m1 _ buku siap osn matematika untuk sp - mts ( 2016 ) _ sample
TRANSCRIPT
7/23/2019 M1 _ Buku Siap OSN Matematika Untuk SP - MTs ( 2016 ) _ Sample
http://slidepdf.com/reader/full/m1-buku-siap-osn-matematika-untuk-sp-mts-2016-sample 1/23
7/23/2019 M1 _ Buku Siap OSN Matematika Untuk SP - MTs ( 2016 ) _ Sample
http://slidepdf.com/reader/full/m1-buku-siap-osn-matematika-untuk-sp-mts-2016-sample 2/23
SIAP OSN
MATEMATIKAUntuk SMP/MTs
Siap Kompetisi Regional, Nasional, dan Internasional
7/23/2019 M1 _ Buku Siap OSN Matematika Untuk SP - MTs ( 2016 ) _ Sample
http://slidepdf.com/reader/full/m1-buku-siap-osn-matematika-untuk-sp-mts-2016-sample 3/23
2
OPER SI LJ B R
(ALGEBRAIC OPERATION)
A. SUKU TUNGGAL DAN SUKU BANYAK
i. Bentuk aljabar 3a , –3ab2 disebut suku tunggal (monomial)
ii. Bentuk aljabar –2x + 3 y disebut suku dua (binomial)
iii. Bentuk aljabar mn – pq + 7, dan x2 – xy + y2 disebut suku tiga (trinomial)
iv. Bentuk aljabar dengan lebih dari 3 suku disebut suku banyak ( polinomial)
Contoh:
2a – 3b + 4c – 5, x3 – 2x2 + 3x + 5, dan x3 + 2x2 y + 3xy2 + 4xy + x + y + 2.
Perhatikan bentuk –2x2 y + 5, –2 dan 5 disebut koefisien (tetapi secara umum
“5” dianggap bilangan konstan sehingga disebut konstanta), x dan y disebut
variabel atau peubah, dan angka 2 pada x2 disebut pangkat atau derajat.
Pada bentuk –2x2 y; –2, x , x2 , dan y disebut faktor dari –2x2 y.
B. SIFAT-SIFAT OPERASI ALJABAR
Jika m , n , dan p adalah bilangan bulat, maka:
1. m + n = n + m. (sifat komutatif pada penjumlahan)
2. (m + n) + p = m + (n + p). (sifat asosiatif pada penjumlahan)
3. m (n + p) = m n + m p (sifat distributif)
4. m n = n m. (sifat komutatif pada perkalian)
5. (m n) p = m (n p). (sifat asosiatif pada perkalian)
6. m + 0 = m (elemen identitas pada penjumlahan)
7. m 1 = m (elemen identitas pada perkalian)
8. m + (–m) = 0 (invers penjumlahan)
9. 1
1m
m
= 1 (invers perkalian)
10.
Jika m n = m
p dan m 0, maka n = p (cancellation)
7/23/2019 M1 _ Buku Siap OSN Matematika Untuk SP - MTs ( 2016 ) _ Sample
http://slidepdf.com/reader/full/m1-buku-siap-osn-matematika-untuk-sp-mts-2016-sample 4/23
3
C. PEMANGKATAN BENTUK ALJABAR
(a + b)2 = a2 + 2ab + b2
(a – b)2 = a2 – 2ab + b2
(a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 = a3 + b3 + 3ab(a + b)
(a – b)3 = a3 – 3a2b + 3ab2 – b3 = a3 – b3 – 3ab(a – b)
(a + b)4 = (a + b)(a3 + 3a2b + 3ab2 + b3) = x4 + 4x3 + 6x2 y2 + 4xy3 + y3
(a – b)4 = (a – b)( a3 – 3a2b + 3ab2 + b3) = x4 – 4x3 + 6x2 y2 – 4xy3 + y3
(x + y + z)2 = x2 + y2 + z2 + 2xy + 2xz + 2 yz
D. BENTUK FAKTORISASI KHUSUS
1. Jumlah dan selisih dari dua bentuk aljabar kuadrat.
x2 + y2 = (x + y)2 – 2xy
x2 + y2 = (x – y)2 + 2xy
x2 – y2 = (x + y)(x – y)
2.
Jumlah dan selisih dari dua bentuk aljabar kubik.
x3 + y3 = (x + y)(x2 – 2xy + y2)
x3 – y3 = (x – y)(x2 + 2xy + y2)
x3 + y3 = (x2 + y2)(x + y) – xy(x + y) = (x + y)3 – 3xy(x + y)
x3 – y3 = (x2 + y2)(x – y) – xy(x – y) = (x – y)3 + 3xy(x – y)
3.
