativamente pari a 1,5. Questo dato permette di

confrontarla ad altre coste, e quantificare la maggiore dolcezza o frastagliatura rispetto ad

esse.

Definizione di Frattale IFS

Ora che si padroneggiano tutte le proprietà che caratterizzano il frattale, non resta che

dare una definizione più rigorosa del frattale stesso.

Si consideri un insieme di N trasformazioni (non necessariamente affini) del piano cartesiano: { T 1 , T 2 , T 3 , ..., T N } e le si applichino allo stesso sottoinsieme A del piano. Come risultato si otterrà una famiglia di N sottoinsiemi del piano cartesiano { T 1 (A), T 2 (A), T 3 (A), ..., T N (A)}. Sia A 1 l'insieme ottenuto come unione di questi sottoinsiemi. Si applichino di nuovo le N trasformazioni all'insieme A 1 così ottenuto e si consideri l'unione degli N insiemi immagine. Si nomini questo insieme A 2 . Si agisca nello stesso modo su A 2 ottenendo A 3 . Continuando allo stesso modo, si ottiene una successione di insiemi { A 1 , A 2 , A 3 , ...}. Il problema da porsi è il seguente: continuando in questo modo, la successione di insiemi convergerà ad un insieme A oppure no? Convergere in questo caso vuol dire che la successione si stabilizzerà, e da un certo punto in poi non noteremo più cambiamenti apprezzabili nell'immagine sullo schermo. (Si tratta di un'operazione di limite.) Sotto certe condizioni la successione di insiemi convergerà ad un insieme limite F. Questo insieme limite F si definisce frattale , anzi frattale IFS (Iterated Function System) ovvero "frattale ottenuto iterando un insieme di trasformazioni del piano".

Dal primo frattale alla matematica sperimentale.

Arthur Cayley, nel 1870, analizzando l'algoritmo di Newton per l'approssimazione delle radici di un'equazione algebrica in C (l‟insieme dei numeri complessi) si pose un problema che a quei tempi non poteva risolvere: data un'equazione polinomiale p(x) = 0 di grado n, essa ammette n radici in C. L'algoritmo di Newton determina, a partire da un arbitrario z0, una successione z1, z2,… che converge ad una soluzione: quale? La ricerca della risposta conduce ad una struttura apparentemente caotica, in cui è possibile riconoscere una omotetia interna: si tratta del primo frattale della storia della matematica, anche se non costruito ma soltanto intuito. Solo di recente è stato possibile costruire insiemi frattali di tale complessità, con la nascita

dei computer. Grazie ad essi, è nato un rivoluzionario modo di approcciarsi alla materia: la

matematica sperimentale.

L‟aggettivo sperimentale sembra

formare un ossimoro, perché siamo

abituati a pensare alla matematica

come qualcosa di separato dalla

realtà, che si sviluppa per conto

proprio attraverso inferenze logiche

del tutto astratte. E‟ esattamente

l‟idea che la geometria frattale ha

sovvertito. Infatti, alcuni insiemi frattali

costruiti attraverso il computer sono

dei veri e propri mondi infinitamente

esplorabili e che rivelano forme nuove

ed inaspettate, il tutto a partire da

formule molto semplici. Insieme rappresentante nel piano complesso l’approssimazione di radici con l’algoritmo di Newton per l’equazione z3–1=0.

Gli insiemi di Julia e di Mandelbrot

Nel 1918, il matematico francese Gaston Julia era alle prese con un altro problema: capire che cosa accade a una successione di punti zk del piano dei numeri complessi generati dalla trasformazione g(z) = z2 + c. Il punto zk + i si ottiene applicando la trasformazione al punto precedente della successione zk. Il numero complesso c è un parametro di controllo che può essere scelto ad arbitrio. Questo processo iterativo, in apparenza semplice, costituisce la base di una famiglia sbalorditiva di forme. Quando si applica la trasformazione a un punto iniziale z0, la successione risultante può comportarsi in due modi diversi: può vagare senza limitazioni, allontanandosi verso l'infinito, oppure restare confinata in una certa regione del piano dei numeri complessi. I punti liberi costituiscono il cosiddetto insieme di fuga; quelli che restano confinati formano il cosiddetto insieme di Julia. La sua forma dipende dal valore di c scelto, ed è infinitamente variabile, di seguito alcune delle più suggestive. I colori indicano la velocità di fuga dei punti.

