m a t e m á t i c a s conicas
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7/26/2019 m a t e m t i c a s Conicas
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A T E T I C A S
FORMULARIO
C I R C U N F E R E N C I A
Definicin: Es el lugar geomtrico de los puntos del plano que equidistan de un punto fijollamado centro.
Ecuacin General de la Circunferencia:
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Ax2+By
2+Cx+Dy+E=0
Nota:
Una circunferencia tiene los coeficientes x! " "! iguales.
Una circunferencia N# tiene trminos en x! " "!
Ecuacin Cannica:$i el centro se encuentra en elorigen de la Circunferencia
$i el centro se encuentra fuera del origende la Circunferencia
C=(0,0) x2+y
2=r
2
C=(h,k) (xh)2+(yk)2=r2
Gr%fica Gr%fica
Ecuacin de Distancia entre dos puntos:
dp2p
1
=(x2x1)2+(y
2y
1)2
Ecuacin para &allar el punto medio de un segmento
P1=(x1 , y1 ) " P2=(x2 , y2 )
x=x
2+x
1
2
y=y
2+y
1
2
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E L I P S E
Definicin: Es un lugar geomtrico de los puntos del plano cu"a suma de las distancias a dospuntos fijos llamados focos' es constante.
Ecuacin General de la Elipse:
Ax2+By2+Cx+Dy+E=0
Esta es la forma general de la ecuacin de la elipse' cuando el eje es paralelo acualquiera de los ejes de coordenadasNota:
Una Elipse tiene los coeficientes positi(os " distintos
Una Elipse N# tiene los trminos en x! " "!
)rtice ma"or: **+
)rtice menor: ,,+$emi-eje ma"or a$emi-eje menor /0elacin entre: a' /' c.
a2=b
2+c
2
Elementos de una Elipse: Eje Focal: Es la recta que pasa por los focos. Vrtices: $on los puntos de corte del eje focal con la Elipse 1*'*+2 Eje Mayor: Es el segmento del eje focal comprendido entre los (rtices' 1so/re l se
encuntralos focos2 es igual a 1a2. Eje Menor: Es la cuerda perpendicular al eje ma"or " que pasa por el centro3 es igual a
1/2 Distancia Focal: Es la distancia entre los focos3 es igual a 1c2 Centro de la Elipse: Es el punto medio entre los focos. Excentricidad: Es la relacin ente las distancias focal " el eje ma"or.
e=2c
2a e=
c
a 0
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4ado 0ecto de la Elipse: es la perpendicular al eje ma"or " que pasa por uno de los focos3
es igual a: LR=2b
2
a 140 " 4+0+2.
Elipse con centro en el origen " eje focal coincide con el eje x!1$i en la ecuacin cannica' el denominador de xes ma"or que "2
1Eje ma"or es 6ori7ontal2
Ecuacin Cannica:x
2
a2+y
2
b2=1 Gr%fica con centro C 18'82
1Donde a9/2oco: 1-c'82 +1c'82
)rtices: *1-a'82 *+1a'82
,18'/2 ,+18'-/2
Excentricidad: e=ca
4ado 0ecto: LR=2b
2
a 140 "
4+0+2
Directrices:x=
a
e 1l5' l2
Distancia focal: c
Eje ma"or: aEje menor: /
$emi-eje ma"or: a
$emi-eje menor: /
0elacin: a /; c
#rientacin: 6ori7ontal
Elipse con centro en el origen " eje focal coincide con el eje "!1$i en la ecuacin cannica' el denominador de "es ma"or que x2
1Eje ma"or es )ertical2
Ecuacin Cannica:x
2
b2+y
2
a2=1
Gr%fica con centro C 18'82
1Donde a9/2oco: 18'c2 +18'-c2
)rtices: *18'a2 *+18'-a2
,1/'82 ,+1/'82
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Excentricidad:e=
c
a
4ado 0ecto: LR=2b
2
a 140 " 4+0+2
Directrices: y=a
e 1l5' l2
Distancia focal: 2c
Eje ma"or: 2a
Eje menor: 2b
$emi-eje ma"or: a
$emi-eje menor: /
0elacin: a c; /
#rientacin: )ertical
Elipse con centro fuera del origen C1&'
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Elipse con centro fuera del origen C1&'
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Se%i & distancia $ocal: $on porciones iguales en las que el centro di(ide la distancia
focal en (12 dFF '=c) Eje Real 'o (rans)erso*: * " *+ se encuentran a una distancia a! del centro " la distancia
que los separa es a. Esa distancia es e real " los (rtices del eje real **+
Se%i & eje Real: Es la mitad del eje real3( 12 dAA '=a) Eje i%a+inario 'o Conj,+ado*: Es la recta que pasa por el centro " es perpendicular al
eje real. * una distancia /! a am/os lados del centro se=alamos los puntos , " ,+. 4a
distancia entre estos puntos es /.
Se%i & eje I%a+inario: es la mitad del eje imaginario (12 dBB '=b)
As-ntotas: $on dos rectas de pendiente m=b
a3 m=
a
b" que pasan por el centro
de la misma.
Excentricidad:Es la relacin entre la distancia focal3 el eje real e=c
a e=1+(
b
a )2
donde e>1 3 se caracteri7a la forma del rect%ngulo principal.