Jumlah dan selisih dari dua bentuk aljabar berpangkat n.
xn + yn = (x + y)( xn – 1 – xn – 2 y1 + xn – 3 y2 + + yn – 1) → n ganjil
xn – yn = (x – y)( xn – 1 + xn – 2 y1 + xn – 3 y2 + + yn – 1) → n
7/23/2019 M1 _ Buku Siap OSN Matematika Untuk SP - MTs ( 2016 ) _ Sample
http://slidepdf.com/reader/full/m1-buku-siap-osn-matematika-untuk-sp-mts-2016-sample 5/23
12
5.
Misalkan m dan n adalah bilangan bulat positif yang memenuhi1 1 4
7m n
.
Nilai m2 + n2 adalah
Jawab:
1 1 4
7m n
→ m + n = 4x dan mn = 7x
Artinya bahwa m + n kelipatan 4 dan mn kelipatan 7, sehingga:
1 1 8
14m n →
1 1 1 7
14 14m n →
1 1 1 1
14 2m n
m2
+ n2
= 142
+ 22
= 196 + 4 = 200
Jadi, nilai m2 + n2 = 200
6. Diberikan dua buah bilangan:
x = 201520152015 2016201620162016
y = 201620162016 2015201520152015
Hitunglah nilai dari (x – y)2016.
Jawab:
x = 201520152015 2016201620162016
= 2015(100010001) 2016(1000100010001)
y = 201620162016 2015201520152015
= 2016(100010001) 2015(1000100010001)
Oleh karena x = y , maka diperoleh (x – y)2016 = ( y – y)2016 = 02016 = 0
Jadi, nilai dari (x – y)2016 = 0.
7. Diketahui1 20152016
1 20132014
1
1
a
b
c
de
.
dengan a , b , c , d , e bilangan bulat positif, maka tentukanlah a + b + c + d + e.
7/23/2019 M1 _ Buku Siap OSN Matematika Untuk SP - MTs ( 2016 ) _ Sample
http://slidepdf.com/reader/full/m1-buku-siap-osn-matematika-untuk-sp-mts-2016-sample 6/23
13
Perhatikan bahwa 10001
10066007
20152016 100760081
20132014 10066007 . Maka a = 1.
Setiap bagian pecahan dibalik 1
1
1
b
c
de
5001
10001
100660071006
10001 . Maka b = 1006.
Dengan cara yang sama, 5000
5001
100011
5001
. Maka c = 1.
Lakukan seperti cara di atas, 1
5000
50011
5000 . Maka d = 1, e = 5000.
Jadi, a + b + c + d + e = 1 + 1006 + 1 + 1 + 5000 = 6009.
8. Hitunglah:12
112
112
112
1
Jawab:
Misal12
112
112
112
1
x
x =12
1x
kedua ruas dikali x
x2 = x + 12
x2 – x – 12 = 0
(x – 4)(x + 3) = 0 → x = 4 atau x = –3
Jawab:
7/23/2019 M1 _ Buku Siap OSN Matematika Untuk SP - MTs ( 2016 ) _ Sample
http://slidepdf.com/reader/full/m1-buku-siap-osn-matematika-untuk-sp-mts-2016-sample 7/23
19
E.
FUNGSI KUADRAT (PERSAMAAN PARABOLA)
Bentuk umum fungsi kuadrat: f (x) = ax2 + bx + c , dengan a , b , c , a ≠ 0.
Grafik fungsi kuadrat disebut parabola, adapun sifat-sifatnya yaitu:
Titik ekstrim (nilai maksimum atau minimum)
2e
bx
a dan
4e
D y
a
Dengan ex : sumbu simetri
e y : nilai ekstrim (nilai stasioner, nilai maksimum, nilai minimum)
Cara menggambar grafik (kurva) fungsi kuadrat:
Tentukan titik potong dengan sumbu x = 0 dan y = 0.
Tentukan titik potong terhadap sumbu x = 0 dan y = 0.
Tentukan koordinat titik puncaknya.
