m a t e m a t i c a - scienze umane – scienze applicate
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P R O G E T T O G U I D A A L L O S T U D I O
M A T E M A T I C A CALCOLO DI LIMITI
PARTE I
Giovanni Zingales
G.Zingales, Calcolo di limiti, 2017
1
CALCOLO DI LIMITI DI FUNZIONI REALI DI VARABILE REALE
Introduzione
La nozione di limite riguarda le funzioni reali di una o più variabili reali. Essa è alla base di tutta
l’Analisi matematica in quanto essenziale per definire in modo rigoroso i concetti di derivata e di integrale
definito, cioè i pilastri del calcolo differenziale e integrale (in pratica, il programma di matematica di V Liceo)
le cui applicazioni alla fisica, all’ingegneria all’economia, sono di fondamentale importanza.
Storicamente, a partire dal ‘600 e fino – almeno – alla prima metà dell’800, i matematici hanno adoperato
la nozione di limite guardando esclusivamente al suo aspetto, diciamo, computazionale: si preoccupavano cioè
di sviluppare procedure di calcolo, piuttosto che – o prima ancora di − elaborare una sua definizione formale
su cui costruire la teoria che desse fondamento solido, sul piano logico, alle procedure di calcolo e ai
conseguenti risultati che via via ottenevano. In effetti, ancora oggi, la maggior parte degli studenti calcola
limiti, anche complicati, pur non avendo assimilato bene la definizione formale di limite; questo paradosso si
chiarisce facilmente non appena si consideri che la definizione di limite non fornisce alcuna indicazione
operativa, ma serve solo − se in qualche modo si è riusciti a calcolare un limite − a dare i mezzi per verificare
l’esattezza del risultato ottenuto. In ragione di ciò, ritengo quindi consigliabile, sul piano didattico, avviare lo
studente allo studio dei limiti, con un approccio di tipo operativo, basato in buona parte sull‘intuizione,
mantenendo sullo sfondo l’aspetto formale Sto dicendo, in altre parole, che è bene cominciare lo studio dei
limiti, imparando subito a calcolarli.
L’operazione di limite
L’operazione di limite, si diceva, riguarda le funzioni reali di una o più variabili reali. Qui ci occuperemo
di funzioni di una sola variabile reale, definite su intervalli; in altra sede, tratteremo dei limiti di alcune
successioni, che sono quelle particolari funzioni reali il cui dominio è l’insieme N dei numeri naturali. (Tra
queste, notevole è la successione
n
nn
a
+=
11 il cui limite definisce il numero e , base dei logaritmi
naturali).
Per capire il significato di tale operazione cominciamo a discutere alcuni esempi. Partiamo da una funzione
come la seguente:
1
2)(
2
−
−+=
x
xxxf
G.Zingales, Calcolo di limiti, 2017
2
ossia una funzione razionale fratta (definita cioè dal rapporto di due funzioni polinomiali). Poiché il
denominatore si annulla (solo) per 1=x , la funzione è definita per ogni x reale tranne, appunto, per 1=x :
non possiamo quindi calcolare il valore della funzione nel punto 1=x ; però, possiamo calcolarne il valore
quando la variabile x assume valori vicini a 1 quanto si vuole: per esempio, 1,1=x e 01,1=x da un lato, e
9,0=x e 09,0=x dall’altro; si avrà:
1,3)1,1( =f e 01,3)01,1( =f ; e poi, 9,2)9,0( =f 99,2)99,0( =f
Per valori di x ancora più vicini a 1, per esempio 0001,1=x o 9999,0=x i corrispondenti valori della
funzione risultano.
0001,3)0001,1( =f e 9999,2)9999,0( =f
Si nota chiaramente la tendenza che tali valori hanno − da un lato per eccesso, e dall’altro per difetto − ad
avvicinarsi sempre più al valore 3.
La situazione è quindi la seguente: da un lato, non possiamo calcolare il valore della funzione per 1=x ;
dall’altro lato, in base ai calcoli eseguiti, sembrerebbe del tutto naturale poter dire che, in sostanza, è come se
il valore della funzione nel punto 1=x fosse 3.
Nasce quindi questa nuova operazione di limite, che in qualche modo – anzi in modo preciso e
rigoroso, come si vedrà −, permette di associare il valore 3 alla funzione; non in quanto valore da essa assunto
per 1=x , ma come valore cui la funzione stessa può avvicinarsi indefinitamente, in corrispondenza di valori
di x scelti opportunamente vicini a 1.
Tutto ciò si esprime dicendo che 3 è il limite della funzione per x che tende a 1 : in simboli
1lim→x 1
22
−
−+
x
xx= 3
(da leggersi “limite, per x che tende a 1, di )(xf uguale 3 ).
Vediamo un altro esempio:
x
senx
x 0lim→
(Questo limite, come vedremo, è fondamentale per il calcolo di limiti di funzioni trigonometriche).
La funzione x
senxxf =)( , chiaramente, non è definita nel punto 0=x ; ci si convince facilmente però, che
se si scelgono valori di x vicini quanto si vuole al valore 0=x , ma distinti da questo, i corrispondenti valori
G.Zingales, Calcolo di limiti, 2017
3
del rapporto x
senx saranno valori vicini a 1 quanto si vuole (per esempio già con 1,0=x si ha
998,01,0
)1,0(=
sen; lo studente esegua i calcoli considerando altri valori, ancora più vicini a 0 ; per esempio,
01,0=x e 001,0=x , tenendo conto che i valori di x devono riguardarsi come misure di angoli espresse
in radianti).
In altri termini, il limite vale 1:
1lim0
=→ x
senx
x
Osservazione.
I due esempi proposti rischiano di creare nello studente il falso convincimento che per calcolare limiti basta
disporre di una buona calcolatrice. In realtà, l’operazione di limite non richiede di effettuare calcoli nel senso
tradizionale, come sarà chiarito nelle pagine seguenti, dedicate appunto alle regole e ai procedimenti da
adoperare per il calcolo dei limiti.
Grafici e limiti.
Partiamo da un esempio, ben noto allo studente: la funzione f di equazione x
y1
= (il cui grafico, riportato
in figura, rappresenta un’iperbole equilatera avente per asintoti gli assi cartesiani).
La funzione è definita (e continua) in R 0− , cioè ovunque
in R , tranne nel punto 0=x , poiché l’operazione0
1 è
impossibile. Questa impossibilità aritmetica traduce, dal punto
di vista geometrico, la circostanza che il grafico non può
intersecare l’asse delle y . E infatti, il grafico non interseca
l’asse delle y ; gli si avvicina però sempre più, se i valori di x
si prendono via via sempre più vicini a zero.
La figura mostra chiaramente che quanto più i valori x si avvicinano a zero, tanto più i valori della funzione
diventano infiniti (il grafico sale verso + nel I quadrante e scende verso − nel III).
G.Zingales, Calcolo di limiti, 2017
4
D’altronde, anche con semplici calcoli, ci si convince subito che assegnando alla variabile x valori
positivi e vicini a zero quanto si vuole, i valori corrispondenti di x
y1
= risultano positivi e diventano
grandi quanto si vuole, cioè infinitamente grandi (per esempio, per 010000000000,0=x = 1210−
si
ha, in corrispondenza, il valore y = 1210 (mille miliardi); e sarà y >
1210 non appena si sceglie
1210−x ).
Quanto appena detto si esprime in simboli scrivendo
+=+→ xx
1lim
0
La scrittura +→ 0x indica che x tende a 0 assumendo sempre valori maggiori di 0 , ovvero, x tende a 0
mantenendosi in un intorno destro di 0 e per tale motivo il limite è detto limite destro.
