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MATHEMATHIK
MATHEMATHIK
Mathematik
Klasse 10.Epoche 2
Maximilian Ernestus
Arithmetische Zahlenfolgen
Eine Zahlenfolge ist eine gesetzmäßige Aufeinanderfolge von Zahlen
Beispiel:Die Temperatur in 25 m Tiefe beträgt 10° C. Je 100 m Tiefe steigt die Temperatur um 3° C. Es ergibt sich die Folge:
Beispiel:In einem Saal befinden sich in der ersten Reihe 81 Stühle. Bei jeder weiteren Reihe verringert sich die Anzahl um drei Stühle. Wie viele Stühle befinden sich in der neun-ten Reihe?
Tn = 81-((n-1)×3)
T9 = 81-(9-1)×3)
T9 = 57
In der neunten Reihe befinden sich 57 Stühle.
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N = 1T1 = 13 °C
N = 2T2 = 16 °C
N = 3T3 = 19 °C
N = 4T4 = 22 °C
Nummer:Temperatur
+ 1 × 3 °C
+ 2 × 3 °C
+ 3 × 3 °C
Bildungsgesetz:an = a1 + (n-1) × d
a1 = Anfangsglied
d = Differenz zweier aufeinander folgender Glieder
n = Nummer
an = Wert des n-ten Gliedes
Ergänzung:Wieviele Stühle befinden sich im Ganzen Saal?
Antwort:Wir schreiben die Summe in zwei Arten untereinander.
S = 81+78+75 ... +60+57
S = 60+57+ ... +78+81
2×S = 138 + ... +138+138
2×S = 138×9
S = (138×9)÷2
S = 621
Ergebnis:Es sind insgesamt 621 Stühle.
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Arithmetische Folgen höherer Ordnung
Ein Kreis wir durch Sehnen in Teilgebiete unterteilt. Es soll darauf geachtet werden, dass jeweils die maximal mögliche Anzahl von Teilgebieten entsteht.
Anzahl der Sehnen n = 1 n = 2 N = 3
Max Anzahl der Gebiete
A1 = 2 A2 = 4 A3 = 7
Die Maximale Anzahl von Gebieten erreicht man dadurch, dass man die neue Linie alle vorhandenen Linien kreuzen lässt. Die Anzahl der Flächen die sich hinzufügen steigt Pro schritt um eins, da nach jedem Schritt eine Linie mehr vorhanden ist.
A1 = 2 A2 = 4 A3 = 7 A4 = 11 A5 = 16
2 3 4 5
2 3 4Wir bilden die Differenzen aufeinander folgender Glieder und erhalten die erste und zweite Differenzfolge. Liegt eine Arithmetische Folge zweiter Ordnung vor, treten die gleichen Zahlen erst in der dritten Differenzfolge auf.
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Geometrische Folgen
Wir betrachten einen Bakterienstamm, der aus 14,2 Mio. Bakterien besteht. Nach je-der Stunde wird gezählt auf wie viel Mio. sich die Bakterien vermehrt haben. Diese Zahlen bilden eine Folge. Das Anfangsglied wird im Unterschied zur arithmetischen Folge mit A0 = 14,2 bezeichnet und nicht mit a1.
Anfangsglied 1. Glied 2. Glied 3. Glied n-tes Glied
A0 = 14,2 A1 = 15,34 A2 = 16,56 A3 = 17,89 An=14,2×1,08n
Bei dieser Zahlenfolge ist der Quotient zwei aufeinander folgender Glieder stets 1,08. Um ein Glied zu berechnen multipliziere ich das Anfangsglied so oft mit 1,08 wie die Nummer des Platzes angibt. Der Quotient 1,08 wird als Wachstumsfaktor bezeichnet und mit dem Buchstabe q abgekürzt. Eine Zahlenfolge bei der jedes Glied durch Mul-tiplikation mit demselben Faktor q aus dem vorherigen Glied hervorgeht, heißt geo-metrische Folge.
