m atriz i nversa. definiÇÃo dada uma matriz quadrada a, de ordem n, se x é uma matriz tal que ax...
TRANSCRIPT
![Page 1: M ATRIZ I NVERSA. DEFINIÇÃO Dada uma matriz quadrada A, de ordem n, se X é uma matriz tal que AX = I n e XA = I n, então X é denominada matriz inversa](https://reader036.vdocuments.net/reader036/viewer/2022062404/552fc103497959413d8bf033/html5/thumbnails/1.jpg)
MATRIZ INVERSA
![Page 2: M ATRIZ I NVERSA. DEFINIÇÃO Dada uma matriz quadrada A, de ordem n, se X é uma matriz tal que AX = I n e XA = I n, então X é denominada matriz inversa](https://reader036.vdocuments.net/reader036/viewer/2022062404/552fc103497959413d8bf033/html5/thumbnails/2.jpg)
DEFINIÇÃO
Dada uma matriz quadrada A, de ordem n, se X é uma matriz tal que AX = In e XA = In, então X é denominada matriz inversa de A e é indicada por A-1. Quando existe a matriz inversa de A, dizemos que A é uma matriz inversível ou não-singular.
![Page 3: M ATRIZ I NVERSA. DEFINIÇÃO Dada uma matriz quadrada A, de ordem n, se X é uma matriz tal que AX = I n e XA = I n, então X é denominada matriz inversa](https://reader036.vdocuments.net/reader036/viewer/2022062404/552fc103497959413d8bf033/html5/thumbnails/3.jpg)
Verifique se existe e, em caso afirmativo,
determine a matriz inversa de A =
![Page 4: M ATRIZ I NVERSA. DEFINIÇÃO Dada uma matriz quadrada A, de ordem n, se X é uma matriz tal que AX = I n e XA = I n, então X é denominada matriz inversa](https://reader036.vdocuments.net/reader036/viewer/2022062404/552fc103497959413d8bf033/html5/thumbnails/4.jpg)
RESOLUÇÃO: PELA DEFINIÇÃO TEMOS:
10
01
3232
8585
10
01
32
85
dbca
dbca
dc
ba
23032
185
ceaca
ca58
132
085
debdb
db
Então X =
52
83, para AX = I2.
![Page 5: M ATRIZ I NVERSA. DEFINIÇÃO Dada uma matriz quadrada A, de ordem n, se X é uma matriz tal que AX = I n e XA = I n, então X é denominada matriz inversa](https://reader036.vdocuments.net/reader036/viewer/2022062404/552fc103497959413d8bf033/html5/thumbnails/5.jpg)
MATRIZES ELEMENTARES
Chamamos de operações elementares nas linhas de uma matriz, às seguintes operações:
i) a troca da ordem de duas linhas da matriz;
ii) a multiplicação uma linha da matriz por uma constante diferente de zero;
iii) a substituição uma linha da matriz por sua soma com outra linha multiplicada por uma constante diferente de zero.
![Page 6: M ATRIZ I NVERSA. DEFINIÇÃO Dada uma matriz quadrada A, de ordem n, se X é uma matriz tal que AX = I n e XA = I n, então X é denominada matriz inversa](https://reader036.vdocuments.net/reader036/viewer/2022062404/552fc103497959413d8bf033/html5/thumbnails/6.jpg)
DEFINIÇÃO
Uma matriz elementar é uma matriz obtida por meio de operações elementares nas linhas de uma matriz identidade.
![Page 7: M ATRIZ I NVERSA. DEFINIÇÃO Dada uma matriz quadrada A, de ordem n, se X é uma matriz tal que AX = I n e XA = I n, então X é denominada matriz inversa](https://reader036.vdocuments.net/reader036/viewer/2022062404/552fc103497959413d8bf033/html5/thumbnails/7.jpg)
EXEMPLO
1. Considere a matriz identidade
1000
0100
0010
0001
I . Então as matrizes
1000
0100
0050
0001
1E ,
1000
0001
0010
0100
2E ,
1020
0100
0010
0001
3E , são matrizes
elementares obtidas de I , pela aplicação de uma única operação elementar
em suas linhas.
![Page 8: M ATRIZ I NVERSA. DEFINIÇÃO Dada uma matriz quadrada A, de ordem n, se X é uma matriz tal que AX = I n e XA = I n, então X é denominada matriz inversa](https://reader036.vdocuments.net/reader036/viewer/2022062404/552fc103497959413d8bf033/html5/thumbnails/8.jpg)
Se representa a i-ésima linha de I, então, estas matrizes foram obtidas da seguinte maneira:
1000
0100
0010
0001
22 5 LL
1
1000
0100
0050
0001
E
![Page 9: M ATRIZ I NVERSA. DEFINIÇÃO Dada uma matriz quadrada A, de ordem n, se X é uma matriz tal que AX = I n e XA = I n, então X é denominada matriz inversa](https://reader036.vdocuments.net/reader036/viewer/2022062404/552fc103497959413d8bf033/html5/thumbnails/9.jpg)
1000
0100
0010
0001
31 LL
2
1000
0001
0010
0100
E
1000
0100
0010
0001
244 2LLL
3
1020
0100
0010
0001
E
![Page 10: M ATRIZ I NVERSA. DEFINIÇÃO Dada uma matriz quadrada A, de ordem n, se X é uma matriz tal que AX = I n e XA = I n, então X é denominada matriz inversa](https://reader036.vdocuments.net/reader036/viewer/2022062404/552fc103497959413d8bf033/html5/thumbnails/10.jpg)
TEOREMA
Seja A uma matriz quadrada. Se uma seqüência de operações elementares nas suas linhas reduz A a I, então a mesma seqüência de operações elementares transforma I em .
![Page 11: M ATRIZ I NVERSA. DEFINIÇÃO Dada uma matriz quadrada A, de ordem n, se X é uma matriz tal que AX = I n e XA = I n, então X é denominada matriz inversa](https://reader036.vdocuments.net/reader036/viewer/2022062404/552fc103497959413d8bf033/html5/thumbnails/11.jpg)
EXEMPLO
1. Ache a inversa da matriz
321
121
121
A
100321
010121
001121
21 LL
100321
001121
010121
133
122
LLL
LLL
![Page 12: M ATRIZ I NVERSA. DEFINIÇÃO Dada uma matriz quadrada A, de ordem n, se X é uma matriz tal que AX = I n e XA = I n, então X é denominada matriz inversa](https://reader036.vdocuments.net/reader036/viewer/2022062404/552fc103497959413d8bf033/html5/thumbnails/12.jpg)
110440
011240
010121
22 4
1LL
110440
04
1
4
1
2
110
010121
233
211
4
2
LLL
LLL
101200
04
1
4
1
2
110
02
1
2
1001
33 2
1LL
2
10
2
1100
04
1
4
1
2
110
02
1
2
1001
322 2
1LLL
![Page 13: M ATRIZ I NVERSA. DEFINIÇÃO Dada uma matriz quadrada A, de ordem n, se X é uma matriz tal que AX = I n e XA = I n, então X é denominada matriz inversa](https://reader036.vdocuments.net/reader036/viewer/2022062404/552fc103497959413d8bf033/html5/thumbnails/13.jpg)
2
10
2
1100
4
1
4
1
2
1010
02
1
2
1001
2
10
2
14
1
4
1
2
1
02
1
2
1
1A
.
Assim