mỞ ĐẦu - hus.vnu.edu.vn · hấp thụ phonon), bởi trường sóng điện từ do tương...

Luận văn tốt nghiệp 2011

Nguyễn Thị Quyên 1

MỞ ĐẦU

Trong hai thập kỉ cuối thế kỉ XX, tiến bộ của vật lý chất rắn cả lý thuyết và

thực nghiệm được đặc trưng bởi việc chuyển đối tượng nghiên cứu chính từ các

khối tinh thể sang các màng mỏng và các cấu trúc thấp chiều (các hố lượng tử

(quantum wells), các cấu trúc siêu mạng (supelattices), các dây lượng tử (quantum

wires), các chấm lượng tử (quantum dots)…). Trong đó hệ một chiều đã và đang

được nghiên cứu và đã có được những kết quả có ứng dụng thực tế.

Dây lượng tử là một ví dụ về hệ khí điện tử một chiều. Dây lượng tử có thể

được chế tạo nhờ phương pháp epytaxi chùm phân tử (MBE), hoặc kết tủa hóa hữu

cơ kim loại MOCVD, hoặc sử dụng các cổng (gates) trên một transistor hiệu ứng

trường (bằng cách này, có thể tạo ra các kênh thấp chiều hơn trên hệ khí điện tử hai

chiều)[1,2].

Chúng ta biết rằng trong hệ một chiều, chuyển động của điện tử bị giới hạn

hai chiều, vì vậy chúng chỉ chuyển động tự do theo một chiều. Sự giam giữ của điện

tử trong hệ này làm thay đổi đáng kể độ linh động của chúng [7]. Điều này dẫn đến

xuất hiện nhiều hiện tượng mới lạ liên quan đến việc giảm số chiều của hệ. Các hiệu

ứng này rất khác so với trong bán dẫn khối thông thường.

Hiệu ứng giảm kích thước ảnh hưởng lên các tính chất vật lý của bán dẫn nói

chung. Khi chuyển từ bán dẫn khối sang hệ thấp chiều [2 chiều (2D), 1 chiều (1D),

không chiều (0D)], hay chuyển từ hệ điện tử 3D sang 2D cũng như từ 2D sang 1D

đã làm thay đổi đáng kể cả về mặt định tính cũng như định lượng nhiều tính chất vật

lý trong đó có tính chất quang của vật liệu do hiệu ứng giảm kích thước gây lên đã

làm thay đổi một loạt các tính chất vật lý. Chính những sự thay đổi vể tính chất vật

lý cả vể định tính và định lượng do hiệu ứng giảm kích thước đã giúp tạo ra các

thiết bị, linh kiện điện tử hiện đại, công nghệ cao có tính chất cách mạng về khoa

học, đồng thời là cơ sơ tạo ra các linh kiện điện tử thế hệ mới siêu nhỏ, đa năng,

thông minh như hiện nay và trong tương lai.



Trong hệ bán dẫn thấp chiều, hiệu ứng giảm kích thước làm biến đổi các đại

lượng vật lý trong đó có làm thay đổi tốc độ thay đổi phonon âm (gia tăng phonon,

hấp thụ phonon), bởi trường sóng điện từ do tương tác điện tử - phonon gây ra.

Hiệu ứng gia tăng sóng âm (phonon âm) trong bán dẫn khối đã được nghiên

cứu [4,5,9,11,13,14,19,27], các công trình này đã xét các cấu trúc bán dẫn suy biến

[13,14] và bán dẫn không suy biến [4,5,9,11,27]…. Trong hố lượng tử, bài toán

cũng đã được giải quyết [6,21].

Trong hệ một chiều, hiệu ứng gia tăng sóng âm (phonon âm) không giam

cầm đã được nghiên cứu [8, 24]. Nhưng hiệu ứng gia tăng sóng âm (phonon âm)

giam cầm trong dây lượng tử thì cả thực nghiệm và bài toán vật lý (lý thuyết) vẫn

còn bỏ ngỏ. Trong luận văn này, tôi nghiên cứu bài toán vật lý (lý thuyết) còn bỏ

ngỏ đó, đó là: Ảnh hưởng của hiệu ứng giảm kích thước lên sự gia tăng sóng âm

(phonon âm) giam cầm trong dây lượng tử hình chữ nhật hố thế cao vô hạn.

Phương pháp nghiên cứu:

Để giải quyết những bài toán thuộc loại này, ta có thể áp dụng nhiều phương

pháp lý thuyết khác nhau. Để tính toán tốc độ gia tăng sóng âm (phonon âm) giam

cầm trong dây lượng tử hình chữ nhật hố thế cao vô hạn từ góc độ lý thuyết cổ điển

ta sử dụng phương trình động cổ điển Boltzmann…còn từ góc độ lượng tử ta sử

dụng phương pháp hàm Green, phương trình động lượng tử, phương pháp tích phân

phiếm hàm… Khi nghiên cứu và tính toán ảnh hưởng của hiệu ứng giảm kích thước

lên sự gia tăng sóng âm (phonon âm) giam cầm trong dây lượng tử hình chữ nhật

hố thế cao vô hạn, chúng tôi sử dụng phương pháp phương trình động lượng tử.

Mục đích nghiên cứu:

Tính toán tốc độ gia tăng sóng âm (phonon âm) giam cầm bởi trường bức xạ

laser trong dây lượng tử hình chữ nhật hố thế cao vô hạn trên cơ sơ phương trình

động lượng tử cho phonon, thu được biểu thức giải tích của tốc độ gia tăng sóng âm

(phonon âm) giam cầm, phân tích sự phụ thuộc của tốc độ gia tăng sóng âm

(phonon âm) giam cầm vào vectơ sóng của phonon (qz) , tần số (Ω), cường độ (E0)

của trường bức xạ laser, nhiệt độ (T) của hệ và các tham số đặc trưng cho dây lượng



tử (Lx, Ly), chỉ số đặc trưng cho sự giam cầm phonon (m, k). Tốc độ gia tăng sóng

âm (phonon âm) giam cầm phụ thuộc không tuyến tính vào các đại lượng vật lý

trên. Tính toán số và vẽ đồ thị cho dây lượng tử GaAs/GaAsAl và so sánh kết quả

chính thu được với tốc độ gia tăng sóng âm (phonon âm) trong dây lượng tử hình

chữ nhật hố thế cao vô hạn nhưng chưa kể đến giam cầm phonon.

Cấu trúc luận văn:

Ngoài phần mở đầu, kết luận và phụ lục, luận văn được chia làm ba chương:

Chương 1: Lý thuyết gia tăng sóng âm (phonon âm) trong bán dẫn khối và

trong dây lượng tử (nhưng không kể đến giam cầm phonon).

Chương 2: Hiệu ứng giảm kích thước ảnh hưởng lên phổ năng lượng của

điện tử trong dây lượng tử hình chữ nhật hố thế cao vô hạn và phương trình động

lượng tử cho phonon giam cầm trong dây lượng tử.

Chương 3:Ảnh hưởng của hiệu ứng giảm kích thước lên tốc độ gia tăng sóng

âm (phonon âm) giam cầm trong dây lượng tử hình chữ nhật hố thế cao vô hạn.

Trong đó, chương 2 và chương 3 là hai chương chứa đựng kết quả chính của

luận văn. Các kết quả đều được tính toán số và vẽ đồ thị cho dây lượng tử

GaAs/GaAsAl.

Kết quả thu được của luận văn đã báo cáo ở hội nghị Vật lý lý thuyết toàn

quốc tháng 8 năm 2011 (Quy Nhơn/2011) và gửi đăng ở Tạp chí Nghiên cứu Khoa

học và Công nghệ Quân sự, viện Khoa học và Công nghệ Quân sự.



CHƯƠNG 1.

LÝ THUYẾT GIA TĂNG SÓNG ÂM (PHONON ÂM) TRONG

BÁN DẪN KHỐI VÀ TRONG DÂY LƯỢNG TỬ

(NHƯNG KHÔNG KỂ ĐẾN GIAM CẦM PHONON).

1.1. Lý thuyết gia tăng sóng âm (phonon âm) trong bán dẫn khối.

1.1.1. Xây dựng phương trình động lượng tử cho phonon trong bán dẫn

khối khi có mặt trường sóng điện từ.

Hamiltonian của hệ điện tử - phonon trong bán dẫn khối khi có mặt trường

bức xạ laser )sin(0 tEE :

2

,

1( ) ( ) ( ) 1.12 p p q q q q p q p q q

p q p q

eH t p A t a a b b C a a b bm c

Trong đó p

a và pa (

qb và

qb ) tương ứng là toán tử sinh và toán tử huỷ của

điện tử (phonon);

p

và ( )p q

là trạng thái của điện tử trước và sau khi tán xạ;

p

)(q là vectơ sóng của điện tử (phonon) trong bán dẫn khối;21( ) ( )

2ep p A t

m c

là năng lượng điện tử;

q là năng lượng của phonon âm; c là vận tốc ánh sáng; m và e tương ứng

là khối lượng và điện tích của điện tử;

qC là hằng số tương tác điện tử - phonon;

)(tA là thế vectơ và trong mối liên hệ với trường sóng điện từ, xác định bởi

biểu thức:

01 ( ) sin( )d A t E tc dt

(1.2)



Từ Hamilton (1.1) ta có: 2

,

1, ( ) ( ) ,2

, , ( ) .

q q q p pt t tp

q qk k k k kk p k pt tk p k

ei b b H t p A t b a at m c

b b b C b a a b b

(1.3)

Thực hiện phép biến đổi, và chú ý các hệ thức toán tử, ta có:

q q q q p q pt t tp

i b b C a at

(1.4)

Ta thiết lập phương trình cho p q p ta a

:

2

' ''

' '',

1, ( ) ' ( ) ,2

, , ( ) . 1.5

p q p p q p p q p p pt t tt tp

p q p p q pk k k kk p k p kt tt tk p k

ei a a a a H t p A t a a a at m c

h a a b b C a a a a b b

Thực hiện biến đổi đại số toán tử biểu thức (1.5), ta thu được:

( )

( ) ( )

p q p p p q p q pt t

p pp k k p k kk k kt tk t

eqi a a A t a at mc

C a a b b a a b b

(1.6)

Từ (1.6) ta tìm được:

1

1

1 2 2

( ) ( )

exp ( )( ) ( )

t

p q p p pp k k p k kk k kt t tk

t

p p qt

a a i dt C a a b b a a b b

ei t t i qA t dtmc

(1.7)



Thay (1.7) vào (1.4), ta có:

1

1,

1 2 2

( ) ( )

exp ( )( ) ( ) 1.8

t

q q q q p pp k k p k kk k kt t t tp k k

t

p p qt

b i b C C dt a a b b a a b bt

ei t t i qA t dtmc

Trong gần đúng bậc hai của qC , ta có thể bỏ qua 1

q tb , và sẽ thu được:

1

1

21

,

1 2 2

( )

exp ( )( ) ( )

t

q q q q p p q qt t tp k

t

p p qt

b i b C n n dt bt

ei t t i qA t dtmc

(1.9)

Với:

02 0 2 2 2( ) sin( ) os( )cEA t cE t dt c t

(1.10)

Thay (1.10) vào (1.9) đồng thời sử dụng biểu thức biến đổi:

nn=-

exp( iz sin )= J ( ) exp( in )z

( )nJ z là các hàm Bessel đối số thực ta sẽ có :

1

21

0 01 1 2 2

,

( )

exp ( )( ) is t

t

q q q q p p q qt t tp

p p q l sl s

b i b C n n dt bt

eE q eE qi t t il t J Jm m

(1.11)

Phương trình (1.11) chính là phương trình động lượng tử của phonon trong

bán dấn khối [3]

1.1.2. Lý thuyết gia tăng sóng âm (phonon âm) trong bán dẫn khối (trường hợp

hấp thụ một photon).



Sử dụng công thức chuyển phổ Fourier:

( )

1 ( )2

i tq q t

i tq qt

B b e d t

b B e d

q qt tb i b

t

(1.12)

Từ phương trình (1.11) và (1.12) ta có

1

21

0 01 12 2

,

( )

exp ( )( ) is t

t

q q q q p p q qt t tp

l s p p ql s

i b i b C n n dt b

eE q eE qJ J i t t il tm m

(1.13)

Hay viết dưới dạng khác:

2 0 02 2

,

1 1 1

1 1( ) ( )2 2

( )

1 ( ) exp ( )( ) is t2

i t i tq q q

q p p q l sp l s

ti t

q p p q

i B e d i B e d

eE q eE qC n n J Jm m

dt B e d i t t il t

2 0 02 2

,

íl t

( )

( )1 2 ( )

q p p q l sp l s

i t il tq

p p q

eE q eE qC n n J Jm m

B ed

i l i

Trong đó: ( )x là hàm Delta-Dirac.

Dùng công thức chuyển phổ Fourier ta lại có:

ís t( ) ( )i t il t i tq qB e d B s l e d



Nên:

2 0 02 2

,

1 1( ) ( )2 2

( )

( )12 ( )

i t i tq q q

q p p q l sp l s

i tq

p p q

i B e d i B e d

e E q e E qC n n J Jm m

B s l ed

i l i

(1.14)

Từ phương trình (1.14) ta có:

2

0 02 2

,

( ) ( )( )

( )

p p qq q q q

p p p q

l s ql s

n ni B i B C

i l i

eE q eE qJ J B s lm m

(1.15)

Từ (1.15) đặt 02

eEam

, ( ) ; 0( )

p p q

pq p p q

n nl i

(1.16)

Ta sẽ có:

2

,

( ) ( ) ( ) ( )q q q l s ql s q

B C J aq J aq l B s l

(1.17)

Nhận xét rằng trong phương trình (1.17) các số hạng với l s bên vế phải sẽ

cho đóng góp hằng số tương tác điện tử - phonon bậc cao hơn số hạng với l s .

Vậy có thể đặt l=s trong công thức (1.17) và thu được phương trình tán sắc:

2 2( ) ( ) ( ) 0q q q ll q

B C J aq l

(1.18)

Từ phương trình tán sắc, ta thu được hệ số hấp thụ sóng âm:

2 2

( ) Im( )

q l p p q p p q ql p

q

C J aq n n l

(1.19)

Coi sóng âm đồng nghĩa với phonon âm, từ công thức chung (1.19) ta tính hệ

số hấp thụ sóng âm ( )q

cho bán dẫn.



Xét cho trường hợp khí điện tử suy biến và trong trường hợp hấp thụ một

photon, với giả thiết q>>pF; F , thu được hệ số hấp thụ sóng âm: 22 2

02( )

4 2 2FeE qm q m q mq p

s m q q

Trong đó là khối lượng riêng, s là vận tốc sóng âm, 0eEm

PF là xung lượng Fermi của điện tử; ( )z lầ hàm có bước nhảy:

1 , 0

( )0 , 0 .

zz

z

Ở điểm 2q m , ( )q

sẽ đổi dấu và với:

2 2F Fm p p q m sẽ xuất hiện sự gia tăng sóng âm ( ) 0q

Đối với trường hợp bán dẫn không suy biến và hấp thụ một phonon: coi đối số của

hàm Bessel rất nhỏ sao cho 1aq

với

0e Em

.

Biểu thức đối với hàm phân bố của điện tử: 3 / 22

02e x p ;

2ppn A A n

m k T m k T

(1.20)

Hằng số tương tác điện tử - phonon âm:

22

0 2qqC

V s

(1.21)

Vói V0 thể tích của tinh thể, thương chọn V0=1;

- hằng số thế biến dạng.

S – vận tốc sóng âm. - mật độ tinh thể.

Đặt (1.20), (1.21) vào công hức chung (1.19).

Chuyển từ tổng sang tích phân theo p , thu được bểu thức đối với hệ số hấp thụ

sóng âm đối với trường hợp hấp thụ một photon như sau:



1/ 2 220

42 2

2

( ) exp 22 2 2

exp 2 exp2 4

qq q

qq q q q

n mq S shs kT kT

qS sh SkT m

(1.22)

Ở đây : 22qmS

q k T

K là hằng số Boltzmann;

N0 là mật độ điện tử;

T là nhiệt độ của hệ.

Từ công thức (1.22), trong trường hợp bất đẳng thức q được thực hiện, ta

có ( ) 0q

và ứng với nó ta có hệ số hấp thụ sóng âm. Ngược lại, trong vùng sóng

âm thỏa mãn bất đẳng thức q ta có ( ) 0q

và có dạng tường minh sau:

1/ 2 22

0

42 2

2

( ) 22 2 2

exp4

q q

q q

n mq sh sh Ss kT kT

qSm

(1.23)

Công thức (1.23) chứng tỏ lúc này hệ số hấp thụ sóng âm ( ( ) 0q

) đã chuyển

thành hệ số gia tăng sóng âm ( ( ) 0q

). Nghĩa là ta có hệ số gia tăng sóng âm bởi

trường bức xạ Laser trong bán dẫn không suy biến trong trường hợp hấp thụ một

photon [3].

1.1.3. Ảnh hưởng của quá trình hấp thụ nhiều photon lên hệ số gia tăng sóng

âm (phonon âm) và điều kiện gia tăng sóng âm (phonon âm) trong bán

dẫn khối.

Ta cũng có thể viết hệ số hấp thụ sóng âm (1.19) dưới dạng khác:

2 2( ) q l p p q p q p q p ql p

q C J aq n l l

(1.24)

Đặt p q p ql trong trường hợp 1

, dùng công thức biến đổi:



2 22

2 2ll

J l

Ta sẽ thu được:

2 2 2 22

2 2 2 2( ) q p

pq C n

(1.25)

Trong đó: 0eEm

Sử dụng: 2 2

2 2 2 2z

p q p q q qp qq pq ql

m m m m

2 2

2 2 2 2z

p q p q q qp qq pq ql

m m m m

Công thức biến đổi tổng thành tích phân

2

. .30

1... . . ....2

zp

d dP P dP

Và xét bán dẫn không suy biến, ta sẽ có từ phương trình (1.22) phương trình sau:

22 2 2

. .30 0 0

2 22 22 2

2 22 22 2

( ) . . exp exp2 22

2 2 2 2

2 2 2 2

q zz

z zq q

z zq q

A C P Pq d dP P dPmkT mkT

p q p qq qm m m m

p q p qq qm m m m

(1.26)



Tiếp theo ta tính tích phân theo Pz, P của (1.26), ta nhận được:

22 220

2

2

2 20

222

2

20

.( ) e x p2 2.2 2

1 / 2! 2

2

e x p2 2

1 / 2!