c = -1,25

Queste figure, essendo molto difficili da immaginare, furono dimenticate dai matematici

per molti decenni, fino a quando Mandelbrot non le riportò alla luce e ne disegnò il grafico

al calcolatore. Studiandole, osservò che sostanzialmente un insieme di Julia si poteva

presentare in due modi: con una superficie interamente connessa (prima e quarta figura),

oppure con una superficie polverizzata (seconda e terza figura). Non sembrava esserci un

preciso valore di c in cui si passava da una caratteristica all‟altra, ma un confine

estremamente incerto. Mandelbrot ebbe l‟idea di rappresentarlo servendosi di un piano di

Argand-Gauss (quello su cui giacciono i numeri complessi: il valore reale è indicato

c = 0,27334 + 0,00742i.

c = 0,3742 + 0,3742i c = i

sull‟asse delle ascisse, il valore immaginario i è indicato sull‟asse delle ordinate). Impostò

il calcolatore in modo che colorasse soltanto i punti del piano in cui l‟insieme era continuo,

in questo modo sarebbe emersa la forma del confine tra superfici connesse e polverizzate.

Il risultato portò alla generazione della figura più incredibile che fosse stata realizzata fino

ad allora nella storia della matematica: L‟insieme di Mandelbrot.

Esplorando questo insieme, non si può che rimanerne

sbalorditi. Non solo ognuno dei suoi punti sul piano

corrisponde ad un diverso insieme di Julia, ma, ingrandendo

la figura, si ritrovano anche tutte le strutture tipiche di tali

insiemi, all‟interno del profilo di un unico oggetto. Per questo

motivo si definisce frattale improprio: sulla scala ridotta non si

trovano mai figure esattamente uguali a quella di partenza,

ma un‟infinita varianza di motivi simili, tra cui, disseminate

un po‟ ovunque, un numero illimitato di piccole cardioidi

con circonferenze tangenti, disposte come nella figura

principale. Ognuna di esse costituisce da sola un nuovo

“mondo”, anch‟esso infinitamente esplorabile, e anch‟esso

contenente un‟infinità di altre cardioidi, ogni volta differenti:

la generazione di forme si spinge al di là di qualsiasi facoltà

immaginativa. Per tale ragione è considerato una sorta di

rappresentazione grafica dell‟infinito. Dimostra che da

formule semplici possono originarsi meraviglie senza fine.

Infatti la formula da cui nasce tutto questo non è altro che

un‟equazione quadratica più una costante: z2+c.

E si ricorda ancora una volta che nonostante i procedimenti

astratti con i quali si producono le figure trattate, esse non

sono diverse dalle strutture che si ritrovano nella realtà

naturale, le stesse con cui probabilmente si dispone

l‟intero universo (vedi sezione seguente). Ad esempio,

zoomando sull‟insieme di Mandelbrot, si ritrovano sviluppi

che ricordano molto quelli degli alberi, dei fiumi, delle

coste, dei laghi, e non solo per analogia, ma perché i punti

di questo insieme, le particelle di un fluido, le disposizioni

della sabbia, sono regolate dal medesimo tipo di leggi:

quelle del caos.

Queste ed altre considerazioni hanno portato taluni a

definire l‟insieme di Mandelbrot come “l’impronta digitale di

Dio”. E in effetti si tratta di una costante che viene fuori in

diversissimi ambiti degli studi della natura, un po‟ come il pi-

greco per l‟algebra.

Tutto ciò porta a riflettere sulla natura stessa della nostra

realtà, in cui da pochi

semplici elementi si genera continuamente il caos e la

complessità. Nuove forme, siano esse biologiche,

inorganiche o semplicemente immaginate, sorgono

continuamente nel fluire del tempo. In un certo senso, è

quanto aveva intuito il filosofo francese Henri Bergson

(1859-1951) quando parlava del continuo processo dell‟

“evoluzione creatrice”.

Grazie ai progressi della computer

grafica, poi, gli insiemi frattali hanno

raggiunto livelli ancora più elevati di

spettacolarità, in particolare con il

progetto Mandelbub, il cui scopo è

rendere nelle 3 dimensioni le

proprietà dell‟insieme di Mandelbrot.

Qui di lato un esempio di facile

interpretazione.