E così, per valori di x negativi e vicini a zero quanto si vuole, i valori corrispondenti di x
y1
= risultano
negativi e diventano infinitamente grandi in valore assoluto (per esempio, con 𝑥 = −10−12 si ha in
corrispondenza il valore 𝑦 = −1012).
Si ha pertanto il limite sinistro
−=−→ xx
1lim
0
dove con −→ 0x si indica che x tende a 0 assumendo sempre valori minori di 0 , ovvero, mantenendosi
in un intorno sinistro di 0 .
Osservazione. La scrittura lim𝑥→0
1
𝑥 indica che x tende a 0 assumendo valori in un intorno completo di 0 ;
come appena visto, il limite è +∞ se +→ 0x mentre è −∞ se
−→ 0x e quindi si potrebbe pensare di
riassumere i due casi nell’unica scrittura =→ xx
1lim
0come si trova generalmente nei libri di testo. Tale
scrittura, ancorché comoda, è tuttavia, se non errata, quanto meno ambigua – e quindi (almeno per me) da
evitare – in quanto, come si vedrà più avanti, se il limite sinistro e il limite destro sono diversi, si deve
concludere che il limite non esiste.
G.Zingales, Calcolo di limiti, 2017
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Anticipo qui che, come per l’iperbole esaminata, se per una data funzione 𝑦 = 𝑓(𝑥) il limite per 0→x
è infinito, allora, geometricamente, il grafico della funzione ha per asintoto l’asse delle y , cioè la retta di
equazione 0=x . Più in generale, se risulta
lim𝑥→𝑥0
𝑓(𝑥) = +∞ (oppure −∞ )
ciò implica che, dal punto di vista geometrico, la retta di equazione 0xx = è un asintoto verticale per il
grafico della funzione; e questo vale anche se è +∞ o −∞ anche uno solo dei limiti destro o sinistro.
(Mi sembra questo un ottimo motivo per imparare a calcolare limiti: stabilire se il grafico di una data funzione
ha asintoti verticali).
Continuando la lettura del grafico in figura, possiamo notare che se i valori di x diventano via via
grandi quanto si vuole ( +→x ), il ramo di iperbole (I quadrante) scende sempre più verso l’asse delle
ascisse, ma senza intersecarlo; in altri termini, se +→x allora i corrispondenti valori di y diventano sempre
più vicini a zero.
D’altro canto, anche algebricamente è facile verificare che a valori di x via via sempre più grandi
corrispondono valori di x
y1
= sempre più prossimi a zero. Per esempio, se x = 1210 (mille miliardi), in
corrispondenza risulta 1210−=y = 010000000000,0 ; e così via. Scriviamo quindi, in simboli
01
lim =+→ xx
Ragionando in modo analogo, con riferimento al ramo di iperbole del III quadrante, ci si convince
subito che vale la relazione di limite seguente:
01
lim =−→ xx
Di nuovo, l’interpretazione geometrica del limite è chiara: se per una data funzione 𝑦 = 𝑓(𝑥), come per
l’iperbole esaminata, il limite per 𝑥 → +∞ o per 𝑥 → −∞ è 0 , allora il grafico della funzione ha per
asintoto l’asse delle x , cioè la retta di equazione 0=y .
G.Zingales, Calcolo di limiti, 2017
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Più in generale, se risulta
lim𝑥→+∞
𝑓(𝑥) = lim𝑥→−∞
𝑓(𝑥) = 𝑙
ciò vuol dire che la retta di equazione ly = è un asintoto orizzontale per il grafico della funzione.
Se in particolare vale solo una delle due relazioni di limite lim𝑥→+∞
𝑓(𝑥) = 𝑙 o lim𝑥→−∞
𝑓(𝑥) = 𝑙, allora la
retta ly = è, rispettivamente, asintoto orizzontale destro o sinistro.
* * * * *
CALCOLO DI LIMITI
1. Ai fini del calcolo di limiti, quanto detto per la funzione x
y1
= può essere esteso a tutti i casi in cui
si ha una funzione fratta il cui denominatore tende a 0 oppure a + o a − , enunciando le due
regole seguenti:
I) se il denominatore della funzione tende a 0 , e il numeratore ha (o tende ad assumere) un valore
finito, purché diverso 0 , allora il limite della funzione, o almeno uno dei limiti destro o sinistro
è + o − .
II) se il denominatore della funzione tende a + oppure a − , e il numeratore ha (o tende ad
assumere) un valore finito, allora il limite della funzione è 0 .
Possiamo fare uso (ma non abuso) dei seguenti simboli per memorizzare queste due regole:
I) 𝑎
0→ ±∞ (se 0a ); II) 0→
a (anche se 0=a )
G.Zingales, Calcolo di limiti, 2017
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Esempi di applicazione della regola I).
1. lim𝑥→1+
5
𝑥−1 = +∞ e lim
𝑥→1− 5
𝑥−1 = −∞
In entrambi i casi, quando 1→x (sia da destra che da sinistra), il denominatore tende a zero, e poiché il
numeratore è 5, ovvero il numeratore ha un valore finito diverso da 0, si può applicare la regola I. Nel primo
caso, dato che 𝑥 → 1+, il denominatore risulta positivo e quindi la funzione assume valori positivi, e pertanto,
il limite è +∞; nel secondo caso, 𝑥 → 1− e quindi, essendo il denominatore negativo, la funzione assume
valori negativi e il limite risulta, di conseguenza, −∞. Dal punto di vista geometrico ciò implica che la retta
di equazione 1=x è un asintoto verticale per il grafico della funzione.
2. lim𝑥→2+
3𝑥
2−𝑥 = −∞ e lim
𝑥→2− 3𝑥
2−𝑥 = +∞
In entrambi i casi, quando 𝑥 → 2 (sia da destra che da sinistra), il denominatore tende a zero mentre il
numeratore tende a 6: vale quindi la regola I e i due limiti si giustificano con ragionamento analogo a quello
dell’esempio precedente. La retta di equazione 𝑥 = 2 è asintoto verticale per il grafico della funzione.
3. lim𝑥→0
1
𝑥2 = +∞
Qui, quando 𝑥 → 0 (sia da destra che da sinistra), il denominatore tende a zero mantenendosi positivo, mentre
il numeratore vale 1; la funzione è quindi positiva, e ciò comporta che il limite sia +∞.
Non è forse inutile osservare che, in tal caso, anche il limite destro e il limite sinistro sono uguali +∞.
La retta di equazione 𝑥 = 0, cioè l’asse delle 𝑦, è asintoto verticale per il grafico della funzione.
4. lim𝑥→2+
𝑥2−5𝑥+4
2−𝑥 = −∞ e lim
𝑥→2− 𝑥2−5𝑥+4
2−𝑥 = +∞
In entrambi i casi, quando 𝑥 → 2 (sia da destra che da sinistra), il denominatore tende a zero mentre il
numeratore tende a −10; è facile spiegare i risultati dei due limiti in base alla regola I, ove si tenga conto che
la funzione è negativa per 𝑥 → 2+, mentre è positiva per 𝑥 → 2−.
5. lim𝑥→3
𝑥2−2𝑥−3
𝑥−3
Attenzione: per 3→x , non solo il denominatore, ma anche il numeratore tende a zero; non possiamo
applicare la regola I; vedremo dopo come si calcola il limite in casi del genere. Lo studente potrebbe comunque
tentare di intuire il risultato, calcolando i valori che la funzione assume per valori di x molto vicini a 3 ; per
esempio, 01,3=x e 99,2=x , o altri valori ancora più vicini a 3 .
