m = r f6-ako u zatvorenom sistemu tela samo konzervativne sile vrše rad, onda se održava...
TRANSCRIPT
1
Dinamika rotacije (nastavak)
Moment sile:
Naučili smo:
FrM ×=II Njutnov zakon za rotaciju krutog tela oko nepokretne ose:
Analogno sa: amF =
I je skalarna veličina analogna masi i predstavlja inertnost tela prema rotaciji. Zavisi od raspodele mase tela u odnosu na osu rotacije.
Centar mase je tačka koja reprezentuje prosečan položaj ukupne mase tela – tačka za koju se može zamisliti kao da je sva masa tela skoncentrisana u njoj.
Centar mase tela (težište)
Centar mase je tačka karakteristična za kruto telo izloženo delovanju spoljašnje sile, koja se kreće na isti način kao što se bi se kretala i materijalna tačka (mase jednake masi datog tela) pod dejstvom te iste rezultantne spoljašnje sile.
Sumiranjem svih momenata sile teže koji deluju na pojedinačne deliće l d bij l il ž j d čktela, dobija se rezultantna sila teže sa svojom napadnom tačkom.
Dakle, može se smatrati da sila teže koja deluje na kruto telo ima napadnu tačku u centru mase tela (CM) pa se centar mase naziva i težište tela.
Za homogena tela pravilnog oblika (valjak, lopta, kvadar), centar mase se nalazi u geometrijskom centru tela.
2
m1m3
y
y1
Primer: određivanje položaja centra mase skupa materijalnih tačaka u ravni.
m2
3
X CMy3
y2
x3x2x1 x x
321
332211
321
332211 ;
mmmymymym
m
ymy
mmmxmxmxm
m
xmx
ii
iii
CM
ii
iii
CM
++++=
⋅=
++++=
⋅=
Štajnerova teoremaŠtajnerova teorema omogućuje izračunavanje momenta inercije za osu rotacije koja je pomerena paralelno u odnosu na osu koja prolazi kroz centar mase tela.
20 mdII +=CM
II0
d
3
Moment impulsa materijalne tačke pri kretanju oko nepokretne ose rotacije je vektorski proizvod njenogvektora položaja i vektora njenog impulsa :
Moment impulsa
p j j g p
vmrprL ×=×=
ωIL =
Moment impulsa krutog tela
Za slučaj krutog tela sumiramo momente impulsa svih materijalnih tačaka:
rvmrrmrvmrL iiiiiiiii ωωω ==== jejer2
====i
iii
iii
i ImrmrLL ωωω 22
ωIL =Moment impulsa krutog tela
dtId
dtdIIM )( ωωα === =>
dtLdM =
4
Rad i snaga rotacionog kretanja- Elementarni rad možemo dobiti izražavanjem elementarnog pomeraja preko ugaonog pomeraja i uzimajući u obzir da samo tangencijalna sila vrši rad.
=2
1
θ
θ
θMdA
Rad:
γ
θθγ MdrdFdsFrdFdA t =⋅=⋅=⋅= sin
1θ
Snaga:
ωθ MdtMd
dtdAP ===
Kinetička energija rotacionog kretanja- Pri rotaciji krutog tela (bez translacije) kinetičku energiju možemo dobiti sumiranjem kinetičkih energija delića tj. materijalnih tačaka.
=== iiiiiiki rvrmvmE 22 )(11 ωω jejerdelićaenergija
2
21 ωIEk =
===i i
iiiii
kik
iiiiiiki
rmrmEE 2222
21
21
)(22
ωω
jjg j
2
Pri složenom kretanju (rotacija i translacija):
22
21
21 mvIEk += ω
5
Zakoni održanja-Određene fizičke veličine X pod određenim uslovima ostaju konstantne u toku vremena:
X=const.J d d l ž j ih k j d j di- Jedan od uslova važenja ovih zakona je da se pojava odigrava u
izolovanom sistemu. Izolovani sistem je skup dva ili više tela koja uzajamno deluju, pri čemu se interakcija spoljašnjih sila uravnotežavaili ne postoji.
- Rešavanje problema preko zakona održavanja ima niz prednosti: nezavisnost od putanje, nije nužno poznavanje svih sila koje deluju, jednostavnije jednačine itd.
-U nekim slučajevima je i nemoguće rešiti Fizički problem preko osnovnih zakona kretanja već samo putem zakona održanja- Zakoni održanja su posledica svojstava simetrije u prirodi i nisu ograničeni samo na mehaniku.
