m105 : compléments d'algèbre et d'analyse

Notes de CoursM105 : COMPLÉMENTS D’ALGÈRE ET

D’ANALYSE

Clément BoulonneWeb : http://clementboulonne.new.fr

Mail : [email protected]

Université des Sciences et Technologies de LilleU.F.R de Mathématiques Pures et Appliquées

Licence de Mathématiques — Semestre 2

http://clementboulonne.new.fr

Table des matières

Chapitre I Groupes symétriques 1I.1 Permutations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1I.2 Signature d’une permutation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2I.3 Transpositions et décomposition d’une permutation . . . . . . . . . . . . 4I.4 Cycles disjoints et décomposition d’une permutation . . . . . . . . . . . 4I.5 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

Chapitre II Structures algébriques 7II.1 Groupes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7II.2 Anneaux et corps . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13II.3 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

Chapitre III Nombres réels 21III.1 Introduction historique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21III.2 Construction des nombres réels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22III.3 Opérations dans R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

1 Addition dans R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232 Multiplication dans R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

III.4 Propriétés de R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26III.5 Majorant et minorant d’un sous-ensemble . . . . . . . . . . . . . . . . . 29III.6 Suites réelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

1 Généralités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 302 Suites monotones réelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 323 Limites infinies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

III.7 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

Chapitre IV Fonctions convexes et concaves 39IV.1 Courbes convexes et concaves . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39IV.2 Fonctions convexes et concaves . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42IV.3 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

Chapitre V Courbes paramétrées 45V.1 Courbes paramétrées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45V.2 Tangente de courbes paramétriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

iii

iv TABLE DES MATIÈRES

V.3 Forme d’une courbe au voisinage d’un point . . . . . . . . . . . . . . . . 49V.4 Branches infinies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49V.5 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

Chapitre VI Fonctions de deux variables réels 55VI.1 Introduction à la topologie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55VI.2 Fonctions à deux variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58VI.3 Dérivée directionnelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59VI.4 Formule de Taylor dans R2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61VI.5 Dérivées partielles d’ordre supérieurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62VI.6 Extremum d’une fonction à plusieurs variables . . . . . . . . . . . . . . 64VI.7 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

PROGRAMME DU COURS

M105 : Compléments d’algèbre et d’analyse [S2, 5 ECTS]Prérequis : M101 et M102

– (16 h) Compléments sur les groupes, anneaux et corps.Groupes symétriques : permutations, transpositions, cycles, signature, décompositiond’une permutation en cycles disjoints.Groupes quotients dans le cas commutatif, exemples simples.Groupes monogènes : Si G est infini, G est isomorphe à Z et si G est fini, G estisomorph à Z/nZ.Anneaux, corps : calculs dans un anneau, formule du binôme dans un anneau commuta-tif, morphisme d’anneaux, noyau, image, corps, sous-corps, morphisme, isomorphisme.

– (16 h) Topologie et propriétés de R.Suites de Cauchy. Construction de R.Équivalence entre :(i) la propriété de la borne sup,(ii) le théorème sur la convergence des suites croissantes majorées,(iii) le théorème des intervalles emboités ou des suites adjacentes,(iv) le théorème de Bolzano-Weierstrass,(v) la complétude de R.

R est un corps totalement ordonné archimédien et complet.Les sous-groupes de R.R est non dénombrable.

– (4 h) Fonctions convexes.Définitions, interprétation géométrique, exemples. Convexité pour les fonctions déri-vables, 2-fois dérivables, exemples.

– (8 h) Courbes paramétrées. Tangente en un point régulier. Interprétation en termesde vitesse, accélération. Branches infinies : directions asymptotiques et asymptotes.Interprétation géométrique des fonctions d’une variable réelle à valeurs complexes.Continuité et dérivabilité de telles fonctions.

v

vi CHAPITRE . PROGRAMME DU COURS

CHAPITRE I

GROUPES SYMÉTRIQUES

I.1 Permutations

On rappelle, ici, la définition d’un groupe.

Définition I.1 (Groupe, [1]). Soit G un ensemble non vide muni d’une opération (ou uneloi de composition notée « ∗ ») :

∗ : G×G → G(x, y) 7→ x ∗ y .

On dit que (G, ∗) est un groupe si :(i) pour tout x ∈ G, pour tout y ∈ G, x ∗ y ∈ G. On dit alors que G est stable par la loi

de composition.(ii) Pour tout x, y, z ∈ G, on a :

x ∗ (y ∗ z) = (x ∗ y) ∗ z.

On dit que la loi de composition est associative.(iii) Il existe e ∈ G, qu’on appelle élément neutre tel que pour tout x ∈ E,

x ∗ e = e ∗ x = x.

(iv) Tout élément de G admet un inverse (on dit aussi que tout élément de G est inversible),c’est-à-dire :

∀x ∈ G, ∃y ∈ G, x ∗ y = e et y ∗ x = e,

y est appelé l’ inverse de x et on note y = x−1.

Définition I.2 (Permutations). On se donne un sous-ensemble E de N formé par leséléments :

E = 1, 2, 3, . . . , n .Une permutation de E est une application bijective de E sur E. On notera :

π : E → E1, 2, 3, 4, . . . , n 7→ 1, n− 3, 3, 2, . . . , n .

1

2 CHAPITRE I. GROUPES SYMÉTRIQUES

Exemple I.3. Soit la permutation

π : E → E1, 2, 3, 4 7→ 3, 1, 4, 2 .

On a alors π(1) = 3, π(2) = 1, π(3) = 4, π(4) = 2. Une autre notation qu’on peut donnerpour les permutations est : (

1 2 3 43 1 4 2

)où la première ligne correspond à l’énumeration des éléments de E et la seconde, l’image deπ par ces éléments.

Proposition I.4. Si on munit l’ensemble de permutations de E d’une loi de composition(qu’on note ) alors cet ensemble devient un groupe. Ce groupe est appelé groupe symétriquede E et est noté Sn.

Définition I.5 (Ordre d’un groupe). Soit G un groupe. On appelle ordre du groupe G, lenombre d’éléments dans le groupe G.

Proposition I.6. L’ordre de groupe Sn est égal à n!.

I.2 Signature d’une permutation

Définition I.7 (Inversion). Soit π ∈ Sn. On appelle inversion un couple (i, j) tel que i < jet π(i) > π(j). On appelle nombre d’inversion (qu’on note N(π)) le nombre d’inversion dela permutation, c’est-à-dire :

card(

(i, j) ∈ E2, i < j et π(i) > π(j))

Exemple I.8. On se place dans le cadre où n = 4 et E = 1, 2, 3, 4. On définit lapermutation π par : (

1 2 3 44 2 1 3

).

On a donc comme inversion (1, 2), (1, 3), (1, 4), (2, 3), d’où N(π) = 4.

Définition I.9. Soit π ∈ Sn. On définit l’application signature

ε : (Sn, ) → (−1, 1 ,×)π 7→ ε(π)

telle que :ε(π) = (−1)N(π).

On dit que π est– paire si ε(π) = 1 (c’est-à-dire N(π) est pair),

I.2. SIGNATURE D’UNE PERMUTATION 3

– impaire si ε(π) = −1 (c’est-à-dire si N(π) est impair).

Proposition I.10. L’application ε est un homomorphisme du groupe de Sn dans −1, 1.

Démonstration. Il s’agit de montrer que, pour tout π, π′ ∈ Sn,

ε(π π′) = ε(π)× ε(π′).

Soient π, π′ ∈ Sn. On a :

N(π π′) = card(

(i, j) ∈ E2, i < j et π π′(i) > π π′(j))

= n1 + n2,

avec

n1 = card(

(i, j) ∈ E2 ; i < j, π′(i) > π′(j) et π π′(i) > π π′(j)),

n2 = card(

(i, j) ∈ E2 ; i < j, π′(i) < π′(j) et π π′(i) > π π′(j)).

On a d’autre part :

N(π′) = card(

(i, j) ∈ E2, i < j et π′(i) > π′(j)),

avec :

n3 = card(

(i, j) ∈ E2 ; i < j, π′(i) < π′(j) et π π′(i) > π π′(j)),

et :N(π) = card

((i, j) ∈ E2, i < j et π(i) > π(j)

)= n2 + n3.

On obtient donc le résultat suivant :

N(π π′) = N(π) +N(π′)− 2n3.

La signature est donc la même car −2n3 est paire et ne perturbe pas la parité de l’opération.D’où :

ε(π π′) = ε(π)× ε(π′).

Conséquences I.11. 1. ε(π−1) = ε(π)−1 = ε(π). C’est une conséquence du résultatprécédent. On sait que ε(id) = 1, or id = π π−1 et ε(π π−1) = ε(π)× ε(π−1).

2. Ker ε = ε(1) est un sous-groupe de Sn : c’est le groupe des permutations paires deSn. On l’appelle groupe alterné et on le note An.

3. Si n ≥ 2 alors ε est surjective. En effet, l’application identique est une permutationpaire et la permutation

π =(

1 2 3 · · · n2 1 3 · · · n

)est impaire.


I.3 Transpositions et décomposition d’une permutation

Définition I.12 (Transposition). Une transposition τ de E est une permutation telle que :τ(i) = j et τ(j) = i avec i 6= j,

τ(k) = k pour tout k 6= i et k 6= j.

La transposition laisse inchangé tous les éléments de E sauf deux d’entre eux qu’elle échange.On note la transposition qui échange i et j, (i, j).Remarque I.13. Si τ est une transposition alors elle vérifie τ 2 = id. Donc τ−1 = τ .Proposition I.14. Toute transpostion est une permutation impaire, c’est-à-dire que ε(τ) =−1.Démonstration. La démonstration est admise.Proposition I.15. Toute permutation est un produit de transpositions.Démonstration. On peut démontrer la proposition I.15 par récurrence.Proposition I.16. Toute transposition est un produit de transposition du type (m,m+ 1),pour 1 ≤ m ≤ n− 1.Démonstration. Soient τ (resp. τk) la transposition qui échange i et j (resp. k et k + 1).On a alors :

τ = τi τi+1 · · · τj−2 τj−1 τj−2 · · · τi+1 τi.

Proposition I.17. Toute transposition est, en fait, un produit de transpositions τ de laforme (1,m) avec 2 ≤ m ≤ n.Proposition I.18. Soit (p, q) la transposition qui échange p et q. On vérifie facilementque :

(p, q) = (1, p)(1, q)(1, p).Conséquences I.19. 1. Sn est engendré par les transpositions du type (m,m+ 1).

2. Sn est engendré par les transpositions du type (1,m) pour tout 2 ≤ m ≤ n.

I.4 Cycles disjoints et décomposition d’une permutation

Définition I.20. Soit π ∈ Sn. 〈π〉 =πk, k ∈ N

, le groupe engendré par π est un

sous-groupe de Sn. On considère l’application :〈π〉 × E → E(πk,m) 7→ πk(m) .

On appelle l’orbite de m sous l’action de π, l’ensemble :

orb(m) =πk(m), 0 ≤ m ≤ q − 1

,

q étant l’ordre du sous-groupe.

I.4. CYCLES DISJOINTS ET DÉCOMPOSITION D’UNE PERMUTATION 5

Remarques I.21. On voit que :1. ord(m) = ord(m′) si et seulement si ord(m) ∩ ord(m′) 6= ∅.2. E =

⋃i 6=j orb((i, j))

.

Définition I.22 (Cycle). π est appelé un cycle s’il existe une seule orbite qui contient plusd’un élément, c’est-à-dire :

π = (m π−→ π(m) π−→ · · · π−→ πq−1(m).

Définitions I.23. Soit π un cycle défini comme à la définition I.22.1. L’ordre q du groupe 〈π〉 est la longueur du cycle. On dira que π est un q-cycle.2. Deux cycles π1 et π2 sont disjoints si leurs orbites sont non triviales (c’est-à-dire

qu’elles contiennent plus d’un élément) et disjointes.

Proposition I.24. Deux cycles disjoints commutent.

Démonstration. Soient π1 et π2 deux cycles disjoints et θ1, θ2 deux orbites non triviales(c’est-à-dire θ1 ∩ θ2 6= 0).

– Si x /∈ θ1 ∩ θ2 alors on a θ1θ2(x) = θ1(x) = x = θ2θ1(x).– Si x ∈ θ1 et x /∈ θ2 alors on a θ1(x) = θ1θ2(x) = θ2θ1(x) avec θ1(x) /∈ θ2.