2

q

ql

q

q

l

m n m qqq k T mk T s

m qIq q k T mm

m qq k T m

qm

2

2 2 q

q

m qIq k T m

(1.27)

Cuối cùng ta thu được biểu thức giải tích cho hệ số hấp thụ sóng âm trong bán dẫn

bởi trường bức xạ Laser đối với quá trình hấp thụ nhiều photon như sau:

1/ 2 21/ 22 2 20

2 2

2

2 20

2 2

( ) exp exp2 2 2 2 2

1/ 2! 2

2

exp

2

q

ql

q

q

q

n m m m qqs kT q kT q kT m

m qIq q kT mm

m qIqkT q kTm

2

2 qm

(1.28)

Từ (1.28) ta thấy rằng nếu bất đẳng thức sau được thực hiện:

2 2

2 22 22 22 2

q q

q q

m q m qI Iq qq kT m q kT mm m

(1.29)

Thì ( ) 0q

,còn nếu:



2 2

2 22 22 22 2

q q

q q

m q m qI Iq qq kT m q kT mm m

(1.30)

Ta có ( ) 0q

và có dạng tường minh như sau:

1/2 21/22 2 20

2 2

2

2 20

2 2

( ) exp exp2 2 2 2 2

1 / 2exp

! 22

2

q

qq

lq

q

n m m m qqs kT q kT q kT m

m qIqkT q kT mm

mIq q kTm

2

2 qqm

(1.31)

Công thức (1.31) chứng tỏ rằng lúc này, hệ số hấp thụ sóng âm ( ) 0q

đã

chuyển thành hệ số gia tăng sóng âm ( ) 0q

. Nghĩa là một lần nữa ta thu nhận

được hệ số gia tăng sóng âm ở trong cả trường hợp hấp thụ nhiều photon bởi trường

bức xạ Laser [3]

Vậy: các biểu thức cho điều kiện gia tăng sóng âm trong bán dẫn khối là

q và hệ số gia tăng sóng âm (1.23) trong quá trình hấp thụ một photon, cũng

như các biểu thức cho điều kiện gia tăng sóng âm trong quá trình hấp thụ nhiều

photon (1.30),(1.31) được thu nhận dưới dạnh giải tích.

1.2. Lý thuyết gia tăng sóng âm (phonon âm) trong dây lượng tử (nhưng

không kể đến giam cầm phonon).

1.2.1. Xây dựng phương trình động lượng tử cho phonon trong dây lượng tử.



Khi đặt thêm trường ngoài (chẳng hạn trường bức xạ Laser: )sin(0 tEE ),

sự tương tác điện tử - phonon được mô tả bằng Hamiltonian sau:

+ + +, , , ', 'n,l,k n,l,k n,l,k+q n',l',k

, , ', 'n,l,kk,

eH(t)= ε k- A(t) + ω + C (q) ( +b ).cn l q q q n l n l q q

q n l n lq

a a b b a a b

(1.32)

Trong đó: , ( )n lek A tc

là phổ năng lượng của điện tử trong trường ngoài. , ,n l ka

và , ,n l ka (

qb và

qb ) tương ứng là toán tử sinh và toán tử huỷ của điện tử (phonon);

q

là tần số của phonon ứng với vecto sóng q , c là vận tốc ánh sáng. là hằng số

Planck, m và e tương ứng là khối lượng và điện tích của điện tử ; )(tA là thế vectơ

và trong mối liên hệ với trường sóng điện từ, xác định bởi biểu thức:

)sin()(10 tE

dttAd

c

, , ', 'C ( q )n l n l là hằng số tương tác điện tử - phonon trong dây lượng tử, được tính

bởi công thức:

, , ', ' , , ', 'C ( )= C ( )n l n l q n l n lq I q

Với: 2, , ', '

0

2( ) , , ', ', ' * ( , ) ( , )R

iqr iqrn l n lI q n l k e n l k r e r dr

R

22

2qs

qCv V

Trong đó: V là thể tích chuẩn hóa; là hằng số thế biến dạng; sv là tốc độ sóng

âm, là mật độ tinh thể. Trong biểu diễn Heisenberg, phương trình chuyển động của phonon có dạng:

, , , , ,, ,

, , ', ', , , ', ',, , ', ',

, ( ) ( ) ,

, ( ) , ( ) .

q q n l q n l k n l kt t tn l k

p q p p n l n l q p pn l k p n l kt tp n l n lp k

ei b b H t k A t b a at c

b b b C p b a a b b

(1.33)



Thực hiện phép biến đổi toán tử (chú ý các hệ thức toán tử) ta có:

, , ', ' , , ', ',, , ', ',

( ) .q q q n l n l n l k q n l kt t tn l n l k

i b b C q a at

(1.34)

Ta thiết lập phương trình cho , , ', ',n l k q n l k ta a

:

1 1 1 1 11 1

1 1 1 1

, , ', ', , , ', ',

, , , , ,, , ', ', , , ', ',, ,

, , ', ' ,

, ( )

( ) , ,

( )

n l k q n l k n l k q n l kt t

n l n l p n l p j j jn l k q n l k n l k q n l kt tn l p j

n l n l n

i a a a a H tt

ep A t a a a a a a b bc

C j a

1 11 11 1 1 1

', ',, ,, ', ',, , ', ',

, ( ) .n l pn l p j j jl k q n l k tn l n lp j

a a a b b

(1.35)

Thực hiện phép biến đổi toán tử (chú ý các hệ thức toán tử) ta có:

', ' , *, , ', ', , , ', ',

, , ', ' , , ', ', ', ', ', ',

( ) ( ) ( )

( ) ( )

n l n ln l k q n l k n l k q n l kt t

n l n l j j n l k q n l k j n l k q j n l k tj

ei a a k k q qA t a at m c

C j b b a a a a

(1.36)

Để giải phương trình (1.36) trước tiên ta giải phương trình vi phân thuần nhất:

0 0

', ' , *, , ', ', , , ', ',( ) ( ) ( )t

n l n ln l k q n l k n l k q n l k t

ei a a k k q qA t a at m c

(1.37)

tìm nghiệm của phương trình (1.36) bằng phương pháp biến thiên hằng số nghiệm

của phương trình (1.37).

Giải thiết ở t hệ ở trạng thái cân bằng nhiệt động:

, , ', ', 0q n l k q n l kt tb a a

Ta tìm được nghiệm của phương trình (1.36):

1

1

, , ', ', , ', ', , , ', ', ', ', ', ',

', ' , 1 2 2 1*

( ) ( )

exp ( ) ( ) ( )

t

n l n l j jn l k q n l k n l k q n l k j n l k q j n l kt tj

t

n l n lt

ia a C j b b a a a a

i iek k q t t qA t dt dtm c

(1.38)



Thay phương trình (1.38) vào (1.34), ta được:

1

1

, , ', ' , , ', ', , ', ',,

, , ', ', ', ', ', ',

', ' , 1 2 2*

( ) ( )

( )

exp ( ) ( ) ( )

q q q n l n l n l n lt tn l n lk j

t

j j n l k q n l k j n l k q j n l k t

t

n l n lt

ii b b C q C jt

b b a a a a

i iek k q t t q A t dtm c

1dt

(1.39)

Vì *q qC C nên

2

, , ', ' , , ', ' , , ', '( ) ( ) ( )n l n l n l n l n l n lC q C q C q

Chỉ lấy j q và trong gần đúng bậc hai theo hằng số tương tác 2

qC , bỏ qua sự đóng

góp của q tb .

Từ (2.8) ta được:

1 1

1

2

, , ', ', , ', ',

, , ', ', ', ', ', ',

', ' , 1 2 2 1*

( )

exp ( ) ( ) ( )

q q q n l n lt tn l n l k

t

q n l k q n l k j n l k q j n l kt t

t

n l n lt

ii b b C qt

b a a a a

i iek k q t t q A t dt dtm c

(1.40)

Kí hiệu hàm phân bố của điện tử là , , , , ,( )n l n l k n l k t

n k a a

Do ( ) oscA t c t

nên:

1 10 02 2 2 2 1* * * 2( ) os( t ) sin( ) sin( )

t t

t t

ieE q ieE qie q A t dt c dt t tm c m m

Đặt

0*

e E zqm

(1.41)

Áp dụng công thức:



sin( ) is t( ).iz ts

se J z e

Với ( )sJ z là hàm Bessel đối số thực.

Ta được:

1exp ( ) ( ) exp sin( ) sin( )1 1* 1

( ) ( ) exp( is ) exp( il )1

( ) ( ) exp ( ) ( )1 1,

tie iq A t d t t t

tm c

J J t ts ls l

J J i l s t il t ts ls l

Từ (1.40) ta thu được phương trình động lượng tử cho phonon âm trong dây lượng

tử:

1

2

, , ', '2, , ', '

', ' , 1 1 1

( ) ( ) ( ), ', ',

( )

exp ( ) ( ) is

q q q n l n lt tn l n l

t

n l n l q t

J J n k q n kn l n ls ls l k

ib i b C qt

i k k q t t t il t b dt

(1.42)

Đây là phương trình động lương tử tổng quát cho sóng âm (phonon âm)

trong dây lượng tử [8]. Từ phương trình này, ta tiếp tục biến đổi để thu được biểu

thức tổng quát cho hệ số hấp thụ sóng âm (phonon âm) trong dây lượng tử.

1.2.2. Biểu thức tổng quát cho hệ số hấp thụ sóng âm (phonon âm).


( )

1 ( )2

i tq q t

i tq qt

B b e dt

b B e d



q qt tb i b

t

(1.43)

Từ phương trình (1.42) và (1.43) ta có

2, , ', '2

, , ', '

', ' , 1 1

( ), ', '

( ) ( ),

1( ) ( )2 21 ( )

1 ( )2

ex p ( ) ( ) is

i t i tq q q

n l n ln l n l

ti t

q

n l n l

n k q n kn l n lk

J Js ls l

i B e d i B e d

C q

B e d

i k k q t t t il

1t d t

(1.44)

Do q tb

, thêm thừa số te , trong đó: 0

(1.44) được viết lại ở dạng:

2

, , ', '2, , ', '

, ', '

', ' ,

( ) ( ) ( ), ', ',

1( ) ( )

( ) exp ( ) ( )

exp ( ) ( )

i tq q n l n l

n l n l

t

q n l n l

n l n l


i B e d C q

iB k q k l t

i k k q s

1 1.i t dt d

(1.45)

Tính tích phân theo dt1 ta có:

2

, , ', '2, , ', '

( )

', ' ,

( ) ( ) ( ), ', ',

1( ) ( )

( )( ) ( )

i tq q n l n l

n l n l

i l s t

q

n l n l


i B e d C q

eB di k k q s i

(1.46)



Dùng công thức chuyển phổ Fourier ta lại có:

( ( ) ) t( ) ( )i s l i tq qB e d B s l e d

Nên:

2, , ', '

, , ', '

', ' ,

( ) ( ) ( ), ', ',

1( ) ( )

( )( ) ( )

i tq q n l n l

n l n l

i t

qn l n l


B e d C q

eB s l dk k q s i

(1.47)

Hay:

2

, , ', ', , ', '

( ), ', '

( )( ) ( )

( ) ( ), ', ' ,

1( ) ( )q q n l n ln l n l

n k q n kn l n lk

B s lqJ Js l k k q s is l n l n l

B C q

(1.48)

Đây là phương trình vô hạn với thành phần Fourier ( )B s lq và không

thể giải được. Giả thiết trường bức xạ laser không ảnh hưởng đến tính chất dao

động của mạng tinh thể (bỏ qua hệ số tương tác điện tử - phonon bậc cao hơn hai)

s=l và lấy q , khi đó (1.48) có dạng:

2

, , ', ', , ', '

( ), ', '

12 ( )( ) ( )', ' ,

1 ( )q n l n ln l n l

n k q n kn l n lk

J s k k q s is n l n l

C q

(1.49)

Đây là phương trình tán sắc của phonon âm trong dây lượng tử.

Sử dụng công thức:



00 0

1 1 i x xx x i x x

với 0

Cho phương trình (1.49) ta được biểu thức cho hệ số hấp thụ sóng âm:

2, , ', '

, , ', '( ), ', '

2 ( ) ( ) ( ) .', ' ,

( ) Im ( )

( )n l n ln l n l

n k q n kn l n lk

J k k q sn l n lss

q

C q

(1.50)

Đây là biểu thức tổng quát cho hệ số hấp thụ sóng âm trong dây lượng tử [8].

Biểu thức này là chung cho cả khí điện tử suy biến và khí điện tử không suy biến.

1.2.3. Hệ số hấp thụ sóng âm (phonon âm) trong trường hợp hấp thụ một photon.

Dưới đây ta sẽ giả thiết khí điện tử không suy biến và tính toán cụ thể cho đối

số của hàm Bessel rất nhỏ (do chứa số hạng E0 – trường bức xạ laser là yếu)

0* 2 1e qEm

Ta có gần đúng:

2 2 2 21 0 1s

s

J J J J

Loại trường hợp s=0 do vi phạm định luật bảo toàn năng lượng.

Theo định nghĩa:

2

0

11 1 2

i s i

si

xJ xi s i

Và tính chất hàm Bessel: ( ) ( 1) ( ) ( )ss s sJ x J x J x

Ta có: 2

2 21 1 2

J J

22

, , ', ', , ', '

( ), ', '

( ) ( ) ( ) ( ) .', ' , ', ' ,

( ) ( )2 n l n l

n l n ln k q n kn l n l

k

k k q k k qn l n l n l n l

q C q

(1.51)



Sử dụng:

+ Chọn chiều vecto q trùng với chiều vecto k

(trùng với trục của dây).

+ Giả thiết khí điện tử không suy biến, áp dụng phân bố Fermi – Dirac:

2 2

, . ,*

1exp exp2

cn l n l n l

B

kn k kk T m

Trong đó: ,Bk T kB là hằng số Boltzmann.

+ Sử dụng công thức chuyển tổng thành tích phân:

2L dk

Với L là chiều dài dây;

+ Sử dụng tính chất của hàm Delta:

1, 0( )

0, 0 .z

zz

Thực hiện tính toán ta thu được bểu thức đối với hệ số hấp thụ sóng âm đối với

trường hợp hấp thụ một photon như sau:

* 2 2

, , ', ' , , ', '5 2, , ', '

*2 2

', ' 2 2

( ) ( ) ( , )4

ex p .2

n l n l n l n ln l n l

cn l

L mq C q qq

m aq

(1.52)

Trong đó: 2 2

, ', ' * ;2

c cn l n l q

qam

*/2

, , ', ' 2

*/2

2

( , ) exp2 2

exp .2 2

q

q

qn l n l

q

m aq e shq

m ae shq

(1.53)

k



Từ công thức (1.53) ta thấy, trong trường hợp giới hạn q , ta được:

2

2

* *

, , ', ' 2 2

*

2

( , ) / 2 exp exp2 2

/ 2 .2

q

q

ln l n l

l

m a m aq e shq q

m ae sh shq

(1.54)

Điều kiện xung lương k:

* *

, ', '22c cn l n l q

q m mkq q

Thay công thức (1.54) vào (1.52) ta được biểu thức hệ số gia tăng sóng âm (do

( ) 0q

) [8]:

* 2 *2 2 2

, , ', ' ', '5 2 2 2, , ', '

*

, ', '2

( ) ( ) exp2 2

1exp .2

cn l n l n l

n l n l

q c cq n l n l

Lm mq C q aq q

mshq

(1.55)

1.2.4. Hệ số hấp thụ sóng âm (phonon âm) trong trường hợp hâp thụ nhiều photon.

Xuất phát từ biểu thức (1.50), viết lại nó ở dạng:

1 2 .q q q

(1.56)

Trong đó:

21 , , ', '

, , ', '

', '

2 ( )

( ) ( )', ' ,

( ) ( )

( )

n l n ln l n l s

n lk

J s

k k q sn l n l

q C q

n k q

(1.57)

2

2 , , ', ', , ', '

', '

2 ( )

( ) ( ) .', ' ,

( ) ( )

( )

n l n ln l n l s

n lk

J s

k k q sn l n l

q C q

n k

(1.58)



Khi hấp thụ nhiều photon (trường laser mạnh), đối số của hàm Bessel lớn: 1

.

Sử dụng biểu thức biến đổi:

2 2

2

2 2ss

EJ E s

E

(1.59)

1, 0( )

0, 0.z

zz

Xét khí điện tử không suy biến, hàm phân bố điện tử tuân theo phân bố Fermi:

2 2

*, , 2, . .

cn l n l

kk m

n ln k e e e

(1.60)

Sử dụng công thức chuyển tổng thành tich phân:

... ...2k

L dk

Thực hiện biến đổi phương trình (1.57), (1.58). ta được:

* 2,

2

1 , , ', ', , ', '

*

0

1/ 2!

( ) ( )2

2 .

cn l N M

n l n ln l n l

ss

sss M

Lq C q eN

I M N

(1.61)

Trong đó: 2 2

, ', ' *2c cn l n l q

qMm

2

*

qNm

Do tính chất của hàm delta, chỉ có điện tử thỏa mãn:

*

, ', '22c cn l n l q

q mkq

(1.62)

Mới đóng góp vào (1.61)

* 2, 1

22 , , ', '

, , ', '

*1

0

1 / 2! 1

( ) ( )2

2 .

cn l N M

n l n ln l n l

ss

sss M

Lq C q eN

I M N

(1.63)



Trong đó: 2 2

1 , ', ' *2c cn l n l q

qMm

2

*

qNm

Do tính chất của hàm delta, chỉ có điện tử thỏa mãn:

*

, ', '22c cn l n l q

q mkq

(1.64)

mới đóng góp vào (1.63)

Kết hợp (1.61), (1.63) và thay vào (1.56) ta được [8]:

* * 22

, , ', '3 2 2, , ', '

0

2 2 2 21/2, ', '* *! 12 2

( ) exp ( )2 2 n l n l

n l n l

s

ss q qn l n ls Mm m

Lm mq C qq q

(1.65)

Với:

* 2

, , ', '2 2

*

, ', '2 2, ', '

exp2

c c cn l n l n l q

s

c cs n l n l qc c

n l n l q

mx xq

mI xx q

(1.66)

Bất đẳng thức xung lượng của điện tử kết hợp từ (1.62), (1.64) là:

*

, ', '22c cn l n l q

q mkq

(1.67)

Dễ thấy từ (1.65) 2 2 2 2

, ', '* * ì 02n l n l

q q th qm m

nghĩa là ta có hệ số

gia tăng sóng âm.

Như vậy thông qua Hamiltonian tương tác của hệ điện tử - phonon, sau khi

tính toán ta thu được biểu thức giải tích tổng quát của hệ số gia tăng sóng âm, hệ số

gia tăng sóng âm trong trường hợp hấp thụ 1 photon, trong trường hợp hấp thụ

nhiều photon, và điều kiện xung lượng của điện tử tham gia phải thỏa mãn, điều

kiện xảy ra gia tăng sóng âm.



1.2.5. Hệ số gia tăng sóng âm (phonon âm) không giam cầm trong dây lượng tử

hình chữ nhật hố thế cao vô hạn.