Zakon održanja energije- Energija može prelaziti iz jednog u drugi oblik i prenositi se sa jednog na drugo telo, ali ukupna energija u zatvorenom sistemu ostaje konstantna.
-Energija se ne može stvoriti niti nestati, već samo promeniti oblik iz jednog u drugi.
- Dakle ukupna energija unutar jednog izolovanog sistema je konstantna.
.constE =
6
- Ako u zatvorenom sistemu tela samo konzervativne sile vrše rad, onda se održava mehanička energija (zbir kinetičke i potencijalne).
-Dakle, u slučaju kada deluju samo konzervativne sile, zbir kinetičke i ij l ij j k
Održanje mehaničke energije
potencijalne energije ostaje konstantan.
-Dobar primer je slučaj gde deluje gravitaciona sila a pri tome nema sila trenja ni otpora, kao ni plastične deformacije tela.
.constEEE pkmeh =+=
Ovakvi procesi i sudari se nazivaju elastičnim
mhgE += 01
021 2
2 += mvE
hg
1E1
I ki ik d š j
Primer slobodan pad:
ghgsv 222 ==
12
2 221
21 EmghghmmvE ====
h
2E2
Iz kinematike znamo da, pošto je g=const. :
.constEEE pkmeh =+=
Mehanička energija se održava tj. potencijalna energija tela se pretvorila kinetičku.
7
Zakon održanja impulsa
=i
ipp6
Izolovan sistem, spoljašnja sila je jednaka nuli.
po 3. Njutnovom zakonu:
jiij FF −=
2112 FF −= 2
14
5
3
12F
21Ftj. za svaka dva tela:
0....31132112 =++++= FFFFF rez
==== 0dtpdp
dtd
dtpd
Fi i
ii
rez .constp =
1
U izolovanom sistemu impuls se održava i to kao vektor: po smeru intenzitetu i pravcu.
8
Zakon održanja momenta impulsa
Slično kao kod impulsa u izolovanom sistemu tj. u sistemu gde je rezultantni spoljašnji moment sila jednak nuli moment impulsa se održava tj. konstantan je vektor.
..
constIconstIL
===
ωω
Primeri zakona održanja momenta impulsa
ω
'ω
ω
''ωω II =
9
Primeri zakona održanja momenta impulsaŽiroskop: zadržava pravac ose rotacije, primena u navigaciji
Sudari-Apsolutno elastični sudar: važi zakon održanja kinetičke energije (nema spajanja tela niti deformacije).
-Neelastični: ne održava se kinetička energija već se jedan njen deo pretvara u energiju deformacije ili toplotnu energiju.
- Apsolutno neelastični: dva tela se spajaju i kreću se kao jedno.
10
Pre sudara: 1v 2v
Čeoni elastični sudar
x
21 '':ZOI vmvmvmvm +=+
Posle sudara: 1'v 2'v
Pravci brzina su isti kao početni
22112211
22112211
''::ZOI
osixpo vmvmvmvmvmvmvmvm+−=−
+=+−
222
211
222
211 '
21'
21
21
21:ZOE vmvmvmvm +=+
Čeoni elastični sudar (analiza)
221
21
21
211
2' vmmmv
mmmmv ⋅
+
+⋅
+−=
Rešavanjem sistema jednačina dobijaju se sledeća rešenja:
221
121
21
12
2121
2' vmmmmv
mmmv ⋅
+−+⋅
+
=
U jednostavnijem slučaju, koji se često razmatra, telo 2 miruje (meta) a telo 1 (projektil) udara u njega tj. v2=0:
1
21
121
21
211
2';' vmmmvv
mmmmv ⋅
+
=⋅
+−=
-Projektil menja smer svoje brzine ako mu je masa manja od mete (m1<m2)-Ako je m1=m2 telo projektil se zaustavlja i predaje svu energiju meti.
11
1'vαsin'1v
'
yElastični sudar sa rasejanjem
'':ZOI 221111 vmvmvm +=
1v
2'v
αcos'1v
βsin'2v−
βcos'2vβα
x
βαβα
sin'sin'0:osipocos'cos':osixpo
:ZOI
2211
221111
221111
vmvmyvmvmvm
vmvmvm
−=−+=−
+ 2
222
211
211 '
21'
21
21:ZOE vmvmvm +=
Apsolutno neelastični sudar
1v 2vPre sudara:
'v
1v 2v
Posle sudara:
21
2211
212211
'
')(:
mmvmvmv
vmmvmvm
++=
+=+ZOI