D’où le résultat.

Exemple I.25. Soit σ la permutation :

σ =(

1 2 3 4 5 65 2 1 6 3 4

).

On part du premier élément 1 et on suit 1 → 5 → 3 → 1. D’où (153) forme un cycle.L’élément 2 est envoyé sur lui-même donc (2) forme un nouveau cycle. L’élément 4 estenvoyé sur 6 et vice et versa. (46) forme un dernier cycle. Il y a donc trois cycles et troisorbites différentes définies par des cycles.

Proposition I.26. Toute permutation π de Sn différente de l’identité est produit de cyclesdisjoints. Une telle expression est unique à l’ordre près des facteurs.

Proposition I.27. Soit n > 1. Le groupe symétrique Sn est engendré par deux cycles(1, 2, . . . , n) et (1, 2).

Démonstration. On note :

σ(E) =(

1 2 3 42 3 4 1

), τ1(E) =

(1 2 3 42 1 3 4

),

on a donc :σ−1(E) =

(1 2 3 44 1 2 3

).


D’où :τ1σ−1(E) =

(1 2 3 42 1 3 4

).

Si on compose τ1σ−1(E) avec σ, on obtient :

σ(τ1σ−1(E)) =

(1 2 3 41 3 2 4

)= τ2(E).

C’est une transposition de τ1(E). Soit G l’ensemble engendré par le cycle σ = (1, 2, . . . , n) etτ1 = (1, 2). Cela implique que toute transposition de type (m,m+ 1) (avec 1 ≤ m ≤ n− 1)est dans G. Donc G = Sn , d’après les propositions I.15 et I.16.

Théorème I.28. Si n ≥ 3 alors le groupe alterné An de Sn (c’est-à-dire le groupe depermutations paires) est engendré par l’ensemble des 3-cycles (1, 2, k) avec 3 ≤ k ≤ n.

I.5 Exercices

Exercice I.1. 1. Déterminer card(S3) et écrire tous les éléments de S3, puis écrire latable de S3. En déduire tous les sous-groupes de S3.

2. On considère T un triangle équilatéral du plan, de sommets A, B, C.(a) Montrer que les isométries du plan qui préservent T forment un groupe pour la

loi , que l’on note G.(b) Montrer qu’un élément de G induit une permutation de l’ensemble A,B,C.

On construit ainsi une application ϕ de G dans S3.(c) Montrer que ϕ est un isomorphisme.

Exercice I.2. Soient a, b, c trois élements distincts de 1, . . . , n. Calculer le produit(ab)(bc)(ab). En déduire que Sn est engendré par les permutations ((1, i))2≤i≤n, c’est-à-direque toute permutation s’écrit comme produit de transpositions de cette forme.

Exercice I.3. Trouver la décomposition en produit de cycles à supports disjoints, lasignature, l’ordre et une décomposition en produit de transpositions suivantes de S10 :

σ =(

1 2 3 4 5 6 7 8 9 103 7 1 4 2 6 9 8 5 10

),

ϕ = (10, 3, 4, 1)(8, 7)(4, 7)(5, 6)(2, 6)(2, 9).

Calculer σ1998 et ϕ1998.

Exercice I.4. A4 désigne le groupe des permutations paires sur l’ensemble E = 1, 2, 3, 4.1. Quels sont les ordres des éléments de A4 ? En déduire la liste de ces éléments sous

forme décomposée en produit de cycles à supports disjoints.2. Montrer que A4 admet un unique sous-groupe H d’ordre 4 (on examinera d’abord les

ordres des éléments d’un tel sous-groupe).

CHAPITRE II

STRUCTURES ALGÉBRIQUES

II.1 Groupes

Définition II.1 (Groupe, [1]). Soit G un ensemble non vide muni d’une opération (ouune loi de composition notée « ∗ ») :

∗ : G×G → G(x, y) 7→ x ∗ y .

On dit que (G, ∗) est un groupe si :(i) pour tout x ∈ G, pour tout y ∈ G, x ∗ y ∈ G. On dit alors que G est stable par la loi

de composition.(ii) Pour tout x, y, z ∈ G, on a :

x ∗ (y ∗ z) = (x ∗ y) ∗ z.

On dit que la loi de composition est associative.(iii) Il existe e ∈ G, qu’on appelle élément neutre tel que pour tout x ∈ E,

x ∗ e = e ∗ x = x.

(iv) Tout élément de G admet un inverse (on dit aussi que tout élément de G est inversible),c’est-à-dire :

∀x ∈ G, ∃y ∈ G, x ∗ y = e et y ∗ x = e,

y est appelé l’ inverse de x et on note y = x−1.

Définition II.2 (Homéomorphisme de groupe). Soient G et H deux groupes. On dit quef : G→ H est un homomorphisme de groupe si :

f(xy) = f(x)f(y), ∀x, y ∈ G.

– Si y = e (l’élément neutre de G) alors

f(xe) = f(x)f(e)⇒ f(e) = e′ élément neutre de H.

7

8 CHAPITRE II. STRUCTURES ALGÉBRIQUES

– Si y = x−1 alors on a :

f(xx′) = f(e) = f(x)f(x−1) = e′ = f(x)f(x)−1 ⇒ f(x−1) = f(x)−1.

Exemple II.3. Si G est le groupe additif de Z et H, le groupe multiplication quelconque.Pour tout a ∈ H, on définit :

f(m) = am, ∀m ∈ Z. (II.1)

f est un homomorphisme de groupe (la démonstration est laissée en exercice).Proposition II.4. Tout homomorphisme f : Z→ H est de la forme (II.1).Démonstration. On pose f(1) = a ∈ H. D’où :

f(2) = f(1 + 1) = aa = a2,...

f() = am pour tout m ∈ N,

(II.2)

et si n < 0 alors :f(n) = f(−(−n)) = f(−n)−1 = (a−n)−1 = an (II.3)

D’où, en combinant (II.2) et (II.3), on obtient f(n) = an, pour tout n ∈ Z.Exemple II.5. Le logarithme népérien :

ln : R+ → Rx 7→ ln(x)

est un homomorphisme de groupe car on a :

ln(xy) = ln(x) + ln(y).

Théorème II.6. Soient M,N,P trois groupes. Si f : M → N et g : N → P deux homo-morphismes de groupe alors g f : M → P est un homomorphisme de groupe. De plus, si fest bijectif, f−1 est un homomorphisme de groupe.Démonstration. (i) Soient x, y ∈M . On a :

g f(xy) = g(f(xy)) = g(f(x)× f(y)) = g(f(x))× g(f(y)) = g f(x)× g f(y).

(ii) On veut démontrer que

f−1(uv) = f−1(u)f−1(v), ∀u, v ∈ N. (II.4)

Comme f est bijectif (en particulier, injective), il suffit de montrer que les images parf des deux membres (II.4) sont égales :

f(f−1(uv)) = f f−1(uv) = uv.

On a, de plus,

f(f−1(u)f−1(v)) = f(f−1(u))× f(f−1(v)) = f f−1(u)× f f−1(v) = uv.

II.1. GROUPES 9

Théorème II.7. Soit f : G→ H un homomorphisme de groupe. Alors :(i) l’image par f de tout sous-groupe de G est un sous-groupe de H.(ii) l’image réciproque par f de tout sous-groupe de H est un sous-groupe de G.

Pour montrer que B est un sous-groupe de A, il suffit de montrer que, pour tout x, y ∈ B,xy−1 ∈ B.

Démonstration. (i) Soit G′ un sous-groupe de G et H ′ = f(G). Si u, v ∈ H ′ alors ilexiste x, y ∈ G tels que u = f(x) et v = f(y). D’où :

uv−1 = f(x)(f(y))−1 = f(x)f(y−1) = f(xy−1).

Mais xy−1 ∈ G′, donc f(xy−1) ∈ H. Ce qui implique le résultat voulu : uv−1 ∈ H ′.(ii) Soit H ′ un sous-groupe de H. On veut démontrer que f−1(H ′) est un sous-groupede G. Soit x, y ∈ f−1(H). On veut démonter alors que xy−1 ∈ f−1(H ′). On a, d’unepart :

x ∈ f−1(H ′)⇒ f(x) = u ∈ H ′ (II.5)et, d’autre part :

y ∈ f−1(H ′)⇒ f(y) = v ∈ H ′ (II.6)D’où, d’après (II.5) et (II.6), on obtient que uv−1 ∈ H ′ car H ′ est un sous-groupe.Donc :

f(x)(f(y))−1 ∈ H ′ ⇒ f(x)f(y−1) ∈ H ′ ⇒ f(xy−1) ∈ H ′ ⇒ xy−1 ∈ f−1(H ′).

Conséquences II.8. 1. Si f : G→ H et G est un groupe alors f(G) est un sous-groupede H et on appelle f(G) = Im f l’ image de f .

2. Si e est l’élément de H alors e est un sous-groupe de H. f−1(e) = x ∈ G, f(x) = eest un sous-groupe de G. Ce sous-groupe est le noyau de f noté Ker f .

Exemple II.9. Soit G un groupe multiplicatif et a ∈ G. On définit :

f : Z → Gn 7→ f(n) = an

.

Alors Im(f) est le sous-groupe de G engendré par a et Ker(f) est le sous-groupe de Z telque an = e (élément neutre).

Définition II.10 (Sous-groupe distingué). Soit G un groupe et H un sous-ensemble de G.On dit que H est un sous-groupe distingué (ou invariant) si pour tout a ∈ G et x ∈ H, onait axa−1 ∈ H.

Théorème II.11. Si N est un sous-groupe distingué de G alors il existe un groupe H etun homomorphisme de groupe f : G→ H tels que Ker(f) = N .


Théorème II.12. Soit f : G→ H un homomorphisme de groupe. f est un homomorphismeinjectif si et seulement si Ker(f) = e.

Démonstration. (⇒) Comme f est injectif et f(e) = e, on a alors f(x) = f(e) = e,d’où x = e. C’est-à-dire que Ker f = e.

(⇐) Si Ker f = e alors on a :

f(x) = f(y)⇒ f(x)[f(y)]−1 = e⇒ f(xy−1) = e

c’est-à-dire que xy−1 ∈ Ker f = e. D’où xy−1 = e et x = y. L’homomorphisme fest bien injectif.

Théorème II.13. Soient G,H,M trois groupes et p : G→ H et f : G→M des homomor-phismes. On suppose que p est surjectif. Alors les deux résultats sont équivalents :(i) Il existe f−1 : H →M tel que f s’exprime comme f = f−1 p.(ii) Ker(p) ⊂ Ker(f).Si les conditions (i) et (ii) sont vérifiés alors f−1 est unique et

– f−1 est injectif si et seulement si Ker(p) = Ker(f),– f−1 est surjectif si et seulement si f est surjectif.

Définition II.14 (Groupe cyclique). Soit G un groupe. On dit que G est un groupe cycliques’il existe un x ∈ H tel que pour tout y ∈ G, il existe n ∈ N tel que y = xn. On dit que xest générateur de G.

Exemple II.15. Z est un groupe cyclique, ses générateurs sont 1 et −1.

Définition II.16 (Z/pZ). 1. Si G ⊂ Z et G est un sous-groupe de Z alors 0 ∈ G et six, y ∈ G alors on a x− y ∈ G (c’est la caractérisation des sous-groupes).

2. Si G ⊂ nZ = xn, x ∈ Z alors G est un sous-groupe de Z. Inversement, toutsous-groupe de Z est de la forme nZ.

Théorème II.17. (i) Tout groupe cyclique infini est isomorphe à Z.(ii) Tout groupe cyclique G fini est isomorphe à Z/pZ où p est l’ordre de G.

Démonstration. Supposons que G = 0 alors n = 0 convient et G = Z. Sinon, il existedans G des entiers différents de 0 (supérieur à 0) car si n ∈ G alors −n ∈ G. Soit n le pluspetit entier supérieur strictement à 0 de G alors on va montrer que G = nZ.

– On montre tout d’abord que nZ ⊂ G. Si n ∈ G alors nx ∈ G (pour tout x ≥ 1) car

nx = n+ n+ · · ·+ n︸︷︷︸x fois

et xn × 0 = 0 ∈ Z. Par contre, si x < 0 alors n(−x) ∈ G car n(−x) = −nx. D’oùnZ ⊂ G.