Tentukan a > 0 atau a < 0 (berdasarkan sifat-sifat grafik fungsi kuardat)
x
y
a > 0 dan D > 0
x
y
a < 0 dan D > 0
x
y
a > 0 dan D = 0
x
y
a < 0 dan D = 0
x
y
a < 0 dan D < 0
(definit negatif)
x
y
a > 0 dan D < 0
(definit positif)
7/23/2019 M1 _ Buku Siap OSN Matematika Untuk SP - MTs ( 2016 ) _ Sample
http://slidepdf.com/reader/full/m1-buku-siap-osn-matematika-untuk-sp-mts-2016-sample 8/23
28
PERS M N LINE R
(LINEAR EQUATION )
A.
PENGERTIAN PERSAMAAN
Persamaan linear satu variabel adalah persamaan berbentuk ax + b = 0
dengan a , b dan a 0, dan
x : variabel real
a : koefisien x
b : konstanta
Persamaan linear dua variabel adalah persamaan berbentuk ax + by + c = 0
dengan a , b , c , dan a dan b tidak keduanya nol, dimanax : variabel real
a : koefisien x
b : konstanta
Sifat-sifat:
Misal l adalah persamaan linear, maka:
Penambahan dan pengurangan bilangan di kedua ruas persamaan l , tidak
mengubah solusi persamaan tersebut.
Perkalian bilangan tidak nol di kedua ruas pada persamaan l , tidak
mengubah solusi persamaan tersebut.
B.
SELESAIAN PLDV
Penentuan solusi (penyelesaian) PLDV dapat dilakukan dengan menerka
atau dengan melakukan operasi aljabar. Solusi PLDV dalam himpunan
bilangan bulat dikenal sebagai persamaan Diophantine.
Misalkan a , b , dan c bilangan real dan a , b keduanya tidak nol.
Himpunan penyelesaian persamaan linear ax + by = c adalah
himpunan semua pasangan (x , y) yang memenuhi persamaan
linear tersebut.
7/23/2019 M1 _ Buku Siap OSN Matematika Untuk SP - MTs ( 2016 ) _ Sample
http://slidepdf.com/reader/full/m1-buku-siap-osn-matematika-untuk-sp-mts-2016-sample 9/23
29
1.
Solve the equation
1 3 10 62
5 713 2 2
x xx x
x
Solution:
Since the given equation contains complex fractions in both sides, it is better
to simplify each side separately first. From
1 3
5 1 3 15 2 1 16 251 1
3 15 15 15
xx x x x x
10 6
2 14 10 6 10 137
2 2 2 14 14
xx x xx x x
It follows that
16 2 10 13
15 14
x x
14 16 2 15 10 13x x
224 – 28x = 150 – 195x
167x = –74
74
167x
2.
Andi dalam tiga hari berturut-turut membelanjakan uangnya untuk
membeli keperluan sekolah. Pada hari Minggu dia menghabiskan1
2 dari
uang yang dimilikinya. Pada hari Senin, dia menghabiskan uangnya Rp
4.000,00 lebih sedikit dari uang yang dibelanjakan hari Minggu. Sementara
uang yang dibelanjakan pada hari selasa hanya1
3 dari belanja hari Senin.
Sekarang dia masing memiliki uang sisa belanja sebanyak Rp 1.000,00.
Tentukan uang Andi sebelum dibelanjakan.
Problem solving
7/23/2019 M1 _ Buku Siap OSN Matematika Untuk SP - MTs ( 2016 ) _ Sample
http://slidepdf.com/reader/full/m1-buku-siap-osn-matematika-untuk-sp-mts-2016-sample 10/23
30
Jawab:
Diketahui:
Misal banyak uang Andi sebelum dibelanjakan = x rupiah, sehingga:
Belanja hari Minggu =1
2x
Belanja hari Senin =1
40002
x .
Belanja hari Selasa =1
40003 2
x
.
Untuk menyelesaiakan kasus ini, maka buat persamaan linearnya.
14.000 4.000 1.000
2 2 3 2
x x xx
(1)
4.0004.000 1.000
2 2 6 3
x x xx
6x = 3x + 3x –
24.000 + x –
8.000 + 6.000x = 26.000
Dengan demikian, uang Andi mula-mula adalah Rp 26.000,00
3.
Di sebuah desa, terdapat sepasang manula yang tinggal di rumah tua. Pada
saat sensus penduduk awal tahun 2013, kakek dan nenek tersebut belum
memiliki KTP. Untuk pembuatan KTP, kakek dan nenenk tersebut diminta
data tanggal lahir mereka, tetapi mereka tidak pernah mengetahui tahun
lahir mereka. Mereka hanya mengingat bahwa saat menikah, selisih umurmereka 3 tahun. Saat itu nenek berusia 20 tahun, yaitu 11 tahun setelah
proklamasi. Dapatkah kita ketahui tahun lahir mereka?