APPLICAZIONI AI FENOMENI

"Una goccia d'acqua che si spande nell'acqua, le fluttuazioni delle popolazioni animali, la

linea frastagliata di una costa, I ritmi della fibrillazione cardiaca, l'evoluzione delle

condizioni meteorologiche, la forma delle nubi, la grande macchia rossa di Giove, gli errori

dei computer, le oscillazioni dei prezzi Sono fenomeni apparentemente assai diversi, che

possono suscitare la curiosità di un bambino o impegnare per anni uno studioso, con un

solo tratto in comune: per la scienza tradizionale, appartengono al regno dell'informe,

dell'imprevedibile dell'irregolare. In una parola al caos. Ma da due decenni, scienziati di

diverse discipline stanno scoprendo che dietro il caos c'è in realtà un ordine nascosto, che

dà origine a fenomeni estremamente complessi a partire da regole molto semplici."

J.Gleick, pioniere di una nuova scienza, Chaos

E‟ arrivato il momento di illustrare in breve alcune delle principali applicazioni in ambito

scientifico della geometria frattale cui spesso si allude nel testo.

Alcuni studi importanti

Geologia

I frattali si originano spesso in presenza di sistemi non lineari, dalla dinamica caotica.

Questo aspetto è definito turbolenza, e caratterizza ad esempio i fenomeni erosivi. Ne

segue che tutto ciò che è frutto dell‟erosione, si struttura come un frattale: le catene

montuose, le coste, i laghi, i fiumi e le loro foci spesso assai ramificate. Queste foci, e in

generale tutte le ramificazioni di un fiume, sono un perfetto correlativo oggettivo di quanto

studiato riguardo alle previsioni, che da punti di partenza simili, finivano per separarsi

verso percorsi molto diversi. L‟uomo è stato alle prese con diversi problemi da quando ha

iniziato a modificare il corso dei fiumi con le attività antropiche: proprio per la teoria del

caos, è sufficiente una minima variazione del corso a monte per indurre, nel tempo, una

catastrofe a valle. Grazie al linguaggio frattale, l‟approccio a questi problemi può essere

decisamente più accurato.

Mineralogia

In generale, si parla di turbolenza riferendosi ad

un sistema in cui vi sono un numero enorme di

particelle libere di muoversi che interagiscono tra

loro attraverso forze elettriche. Il moto che

seguono, estremamente caotico, è chiamato moto

browniano, e quando è associato all‟aggregazione

di particelle con possibilità di diffusione limitata,

porta a strutture frattali (schema a sinistra). La

cristallizzazione dei minerali, quando avviene in

condizioni di diffusione limitata, può dare vita a forme

molto più complesse e articolate di quelle della relativa

cella elementare, come testimoniano l‟azzurrite (di fianco)

e la malachite. I micro-cristalli di grafite, poi, possono

aggregarsi in una pietra porosa detta carbone attivo,

utilizzata in molti processi industriali. La porosità è dovuta

alla presenza di un‟enorme quantità di nano-canali che

attraversano la roccia e si diramano nelle tre dimensioni

con uno sviluppo frattale.

Il modello frattale descrive talmente bene le forme naturali che la Pixar, pioniera

dell‟animazione digitale, lo ha sempre usato per ricostruire al computer ambienti verosimili.

Biologia

Come la ramificazione di una foce, anche quelle di svariati vegetali seguono un disegno

frattale. L‟esempio lampante è il broccolo, ma anche una felce, un carciofo, un abete, le

piante più comuni. Saper descrivere la configurazione delle piante è importante in diversi

studi, tra i quali la misurazione della quantità di CO2 rilasciata nell‟atmosfera da una

foresta.

Si potrebbe pensare che, in biologia, queste tipiche

forme ramificate siano un caso particolare, infatti la

forma degli animali vertebrati non ricorda in alcun

modo un frattale. Contrariamente, questa geometria è

proprio quella che Madre Natura ha scelto per

costituire le sue creature, a partire dal fondamento

stesso della vita, il DNA. Questa lunghissima

macromolecola, completamente estesa, coprirebbe la

distanza Terra-Sole, ma, grazie alla geometria frattale,

è possibile convogliarlo nel nucleo di una sola cellula,

secondo lo stesso principio osservato in linea teorica

per cui nell‟area limitata del fiocco di neve di Koch può

contenersi una lunghezza che tende all‟infinito. La

disposizione del DNA consiste in una serie di

spiralizzazioni su scala continuamente ridotta, attorno

ad altre molecole dette dendrimeri, a loro volta

possedenti struttura frattale.