II.1. GROUPES 11

– On montre ensuite que G ⊂ nZ. Soit x ∈ G alors x s’écrit x = nq + r avec 0 ≤ r < n.D’où x− nq ∈ G, cela veut dire que r ∈ G. Mais r < n, ce qui est impossible puisquen est le plus petit élément de G différent de 0. D’où r = 0 et x = nq (ce qui impliquedonc que G ⊂ nZ.

On montre maintenant que ce n est unique. On suppose que pZ = qZ. On a alors q ∈ qZ etq ∈ pZ donc q est multiple de p. Avec le même raisonnement, on montre aussi que p estmultiple de q. D’où p = q.

Définition II.18 (L’anneau Z/pZ). Soit la relation d’équivalence « congru modulo p ». yest la classe d’équivalence de y ou associé à y, c’est-à-dire :

y = x ∈ Z, x = nq + y .

On démontre facilement que (Z/pZ,⊕,⊗) est un anneau avec :

x⊕ y = x+ y,

x⊗ y = x · y.

Il y a p classes dans Z/pZ :

Z/pZ = 0, 1, . . . , p− 1

et card(Z/pZ) = p.

Remarque II.19. La preuve par 9 est une application concrète de la théorie des anneauxpour Z/9Z.

Théorème II.20. Soit G un groupe cyclique.– Si G est infini alors G est isomorphe à Z.– Si G est fini alors G est isomorphe à Z/pZ où p est le nombre d’éléments dans G.

Remarque II.21. Les théorèmes II.17 et II.20 sont totalement différents.

Démonstration. Soit f : Z → G définie par f(n) = xn (où x est le générateur de G) etsurjectif par définition. Soit I = Ker(f) alors I est un sous-groupe de Z. Il existe donc p telque I = pZ, d’après le théorème II.17.

– Si p = 0 alors I = 0 = Ker f . Cela implique que f est injective donc bijective, f estdonc un isomorphisme de Z mais comme card Z = +∞, on a bien cardG = +∞.

– Si p 6= 0 alors on considère le groupe additive Z/pZ et la surjection canoniqueg : Z → Z/pZ tel que, pour tout x ∈ Z, g(x) = x. On a ainsi Ker(g) = 0 = pZ.D’où Ker(g) = Ker(f) et d’après le théorème II.13, il existe un homomorphismef ′ : Z/→ ZG.

Zg //

f ""DDDD

DDDD

D Z/pZf ′

G


Or f est surjective et Ker(f) = Ker(g), donc, d’aprtès le théorème II.13, f ′ estsurjective. Comme Ker f = Ker g, f ′ est injective. D’où f ′ est biejctive et comme f ′est un homomorphisme, c’est un isomorphisme. Donc cardG = card Z/pZ = p et Gest un groupe fini.

Conséquence II.22. Deux groupes cycliques sont isomorphes si et seulement s’ils ont lemême nombre d’éléments (fini ou infini).

Définition II.23 (Ordre). Soient G un groupe et x un élément de G. On appelle ordre dex (ou cardinal), l’ordre du groupe H ⊂ G engendré par x.

Mais on a vu que H est l’image de Z par l’homomorphisme qui à n donne xn, d’où

Définition II.24. L’ordre de x est le plus petit entier p ≥ 1 vérifiant xp = e (où e estélément neutre de G).

Théorème II.25. Soient G un groupe et (Hi)i∈I une famille de sous-groupes de G indexéepar I de cardinal fini ou infini.(i) ⋂ i ∈ IHi est un sous-groupe de G.(ii) Si pour tout i et j dans I, il existe un k ∈ I tels que Hi ⊂ Hk et Hj ⊂ Hk alors la

réunion ⋃i∈I Hi est un sous-groupe de G.

Démonstration. (i) Soit M = ⋂i∈I Hi alors M 6= ∅ car 0 ∈ Hi, pour tout i ∈ I. Si

x, y ∈M alors, pour tout i, x, y ∈ Hi et donc xy−1 ∈ Hi, pour tout i, car Hi est unsous-groupe de G. On a ainsi xy−1 ∈ ⋂i∈I Hi = M . M est donc un sous-groupe de G.

(ii) Si V = ⋃i∈I Hi alors V 6= ∅. Si x, y ∈ V alors il existe i tel que x ∈ Hi et il existe

un j 6= i tel que y ∈ Hj. Mais, pour ces indices i et j, il existe k tel que Hi ⊂ Hk etHj ⊂ Hk. Donc pour x, y ∈ Hk, on a : xy−1 ∈ Hk ⇒ xy−1 ∈ V = ⋃

i∈I Hi.

Théorème II.26. Soient G un groupe et H un sous-groupe de G. La relation « xRy ⇔x−1y ∈ H » (avec x ∈ G et y ∈ G) est une relation d’équivalence.

Démonstration. On verifie les trois propriétés :Réflexivité xRx car xx−1 = e ∈ G.Symétrie On a :

xRy ⇔ xy−1 ∈ H ⇒ (x−1y)−1 ∈ H ⇒ y−1x ∈ H ⇒ yRx.

Transitivité On a :– xRy ⇒ x−1y ∈ H,– yRz ⇒ y−1z ∈ H.Alors :

x−1yy−1z ∈ H ⇒ x−1z ∈ H ⇒ xRz.

II.2. ANNEAUX ET CORPS 13

Donc : R est une relation d’équivalence.

Définition II.27 (Classe modulo un sous-groupe). Les classes d’équivalence Fx associéesà R sont de la forme :

Fx = y ∈ G, xRy =y ∈ G, x−1y ∈ G

,

=y ∈ G ; ∃z ∈ H, x−1y = z

= y ∈ G, y = xz avec z ∈ H

x est fixe et z est quelconque dans H. On notera désormais Fx = xH.

Cette théorie a d’intérêt pour les groupes commutatifs.

Définitions II.28 (Classe à gauche, classe à droite). – On dira que xH est la classeà droite modulo H.

– On dira que Hx est la classe à gauche modulo H, c’est-à-dire avec la relation d’équi-valence « xRy ⇔ yx−1 ∈ H ».

Théorème II.29. Si G est un groupe fini et H un sous-groupe de G alors :

card(G) = card(G/H)× cardH.

Théorème II.30. Si G est un groupe fini d’ordre n alors on a xn = e, pour tout x ∈ G.

II.2 Anneaux et corps

Définition II.31 (Anneau). Un anneau est un triplet (A,+,×) vérifiant :1. (K,+) est un groupe abélien.2. La loi × est associative :

∀x, y, z ∈ A, x(yz) = (xy)z.

3. La loi × a un élément neutre qu’on note 1A.

∀x ∈ A, 1A × x = x× 1A = x.

4. Distributivité :

∀x, y, z ∈ A, x(y + z) = xy + xz et (y + z)x = yx+ zx.

Définition II.32 (Anneau commutatif). Un anneau A est dit commutatif si :

∀x, y ∈ A, xy = yx

mais il existe des anneaux non commutatifs (par exemple, les matrices).

Exemples II.33. 1. Z, Q, R et C sont des anneaux commutatifs.


2. A =x ∈ R, x = a+ br + cr2, a, b, c ∈ Z et r = 3

√2est un anneau commutatif.

3. Soit B = f : X → A, X quelconque, A anneau. On définit deux opérations :

f + g : x 7→ f(x) + g(x)f · g : x 7→ f(x) · g(x).

On montre facilement que B est un anneau. C’est l’anneau des applications de Xdans A. B est un anneau commutatif si et seulement si A est commutatif.

Définition II.34 (Sous-anneau). Soit A un anneau et B un sous-ensemble de A. On ditque B est un sous-anneau de A si

– B est un sous-groupe de (A,+),– pour tout x, y ∈ B, x · y ∈ B,– l’élément neutre multiplicative appartient à B.

Exemple II.35. – Z est un sous-anneau de Q.– Q est un sous-anneau de R.

Définition II.36 (Inversibilité). Soit A un anneau et a ∈ A. On dit que a est inversibles’il existe x ∈ A tel que a · x = x · a = 1A où 1A est l’élément neutre multiplicatif de A.

Définition II.37 (Corps). Soit K un anneau. Si tout élément de K est inversible alors Kest un corps.

Définition II.38 (Anneau intègre). A est intègre si, pour tout u, v ∈ A, on a l’implicationsuivante :

u · v = 0⇒ u = 0 ou v = 0.

Exemple II.39. Z est un anneau intègre.

Proposition II.40. Tout corps est un anneau intègre car si u · v = 0 et si u 6= 0 alor u−1

existe. Donc :u−1(uv) = u−1 × 0 = 0 = (u−1u)v = 0⇒ v = 0.

Exemple II.41. Soit F (R,R) l’anneau des applications de R dans R. Cet anneau n’estpas intègre. Soient :

f : x 7→ f(x) =

x si x ≥ 00 si x ≤ 0

et g : x 7→ g(x) =

x si x ≤ 00 si x ≥ 0

.

On a, pour tout x ∈ R, f(x)g(x) = 0 mais f et g ne sont pas les fonctions nulles 1.

Définition II.42 (Ensemble des éléments inversibles). Soit A un anneau. On note A×l’ensemble des éléments inversibles de A. A× est un groupe multiplicatif de A.

1. On dit qu’une fonction est non nulle s’il existe x ∈ Df tel que f(x) 6= 0.


Remarque II.43. Si K est un corps alors K× = K \ 0.

Exemple II.44. L’ensemble des éléments inversibles de Z est Z× = 1,−1.

Définition II.45 (Sous-corps). Soient K un corps et L ⊂ K. On dit que L est un sous-corpsde K si :

– L est un sous-anneau de K,– pour tout x ∈ L \ 0, x−1 ∈ L.

Exemples II.46. 1. Q est un sous-corps de R.2. K =

a+ br, a, b ∈ Q et r =

√2est un sous-corps de R.

Théorème II.47. Soit p un entier ≥ 2. Les assertions suivantes sont équivalentes :(i) Z/pZ est un anneau intègre.(ii) Z/pZ est un corps.(iii) p est premier.

Démonstration. ((iii)⇒ (i)) On suppose que p est un nombre premier. Soit x, y ∈ Z/pZtel que xy ≡ 0 (mod p), c’est-à-dire x ⊗ y = 0. On veut montrer que cela entrainex = 0 et y = 0. Or, si xy ≡ 0 (mod p) alors il existe k ∈ Z tel que xy = kp+ 0. Doncp | xy. Mais p est premier donc p | x ou p | y. Cela entraine donc que

x ≡ 0 (mod p)⇔ x = 0

ouy ≡ 0 (mod p)⇔ y = 0.

((i)⇒ (iii)) Z/pZ est intègre, c’est-à-dire

xy = 0⇔ x = 0 ouy = 0.

Donc p | xy et « p | x ou p | y, p doit être un nombre premier car sinon il existeraitx0, y0 tel que p = x0y0 et p - x et p - y car p est multiple de x0 et y0.

((ii)⇒ (i)) On suppose que Z/pZ est un corps. Soit x, y ∈ Z/pZ tel que xy = 0. Six = 0 alors x−1 existe et appartient à Z/pZ, d’où :

x−1(xy) = x−10 = 0 = (x−1x)y = 1y = 0.

Ce qui implique que y = 0.((i)⇒ (ii)) On montre que tout anneau intègre fini est un corps (réciproque de la

proposition II.40. Soient K un anneau intègre fini et a un élement non nul de K. Onconsidère :

ϕ : K → Kx 7→ ax

qui est injective car si ϕ(x) = ϕ(y), on a :

ax = ay ⇒ a(x− y) = 0


et comme a 6= 0 et K est intègre, on a bien x− y = 0 D’où x = y. L’injection entrainela surjection car K est un anneau fini. Donc ϕ est surjective. On a de plus que 1Kest l’image d’un seul et un unique élément x appartenant à K, c’est-à-dire il existex ∈ K tel que ax = 1. D’où :

a−1(ax) = a−1 ⇒ x = a−1 ∈ K.

Théorème II.48 (Formule du binôme dans un anneau). Soient A un anneau et x, y ∈ A.Si x et y commutent (c’est-à-dire xy = yx) alors :

(x+ y)n =n∑p=0

Cpnx

n−pyp.

Avant de passer à la démonstration du théorème, on va montrer un résultat de combina-toire.

Proposition II.49. Soient n et q deux entiers tels que n ≥ q. On a :

Cqn−1 + Cq−1

n−1 = Cqn. (II.7)

Démonstration de (II.7). On a :

Cqn−1 + Cq−1

n−1 = (n− 1)!q!(n− 1− q)! + (n− 1)!