Jawab:
Misal: umur kakek = K tahun dan umur nenek = N tahun,
tahun lahir kakek = TK dan tahun lahir nenek = TN
K – N = 3
7/23/2019 M1 _ Buku Siap OSN Matematika Untuk SP - MTs ( 2016 ) _ Sample
http://slidepdf.com/reader/full/m1-buku-siap-osn-matematika-untuk-sp-mts-2016-sample 11/23
31
Nenek berusia 20 tahun, yaitu 11 tahun sesudah proklamasi 1945. Jika
sekarang awal tahun 2013 maka usia nenek adalah:
N = (20 – 11) + (2013 – 1945) atau N = 77 sehingga dengan K – N = 3 diperoleh
K = 80
Selanjutnya kita mendapatkan dugaan tahun lahir mereka dengan:
Tahun lahir + Usia = Tahun sekarang
Sehingga dugaan tahun lahir mereka adalah:
TN + 77 = 2013 dan TK + 80 = 2013
Bila persamaan (2) diselesaiakan maka TN = 1936 dan TK = 1933
Dengan demikian, tahun lahir nenek dan kakek adalah 1936 dan 1933.
4. Umur ayah 4 tahun yang lalu adalah 2/3 kali umur ayah pada c tahun yang
akan datang, (c adalah bilangan bulat positif). Sekarang, umur ayah adalah
27 tahun lebihnya dari 1/5 umurnya pada 7 tahun lalu. Tentukan nilai c.
Jawab:
Misalkan umur ayah sekarang adalah x tahun.
Berdasarkan informasi masalah di atas, dapat dituliskan:
2
43
x x c → x = 2c + 12
1
7 275
x x → 4x – 128 = 0
→ x = 32
Substitusikan x = 32 ke x = 2c + 12 diperoleh 32 = 2c + 12 atau c = 10
Jadi, umur ayah saat ini adalah 32 tahun.
5. Agung mempunyai satu bundel tiket piala Dunia untuk dijual. Pada hari
pertama terjual 10 lembar tiket, hari kedua terjual setengah dari tiket yang
tersisa dan pada hari ketiga terjual 5 lembar tiket. Bila tersisa 2 lembar tiket,
maka banyak tiket dalam satu bundel adalah …
7/23/2019 M1 _ Buku Siap OSN Matematika Untuk SP - MTs ( 2016 ) _ Sample
http://slidepdf.com/reader/full/m1-buku-siap-osn-matematika-untuk-sp-mts-2016-sample 12/23
32
Jawab:
Misal banyak tiket dalam satu bundel = a , maka:
1010 5 2
2
a
a
→
kedua ruas dikali 2
2 20 10 10 4a a
2 20 10 10 4a a
24a
Jadi, banyak tiket dalam satu bundel adalah 24 tiket.
6.
Tentukan nilai x yang memenuhi dari persamaan berikut:
a. 5 2 23 9
x x
b.
1
2 3 12
16
x
x
c. 42 3 132 128
x x
Jawab:
a.
5 2 23 9
x x
2
5 2 23 3
xx
5x – 2 = 2x + 4
3x = 6
x = 2
b.
1
2 3 12
16
x
x
1
2 3
4
12
2
x
x
1
2 3 42 2
xx
2x + 3 = –4x – 4
6x = –7
7
6x
c. 42 3 132 128
x x
2 3 1
5 742 2x x
410 15 7 72 2
x x
10 15 7 7
2 42 2
x x
10 15 7 7
2 4
x x
20x – 30 = 7x + 7
13x = 37
37
13x
7/23/2019 M1 _ Buku Siap OSN Matematika Untuk SP - MTs ( 2016 ) _ Sample
http://slidepdf.com/reader/full/m1-buku-siap-osn-matematika-untuk-sp-mts-2016-sample 13/23
7/23/2019 M1 _ Buku Siap OSN Matematika Untuk SP - MTs ( 2016 ) _ Sample
http://slidepdf.com/reader/full/m1-buku-siap-osn-matematika-untuk-sp-mts-2016-sample 14/23
166
SELEKSI TINGKAT KABUPATEN KOTA 2003
BAGIAN A: SOAL PILIHAN GANDA
1.
