luotettavuus todennäköisyyskäsitteenä; vikaantumismallit

31
MAT-2118 Luotettavuustekni ikka Urho Pulkkinen Luotettavuus todennäköisyyskäsitteenä; vikaantumismallit Hazardi- l. vioittuvuusfunktion tilastollinen tulkinta ja estimointi tarkastellaan aikaväliä (0,t) joka jaetaan erillisiin t:n pituisiin osaväleihin hetkellä t = 0 otetaan käyttöön n identtistä laitetta olkoon i:nnellä osavälillä vikaantuneiden laitteiden lukumäärä n(i) olkoon T ji laitteen j toiminta-aika osavälillä i: T t t ji , joslaite toim iivälin i joslaite vikaantuu välillä i ,joslaite on vikaantunutaiem min , 0 T ji j n 1 laiteiden kokonaistoim inta-aika välillä i

Upload: grace

Post on 13-Jan-2016

38 views

Category:

Documents


0 download

DESCRIPTION

Luotettavuus todennäköisyyskäsitteenä; vikaantumismallit. Hazardi- l. vioittuvuusfunktion tilastollinen tulkinta ja estimointi tarkastellaan aikaväliä (0,t) joka jaetaan erillisiin  t :n pituisiin osaväleihin hetkellä t = 0 otetaan käyttöön n identtistä laitetta - PowerPoint PPT Presentation

TRANSCRIPT

Page 1: Luotettavuus todennäköisyyskäsitteenä; vikaantumismallit

MAT-2118Luotettavuustekniikka

Urho Pulkkinen

Luotettavuus todennäköisyyskäsitteenä; vikaantumismallit

Hazardi- l. vioittuvuusfunktion tilastollinen tulkinta ja estimointi

• tarkastellaan aikaväliä (0,t) joka jaetaan erillisiin t:n pituisiin osaväleihin

• hetkellä t = 0 otetaan käyttöön n identtistä laitetta

• olkoon i:nnellä osavälillä vikaantuneiden laitteiden lukumäärä n(i)

• olkoon Tji laitteen j toiminta-aika osavälillä i:

T

t

tji

, jos laite toimii välin i

jos laite vikaantuu välillä i

, jos laite on vikaantunut aiemmin

,

0

T jij

n

1

laiteiden kokonaistoiminta - aika välillä i

Page 2: Luotettavuus todennäköisyyskäsitteenä; vikaantumismallit

MAT-2118Luotettavuustekniikka

Urho Pulkkinen

Luotettavuus todennäköisyyskäsitteenä; vikaantumismallit

Hazardi- l. vioittuvuusfunktion tilastollinen tulkinta ja estimointi

z in i

T

n i

m i tz i t

n i

m iji

j

n( )( ) ( )

( )( )

( )

( ),

1

missä m(i) = välin i alussa toimivien laitteiden lukumäärä

Page 3: Luotettavuus todennäköisyyskäsitteenä; vikaantumismallit

MAT-2118Luotettavuustekniikka

Urho Pulkkinen

Luotettavuus todennäköisyyskäsitteenä; vikaantumismallit

Empiirinen kylpyammekäyrä

i

z(i)

"Lastentautijakso"

Toimintajakso

Vanhenemisjakso

……

Page 4: Luotettavuus todennäköisyyskäsitteenä; vikaantumismallit

MAT-2118Luotettavuustekniikka

Urho Pulkkinen

Luotettavuus todennäköisyyskäsitteenä; vikaantumismallit

Hazardi- l. vioittuvuusfunktion tulkinta vs. elinajantiheysfunktion tulkinta

z t dt P t t dt t

f t dt P t t dt

( ) ( , )"|

( ) ( , )

"vioittuu välillä " toimii hetkellä "

"vioittuu välillä "

Page 5: Luotettavuus todennäköisyyskäsitteenä; vikaantumismallit

MAT-2118Luotettavuustekniikka

Urho Pulkkinen

Luotettavuus todennäköisyyskäsitteenä; vikaantumismallit

Keskimääräinen vikaantumisaika, MTTF (mean time to failure)