(q − 1)!(n− q)!

= [(n− q) + q](n− 1)!q!(n− q)! = n!

q!(n− q)! = Cqn.

Démonstration du théorème II.48. On montre le théorème II.48 par récurrence.Initialisation On montre que la propriété est vraie à l’ordre 1. On a :

1∑k=0

Ck1x

1−kyk = C01x

1y0 + C11x

0y1 = 1× 1× x+ 1× 1× y = x+ y.

Hérédité On suppose que la propriété est vraie à l’ordre n− 1, c’est-à-dire :

(x+ y)n−1 =n−1∑p=0

Cpn−1x

n−1−pyp.

On démontre que la propriété est vraie à l’ordre n. Soit à montrer : :

(x+ y)n =n∑p=0

Cpnx

n−pyp.


On a :

(x+ y)n = (x+ y)(x+ y)n−1 =n−1∑p=0

Cpn−1x

n−pyp +n−1∑p=0

Cpn−1x

n−1−pyp+1

k:=p+1=n−1∑p=0

Cpn−1x

n−pyp +n∑k=1

Ck−1n−1x

n−kyk

=C0

nxn +

n−1∑p=1

Cpn−1x

n−pyp

+(n−1∑k=1

Ck−1n−1x

n−kyk + Cn−1n−1y

n

)

= xn +(n−1∑p=

Cpn−1x

n−pyp +n−1∑k=1

Ck−1n−1x

n−kyk)

+ yn

= xn +n−1∑q=1

Cqn−1x

n−qyq +n−1∑q=1

Cq−1n−1x

n−qyq + yn

= xn +n−1∑q=1

(xn−qyq)(Cqn−1 + Cq−1

n−1) + yn

(II.7)= xn +n−1∑q=1

Cqnx

n−qyq + yn =n∑q=0

Cqnx

n−qyq.

La propriété est donc vraie pour tout n.

Définition II.50 (Homomorphisme d’anneau). Soient A et B deux anneaux et f : A→ B.On dit que f est un homomorphisme d’anneaux si et seulement si, pour tout x, y ∈ A, onait :

1. f(x+ y) = f(x) + f(y),2. f(xy) = f(x)f(y),3. Im 1 = 1.

Exemple II.51. L’application :

f : Z → Z/pZx 7→ x

est un homomorphisme d’anneaux qu’on appelle surjection canonique.

Proposition II.52. Soient A,B,C trois anneaux et f : A→ B, g : B → C. Si f et g sontdeux homomorphismes d’anneaux alors g f : A→ C est un homomorphisme d’anneau.


Proposition II.53. Soient f : A→ B un homomorphisme d’anneaux. On défnit le noyaude l’homomorphisme :

Ker f = x ∈ A, f(x) = 0 .On a l’équivalence suivante ; f est injective si et seulement si Ker f = 0.

Définitions II.54 (Idéal). Soient A un anneau et I un sous-ensemble de A. On dit que :– I est un idéal à gauche (resp. à droite) si et seulement si I est un sous-groupe de Ket pour tout x ∈ I et a ∈ K, ax ∈ I (resp. xa ∈ I).

– I est un idéal si A est commutatif.

Définition II.55 (Idéal bilatère). Soient A un anneau et I un sous-groupe de l’anneau A.Si, pour tout a, b ∈ K et x ∈ I, on ait : axb ∈ I alors I est dit idéal bilatère. Si A est unanneau commutatif alors l’idéal bilatère est, à la fois, l’idéal à gauche, l’idéal à droite etl’idéal.

Théorème II.56. Soit f : A→ B un homomorphisme d’anneau. Le noyau de f est l’idéalbilatère.

Démonstration. Soit I = Ker f . I est un sous-groupe de K car si x, y ∈ I alors x− y ∈ I(en tant que sous-groupe additif). En effet, si x, y ∈ I, on a :

f(x) = f(y) = 0⇔ f(x)− f(y) = 0⇔ f(x− y) = 0.

Donc x− y ∈ Ker f = I.

Définition II.57 (Idéal principal). Soit A un anneau commutatif. On note :

xA = ux, u ∈ A .

On montre que xA est un ideal de A. Un idéal de cette forme est dit idéal principal.

Définition II.58 (Anneau principal). Un anneau est dit principal si et seulement si il estintègre, commutatif et tous les idéaux sont principaux.

Exemple II.59. Z est un anneau principal car tout idéal de Z est de la forme nZ.

II.3 Exercices

Exercice II.1. Soient C30 = 〈a〉 un groupe cyclique d’ordre 3à et a un générateur de C30.1. Trouver tous les sous-groupes de C30.2. Trouver l’ordre de a7, a12, a20, a24, a25, a28.3. Trouver les ordres de tous les éléments de C30.4. Trouver tous les générateurs de C30.

Exercice II.2. Soit G un groupe cyclique et f : G→ G′ un morphisme de groupe. Montrerque l’image f(G) est cyclque.

II.3. EXERCICES 19

Exercice II.3. Soit f : G→ G′ un morphisme de groupes. Soit a ∈ G un élément d’ordrefini.

1. Montrer que l’ordre de f(a) est fini et que ord(f(a)) | ord a.2. Supposons en outre que le groupe G′ soit fini. Montrer que

ord(f(a)) | PGCD(ord(a), |G′|).

Exercice II.4. Soit A un anneau commutatif. Démontrer les propriétés suivantes :1. 0 · x = 0, pour tout x ∈ A ;2. (−1) · x = −x, pour tout x ∈ A ;3. un élément inversible n’est pas un diviseur de zéro ;4. la cardinalité de A est supérieure ou égale à 2 si et seulement si 0 6= 1.

Exercice II.5. Lesquels des sous-ensembles donnés de C sont des anneaux avec les opéra-tions standard de multiplication et addition de nombres ?

1.mp, m ∈ Z

(p est un nombre premier fixé),

2.mpk , m ∈ Z, k ∈ N

(p est un nombre premier fixé),

3. Z[√

2] =a+ b

√2, a, b ∈ Z

,

4. Z[√−d] =

a+ b

√−d, a, b ∈ Z

où d ∈ N,

5. Z[ 3√

2] =a+ b 3

√2, a, b ∈ Z

,

6. Z[ 3√

2, 3√

4] =a+ b 3

√2 + c 3

√2, a, b, c ∈ Z

.

Exercice II.6. Soit A un anneau intègre tel que p · 1 = 0 pour un nombre premier p > 1(dans ce cas, on dit que A est de caractéristique p).

1. Montrer que p · a = 0, pour tout a ∈ A.2. Montrer que (a+ b)p = ap + bp, pour tout a, b ∈ A.3. En déduire que l’application Fp : A → A telle que Fp(a) = ap est un morphisme

d’anneaux.4. Montrer que Fp est un automorphisme si A est fini. (Fp s’appelle automorphisme de

Frobenius).

CHAPITRE III

NOMBRES RÉELS

On suppose l’existence d’un ensemble de nombres entiers N dont la constructionrigoueurse fait intervenir les axiomes de Peano (voir [2, 6]). Après avoir construit N, onpeut construire les rationnels positifs Q+ (solution d’équations du premier degré). De là, onse pose la question si on peut résoudre des équations du second degré du type ax2 = b. Ilfaut donc construire un ensemble plus grand qui est les irrationnels constructibles. D’autresirrationnels ne seront pas constructibles comme π ou e, c’est ce qu’on appelle les irrationnelsnon-constructibles. Viens après les nombres négatifs qu’on rassemble dans l’ensemble Zet en relation avec Q+, on obtient Q, l’ensemble des nombres rationnels. La figure III.1nous montre les inclusions entre ensembles. On a les inclusions suivantes N ⊂ Z ⊂ Q. Onconstruit Z, Z∗ et Q de la manière suivante :

Z = N ∪ −N,

Z∗ = Z \ 0 ,

Q =p

q, p ∈ Z, q ∈ Z∗

.

N

Q+

irr. constructible

irr. non constructible

Figure III.1 – Inclusion des ensembles

III.1 Introduction historique

Proposition III.1. Les deux assertions sont équivalentes :

21

22 CHAPITRE III. NOMBRES RÉELS

(i) x ∈ Q,(ii) x possède une écriture décimale périodique.

Démonstration. ((i)⇒ (ii)) Si x = pqalors, d’après la division euclidienne, p = qk + r

avec r < q. Mais si r < q alors il y a q restes possibles et, au pire, à la qe décimale, onretrouvera le même reste plus haut. D’où l’existence d’une période.

((ii)⇒ (i)) Soit un nombre N qui est p-périodique d’ordre n. Alors on peut écrire :

N = n ·(

1 + 110p + 1

102p + · · ·+ 110p2 + · · ·

)= n(1 + a+ a2 + · · ·+ ap + · · · )

= n limn→+∞

n∑k=0

aka<1= n lim

n→+∞

1− an+1

1− a = n · 11− a = n · 1

1− 10p = p

q

avec p = n et q = 1− 10p.

Exemples III.2. 1. 8914 = 6,3 571428 571428 ,

2.

0,789789789 . . . = 0,789(

1 + 1103 + . . .+ 1

103n + · · ·)

= 0,789(1 + a+ a2 + · · ·+ an + · · · )

= 0,789× limn→+∞

n∑k=0

ak = 0,789 limn→+∞

1− an+1

1− a

= 0,789× 11− a = 0,789× 1

1− 103 = 0,789× 1000999 = 789

999 .

Dans ce chapitre, on va essentiellement construire l’ensemble des réels R = Q ∪ I. Icontient deux types de nombres :

– L’ensemble A de tous les nombres constructibles qu’on appelle des nombres algébriquescar ils sont solutions d’équations algébriques (équations à coefficients rationnels).

– L’ensemble T de tous les nombres qui n’appartiennent pas à A et qu’on appelle nombretranscendant (π, e).

C’est pour cela que I = A ∪ T . R est dite droite réelle.

III.2 Construction des nombres réels

On suppose connus la construction de N, Z et Q (voir [2]). On va voir la constructiondes nombres réels selon les suites de Cauchy. Une autre construction des nombres réels estpossible, par les coupures de Dedekind (voir [2] pour la construction détaillée ou [7]).Définition III.3 (Suite de Cauchy). On appelle suite de Cauchy dans Q une suite (rk)k∈Nd’éléments de Q vérifiant :

∀ε ∈ Q \ 0 , ∃N ∈ N∗, (m > n > N)⇒ (|rm − rn| ≤ ε).

On notera E l’ensemble des parties de Cauchy de Q.


Cela entraine que (rn+sn) ∈ E. Maintenant, si (r′n)R(rn) et (s′n)R(sn) alors (r′n+s′n)R(rn+sn) car si ε > 0 alors il existe P et Q tels que :

n ≥ P ⇒ |rn − r′n| ≤ε

2 , (III.5)

n ≥ Q⇒ |sn − s′n| ≤ε

2 . (III.6)

Si n ≥ sup(P,Q) alors on obtient (III.5) et (III.6) :

|(rn + sn)− (r′n + s′n)| = |(rn + r′n)− (sn − s′n)| ≤ |rn − r′n|+ |sn − s′n| ≤ ε.

Définition III.8 (Addition dans R). Soient x, y ∈ R, (rn) un représentant de x dans Eet (sn) un représentant de y dans E. D’après la proposition III.7, (rn + sn) ∈ E et sa classedans E ne dépend que de x et de y. Cette classe sera notée x+ y.

Proposition III.9. L’addition dans R est associative, commutative, possède un élémentneutre et tout élément a un opposé pour l’addition.

Démonstration. Associativité Si x, y, z ∈ R et z ∈ (tn) un représentant de la classe zalors (x+ y) + z est de la classe de la suite ((rn + sn) + tn) et x+ (y + z) est la classede la suite (rn + (sn + tn)). Mais, pour tout n,

(rn + sn) + tn = rn + (sn + tn) dans Q,

d’où (x+ y) + z = x+ (y + z).Commutativité On peut montrer de la même manière que l’addition est commutative.Élément neutre L’élément neutre est (0, 0, . . . , 0, . . .).Opposé L’opposé de (rn) étant −(rn) alors la classe associée aura comme opposée la classe

associée à (−rn), elle sera notée −x.

Proposition III.10. R est un groupe abélien pour l’addition.

2 Multiplication dans R

Proposition III.11. Soient (rn), (sn) ∈ E. Alors (rnsn) ∈ E.