Thế năng giam giữ điện tử trong trường hợp này có dạng:

0 khi 0 L ,0 L ( , )

khi x>L ,

x yx yx y

y Lx y

U

Khi đó hàm sóng và phổ năng lượng của điện tử được viết dưới dạng:

0 khi x L ,

1 2 2( , , ), , sin( ) sin( ) khi 0 x ,0

y Lx yn x n yx y z ik zzn l k e L y Lz x yL LL L Lx yz x y

222 2 2 2( ), 2 22 2

nnk yxzkzn nx y m m L Le e x y

Thừa số dạng được cho bởi:

2 '4x

, , ', ' 224 22 2 2 4 2 2x x

2 '4y

224 22 2 2 4 2 2y y

32 ' 1 1 os q

q 2 q ' '

32 ' 1 1 os q.

q 2 q ' '

n nx x x

n l n l

x x

l ly y y

y y

q L nn c LI

L L n n n n

q L ll c L

L L l l l l

(1.68)

Thay vào biểu thức (1.55) ta thu được hệ số hấp thụ sóng âm trong trương hợp hấp

thụ một photon như sau:

* 2 2

, , ', '5 2, , ', '

2 2 2 2 *2 2

* 2 2 2 2

*

2

*

2

( ) ( )2

exp2 2 2

exp2 2

exp2 2

n l n ln l n l

q

x y

q

q

Lmq C qq

n l m am L L q

m a shq

m a shq

(1.69)



Trong đó :

2 22 2 2 /2 2 2'2 22 * 2 *

qn n l l zam mL Lx y

Bất đẳng thức xung lượng cho trường hợp hấp thụ một photon như sau:

* *2 2 /2 2 2'2 22 2 *

qq m n n l l mkq m qL Lx y

(1.70)

Thay vào biểu thức (1.65) ta thu được hệ số hấp thụ sóng âm trong trương hợp hấp

thụ nhiều photon như sau [8]:

* * 2

3 2 2

0

2 2 2 21/ 2, ', '* *! 2 2

( ) exp2 2

s

s q qn l n ls m m

L m mqq q

(1.71)

Trong đó :

,

2 2 *

2 2

*

2 2

2 2 2 /2 2 2'2 22 *

2 2 2 2 2 /2 2 2'exp 2 2 2 22 * 2 2 *

2 2 2 /2 2 '22 *

s

n l

q

q

s

xn n l l x

m L Lx y

n l m n n l l xm q mL L L Lx y x y

m n n l lIq m Lx

22 qx

Ly

Bất đẳng thức xung lượng cho trường hợp hấp thụ nhiều photon là:

* 2

2

2 2 /2 2 2'2 22 2 * q

q m n n l lkq m L Lx y

(1.72)



Khi tính toán tốc độ gia tăng sóng âm (phonon âm) trong dây lượng tử hình

chữa nhât hố thế cao vô hạn (chưa kể đến giam cầm phonon) và sử dụng biểu

thức gần đúng [10,16,17]

2 1 ,2l

lJ l

cho trường hợp hấp thụ nhiều photon.

Ta có [24]:

122

2, ' ' F3 * 2

, '

122

F * 2

* *( ) exp 12 2 2

*exp 12 2

zq q

z

q

L m m qG C qq m q

m qm q

(1.73)

Trong đó:

0

*e q Em

;

2 22 22 2

' 2 2

''2 *

y yx x

x y

n nn nm L L

(với nx, ny là chỉ số giam cầm điện tử theo hai phương x,y).

, ' ( )2 s

qC qV



CHƯƠNG 2.

HIỆU ỨNG GIẢM KÍCH THƯỚC ẢNH HƯỞNG LÊN PHỔ NĂNG LƯỢNG

CỦA ĐIỆN TỬ TRONG DÂY LƯỢNG TỬ HÌNH CHỮ NHẬT HỐ THẾ

CAO VÔ HẠN VÀ PHƯƠNG TRÌNH ĐỘNG LƯỢNG TỬ CHO PHONON

GIAM CẦM TRONG DÂY LƯỢNG TỬ

2.1. Hiệu ứng giảm kích thước ảnh hưởng lên phổ năng lượng của điện tử

trong dây lượng tử hình chữ nhật hố thế cao vô hạn.

2.1.1. Sự lượng tử hóa do giảm kích thước.

Trong các cấu trúc bán dẫn, khi chuyển động của hạt dẫn bị giới hạn nghiêm

ngặt dọc theo một tọa độ với một vùng rất hẹp không quá vài trăm A0 và nếu chiều

rộng này so sánh được với chiều dài bước sóng De Broglie của hạt dẫn thì một loạt

các hiệu ứng vật lý mới được gọi là hiệu ứng giảm kích thước xuất hiện, làm biến

đổi hầu hết tính chất điện tử của hệ và mở ra khả năng ứng dụng cho các linh kiện

làm theo các nguyên lí hoàn toàn mới.

Xét ví dụ, tính chất của điện tử trong vùng dẫn (gọi là điện tử dẫn) trong một

màng mỏng với chiều dày a . Vật liệu của màng (kim loại hoặc bán dẫn) đóng vai

trò hố lượng tử đối với điện tử chiều rộng a và chiều sâu có giá trị bằng công thoát

. Cơ học lượng tử cho thấy rằng năng lượng của điện tử trong hố đó bị lượng tử

hóa, và chỉ có một số các mức năng lượng gián đoạn En (n=1,2…) được gọi là các

mức lượng tử hóa do giảm kích thước. Vì giá trị thông thường của khoảng 4 – 5

eV, lớn hơn năng lượng nhiệt kBT (kB là hằng số Boltzmann; T là nhiệt độ của hệ)

của hạt dẫn vài ba bậc, hố lượng tử trong ví dụ đang xét có thể được coi là sâu vô

hạn (hình 2.1).



Hình 2.1: Phổ năng lượng của màng mỏng lượng tử hóa do giảm kích thước.

Hàm sóng của điện tử trong trường hợp này cho các trạng thai En được xác

đinh bởi biểu thức:

2 sin .nn zz

a a

(2.1)

Và các mức năng lượng tương ứng: 2 2 2

2 .2 *n

nEm a

(2.2)

ở đây m* là khối lượng hiệu dụng của hạt dẫn.

Trong các dạng cấu trúc lượng tử hóa do giảm kích thước khác, hố thế giới

hạn có chiều sâu xác định và nói chung, độ dốc không tạo thành với chiều tọa độ

giới hạn một góc vuông. Do đó, mặc dù kết luận chung về sự lượng tử do giảm kích

thước vẫn có giá trị nhưng không thể áp dụng biểu thức (2.2). Trong trường hợp

chung như là hệ quả của nguyên lý bất định, ta dùng biểu thức đánh giá định tính

cho các mức năng lượng như sau: 2

2~nEm a

(2.3)

Như vậy ta thấy biểu thức (2.2) chính là trường hợp riêng của biểu thức (2.3).



Kết luận về sự lượng tử hóa năng lượng, cũng như biểu thức cho En nêu ở

trên chỉ đặc trưng cho chuyển động dọc theo phương pháp tuyến với mặt phẳng của

hố thế năng (dọc theo tọa độ trục 0z). Chuyển động trong mặt phẳng xy (song song

với mặt phẳng hố thế năng) không bị ảnh hưởng bởi hố thế năng. Trong mặt phẳng

đó, các hạt dẫn chuyển động giống như các hạt tự do và được đặc trưng tương tự

như trong vật liệu khối bởi dạng parabolic của phổ năng lượng liên tục với khối

lượng hiệu dụng m*. Năng lượng tổng cộng của hệ lượng tử hóa kích thước là phổ

kết hợp gián đoạn - liên tục, thành phần gián đoạn mô tả theo hướng có sự lượng tử

hóa, còn thành phần liên tục có quan hệ với chuyển động trong mặt phẳng của hố

thế: 2 2

,2 *x y

n

p pE E

m

(2.4)

Với px, py là các thành phần động lượng tương ứng. Sự biến đổi phổ năng

lượng như vậy gây ra những khác biệt đáng kểt trong tất cả tính chất điện tử của hệ

so với các mẫu khối. Lưu ý rằng do có thành phần liên tục của phổ năng lượng 2 2

2 *x yp p

m

các điện tử thuộc về cùng một mức năng lượng En có thể có giá trị năng

lượng bất kì trong khoảng En tới vô cực (hình 2.1). Tất cả các trạng thái có cùng giá

trị n xác định đã cho thường được gọi là thuộc về vùng con lượng tử hóa do giảm

kích thước.

Ta thấy, để sự lượng tử hóa phổ năng lượng trong các cấu trúc thấp chiều có

thể tồn tại trong mọi hiệu ứng quan sát được thì khoảng cách giữa các mức năng

lượng En+1 – En phải đủ lớn. Trước hết giá trị này phải lớn hơn đáng kể năng lượng

nhiệt của hạt dẫn: 1n n BE E k T (2.5)

Vì trong trường hợp ngược lại, sự lấp đầy hầu hết các mức lân cận và các

chuyển mức của điện tử thường xảy ra giữa chúng sẽ ngăn cản quan sát các hiệu

ứng lượng tử. Nếu khí điện tử suy biến và có mức năng lượng Fermi fE , điều kiện

sau cần có: 2 1 .fE E E (2.6)



Trong trường hợp giới hạn ngược lại, khi 1f n nE E E về nguyên tắc có

thể quan sát được hiệu ứng lượng tử hóa do giảm kích thước, nhưng biên độ tương

đối thu được rất nhỏ. Còn tồn tại thêm một điều kiện cần thiết để hiệu ứng lượng tử

hóa do giảm kích thước có thể thấy được. Trong các cấu trúc thực tế, hạt dẫn luôn

luôn bị tán xạ bởi tạp chất, phonon…Xác suất tán xạ được đặc trưng bởi thời gian

phục hồi động lượng , là đại lượng tỉ lệ thuận với một đặc trưng khác của hạt dẫn,

độ linh động của hạt dẫn *

em . Thời gian phục hồi , được định nghĩa là thời

gian sống trung bình của hạt dẫn ở trạng thái lượng tử với bộ các số lượng tử xác

định đã cho , ,x yn p p . Theo nguyên lý bất định, giá trị hữu hạn của gây ra trong

việc xác định giá trị năng lượng ở trạng thái đã cho sai số vào cỡ E

. Tất nhiên

việc tính toán dựa trên cơ sở các mức năng lượng gián đoạn phân cách nhau trong

hệ đang xét chỉ có nghĩa khi khoảng cách giữa hai mức liên tiếp thỏa mãn:

1 .*n n

eE Em

(2.7)

Có thể thấy biểu thức (2.7) tương đương như điều kiện quãng đường tự do

trung bình của hạt dẫn phải lớn hơn chiều dày của màng mỏng a . Theo cơ học

lượng tử, sự lượng tử hóa các mức năng lượng xảy ra đảm bảo các hạt chuyển động

tuần hoàn. Tuy nhiên, điều này chỉ xảy ra khi tán xạ đủ yếu sao cho khoảng cách

giữa hai lần tán xạ, hạt dẫn đã kịp thực hiện vài dao động, nghĩa là hạt dẫn đã vượt

qua chiều dày màng mỏng vài lần. Từ biểu thức (2.3), ta thấy khoảng cách giữa các

mức lượng tử hóa do giảm kích thước tỉ lệ với 2

1a

. Do đó, để quan sát các hiệu ứng

lượng tử hóa do giảm kích thước đòi hỏi màng mỏng có chiều dày nhỏ, nhiệt độ đủ

thấp, độ linh động hạt dẫn cao và mật độ hạt dẫn đủ thấp [1,12].

Ngoài ra còn phải thỏa mãn thêm một điều kiện của hiệu ứng lượng tử hóa do

giảm kích thước, đó là chất lượng bề mặt cao. Sự phản xạ của hạt dẫn tại bề mặt của

màng mỏng phải gần như là phản xạ gương, hay nói cách khác, thành phần của hạt



dẫn song song với bề mặt phải được bảo toàn trong phản xạ. Để đảm bảo hạt dẫn

phản xạ gương trên bề mặt màng mỏng, chiều dài bước sóng De Broglie D của

chúng phải lớn hơn kích thước đặc trưng của độ gồ ghề, đặc điểm mà bất kì bề mặt

nào cũng khó tránh khỏi. Ngoài ra, bề mặt của màng mỏng không được chứa mật độ

cao các tâm tích điện, nguyên nhân gây thêm các tán xạ phụ đối với hạt dẫn.

2.1.2. Hàm sóng và phổ năng lượng của điện tử trong dây lượng tử hình chữ

nhật hố thế cao vô hạn.

Dây lượng tử là một ví dụ về hệ khí điện tử một chiều. Dây lượng tử có thể được

chế tạo nhờ phương pháp epitaxy MBE, hoặc kết tủa hóa hữu cơ kim loại MOCDV.

Một cách chế tạo khác là sử dụng các cổng (gates) trên một transistor hiệu ứng

trường, bằng cách này có thể tạo ra các kênh thấp chiều hơn trên hệ khí điện tử hai

chiều. Bài toán tìm phổ năng lượng và hàm sóng điện tử có thể được giải dễ dàng

nhờ giải phương trình Schrodinger một điện tử cho hệ một chiều:

2

2 .2 *

H V r U r Em

(2.8)

Trong đó U r là thế năng tương tác của điện tử, V r là thế năng giam giữ điện tử

do sự giảm kích thước; m* là khối lượng hiệu dụng của điện tử (ta giả thiết rằng z là

chiều không bị lượng tử hóa).

Do yêu cầu thực nghiệm, mô hình dây lượng tử hình chữ nhật cũng hay được

đề cập đến trong các công trình mang tính lý thuyết. Với mô hình dây lượng tử hình

chữ nhật có các kích thước ba trục lần lượt là Lx, Ly, Lz (Lz >> Lx, Ly). Giả sử thế

giam cầm điện tử cao vô hạn theo cả hai hướng vuông góc x và y:

Thế năng giam giữ điện tử trong trường hợp này có dạng:

0 khi 0 L ,0 L ( , )

khi x>L ,

x yx yV x y

y Lx y

(2.9)



Khi đó hàm sóng và phổ năng lượng của điện tử được viết dưới dạng [21]

0 khi x L ,

1 2 2( , , ), , sin( ) sin( ) khi 0 x ,0

y Lx yn x yx y z ipzn p e L y Lx yL LL L Lx yz x y

(2.10)

Và phổ năng lượng của điện tử:

2 2 2 2 2 2

, 2 2( )2 * 2 *n

x y

p npm m L L

Trong đo: n, ℓ là các số lượng tử của hai phương bị lượng tử hóa x và y,

0,0, zp p

là vecto sóng của điện tử,

Thừa số dạng được cho bởi [26]:

*, , ', ' ', ' ,

0

Riq r

n n n nI e r r rd r

Lấy tích phân theo toàn bộ thể tích dây lượng tử và bỏ qua quá trinh

Umklapp, trong trường hợp không kể đến giam cầm phonon, chúng ta được:

2 '4x

, , ', ' 224 22 2 2 4 2 2x x

2 '4y

224 22 2 2 4 2 2y y

32 ' 1 1 os q

q 2 q ' '

32 ' 1 1 os q.

q 2 q ' '

n nx x x

n n

x x

y y y

y y

q L nn c LI

L L n n n n

q L c L

L L

2.11)

Khi kể đến giam cầm phonon, ta có [18] , 2 2, ' ,

, 1(2 )( 1 /) 6m k

z m km k

I q P q

Trong đó: 2 2 22 ( / ) ( / )z x yq m L k Lq

/2/2

/2 /,

2

2 2 'os c ' .os os cos os os( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )yx

y xLx

LL

m kx y x x y yLy

n x x n x y m y k yP dx dy c c c cL L L L L L L L



2.2. Xây dựng phương trình động lượng tử cho phonon giam cầm trong dây

lượng tử.

Hamilton của hệ điện tử - phonon trong dây lượng tử hình chữ nhật hố thế

cao vô hạn trong hình thức luận lượng tử hóa lần hai được biểu diễn như sau :

( ) e ph e phH t H H H (2.12)

He : là năng lượng của các điện tử không tương tác.

Hph : là năng lượng của các phonon không tương tác.

He-ph : là năng lượng tương tác điện tử- phonon.

Khi có mặt trường sóng điện từ )sin(0 tEE . Hamiltonian của hệ điện tử

- phonon giam cầm trong dây lượng tử là:

z z

z

z z z

z

+α z α,p α,p m,k,q m,k,q

α,p m,k,q

, , + +, ' z α,p +q α,p m,k,q m,k,-q

α,α',p , , ,

eH = ε - A(t) + ωb +c

γ I (q ) ( +b ).

z z

z z z

z

m k m kq

m k q

t p a a b

a a b

(2.13)

Trong đó:

zek A tc

: là phổ năng lượng của điện tử trong trường ngoài;

pz :là xung lượng của điện tử theo phương z.

: số lượng tử của điện tử. ( Gồm số lượng tử theo phương x và theo phương y)

, zka

và , zka ( , , zm k qb và , , zm k qb ): tương ứng là toán tử sinh và toán tử huỷ của

điện tử (phonon)

m, k: là số lượng tử đặc trưng cho sự giam cầm phonon.

: là tần số của phonon âm, c: là vận tốc ánh sáng.

: là hằng số Planck, e: là điện tích của điện tử;

,γz

m kq : hệ số tương tác điện tử - phonon âm [18]:

2,

2z

m kq

s

qV

(với 2 2 22 ( / ) ( / )z x yq m L k Lq )



,, ' ( )m

zkI q : thừa số dạng, cho bởi [18]:

, 2 2, ' ,

, 1

(2 )( 1 /) 6m kz m k

m kI q P q

Trong đó: /2/2

/2 /,

2


y xLx

LL

m kx y x x y yLy


(2.14)

)(tA là thế vectơ và trong mối liên hệ với trường sóng điện từ, xác định bởi biểu

thức: )sin()(10 tE

dttAd

c

Với mục đích thiết lập những phương trình động lượng tử cho phonon giam

cầm trong dây lượng tử khi có mặt của trường bức xạ laser, chúng tôi dùng phương

trình lượng tử tổng quát cho toán tử số hạt.

Đặt : z z z

+m ,k,q (t) m ,k,q m ,k ,qN =

tb b

Thiết lập phương trình động cho số phonon ở tại thời điểm t:

Ta có:

z z z z z z

z z z z

z z

, , + + +m,k,q m,k,q m,k,q m,k,q α,p α,p

,

+ +m,k,q m,k,q m',k',q' m',k',q'

', ', '

', ' +' m,k,q m,k,

', '',, ' q

( ), ( ( ) ,

,

γ ( ') ,

z

z

z

z z

m k qzt tp

tm k

mq

k

q

m kz p

N t ei b b H p A t b b a at c

b b b b

I q b b a

z z

+' , m',k',q' m',k',q'

, ',', ', '

( +b .z z

zz

q p tpm k q

a b

, ,1 2 3

( )zm k qN t

i I I It

(2.15)

Trong đó:

z z z z

+ +1 m,k,q m ,k,q α,p α,p

,( ( ) ,

z

z tp

eI p A t b b a ac



z z z z

+ +2 m ,k ,q m ,k ,q m ',k ',q ' m ',k ',q '

', ', '

, .z

tm k qI b b b b

z z z z

', ' + +3 ' m,k,q m,k,q ', ' , m',k',q' m',k',q'

, ',', '

'

',

, ', 'γ ( ' ) , ( +b

z z z zzz

m km kq z p q p tp

m k q

I q b b a a bI

Tính I1, I2, I3: chú ý ,a b ab ba là giao hoán tử của hai toán tử a và b

Và các hệ thức toán tử:

,

,

, ; , 0; , 0;

, ; , 0; , 0;

k l k l l k k l k l k l

k l k l l k k l k l k l

a a a a a a a a a a

b b b b b b b b b b

(*)

- Tính I1: Vì , , , , , ,,z z z zm k q m k q p pb b a a

là các toán tử sinh hủy hạt khác loại

nên chúng giao hoán với nhau, nên: z z z z

+ +m,k,q m,k,q α,p α,p, 0b b a a

Ta có I1=0

- Tính I2:

z z z z

+ +2 m,k,q m,k,q m',k',q' m',k',q'

', ', '

, .z

tm k qI b b b b

Sử dụng hệ thức toán tử cho toán tử sinh hủy ( a a -a al k k l lk ) ta có :

, , , , ', ', ' ', ', ' , , , , ', ', ' ', ', ' ', ', ' ', ', ' , , , ,

, , , ' , ' , ' ', ', ' , , ', ', '

', ', ' , ' , ' , '

,z z z z z z z z z z z z

z z z z z z

z z z

m k q m k q m k q m k q m k q m k q m k q m k q m k q m k q m k q m k q

m k q m m k k q q m k q m k q m k q

m k q m m n k q q

b b b b b b b b b b b b

b b b b

b

, , ', ', ' , ,

, , ', ', ' ', ', ' , , , ' , ' , '

, , ', ', ' , , ', ', ' , , ', ', ' , , ', ', '

, , ', ', ' ', ', ' , , , '

z z z

z z z z z z

z z z z z z z z

z z z z

m k q m k q m k q

m k q m k q m k q m k q m m k k q q

m k q m k q m k q m k q m k q m k q m k q m k q

m k q m k q m k q m k q m m

b b b

b b b b

b b b b b b b b

b b b b

, ' , '

0z zk k q q

vậy I2=0.