44 + 44 + 44 + 44 = …
a. 27 b. 210 c. 1034 d. 54 e. 512
2. Kelipatan persekutuan terkecil dari 210, 42, dan 70 adalah ...
a.
14 b. 210 c. 420 d. 7 e. 1260
3.
Joko tidur malam dari pukul 9.20 dan bangun pagi pukul 4.35. Ia tidur
selama …
a. 4 jam 45 menit
b. 5 jam 15 menit
c. 5 jam 45 menit
d. 7 jam 15 menit
e. 19 jam 15 menit
4.
Gabah hasil panen sawah mempunyai kadar air 25%. Setelah dijemur kadar
airnya menyusut sebanyak 80%. Kadar air gabah tersebut saat ini adalah …
a.
2,5% b. 5% c. 10% d. 15% e. 2%
5. Jika a dan b adalah bilangan bulat genap dengan a > b , maka banyaknya
bilangan bulat ganjil diantara a dan b adalah ...
a.
2
a b c.
2
2
a b e. Tidak dapat
b. a – b d. a – b + 1
6. Di dalam suatu lingkaran yang berjari-jari 4 cm dibuat persegi ABCD ,
sehingga titik sudut persegi tersebut berada pada lingkaran. Luas persegi
ABCD adalah …
a. 64 cm2 c. 16 cm2 e. 4 cm2
b.
32 cm2 d. 8 cm2
7/23/2019 M1 _ Buku Siap OSN Matematika Untuk SP - MTs ( 2016 ) _ Sample
http://slidepdf.com/reader/full/m1-buku-siap-osn-matematika-untuk-sp-mts-2016-sample 15/23
167
7. Kendaraan A berjalan dengan laju 60 km/jam. Dua jam berikutnya
kendaraan B berjalan dengan laju 80 km/jam berangkat dari tempat dan
menuju arah yang sama. Setelah berapa jam kendaraan B menyusul
kendaraan A?
a. 2 jam c. 4 jam e. 6 jam
b. b. 3 jam d. 5 jam
8.
Pada gambar disamping, ABCD adalah persegi dan ABE adalah segitiga
sama sisi. Besar sudut DAE adalah ...
a. 15 c. 45 e. 75
b.
30 d. 60
9. Faktorisasi prima dari 5220 adalah ...
a. 22 ∙ 32 ∙ 145 c. 22 ∙ 32 ∙ 5 ∙ 29 e. 22 ∙ 35 ∙ 5
b. 22 ∙ 33 ∙ 5 ∙ 9 d. 24 ∙ 3 ∙ 5 ∙ 7
10.
Harga sepotong kue turun dari Rp. 250,00. menjadi Rp.200,00 Dengan uang
Rp. 4.000,00, berapa potong kue lebih banyak yang dapat dibeli.
a.
4 b. 8 c. 20 d. 2 e. 6
BAGIAN B: SOAL ISIAN SINGKAT
1. Dengan menggunakan angka-angka 1, 1, 2, 2, 3, 3, 4, 4 bilangan 8 angka
terbesar yang dapat dibentuk dengan syarat kedua angka 1 dipisahkan oleh
satu angka yang lain, kedua angka 2 dipisahkan oleh dua angka, keduaangka 3 dipisahkan oleh tiga angka, dan kedua angka 4 dipisahkan oleh
empat angka adalah ...
2.
Hasil suatu bilangan genap dan suatu bilangan ganjil adalah 840. Bilangan
ganjil yang terbesar yang memenuhi syarat tersebut adalah ...
3. Jumlah dua bilangan sama dengan 12. Hasil kali dua bilangan tersebut
nilainya akan paling besar jika salah satu bilangannya adalah ...
A B
D CE
7/23/2019 M1 _ Buku Siap OSN Matematika Untuk SP - MTs ( 2016 ) _ Sample
http://slidepdf.com/reader/full/m1-buku-siap-osn-matematika-untuk-sp-mts-2016-sample 16/23
168
4. Perhatikan gambar berikut.
Banyaknya bulatan hitam pada gambar kesepuluh nantinya adalah ...
5.
Banyaknya segitiga pada gambar berikut adalah ...
6. Gambar bangun berikut disusun oleh 5 persegi
yang kongruen. Kalau keliling bangun ini 72 cm,
maka luas bangun tersebut adalah ...
7.
Gambar bangun berikut, ABCD adalah
persegi dengan sisi 6 satuan. Titik E dan F
membagi diagonal AC menjadi tiga bagian
sama panjang. Luas segitiga DEF = ...