Démonstration. Tout d’abord, si rn ∈ E alors il existe A ∈ Q tel que A > 0 et |rn| ≤ A,pour tout n ∈ N∗ (car (rn) étant une suite de Cauchy de Q, il existe S ∈ N∗ tel quem,n ≥ S implique |rm − rn| ≤ 1). D’où :

|rn| = |rn − rs + rs| ≤ |rn − rs|+ |rs| ≤ 1 + |rs| ,

III.3. OPÉRATIONS DANS R 25

pour s ≥ S. Il suffit de prendre A = sup(|r1| , |r2| , . . . , |rs|) et ainsi, pour tout n ∈ N∗, onaura |rn| ≤ A. Maintenant, on a bien la proposition III.11 car il existe A,B ∈ N∗ tels que|rn| ≤ A et |sn| ≤ B, pour tout n ∈ N∗, d’après ce qui précède. De plus, pour tout ε > 0, ilexiste M,N ∈ N∗ tels que :

m,n ≥M ⇒ |rm − rn| ≤ε

2B, (III.7)

m,n ≥ N ⇒ |sm − sn| ≤ε

2A. (III.8)

Alors, pour tout m,n ≥ sup(M,N) :

|rmsm − rnsn| = |rm(sm − sn) + (rm − rn)sn|

≤ |rm| · |sm − sn|+ |rm − rn| · |sn|(III.7) et (III.8)

≤ A · ε2A +B · ε2B = ε.

Définition III.12 (Multiplication dans R). Soient x, y ∈ R, (rn) un représentant de x et(sn) un représentant de y alors (rnsn) ∈ E et la classe de (rnsn) dans R ne dépend que dex et de y, on la note xy et on montre aussi que, pour cette loi, R est un anneau commutatifet la classe (1, 1, . . . , 1, . . .) est l’élément neutre.

Lemme III.13. Si x appartient à R et est différent de 0 alors il existe α > 0 dans Q etun représentant (rn) de x tels que rn ≥ a ou rn ≤ −a, pour tout n.

Théorème III.14. R est un corps.

Démonstration. Il suffit de montrer que 1 6= 0 et que tout élément de R différent de 0 estinversible. On a :

– (1, 1, . . .) 6= (0, 0, . . .), les deux suites ne sont clairement pas équivalentes.– Soit x ∈ R\0. D’après le lemme III.13, il existe α ∈ Q, α > 0 et (rn) un représentantde x tel que |rn| ≥ α. Soit ε > 0 alors il existe N ∈ N∗ tel que :

m,n ∈ N⇒ |rm − rn| ≤ εα2.

Cela entraîne que, pour m,n ≥ N , on a :∣∣∣rm−1 − rn−1∣∣∣ = |rm − rn||rm| |rn|

≤ εα2

α2 = ε.

Cela implique donc que (rn−1) ∈ E. C’est le bon candidat par définition du produit.La classe de (rn−1) est la même que la clase (rn−1), elle sera notée x−1. x est doncinversible.

Conclusion : R est bien un corps.Proposition III.15. Q est inclu dans R.

Démonstration. Pour tout r ∈ Q, on associe la suite de Cauchy, (r) = (r, r, r, . . .). Alors,on montre que l’on peut identifier à l’aide d’un homomorphisme q : Q→ R tout élément rde Q comme élément de R. D’où Q ⊂ R.


III.4 Propriétés de R

Propriété III.16 (Relation d’ordre). R est muni d’une relation d’ordre (notée ≤), c’est-à-dire que, pour tout x, y ∈ R, on a : x ≤ y ou y ≤ x. Cette relation est :

– reflexive : x ≤ x,– antisymétrique : x ≤ y et y ≤ x implique x = y,– transitive : x ≤ y et y ≤ z implique x ≤ z.

Propriété III.17 (Intervalles). Il existe trois types d’intervalles :– intervalle ouvert d’extrémité a et b :

]a , b[ = x ∈ R, a < x < b ,

– intervalle fermé d’extrémité a et b :

[a , b] = x ∈ R, a ≤ x ≤ b ,

– intervalle semi-ouvert (ou semi-fermé) d’extrémité a et b :

[a , b[ = x ∈ R, a ≤ x < b .

Définition III.18 (Intrervalle borné et non-borné). Si a et b sont des nombres réels tels quea > 0 et 0 < b < +∞ alors les trois intervalles sont dits bornés. En clair, R = ]−∞ ,+∞[n’est pas un intervalle borné (ou dit qu’il est non-borné).

Définition III.19 (Demi-droite). On appelle demi-droite tout intervalle du type ]a ,+∞[,[a ,+∞[, ]−∞ , a[, ]−∞ , a].

Définition III.20 (Voisinage d’un point). Le voisinage d’un point x0 est un ensemble quicontient un intervalle ouvert de la forme ]x0 − α , x0 + α[ avec α ∈ R (on dit aussi quel’intervalle est centré en x0).

Définition III.21 (Puissance fractionnaire). On a :

q√x = x1/q

pour tout x si q est impair,pour tout x > 0 si q est pair,

etq√xp = xp/q

pour tout x si q est impair,pour tout x > 0 si q est pair.

Propriété III.22 (Puissance). On a :(i) (xy)r = xryr,(ii) xr+r′ = xrxr

′,(iii) (xr)r

′= xrr

′.

III.4. PROPRIÉTÉS DE R 27

Propriété III.23 (Somme, inégalité). Soient a, b, c, d ∈ R tels que a < b et c < d. Alorsa+ c < b+ d.

Démonstration. On a :

a < b⇒ b− a > 0, (III.9)c < d⇒ d− c > 0. (III.10)

La somme de deux entités positifs est positive donc, de (III.9) et (III.10), on en tire :

(b− a) + (d− c) > 0⇒ (b+ d)− (a+ c) > 0⇒ a+ c < b+ d.

Propriété III.24. Soient a, b, c, d ∈ R. Si 0 < a < b et 0 < cd alors ac < bd.

Démonstration. b et c sont positifs. On a, de plus,

a < b⇒ b− a > 0, (III.11)c < d⇒ d− c > 0. (III.12)

D’où :bd− ac = b(d− c) + c(b− a)

(III.11) et (III.12)> 0.

cela entraine que ac < bd.

Propriété III.25 (Opposé). Soient a, b ∈ R. Si a < b alors −b < −a.

Démonstration. Comme a < b, on a b− a > 0. b− a est une quantité positive donc −(b− a)est une quantité négative. D’où :

−(b− a) < 0⇒ −b+ a < 0⇒ −b− a.

Propriété III.26 (Au carré). Soient a, b ∈ R.(i) Si a > 0, b > 0 et a > b alors a2 > b2.(ii) Si a < 0, b < 0 et a > b alors a2 < b2.(iii) Si a, b sont de signes différents et |a| < |b| alors |a2| < |b2|.

Démonstration. Pour montrer les trois propriétés, on utilise la formule suivante :

a2 − b2 = (a− b)(a+ b).

Les termes sont postifs ou négatifs selon les signes de a et de b.

Propriété III.27 (Quotient). Soient a, b ∈ R.


(i) Si a et b sont de même signe alors 1a> 1

b.

(ii) Si a et b sont de signes différents (a < 0 et b > 0) et a < b alors 1a< 1

b.

Démonstration. On peut utiliser la formule :

1b− 1a

= b− aba

pour déduire les deux propriétés.

Définition III.28 (Valeur absolue). Soit x ∈ R. La valeur absolue de x est définie de lamanière suivante :

|x| =

x si x > 0,−x si x < 0.

Propriété III.29. Soient x, a, b ∈ R.(i) On a :

|x| < a⇔ (x < a et − x < a)⇔ (x < a et x > −a)⇔ −a < x < a.

(ii) |a+ b| ≤ |a|+ |b|,(iii) ||a| − |b|| ≤ |a+ b| ≤ |a|+ |b|.

Démonstration. (i) La propriété est déductible de la définition de la valeur absolue.(ii) On a :

− |a| ≤ a ≤ |a| et − |b| ≤ b ≤ |b| .

D’où,−(|a|+ |b| < a+ b < |a|+ |b| .

On pose α = |a|+ |b|, on a alors :

−α ≤ a+ b ≤ α⇔ |a+ b| ≤ α⇔ |a+ b| ≤ |a|+ |b| .

(iii) Reste plus qu’à montrer que ||a| − |b|| ≤ |a+ b|. On a :

|a| = |a+ b− b| ≤ |a+ b|+ |−b| = |a+ b|+ |b| (III.13)|b| = |b+ a− a| ≤ |a+ b|+ |−a| = |a+ b|+ |a| . (III.14)

En combinant (III.13) et (III.14), on obtient deux autres inégalités :

|a| − |b| ≥ |a+ b| , (III.15)−(|a| − |b|) ≤ |a+ b| . (III.16)

Avec les inégalités (III.15) et (III.16), on arrive à ||a| − |b|| ≤ |a+ b|.

III.5. MAJORANT ET MINORANT D’UN SOUS-ENSEMBLE 29

III.5 Majorant et minorant d’un sous-ensemble

Définition III.30 (Ensemble majoré, minoré). Soit E un ensemble inclu dans R. On ditque E est majoré (resp. minoré) s’il existe au moins M (resp. m) tel que, pour tout x ∈ E,x ≤M (resp. x ≥ m).

Exemple III.31. SoitEn =

(1 + 1

n

), n ∈ N∗

.

On montre que 3 est un majorant de En. On a :(

1 + 1n

)n=(

n∑k=0

Ckn

1nk

)+ 1 = 1 +

(n∑k=1

1× n(n− 1) · · · (n− k + 1)k!× nk

)

= 1 +n∑k=1

1k!

(n− 1n

)× · · · ×

(n− p+ 1

n

)

= 1 +(

n∑k=1

1k!

(1− 1

n

)·(

1− 2n

)· · · · ·

(1− p− 1

n

))

≤ 1 + 11! + 1

2! + · · ·+ 1n!

Mais k! = k(k − 1)(k − 2) · · · 2 > 2k−1

≤ 1 +(

1 + 12 + · · ·+ 1

2n−1

)= 1 +

1− 12p

1− 12

= 2 ·(

1− 12p)< p.

Ce qui implique que : (1 + 1

n

)n≤ 1 + 2 = 3.

Définition III.32 (Plus grand élément). Soient E un ensemble inclu dans R et a ∈ E. aest dit plus grand élément de E si :

1. a ∈ E,2. a est un majorant de E.

Proposition III.33. Si a est un plus grand élément de E alors il est unique.

Démonstration. Si a 6= a′ est un autre plus grand élément de E alors a′ ∈ E et a ≤ a′. Maispar hypothèse, x ≤ a, pour tout x ∈ E. D’où a ≤ a′ et a = a′.

Définitions III.34 (Borne supérieure, inférieure). Soient E un ensemble inclu dans R eta ∈ E.

1. a est une borne supérieure de E si a est le plus petit des majorants.2. a est une borne inférieure de E si a est le plus grand des minorants.


Exemple III.35. Si E = [a , b] ∪ [c , d[ alors pour tout α ≥ d, on a que α est un majorantde E. La borne supérieure de E est le plus petit des majorants, c’est-à-dire d. Mais d /∈ Edonc E ne possède pas de borne supérieure.

Remarque III.36. La borne supérieure n’est pas nécessairement le plus grand élément deE. E n’a pas forcément de plus grand élément.

Proposition III.37 (Caractérisation de la borne supérieure). Si a est une borne supérieurede E ⊂ R alors a est unique. On a la caractérisation suivante :

∀b < a, ∃x0 ∈ E tels que b < x0 ≤ a,

cela veut dire :∀ε > 0, ∃x0 tels que a− ε < x0 ≤ a.

Démonstration. 1. a étant le plus petit des majorants : si x est le majorant alors x ≤ a.2. S’il existe b ∈ R tel que pour tout x0, on ait x0 ≤ b (c’est-à-dire seconde borne

supérieure), ce serait b le plus petit des majorants car b ≤ a, ce qui contredirait ladéfinition de a.

Exemples III.38. 1. Soit E = [0 , 1] ⊂ R. 1 est le plus grand élément et la bornesupérieure de E.

2. Soit E = [0 , 1[ ⊂ R. 1 est la borne supérieure de E mais il n’est pas le plus grandélément de E.

Proposition III.39. (i) Si E est un ensemble non vide majoré inclu dans R alors Eadmet une borne supérieure.