G.Zingales, Calcolo di limiti, 2017
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Esempi di applicazione della regola II).
1. 03
lim =+→ xx
e anche 03
lim =−→ xx
;
2. 07
lim2=
+→ xx (se +→x , anche, e a maggior ragione, +→2x ; e questo vale anche se −→x );
3. 01
lim3=
−→ xx (se −→x , cioè se i valori di x diventano infinitamente grandi in valore assoluto ma
sono negativi, anche, e a maggior ragione, −→3x );
* * * * *
2. Calcolo di limiti di funzioni polinomiali (per +→x e per −→x ).
Le funzioni polinomiali hanno dominio )( +−== RD ; per conoscere il comportamento di
queste funzioni agli estremi del dominio, occorre quindi calcolare i limiti per +→x e per −→x
(vedremo poi che, essendo tali funzioni continue, i limiti per 0xx → , si calcolano semplicemente valutando
il valore del polinomio nel punto 0xx = ; si ha cioè, per i polinomi e, in generale, per tutte le funzioni continue
in un punto 0xx = , che )()(lim 00
xfxfxx
=→
).
I) Cominciamo dai casi più semplici e immediati.
+=+→
xx
3lim ; −=−→
xx
2lim ; −=−+→
)3(lim xx
; +=−−→
)2(lim xx
Spero che sia tutto chiaro; tuttavia, invito lo studente a interpretare geometricamente gli esempi trattati
disegnando i grafici delle rette di equazioni xy 3= e xy 2= .
II) Passiamo al secondo grado.
+=+→
23lim xx
+=−→
22lim xx
−=−+→
)3(lim 2xx
−=−−→
)2(lim 2xx
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Anche per questi esempi invito lo studente alla rappresentazione grafica delle parabole di equazioni
23xy = e 22xy = .
III) Gli esempi proposti si possono estendere alle potenze nx , con n intero positivo qualsiasi, nel
modo seguente:
a) Se n è pari, allora
+=→
n
xxlim
cioè, il limite della funzione potenza nx (con n pari) è + sia per +→x sia per −→x .
b) Se n è dispari, allora
+=+→
n
xxlim e −=
−→
n
xxlim
cioè, il limite della funzione potenza nx (con n dispari) è + per +→x ed è − per −→x .
Inoltre,
c) Se n è pari, e 0 , aRa , allora
−
+=
→ 0 se
0 se lim
a
aaxn
x
d) Se n è dispari, e 0 , aRa allora
−
+=
+→ 0 se
0 se lim
a
aaxn
x e
+
−=
−→ 0 se
0 se lim
a
aaxn
x
Questi risultati sono più facilmente memorizzabili se si utilizzano – come gli stessi risultati suggeriscono −
le seguenti relazioni formali relativi al prodotto del simbolo per un numero 0 , aRa :
+=+ a)( (se )0a ; −=+ a)( (se )0a ;
−=− a)( (se )0a ; +=− a)( (se )0a ;
Vale cioè la regola dei segni dell’algebra ordinaria e tale regola, com’è facile intuire, si estende al prodotto
del simbolo per sé stesso:
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+=++ )()( ; −=−+ )()( ; +=−− )()( .
Raccomando tuttavia allo studente di attenersi scrupolosamente alle regole appena esposte e di resistere
alla tentazione di estenderle incautamente, inventando magari altre regole, che quasi sicuramente si
riveleranno completamente sbagliate; e raccomando, inoltre, di prendere atto che il simbolo è, appunto,
un simbolo, e in nessun caso può essere considerato alla stregua di un numero ordinario.
IV. Siamo in grado ora di calcolare i limiti per 𝑥 → +∞ e per 𝑥 → −∞ di una qualsiasi funzione
polinomiale. Il seguente esempio mostra il modo di procedere.
)7452(lim 23 −+−+→
xxxx
Premesso che pensare di sostituire alla variabile x il simbolo e tentare di eseguire le conseguenti
improbabili operazioni significa non aver capito bene quanto detto sopra, vediamo come si affronta il limite
proposto.
Si riscrive il polinomio raccogliendo il fattore di massimo grado, nel nostro caso 3x :
−+−=−+−
32
323 74527452
xxxxxxx ;
si vede così, in base alla regola 0→
a, che quando +→x , tutti i termini frazionari dentro le
parentesi tendono a zero; si ha pertanto
)7452(lim 23 −+−+→
xxxx
= +→x
lim
−+−
32
3 7452
xxxx = )2(lim 3x
x +→ = + ,
ove si ricordi quanto detto per il limite n
xax
→lim .
Il procedimento appena descritto vale per qualsiasi funzione polinomiale e quindi si troverà sempre che,
saltando il passaggio intermedio,
lim𝑥→±∞
(𝑎𝑛𝑥𝑛 +𝑎𝑛−1𝑥
𝑛−1 + 𝑎𝑛−2𝑥𝑛−2+ . . . + 𝑎1𝑥 + 𝑎0) = lim
𝑥→±∞𝑎𝑛𝑥
𝑛
Ciò equivale a dire che, quando →x , tutti i termini del polinomio di grado inferiore al termine di
massimo grado (cioè il grado del polinomio) si possono trascurare. Con linguaggio più preciso si dice che
la potenza nx , per →x , è un infinito di ordine superiore rispetto a tutte le potenze di grado inferiore
G.Zingales, Calcolo di limiti, 2017
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a n . Questa “gerarchia” di infiniti, può essere evocata a parole dicendo che, quando →x , la potenza
nx “comanda” su tutte quelle di grado inferiore che, appunto non contano nulla. In questa “corsa” verso
l’infinito, la potenza nx è molto più “veloce” delle altre, e quindi è proprio questa a determinare il limite
della funzione.
* * * * *
3. Calcolo di limiti di funzioni razionali fratte
Le funzioni razionali fratte, quelle cioè definite dal rapporto di due funzioni polinomiali, hanno come dominio
l’insieme R privato degli eventuali zeri del denominatore. Per esempio, la funzione definita da
6
352)(
2
2
−+
−+=
xx
xxxf ,
ha come dominio l’insieme 2;3−−= RD , in quanto com’è facile verificare, il denominatore si annulla per
3−=x e per 2=x . È utile scrivere il dominio sotto forma di unione di intervalli, e precisamente
);2()2;3()3;( +−−−=D
in modo da individuare subito che i limiti significativi da calcolare sono quelli per →x , 3−→x e
2→x .
Cominciamo dai limiti per →x .
Il calcolo di tali limiti è abbastanza semplice: basta ripetere il procedimento adoperato nel caso delle funzioni
polinomiali. Si ha:
+→xlim
6
3522
2
−+
−+
xx
xx =
+→xlim
−+
−+
2
2
2
2
611
352
xxx
xxx
= +→x
lim2
22
x
x= 2
Nell’ultimo passaggio, la frazione 2
22
x
x è ben definita in quanto, dal momento che +→x , è senz’altro
lecito supporre 0x , e questo giustifica inoltre anche la semplificazione effettuata.
G.Zingales, Calcolo di limiti, 2017
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Seguendo la metafora precedente, nella corsa verso l’infinito, i due “comandanti” 35x e
32x procedono
con la stessa velocità e nessuno dei due vince sull’altro: con linguaggio appropriato, si dice che i due sono
infiniti dello stesso ordine.
(Prima di continuare la lettura, lo studente potrebbe verificare rapidamente quest’altro limite:
−→xlim
32
1253
23
++
−+
xx
xx=
2
5)
Vediamo altri due esempi in cui i polinomi non hanno lo stesso grado.