8. Diketahui sebuah bak berbentuk balok yang terisi penuh dengan air. Bak
tersebut akan dikosongkan dengan menggunakan pompa yang mampu
menyedot air 0,7 liter per detik. Dalam waktu 30 menit bak dapat
dikosongkan tanpa sisa. Jika luas alas bak adalah 10500 cm2 , maka tinggi bak
tersebut adalah ...
9.
Hasil operasi terbesar yang dapat diperoleh dari
penempatan angka-angka 4, 6, 7, dan 8 pada
kotak-kotak yang tersusun seperti di bawah ini
adalah ...
10. Pada sebuah peta dengan skala 1 : 100.000, luas tanah sebuah sekolah adalah
50 cm2. Luas tanah sekolah tersebut pada peta dengan skala 1 : 200.000
adalah ...
A B
C
D
E
F
+
7/23/2019 M1 _ Buku Siap OSN Matematika Untuk SP - MTs ( 2016 ) _ Sample
http://slidepdf.com/reader/full/m1-buku-siap-osn-matematika-untuk-sp-mts-2016-sample 17/23
304
SELEKSI TINGKAT NASIONAL 2 3
A. SOAL HARI PERTAMA
1.
Pola ABBCCCDDDDABBCCCDDDDABBCCCDDDD… berulang sampaitak terhingga. Huruf apakah yang menempati urutan ke 2533?
2. Buktikan bahwa jika a > 2 dan b > 3, maka ab + 6 > 3d + 2b.
3. Diberikan persegipanjang ABCD dengan ukuran 16 cm 25 cm, EBFG
layang-layang, dan panjang AE = 5 cm. Tentukan panjang EF!
4. Perhatikan kumpulan pernyataan berurut berikut.
Diketahui bahwax = 1
Karena x = 1 maka x2 = 1
Sehingga x2 = x
Akibatnya, x2 – 1 = x – 1
(x – 1) (x + 1) = (x – 1) ∙ 1
Dengan aturan pencoretan, diperoleh x + 1 = 1
1 + 1 = 1
2 = 1
Pertanyaannya:
a.
Kalau 2 = 1, maka setiap bilangan asli pasti sama dengan 1. Tunjukkan!
b. Hasil 2 = 1 adalah sesuatu yang tidak mungkin. Tentu ada yang salah di
dalam argumen di atas? Dimanakah letak kesalahannya? Mengapa itu
kamu anggap salah?
B F C
G
D A
B
25cm
16 cm
7/23/2019 M1 _ Buku Siap OSN Matematika Untuk SP - MTs ( 2016 ) _ Sample
http://slidepdf.com/reader/full/m1-buku-siap-osn-matematika-untuk-sp-mts-2016-sample 18/23
305
5.
Untuk menghitung (1998)(1996)(1994)(1992) 16 .
seseorang melakukannya dengan cara sederhana sebagai berikut: 20002 – 2
5 2000 + 52 – 5? Apakah cara yang dilakukan orang itu dapat
dibenarkan? Mengapa?
6. Untuk menarik minat pelanggan, suatu restoran penjual makanan cepat saji
memberi kan kupon berhadiah kepada setiap orang yang membeli makanan
di restoran tersebut dengan nilai lebih dari Rp 25.000,-. Di balik setiap kupon
tersebut, tertera salah satu dari bilangan-bilangan berikut: 9, 12, 42, 57, 69,
21, 15, 75, 24 dan 81. Pembeli yang berhasil mengumpulkan kupon dengan
jumlah bilangan di balik kupon tersebut sama dengan 100 akan diberi
hadiah berupa TV 21". Kalau pemilik restoran tersebut menyediakansebanyak 10 buah TV 21", berapa banyak yang harus diserahkan kepada
para pelanggannya?
7. Diketahui bentuk gambar di bawah berikut ini.
Titik-titik pusat lingkaran B , C , D , dan E diletakkan pada garis tengah
lingkaran A dan garis tengah lingkaran B sama dengan jari-jari lingkaran A.
Lingkaran C , D , dan E sama besar dan sepasang-sepasang bersinggungan di
luar sehingga jumlah panjang garis tengah ketiga lingkaran tersebut sama
dengan jari-jari lingkaran A. Bagaimanakah perbandingan keliling lingkaran
A dengan jumlah keliling lingkaran B , C , D , dan E?