(ii) Si E est un ensemble non vide minoré inclu dans R alors E admet une borne inférieure.

III.6 Suites réelles

1 Généralités

Théorème III.40. Tout nombre réel est limite d’une suite de nombres rationnels. On ditque Q est dense dans R

On rappelle la définition d’une suite de Cauchy :

Définition III.41 (Suite de Cauchy). Soit (rn)n∈N une suite dans Q. Elle est dite deCauchy si elle vérifie :

∀ε > 0, ε ∈ Q, ∃N ∈ N∗, (m,n > N)⇒ |rm − rn| < ε.

Théorème III.42 (Critère de Cauchy). Une suite (un)n∈N de nombres réels a une limitesi et seulement si un est une suite de Cauchy.

III.6. SUITES RÉELLES 31

Démonstration. On suppose que la suite (un)n∈N tend vers u. Alors :

∀ε > 0,∃N, n ≥ N ⇒ |un − u| ≤ε

2 ,

m ≥ N ⇒ |um − u| ≤ε

2 ,

d’où :|un − um| = |un − u+ u− um| ≤ |un − u| ≤ |um − u| ≤

ε

2 + ε

2 = ε.

La suite (un)n∈N est donc de Cauchy.Théorème III.43. Tout ensemble majoré non vide de R admet une borne supérieure.Démonstration. Soient E un enseble non vide majoré inclus dans E, b0 un majorant de Eet a0 ∈ E. Cela entraîne donc que a0 ≤ b0. On définit par récurrence deux suites :

– (an)n∈N, une suite croissante d’éléments de E,– (bn)n∈N, une suite décroissante de majorants de E

et tels que :|bn − an| < 2−n(b0 − a0), ∀n ∈ N. (III.17)

La propriété (III.17) est vérifiée pour n = 0, c’est-à-dire b0 − a0 ≤ 2−0(b0 − a0). Onsuppose qu’on a construit une suite croissante (ak)1≤k≤p−1 d’éléments dans E et une suitedécroissante (bk)1≤k≤p−1 qui vérifient :

bi − ai ≤ 2i(b0 − a0), pour tout 0 ≤ i ≤ p− 1.

On va construire ap et bp et on pose tp−1 = 12(ap−1 + bp−1).

1. Si tp−1 est un majorant de E, on pose bp = tp−1 et ap = ap−1.2. Si tp−1 n’est pas un majorant de E alors il existe ap ∈ E tel que ap ≥ tp−1. Dans ce

cas, on prend bp = bp−1.Dans les deux cas, on obtient bp ≤ bp−1 et ap−1 ≤ ap et de plus,

bp − ap ≤12(bp−1 − ap−1) = 1

2(2−(p−1)(b0 − a0)) ≤ 2−p(b0 − a0).

On poursuit ainsi la construction des suites (an)n∈N et (bn)n∈N. Mais :

∀ε > 0, ∃N, n > N ⇒ 2−n(b0 − a0) ≤ ε,

m > N ⇒ 2−m(b0 − a0) ≤ ε.

Donc si m > n > N , on a :

aN ≤ an ≤ am ≤ bN ⇒ |am − an| ≤ |bN − aN | ≤ 2−N(b0 − a0) ≤ ε.

Donc la suite (an)n∈N est une suite de Cauchy. D’après le théorème III.42, (an)n∈N converge.Donc il existe a ∈ R tel que limn→+∞ an = a. Mais lim(bn − an) = b et bn = (bn − an) + an.On a ainsi :

lim bn = lim(bn − an) + lim an = a = lim an.

Reste à montrer que a est la borne supérieure de E :


– Si x ∈ E alors x ≤ bn ≤ lim bn ≤ a, pour tout n.– Si y est majorant de E alors on a yn ≤ y ⇒ lim an ≤ y ⇒ a ≤ y (a est donc le pluspetit des majorants.

Corollaire III.44. Tout ensemble minoré non vide de R admet une borne inférieure. SiE est cet ensemble alors E est non vide majorée donc admet une borne supérieure qui estla borne inférieure de E.

2 Suites monotones réelles

Définitions III.45 (Suite croissante, décroissante). 1. On dit qu’une suite (un)n∈N estcroissante si u1 ≤ · · · ≤ un.

2. On dit qu’une suite (un)n∈N est décroissante si u1 ≥ · · · ≥ un.

Proposition III.46. (i) Une suite croissante est toujours minorée par u0 mais pasnécessairement majorée.

(ii) Une suite décroissante est toujours majorée par u0 mais pas nécessairement minorée.

Définition III.47 (Suite bornée). Si (un)n∈N est minorée et majorée alors on dit qu’elleest bornée.

Remarque III.48. Une suite bornée n’est pas nécessairement convergente. Si on considèrela suite (un)n∈N tel que un = (−1)n, on a, pour tout n ∈ N, |un| = 1 (donc elle est bornée)mais un ne converge ni vers 1 ni vers −1.

Théorème III.49. Si (un)n∈N est croissante et majorée alors (un)n∈N converge vers `,c’est la borne supérieure des un.

Démonstration. On considère U = un, n ∈ N, c’est un ensemble donc d’après le théorèmeIII.43, il admet une borne supérieure u. Soit ε > 0 alors il existe N ∈ N tel que,

∀n > N, un > u− ε.

On a : u− ε < uN ≤ un ≤ u ≤ u+ ε (où u = supn(un)). D’où :

∀ε > 0, ∃n, ∀n > N, u− ε ≤ un ≤ u+ ε⇔ |un − u| ≤ ε.

Donc : lim un = u.

Corollaire III.50. Si (un)n∈N est décroissante et minorée alors (un)n∈N converge vers `,c’est la borne inférieure des un.

Démonstration. On change un par −un et on revient à la situation du théorème III.49.

Théorème III.51 (Bolzano-Weirestrass). Si (un)n∈N est une suite bornée de nombres réels,on peut en extraire une sous-suite convergente.


Démonstration. SoitI = i ∈ N, ui majore ui+1, ui+2, . . . .

1. Si I est infini, on considère i1, i2, i3, . . . les entiers de I rangés dans l’ordre croissant.D’après la définition de I, la suite (ui1 , ui2 , . . .) est bornée et a une limite finie d’aprèsle corollaire III.50 car cette suite est décroissante et minorée.

2. Si I est fini alors il existe j1 ∈ N tel que j1 est strictement plus grand que tous lesentiers de I. On a ainsi j1 /∈ I et j2 > j1 tel que uj2 > uj1 . Donc j2 /∈ I, il existej3 > j2 tel que uj3 > uj2 , . . . Par construction, la suite (uj1 , uj2 , . . .) est bornée, elleest croissante donc converge (d’après le théorème III.51).

3 Limites infinies

Définition III.52 (Limite infinie). On dit que la suite (un)n∈N tend vers +∞ si, pour toutA ∈ R, il existe N tel que

n ≥ N ⇒ un > A.

Dans ce cas, on écrira lim un = +∞.

Proposition III.53. Si (un)n∈N tend vers l’infini alors toute suite infinie extraite de(un)n∈N est une suite tendant vers l’infini.

Démonstration. Si (uni)i∈N est une suite extraite de (un)n∈N, comme un → +∞ alors :

∀A > 0, ∃N ∈ N∗, n > N ⇒ un > A.

Comme (unk)k∈N est une suite infinie, pour tout nk > N , unk

vérifie la propriété unk> A.

Proposition III.54. (i) Si un → +∞ et vn → +∞ alors un + vn → +∞.(ii) Si un → −∞ et vn → −∞ alors un + vn → −∞.(iii) Si un → +∞ et vn est majorée par µ ∈ R alors un + vn → +∞.(iv) Si un → +∞ et vn → −∞, on ne peut rien dire a priori sur la limite de la suite

un + vn.

Démonstration de la proposition III.54-(iii). On a :

∀A > 0,∃N, ∀n > N, un > A− µ⇒ ∀A > 0,∃N,∀n > N, un + vn > A− µ+ µ

⇒ ∀A > 0,∃N,∀n > N, un + vn > A

⇒ lim un + vn = +∞.

Exemples III.55. 1. Si un = n et vn = −n+ 1nalors lim un + vn = 0.


2. Si un = n2 et vn = −n alors

un + vn = n2 − n = n(n− 1)→ +∞.

3. Si un = n et vn = −n2 alors

un + vn = n− n2 = n(1− n)→ −∞.

4. En général, on a une forme indéterminée et il faut lever l’indétermination.

Proposition III.56. (i) Si un → +∞ et vn → +∞ alors unvn → +∞.(ii) Si un → +∞ et vn → minf alors unvn → −∞.(iii) Si un → +∞ et vn → ` une limite fini et positive alors unvn → +∞. Si vn < 0 alors

unvn → +∞.

Démonstration. Si vn → ` alors :

∀ε > 0, ∃N, n > N ⇒ |vn − `| < ε.

On prend ε = `2 et on a la relation suivnate :

|vn − `| ≤`

2 ⇒ `− `

2 ≤ vn ≤ `+ `

2 ⇒ vn ≥`

2 .

Donc la suite (vn)n∈N est minorée. On note α = `2 . Comme un → +∞

∀A, ∃N, n > N ⇒ un ≥A

α

⇒ ∀A, ∃N, n > N ⇒ unvn ≥A

α× α

car on a montré que un ≥ A. Donc unvn ≥ A et en changeant vn par −vn, on obtient queun → +∞ et vn → ` < 0 implique que unvn → +∞.

Définition III.57 (Suites adjacentes). Soient (un)n∈N et (vn)n∈N deux suites réelles. Ondit qu’elles sont adjacentes si

1. (un)n∈N est une suite croissante et (vn)n∈N est une suite décroissante ;2. pour tout n ∈ N, un ≤ vn ;3. limn→+∞(un − vn) = 0.

Théorème III.58 (Théorème des suites adjacentes). Soient (un)n∈N et (vn)n∈N deux suitesadjacentes. Alors elles sont convergentes et convergent vers la même limite `.


Démonstration. On suppose que (un)n∈N est une suite croissante et (vn)n∈N est une suitedécroissante tels que (un)n∈N et (vn)n∈N sont deux suites adjacentes. On a alors, pour toutn, un ≤ vn et comme (vn)n∈N est décroissante, pour tout n, vn ≤ v0. D’où, pour tout n,un ≤ v0, la suite (un)n∈N est croissante et majorée par v0 donc elle converge et on note` sa limite. On raisonne de la même façon pour montrer que (vn)n∈N converge. Comme(un)n∈N converge alors, pour tout n, u0 ≤ un et on a, de plus, un ≤ vn. D’où, pour toutn ∈ N, u0 ≤ vn. La suite (vn)n∈N est décroissante et minorée donc elle converge et on notesa limite `′. On montre que ` et `′ sont deux quantités égales. On a :

lim(un − vn) = 0⇒ lim un − lim vn = 0⇒ `− `′ = 0⇒ ` = `′.

Lemme III.59. Soit (un)n∈N une suite et (u2n)n∈N, (u2n+1)n∈N deux suites extraitesde (un)n∈N. Si (u2n)n∈N et (u2n+1)n∈N convergent vers une même limite ` alors (un)n∈Nconverge vers `.

Démonstration. On suppose que lim u2n = ` = lim u2n+1. On a donc :

∀ε > 0, ∃N1 ∈ N, n ≥ N1, |u2n − `| < ε,

∀ε > 0, ∃N2 ∈ N, n ≥ N2, |u2n+1 − `| < ε.

Soit la suite (up)p∈N constituée des u2n et u2n+1. Si p = 2n, alors n ≥ N1 ⇒ p ≥ 2N1 etsi p = 2n + 1 alors n ≥ N2 ⇒ p ≥ 2N2 + 1. On prend donc p ≥ max(2N1, 2N2 + 1) pourassurer la convergence des up vers `.

Exemple III.60. On considère

un =n∑k=1

1k2 .

1. On montre que (un)n∈N est une suite croissante. On a :

un+1 − un =n+1∑k=1

1k2 −

n∑k=1

1k2 = 1

(n− 1)2 .

Donc, pour tout n ∈ N, on a un+1 − un > 0, d’où la suite est croissante.2. On montre que (un)n∈N est une suite majorée. On a, pour tout k ≥ 2, k2 > k(k − 1),

donc :1k2 <

1k(k − 1) .

Mais :1

k(k − 1) = 1k − 1 −

1k.