352
1433lim
3
24
+−
−+−
+→ xx
xxx
x = + e
173
5362lim
5
23
++
−+−
+→ xx
xxx
x = 0
Saltando il passaggio intermedio, nel primo caso si ottiene
352
1433lim
3
24
+−
−+−
+→ xx
xxx
x= +==
+→+→ 2
3lim
2
3lim
3
4 x
x
x
xx
Per la frazione 3
4
2
3
x
x e la sua semplificazione, vale quanto detto nell’esempio precedente; qui però il
numeratore è un infinito di ordine superiore al denominatore e quindi il limite è (il numeratore è “più
veloce” del denominatore e quindi si aggiudica la corsa); nel secondo caso, si ha
173
5362lim
5
23
++
−+−
+→ xx
xxx
x=
5
3
3
2lim
x
x
x +→=
23
2lim
xx +→= 0
L’ultimo passaggio sfrutta la regola 0→
a.
In questo esempio, l’infinito di ordine superiore è il denominatore e quindi il limite vale 0 (riproponendo
la metafora della corsa, il denominatore arriva prima all’ rispetto al numeratore, facendo scattare la regola
0→
a). Passando al caso generale, si ha:
lim𝑥→±∞
𝑎𝑛𝑥𝑛+ 𝑎𝑛−1𝑥
𝑛−1+ 𝑎𝑛−2𝑥𝑛−2+ . . .+𝑎𝑥+ 𝑎0
𝑏𝑚𝑥𝑚 + 𝑏𝑚−1𝑥
𝑚−1+ 𝑏𝑚−2𝑥𝑚−2+ . . .+𝑏𝑥+ 𝑏0
= lim𝑥→±∞
𝑎𝑛𝑥𝑛
𝑏𝑚𝑥𝑚
e, dal confronto degli ordini di infinito tra numeratore e denominatore, cioè dal confronto dei rispettivi
gradi, si deduce che – come per gli esempi particolari appena trattati − i risultati possibili sono i tre seguenti:
G.Zingales, Calcolo di limiti, 2017
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lim𝑥→±∞
𝑎𝑛𝑥𝑛
𝑏𝑚𝑥𝑚 =
{
𝑎𝑛𝑏𝑚
𝑠𝑒 𝑛 = 𝑚
0 𝑠𝑒 𝑛 < 𝑚
±∞ 𝑠𝑒 𝑛 > 𝑚
Lo studente presti attenzione al fatto che questi sono i tre possibili risultati per i limiti di funzioni
razionali fratte solo se →x .
Osservazione. Nel caso in cui si ha n > m, il limite vale −∞ oppure +∞ (l’un caso esclude l’altro) in
considerazione del fatto che 𝑥 tenda a +∞ o a −∞, nonché del segno del rapporto 𝑎𝑛
𝑏𝑚 . Per esempio,
lim𝑥→+∞
−4𝑥3
5𝑥2 = lim
𝑥→+∞
−4𝑥
5 = −∞; lim
𝑥→−∞
7𝑥5
2𝑥2 = lim
𝑥→−∞
7𝑥3
2 = −∞; lim
𝑥→−∞
5𝑥4
3𝑥2 = lim
𝑥→−∞
5𝑥2
3 = +∞.
Vediamo come si calcolano i limiti quando 0xx → , dove 0x è uno zero del polinomio al
denominatore. Riprendiamo la funzione di partenza
6
352)(
2
2
−+
−+=
xx
xxxf ,
e calcoliamo i limiti per 2→x e per 3−→x (ricordo che 3−=x e per 2=x sono gli zeri del polinomio
al denominatore).
Quando 𝑥 → 2 (sia da destra che da sinistra), il denominatore tende a zero mentre il numeratore tende ad
assumere il valore 15: vale quindi la regola 𝑎
0→ ±∞. Poiché per 𝑥 → 2+ la funzione è positiva (com’è
facile verificare), mentre per 𝑥 → 2− essa è negativa, si hanno i seguenti risultati:
lim𝑥→2+
2𝑥2+5𝑥−3
𝑥2+𝑥−6 = +∞ e lim
𝑥→2− 2𝑥2+5𝑥−3
𝑥2+𝑥−6 = −∞
(Come già detto, dal punto di vista geometrico un tale risultato indica che la retta di equazione 2=x è un
asintoto verticale per il grafico della funzione).
Calcoliamo ora il limite per 3−→x :
3lim
−→x 6
3522
2
−+
−+
xx
xx
G.Zingales, Calcolo di limiti, 2017
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A differenza del caso precedente, qui per 3−=x si annulla non solo il denominatore, ma anche il
numeratore; in altri termini, 3−=x è uno zero per entrambi, e quindi, per 3−=x il rapporto assume,
come si dice in tali casi, la forma indeterminata 0/0 . Non possiamo quindi applicare la regola I). D’altra
parte però, i due polinomi, come sappiamo dall’Algebra, si possono fattorizzare presentando entrambi il
fattore )3( +x e quindi, se 03 +x , la frazione si può così semplificare:
6
3522
2
−+
−+
xx
xx=
)2)(3(
)12)(3(
−+
−+
xx
xx=
2
12
−
−
x
x
Per 3−x , quindi, la funzione data coincide con la funzione definita da 2
12)(
−
−=
x
xxf ; e quest’ultima,
per 3−=x , fornisce il valore 7
5. Tutto ciò comporta, in definitiva, che la funzione di partenza assuma valori
vicini quanto si vuole a 7
5, in corrispondenza a valori di x via via sempre più vicini a 3− ; in altri termini,
7
5 è il limite cercato.
In sintesi, tutto quanto detto si riassume con la seguente scrittura:
3lim
−→x 6
3522
2
−+
−+
xx
xx=
3lim
−→x )2)(3(
)12)(3(
−+
−+
xx
xx=
3lim
−→x 2
12
−
−
x
x=
5
7
avendo calcolato l’ultimo limite con la sostituzione 𝑥 = −3 (come anticipato all’inizio del paragrafo 2.)
Osservazione. Dal punto di vista geometrico, il risultato ottenuto indica che il grafico della funzione
6
352)(
2
2
−+
−+=
xx
xxxf coincide col quello della funzione
2
12)(
−
−=
x
xxf per ogni 𝑥 ≠ −3, presentando
un “buco” in corrispondenza del punto di coordinate (−3; 7
5).
Riassumendo: se 0x è uno zero del polinomio al denominatore, per il calcolo del limite
lim𝑥→𝑥0
𝑝(𝑥)
𝑞(𝑥)
di una funzione razionale fratta 𝑓(𝑥) =𝑝(𝑥)𝑞(𝑥)
(qui abbiamo indicato semplicemente con )(xp e )(xq i due
polinomi in quanto non occorre confrontare i rispettivi gradi) si distinguono due casi:
a) 0)( 0 =xq e 0)( 0 xp (cioè 0x è uno zero solo del polinomio al denominatore).
In tal caso, il limite di 𝑝(𝑥)
𝑞(𝑥) (per 𝑥 → 𝑥0 o, eventualmente, per 𝑥 → 𝑥0
+ o per 𝑥 → 𝑥0− ) vale
+∞ o −∞, in base alla regola 𝑎
0→ ±∞.
G.Zingales, Calcolo di limiti, 2017
15
Esempi.
lim𝑥→1
5𝑥−3
(𝑥−1)2 = +∞ ;
−
→3
1limx 13
2
−
−
x= + ;
+
→3
1limx 13
2
−
−
x= − ;
−→2limx 8
143 −
−
x
x= − ;
+−→ 2lim
x 8
143 −
−
x
x= +
Invito lo studente a verificare i risultati dopo avere determinato il segno delle funzioni nei vari casi.
b) 0)()( 00 == xpxq (cioè 0x è uno zero di entrambi i polinomi).