8. Diketahui a + b + c = 0. Tunjukkan bahwa a3 + b3 + c3 = 3abc!
B.
SOAL HARI KEDUA
1. Diketahui bahwa1
2a ,2
3a . Untuk k > 2 didefinisikan bahwa
2 1
1 1
2 3k k k
a a a
Tentukanlah jumlah tak hingga dari1 2 3
a a a
A
B
C
D
E
7/23/2019 M1 _ Buku Siap OSN Matematika Untuk SP - MTs ( 2016 ) _ Sample
http://slidepdf.com/reader/full/m1-buku-siap-osn-matematika-untuk-sp-mts-2016-sample 19/23
306
2. Bilangan terkali adalah bilangan asli dalam bentuk dua digit diikuti oleh
hasil kalinya. Sebagai contoh, 7 8 = 56, maka 7856 dan 8756 adalah bilangan
terkali. 2 3 = 6, maka 236 dan 326 adalah bilangan terkali. 2 0 = 0, maka
200 adalah bilangan terkali. Sebagai catatan, digit pertama bilangan terkali
tidak boleh 0.
a. Berapakah selisih antara bilangan terkali terbesar dan bilangan terkali
terkecil?
b.
Cari semua bilangan terkali terdiri dari tiga digit yang masing-masing
digitnya merupakan bilangan kuadrat.
c. Diberikan "kotak-kotak" berikut yang harus diisi dengan bilangan terkali.
7 8 5 6
Tentukan isi dari kotak yang diarsir. Apakah isi ini merupakan satu-satunya?
d. Lengkapi semua semua kotak kosong di atas dengan bilangan terkali
3. Perhatikan gambar susunan tiga persegi di bawah.
Buktikan bahwa BAX + CAX = 45°
4. Buktikan bahwa (n – 1)n ∙ (n3 + 1) senantiasa habis dibagi oleh 6 untuk semua
bilangan asli n.
X A
B C
7/23/2019 M1 _ Buku Siap OSN Matematika Untuk SP - MTs ( 2016 ) _ Sample
http://slidepdf.com/reader/full/m1-buku-siap-osn-matematika-untuk-sp-mts-2016-sample 20/23
307
PEMBAHASAN
1.
Pola ABBCCCDDDDABBCCCDDDDABBCCCDDDD… berulang sampai
tak terhingga. Huruf apakah yang menempati urutan ke 2533?
Jawab:
Perhatikan urutan setiap huruf berikut
A B B C C C D D D D A B B C C C D D D D …
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 …
Dari pola urutan huruf-huruf tersebut ditemukan bahwa urutan huruf
tersebut berulang setiap 10 kali. Sehingga untuk urutan huruf ke 2533 = 253 ×
10 + 3. Dengan demikian, huruf pada urutan ke 2533 samadengan huruf
pada urutan ke- 3 yaitu B.
2. Diketahui a + b + c = 0. Tunjukkan bahwa a3 + b3 + c3 = 3abc!
Jawab:
a + b + c = 0, maka
a + b = –c ,
a + c = –b , dan
b + c = –a
Sehingga:
(a + b + c)3 = a3 + b3 + c3 + 3a2b + 3ab2 + 3b2c + 3bc2 + 3a2c + 3ac2 + 6abc
a3 + b3 + c3 = (a + b + c)3 – 3a2(b + c) – 3b2(a + c) – 3c2(a + b) – 6abc
a3 + b3 + c3 = 03 – 3a2(–a) – 3b2(–b) – 3c2(–c) – 6abc
a3 + b3 + c3 = 03 + 3a3 + 3b3 + 3c3 – 6abc
a3 + b3 + c3 – 3(a3 + b3 + c3) = 3(a3 + b3 + c3) – 6abc – 3(a3 + b3 + c3)
–2(a3 + b3 + c3) = –6abc (ruas kiri dan kanan dibagi –2)
a3 + b3 + c3 = 3abc (terbukti)
7/23/2019 M1 _ Buku Siap OSN Matematika Untuk SP - MTs ( 2016 ) _ Sample
http://slidepdf.com/reader/full/m1-buku-siap-osn-matematika-untuk-sp-mts-2016-sample 21/23
369
2 31x x = 2
1 2x x
31x = 1 2x
3
1x =2
1 4 4x x
3 24 4x x x = 0
24 4x x x = 0
2 2x x x = 0 → x = 0 atau x = 2
“check” nilai x = 0 atau x = 2 ke 2 31 1x x x .