Donc :n∑k=1

1k2 < 1 +

n∑k=2

1k(k − 1) < 1 +

n∑k=2

( 1k − 1 −

1k

)

< 1 +(

1− 12

)+(1

2 −13

)+ · · ·+

( 1n− 1 −

1n

)< 2− 1

n< 2,

donc (un)n∈N est majorée. Donc, d’après le théorème III.42, (un)n∈N converge versune certaine limite `. Comme un > 0, ` > 0, d’après un autre théorème. En fait ` > 0car (un)n∈N est croissante.

Remarque III.61. Le théorème sur les suites adjacentes permet d’obtenir des valeursapprochées de la limite de ces deux suites. Donc, ici, cela permet d’approcher la limite deun.Corollaire III.62. Soient (an)n∈N et (bn)n∈N deux suites adjacentes à partir d’un certainrang N ∈ N. Si ` est leur limite commune, alors :

∀n ≥ N, an ≤ ` ≤ bn et 0 ≤ `− an ≤ bn − an.

Démonstration. On a, pour tout m,n ∈ N, an ≤ an+m car la suite (an)n∈N est croissante.Donc si on fixe n et on fait tendre m vers l’infini, on obtient :

an = limm→+∞

an+m ≤ limm→+∞,n→+∞

an+m = `⇒ an ≤ `.

De même, on montre que ` ≤ bn avec les mêmes arguments.Exemple III.63. Soit

Pn(X) =n∑k=0

Xk

k! .

On considère un = Pn(−1), an = P2n+1(−1) et bn = P2n(−1). Alors :

an = bn −1

(2n+ 1)! ≤ bn ⇒ an ≤ bn, ∀n ≥ 1.

D’autre part,an+1 − an = 1

(2n+ 1)! −1

(2n+ 3)! ≥ 0

donc (an)n∈N croissante. De même, on montre que (bn)n∈N est décroissante. Donc, d’après lethéorème III.58, (an)n∈N et (bn)n∈N convergent et leurs limites sont identiques. Or, d’aprèsle lemme III.59, (un)n∈N est convergente. Si ` = limn→+∞ un, d’après le corollaire III.62, ona :

0 ≤ `− P2n+1(−1) ≤ 1(2n+ 1)! avec bn − an = P2n(−1)− P2n−1(−1) = 1

(2n+ 1)! .

Remarque III.64. On a :

Pn(x) =n∑k=0

xk

k! = ex.

III.7. EXERCICES 37

III.7 Exercices

Exercice III.1. Le maximum de deux nombres réels x, y est noté max x, y. De même,on note par min x, y le minimum de x et de y. Montrer que

max x, y = x+ y + |x− y|2 et min x, y = x+ y − |x− y|

2 .

Trouver une formule pour max x, y, z.

Exercice III.2. Soit E =

1n

cosn, n ∈ N∗; calculer inf E et supE.

Exercice III.3. Soit :I =

x ∈ R, −2 < x+ 1

2x ≤ 2.

1. Montrer que I est la réunion de deux intervalles.2. Déterminer (s’ils existent) : les majorants, les minorants, la borne supérieure, la borne

inférieure, le plus grand élément, le plus petit élément de I.

Exercice III.4. Montrer que la suite(

sinn2n

)est de Cauchy et que la suite

((−1)n + 1

n

)ne

l’est pas.

Exercice III.5. Montrer que la suite définie par

un = 1 + cos 11! + cos 2

2! + · · ·+ cosnn!

est une suite de Cauchy.

Exercice III.6. Étudier la suite (un)n∈N définie par u0 = 0 et un+1 = (un−3)2

4 .

Exercice III.7. Étudier la suite définie par un+1 = e−un et u0 = 0.

Exercice III.8. Montrer que la suite((

lognn

))n∈N

est convergente et trouver sa limite.

Exercice III.9. Pour tout entier n ≥ 1, posons

un = 113 + 1

23 + · · ·+ 1n3 et vn = un + 1

n2 .

Montrer que les suites (un) et (vn) sont adjacentes.

Exercice III.10. Nous allons étudier la suite de terme général un =(1 + 1

n

)n.

1. Montrer par récurrence(1 + 1

n

)q< 1 + q

n+(q

n

)2, pour tous n, q (n ≥ q ≥ 1) entiers.


2. En déduire que l’on a(1 + 1

n

)n< 3 pour tout entier n ≥ 1.

3. Pour n un entier supérieur à 1, posons a = 1 + 1n+1 et b = 1 + 1

n. Montrer que l’on a

a < b etbn+1 − an+1 < (b− a)(n+ 1)bn.

En déduire que bn < an+1.4. Montrer que la suite (un) est croissante, convergente et que sa limite est un nombre

compris entre 2 et 3. (Au fait, cette limite est le nombre e.)

CHAPITRE IV

FONCTIONS CONVEXES ET CONCAVES

IV.1 Courbes convexes et concaves

Définitions IV.1 (Arc convexe, concave). Soient f : I → R une fonction définie sur unintervalle I ⊂ R à valeurs réelles et Γ son graphe.

– On dira que Γ est convexe vers les y négatifs si tout arc_

M1M2 de Γ est situé endessous de la droite M1M2.

– On dira que Γ est concave vers les y négatifs si tout arc_

M1M2 de Γ est situé audessus de la droite M1M2.

Théorème IV.2. (i) Si f : I → R admet une dérivée seconde strictement positive, legraphe Γ de f sur I est convexe vers les y négatifs.

(ii) Si f : I → R admet une dérivée seconde strictement négative, le graphe Γ de f sur Iest concave vers les y négatifs.

On rappelle l’énoncé du théorème de Rolle :

Théorème IV.3 (Théorème de Rolle). Soit f : I → R une fonction définie sur un intervalleI. Si f est dérivable sur ]x1 , x2[ ⊂ I et f(x1) = f(x2) alors il existe c ∈ ]x1 , x2[ tel quef ′(c) = 0.

La figure IV.1 présente une illustration du théorème de Rolle.

Démonstration du théorème de Rolle. 1. f est constante sur [a , b] si, pour tout x ∈ [a , b],f ′(x) = 0.

2. Si f n’est pas constante alors f([a , b]) = [m,M ], il existe au moins un point [a , b]où f réalise son minimum et un point où f réalise son maximum. Comme f n’estpas constante, m 6= M . Donc m ou M sont différents de f(a) et f(b). Supposons quec’est M (on peut faire la même chose avec m), il existe c ∈ ]a , b[ tel que f(c) = M .Comme f est dérivable en c alors f est définie autour de c. On pose :

θ(x) = f(x)− f(c)x− c

.

39

40 CHAPITRE IV. FONCTIONS CONVEXES ET CONCAVES

y

xc

f(c)

x1 x2

f(x1) = f(x2)

Figure IV.1 – Illustration du théorème de Rolle

(a) Si x→ c avec x < c alors x− c < 0 et f(x)− f(c) < 0, pour tout x car f(c) estle maximum. Donc :

f(x)− f(c)x− c

> 0⇒ limx→c−

θ(x) = f ′(c) ≥ 0. (IV.1)

(b) Si x→ c avec x > c et f(x)− f(c) < 0, pour tout x. On a :

f(x)− f(c)x− c

< 0⇒ limx→c+

θ(x) = f ′(c) ≤ 0. (IV.2)

Si on combine (IV.1) et (IV.2), on obtient f ′(c) = 0.

Démonsration du théorème IV.2. Soit M1(x1) et M2(x2) deux points de Γ. L’équation dela droite M1M2 est y = mx + n. Soit ϕ(x) = QM = f(x) − (mx + n). On a alorsϕ′(x) = f ′(x)−m et ϕ′′(x) = f ′′(x). Or f ′′(x) > 0 sur I donc ϕ′′(x) > 0 sur ]x1 , x2[. Maispar construction, ϕ(x1) = ϕ(x2) = 0. Alors, d’après le théorème de Rolle appliqué à ϕ sur]x1 , x2[, il existe c ∈ ]x1 , x2[ tel que ϕ′(c) = 0. Mais (ϕ′)′ = ϕ′′ et ϕ′′(x) = f ′′(x) > 0 doncϕ′ est strictement croissante donc ϕ′ ne s’annule qu’une fois sur ]x1 , x2[. D’où :

– si f ′′(x) > 0, on a le tableau de variations suivant :

x x1 c x2ϕ′(x) − 0 +

0 0ϕ(x)

µ

IV.1. COURBES CONVEXES ET CONCAVES 41

– si f ′′(x) < 0, on a le tableau de variations suivant :

x x1 c x2ϕ′(x) + 0 −

µϕ(x)

0 0

Ainsi,– si ϕ < 0 alors f(x)− (mx+ n) ≤ 0 et Γ est convexe sur ]x1 , x2[ donc Γ est convexe(car f ′′(x) > 0).

– si ϕ > 0 sur ]x1 , x2[ alors f(x)− (mx+ n) > 0 donc Γ est concave (car f ′′(x) < 0).

y

x

M1

M2

y

xM1

M2

Figure IV.2 – Fonctions concave et convexe

Exemples IV.4. 1. La fonction ex a pour dérivée (seconde) elle-même et comme lafonction est toujours positive, le graphe Γ est convexe.

2. La fonction ln(x) a pour dérivée seconde −x−2 qui est toujours négative, le graphe Γest concave.

Théorème IV.5. (i) Si f : I → R admet une dérivée seconde strictement positive, legraphe Γ de f sur I est au dessus de la tangete T0 en l’un quelconque de ces pointsM0.

(ii) Si f : I → R admet une dérivée seconde strictement négative, le graphe Γ de f sur Iest en dessous de la tangete T0 en l’un quelconque de ces points M0.

Démonstration. Soient M = M(x) ∈ Γ et T = T (x) ∈ T0. Donc :

TM = g(x) = g(x)− f(x0)− (x− x0)f ′(x0)


y

x

M0

M

T0

y

x

M0

M

T0

Figure IV.3 – Fonctions concave,convexe et tangentes

car T0 est l’équation y = mx+ n avec m = f ′(x0) et n = f(x0)− f ′(x0)x0. Ainsi :

y = (x− x0)f ′(x0) + f(x0).

Le développement limité de g à l’ordre 2 sur ]x0 , x[ est :

g(x) = g(x0) + (x− x0)g′(x0) + 12(x− x0)2g′′(ξ)

avec ξ ∈ ]x0 , x[. Or g(x0) = g′(x0) = 0 et g′′(x) = f ′′(x). Donc :

TM = 12(x− x0)2f ′′(ξ)

et, pour tout x ∈ I,– TM > 0 si f ′′(x) > 0,– TM < 0 si f ′′(x) < 0.

IV.2 Fonctions convexes et concaves

Définition IV.6 (Fonction convexe). Soit f : I → R une fonction définie sur un intervalleréel I. On dit que f est convexe si, pour tous x1 et x2 de I et tout λ ∈ [0 , 1], on a :

f(λx1 + (1− λ)x2) ≤ λf(x1) + (1− λ)f(x2).

Définition IV.7 (Fonction concave). Soit f : I → R une fonction définie sur un intervalleréel I. On dit que f est concave, si −f est une fonction convexe.

Théorème IV.8. Si f est convexe sur I (un intervalle de R) alors elle admet, en toutpoint x0 ∈ I, une dérivée à droite et une dérivée à gauche. De plus, f est continue en x0.

IV.3. EXERCICES 43

Théorème IV.9. Si f : I → R est continue et si pour tous x, x′ ∈ I, on a :

f

(x+ x′

2

)= 1

2 (f(x) + f(x′))

alors f est convexe sur I.

La réciproque est évidente : si f est convexe sur I alors, par définition,

f(αx+ (1− α)x′) ≤ αf(x) + (1− α)f(x′).

En particulier, si α = 12 , on a bien la condition du théorème.

Indication de démonstration pour le théorème IV.9. Soit la fonction

θ : x 7→ θ(x) = f(x)− f(x0)x− x0

.

1. On montre que x 7→ θ(x) est croissante quand x < x0.2. On montre que θ(x) est majorée au voisinage de x0.

En combinant les deux résultats, on obtient que la limite suivante existe :

limx→x0,x<x0

θ(x).

D’autre part, comme f(x)− f(x0) = (x− x0)θ(x). On a bien limx→x0 f(x) = f(x0) car fest bornée.

IV.3 Exercices

Exercice IV.1. Soient p, q ∈ ]0 ,+∞[ tels que 1p

+ 1q

= 1.1. Montrer que, pour tout x, y > 0, xy ≤ xp

p+ yq

q.