• MTTF = vikaantumisajan odotusarvo

MTTF

E T tf t dt( ) ( )0

• koska f(t) = -R’(t)

MTTF

t R t dt tR t R t dt R t dtt t

( ( )) ( ) ( ) ( )0

0 0 0

Page 6: Luotettavuus todennäköisyyskäsitteenä; vikaantumismallit

MAT-2118Luotettavuustekniikka

Urho Pulkkinen

Luotettavuus todennäköisyyskäsitteenä; vikaantumismallit

Keskimääräinen vikaantumisaika, MTTF (mean time to failure)

• MTTF voidaan johtaa myös Laplace-muunnoksen avulla

• lähestymistapa hyödyllinen esim Markov-malleista johdettujen vikaantumisaikajakaumien tapauksessa

R s R t e dtst

( ) ( )0

R R t dt

( ) ( )00

MTTF

Page 7: Luotettavuus todennäköisyyskäsitteenä; vikaantumismallit

MAT-2118Luotettavuustekniikka

Urho Pulkkinen

Luotettavuus todennäköisyyskäsitteenä; vikaantumismallit

Keskimääräinen vikojen välinen aika, MTBF (mean time between failures)

• laitteen toimintahostoria koostuu peräkkäisistä toiminta-ajoista (T) ja korjausajoista (Tr)

• MTBF = vikojen välisen ajan odotusarvo = vikaantumisajan odotusarvo + korjausajan odotusarvo, edellyttäen, että peräkkäiset vikaantumisajat (ja korjausajat) ovat riippumattomia, samalla tavatalla jakautuneita satunnaismuuttujia

MTBF MTTF MTTR E T E Tr( ) ( )

• MTTR = mean time to repair

Page 8: Luotettavuus todennäköisyyskäsitteenä; vikaantumismallit

MAT-2118Luotettavuustekniikka

Urho Pulkkinen

Luotettavuus todennäköisyyskäsitteenä; vikaantumismallit

Laitteen keskimääräinen vikaantumiskäyttäytyminen

0

1

t

X(t)

MTTF MTTF MTTFMTTRMTTR

Page 9: Luotettavuus todennäköisyyskäsitteenä; vikaantumismallit

MAT-2118Luotettavuustekniikka

Urho Pulkkinen

Luotettavuus todennäköisyyskäsitteenä; vikaantumismallit

POISSON-prosessi

• Poisson-prosessilla on yhteys vikaantumismalleihin

• Poisson-prosessiin (tai minkä tahansa piste- tai laskuriprosessin) intensiteeteillä on tulkinta luotettavuusteoriassa ja -tekniikassa

• tietyin edellytyksin Poisson-prosessi on vikaantumisten lukumäärän malli

• nyt tarkastellaan homogeenista Poisson-prosessia

• monesti myös ns. epähomogeenisilla Poisson-prosesseilla on käyttöä luotettavuusmallina

Page 10: Luotettavuus todennäköisyyskäsitteenä; vikaantumismallit

MAT-2118Luotettavuustekniikka

Urho Pulkkinen

Luotettavuus todennäköisyyskäsitteenä; vikaantumismallit

Homogeeninen Poisson-prosessi

OLETUKSET

• Vikaantumistapahtuma A voi esiintyä millä hetkellä tahansa, ja todennäköisyys, että A esiintyy aikavälillä (t, t+dt) ei riipu t:stä on

P t t dt dt o dt( ( , ) ( ),"A esiintyy aikavälillä

missä0 ja funktiolle o( ) pätee:

o dto dt

dtdt( ): lim( )

0 0

Page 11: Luotettavuus todennäköisyyskäsitteenä; vikaantumismallit

MAT-2118Luotettavuustekniikka

Urho Pulkkinen

Luotettavuus todennäköisyyskäsitteenä; vikaantumismallit

Homogeeninen Poisson-prosessi

OLETUKSET

• Todennäköisyys, että aikavälillä (t, t + dt] esiintyy enemmän kuin yksi tapahtuma on o(dt).