Anche a livello organico le strutture frattali sono

diffusissime, perché hanno particolari utilità fisiologiche. Si

ritrovano nelle linee strutturali dei gusci delle ammoniti,

disposte in tale maniera per distribuire meglio la pressione

marina. E quando si parla di distribuzione, i frattali ad

albero sono senza dubbio le strutture migliori: i polmoni,

così come il sistema circolatorio, si sviluppano in questo

modo per diffondere al meglio l‟ossigeno e le sostanze

nutritive all‟interno di un organismo. Si è quindi reso noto come anche il corpo umano sia

disseminato di frattali, basti guardare il palmo della propria mano con le sue pieghe

continuamente diramate. I frattali si ritrovano persino nell‟organizzazione delle reti

neuronali, e di conseguenza hanno una corrispondenza con la struttura della stessa mente

umana. Secondo Mandelbrot, questo è il motivo per cui la gente li trova così familiari, ed è

per questo che essi ricorrono anche nelle produzioni artistiche, come la musica. Tuttavia

questa familiarità resta ancora un mistero, che aumenta man mano che si approfondisce

l‟argomento.

Oncologia

Dal momento che questo modello descrive bene le strutture dell‟organismo, è scontato

dire che le sue applicazioni sono utilissime in campo medico. Ad esempio, la vena Porta

del fegato si dirama in una quantità di capillari talmente estesa, che fino a poco tempo fa

non sembrava possibile descriverla con precisione. Con gli strumenti della geometria

frattale invece lo è, ed è molto utile per individuare il punto di origine di un tumore al fegato

e conoscere con esattezza le zone di tessuto da asportare.

Mondo umano

I frattali possono essere usati per descrivere i fenomeni artificiali più disparati tra cui:

La distribuzione delle popolazioni nel mondo, che si articola da poche super-

metropoli a moltissimi villaggi e case isolate.

Il mercato azionario. Mandelbrot fu il primo a rendersi conto che i grafici riguardanti

le variazioni dei titoli non erano distinguibili in base alla scala di tempo, fossero

giornalieri, settimanali o mensili. Così ebbe l‟idea di utilizzare gli strumenti frattali

per descriverli, e funzionò assai bene.

Il linguaggio e la frequenza d‟uso di certi lemmi.

La frequenza con cui si manifestano interferenze ed errori nei sistemi informatici

La topologia di internet, ossia la forma del traffico e dei dati che viaggiano in rete. Si

compone di nuclei principali con un enorme numero di visite, da cui si diramano

sottili linee di traffico aventi struttura frattale. Realizzare una mappa del traffico web

è stato utile per massimizzarne l‟efficienza.

Per non parlare degli utilizzi in campo tecnologico. Di particolare attenzione è un recente

studio riguardante la superconduttività a temperatura ambiente, che sarebbe presto

possibile con l‟impiego di una struttura frattale: così come nei polmoni tale struttura è

l‟ideale per trasportare l‟ossigeno, può esserlo in un materiale per trasportare le cariche.

In conclusione, ogni aspetto della realtà, compreso il funzionamento del pensiero umano e

i prodotti che ne derivano, ha una relazione con la geometria del caos. Lo stesso si può

dire per la struttura dell‟intero universo.

L’universo frattale

Il titolo di questo lavoro sui frattali presenta due ambiguità. Da un lato indica la vastità del

mondo frattale, in cui tenta di spaziare il più possibile,

dall‟altro si riferisce ad una proprietà del cosmo, nel

suo complesso. Infine designa il divenire stesso

dell‟intera realtà.

Per quanto riguarda il cosmo, nuove ricerche sulla

densità dell‟universo sembrano contraddire l‟ipotesi di

omogeneità della distribuzione delle galassie,

evidenziando l‟esistenza di enormi zone vuote.

Secondo questo nuovo modello, i super ammassi di

galassie si dispongono in filamenti di estensioni

inimmaginabili formando un‟immensa figura frattale

ramificata che comprende l‟intera materia

dell‟universo. E‟ un‟ipotesi molto suggestiva, che

oltretutto soddisfa i calcoli riguardanti il collasso

gravitazionale.

Ma non è tutto. Negli ultimi anni si sta affermando un nuovo paradigma sull‟origine

dell‟universo che si basa sulla teoria inflazionaria, ma non la valuta come unica eccezione

attraverso la quale è stato possibile lo

sviluppo del nostro universo, bensì come un

processo eterno attraverso cui, mediante

fluttuazioni quantistiche, sorgono e si

espandono continuamente nuovi universi

uno dall‟altro, secondo un inarrestabile

effetto cascata con struttura frattale. Di lato

il grafico che rappresenta le fluttuazioni

quantistiche del multiverso. Solo in

corrispondenza delle valli esistono universi

stabili con leggi già definite.