In tal caso, si ha la forma indeterminata 0/0 ; per il calcolo del limite, bisogna prima togliere la causa
di indeterminazione, e ciò si ottiene facilmente dividendo numeratore e denominatore per (𝑥 − 𝑥0),
presente in entrambi i polinomi in quanto, appunto, entrambi si annullano per 𝑥 = 𝑥0. Si può scrivere
quindi
𝑝(𝑥)
𝑞(𝑥) =
(𝑥−𝑥0)𝑝1(𝑥)
(𝑥−𝑥0)𝑞1(𝑥))
e, dopo avere semplificato, passare al calcolo del limite della frazione semplificata.
Vediamo qualche esempio. Raccomando allo studente:
a) di verificare che in ciascun esempio si presenta la forma indeterminata 0/0 ;
b) di trovare da solo la scomposizione dei due polinomi della frazione e procedere quindi al calcolo del
limite, piuttosto che accettare passivamente il risultato proposto (l’apprendimento richiede una
partecipazione attiva, altrimenti risulta sterile: fai e sai!)
2lim
−→x 22
834
3
+++
+
xxx
x=
2lim
−→x )1)(2(
)42)(2(3
2
++
+−+
xx
xxx=
2lim
−→x 7
12
1
423
2
−=+
+−
x
xx
3lim−→x 33
923
4
+−−
−
xxx
x=
3lim−→x )1)(3(
)3)(3(2
22
−−
+−
xx
xx=
3lim−→x 13
6
1
32
−=
−
+
x
x= )13(3 +=
Vediamo infine due esempi nei quali il fattore (𝑥 − 𝑥0), che causa l’indeterminazione, non si elimina del
tutto.
3lim
−→x 6
9352
23
−−
++−
xx
xxx=
3lim
−→x )2)(3(
)1()3( 2
+−
+−
xx
xx=
3lim
−→x 2
)1)(3(
+
+−
x
xx= 0
5
40=
G.Zingales, Calcolo di limiti, 2017
16
lim𝑥→1+ 1274
5523
34
++−
+−−
xxx
xxx= lim𝑥→1+ )14()1(
)5)(1(2
3
+−
−−
xx
xx= lim𝑥→1+ )14)(1(
53
+−
−
xx
x= +∞
* * * * *
4. Calcolo di limiti di funzioni irrazionali.
I) Cominciamo dal caso più semplice, e cioè la funzione definita da
xxf =)( (funzione radice)
il cui domino è l’insieme )+= ;0D . L’unico limite significativo da calcolare è quello per +→x ;
risulta
+=+→
xxlim
(Invito lo studente a verificare geometricamente tale risultato disegnando il grafico della funzione data).
Questo esempio può estendersi facilmente al caso in cui il radicando sia un polinomio )(xp : se risulta
)(lim xpx →
= + , si ha anche
)(lim xpx →
= +
Esempi.
1lim 2 −→
xx
= + ; 32lim 3 +−+→
xxx
= + ; 13lim 23 −+−−→
xxx
= + .
Estendiamo ancora questi esempi, comprendendo il caso in cui il radicando sia una funzione razionale
fratta:
xx
x
x 3
1lim
2
3
+
−
+→= + ;
34
12lim
25
3
+−
−+
+→ xx
xx
x= 0
135
522lim
3
23
−+
+−
+→ xx
xx
x=
5
2
Inoltre
20
2lim
x
x
x
+
→= + ;
2
2
1
12lim
x
x
x
+−−
→
= 0 ; xx
x
x 3
1lim
2
2
0 +
++→
= + xx
x
x 3
1lim
2
2
3 +
+−−→
= +
G.Zingales, Calcolo di limiti, 2017
17
Osservazione.
In realtà, quelli proposti, sono tutti esempi particolari del caso più generale, in cui il radicando sia una
qualunque funzione:
se +=)(lim xf si ha anche +=)(lim xf ; e anzi, più in generale, +=n xf )(lim
inoltre,
se lxf =)(lim si ha anche lxf =)(lim ; e anzi, più in generale, nn lxf =)(lim
indipendentemente dal fatto che →x oppure 0xx → . Al momento opportuno vedremo alcuni
esempi.
II) Limiti in cui si presenta la forma indeterminata 0/0
Il seguente esempio ci permetterà, quando sarà il momento, di calcolare la derivata (nel punto 9=x )
della funzione radice.
9lim→x 9
3
−
−
x
x =
6
1
Per calcolare il limite, in generale, bisogna eliminare la causa di indeterminazione cercando di
semplificare la frazione. Qui si raggiunge facilmente lo scopo fattorizzando il denominatore come segue:
)3)(3(9 +−=− xxx ; si ha pertanto
9lim→x 9
3
−
−
x
x=
9lim→x )3)(3(
)3(
+−
−
xx
x=
9lim→x 6
1
39
1
3
1=
+=
+x
Osserviamo che nel calcolo del limite, la scelta del valore 9=x non ha alcun significato particolare. Lo
studente può calcolare, adoperando il procedimento illustrato, i seguenti limiti:
4lim→x 4
2
−
−
x
x [
14] ;
1lim→x 1
1
−
−
x
x [
12];
2lim→x 2
2
−
−
x
x [
1
2√2];
0
limxx→
0
0
xx
xx
−
−= . . . =
0
limxx→
0
1
xx + =
02
1
x )0( 0 x
G.Zingales, Calcolo di limiti, 2017
18
III) Limiti in cui si presenta la forma indeterminata /
x
x
x
1lim
2 +
→
Propongo due modi di eliminare l’indeterminazione e rendere possibile il calcolo. Attenzione però:
entrambi offrono allo studente una occasione di errore che, nella maggioranza dei casi, viene colta al volo!
a) Primo modo: portare sotto il segno di radice la variabile x .
La maggior parte degli studenti trova del tutto corretta la seguente uguaglianza:
x
x 12 +=
2
2 1
x
x +
E sono pochi, tra questi, quelli che opportunamente sollecitati, riescono a scoprire l’errore. Invito lo
studente a esprimere il suo giudizio sulla correttezza o meno della seguente uguaglianza: 4
3
2
3=
−.
(Si può prevenire l’errore, per esempio, scrivendo 4
3
2
3
2
3−=−=
−; ovviamente l’uguaglianza
4
3
2
3= è corretta. Capito il problema?)
Torniamo all’esempio generale. Ecco il modo corretto di portare sotto il segno di radice la variabile x :
x
x 12 +=
+
−
+
0 se 1
0 se 1
2
2
2
2
xx
x
xx
x
E allora, se +→x si ha
x
x
x
1lim
2 +
+→ =
+→xlim
2
2 1
x
x += 11 =
mentre, se −→x avremo
x
x
x
1lim
2 +
−→ =
+→xlim
+−
2
2 1
x
x= 11 −=−
G.Zingales, Calcolo di limiti, 2017
19
Dal punto di vista geometrico, i due risultati portano a concludere che il grafico della funzione data presenta
un asintoto orizzontale a destra, di equazione 1=y , e un (diverso) asintoto orizzontale a sinistra di
equazione 1−=y .
b) Secondo modo: portare fuori dal segno di radice la variabile x .
Anche qui, la maggior parte degli studenti trova corretta la seguente uguaglianza
xx =2
(dalla quale si avrebbe, per esempio, 3)3( 2 −=− , cioè 39 −= , chiaramente errata).