- Tính I3:

z z z z

', ' + +3 ' m,k,q m,k,q ', ' , m',k',q' m',k',q'

, ',', '

'

',

, ', 'γ ( ' ) , ( +b

z z z z

zz

m km kq z p q p tp

m k q

I q b b a a bI

Áp dụng hệ thức toán tử, ta có:

z z z z

z z z z

z z z z z z

+ +m,k,q m,k,q ', ' , m',k ',q' m,'k',-q'

+ +m,k,q m,k,q m',k ',q' m,'k',-q' ', ' ,

+ + +', ' , m,k,q m,k,q m',k',q' m,k,q m,k,q m',k',-q'

m',k

, ( +b )

, ( +b )z z z

z z z

z z z

p q p

p q p

p q p

b b a a b

b b b a a

a a b b b b b b

b

z z z z z z

+ + +',q ' m,k,q m,k,q m',k',-q ' m,k,q m,k,qb b b b b

z z z z z z z z

z z z z z z z z

+ + +', ' , m,k,q m,k,q m',k',q' m,k,q m,m' k,k' q ,-q' m',k',-q' m,k,q

+ + +m,m' k,k' q ,q' m,k,q m',k',q' m,k,q m',k',-q' m,k,q m,k,q

( +b )

( +b ) - bz z zp q pa a b b b b b

b b b b

z z z z z z

+', ' , m,k,q m,m' k,k' q ,q ' m,k,q m,m' k,k' q ,-q'-

z z zp q pa a b b

z z z z

', ' + +3 ' m,k,q m,k,q ', ' , m',k',q' m',k',q'

, ',', ', '

', ', 'γ ( ' ) , ( +b

z z z zzz

m km kq z p q p tp

m k q

I q b bI b a a

z z

, , +', , m,k,q ', , m,k,q

, '

, ,, , '

,'γ ( ) γ ( ) .

z z z z z z z z

z

m k m kq z p q p q z p

m k mq p

p

kq a a b q a a bI I

Thay I1, I2, I3 thu được vào (2.15)) ta được:

z z

, , , ,', , m,k,q ', , m,k,q

, ',

', ,, ,, '

, ,, ' , '

, ,, , ' ,'

( )γ ( ) γ ( )

γ ( ) ( , , , ) γ ( ) ( , , , )

z

z z z z z z z zz

z z z

z z z z z

mk mk

mk m

mk q mk mkq z p q p q z p q pt t

p

p q pmk mkq z p z q z p

kq z

N ti q a a b q a a a

t

q F mk q t q F mk q t

I I

I I

*

, ',. 2.16

zp

Trong đó : z

*, *', , ', m ,k,q( , , , ) .z

z z z z z

pp q z p p q t

F m k q t a a b



Tương tự ta viết phương trình động cho: 1

2

,, ( , , , )x P

y P zF m k q t

1

2

1 2

1 1 1 2 1 z 1 z1 11 1

1 2 1 1 z 1 1 z1 11 1 1

1 1

1

1 1

1 1

,, +

x,p y,p , ,

+ +x,p y,p , , ,p ,p

,

+ +x,p y,p , , ,k , ,k ,

, ,

,,

,'

( , , , ),

( ( ) ,

,

γ

z

z

z

z

z

z

m

x Py P z

m k q t

z m k qtp

m k q m q m qtm k q

m k kq

F m k q ti a a b H

tep A t a a b a ac

b b

I

a a b

1 1 2 1 z z 1 z 1 1 z 1 1 z1 1 1 1 11 1 11 1 1

+ +x,p y,p , , ' ,p ,p ,k , , ,

, ',, ,

( ) , ( ) .(2.17)z

z

z

z m k q q m q m k qtp

m k q

q a a b a a b b

1

2

,,

1 2 3

( , , , ).

x Py P zF m k q t

i T T Tt

(2.18)

Trong đó :

1 1 1 2 1 z 1 z1 11 1

+ +1 x,p y,p ,p ,p

,( ( ) ,

zz

z mnqtp

eT p A t a a b a ac

1 2 1 1 z 1 1 z1 1

1 1 1

+ +2 x,p y,p , , ,k , ,k ,

, ,,

z

z

m k q m q m qtm k q

T a a b b b

1 1

1 1 2 1 z z 1 z 1 1 z

1 1

1 1 z1 1 1 1 1 11 1 11 1 1

, + +3 x,p y,p , , ' ,p ,p ,k , ,k ,

, ',, ,

,, 'γ ( ) , ( ) .

z z

z

z

m kq z m k q q m q m

p

kq

m

m

tk q

T q a a b a a bI b

Tính T1, T2, T3 (chú ý các hệ thức toán tử (*)).

- Tính T1: Ta biến đổi:

1 2 1 z 1 z 1 2 1 z 1 z 1 z 1 z 1 21 1 1 1 1 1

1 1 2 1 z 2 1 z 1 z 1 1 1 1 z 21 1 1 1 1 1

+ + + + + +x,p y,p , , ,p ,p , , xp y,p ,p ,p ,p ,p xp y,p

+ + + +, , xp , , ,p y,p , , , , , ,p yp

, ( )

( ) ( )

z z

z z z

m k q m k q

m k q y p p p p x p p x p

a a b a a b a a a a a a a a

b a a a a a a a a

1 1 1 z 1 1 1 z 21 1 1 1

+ +, , , , x,p ,p , , ,p y,pz z zm k q y p p x p pb a a a a

1 1 1 2 1 z 1 z1 11 1

1 1 1 1 1 z 1 1 1 z 21 1 1 11 1

+ +1 x,p y,p , , ,p ,p

,

+ +, , , , x,p , , , ,p y,p

,

( ( ) ,

( ( )

zz

z z zz

z m k qtp

z m k q y p p p x p ptp

eT p A t a a b a ac

ep A t b a a a ac



1 2 1 2

+ +2 , , x,p y,p 1 , , x,p y,p( ( ) ( ( ) .

z zy m k q x m k q

t

e ep A t b a a p A t b a ac c

- Tính T2: Ta có:

1 2 1 1, 1 1 1, 1 1 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

1 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

+ + + + +x,p y,p , , , , x,p y,p , , , , , , , , , , , ,

+ + +x,p y,p , , , , , , , , , , , , , ,

, ( )

( )z z z z z z z z z

z z z z z z z

m k q m k q m k q m k q m k q m k q m k q m k q m k q

m m k k q q m k q m k q m k q m k q m k q m

a a b b b a a b b b b b b

a a b b b b b b

1 2 1 1 1 1 1 1

,

+x,p y,p , , , , ,( ),

z

z z z

k q

m m k k q q m k qa a b

1 2 1 1 z 1 1 z1 11 1 1

1 2 1 1 1 1 1 11 1 1

+ +2 x ,p y,p , , ,k , ,k ,

, ,

+x ,p y,p , , , , ,

, ,

,

( )

z

z

z z zz

m k q m q m qtm k q

m m k k q q m k q tm k q

T a a b b b

a a b

1 2

+x ,p y ,p , , zm k qa a b

- Tính T3:

'1 2 1 z1 1 1 1 1 1 11 z1 1

'1 2 1 z1 1 1 1 1 1 11 z1 1

' 1 z1 1 2 1 1 1 11 11 z1 1

+ +x,p y,p , , z ,p , , , ,,p

+ +x,p y,p z ,p , , , , , ,,p

+ +z ,p x,p y,p , , , , , ,,p

x

, ( )

( )

( )

z z zz

z z zz

z z zz

m k q m k q m k qq

m k q m k q m k qq

m k q m k q m k qq

a a b a a b b

a a a a b b b

a a a a b b b

a

' '1 , 2 1 z1 1 1 1 1 1 11 1 z1 12 1 1

' , 1 1 2 1 1 1 11 1 1 11 z1 1 1 1

+ +,p y,p z ,p , , , , , ,, ,p

+, , , , , , , , ,,p ,

( )

( ) ( )

p p q z z zz z z

p p z z z zzz

m k q m k q m k qy q

x p p y p m k q m k q m k qq x

a a a b b b

a a a a b b b

', 1 1 1 1 1 11 1 1 11 2 1

', 2 1 1 1 11 1 11 1 11 1

' 1 1 2 1 1 1 1 11 1 11 11

, , . , , , , ,,

, , , , , , ,, ,

+x,p , , , , , , , , ,,

( )

( )

( ( ) (

p p q z z z zz z

p p z z zz z z

z z z zz z

x p p mk q m k q m k qy

y p m k q m k q m k qx p q

p y p m k q m k q m k q m kp q

a a b b b

a a b b b

a a a a b b b b

1 1 11 1, , , , ,)

z z zq m k q m k qb b

T



' , 1 1 1 1 1 11 1 1 11 2 1

', 2 1 1 1 11 1 11 1 11 1

'1 1 1 1 21 11 11

+x,p , , , , , , ,,

, , , , , , ,, ,

+, , , x,p , ,,

( )

( )

.

p p q z z z zz z

p p z z zz z z

z z zz z

p m k q m k q m k qy

y p m k q m k q m k qx p q

m m k k q q p y pp q

a a b b b

a a b b b

a a a a

1 1

1 1 2 1 z z 1 z 1 1 z 1 1 z1 1 1 1 1 11 1 11 1 1

1 1'

1 1

1 1

1 , 1 1 1 1 11 1 1 11 2

1

1 1

1

1

, + +3 x,p y,p , , ' ,p ,p ,k , ,k ,

,

,, '

,

',, ,

, +x,p , , , , ,, ,' ,

γ ( ) , ( ) .

γ ( ) (

z zz

z

z p p q z z zz z

m km kq z m k q q m q m q

tpm k q

m kq z p m k q m k q m ky

m k

IT q a a b a a b b

q a a b b bI

1 11 1 11 1 1

' ', 2 1 1 1 1 1 1 1 1 21 1 1 1 11 1 1 1 11 1 1

,, ',, ,

+, , , , , , , , , , x,p , ,, , ,

)

( ) .

zz

z

p p z z z z z zz z z z z

qp

m k q

y p m k q m k q m k q m m k k q q p y px p q p qa a b b b a a a a

1 1

1 1 1 2 1 1 1 11 1 1 11 1 11

1 1

1 1 2 1 1 1 11 1 1 11

1 1

1

1 1

1 1

11

1

1

1

,,

,,

, +x,p , , , , , , ,

, , ,

,, , , , , , , ,

, ,' '

'

,'

,

,,

γ ( ) ( )

γ ( ) ( )

γ (

z z z z zz

z z z z z

z

z

m kq z p q m k q m k q m k q tm k q

m kq z p q y p m k q m k q m k q

tm k q

m ky

mq

mk

m kx

k

q a a b b b

q

I

I

I

a a b b b

q

'1 1 211 1'

1 1 1

+x,p , ,,

, ,

)zz z

z

z p y pp q tp

a a a a

Thay T1, T2, T3 vừa tính vào phương trình (2.18) ta có:

1

2

1 2 1 2

1 1

1 2 1

1 1

1 1 1 2 1 11 1 11 1 11

,,

+ +2 , , x,p y,p 1 , , x,p y,p

,+ +x,p y,p , , x,p , , , ,

, , ,, ,,

( , , , )

( ( ) ( ( )

γ ( ) (

z z

z z z z zz

x Py P z

y m k q x m k qt

m km k q q z p q m k q m

mk q

m k q

ky

F m k q ti

te ep A t b a a p A t b a ac c

a a bIb q a a b

1 1 1

1 1

1 1 2 1 1 1 11 1 1 11 1 1

' 1 1 211 1'1 1 1

1 1

1 1

1

1 1

,, ' '

'

,,

, ,

,, , , , , , , ,

, ,

'

,

, +x,p , ,,

, ,

)

γ ( ) ( )

γ ( ) .

z

z z z z zz

z zz zz

m k qt

m kq z p q y p m k q m

m kx

m k

k q m k qtm k q

m kq z p y pp q t

p

b

q a a b b b

q a a a

I

I a



1

2

1

2

1 1

1 1 1 2 1 1 1 11 1 1

1

11 1 1

1

1

11 1

1

1

1

,,

, '

,,

,2 1 ,

, +x,p , , , , , , ,

, , ,

,

( , , , )

( ( ) ( ( ) ( , , , )

γ ( ) ( )

γ

z z z z zz

z

x Py P z

x Py x y P z

m kq z p q m k q m k q m k q

tm

m ky

q

m

k

m kq x

F m k q ti

te ep A t p

I

A t F m k q tc c

q a b b b

I

a

1 1 2 1 1 1 1

1

11

1 1 11 1 1

'1 1 211 1'

1

1

1

1

1

, , , , , ,,

''

, ,, , ,

, +x,p , ,,

, ,

,, '

( ) ( )

γ ( )

z z z zz

z zz zz

z p q y p m k q m k q m k q tm k q

m kq z p y pp q t

p

k

m k

q a a b b b

q a a a aI

(2.19)

Trong đó: ta có 2 2

( )2 *

cx x

ppm

Với m* là khối lượng hiệu dụng của điện tử.

2 22 2

2 1

2 1

2 22 2

2 1 1 2

2 1 1 2

2 1

( ) ( )( ) ( )

2 * 2 *

( )2 * 2 * *

( )*

( )*

c cy x y x

c cy x

y x

y x z

e ep A t p A te e c cp A t p A tc c m m

ep p p p A tm m m c

ep p p p A tm cep p q A t

m c

1 2( ),zq p p (2.20)

Thay (2.20) vào (2.19) ta có:



1

2

1

2

1 1

1 1 1 2 1 1 1 11 1 1 1

1 1

1

1

1 1 11

1 1

111

1

11

,,

,2 1 ,

, +x ,p , , , , , , ,

, ,

,

,

,

,

, ,

,

,'

( , , , )

( ) ( ) ( ) ( , , , )*

γ ( ) ( )

γ ( )

z z z z zz

z

x Py P z

x Pzy x y P z


tm k q

m kq z

m k

m ky

m kx

F m k q ti

teqp p A t F m k q t

m c

q a a b b

qI

bI

1 2 1 1 1 11 1 11

11

1 1 ' 1 1 211 1'1 1

, , , , , , , ,,

, +x,p , ,,

,

''

,, '

,

( )

γ ( )

z z z zz

z zz zz

p q y p m k q m k q m k qtq

m kq z p y pp q

k

tp

m

a a b b b

q a a a aI

1 1

1

1

2

1

2

1 1

1 1 1 2 1 1 1 11 1 1 11 1 11

1 1 1 1

11

,,

,,

,1 2 ,

, +x ,p , , , , ,

,, '

, ,, , ,

,

( , , , )

( ) ( ) ( ) ( , , , )*

γ ( ) ( )

γ (

z z z z zz

z

x Py P z

x Px y z y P z


tm k

m ky

m kx

q

m kq z

F m k q tt

i ep p q A t F m k q

I

I

tm c

q a a b b b

q

11 1 2 1 1 1 11 1 11 1 1

1

1

1 1'

1 2 1 11 1'1 1 1

, , , , , , , ,, , ,

, +x ,

''

,, ' p , ,,

, ,

) ( )

γ ( )

z z z zz

z zz zz

p q y p m k q m k q m k q tm k q

m kq z y p pp q

t

k

p

mI

a a b b b

q a a a a

Hay:

1 1

1

2

1

2

'1 2 1 31 3'1 1 3

1 1

1 1 1 211 1 11

1 1

1

,, '

,

,,

,1 2 ,

, +x ,p , ,,

, ,

, +x,p ,

, , ,,

( , , , )

( ) ( ) ( ) ( , , , )*

γ ( )

γ ( )

z z

zz

x Py P z

x Px y z y P z

m kq z y p pp q t

p

m kq z

m k

m ky p

m k q

F m k q tt

i ep p q A t F m k q tm c

q a a aI a

I q a a

1 1 1 11 1 1

1 1

1 1 2 1 1 1 11 1

1

1 11 1 1

1

1 11

, , , , , ,

,, , , , , , , ,

,

,,

,' '

, '

( )

γ ( ) ( )

z z z z

z z z z zz

q m k q m k q m k q t

m kq z p q y p m k q m k q m k q

m

tm qx

k

k

b b b

q a aI b b b

(2.21)



Đặt: 1

2

,, ( , , , )x P

y P zF m k q t F t

Giải phương trình không thuần nhất (2.21), trước hết ta giải phương trình

thuần nhất: 0

01 2( ) ( ) ( )

*x y zF i ep p q A t Ft m c

(2.22)

Với điều kiện ban đầu đoạn nhiệt: ( ) 0F . 0

01 2( ) ( ) ( )

*x y zF i ep p q A t Ft m c

0

1 20

( ) ( ) ( ) .*x y z

F i ep p q A t tF m c

(2.23)

Lấy tích phân hai vế (2.23) từ t , ta có:

0 1 2

1 2 1 1 1

ln ( ) ( ) ( )*

( ) ( ) ( )*

tt

x y z

t t

x y z

i eF p p q A t tm c

i ep p d t q A t d tm c

0 1 2 1 1 1.exp ( ) ( ) ( )*

t t

x y zi eF M p p dt q A t dt

m c

Trong đó M: là hằng số.