Molti scienziati affermano che dopo essere venuti a conoscenza di questa straordinaria

geometria, le nuvole non sono più le stesse, gli alberi non sono più gli stessi, non si può

fare a meno di guardare al mondo con occhi diversi.

L’ARTE FRATTALE

Cenni storici

Molto prima che venissero definiti con una geometria e con una terminologia, i frattali

erano conosciuti ed e utilizzati dagli artisti in ogni epoca. In india ci sono templi antichi la

cui base è un frattale, si ritrovano motivi frattali nelle decorazioni dei templi egizi, persiani,

indù. In occidente si ritrovano nelle vetrate di diverse chiese antiche.

Ma l‟artista che per primo

riuscì a cogliere la bellezza

nel caso fu Jackson

Pollock. I suoi dipinti sono

del tutto analizzabili con la

metodologia dei frattali.

Grazie ad un computer, si è

potuta attribuire anche una

dimensione frattale a molte

delle sue opere, che parte

da 1.4 per arrivare ad 1.8 man mano che il pittore affinò la tecnica. Egli arrivò anche ad

una dimensione di 1.9, ma di tali dipinti possediamo solo foto poiché li distrusse.

Evidentemente, era andato oltre i suoi intenti.

Galleria d’arte frattale

I frattali sono intimamente legati all‟idea di bellezza ed eleganza, quindi vale la pena

godersi la piccola galleria a pagina seguente. La prima e la seconda opera sono ispirate

agli insiemi di Julia, la terza è in tributo all‟insieme di Mandelbrot. La quarta è

completamente astratta, mentre la quinta è una citazione di Van Gogh. Seguono tre opere

realizzate in tre dimensioni, appartenenti alla Computer Art. Nella penultima è

rappresentata una città azteca volante, l‟ultima invece è realistica: un insieme di Julia

costituisce un complesso di isolotti.

Queste opere potrebbero sembrare delle stravaganze di pura arte contemporanea, in

realtà richiamano i principi dell‟arte classica

rinascimentale:

Si basano sull‟autosomiglianza, una regola

geometrica naturale, così come le opere

rinascimentali si basano sulla sezione Aurea,

anch‟essa ricorrente in moltissimi ambiti dello

studio della natura.

L‟autosomiglianza è la perfetta realizzazione dell‟ideale dell‟arte classica:

l‟equilibrio delle parti con il tutto.

Le sbalorditive forme dei frattali hanno ispirato anche compositori e poeti. Per concludere,

riporto la parte iniziale di una poesia di William Blake intitolata “Auguries of Innocence”.

Non è certo stata creata per i frattali, ma ne rispecchia incredibilmente bene gli aspetti.

To see a World in a grain of sand,

And a Heaven in a wild flower,

Hold Infinity in the palm of your hand,

And Eternity in an hour.

Traduzione:

Vedere il mondo in un granello di sabbia

Ed il cielo in un fiore di campo,

Tenere l‟infinito nel palmo della mano

E l‟eternità in un‟ora.

Bibliografia e sitografia

Bibliografia:

• Mandelbrot Benoit B., “How Long Is the Coast of Britain? Statistical Self-Similarity and Fractional Dimension”, 1967 • Mandelbrot Benoit B., “Gli oggetti frattali: forma, caso e dimensione”, Einaudi, 1987 • Mandelbrot Benoit B., “La geometria della natura”, 2a ed., Theoria, 1990 • Hartmut Jurgens, Heinz-Otto Peitgen e Dieymar Saupe - "Il linguaggio dei frattali", da "Le Scienze" n°266 Ottobre 1990 • Andrei Linde - "Un universo inflazionato che si autoriproduce", da "Le Scienze" n°317 Gennaio 1995

Sitografia:

http://www.lescienze.it

http://www.frattali.it/

http://www.uisoftware.com/artmatic/Galleries/galleryF.html

http://davbucci.chez-alice.fr/index.php?argument=matematica/frattali/frattali.inc

http://www.skylive.it/Cosmologia/Cosmologia_Teoria_Universo_Frattale.aspx

http://it.wikipedia.org/wiki/Frattale

http://it.wikipedia.org/wiki/Teoria_del_caos

http://www.skytopia.com/project/fractal/mandelbulb.html#renders

http://ulisse.sissa.it/chiediAUlisse/domanda/2005/Ucau051216d002/

http://it.wikipedia.org/wiki/Curva_di_Peano