La scrittura corretta è
xx =2
Tornando al nostro esempio avremo
x
x 12 += =
+
x
xx
2
2 11
2
11
xx
x+
Quando si passa al limite per +→x o −→x , il radicando tende a 1 (in quanto 01
2→
x); il calcolo
si riduce quindi al limite del rapporto x
x.
Ricordando che
x =
−
0 se
0 se
xx
xx,
segue che
x
x=
−
0 se 1
0 se 1
x
x
e da qui:
G.Zingales, Calcolo di limiti, 2017
20
se +→x (e perciò 0x )
x
x
x
1lim
2 +
+→=
+→xlim =
+
x
xx
2
2 11
+→xlim
2
11
xx
x+ =
+→xlim
x
x= 1
mentre se −→x (e perciò 0x )
−→xlim
x
x 12 += . . . =
−→xlim
x
x= 1−
Qualche altro esempio.
x
x
x
1lim
3 +
+→=
2
3 1lim
x
x
x
+
+→=
2
1lim
xx
x+
+→= x
x +→lim = +
−→xlim
x
x 23 +−=
−→xlim
+−−
2
3 2
x
x=
−→xlim
+−−
2
2
xx =
−→xlim ( )x−− = −=+− )(
IV) Limiti in cui si presenta la forma indeterminata )()( +−+
Esempio: ( )1lim 2 +−+→
xxx
= 0
In questi casi si può eliminare la causa di indeterminazione moltiplicando e dividendo per il fattore
(razionalizzante) ( )12 ++ xx ; si ottiene
( )( )( )1
11
2
22
++
+++−
xx
xxxx =
( )( )1
1(
2
22
++
+−
xx
xx=
1
1
2 ++
−
xx
Risulta quindi
G.Zingales, Calcolo di limiti, 2017
21
( )1lim 2 +−+→
xxx
= +→x
lim1
1
2 ++
−
xx = 0 (poiché il denominatore tende a + )
Osserviamo che con −→x il calcolo sarebbe stato immediato
( )1lim 2 +−−→
xxx
= −=−−=+−− )(
Esempio: ( )xxxx
2lim 2 +−+→
= 1−
Si ha
( )( )( )xxx
xxxxxx
2
22
2
22
++
+++−=
xxx
xxx
2
)2(
2
22
++
+−=
xxx
x
2
2
2 ++
−
Notiamo che in questo caso, con il procedimento di razionalizzazione abbiamo trasformato la forma
indeterminata )()( +−+ nella forma / ; si prosegue quindi a eliminare anche questa
indeterminazione: xxx
x
2
2
2 ++
−=
++
−
xxx
x
21
2
2
=
++
−
xxx
x
21
2
e infine si divide tutto per x :
++
−
xxx
x
21
2=
++
−
xx
x 211
2
Si ha pertanto
( )xxxx
2lim 2 +−+→
= +→x
lim
++
−
xx
x 211
2= 1
111
2−=
+
−
Esempio: ( )5342lim 2 +−+−→
xxxx
= 4
3
Si ha:
( )( )5342
53425342
2
22
+−−
+−−+−+
xxx
xxxxxx =
( )5342
5344
2
22
+−−
+−−
xxx
xxx=
5342
53
2 +−−
−
xxx
x
G.Zingales, Calcolo di limiti, 2017
22
Siamo ora in presenza della forma indeterminata / ; questa volta, ma solo per variare rispetto all’esercizio
precedente, non usiamo il valore assoluto, ma dopo avere diviso tutto per x , portiamo x sotto il segno di
radice:
5342
53
2 +−−
−
xxx
x=
x
xx
x
5342
53
2 +−−
−
=
2
2 5342
53
x
xx
x
+−+
−
(è cambiato il segno davanti al radicale perché abbiamo considerato 0x ). Possiamo finalmente calcolare il
limite:
( )5342lim 2 +−+−→
xxxx
= −→x
lim
2
2 5342
53
x
xx
x
+−+
−
= 4
3
42
3=
+
* * * * *
5. Limiti di funzioni esponenziali (Parte prima)
Partiamo da grafico della funzione esponenziale definita da xey = , per ogni x reale: )( +−== RD . I
limiti significativi si hanno per +→x e per −→x .
Il grafico mostra chiaramente che valgono le seguenti due relazioni di limite:
0lim =−→
x
xe
+=+→
x
xelim
G.Zingales, Calcolo di limiti, 2017
23
E da qui seguono queste altre:
se +→)(xf allora +→)(xfe
se −→)(xf allora 0)( →xfe
Esempi.
+=+
→
12
lim x
xe ; 0lim 13
=+
−→
x
xe ; 0lim
3
0
2
=
+
→ −
x
x
xe ; +=
+
→ +
x
x
xe
3
0
2
lim
(lo studente controlli il segno della funzione che figura come esponente).
Non presentano difficoltà limiti del tipo:
eee x
x
x==
−
→
2
1
2
12
2
lim ; 1lim 0
12
==
−
→ee x
x
x
6. Limiti di funzioni logaritmiche (Parte prima)
Partiamo da grafico della funzione logaritmo naturale definita da xy ln= , per ogni x reale positivo:
);0( +=D . I limiti significativi si hanno per +→x e per +→ 0x .
Il grafico mostra chiaramente che valgono le seguenti due relazioni di limite:
−=+→
xx
lnlim0
+=+→
xx
lnlim
G.Zingales, Calcolo di limiti, 2017
24
E da qui seguono queste altre:
se +→)(xf allora +→)(ln xf
se +→ 0)(xf allora −→)(ln xf
Esempi.
a) Consideriamo la funzione definita da
)1ln( 2 −= xy ;
il dominio è l‘insieme );1()1;( +−−=D
I limiti significativi si hanno per −→x , +→x , −−→ 1x ,
+→1x ; risulta:
+=−+→
)1ln(lim 2xx
e +=−−→
)1ln(lim 2xx
poiché in entrambi i casi +→− )1( 2x ;
−=−−−→
)1ln(lim 2
1x
x e −=−
+→)1ln(lim 2
1x
x
poiché in entrambi i casi +→− 0)1( 2x .
b) Consideriamo la funzione definita da
x
xy
1ln
2 −= ;
il dominio è l‘insieme );1()0;1( +−=D .
I limiti significativi si hanno per +−→ 1x ,
−→ 0x +→1x ; +→x ; valgono i seguenti risultati:_
−=−
+−→ x
x
x
1lnlim
2
1 e −=
−+→ x
x
x
1lnlim
2
1 ( poiché in entrambi i casi
+→−
012
x
x);
+=−
−→ x
x
x
1lnlim
2
0 e +=
−
+→ x
x
x
1lnlim
2
( poiché in entrambi i casi +→−
x
x 12
).
G.Zingales, Calcolo di limiti, 2017
25
c) Non presentano difficoltà limiti del tipo:
01ln12
lnlim1
==−
→ x
x
x ; 2ln
32lnlim
2
2
=+
+→ x
x
x
* * * * *
7. Limiti di funzioni trigonometriche (parte prima).
a) Le funzioni seno e coseno definite da senxy = e xy cos= (il numero x deve intendersi come la
misura dell’angolo in radianti) hanno dominio )( +−== RD ; i limiti significativi si hanno
quindi per +→x e per −→x . Diciamo subito, però, che tali limiti non esistono:
senxx →lim non esiste
xx
coslim→
non esiste
Il motivo non à difficile da capire: entrambe le funzioni, periodiche, assumono infinte volte tutti i valori
compresi tra 1− e 1; pertanto, il limite non può essere ; e non può nemmeno essere un numero finito in
quanto esse assumono infinte volte tutti i valori compresi tra 1− e 1 e non c’è alcun valore particolare verso
cui i valori della funzione tendono, come invece accade nei casi in cui il limite esiste.