• jos mitkä tahansa aikavälit (t11, t12], (t21, t22], … ovat erillisiä, niin tapahtumat ”A esiintyy aikavälillä (tj1, tj2]”, j = 1, 2,…. ovat riippumattomia

Page 12: Luotettavuus todennäköisyyskäsitteenä; vikaantumismallit

MAT-2118Luotettavuustekniikka

Urho Pulkkinen

Luotettavuus todennäköisyyskäsitteenä; vikaantumismallit

Homogeeninen Poisson-prosessi

• merkitään N(t):llä aikavälillä (0,t) esiintyneiden tapahtumien lukumäärää ja olkoon

P N t n p n t( ( ) ) ( , )

• nyt pätee:

eli

p t dt p t

dtp t

o dt p t

dtdt

( , ) ( , )( , )

( ) ( , ),

0 00

00

p t dt p t dt o dt

p t p t dt p t o dt

( , ) ( , )( ( ))

( , ) ( , ) ( , ) ( )

0 0 1

0 0 0

Page 13: Luotettavuus todennäköisyyskäsitteenä; vikaantumismallit

MAT-2118Luotettavuustekniikka

Urho Pulkkinen

Luotettavuus todennäköisyyskäsitteenä; vikaantumismallit

Homogeeninen Poisson-prosessi

p t dt p t

dtp t

o dt p t

dtdt

( , ) ( , )( , )

( ) ( , ),

0 00

00

d

dtp t p t p t Ce tt( , ) ( , ) ( , ) ,0 0 0 0

on luonnollista asettaa:

p C p t e t( , ) ( , )0 0 1 1 0

Page 14: Luotettavuus todennäköisyyskäsitteenä; vikaantumismallit

MAT-2118Luotettavuustekniikka

Urho Pulkkinen

Luotettavuus todennäköisyyskäsitteenä; vikaantumismallit

Homogeeninen Poisson-prosessi

• ensimmäisen tapahtuman esiintymishetken, T1, jakauma

P T t F t P T t p t e tTt( ) ( ) ( ) ( , ) ,1 11

1 1 0 1 0

f te t

T

t

1

0 0

0( )

, ,

,

muulloin

• T1 on siis eksponentiaalisesti jakautunut satunnaismuuttuja

E T tf t dt te dtTt( ) ( )1

0 01

1

Page 15: Luotettavuus todennäköisyyskäsitteenä; vikaantumismallit

MAT-2118Luotettavuustekniikka

Urho Pulkkinen

Luotettavuus todennäköisyyskäsitteenä; vikaantumismallit

Homogeeninen Poisson-prosessi

• p(n,t)?

p n t dt p n t p n t p n t dt o dt

d

dtp n t p n t p n t

( , ) ( , ) ( ( , ) ( , )) ( )

( , ) ( ( , ) ( , ))

1

1

n p t e p t p

p t te

t

t

1 1 1 1 0 0

1

( , ) ( , ); ( , )

( , )

Page 16: Luotettavuus todennäköisyyskäsitteenä; vikaantumismallit

MAT-2118Luotettavuustekniikka

Urho Pulkkinen

Luotettavuus todennäköisyyskäsitteenä; vikaantumismallit

Homogeeninen Poisson-prosessi

• rekursio

p n t

t

ne n

nt( , )

!, , , 1 2

Eli Poissonin jakauma

E N t nt

ne t

nt

n

( ( ))( )

!

0

Page 17: Luotettavuus todennäköisyyskäsitteenä; vikaantumismallit

MAT-2118Luotettavuustekniikka

Urho Pulkkinen

Luotettavuus todennäköisyyskäsitteenä; vikaantumismallit

Homogeeninen Poisson-prosessi

• k:nnen tapahtuman esiintymishetken, Tk, jakauma

• tiheysfunktio saadaan derivoimalla:

P T t F tt

je

F tt

je

k T

jt

j

k

T

jt

j

k

k

k

( ) ( )( )

!,

( )( )

!,

1

1

0

1

0

1

Page 18: Luotettavuus todennäköisyyskäsitteenä; vikaantumismallit

MAT-2118Luotettavuustekniikka

Urho Pulkkinen

Luotettavuus todennäköisyyskäsitteenä; vikaantumismallit

Homogeeninen Poisson-prosessi

• k:nnen tapahtuman esiintymishetken, Tk, tiheysfunktio saadaan derivoimalla

f tj t

je

t

je

et

j

t

j

et

j

t

j

e

T

jt

j

k jt

j

k

tj j

j

k

j

k

tj j

j

k

j

k

k( )

( )

!