Phương trình (2.21) là phương trình vi phân không thuần nhất, ta giải bằng

phương pháp biến thiên hằng số nghiệm của phương trình vi phân thuần nhất (2.22):

Dùng phương pháp biến thiên hằng số, ta có M phụ thuộc thời gian thành M(t) :

01 2 1 1 1( ) ( )( ) ( ).exp ( ) ( ) ( )

*t t

x y zM t F ti eF t M t p p dt q A t dt

m c

( ( ) ) ' ' '( ) ( ) ( ) ( ) ( )F t

F t M t F t M t F tt



'1 2 1 1 1

'

1 2 1 1 1

'1 2 1

( ).exp ( ) ( ) ( )*

( ). exp ( ) ( ) ( )*

( ).exp ( ) ( )*

t t

x y z

t t

x y z

t

x y

i eM t p p dt q A t dtm c


i eM t p p dtm c

1 1

1 2 1 1 1

1 2 1 1

( )

( ). ( ) ( ) ( )*

exp ( ) ( )

t

z

t t

x y z

t

x y

q A t dt


i p p dt dt

'1 2 1 1 1

1 2

( ).exp ( ) ( ) ( )*

( ) ( ) ( ) ( ).*

t t

x y z

x y z


i ep p q A t F tm c

(2.24)

Thay (2.24) vào (2.21), ta có:

1

2

'1 2 1 1 1

,1 2 ,

( ).exp ( ) ( ) ( )*

( ) ( ) ( ) ( , , , ).*

t

x y z

x Px y z y P z



1

2

'1 2 1 31 3'1 1 3

1 1

1 1 1

1 1

1 1

2 1 11 11 1

1

11

,1 2 ,

, +x,p , ,,

, ,

, +x,p , , , , ,

, ,

,,

,

,

'

,

( ) ( ) ( ) ( , , , )*

γ ( )

γ ( ) (

z z

z z z z

z

x Px y z y P z

m kq z y p pp q t

p

m kq z p q m k q m k q

m k

m k

m ky

q

I


q a

I

a a a

q a a b b

1 1

1 1

1

1 11 1

1 1

1 1 2 1 1 1 11 1 1 11 1 1

,, ' '

'

, ,

,, , , , , , , ,

, , ,

)

γ ( ) ( )

z

z z z z z

z

m k qt

m kq z p q y p m k q m k q m k q tm k q

m kx

b

q a a b b bI



'1 2 1 31 3'1 1 3

1 1

1 1 1 2 1 1 1 11 1 1 1

1 1

1 1

1

1 1 11

1 11

1

1

1

1

1

' , +,, x,p , ,,

, ,

, +x,p , , , , , ,

'

,,

,,

,, , ,

,'

,

( ) γ ( )

γ ( ) ( )

γ ( )

z z

z z z z z

z

z

m k

m k

m kq z y p pp q t

p


tm k q

m kq

y

m kx z

m k

iM t q aI

I

I

a a a

q a a b b b

q

1 2 1 1 1 11 11

11 1

1 , , , , , , , ,, '

1

',

1 2 1 1

( )

exp ( ) ( ) ( ) .(2.25)*

z z z z

z

p q y p m k q m k q m k qtq

t t

x y z

a a b b b

i ep p dt q A t dtm c

Lấy tích phân hai vế phương trình (2.25) từ t ta có:

'1 2 1 31 3 2'1 1 3

1 1

1 1 1 2 1 1 1 11 1 1 1 21 1 11

1 1

1 1

1

111

1

1

1 1

, +,, x,p , ,,

, ,

,

'

,,

,

+x,p , , , , , , ,

,

,

,

,'

,

( ) γ ( )

γ ( ) ( )

γ (

z z

z z z z zz

z

m k

m ky

tm k

q z y p pp q tp


m

tm k q

kx

m kq z

iM t q a a a a

q a

I

I

I

a b b b

q

1 2 1 1 1 11 1 1 21 1 1 1

2

1

2

, , , , , , , ,, , ,

1 2 1 1

''

1 2

) ( )

exp ( ) ( ) ( ) .*

z z z zz

p q y p m k q m k q m k qtm k q

t t

x y z

a a b b b

i ep p dt q A t dt dtm c

Ta có:

'1 2 1 31 3 2'1 1

1 1

1 1

1

3

1 1

1 1 1 2 1 1 1 11 1 1 12

1 1 11

1

1 1

1

1

0 , +x,p , ,,

, ,

, +x,p , , , , , , ,

, , ,

,, '

,,

', ,

,

( ) ( ) γ ( )

γ ( ) ( )

γ

z z

z z z z z

z

z

tm k

q z y p pp q tp


t

m k

m ky

m k q

mq

mx

k

iF t M t F q a a a a

q a a b b

I

I

bI

1 1 2 1 1 1 11 1 12

1 1

1

1

11

2

, , , , , , , ,, , ,

'

1 2 2 1 2

'

1

( ) ( )

exp ( ) ( ) ( ) ( ) .*

z z z z

z

z p q y p m k q m k q m k qtm k q

t

x zt

k

y

q a a b b b

i ep p t t q A t dt dtm c



Vậy:

1 '1 2 1 31 3 2'1 1 3

1 1

1 1 1 2 1 1 1 11 1 1 12

1 1

1

1 1

1

1 1

1

11

1 1

11

, +,, x,p , ,,

, ,

, +x,p , , ,

'

,,

,,

, , , ,,

'

, ,

,

( ) γ ( )

γ ( ) ( )

γ ( )

z z

z z z z z

z

z

m k

m

tm k

q z y p pp q tp

m kq z p q m k q m k q m k

ky q

tm k q

m kq

m kzx

iF t q a a a a

q

I

I a a b b b

qI

1 2 1 11

1

1 11 1 12

1 1 1

2

, , , , , , , ,, , ,

1 2 2 1

'

1

'

2

( )

exp ( ) ( ) ( ) ( ) .*

z z z z

z

p q y p m k q m k q m k qtm k q

t

x y zt

a a b b b


Hay:

1 1

1

1'2 1 2 1 31 3'

1 1 3

1 1

1 1 1 2 1 1 1 11 1 1 1

1

1 1

1

1

1

11

1

,, '

, , +, x,p , ,,

, ,

, +x,p , , , , , , ,

,,

, , ,

,,

( , , , ) γ ( )

γ ( ) ( )

γ

z z

z z z z zz

z

tx P m k

y P z q z y p pp q tp


tm k q

m k

m k

m k

q

y

x

iF m n q t q a a a a

q a a

I

I

I

b b b

1 1 2 1 1 1 11 1 11

2

1

1

1

1

1

1 1

, , ,,

' , , , , ,, , ,

1 2 2 1 1 2

''

( ) ( )

exp ( ) ( ) ( ) ( ) . 2.26*

z z z zz

z p q y p m k q m k q m k qtm k q

t

x y zt

m k q a a b b b


Do đó:

1 1

1 1

'

' ' 1 31 3 2'1 1 3

1 1'1 1 1 1 1 11 1 1 1

1 1 1

1

1

, , +, , ,, ,

, ,

, +, , , , ,

,, '

,, , ,,

, , ,

* ( , , , ) γ ( )

γ ( ) ( )

z z

z z zz z z

z z z z z zz zz

tp q m k

p z q z p pp q p q tp

m kq z p q m k q m k q

m

m k qp q tm k q

k

m k

iF m k q t q a a a a

q

I

a a b b bI

2

1 1'1 1 1 1 11 1 11 21 1 1

2

1 1

1

1

,', '

'

,, , , , , , ,,

, , ,

' 2 1 1 2

γ ( ) ( )

exp ( ) ( ) ( ) ( ) .*

z z z z zz z zz

m kq z p m n q m n q m n qp q q tm k q

t

z z z

m

z

k

t

I q a a b b b

i ep q p t t q A t dt dtm c



1 1

1

' ' ' 1 31 3' 21 1 3

1 1

1 1 1 1 1 11 1 1 11 1

1

1

1

1

,,

, , +, ,, , ,

, ,

, +, , , , , ,

'

,, , ,

, , ,'

* ( , , , ) γ ( )

γ ( ) ( )

z

z zz z z z z

z z z z z z z z

z

tp m k

z q z p pp q p q p q tp

m kq z p p q q m k q m k q m k

m k

m

tm k q

kq


q a a bI b

I

b

2

1 1

1 1 1 1 11 1 1 1 21 1

1 1

1 1

11

2

,, ', , , , , , ,

, , ,

,, '

' 2 1

'

1

'

2

γ ( ) ( )

exp ( ) ( ) ( ) ( ) .*

z z z z z z z z

z

m kq z p q p q m k q m k q m k q

tm k q

t

z z z z

m k

t

q a a b b b

i ep p q t t q A t dt dtc

I

m

' ' '1 1 3 1 3' 21 1 3

1 1

1 1 , , 1 1 ,1 1 1 1 11

1

1 1

1

1 1 11

,,

* *, ,, ,, , ,

, ,

*,

, , , ,

'

,, '

, , ,

( , , , ) γ ( )

γ ( ) ( )

z

z zz z z z z

z z z z z m k q z m kzz

tp m k

z q z p pp q p q p q tp

m kq z p q q p m k q

m k q

m k

m k


q a a b b

I

I b

,2

1 1

1 ', , , , , 1 11 1 1 1 11 21 1 1

2

1 1

1 1

1

*,

, , ,, , ,

' 2 1 1

,, '

2

''

γ ( ) ( )

exp ( ) ( ) ( ) ( ) .*

qz

z p q z z m k q m k q zz z z zz

t

m kq z p q m k q

tm k q

t

z z z z

m

t

k q a a b b b

i ep p q t t q A t dt dtm

I

c

Thay ' ,

, ( , , , )z z

z

k qk zF m k q t

; '

*,,

( , , , )z

z z

kzk q

F m k q t

vào phương trình (2.16) ta có:

' '1 3'

1 1 3

1 1

, ,, ' ,

*, , ', ,, ,, ',

, ',

, , +

'

, ,, ' , ,' ,

, ,

( )γ ( ) ( , , , ) γ ( ) ( , , , )

γ ( ) γ ( )

z z z z

z z z z z

z

z z z z z

m k m k

m k m

m k q p q pm k m kq z p z q z p q z

p

m k m kq z q z p q p q

p

k

N ti q F m k q t q F m k q t

t

iq q a a

I I

I aI

1 32

1 1'1 1 1 1 1 11 1 1 1

21 1 11

1 1'1 1 11 11

1

1 1

1

1 1

1

11 1

, ,, ',

, +, , , , , , ,,

, , ,

,, , ,,

, , ,

,,

,', '

'

γ ( ) ( )

γ ( ) (

z

z

z z z z z zz zz

z z zz z zz

t

p p tp

m kq z p q m k q m k q m k qp q tm k q

m kq z p m n qp q q

m k q

m k

m k

a

q a a b b b

q aI b

I

a b

1 1 12

'2

, , , ,

2 1 1 2

)

exp ( ) ( ) ( ) ( )*

z zm n q m n qt

t

z z z z t

b




1 ' '1 3 1 3' 2

1 1 3

1 1

1 1 , , 1 1 , ,1 1 1 1 111 1 1

1

1 1

1

1

, ,, ' ,

*, ,, ,, ,

, ,

*,

, , , ,, , ,

'

,, '

γ ( ) γ ( )

γ ( ) ( )

z z zz z z

z z z z z m k q z m k qz zz

tm k m k

q z q z p pp q p q tp


tm k q

m k m k

m k

iq q a a a a

q a a b b b

I I

I

2

1 1

1 ',

1

, , , , 1 11 1 1 1 1121 1 1

2

1

1 1

1

*,

, , ,,

,

, ,

' 2 1 1

, '

2

''

γ ( ) ( )

exp ( ) ( ) ( ) ( ) 2.27*

z p q z z m k q m k q zz z z zz

m kq z p q m k q

tm k q

t

z z z z

k

t

m q a a b b b

i ep p q t t q A t dt tm

I

dc

' ' 1 31 3 2'1 1 3

1 1'1 1

1 1

1 11 1

1

1 1

1

1

1

1

, ,, ' , '

, , , , +, ,2 , ,

, ', , ,

, +, , , , ,,

, , ,

,,

( ) 1 γ ( ) γ ( )

γ ( ) (

z

z z zz z zz

z z z zz zz

tm k q m k m k

q z q z p pp q p q tp p

m kq z p q m k q m k qp q

m k m k

m

m k q

k

I IN t

q q a a a at

q a a b bI

1 11 12

1 1'1 1 1 1 1

1 1

11 1 11 21 1

'2

11

,', '

, ,

,, , , , , , ,,

, , ,

2 1

'

1 2

)

γ ( ) ( )

exp ( ) ( ) ( ) ( )*

z z

z z z z zz z zz

m k qt

m kq z p m n q m n q m n qp

m kq q

tm k q

t

z z z z t

I

b

q a a b b b


' '1 3 1 3' 21 1 3

1 1

1 1 , ,

1 1

1 1

1 1 , ,1 1 1 1 11 21 1 11

1

1

1

*, ,, ,,

, ,, ' ,

, ,

*,

, , , ,,

,

,,

,

,

'

'

-γ ( ) γ ( )

γ ( ) ( )

γ

z z zz z z

z z z z z m k q z m k qz zz

z

tm k m k

q z q z p pp q p q tp


tm k q

m

mq

k m k

m k

q q a a a a

q a a b

I

b

I

I b

1

1 ', , , , , 1 11 1 1 112

1 1

1 11 1 1 1

2

*,

, , ,, , ,

' 2 1 1 2

,, ' '

'( ) ( )

exp ( ) ( ) ( ) ( ) 2.28*

p q z z m k q m k q zz z z zz

kz p q m k q

tm k

m

q

t

z z zt

k

z

q a a b b b

i ep p q t t q A t dt d

I

tm c

Tính tổng trong (2.28) cần lưu ý:

1 1 1 1 1 11 1 11 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 11 1 1, , , , , ,', ', ' ', ', ' ', ', ' ', ', ',

,z z zz z z z z

m k q m k q m k qm k q m k q m k q m m k k q qt ttb b b b b b



' ' ' ' ' '1 1 1 11 11 1 1 1 1 1 1 11, , , ,, , , , ,

( ).z zz z z

m k q m k qm k q m m k k q qt

b b N t

' ' ' ' ' '1 1 1 11 11 1 1 1 1 1 1 11

, , , ,, , , , ,

, ', ' , , ' , '

1 ( ) .

( ) .

z zz z z

z z z z z

m k q m k qm k q m m k k q qt

p p p p pt

b b N t

a a f t

(2.29)

Khi xét hệ phonon không cân bằng, ta giả thiết rằng hệ điện tử ở trạng thái

cân bằng, nghĩa là hàm phân bố Fermi-Dirac của điện tử không phụ thuộc vào thời

gian: 1 1 2 3 4 4 1 1 4 4 2 32 3 2 3

1 1 1 4 2 2 2 31 4 2 3

, , , , , , , ,

, , , ,( ) . ( ) .z z z z z z z z

z z z z

p p p p p p p ptt t

z p p z p p

a a a a a a a a

f p f p

(2.30)

Tính (2.28) với các lưu ý (2.29) và (2.30), ta có:

1 1 3 1 3'

1 1 3

1 1

1 1

1

1 1

1 111 1 11

, , ,2

, ',

,2 ' ' 3 ', , ', ,

, ,

,'

,, '

,, '

,', ' '

, , , '

( ) 1 γ ( )

γ ( ) ( ) ( )

γ ( ) ( )

z

zz

z z z z z

z

z

m k q m kq z

p

t m kq z z z z p q p p q p

p

m kq z z z z

m k

m k

m

q

k

m k

N tq

t

dt q f p q f p q

q f p q q

I

I

I

1 1 1 11 1 1

1 1

1 1 1 11 1 11 1 11

1

'

1

1

, , , , 2 , , ,

,' ',

,, , , 2 , , ,

, , ,

2

,

( )

γ ( ) ( ) 1 ( )

exp ( ) ( ) ( )*

z z z z z z z

z z z z z z z z

z

k q q p m k q m m k k q q

m kq z z z p q p q m k q m m k k q q

m k q

z

m k

z z z

N t

q f k q NI t

i ep q p t t qm c

2

1 1 2( )t

tA t dt dt

1 1 3 1 3

'1 1 3

1 1

1 11 11 1 1

1 1

1 1

1

1

1

1

*, ,3 ' , , ', ' ,

, ,

*,

' ', ' , , , 2, , ,

, ,, ' , '

,, '

'

γ ( ) γ ( ) ( ) ( )

γ ( ) ( ) ( )

γ

z z z z z z

z z z z z zz

z

tm k m kq z q z z z p p p q p q

p

m kq z z z p q p q

m k m k

m km k q

m k q

mq

I q q f p f p q

q f p q N

I

I t

1 11

1 1 1 1 1 1 1 11 1 11 1 11

2

1

'

*,

, , , , 2 , , ,, , ,

2 1 1

,, '

2

( ) ( ) 1 ( )

exp ( ) ( ) ( ) ( ) .*

z z z z z z zz

kz z z z p q q p m k q m m k k q q

m k q

t

z z z z t

m k q f p q q N t

i ep p q t t q A t dt dtm c

I



'

,, '

, ,, ' ,

, , ,2

, ',

, ,2 ' , , 2'

,' , , 2

,, '

( ) 1 γ ( )

γ ( ) ( ) ( ) γ ( ) ( ) ( )

γ ( ) ( ) 1 ( )

exp ( )

z

zz

z z z

z z

m k

m

m k q m kq z

p

t m k m kq

k mz z z z q z z m k q

m kq z z z

k

qm k

m k

z z

N tq

t

dt q f p q f p q f p N t

q f k q N t

i p q

I

I I

I

2

2 1 1 2( ) ( ) ( )*

t

z z t

ep t t q A t dt dtm c

'

, ,, ' , '

, ,, ' ,

*, ,'

* *, ,' , , 2 , , 2'

2

γ ( ) γ ( ) ( ) ( )

γ ( ) ( ) ( ) γ ( ) ( ) 1 ( )

exp ( ) ( ) ( ) (*

z z

z z z z

tm k m kq z q z z z z

m k m kq z z z m k q q z z m k q

m k

z z z

m

z

m k

k m k

q q f p f p q

q f p q N t q f p N t

i ep p q t

I I

I I

t q Am c

2

1 1 2) .t

tt dt dt

Chú ý:

, ,, ' , '

, , ,

*, ,

* 2, , ,

2

, ' , ' , '

, , ,, '

,, ' , '

, ,

γ ( ) γ ( )

γ ( ) γ ( ) γ ( )

γ ( ) γ ( ) γ ( )

z z

z z z

z z z

m k m kq z q z

m k m k m kq z q z q z

m

m k

k m k m kq z q

m k

m k m k m k

z q zm k m k m k

I I

I I I

I

q q

q q q

q q qI I

Ta có:

'

2

2, , ,'2

, ',

, , 2 ' , , 2

2 1

'

1

,,

( ) 1 γ ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) 1 ( )

exp ( ) ( ) ( ) ( )*

z

z

z

z z

tm k q m kq z z z z

p

z

m k

m k q z z m k q

t

z z z z t

N tq f p q f p

t

f p N t f p q N t

i ep q p t t q A t dtm c

I

'

2

' ' , , 2 , , 2

2 1 1 2

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 ( )

exp ( ) ( ) ( ) ( ) . (2.31)*

z zz z z z z m k q z m k q

t

z z z z t

f p f p q f p q N t f p N t

i ep p q t t q A t dt dtm c

Vì: )sin()(10 tE

dttAd

c



0( ) sin( ') 't

A t c E t dt

Ta có:

1

2 2 2

01 1 0 1 1 1( ) sin( ') ' os( t )