Die Abstände zwischen den Gliedern lassen sich auch in Prozenten ausdrücken.
A1 - A0 = 1,14 1,14÷14,2 = p÷100 ⇒ p=8%
A2 - A1 = 1,22 1,22÷15,34 = p÷100 ⇒ p=8%
Bei einer geometrischen Folge nehmen die Glieder mit gleichen Prozentsätzen zu.
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× 1,08
× 1,08 ×1,08 = 1,082
× 1,083
× 1,08n
Wachstumsfaktor Prozentsatz
q=1,08 p=8%
q=(100+p)÷100 Zunahme
q=(100-p)÷100 Abnahme
Bei Zunahmeprozessen ist q>1, bei Abnahmeprozessen ist q<1. Das Bildegesetz zu Berechnung des n-ten Gliedes lautet
Kn = K0 × qn
K0 = Anfangsglied
q = Wachstumsfaktor
n = Nummer des Gliedes
Kn = der Wert des n-ten Gliedes
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1. BeispielEin Marathonläufer steigert sein An-fangspensum a1 = 3200 täglich um 800m.
an = 3200 + (n-1) × 800
Trainingsverlauf
1.500 M
3.000 M
4.500 M
6.000 M
Tag 1Tag 2
Tag 3Tag 4
2. BeispielEin Ausgangsquadrat mit der Fläche A0 = 9 cm2 wird verdoppelt. Dieses wird wiederum verdoppelt.
Größe der Quadrate
37,5 cm²
75,0 cm²
112,5 cm²
150,0 cm²
Quadrat 0Quadrat 1Quadrat 2Quadrat 3Quadrat 4
An = 9 × 2n
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Lineares und Exponentielles Wachstum
Eine wichtige Anwendung des geometrischen Wachstums ist Zinsrechnung. Ein An-fangskapital K0 wird mit einem bestimmten Prozentsatz (Zinssatz p% ) verzinst; die Zinsen werden dem Kapital zugeschlagen und im nächsten Jahr mit verzinst.
a) Gegeben:K0 = 320,- €
Zinssatz p% = 2,5%
Laufzeit n = 7 Jahre
Bildegesetz: Kn = K0 × qn
q = (100+2,5)÷100
q = 1,025
K7 = 320 × 1,0257
K7 = 380,38 €
b) Gegeben:p% = 3%
n = 5
K5 = 985,38
Bildegesetz: Kn = K0 × qn
Einsetzen: q = (100+3) ÷ 100
q = 1,03
985,38 = K0 × 1,035
985,38 ÷ 1,035 = K0
850,- € = K0
c) Gegeben:K0 = 2250,- €
n = 5
K5 = 2608,36
Bildegesetz: Kn = K0 × qn
2608,36 ÷ 2250 = q5
1,16 = q5
q = sqr(1,16)
1,03 = q
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Einige Mathematische Begriffe
25= 32
Merke:Will ich in der Gleichung
X4 = 81
Die Basis X gewinnen, so ist diejenige Zahl gesucht, die mit vier Potenziert wieder 81 ergibt. Diese Zahl wird so geschrieben:
814X =Lösung: x = 3Probe: 34 = 81Allgemein:Xn = r
x = n√r
Die Quadratwurzeln lässt man die Wurzelexponenten meistens weg.
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Potenz
Potenzwert
Basis (Grundzahl)
Exponent (Hochzahl)
Potenzen mit ganzen Exponenten
Wir untersuchen die Potenzen zur Basis zwei.
Hochzahlen -1 -1 -1 -1 -1 -1
-3 ⇠ -2 ⇠ -1 ⇠ 0 ⇠ 1 ⇠ 2 ⇠ 3
Potenz
2-3 2-2 2-1 20 21 22 23
Potenzwerte
⅛ ¼ ½ 1 2 4 8
Ähnliche Folgen lassen sich auch für Potenzen mit anderer Basis zeigen.