( )

!

( )

!

( )

( )!

( )

!

( )

( )!

1

1

1 1

0

1

1 1

1

1

0

1

1 1

0

2

0

1

1

1

t

kt

k

( )

( )!

1

1

• kysymys on gammajakaumasta

Page 19: Luotettavuus todennäköisyyskäsitteenä; vikaantumismallit

MAT-2118Luotettavuustekniikka

Urho Pulkkinen

Luotettavuus todennäköisyyskäsitteenä; vikaantumismallit

Joitakin vikaantumisajan jakaumia

Eksponentiaalijakauma

f t e tt( ) , , 0 0

F t e R t e MTTFt t( ) , ( ) , 11

z t vakio( )

Page 20: Luotettavuus todennäköisyyskäsitteenä; vikaantumismallit

MAT-2118Luotettavuustekniikka

Urho Pulkkinen

Luotettavuus todennäköisyyskäsitteenä; vikaantumismallit

Joitakin vikaantumisajan jakaumia

Eksponentiaalijakauma

Eksponentiaalijakauma on muistiton:

P T t x T tP T t x

P T t

e

ee P T x

t x

tx( | )

( )

( )( )

( )

Var( )T 1

2

Page 21: Luotettavuus todennäköisyyskäsitteenä; vikaantumismallit

MAT-2118Luotettavuustekniikka

Urho Pulkkinen

Luotettavuus todennäköisyyskäsitteenä; vikaantumismallit

Joitakin vikaantumisajan jakaumia

Weibulljakauma

f t t e

F t t

R t t

z t t

E T

T

t( ) ( ) ,

( ) exp( ( ) )

( ) exp( ( )

( ) ( )

( ) ( )

Var( ) ( ( ) ( ))

( )

1

1

22

1

1 11

1 21

11

Page 22: Luotettavuus todennäköisyyskäsitteenä; vikaantumismallit

MAT-2118Luotettavuustekniikka

Urho Pulkkinen

Luotettavuus todennäköisyyskäsitteenä; vikaantumismallit

Joitakin vikaantumisajan jakaumia

Gammajakauma

• malli: laitteeseen kohdistuu shokkeja joiden välinen aika on ekponentiaalisesti jakautunut parametrilla

• laite vikaantuu, kun siihen kohdistuu k:s shokki

f tk

t e

R t F tt

je z t

f t

R t

k t

jt

j

k

( )( )

( )

( ) ( )( )

!, ( )

( )

( ),

1

0

1

1

Page 23: Luotettavuus todennäköisyyskäsitteenä; vikaantumismallit

MAT-2118Luotettavuustekniikka

Urho Pulkkinen

Luotettavuus todennäköisyyskäsitteenä; vikaantumismallit

Joitakin vikaantumisajan jakaumia

Gammajakauma

E Tk

Tk

( )

Var( )

2

Page 24: Luotettavuus todennäköisyyskäsitteenä; vikaantumismallit

MAT-2118Luotettavuustekniikka

Urho Pulkkinen

Luotettavuus todennäköisyyskäsitteenä; vikaantumismallit

Joitakin vikaantumisajan jakaumia

Gammajakauma

• yleistys

f t t e Rt( )( )

( ) ,

1

Page 25: Luotettavuus todennäköisyyskäsitteenä; vikaantumismallit

MAT-2118Luotettavuustekniikka

Urho Pulkkinen

Luotettavuus todennäköisyyskäsitteenä; vikaantumismallit

Joitakin vikaantumisajan jakaumia

• muita jakaumia

• lognormaalijakauma (ln(T) ~ N(2))

• Pareto-jakauma

• inverse-gaussian

• äärimmäisten arvojen jakaumat

• Gumbel-jakaumat

• erilaiset stokastisten prosessien perusteella johdetut jakaumat (rajajakaumana yleensä joku normaalijakauman versio)

• jne.