* * *t t t tzz zt t t

ieE qieq ieqA t dt c E t dt dt c dtm c m c m

2

01 1 2 22

0

( ) sin( ) sin( ) sin( ) sin( )* *

e E*

t zzt

z

ieE qieq iA t dt t t t tm c m

qm

Áp dụng công thức [10,15,16,17,20]

sin ( ) is t( ).iz ts

se J z e

2

1 1 2

2

2,

exp ( ) exp sin( ) sin( )

exp( is t ) exp( il t )

exp( i(l-s) t ( )).

tz

t

s ls l

s ll s

ieq iA t dt t tm c

J J

J J il t t

(2.32)

Đồng thời để có dạng đối xứng hơn, ta biến đổi như sau:

' , , 2 ' , , 2

' , , 2 , , 2 , , 2 ' , , 2

, , 2 ' '

( ). ( ) ( ). ( ) ( ). 1 ( )

( ). ( ) ( ) 1 ( ) ( ). ( ) ( ). 1 ( )

( ) 1 ( ). ( ) (

z z

z z z z

z

z z z z mk q z z mk q

z z z mk q mk q z mk q z z mk q

mk q z z z

f p q f p f p N t f p q N t

f p q f p N t N t f p N t f p q N t

N t f p q f p f

, , 2 '

, , 2 ' , , 2 '

) ( ) ( ). ( ) ( )

( ) 1 ( ) ( ) 1 ( ) ( ) ( ) 1z

z z

z z mk q z z z z

mk q z z z mn q z z z

p q N t f p q f p f p

N t f p q f p N t f p f p q

Tương tự:

' ' , , 2 , , 2

, , 2 ' , , 2 '

( ) ( ) ( ). ( ) ( ). 1 ( )

( ) 1 ( ) ( ) 1 ( ) ( ) ( ) 1z z

z z

z z z z z m k q z m k q

m k q z z z m k q z z z

f p f p q f p q N t f p N t

N t f p f p q N t f p q f p

(2.33)



Thay (2.32),(2.33) vào (2.31), ta có:

'

2 2, , ,2

, ', ,

, , 2 ' , , 2

,

2

,

'

'

( ) 1 γ ( )

( ) 1 ( ) ( ) 1 ( ) ( ) ( ) 1

exp ( ) ( ) ( ) (

z

z

z

z z

m k q m kq z s l

p l s

t

m k q z z z m k q z z z

z z

k

z

mN tq J J

t


i p q p l t t i l

I

)s t

'

, , 2 ' , , 2 '

2 2

( ) 1 ( ) ( ) 1 ( ) ( ) ( ) 1

exp ( ) ( ) ( ) ( ) .

z zm k q z z z m k q z z z

z z z


i p p q l t t i l s t dt

(2.34)

'

2 2, , ,2

, ', ,

, , 2 ' , , 2 '

,, '

( ) 1 γ ( )

exp(i(l-s) t) ( ) 1 ( ) ( ) 1 ( ) ( ) ( ) 1

exp ( ) ( )

z

zz

z z

m k q m kq z s l

p l s

t

m k q z z z m k q z

z

m k

z z

z z

N tq J J

t

N t f p q f p N t f p f p

p

I

q

i p q

2 2( )l t t dt

'

, , 2 ' , , 2 '

2 2

exp -i(l-s) t ( ) 1 ( ) ( ) 1 ( ) ( ) ( ) 1

exp ( ) ( ) ( ) (2.35)

z z

t

mk q z z z mk q z z z

z z z


i p p q l t t dt

Phương trình (2.35) là phương trình động lượng tử cho phonon giam cầm

trong dây lượng tử khi có mặt trường laser. Trên cơ sở phương trình động lượng tử

(2.35) ta tìm được tốc độ gia tăng phonon. Những tính toán này sẽ được trình bày ở

chương sau.



CHƯƠNG 3.

ẢNH HƯỞNG CỦA HIỆU ỨNG GIẢM KÍCH THƯỚC LÊN TỐC ĐỘ

GIA TĂNG SÓNG ÂM (PHONON ÂM) GIAM CẦM TRONG DÂY

LƯỢNG TỬ HÌNH CHỮ NHẬT HỐ THẾ CAO VÔ HẠN.

3.1. Biểu thức giải tích của tốc độ gia tăng sóng âm (phonon âm)

giam cầm trong dây lượng tử hình chữ nhật hố thế cao vô

hạn khi có mặt trường bức xạ laser

3.1.1. Mối liên hệ giữa phương trình động lượng tử cho sóng âm (phonon âm)

giam cầm và tốc độ gia tăng sóng âm (phonon âm) giam cầm trong dây lượng tử

hình chữ nhật hố thế cao vô hạn khi có mặt trường bức xạ laser.

Vì , , , , , ,1 1z z zm k q m k q m k qN N N

Khi đó phương trình (2.35) có dạng:

'

2 2, , ,2

, ', ,

, , 2 ' , , 2

, '

2

,

'

( ) 1 γ ( )

exp i(l-s) t ( ) ( ) 1 ( ) ( ) ( ) 1 ( )

exp ( ) ( ) ( )

z

zz

z z

m k q m kq z s l

p l s

t

m n q z z z m n q z z

k

z

z z z

mN tq J J

t


i p q p l t

I

t

2dt

'

, , 2 ' , , 2 '

2 2

exp -i(l-s) t ( ) ( ) 1 ( ) ( ) ( ) 1 ( )

exp ( ) ( ) ( ) (3.1)

z z

t

m n q z z z m n q z z z

z z z


i p p q l t t dt

'

2 2, , ,2

, ', ,

, , 2 '

,,

2 2

'

( ) 1 γ ( )

ex p i(l-s ) t ( ) ( ) ( )

exp ( ) ( ) ( )

z

z

z

z

m k q m kq z s l

p l s

t

m n q z

m k

z z

z z z

N tq J J

t

N t f p q f p

i p q

I

p l t t d t



'

, , 2 '

2 2

exp -i(l-s) t ( ) ( ) ( )

exp ( ) ( ) ( ) .

z

t

m n q z z z

z z z

N t f p f p q

i p p q l t t dt


', , , ,

', , , ,

( ') ( )

1( ) ( ') '2

z z

z z

i tm k q m k q

i tm k q m k q

N N t e dt

N t N e d

Thay vào phương trình (3.1), ta có:

2

'

2 2' ,, , 2

, ', ,

', , '

,, '

1 1( ') ' γ ( )2

1exp i(l-s) t ( ') ' ( ) ( )2

exp ( )

z zz

z

i t m km k q q z s l

k l s

ti

m

tm k q z z z

z z

kN e d q J Jt

N e d f p q f p

i p q

I

2 2( ) ( )zp l t t dt

2

'

', , '

2 2

1exp -i(l-s) t ( ') ' ( ) ( )2

exp ( ) ( ) ( ) .

z

ti t

m k q z z z

z z z

N e d f p f p q

i p p q l t t dt

2

2 2' ,, , 2

, ', ,

', ,

,

'

, '1 1' ( ') ' γ ( )

2

1exp i(l-s) t ( ') ' ( ) ( )2

exp

z z

z

z


k l s

ti t

m k

m k q z z z

i N e d q J J

N e d f p q f p

i

I

' 2 2( ) ( ) ( )z z zp q p l t t dt



2

'

', , '

2 2

1exp -i(l-s) t ( ') ' ( ) ( )2

exp ( ) ( ) ( ) .

z

ti t

m k q z z z

z z z

N e d f p f p q

i p p q l t t dt

(3.2)

Đổi thứ tự lấy tích phân bên vế phải phương trình trên.

Do: , , ( ) 0zm k qN t , nên khi lấy tích phân theo dt2 thêm vào thừa số: 2te (hằng

số đoạn nhiệt tương tác: 20 khi t )

Khi đó, biểu thức có dạng:

'

2 2' ,, , 2

, ', ,

',

,, '

, '

1 1' ( ') ' γ ( )2

1exp i(l-s) t ( ') ' ( ) ( )2

exp (

z zz

z


k l s

m

i tm k q z z z

z

ki N e d q J J

N e d f p q f p

i p

I

' 2 2

) ( ) '

exp ( ) ( ) '

z z

t

z z z

q p l t

i p p q i l t dt

'

'

', , '

2 2

1exp -i(l-s) t ( ') ' ( ) ( )2

exp ( ) ( ) '

exp ( ) ( ) ' .

z

i tm k q z z z

z z z

t

z z z

N e d f p f p q

i p p q l t

i p p q i l t dt

(3.3)

Lại có:

'

'

'

2 2exp ( ) ( ) '

exp ( ) ( ) '

( ) ( ) '

t

z z z

z z z

z z z

i p p q i l t dt

i p p q i l t

i p p q i l



'

'

'

2 2

exp ( ) ( ) '

exp ( ) ( ) '

1 2 *( ) ( ) '

z z z

t

z z z

z z z

i p q p l t

i p p q i l t dt

i p p q i l

Tương tự:

'

'

'

2 2exp ( ) ( ) '

exp ( ) ( ) '

( ) ( ) '

t

z z z

z z z

z z z

i p p q i l t dt

i p p q i l t

i p p q i l

'

'

'

2 2

exp ( ) ( ) '

exp ( ) ( ) '

1 (3*)( ) ( ) '

z z z

t

z z z

z z z

i p p q l t

i p p q i l t dt

i p p q i l

Thay (2*), (3*) vào (3.3) ta có:

'

2 2' ,, , 2

, ', ,

', , '

,, '

1 1' ( ') ' γ ( )2

1exp i(l-s) t ( ') ' ( ) ( )2

( )

z z

z

z


k l s

i tm k q

m

z z z

z

ki N e d q J J

N e d f p q f p

i p

I

1

( ) 'z zp q i l



'

', , '

1

1exp -i(l-s) t ( ') ' ( ) ( )2

( ) ( ) '

z

i tm k q z z z

z z z

N e d f p f p q

i p p q i l

'

2 2' ,, , 2

, ', ,

'

,

,

,

, '1 1' ( ') ' γ ( )

2

( ) ( )

exp -i s-l ' t1 ( ')2 ( ) ( ) '

z zz

z


k l s

z z z

m k q

z z

m k

z

i N e d q J J

f p q f p

Ni p p l

I

q i

'd

'

'

, ,

( ) ( )

exp -i (l-s) '1 ( ') ' 3.42 ( ) ( ) '

z

z z z

m k q

z z z

f p f p q

tN d

i p p q i l


, , , ,( ')exp -i s-l ' t ' ' ' s-l exp -i 'tz zm k q m k qN d d N

, , , ,( ')exp -i l-s ' t ' ' ' l-s exp -i 'tz zm k q m k qN d d N

Ta có:

'

2 2' ,, , 2

, ', ,

-i 't, ,

'

,, '

1 1' ( ') ' γ ( )2

' s-l e1( ) ( )2 ( ) ( ) '

z z

z

z


k l s

m n qz

k

z z

z z z

mi N e d q J J

Nf p q f

I

pi p p q i l

'd



'

-i 't, ,

'

' l-s e1( ) ( ) ' 3.52 ( ) ( ) '

zm n qz z z

z z z

Nf p f p q d

i p p q i l

Nhận thấy rằng với những l s trong vế phải của (3.5) sẽ cho đóng góp bậc

cao hơn hai của hằng số tương tác điện tử - phonon. Vì vậy ta chỉ lấy l=s và thực

hiện ngắt chuỗi ở bậc hai đối với ,,

,'γ ( )

z

mm kq z

kI q . Đồng thời thực hiện chuyển phổ

Furier cho phương trình (3.5), ta có:

'

2 2, , , 2, ,2

, ',

1

'

,, '

( ) 1 γ ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) '

z

z z

z

m k q m kq z l m k q

p l

z

k

z z z

m

z z

N tq J N t

t

if p q

I

f p p p q i l

'

1

'( ) ( ) ( ) ( ) 'z z z z z zif p f p q p p q i l

(3.6)

Đặt:

'

2 2, 22

,

'

,,

1

', '

1 γ ( )

( ) ( ) ( ) ( ) '

z

z

m kq z l

p l

z

m

z z z z z

kG q J

if p q f p p p q i l

I

'

1

'( ) ( ) ( ) ( ) ' 3.7z z z z z zif p f p q p p q i l

Ta có:

, ,, , , ,

( )( )z

z z

m k qm k q m k q

N tG N t

t

Trong đó: , , zm k qG : là tốc độ thay đổi phonon.



Nếu , , zm k qG >0: gia tăng phonon.

Nếu , , zm k qG <0: hấp thụ phonon.

3.1.2.Tính toán tốc độ thay đổi phonon , , zm k qG .

Đổi biến trong số hạng thứ 2: '; z z zp p q

Phương trình (3.7) có dạng:

'

'

,, '

2 2, 2, , '2

, ',

1

1

1 γ ( ) ( ) ( )

( ) ( ) '

( ) ( ) '

z zz

m km k q q z l z z z

p l

z z z

z z z

m kG q J f p q f p

i p q p i l

i p q p i

I

l

Đặt:

'

'

1

2

1 ( ) ( ) '

1 ( ) ( ) '

z z z

z z z

p q p l

p q p l

Khi đó:

2 2,, 2, , '2

, ',

1 11 2

, '1 γ ( ) ( ) ( )

.

z z

z

m km km k q q z l z z z

p lG q J f p q f p

i i i i

I

2 2, 2,

, , '2, ', 1 2

, '1 1 1γ ( ) ( ) ( ) 3.8

z z

z

mkmk q q z l z z z

p l

mkG q J f p q f p ii i

I

Vì trường laser có tần số cao nên hoàn toàn có thể thực hiện được điều kiện:

1, ( ) .e E

pp

Vì vậy trong 1 2, có thể bỏ qua ' so với và ( )zp Khi đó : 1 2



Sử dụng biến đổi:

1 1 ( )i xx i x

1 1 ( )i xx i x

Ta có:

1 1 2 ( )i xx i x i

Vậy: '

1 2

1 1 12 ( ) ( ) .z z zi p q p li i

Thay vào (3.8), ta có:

'

2 2, 2, , '2

, '

,, '

,

2 γ ( ) ( ) ( )

1 ( ) ( )

z z

z

m km k q q z l z z z

p l

k

z

m

z z

G q J f p q f p

p q p l

I

(3.9)


1ax xa

Ta có: ' '

1 ( ) ( ) ( ) ( )z z z z z zp q p l p q p l

'

2 2, 2, ,

, ',

'

,, '

2 γ ( )

( ) ( ) ( ) ( )

z z

z

m km k q q z l

p l

z z z z z z

m kG q J

f p q f p p

I

q p l

(3.10)

Trong đó: 0e E*

zqm

Xét trong giới hạn trường mạnh: , ta có gần đúng [10,16,17,20]

2 1 ,2l

lJ l

(3.11)

với: ' ( ) ( )z z zp q p



Thay (3.11) vào (3.10), ta có:

' '

2 2,,

,,, '

, ''

,

γ ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) .

z z

z

m km k q q z z z z

p

z z z

m k

z z z

G q f p q f p

p q p p q p

I

(3.12)

Số hạng chứa hàm thứ nhất trong (3.12) thể hiện sự hấp thụ

photon, còn số hạng thứ hai thể hiện sự phát xạ

photon. Khi xét trong giới

hạn trường bức xạ laser mạnh, ta có sự phát xạ và hấp thụ 1

photon. Như

vậy tốc độ thay đổi phonon có cả sự đóng góp của quá trình hấp thụ và phát xạ

photon gây ra.

Ta có thể viết:

, , , ,, , z m k q m k qz zm k qG G G (3.13)

Trong đó:

'

2 2,, , '

, ',

,, 'γ ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

z zz

m km k q q z z z z z z

m kz

pG q f p q f pI p q p

'

2 2,, , '

, ',

,, 'γ ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

z z

z

mkmk q q z z z z z z

mkz

pG q f p q f pI p q p

(3.14)

Sử dụng công thức chuyển tổng thành tích phân:

... ...2

z

zp

L dp

Ta có:

'

2 2,, , '

, '

,, 'γ ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

2z z

mkzmk q z q

mz z z z z

kz z

LG dp q f p q f p pI q p

(3.15)



Xét dây lượng tử hình chữ nhật với hố thế cao vô hạn, ta có:

,,

2

'

2,γ ( )z

m kq z

m kI q không phụ thuộc vào pz, nên:

',, '

2 2,, , '

, '

γ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) .2z z

m kzm k q q z z z z z z z z

m kLG q dp fI p q f p p q p

(3.16)

Đặt: ''( ) ( ) ( ) ( )z z z z z z zG dp f p q f p p q p

2 , 2,, , , '

, 'γ ( ) .

2z z

m kzm k q z

kq

mILG q G

(3.17)

Ta có [18]:

2 2 2 22 2 2 2

* * 2 2 *( )2 2 2

cz zz

x y

p pn lpm m L L m

'

2 22 22 2 2 2

'* * 2 2 *

' '( )2 2 2

z z z z cz z

x y

p q p qn lp qm m L L m

(3.18)

a) Trường hợp tổng quát:

b)

Sự phân bố của điện tử tuân theo hàm phân bố Fermi – Dirac:

12 2

F*F

1( ) = exp 12exp ( ) 1

czz

z

pf pmp

122

' ' F*' F

1( ) = exp 12exp ( ) 1

z z cz z

z z

p qf p q

mp q

(3.19)

'

22 2 2

'* *

2 2 2

' * *

2

*

( ) ( )

2 2

2

z z z

z z c cz

c c z z z

z z

p q p

p q pm m

q p qm m

p qAm

(3.20)



Trong đó: 2 2 2 22 2 2 2 2 2

' * * 2 2 *

' '2 2 2

c c z z

x y

q qn n l lAm m L L m

(3.21)

Tính G

12 2

' F*

12 2 2

F* *

12 2

' F*

( )exp 12

exp 1 .2

( )exp 12

cz zz

cz z z

cz zz

p qG dpm

p p qAm m

p qdpm

1 *2 2 2

F* * 2

12 2*

' F2 *

2 2

F*

exp 1 .2

( )exp 12

exp2

cz zz

z

cz zz

z

cz

A mp q pm m q

p qm dpq m

pm

1 *

21 zz

A mp

q

(3.22)


0 0( ) .f x x x f x

Ta có:

1 1

2 2* ** 2 2

' F F2 * 2 * 2exp 1 exp 1 .2 2

c cz

z z z

A m A mmG qq m q m q

1 12** 2 *

2' F F2 * 2 2 2exp 1 exp 1 .

2 2c c

zz z z

A mm mG q Aq m q q

(3.23)



Thay (3.23) vào (3.17), ta được:

2 2,, , 3

, '

1 12*2 *2

' F F*

,,

2 2

'

2

* γ ( )2

exp 1 exp 1 .2 2

z z

m kzm k q q z

z

c cz

m k

z z

LmG qq

A m mq

I

Am q q

ha

2 2,, , 3

, '

1 12*2 *2

' F F* 2 2 2

2*2

2

,,

*

'* γ ( )

2

exp 1 exp 12 2

exp2

z z

m kzm k q q z

z

c cz

z z

zz

m kL mG qq

A m mq Am q q

A mq

m

I

q

1 1

*2

' F F2 21 exp 1 .2

c c

z

m Aq

(3.24)

Biểu thức (3.24) là biểu thức giải tích của tốc độ gia tăng sóng âm (phonon âm)

giam cầm bởi trường bức xạ laser trong dây lượng tử hình chữ nhật hố thế cao vô

hạn trường hợp hấp thụ nhiều photon.