Untuk x = 0 diperoleh 1 = 1 (memenuhi)
Untuk x = 2 diperoleh 2 4 9 2 7 1 (tidak memenuhi)
Jadi, hanya ada satu solusi yaitu x = 0.
5.
Pada gambar di samping, suatu lingkaran
berjari-jari x menyinggung ketiga sisi sebuah
segitiga siku-siku ABC (siku-siku di C) berturut-turut di titik X , Y , dan Z. Jika panjang AX = 8 dan
BY = 7. Tentukan luas segitiga ABC.
Jawab:
Perhatikan gambar di bawah, misalkan CZ = x. Dengan teorema pythagoras
diperoleh
(x + 8)2 + (x + 7)2 = 152
x2 + 16x + 64 + x2 + 14x + 49 = 225
x2 + 15x = 56 (1)
Luas segitiga ABC:
A = 1
7 82
x x
=
215 56
2
x x
x
x
7
7
8
8
Y
X
Z A
B
C
7/23/2019 M1 _ Buku Siap OSN Matematika Untuk SP - MTs ( 2016 ) _ Sample
http://slidepdf.com/reader/full/m1-buku-siap-osn-matematika-untuk-sp-mts-2016-sample 22/23
371
7. Tentukan bilangan asli terkecil n yang memenuhi sifat berikut (IMO 1962):
a. Satuan dari bentuk desimalnya adalah 6.
b. Jika enam digit terakhirnya dihapus dan diletakkan didepannya, maka
hasilnya suatu bilangan empat kali lebir besar dari bilangan asli n semula.
Jawab:
Ini jelas bahwa n bukanlah bilangan satu digit (angka). Misalkan n = 10x + 6,
di mana x adalah bilangan asli sebanyak m angka. Maka
6 10 4 10 6m x x , 39 6 10 24
mx , 13 2 10 8mx
Sehingga 13 2 10 8
m
untuk suatu m , yaitu sisa dari2 10
m
adalah 8 jikadibagi 13. Dengan pembagian panjang, ditemukan bahwa nilai minimum
dari m adalah 5. Jadi,
2 10 8 19999215384
13 13
m
x
, n = 153846
8. Tentukan hasil dari: (SMO/J 2006, disesuaikan)
2 1 1 12017 2016
1 2 2 3 2015 2016a a
a a a a a a
Jawab:
Dari bentuk asal (berdasarkan soal), diperoleh
1 1 1 1 1 1
1 20161 2 2 3 2015 2016
a aa a a a a a
1 1
1 20161 2016
a aa a
=
20151 2016
1 2016a a
a a
= 2015
Jadi,
1 1 11 2016 2015
1 2 2 3 2015 2016
a aa a a a a a
.
7/23/2019 M1 _ Buku Siap OSN Matematika Untuk SP - MTs ( 2016 ) _ Sample
http://slidepdf.com/reader/full/m1-buku-siap-osn-matematika-untuk-sp-mts-2016-sample 23/23
373
12. The diagram shows two identical squares, ABCD and PQRS , overlapping
each other in such a way that their edges are parallel, and a circle of radius
2 2 cm covered within these squares. Find the length of the square
ABCD.
Solution:
As the below shows, 2PY OP and
1
2YS OP PY . Thus
2 2 2 22 2 1
2 2PS PY YS OP
13. Misalkan akar-akar dari persamaan
2 2 2
1 1 20
10 29 10 45 10 69x x x x x x
adalah α dan β. Tentukan nilai dari α + β. (SMO/J 2006)
Jawab:
Misalkan y = x2 – 10x – 29. Maka x2 – 10x – 45 = y – 16, x2 – 10x – 69 = y – 40.
Jadi,1 1 2
016 40 y y y
. Dengan demikian y = 10. So y = x2 – 10x – 29 = 10.
Jadi, x2 – 10x – 39 = 0. Dengan demikian, α + β = 10.
14.
Suppose1x ,
2x ,
3x are roots of (11 – x)3 + (13 – x)3 = (24 – 2x)3. What is the
sum of1 2 3
x x x ? (SMO/J 2007)
Solution:
Let a = 11 – x and b = 13 – x. we have a3 + b3 = (a + b)3. Simplify: 3ab(a + b) = 0.
Replacing a , b back in terms of x , we found the three roots are 11, 12 and 13.
Thus 1 2 3x x x = 36.
A B
S
P
D C
Q
R
A
B
S
D C
Q
R
Y
Z O
P
X