Page 26: Luotettavuus todennäköisyyskäsitteenä; vikaantumismallit

MAT-2118Luotettavuustekniikka

Urho Pulkkinen

Luotettavuus todennäköisyyskäsitteenä; vikaantumismallit

Vikaantumisajan jakaumien luokittelu

• IFR (increasing failure rate) ja DFR (decreasing failure rate)

MÄÄRITELMÄ:

Jakauma on IFR (DFR) jos -ln(1-F(t)) on konveksi (konkaavi) välillä

0<t<F-1(t)

• Huom! jos jakauma on jatkuva niin IFR (DFR) vastaa hazardifunktion kasvavuutta (vähenevyyttä)

Page 27: Luotettavuus todennäköisyyskäsitteenä; vikaantumismallit

MAT-2118Luotettavuustekniikka

Urho Pulkkinen

Luotettavuus todennäköisyyskäsitteenä; vikaantumismallit

Vikaantumisajan jakaumien luokittelu

• IFRA (increasing failure rate average) ja DFRA (decreasing failure rate average)

MÄÄRITELMÄ:

Jakauma F on IFRA (DFRA) jos

1

1t

F tln( ( ))

on kasvava (vähenevä) kun t

• IFRA (DFRA) on heikompi ominbaisuus kuin IFR (DFR)

Page 28: Luotettavuus todennäköisyyskäsitteenä; vikaantumismallit

MAT-2118Luotettavuustekniikka

Urho Pulkkinen

Luotettavuus todennäköisyyskäsitteenä; vikaantumismallit

Vikaantumisajan jakaumien luokittelu

• NBU (new better that used) ja NWU (new worse that used)

• tarkastellaan jäljella olevan elinajan jakaumaa:

R t x P T t x T xP T t x

P T x

R t x

R x( | ) ( | )

( )

( )

( )

( )

MÄÄRITELMÄ

Jakauma F on NBU (NWU) jos

R t x R t t x

R t x R t t x

( | ) ( ), , ,

( | ) ( ) , ,

0 0

0 0

(NBU)

(NWU)

Page 29: Luotettavuus todennäköisyyskäsitteenä; vikaantumismallit

MAT-2118Luotettavuustekniikka

Urho Pulkkinen

Luotettavuus todennäköisyyskäsitteenä; vikaantumismallit

Vikaantumisajan jakaumien luokittelu

• NBUE (new better that used in expectation) ja NWUE (new worse that used in expectation)

MÄÄRITELMÄ

Jakauma F on NBUE jos

1. F:llä on äärellinen odotusarvo

2. on voimassa, että:

MTTF = xx

R t x dt x( | ) ,

0

Page 30: Luotettavuus todennäköisyyskäsitteenä; vikaantumismallit

MAT-2118Luotettavuustekniikka

Urho Pulkkinen

Luotettavuus todennäköisyyskäsitteenä; vikaantumismallit

Vikaantumisajan jakaumien luokittelu

MÄÄRITELMÄ

Jakauma F on NWUE jos

1. F:llä on äärellinen odotusarvo

2. on voimassa, että:

MTTF = xx

R t x dt x( | ) ,

0

Page 31: Luotettavuus todennäköisyyskäsitteenä; vikaantumismallit

MAT-2118Luotettavuustekniikka

Urho Pulkkinen

Luotettavuus todennäköisyyskäsitteenä; vikaantumismallit

Vikaantumisajan jakaumien luokittelu

• IFR => IFRA => NBU => NBUE

• DFR => DFRA => NWU => NWUE

• tietynlaiset järjestelmärakenteet säilyttävät jotkut em. ominaisuuksista