Ta có:

2*2 22 2

' F ' F* 2 2 2 *

* 22 2

F '2 2 *

*2

F2 2

*2 2 2

2 2

2

c cz z

z z

c c cz

z

c

z

A m mq A A qm q q m

m A A qq m

m Aq



Vậy:

1 12*2 *2

' F F* 2 2 2

1*

2F2 2

*

2 2

exp 1 exp 12 2

exp .exp 12

exp2

c cz

z z

c

z

z

A m mq Am q q

m Aq

mq

12

F 1cA

Đặt: *

2F2 2exp

2c

z

m Aq

Ta có:

2 2, ,,,

, '

1 1

', 3

* γ ( )2

. e x p 1 1

z z

m kzm k q q z

z

m kL mG qIq

X X

(3.25)

Từ (3.25) ta thấy: với , , 0zm k qG luôn cho ta sự hấp thụ sóng âm (phonon âm),

vậy để có sự gia tăng sóng âm (phonon âm) thì , , 0zm k qG , tức là

0

Vậy để có sự gia tăng sóng âm (phonon âm) thì trường bức xạ laser phải thỏa mãn

điều kiện:

0

*ze q E

m

(3.26)

b) Xét trường hợp khí điện tử không suy biến:

Hàm phân bố Fermi – Dirac trở thành hàm phân bố Boltzmann [25]

FF

1( ) exp ( )exp ( ) 1z z

z

f p pp

' F '' F

1( ) exp ( )exp ( ) 1z z z z

z z

f p q p qp q

(3.27)

Kết hợp (3.27) và (3.18), ta có:



2 2

F F *( ) exp ( ) =exp2

czz z

pf p pm

22

' F ' F '*( ) exp ( ) =exp2

z z cz z z z

p qf p q p q

m

(3.28)

'

22 2 2

'* *

2

*

( ) ( )

2 2

z z z

z z c cz

z z

p q p

p q pm m

p qAm

(3.29)

Trong đó: 2 2 2 22 2 2 2 2 2

' * * 2 2 *' '

2 2 2c c z z

x y

q qn n l lAm m L L m

(3.30)

Khi đó:

2 2 2 2 2

F ' F* * *

( )exp exp .2 2

c cz z z z zz

p q p p qG dp Am m m

*) Tính G

2 2

F '*

2 2 2

F * *

2 2

F '*

2 2

F *

( )e x p2

e x p .2

( )ex p2

e x p2

cz zz

cz z z

cz zz

cz

p qG d pm

p p qAm m

p qd pm

pm

*2

* 2

2 2*

F '2 *

*2 2

F * 2

.

( )ex p2

e x p .2

zz

z

cz zz

z

czz

z

A mq pm q

k qm d kq m

A mk km q

(3.31)



Áp dụng công thức: 0 0( ) .f x x x f x

Ta có:

2 2

2 2

F ' F2 * 2 * 2

* ** exp exp2 2

c cz

z z z

A m A mmG qq m q m q

2 2* *

2 2F ' F2 2 2 2 2

* exp exp2 2 * 2

c cz

z z z

qm m mG A A Aq q m q

*

2F2 2 2

* exp exp 12

c

z z

m mG Aq q

(3.32)

Thay (3.32) vào (3.17) ta có:

*2 2 2,

, , F 2,, 2

, ''3

* γ ( ) exp exp 12 2z z

m k czm k q z

z

m kq

z

L m mG q Aq q

I

(3.33)

Từ (3.33) ta thấy , , 0zm k qG , vậy để có sự gia tăng sóng âm (phonon âm) thì , , 0

zmk qG ,

tức là trường bức xạ laser phải thỏa mãn điều kiện: 0

*ze q E

m

(3.34)

Thay (3.33) vào (3.13) ta có:

*2 2 2,, , F3 2 2

, '

*

,

F

'

22

,

2

* γ ( ) exp exp 12 2

exp exp 1 3.352

z z

mm k czmk q q z

z z

c

k

z

Lm mG q Aq q

m A

I

q

Biểu thức (3.35) là biểu thức giải tích của tốc độ gia tăng sóng âm (phonon

âm) giam cầm bởi trường bức xạ laser trong dây lượng tử hình chữ nhật hố thế cao

vô hạn trường hợp hấp thụ nhiều photon với khí điện tử không suy biến.



c) Trường hợp khí điện tử suy biến mạnh, hàm phân bố Fermi – Dirac được lấy gần

đúng là hàm bước nhảy như sau [25]:

FF

1 ( )1( ) ( )0 ( )exp ( ) 1

F zz z

F zz

khi pf p p

khi pp

'' F '

'' F

1 ( )1( ) ( )0 ( )exp ( ) 1

F z zz z z z

F z zz z

khi p qf p q p q

khi p qp q

Vậy ta có thể viết:

2 2

F *( )2

czz

pf pm

22

' F '*( )2

z z cz z

p qf p q

m

Tính G

22 2 2 2

F ' F* * * .2 2

z z c cz z zz

p q p p qG dp Am m m

2 *2 2 2 2

F ' F* * * 2 .2 2

z z c czz z z

A mp q pG dp p qm m m

2 *2 2 2*

F ' F2 * * 2 .2 2

z z c czz z z

A mp q pmG dp p qm m

Theo tính chất hàm δ, ta có:

*

* 2

2 *

2

1

0

z z

z z

z z

A mkhi p qA m

p qA m

khi p q



Ta có:

*2 2 2

2 2 2

F ' F2 * *

2* .

2 2

z z

c czz

A mp q

pmG dpm m

2 22

2 2F ' F2 * *

* .2 2

c czz z z

pmG dp p q Am m

Theo tính chất hàm bước nhảy θ

22 2

2 F '*2 2

F '* 22 2

F '*

12

20

2

cz z

cz z

cz z

khi p q Amp q A

mkhi p q A

m

2 2

2 2 F *

F * 2 2

F *

12

20

2

cz

cz

cz

pkhip mm pkhi

m

Ta có

2'2

2

2 *

22 *

* .

cF z

cF

m A q

zm

mG d p

2'2 2 2

* 2 * 2 *c cF z F

m m mG A q

3/2 2

2'3

2 *2 *

c cF z F

mG A q

m

(3.36)

3/2 22 ,

,

2, 2, , '4

,'

'

*γ ( )

2 *2z z

z m k c cm n q q z F z

mF

kL mG q A q

mI



Ta có:

2

2' 2 *

c c c cF z F F FA q

m

,

, '

3/22 2,

, , 4, '

*γ ( )

2z z

mz m k c cm n q q z F

kF

L mG qI

(3.37)

Từ (3.37) ta thấy , , 0

zmk qG , vậy để có sự gia tăng sóng âm (phonon âm) thì , , 0zm k qG ,

tức là trường bức xạ laser phải thỏa mãn điều kiện:

0

*ze q E

m

(3.38)

3/22 2,

, , 4, '

,, '

*γ ( )

2z z

z m k c cm n q q z F

m kF

c cF F

IL m

G q

(3.39)

Như vậy từ biểu thức (3.26), (3.34), (3.38) ta có điều kiên để có sự gia tăng sóng âm

(phonon âm) là:

0

*ze q E

m

(3.40)

Biểu thức (3.39) là biểu thức giải tích của tốc độ gia tăng sóng âm (phonon

âm) giam cầm bởi cường bức xạ laser trong dây lượng tử hình chữ nhật hố thế cao

vô hạn trường hợp hấp thụ nhiều photon với khí điện tử suy biến mạnh.

Vậy bằng phương pháp phương trình động lượng tử, chúng tôi đã tìm ra biểu

thức giải tích của tốc độ thay đổi sóng âm (phonon âm) giam cầm trong dây lượng

tử hình chữ nhật hố thế cao vô hạn khi có mặt trường laser trong trường hợp tổng

quát (3.24), trường hợp khí điện tử không suy biến (3.35) và trường hợp khí điện tử

suy biến mạnh (3.39), và điều kiện để có sự gia tăng sóng âm (phonon âm) giam

cầm (3.40).



3.2. Tính toán số và vẽ đồ thị kết quả lý thuyết, bàn luận kết quả cho dây

lượng tử GaAs/GaAsAl.

Để làm rõ kết quả lý thuyết đã tìm được ở mục (3.1), trong phần này ta tính

toán số cho tốc độ thay đổi sóng âm (phonon âm) giam cầm bởi trường bức xạ laser

trong dây lượng tử hình chữ nhật hố thế cao vô hạn cho dây lượng tử

GaAs/GaAsAl. Tốc độ thay đổi sóng âm (phonon âm) là hàm của cường độ E0,

nhiệt độ T, tần số trường Ω, kích thước Lx ,Ly của dây lượng tử, số sóng qz, lượng

tử số giam cầm phonon (m, k). Ta tính toán cho dây lượng tử GaAs/GaAsAl với

những thông số cụ thể như sau [22, 24]:

Khối lượng điện tử hiệu dụng: m*=0.067 x 9.1095 x 10-31 (kg)

Điện tích điện tử : e=1.60219 x 10-19 (C)

Hằng số Boltzman: Kb=1.3807 x 10-23 (J/K)

Hằng số planck: =1.05459 x 10-34 (J/s)

Hằng số biến dạng: =2.2 x 10-18 ( J)

Mật độ tinh thể: =5300 kg/m3

Vận tốc sóng âm: sv =5200m/s

Chiều dài của dây: Lz=10000x 10-10 (m)

Năng lượng phonon: =36.25 meV

Năng lượng Fermi: 0.05F eV

Ta có biểu thức giải tích:

2 2,, , 3

, '

112*2 *

2' F F* 2 2 2

2

,, '

*2

* 2

* γ ( )2

exp 1 exp 12 2

exp2

z z

mkzmk q q z

z

c cz

z z

zz

mkLmG qq

A m mq Am q q

A mm q

I

q

1 1

*2

' F F2 21 exp 1 .2

c c

z

m Aq

Trong đó:



222, 2

2z

m kq z

s x y

m kqV L L

là hằng số tương tác điện tử- phonon âm.

Thừa số dạng: , 2 2, ' ,

, 1

(2 )( 1 /) 6m kz m k

m kI q P q

. Trong đó: 2 2 22 ( / ) ( / )z x yq m L k Lq

/2/2

/2 /,

2


y xLx

LL

m kx y x x y yLy


và:

2 2 2 2 2 2 2 2

'* 2 2 * 2 2

' '2 2

c c

x y x y

n l n lm L L m L L

2 2

' *2c c zqA

m

=1/(Kb.T)

Kết quả tính số được trình bày từ hình 3.1 đến hình 3.6:

Hình 3.1:Tốc độ gia tăng sóng âm (phonon âm) giam cầm phụ thuộc vào số sóng qz

với các giá trị khác nhau của nhiệt độ.

Hình 3.1 cho thấy: tốc độ gia tăng sóng âm (phonon âm) giam cầm phụ

thuộc phi tuyến vào số sóng qz. Có vùng tốc độ thay đổi sóng âm (phonon âm) giam

10 15 20 25 30 35-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

5

6

qz ( 108 m-1)

G

( 1

015 s

-1)

T=25KT=77KT=300K



cầm nhận giá trị âm, tức là có sự hấp thụ sóng âm (phonon âm) giam cầm. Tương

ứng với sự tăng của nhiệt độ, các giá trị cực đại giảm và có sự dịch chuyển trong

một vùng nhỏ số sóng qz, khi có sự gia tăng sóng âm (phonon âm), giá trị cực đại

dịch chuyển về phía số sóng nhỏ, ngược lại, khi có sự hấp thụ sóng âm (phonon

âm) giá trị cực đại dịch chuyển về phía số sóng lớn. Nhiệt độ càng thấp, sự thay đổi

sóng âm (phonon âm) giam cầm càng nhạy với số sóng qz.

Từ đồ thị ta thấy, với những điều kiện đặt vào vật liệu ở hình 3.1 sự gia tăng

sóng âm (phonon âm) xảy khi số sóng thuộc khoảng 10. 108 m-1 đến 24,5 .108m-1,

khi số sóng qz lớn hơn 24,5 .108 m-1 bắt đầu có sự hấp thụ sóng âm (phonon âm).

Sự hấp thụ sóng âm (phonon âm) cũng tăng dần đến một giá trị cực đại rồi giảm

đến bằng không, và sau đó hầu như không có sự thay đổi sóng âm (phonon âm).

Như vậy trong cùng một điều kiện đặt vào vật liệu, sóng âm (phonon âm)

gia tăng mạnh ở miền số sóng này và bị hấp thụ mạnh ở miền số sóng khác.

Hình 3.2: Tốc độ gia tăng sóng âm (phonon âm) giam cầm phụ thuộc vào cường độ

trường bức xạ laser với các giá trị khác nhau của tần số trường bức xạ laser.


thuộc phi tuyến vào cường độ trường bức xạ laser E0. Có những vùng tốc độ thay

đổi sóng âm (phonon âm) nhận giá trị âm, tức là có sự hấp thụ sóng âm (phonon

1 2 3 4 5 6 7-10

-8

-6

-4

-2

0

2

4

6

8

10

E0 ( 107 V/m)

G

(

1015

s-1

)

=0,8.1014Hz

=1.1014Hz

=1,2.1014Hz



âm). Tương ứng với sự tăng của tần số trường bức xạ laser, các giá trị cực đại có sự

dịch chuyển theo chiều tăng cường độ trường bức xạ laser, tuy nhiên, giá trị cực đại

này lại không phụ thuộc vào tần số trường bức xạ. Sự hấp thụ sóng âm (phonon

âm) đạt một giá trị cực đại rồi sau đó giảm dần đến một giá trị bão hòa, giá trị bão

hòa này rất nhỏ, gần như bằng không.

Từ đồ thị ta thấy với những điều kiện đặt vào vật liệu trong hình 3.2, sự gia

tăng sóng âm (phonon âm) giam cầm xảy khi cường độ trường laser thuộc khoảng

2,7.107 m-1 đến 6,7.107m-1, khi cường độ trường bức xạ laser lớn hơn 6,7 .107 m-1

tốc độ gia tăng sóng âm (phonon âm) đạt một giá trị bão hòa, giá trị bão hòa này rất

nhỏ, tuy nhiên cường độ trường bức xạ laser để đạt giá trị bão hòa này sẽ tăng cùng

với sự tăng của tần số trường bức xạ laser.


gia tăng mạnh ở miền cường độ trường bức xạ laser này và bị hấp thụ mạnh ở miền

cường độ trường bức xạ laser khác, miền giá trị cường độ trường bức xạ laser để

xảy ra sự gia tăng hay suy giảm sóng âm (phonon âm) giam cầm còn phụ thuộc vào

các điều kiện khác đặt vào vật liệu.

Hình 3.3: Tốc độ gia tăng sóng âm (phonon âm) giam cầm phụ thuộc vào nhiệt độ

với các giá trị khác nhau của số sóng qz.

50 100 150 200 250 300 350 400-10

-5

0

5

10

15

20

T (K)

G

(

1015

s-1

)

qz=7.108 m-1

qz=9.108 m-1

qz=13.108 m-1



Hình 3.4: Tốc độ gia tăng sóng âm (phonon âm) giam cầm phụ thuộc vào

kích thước lượng tử Lx với các giá trị khác nhau của chỉ số lượng tử

đặc trưng cho sự giam cầm phonon


kích thước lượng tử Ly với các giá trị khác nhau của chỉ số lượng tử

đặc trưng cho sự giam cầm phonon

10 15 20 25 30 35 40 45 50-2

-1

0

1

2

3

4

5

Lx (nm)

G

( 1

015 s

-1)

m,k:1->3m,k:1->5m,k:1->7

10 15 20 25 30 35 40 45 50-2

-1

0

1

2

3

4

5

Ly (nm)

G

( 1

015 s

-1)

m,k:1->3m,k:1->5m,k:1->7



Hình 3.3 cho thấy với những điều kiện mà ta đặt vào vật liệu: tốc độ thay đổi

sóng âm (phonon âm) phụ thuộc phi tuyến vào nhiệt độ của hệ và giảm cùng với sự

tăng của nhiệt độ. Tùy thuộc vào giá trị số sóng qz mà với cùng một nhiệt độ ta có

sự gia tăng hay hấp thụ sóng âm (phonon âm) giam cầm.

Hình 3.4 và hình 3.5 cho thấy với những điều kiện đặt vào vật liệu mà ta

khảo sát: tốc độ gia tăng sóng âm (phonon âm) giam cầm phụ thuộc phi tuyến vào

kích thước dây lượng tử Lz,Ly có dạng tương tự nhau. Tốc độ thay đổi sóng âm

(phonon âm) nhận cả giá trị dương và âm, tức là có sự gia tăng và hấp thụ sóng âm

(phonon âm). Khi kích thước lượng tử Lx, Ly đạt giá trị khoảng 10nm bắt đầu có sự

thay đổi sóng âm (phonon âm). Tốc độ hấp thụ sóng âm (phonon âm) đạt cực đại

khi Lx, Ly đạt giá trị khoảng 16nm, và tốc độ gia tăng sóng âm (phonon âm) đạt cực

đại khi Lx, Ly đạt giá trị khoảng 37nm.


tần số trường bức xạ laser với các giá trị khác nhau của nhiệt độ.

1 2 3 4 5 6 7-20

-15

-10

-5

0

5

10

15

20

( 1014 Hz)

G

(

1015

s-1

)

T=25KT=77KT=300K




thuộc phi tuyến vào tần số trường bức xạ laser . Có vùng tốc độ thay đổi phonon

âm nhận giá trị âm, tức là có sự hấp thụ sóng âm (phonon âm) giam cầm. Tương

ứng với sự tăng của nhiệt độ, các giá trị cực đại giảm và có sự dịch chuyển trong

một vùng nhỏ tần số trường bức xạ laser Ω, khi có sự gia tăng sóng âm (phonon

âm), giá trị cực đại dịch chuyển về phía tần số Ω nhỏ, ngược lại, khi có sự hấp thụ

sóng âm (phonon âm) giá trị cực đại dịch chuyển về phía tần số Ω lớn.

Từ hình (3.6) ta thấy, với những điều kiện đặt vào vật liệu trong hình 3.6 sự

gia tăng sóng âm (phonon âm) xảy khi tần số trường bức xạ laser thuộc khoảng

1. 1014 Hz đến 2,4. 1014 Hz , khi tần số trường bức xạ laser lớn hơn 2,4. 1014 Hz

bắt đầu có sự hấp thụ sóng âm (phonon âm). Sự hấp thụ cũng tăng dần đến một giá

trị cực đại rồi giảm xuống.


gia tăng mạnh ở miền tần số trường bức xạ laser này và bị hấp thụ mạnh ở miền tần

số trường bức xạ laser khác.

Nhận xét sự phụ thuộc của tốc độ thay đổi sóng âm (phonon âm) vào chỉ số

lượng tử đặc trưng cho sự giam cầm phonon (m, k): qua biểu thức (3.39) và quá

trình tính số thể hiện ở các hình 3.4 và hình 3.5 ta nhận thấy tốc độ thay đổi sóng

âm (phonon âm) phụ thuộc phi tuyến vào m, k.