Merke:I. Der Exponent ist positiv: an = a × a × a ... × a
II. Der Exponent ist Null: a0 = 1
III. der Exponent ist negativ: a-1 = 1/an
Beispiele:0,2-3 = 1/0,23 = 1/(2/10)3 = 1/(1/5)3 = 1/(1/125) = 125
3,4 mm = 0,0034 m = 3,4 × 1/1000 = 3,4 × 10-3m
Rechenregeln für Potenzen
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1.) Potenzgesetz23 × 25 = ×2×2× 2×2×2×2×2 = 23+5 = 28
an × am = an+m
2.) Potenzgesetz28/25 = 2× 2× 2× 2× 2× 2× 2× 2/2× 2× 2× 2× 2
an/am = an-m
3.) Potenzgesetz(25)4 = 25 × 25 × 25 × 25 = 220
(an) = an×m
4.) Potenzgesetz
2123 =
amn = a
mn
Die Potenzen zur Basis zwei beim Hören von Oktaven
Eine Seite schwingt jeweils mit ... Schwingungen pro Sekunde (=Hertz)
Ton
a4220 × 24 = 220 × 2 × 2 × 2
× 23520
a3 220 × 23 = 220 × 2 × 2 × 2 1760
a2 220 × 22 = 220 × 2 × 2 880
a1 220 × 21 = 220 × 2 440
a 220 = 220 × 1 220
A 220 × 2-1 = 220/2 110
A1 220 × 2-2 = 220/4 55
A2 220 × 2-3 = 220/8 27,5
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2×2×2 × 2×2×2 × 2×2×2 × 2×2×2 × = 24
Logarithmenrechnung
Multiplizieren, Dividieren, Potenzieren und Radizieren lassen sich vereinfachen, wenn wir die Zahlen mit Potenzen verwandeln und dann Potenzgesetze anwenden. Da ein Exponent auch Logarithmus genannt wird, spricht man von Logarithmenrech-nung.
Multiplizieren:64 × 8192 = 524288
↓ ↓ ↑
26 × 213 = 219
Dividieren:65536 ÷ 512 = 128
↓ ↓ ↑
216 ÷ 29 = 27
Potenzieren:643 = 262144
↓ ↑
(26)3 218
Radizieren:
2124 = 2
3
40964 = 8
Das vierte Potenzgesetz für Radizieren (Wurzelziehen) von Potenzen kann zu Po-tenzen führen, deren Exponent ein echter Bruch wird.
a) 2√64 = 2√62 = 26/2 = 23
Lösung: 2√64 = 8
Probe: 8 × 8 = 64
b) 2√8 = 2√23 = 23/2 = 21,5
Lösung: 2√8 = 21,5
Probe: 21,5 × 21,5 = 23 = 8
Das vierte Potenzgesetz liefert in Fall b) für 2√8 formal( also dem Gesetz nach) nur 21,5 was zur Berechnung ohne Taschenrechner keine Hilfe ist.
Merke:Tritt in Exponenten einer Potenz ein echter Bruch auf, so ist darunter eine Wurzel zu verstehen.
Die temperierte Stimmung beim Klavier
Töne entstehen an einer Seite wenn sie mit einer bestimmten Zahl Schwingungen pro Sekunde schwingt (Hertz). Der Ton a1 hat die Schwingungszahl 440 Hertz, die Oktave darüber ist der Ton a2 = 880 Hertz. Bei der temperierten Stimmung liegen zwischen a1 und a2 12 Halbtonschritte bzw. elf Halbtöne. Die Schwingungszahlen dieser Halbtonschritte bilden eine Strenge geometrische Folge. Das Intervall von a1 bis cis umfasst fünf Halbtonschritte, cis ist der vierte Halbton nach a1. Dieses Intervall ist also 1/3 des Oktavsprungs. Die Schwingungszahl lautet 554 und ist 26% mehr als die Schwingung von a1. Bei der reinen Stimmung der Geige beträgt dieser Zinssatz nur 25%, diese Terz ist also etwas niedriger.
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