Rect.n+,lo Principal: 4as rectas perpendiculares de la &ipr/ola en los (rtices de sta
forman un rect%ngulo. Directrices: $on dos rectas perpendiculares al eje real " situadas a una distancia a>e del
centro de la &ipr/ola 1l5' l2. Lado Recto: Es la cuerda que pasa por uno de los focos " es perpendicular al eje rea 140
" 4+0+2. Ec/ Relaci0n: Es la relacin entre a' / " c.
c a; /
Elemento de la 6ipr/ola
Centro: C1?8' @82
ocos: " +
)rtices A * " *+ 3 , " ,+
4ados 0ectos: LR=L R =2.b
2
a
Eje 0eal A a
$emi-eje real:1
2dAA '=a
Eje Bmaginario A /
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$emi-eje imaginario:1
2dBB '=b
Distancia focal A c
$emi-distancia focal:1
2dFF '=c
Directrices A l5 " l a>e
Ec. 0elacin A c a; /
Excentricidad Ae=
c
a
*sntotas: l "lm=
b
a 3m=
a
b
Gr%fica 1Elementos de la 6ipr/ola2
6ipr/ola con centro el origen " eje real coincide con el eje ?!
1$i la ecuacin cnica ?" su di(isor precede del signo m%s 1;22
1Eje 0eal es 6ori7ontal
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Ecuacin Cannica:x
2
a2y
2
b2=1
1c9a2 1aes siempre el denominador de la fraccin
positi(a2
ocos A 1-c'823 +1c'82
)rtices A *1-a'823 *+1a'82 ,18'/23 ,+18'-/2
*sntotas AY=
b
ax
Directrices AX=
a
e
4ados recto A2b
2
a
Excentricidad A
e=c
a
0elacin A c2=a
2+b
2
Distancia focal A c
Eje real A a
$emi F eje real A a
Eje Bmaginario A /
$emi F eje Bmaginario A /
Gr%fica A C18'82
6ipr/ola con centro el origen " eje real coincide con el eje @!
1$i la ecuacin cnica @" su di(isor precede del signo m%s 1;22
1Eje 0eal es )ertical2
Ecuacin Cannica:x
2
a2 +
y2
b2=1
1c9a2 1aes siempre el denominador de la fraccin
positi(a2
ocos A 18'c23 +18'-c2Gr%fica A C 8 8
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)rtices A*18'a23 *+18'-a2
,1-/'823 ,+1/'82
*sntotas AY=
a
bx
Directrices A
Y=a
e
4ados recto A2b
2
a
Excentricidad Ae=
c
a
0elacin A c2=a
2+b
2
Distancia focal A c
Eje real A a$emi F eje real A a
Eje Bmaginario A /
$emi F eje Bmaginario A /
6ipr/ola con centro fuera del origen C1&'
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6ipr/ola con centro fuera del origen C1&'
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Una par%/ola tiene un trmino cuadr%tico en una de sus (aria/les " lineal respecto a laotra.
Elementos de la ar%/ola Eje de Si%etr-a: Es la perpendicular a la directri7 tra7ada por el foco. Vrtice: Es el punto en el que el eje inter-secta a la par%/ola.
Par.%etro: es la distancia del foco al (rtice " se designa como p Distancia: Es una recta perpendicular al eje de simetra. Excentricidad: En la par%/ola siempre es igual a uno 152. Lado Recto: Es la cuerda que pasa por el foco " es perpendicular al eje 1402.
oco: )rtices: lDirectri7: (
ar%metro: p4ado 0ecto: 40Eje: Contiene al oco "
al )rtice
ar%/ola con (rtice en el origen " eje de simetra coincide con el eje ?!1Eje 6ori7ontal2
ar%/ola que a/re &acia la derec&a " su(rtice es el punto de menor a/scisa.98 A )18'82
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Ecuacin Cannica
y2=4px
oco: 1p'82
Ecuacin Eje: @8
Ecuacin Directri7: x=p (l)
4ado 0ecto: p
Distancia: Directri7 " foco A p
ar%/ola que a/re &acia la i7quierda " su
(rtice es el punto de m%xima a/scisa.
H8 A )18'82
Ecuacin Cannica
y2=4px
oco: 1-p'82
Ecuacin Eje: @8
Ecuacin Directri7: x=
p (l)
4ado 0ecto: p
Distancia: Directri7 " foco A p
ar%/ola con (rtice en el origen " eje de simetra coincide con el eje @!1Eje )ertical2
ar%/ola que a/re &acia la arri/a " su(rtice es el punto de menor ordenada.98 A )18'82
Ecuacin Cannica
x2=4py
oco: 18'p2Ecuacin Eje: ?8
Ecuacin Directri7: y=p (l)
4ado 0ecto: p
Distancia: Directri7 " foco A p
ar%/ola que a/re &acia a/ajo " su (rticees el punto de m%xima ordenada.H8 A )18'82
Ecuacin Cannica
x2=4py
oco: 18'-p2Ecuacin Eje: ?8
Ecuacin Directri7: x=p (l)
4ado 0ecto: p
Distancia: Directri7 " foco A p
ar%/ola con (rtice )1&'
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1Eje 6ori7ontal2
ar%/ola que a/re &acia la derec&a " su(rtice es el punto de menor a/scisa.98 A )1&'
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Distancia: Directri7 " foco: p
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