Ovviamente, esistono i limiti del tipo
0lim0
=→
senxx
; 1lim
2
=→
senxx
; 0lim =
→senx
x ;
2
1lim
6
=→
senxx
;
1coslim0
=→
xx
; 0coslim
2
=→
xx
1coslim −=
→x
x
G.Zingales, Calcolo di limiti, 2017
26
b) Passiamo ora alla funzione tangente: tgxy = .
Il suo dominio è l’insieme
+−=
kRD2
cioè R privato dei punti
kx +=2
in cui si annulla il
coseno. Il grafico mostra chiaramente che risulta:
lim𝑥→
𝜋2
++𝑘𝜋
𝑡𝑔𝑥 = −∞
lim𝑥→
𝜋2
−+𝑘𝜋
𝑡𝑔𝑥 = +∞
(le rette di equazioni
kx +=2
sono tutte asintoti verticali per il grafico della funzione).
In particolare:
+=−
→
tgxx
2
lim
e −=+
→
tgxx
2
lim
.
Valgono poi semplici relazioni di limite del tipo:
0lim0
=→
tgxx
; 1lim
4
=→
tgxx
; 3lim
3
=→
tgxx
; e simili.
* * * * *
G.Zingales, Calcolo di limiti, 2017
27
8. LIMITI NOTEVOLI.
Esistono alcuni limiti − oltre quelli finora trattati −, detti comunemente limiti notevoli, i quali risultano
fondamentali per il calcolo di altri importanti limiti. Essi riguardano le funzioni esponenziali e logaritmiche e
quelle trigonometriche. Avviso lo studente che il calcolo dei limiti di seguito considerati − tutti importanti, e
molti essenziali (quando sarà il momento) per il calcolo delle derivate −, presenta non poche difficoltà
derivanti, in larga misura, dal fatto che per eliminare le varie cause di indeterminazione non saranno sufficienti
le tecniche adottate finora (semplificazioni, razionalizzazioni, ecc.), ma occorreranno nuove e particolari
procedure, non sempre di immediata e facile comprensione.
8.1 Limiti di funzioni esponenziali e logaritmiche (seconda parte)
Il limite notevole di riferimento è il seguente:
ex
x
x=
+
+→
11lim
dove con la lettera e si indica il numero irrazionale (trascendente), detto numero di Nepero (o anche numero
di Eulero), e precisamente, il numero 71,2=e . . . (qui diamo la scrittura con due cifre decimali, come di
solito si fa con l’altro importante numero irrazionale (trascendente) 14,3= . . . ).
Osserviamo subito che il dominio della funzione
x
xxf
+=
11)(
è l’insieme )0()1;( +−−=D (lo studente verifichi ciò ponendo 0x e 01
1 +x
) e che per
+→x si presenta la forma indeterminata 1 ; il percorso per dimostrare questo limite fondamentale è molto
interessante ma troppo lungo e articolato per essere mostrato qui: lo faremo in altra sede. Qui invece
assumiamo come acquisito il risultato e lo adoperiamo subito, per dimostrare che risulta anche
x
x x
+
−→
11lim = e
G.Zingales, Calcolo di limiti, 2017
28
Cominciamo con l’osservare che anche in questo caso si ha la forma indeterminata 1 ; inoltre, se −→x
allora +→− x e quindi, ponendo tx =− , possiamo riscrivere il limite dato nel modo seguente:
x
x x
+
−→
11lim =
t
t t
−
+→
−
11lim
Risulta poi:
tttt
tt
t
t
t
t
−+=
−=
−=
−
−−
1
11
1
111 ;
E ancora,
+
+=
−+
−+=
−+
−
zzttt
ztt1
11
11
11
1
11
1
11
1
(avendo posto zt =−1 )
Osservando, da ultimo, che se +→t anche +→=− zt 1 , avremo:
x
x x
+
−→
11lim =
t
t t
−
+→
−
11lim =
+→zlim
+
+
zz
z1
11
1 = ee =+ )01(
Esempi. (tutti importanti)
1.
+
+→ xx
x
11lnlim = 1
(forma indeterminata 0 )
Per una nota proprietà dei logaritmi si può scrivere :
+
+→ xx
x
11lnlim = 1ln
11lnlim ==
+
+→e
x
x
x (ovviamente il risultato vale anche se −→x ).
2.
( ) ex xx
=+→
1
01lim
(forma indeterminata 1 )
G.Zingales, Calcolo di limiti, 2017
29
E’ lo stesso che et
t
t=
+
→
11lim ; basta porre, infatti, t
x=
1; così, se 0→x allora →t .
3.
x
x
x
)1ln(lim
0
+
→= 1
(forma indeterminata 0/0 )
Si ha: x
x
x
)1ln(lim
0
+
→ = )1ln(
1lim
0+
→x
xx= x
xx
1
0)1ln(lim +
→= 1ln =e
4.
x
e x
x
1lim
0
−
→ = 1
(forma indeterminata 0/0 )
Se si pone te x =−1 , cioè 1+= te x, si ottiene )1ln( += tx ; si osserva poi che se 0→x anche
0)1ln( →+t e questo è possibile se anche 0→t . Si ha perciò:
x
e x
x
1lim
0
−
→ =
)1ln(lim
0 +→ t
t
t= 1 (in base al limite precedente: se 1
)1ln(→
+
x
x anche 1
)1ln(→
+x
x)
Questi risultati si possono generalizzare al caso delle funzioni esponenziali e logaritmiche con base un
numero reale a che sia positivo e diverso da 1-
Si hanno i seguenti risultati:
1.1
+
+→ xx a
x
11loglim = ealog
Infatti:
+
+→ xx a
x
11loglim = e
xa
x
ax
log1
1loglim =
+
+→ (ovviamente il risultato vale anche se −→x ).
G.Zingales, Calcolo di limiti, 2017
30
Se poi, di fatto, si vuole calcolare il limite adoperando il tasto ln della calcolatrice, basta ricordare la seguente
regola per il cambio di base: a
bb
alog
1log = ; quindi: ealog =
aln
1. Ovviamente il limite 1.) può ottenersi
immediatamente da quest’ultimo ponendo ea = , e osservando che 1log =ee .
3.3
x
xa
x
)1(loglim
0
+
→= ealog
Si ha: x
xa
x
)1(loglim
0
+
→ = )1(log
1lim
0+
→x
xa
x= x
ax
x
1
0)1(loglim +
→= ealog =
aln
1
Anche qui osserviamo che il limite 3.) può ottenersi da quest’ultimo ponendo ea = .
4.4
x
a x
x
1lim
0
−
→ = aln
Se si pone ta x =−1 , cioè 1+= ta x, e quindi )1(log += tx a , per cui, se 0→x anche 0)1(log →+ta
e quindi 0→t , si ottiene:
x
a x
x
1lim
0
−
→ =
)1(loglim
0 +→ t
t
at
= ealog
1 = aln
E naturalmente, ponendo in quest’ultimo ea = , si ottiene il limite 4.
È indispensabile conoscere questi limiti per calcolare la derivata sia della funzione esponenziale sia della
funzione logaritmica.