So sánh kết quả nhận được khi tính toán tốc độ thay đổi sóng âm (phonon

âm) giam cầm với trường hợp sóng âm (phonon âm) không giam cầm trong dây

lượng tử hình chữ nhật hố thế cao vô hạn:

Biểu thức hệ số gia tăng sóng âm (phonon âm) không giam cầm là: [24]

122

2, ' ' F3 * 2

, '

122

F * 2

* *( ) exp 12 2 2

*exp 12 2

zq q

z

q

L m m qG C qq m q

m qm q



q q qG G G

Trong đó:

, ' ( )2 s

qC qV

0

*e q Em

;

2 22 22 2

' 2 2

''2 *

y yx x

x y

n nn nm L L

(với nx, ny là chỉ số giam cầm điện tử theo hai phương x,y)

Như vậy: so sánh biểu thức tốc độ gia tăng sóng âm (phonon âm) trong

trường hợp sóng âm (phonon âm) giam cầm và sóng âm (phonon âm) không giam

cầm, ta thấy có sự khác biêt là trong trường hợp giam cầm phonon âm, biểu thức

của tốc độ gia tăng phonon âm đã thể hiện sự phụ thuộc vào chỉ số lượng tử đặc

trưng cho sự giam cầm phonon qua biểu thức tường minh của ,γz

m kq và ,

, ' ( )mz

kI q .

Đồ thị tốc độ gia tăng sóng âm (phonon âm) trong dây lượng tử hình chữ

nhật hố thế cao vô hạn (không kể đến sự giam cầm phonon) qua [24] như sau:

Hình 3.7: Tốc độ gia tăng sóng âm (phonon âm) phụ thuộc vào số sóng ứng với

nhiệt độ T=25K (đường chấm), T=77K (đường gạch), T=300K (đường liền)

(trường hợp sóng âm (phonon âm) không giam cầm)[24]



Hình 3.8: Tốc độ gia tăng sóng âm (phonon âm) phụ thuộc vào cường độ trường

bức xạ laser ứng với tần số trường bức xạ laser Ω=1. 1014 Hz (đường liền) , Ω=2.

1014 Hz (đường gạch), Ω=4. 1014 Hz (đường chấm)

(trường hợp sóng âm (phonon âm) không giam cầm) [24]

Như vậy so sánh hình 3.1, hình 3.2 (ứng với trường hợp phonon âm giam

cầm) với hình 3.7, hình 3.8 (ứng với trường hợp chưa kể đến sự giam cầm phonon)

thì tốc độ thay đổi sóng âm (phonon âm) giam cầm có nhiều sự khác biệt với tốc độ

thay đổi sóng âm (phonon âm) khi chưa kể đến giam cầm phonon và đặc biệt là: khi

có sự giam cầm sóng âm (phonon âm) tốc độ thay đổi sóng âm (phonon âm) nhận

cả giá trị âm và dương, tức là có sự gia tăng và hấp thụ sóng âm (phonon âm) (hai

miền gia tăng và hấp thụ liền kề nhau), còn trong trường hợp sóng âm (phonon âm)

không giam cầm thì ta chỉ có một miền gia tăng sóng âm (phonon âm).



KẾT LUẬN. Trong luận văn này, bằng phương pháp sử dụng phương trình động lượng tử

cho hệ điện tử - phonon âm giam cầm trong dây lượng tử hình chữ nhật hố thế cao

vô hạn khi có mặt trường bức xạ laser, chúng tôi thu được kết quả sau:

1) Từ Hamiltonian của hệ điện tử - phonon giam cầm trong dây lượng tử

hình chữ nhật hố thế cao vô hạn khi có mặt trường bức xạ laser, lần đầu tiên tìm

được biểu thức giải tích tường minh của tốc độ gia tăng sóng âm (phonon âm) giam

cầm trong dây lượng tử hình chữ nhật hố thế cao vô hạn, cho cả hai trường hợp khí

điện tử không suy biến và khí điện tử suy biến, cùng với điều kiện để có sự gia tăng

sóng âm (phonon âm) giam cầm. Chỉ ra được sự phụ thuộc của tốc độ gia tăng sóng

âm (phonon âm) giam cầm (G) vào số sóng (qz), cường độ (E0 ) và tần số (Ω) của

trường bức xạ laser, kích thước lượng tử (Lx, Ly) của dây lượng tử, nhiệt độ của hệ

(T), số lượng đặc trưng cho sự giam cầm phonon (m, k).

2) So sánh với trường hợp sóng âm (phonon âm) không giam cầm ta thấy:

Biểu thức của tốc độ gia tăng sóng âm (phonon âm) còn phụ thuộc thêm vào

chỉ số giam cầm của phonon âm.

Kết quả tính số từ biểu thức tổng quát cho dây lượng tử GaAs/GaAsAl thể

hiện được rõ sự phụ thuộc của tốc độ thay đổi sóng âm (phonon âm) giam cầm vào

các đại lượng kể trên, đồng thời chỉ ra rằng có sự gia tăng và suy giảm sóng âm

(phonon âm) trong hai miền liền kề nhau (điều này là khác biệt so với trường hơp

phonon âm không giam cầm chỉ có một miền gia tăng).

Qua kết quả tính số từ biểu thức tổng quát cho dây lượng tử GaAs/GaAsAl

cho thấy có sự xuất hiện trường ngưỡng: chẳng những khi tần số hoặc cường độ

trường bức xạ laser phải đạt đến một giá trị nào đó mới xảy ra gia tăng sóng âm

(phonon âm) (ta gọi là ngưỡng dưới) mà còn tìm thấy, khi tần số hoặc cường độ

trường bức xạ laser lớn hơn một giá trị khác thì hiện tượng gia tăng cũng mất (ta gọi

là ngưỡng trên).



Tµi liÖu tham kh¶o

1. Tiếng Việt.

[1]Nguyễn Quang Báu, Đỗ Quốc Hùng, Vũ Văn Hùng, Lê Tuấn (2004), Lý thuyết

bán dẫn, Nhà xuất bản Đại học Quốc gia Hà Nội, Hà Nội.

[2]Nguyễn Quang Báu, Nguyễn Vũ Nhân, Phạm Văn Bền (2007), Vật lý bán dẫn

thấp chiều, Nhà xuất bản Đại học Quốc gia Hà Nội, Hà Nội.

[3]Nguyễn Quang Báu, Hà Huy Bằng ( 2002 ), Lý thuyết trường lượng tử cho hệ

nhiều hạt, Nhà xuất bản Đại học Quốc gia Hà Nội, Hà Nội.

[4]Nguyễn Quang Báu, Vũ Thanh Tâm, Nguyễn Vũ Nhân (1990), tạp trí nghiên cứu

khoa học kĩ thuật quân sự, số 24, Hà Nội.

[5]Nguyễn Quang Báu, Choumm Navy, Vũ Thanh Tâm, Nguyễn Mạnh Trình

(1997), báo cáo hội nghị vật lý lý thuyết toàn quốc lần thứ 22, Đồ Sơn.

[6]Nguyễn Quang Báu, Nguyễn Vũ Nhân, Vũ Thanh Tâm, Nguyễn Mạnh Trình

(1998), báo cáo hội nghị vật lý lý thuyết toàn quốc lần thứ 23, TP Hồ Chí

Minh.

[7]Nguyễn văn Hùng (2000), Lý thuyết chất rắn, NXB Đại học Quốc gia Hà Nội.

[8]Nguyễn Quốc Hưng (2002), phương trình động lượng tử và sự gia tăng sóng âm

(phonon âm) trong hệ điện tử chuẩn một chiều, khóa luận tốt nghiệp, trường

Đại học Khoa học Tự nhiên, Đại học Quốc gia Hà Nội, Hà Nội.

[9]Đinh Quốc Vượng (1999), tính toán hệ số hấp thụ sóng âm (phonon âm) trong

hố lượng tử với khí điện tử suy biến bằng phương pháp phương trình động

lượng tử, luận văn thạc sĩ Vật lý, Hà Nội.

2. Tiếng Anh

[10]A. L. Troncini and O. A. C. Nunes (1986), Phys. Rev. B33, 4125.

[11]N. Q. Bau, N. V. Nhan, C. Navy (1999), VNU. Journal of Science, Nat.

Sci.,tXV,n2.

[12]C.Kittel, Quantum theory of Solids, John Wiley & Sons, Inc. 1987

[13]E.M.Epstein, Radio in Physics, 18 (1975), 785.



[14]E.M.Epstein, Lett. JEPT, 13 (1971), 511.

[15]J. W. Sakai and O. A. C. Nunes, Sol. Stat. Comm. 74 (1990), 397

[16]J. W. Sakai and O. A. C. Nunes, Sol. Stat.Comm. 64 (1987),1396

[17]L. C. Miranda, J. Phys, C 9 (1976),2971

[18] M. A. Stroscio, Phys. Rev. B 40 (1989) 6428.

[19] N. Nishiguchi, Phys. Rev. B 52 (1995) 5279.

[20]O. A. C. Nunes, Phys. Rev. B 29(1984), 5679

[21]Peiji Zhao, Phys. Rev, B49 (1994), 13589.

[22]L. T. T. Phuong, N. V. Nhan, N. T. Linh, N. Q. Bau (2010), Proc. Natl. Conf.

Theor. Phys. 35, pp. 153-160

[23]T. C. Phong, L. V. Tung, N. Q. Bau, J. Korean Phys. Soc. 53 (2008) 1971.

[24]T. C. Phong, L. Dinh, N. Q. Bau, D. Q. Vuong (2006), Journal of the Korean

Physical Society, Vol. 49, No. 6, December 2006, pp. 2367 ~ 2372

[25]Pagiotis Vasilopoulos and Carolyn M. Van Vliet (1983), J. Math. Phys. 25(5).

[26]R. Mickevicius and V. Mitin, Phys. Rev. B 48, 17194(1993).

[27]N. H. Son, ShmelevG.M, Epstein E.M.,Izv.VUZov USSR , Physics,5(1984),19.



PHỤ LỤC Phần tính số và vẽ đồ thị sự phụ thuộc của hệ số gia tăng sóng âm (phonon

âm) giam cầm trong dây lượng tử hình chữ nhật hố thế cao vô được thực hiện bằng

ngôn ngữ lập trình Matlab trên hệ điều hành Windows.

Phụ lục 1 Lập hàm tính tốc độ gia tăng phonon âm ( sóng âm) giam cầm trong dây

lượng tử hình chữ nhật dưới dạng tổng quát.

%Ham tinh toc do thay doi phonon am duoi dang tong quat:

function ham=chuan(E0,T,om,Ly,Lx,qz,m1,k1)

syms x y

m=(9.1095*1e-31).*0.067;

e=1.60219*1e-19;

kb=1.3807*1e-23;

h=1.05459*1e-34;

e1=2.2*10^(-18);

ro=5300;

vs=5200;

Lz=1000e-10; %do dai day

a=36.25*1.6*10^(-22);

eF=0.05*1.6*10^-19;

beta=1./(kb.*T);

V=Lx*Ly*Lz;%the tich day hinh chu nhat

hesoI=(m.*Lz)./(2.*h^3.*qz);

mu=(e.*h.*qz.*E0)./(m.*om);

ham1=0;

for l=1:4

for n=1:4

for lphay=1:4

for nphay=1:4



for m0=1:m1

for k=1:k1

q=sqrt(qz.^2+(m0.*pi./Lx).^2+(k.*pi./Ly).^2);

gama=sqrt((h.*e1^2).*q.^2./(2.*ro.*vs.*V));

P=int(((2./Lx).*int(((2.*Ly).*cos(n.*pi.*x./Lx).*cos(l.*pi.*y./Ly)*cos(nphay.*pi.*x

./Lx)...

.*cos(lphay.*pi.*y./Ly).*cos(m0.*pi.*x./Lx).*cos(k.*pi.*y./Ly)),y,(-

Ly./2),(Ly./2))),x,(-Lx./2),(Lx./2));

I=(2.*pi).^2.*16.*P.^2./q;

eanpha=h.^2.*pi.^2./(2.*m).*(n.^2./(Lx.^2)+l.^2./(Ly.^2));

eanphaphay=h.^2.*pi.^2./(2.*m).*(nphay.^2./(Lx.^2)+lphay.^2./(Ly.^2));

A=(h.^2.*pi.^2./(2.*m)).*((nphay.^2-n.^2)./(Lx.^2)+(lphay.^2-

l.^2)./(Ly.^2))+(h.^2.*qz.^2)./(2.*m)-a;

Ic=((exp(beta.*((h.^2)./(2.*m).*(m./(h.^2.*qz).*(A+mu)-

qz).^2+eanphaphay-eF))+1).^(-1)-

(exp(beta.*(m./(2.*h.^2.*qz.^2).*(A+mu).^2+eanpha-eF))+1).^(-1));

It=((exp(beta.*((h.^2)./(2.*m).*(m./(h.^2.*qz).*(mu-

A)+qz).^2+eanphaphay-eF))+1).^(-1)-(exp(beta.*(m./(2.*h.^2.*qz.^2).*(mu-

A).^2+eanpha-eF))+1).^(-1));

ham1=ham1+gama.^2.*I.^2.*(Ic+It);

end

end

end

end

end

end

ham=hesoI.*ham1;



Phụ lục 2 Chương trình vẽ đồ thị sự phụ thuộc của tốc độ gia tăng phonon âm giam cầm

vào số sóng ứng với các giá trị khác nhau của nhiệt độ.

%hinh2: su phu thuoc G vao vecto song theo phuong z: qz;

clear all;close all;clc;

T1=25;

T2=77;

T3=300;

E0=8e+7;

m1=2;k1=2;

Lx=150e-10;

Ly=200e-10;

om=1e+14;

figure(1)

qz=linspace(10e8,35e+8,500);

y1=chuan(E0,T1,om,Ly,Lx,qz,m1,k1);



plot(qz/1e8,y1/1e15,'k','linewidth',1.5);hold on;grid on

plot(qz/1e8,y2/1e15,'--k','linewidth',1.5)

plot(qz/1e8,y3/1e15,':k','linewidth',1.5)

legend('T=25K','T=77K','T=300K')

xlabel('q_z (\times 10^8 m^-1)')

ylabel('G (\times 10^15 s^-1)')



Phụ lục 3. Chương trình vẽ đồ thị sự phụ thuộc của tốc độ gia tăng phonon âm giam

cầm vào cường độ trường bức xạ laser ứng với các giá trị khác nhau của tần số

trường bức xạ laser.

%hinh3: su phu thuoc G vao E


T=77;

Lx=150e-10;

Ly=200e-10;

m1=2;k1=1;

qz=10e8;

om1=0.8e14;

om2=1e14;

om3=1.2e14;

E0=linspace(1e7,7e7,1000);

y1=chuan(E0,T,om1,Ly,Lx,qz,m1,k1);



figure(4)

plot(E0/1e7,y1/1e15,'k','linewidth',1.5);hold on;grid on

plot(E0/1e7,y2/1e15,'--k','linewidth',1.5);

plot(E0/1e7,y3/1e15,':k','linewidth',1.5);

legend('\Omega=0,8.10^14Hz','\Omega=1.10^14Hz','\Omega=1,2.10^14Hz')

xlabel('E_0 (\times 10^7 V/m)')





vào nhiệt độ ứng với các giá trị khác nhau của số sóng.

%hinh4: su phu thuoc G vao nhiet do voi 3 gia tri khac nhau cua m,k


Lx=150e-10;

E0=8e7;

om=2.3e+14;

m1=2;k1=2;

Ly=200e-10;

qz1=7e8;

qz2=9e8;

qz3=13e8;

T=linspace(50,400,500);

y1=chuan(E0,T,om,Ly,Lx,qz1,m1,k1);



figure(5)

plot(T,y1/1e15,'k','linewidth',1.5);hold on;grid on

plot(T,y2/1e15,'--k','linewidth',1.5);

plot(T,y3/1e15,':k','linewidth',1.5);

legend('q_z=7.10^8 m^-1','q_z=9.10^8 m^-1','q_z=13.10^8 m^-1')

xlabel('T (K)')




Phụ lục 5 Chương trình vẽ đồ thị sự phụ thuộc của tốc độ gia tăng phonon âm giam

cầm vào kích thước lượng tử Lx ứng với các giá trị khác nhau của chỉ số lượng

tử giam cầm phonon.

%hinh5: su phu thuoc G vao kich thuoc luong tu cua day luong tu Lx với 3 gia trị

m,k;


T=77;

E0=3e+7;

Ly=150e-10;

m1=3;k1=3;

m2=5;k2=5;

m3=7;k3=7;

qz=10e+8;

om=1e+14;

figure(3)

Lx=linspace(100e-10,500e-10,500);

y1=chuan(E0,T,om,Ly,Lx,qz,m1,k1);



plot(Lx/1e-9,y1/1e15,'k','linewidth',1.5);hold on;grid on

plot(Lx/1e-9,y2/1e15,'k--','linewidth',1.5);

plot(Lx/1e-9,y3/1e15,':k','linewidth',1.5);

legend('m,k:1->3','m,k:1->5','m,k:1->7')

xlabel('L_x (nm)')




Phụ lục 6 Chương trình vẽ đồ thị sự phụ thuộc của tốc độ gia tăng phonon âm giam

cầm vào kích thước lượng tử Ly ứng với các giá trị khác nhau của chỉ số lượng

tử giam cầm phonon.

%hinh6: su phu thuoc G vao kich thuoc luong tu cua day luong tu Ly voi 3 gia tri

m,k;


T=77;

E0=3e+7;

Lx=150e-10;

m1=3;k1=3;

m2=5;k2=5;

m3=7;k3=7;

qz=10e+8;

om=1e+14;

figure(3)

Ly=linspace(100e-10,500e-10,500);




plot(Ly/1e-9,y1/1e15,'k','linewidth',1.5);hold on;grid on

plot(Ly/1e-9,y2/1e15,'k--','linewidth',1.5);

plot(Ly/1e-9,y3/1e15,'k.','linewidth',1.5);

legend('m,k:1->3','m,k:1->5','m,k:1->7')

xlabel('L_y (nm)')





vào tần số trường bức xạ laser ứng với các giá trị khác nhau của nhiệt độ.

%hinh7: su phu thuoc G vao tan so photon voi 3 gia tri nhiet do;


h=1.05459*1e-34;

e=1.60219*1e-19;

T1=25;

T2=77;

T3=300;

E0=8e+7;

Lx=150e-10;

Ly=200e-10;

m1=2;k1=2;

qz=10e8;

figure(5)

om=linspace(1e14,7e14,500);




plot(om/1e14,y1/1e15,'k','linewidth',1.5);hold on;grid on

plot(om/1e14,y2/1e15,'--k','linewidth',1.5);

plot(om/1e14,y3/1e15,':k','linewidth',1.5);

legend('T=25K','T=77K','T=300K')

xlabel('\Omega (\times 10^14 Hz)')


mỞ ĐẦu - hus.vnu.edu.vn · hấp thụ phonon), bởi trường sóng điện từ do tương...

Documents