* * * * *
G.Zingales, Calcolo di limiti, 2017
31
8.2 Limiti di funzioni trigonometriche (parte seconda).
Il limite notevole di riferimento è il seguente:
1lim0
=→ x
senx
x
di cui abbiamo già detto all’inizio. A partire da questo, si dimostrano altri due limiti, anch’essi notevoli:
0cos1
lim0
=−
→ x
x
x
2
1cos1lim
20=
−
→ x
x
x
Entrambi presentano la forma indeterminata 0/0 ; moltiplicando numeratore e denominatore della frazione
per xcos1+ , si ottiene, nel primo caso
x
x
x
cos1lim
0
−
→=
0lim→x
=+
−
)cos1(
cos1 2
xx
x
0lim→x
=+ )cos1(
2
xx
xsen
0lim→x
=+ )cos1(
2
xx
xsen
0lim→x x
senx
x
senx
cos1+ = 0
2
01 =
Nel secondo caso:
20
cos1lim
x
x
x
−
→=
0lim→x
=+
xx
xsen
cos1
12
2
0lim→x 2
1
2
11
cos1
1 2
2
==+
xx
xsen
Facilmente, si dimostra anche il seguente limite:
1lim0
=→ x
tgx
x
Si ha infatti:
x
tgx
x 0lim→
= 11
11
cos
1lim
0==
→ xx
senx
x
G.Zingales, Calcolo di limiti, 2017
32
Completiamo questa parte, aggiungendo il seguente limite:
0lim =→ x
senx
x
la cui validità può essere qui giustificata intuitivamente, osservando che si può utilizzare la regola 0→
ain
quanto risulta 11 − senx al variare comunque di x sull’asse reale.
Si tratta in effetti di un caso particolare di un teorema più generale che è il seguente:
Se )(xf è una funzione limitata (risulta cioè Mxf )( , con M numero reale positivo) e →)(xg ,
risulta allora 0)(
)(lim =
→ xg
xf
x.
* * * * *
G.Zingales, Calcolo di limiti, 2017
33
Esercizi vari
1. e
x
x
x=
+
+→1lim con R , 0
Si pone
xt = ; così, se →x anche →t . Sostituendo poi
xt
=
1 e xt = si ha:
x
x x
+
→
1lim =
et
t
x=
+
→
11lim .
2. e
ex
x
x
111lim 1 ==
− −
+→ (si ottiene dal precedente con 1−= ).
3. 2
2
211
1lime
ex
x
x==
− −
+→ (basta scrivere la funzione come
2
11
−
x
x)
4. 21
2
1lim ex x
x=−
→ (si pone
1
2
−=
xt e così, se 1→x , →t ; si ricava
tx
21+= . . .)
5. 11
1lnlim −=
−
+→ xx
x (segue dal limite 2.)
6. 2ln12
lim0
=−
→ x
x
x (è un limite notevole con 2=a )
7. 2ln312
lim3
0=
−
→ x
x
x (come il precedente con
32=a )
8. 21
lim2
0=
−
→ x
e x
x (come il precedente con
2ea = )
9. 2
1
1lim
20−=
−→ xx e
x (segue dal precedente)
10. 11
lnlim
1=
−→ x
x
x (si pone 1−= xt e si utilizza un limite notevole)
11. 2
11lnlim
0=
+
→ x
x
x (per una nota proprietà dei logaritmi . . .)
G.Zingales, Calcolo di limiti, 2017
34
12. 11
lim =+→ x
xsenx
(si pone tx=
1 e si ottiene
t
sent
t 0lim→
)
13.
=→ x
xsen
x 0lim con R , 0 ; (si pone tx = e si ottiene
t
sent
t
→
0lim )
14. 44
lim0
=→ x
xsen
x; 12
2
lim0
=→ x
xsen
x ; 24
8
lim0
=→ x
xsen
x (vedi esercizio precedente)
15. 1lim0
=→ x
xsen
x
con R , 0 ; (vedi esercizio 13)
16. 13
3lim
0=
→ x
xsen
x;
3
1
6
2lim
0=
→ x
xsen
x; 2
3
5
310
lim0
=→ x
xsen
x (vedi esercizio precedente)
17.
=
→ x
xsen
x 0lim con R, , 0 (vedi esercizio 13)
18. 2
3
2
3lim
0=
→ x
xsen
x;
9
1
6
3
2
lim0
=→ x
xsen
x (vedi esercizio precedente)
19.
=
→ xsen
xsen
x 0lim (vedi esercizio 13 dopo aver diviso numeratore e denominatore per x )
20.
=→ x
xtg
x 0lim con R , 0 ; (vedi esercizio 13, ricordando che 1lim
0=
→ t
tgt
t)
21.
=−→ 1
lim1 x
xtg
x (posto tx =−1 , poiché ttgttg =+ )( , si ha . . . )
22. 2
1lim
30=
−
→ x
senxtgx
x
(si può scrivere la funzione come =−
x
senx
xx
xsenx
cos
)cos1(3
. . . e adoperare i limiti notevoli di pag. 31)
23. 2
2cos1lim
0=
−+→ x
x
x (si ricordi la formula di bisezione
2
cos1
2
xxsen
−= )
24. 2
2cos1lim
0−=
−−→ x
x
x (vedi esercizio precedente)
25. 12
2cos1lim
0+=
+−+→ x
xx
x (portare x sotto radice, tenendo conto che è 0x )
26. 42
24cos1lim
0+−=
+−−→ x
xx
x (portare x sotto radice, tenendo conto che è 0x )
G.Zingales, Calcolo di limiti, 2017
35
27. 2lim0
=+
→ x
senxx
x (basta scrivere la funzione come
x
senx+1 )
28. 12
lim0
−=−
→ x
xsenx
x (vedi esercizio precedente)
29. 0cos1
lim0
=−
→ senx
x
x (moltiplicare per xcos1+ )
30. 2
1cos1lim
20=
−
→ xsen
x
x (vedi esercizio precedente)
31. +=−
→ x
x
x
cos1lim
0 con R , 2 (vedi esercizio precedente)
32. 0cos1
lim0
=−
→ x
x
x con R , 20
33. 1lim2
=+
+
+→ xsenx
senxx
x (ricordare il limite 0lim =
→ x
senx
x, dopo aver diviso per x )
34. 1lim2
0−=
−
→ x
ee xx
x (ricordare il limite 1
1lim
0=
−
→ x
e x
x, dopo aver messo a fattore comune
xe )
35. 11
lim0
=−
→ senx
e x
x (basta scrivere
senx
x
x
e x
−1
)
36. 3
2ln
32lim
0=
−
→ x
xx
x (ricordare il limite a
x
a x
xln
1lim
0=
−
→, dopo aver messo a fattore comune
xa )
37. b
a
x
ba xx
xlnlim
0=
−
→ (generalizza il risultato precedente)
38. 1)1ln(
lim2
2
0=
+
→ x
x
x (ponendo
2xt = si può adoperare il limite 1)1ln(
lim0
=+
→ x
x
x)
39. 2cos1
)1ln(lim
2
0=
−
+
→ x
x
x (si può scrivere )cos1(
)1ln(2
2
2
2
xxsen
x
x
x+
+)
40. ee
ex
xx
x
1
2
32lim 2
31
==
+ −−
+→
(si osservi che si può scrivere xx
x
2
31
2
32+=
+; si ha pertanto
xx
xxx
x−−
+
+=
+
2
31
2
31
2
321
; per calcolare il
limite del secondo fattore basta riconoscere che è del tipo
x
x
+
1 con 2
3= )
41. ex
xx
x=
+
+
+→ 1
2lim (si osservi che si può scrivere
1
11
1
11
1
2
++=
+
++=
+
+
xx
x
x
x).