2. Soient x1, . . . , xn, y1, . . . , yn > 0. Montrer l’inégalité de Hölder :n∑i=1

xiyi ≤(

n∑i=1

xpi

)1/p

·(

n∑i=1

yqi

)1/q

.

3. Soit p > 1. En écrivant (xi + yi)p = xi(xi + yi)p−1 + yi(xi + yi)p−1, montrer l’inégalitéde Minkowski : (

n∑i=1

(xi + yi)p)1/p

≤(

n∑i=1

xpi

)1/p

+(

n∑i=1

ypi

)1/p

.

4. Soient (an) une suite strictment positive,

un =n∑k=1

a2k et vn =

n∑k=1

akk.

Montrer que si (un) converge alors (vn) converge aussi.


Exercice IV.2. Soit f ∈ C 2(R) convexe.1. Montrer que f ′ admet une limite dans R en +∞.2. En déduire que f(x)

xadmet une limite en +∞ (on pourra utiliser des ε et une formule

de Taylor à l’ordre 1).

CHAPITRE V

COURBES PARAMÉTRÉES

V.1 Courbes paramétrées

Définition V.1 (Courbe paramétrée). Soient n ∈ N. On appelle courbe paramétrée,toute fonciton du type : M : R → Rn telle que t 7→M(t). L’ensemble des points M(t) estl’ensemble des points de la courbe.

On se place dans le cas n = 2 et on note t 7→M(t) = (x(t), y(t)) la courbe paramétrée(voir figure V.1).

y

x

Figure V.1 – Exemple de courbes paramétrées

Proposition V.2 (Continuité des courbes paramétrées). La fonction M : R → R2 estcontinue si et seulement si t 7→ x(t) et t 7→ y(t) sont continues.

Proposition V.3 (Dérivabilité des courbes paramétrées). La fonction M : R → R2 estdérivable si et seulement si t 7→ x(t) et t 7→ y(t) sont dérivables.

45

46 CHAPITRE V. COURBES PARAMÉTRÉES

Définition V.4 (Arc). Si I = [a , b] est un intervalle fermé borné, la courbe engendrée estun arc d’d’origine M(a) et d’extrémité M(b). Si M(a) = M(b), on dira que l’arc est fermé(voir figure V.2).

y

xM(0) =M(π)

Figure V.2 – Arc fermé

Définition V.5 (Paramétre). Soit M : t 7→ (x(t), y(t)) une courbe paramétrée. On appellet le paramètre. On appelle représentation paramétrique de M(t), les fonctions x = x(t) ety = y(t) (voir figure V.3).

Remarques V.6. 1. Soit t une courbe paramétrique, c’est-à-dire :t : I ⊂ R → R2

u 7→ ϕ(u) .

Alors u 7→M(t) = M(ϕ(u)) = M ϕ(u) est une nouvelle courbe paramétrée déduite dela précédente par le changement de paramètres t = ϕ(u). Si ϕ : B → A est surjective,la nouvelle courbe a le même ensemble de points que l’ancienne. Une même courbeadmet, donc, une infinité de représentation paramétrique.

2. Si M(t) = (x(t), y(t)) = (t, y(t)) alors M(t) est le graphe de la fonction t 7→ y(t). Tousles résultats précédents de ce cours sont valables pour des fonctions à une variableréelle dans R.

Exemple V.7. Soient x0, y0, a, b ∈ R tels que a et b sont non tous les deux nuls. AlorsM(t) = (x(t), y(t)) avec x(t) = x0 = at et y(t) = y0 +bt est une représentation paramétriquede la droite qui passe par (x0, y0) et parallèle au vecteur #—v = (a, b). En effet, on a :

y − y0

x− x0= b

a.

V.2. TANGENTE DE COURBES PARAMÉTRIQUES 47

y

x

y(t)

x(t)

Figure V.3 – Représentation paramétrique

V.2 Tangente de courbes paramétriques

Définition V.8 (Tangente). Soient Γ : t 7→M(t) une courbe paramétrée et M0 = M(t0).On dit que Γ admet une tangente en t0 (ou en M0) si

1. pour tout ε > 0, il existe un t tel que |t− t0| < ε et M(t) 6= M0 ;2. la droite M0M(t) tend vers une limite quand t→ t0.

Théorème V.9. Si Γ = M(t) est dérivable en t0 et si M ′(t0) 6= 0 alors Γ admet unetangente pour t = t0 parallèle au vecteur M ′(t0).

Démonstration. Si t tend vers t0 et t différent de t0 alors :

limt→t0

# —

M(t)−# —

M(t0)t− t0

= M ′(t0)

avec :# —

M(t)−# —

M(t0) =(x(t)− x(t0)

t− t0,y(t)− y(t0)

t− t0

)= (x′(t0), y′(t0)).

Or M ′(t0) 6= 0, d’où M(t) 6= M(t0) pour t 6= 0 et |t− t0| suffisament petit. La propriété 1de la définition V.8 est vérifiée, la droite M(t0)M(t) est bien définie pour t 6= t0 et |t− t0|suffisament petit. Or, quand on passe à la limite t → t0 alors M(t0)M(t) qui est égale à# —

M(t)−# —

M(t0) est parallèle au vecteur (t− t0)−1(# —

M(t)−# —

M(t0).

Définition V.10 (Vecteur vitesse). On appelle le vecteur M ′(t0), vecteur vitesse de M .


y

x

Figure V.4 – Tangente à la courbe

Définition V.11 (Orientation de la tangente). Si M ′(t) 6= 0, on dit que M ′(t) définit uneorientation de la tangente en M(t).

Proposition V.12. Si on choisit une base orthonormale dans le plan de la trajectoire, M(t)(resp. M ′(t)) a pour coordonées (x(t), y(t)) (resp. (x′(t), y′(t))) et le vecteur de coordonnées(y′(t),−x′(t)) est orthogonale à M ′(t).

Démonstration. On rappelle que les vecteurs #—v et #—w sont orthogonales si leur produitscalaire 〈v, w〉 est nulle. Or, on a bien :

x′(t)× y(t) + y′(t)× (−x′(t)) = 0.

Définition V.13 (Point stationnaire). Si M ′(t) existe et M ′(t0) = 0, on dira que M(t) eststationnaire pour t = t0.

Remarque V.14. Supposons t 7→M(t) est p fois dérivable (c’est-à-dire, d’après la propo-siton V.3 que t 7→ x(t) et t 7→ y(t) sont p fois dérivable) et que la pe dérivée est continue auvoisinage de t0. Supposons aussi queM ′(t0),M ′′(t0), . . .,M (p−1)(t0) = 0 et queM (p)(t0) 6= 0.Alors, d’après la formule de Taylor à l’ordre p, on a :

# —

M(t)−# —

M(t0) = (t− t0)pp! M (p)(t0) + (t− t0)p(ε1(t), ε2(t)).

V.3. FORME D’UNE COURBE AU VOISINAGE D’UN POINT 49

V.3 Forme d’une courbe au voisinage d’un point

Proposition V.15. On suppose que t 7→ M(t) est infiniment dérivable dans un ouvertcontenant t0. Soit p le plus petit entier strictement supérieur à 0 tel que M (p)(t0) 6= 0. Soitq le plus petit entier strictement supérieur à p tel que M (q)(t0) soit non parallèle à M (q)(t0).On pose #—e := M (p)(t0) et #—

f := M (q)(t0). On a alors :

M (r)(t0)λr #—e , pour tout p < r < q.

et :

M(t0 + h)−M(t0) =q−1∑k=p

hk

k! λk#—e + hq

q!#—

f + hqO(1)

avec λp = 1 et O(1) = #—e (x(t), y(t)). Si

γ =q−1∑k=p

hk

k! λk + hq

q!O(1)

η = hq

q! (1 +O(1)),

on a alors :M(t0 + h)−M(t0) = γ #—e + η

#—

f .

Proposition V.16 (Points singuliers de la courbe). Le tableau V.1 donne tous les typesde points singuliers qu’on peut retrouver dans des courbes paramétrées.

q ↓ / p → pair impair

pair rebroussement deseconde espèce ordinaire

impair rebroussement depremière espèce inflexion

Table V.1 – Points singuliers de courbes paramétrées

Démonstration. On peut retrouver les résultats en calculant et en trouvant le signe de(t− t0)p.

V.4 Branches infinies

Définition V.17 (Branche infinie). Une courbe Γ présente une branche infinie quandt→ t0, t 6= t0 si la distance M(t) a un point fixe Ω quelconque du plan tend vers +∞.


M(q) (t 0

)

M (p)(t0)M(t0)

point ordinaire

M(q) (t 0

)

M (p)(t0)M(t0)

point d’inflexion

M(q) (t 0

)

M (p)(t0)M(t0)

point de rebroussement de premiere espece

M(q) (t 0

)

M (p)(t0)M(t0)

point de rebroussement de seconde espece

Figure V.5 – Points singuliers des courbes paramétrées

V.4. BRANCHES INFINIES 51

Proposition V.18. Soient f(t) et g(t) les coordonnées de M(t) dans un système d’axedonné. Alors Γ a une branche infinie si et seulement si |f(t)| ou |g(t)| tend vers +∞ quandt→ t0.

Définition V.19 (Direction asymptotique). Soit δ une direction de droite, on dira que labranche infinie Γ admet δ comme direction asymptotique si la droite ΩM(t) tend vers laparallèle à δ passant par Ω.

y

x

δ

Ω

M(t)

Figure V.6 – Branche infinie et direction asymptotique

Remarque V.20. Cette définition est indépendante de Ω. En effet, si on prend Ω commeorigine et si on prend une base du plan de telle sorte que δ ait une pente égale à 1, commeg(t) et f(t) tendent vers l’infini, on a :

g(t) = f(t)(1 +O(() 1)). (V.1)

Avoir une direction asymptotique signifie que f(t) et g(t) tendent vers l’infini. Si Ω′ appartientau plan avec Ω′ 6= Ω et Ω′ = (x0, y0) (alors qu’on a convenu que Ω = (0, 0)) alors Ω′(M(t))a pour coordonées (f(t)− x0, g(t)− y0)) et :

g(t)− y0

f(t)− x0= g(t)(1− y0g

−1(t))f(t)(1− x0f−1(t))

et en passant à la limite, les termes « 1− y0g−1(t) » et « 1− x0f

−1(t) » tendent vers 1 etlimt→+∞

g(t)f(t) correspond à la pente de δ.

Théorème V.21. Γ a une direction asymptotique quand t→ t0 si et seulement si


– g(t)f(t) a une limite finie ` (on dira alors que la direction asymptotique a pour pente `).

– g(t)f(t) n’a pas de limite ou une limite infinie (la direction asymptotiqu est alors le vecteur# —

Oy).

Définition V.22. On suppose que Γ a une direction asymptotique δ. Soit ∆t passant parM(t) et parallèle à δ.

1. Si ∆t s’éloigne à l’infini quand t→ t0, on dira que la courbe a une branche paraboliquedans la direction de ∆.

2. Si ∆t tend vers une position limite ∆ quand t → t0 alors on dira que Γ admet ∆comme asymptote.

On donne, pour finir, une méthode de détermination des directions asymptotiques.

Proposition V.23 (Directions asymptotiques). Quand t→ t0,(i) si f(t) tend vers x0 et |g(t)| tend vers +∞ alors la droite x = x0 est asymptote ;(ii) si g(t) tend vers y0 et |f(t)| tend vers +∞ alors la droite y = y0 est asymptote ;(iii) si |f(t)| et |g(t)| tendent vers +∞, on détermine la direction asymptotique en calculant

sa pente m = limt→t0 = f(t)g(t) :

1) si m = 0 alors la direction asymptotique est celle de # —

Ox. Comme |g(t)| → +∞,la parallèle à # —

Ox menée de M(t) s’éloigne à l’infini quand t→ t0. Donc Γ a unebranche parabolique dnas la direction # —

Ox ;2) si m = +∞ alors Γ a une branche parabolique dans la direction # —

Oy ;3) si 0 < |m| < +∞ alors ∆t est une droite de type

Y − g(t) = m(X − f(t))⇒ Y = mX − g(t)−mf(t).

a) si g(t)−mf(t)→ ±∞ alors Γ admet une branche parabolique dans la directionde pente m.

b) si g(t)−mf(t)→ ρ alors, à l’infini, ∆ = lim ∆t a pour équation Y = mX + ρqui sera asymptote de ρ.

V.5 Exercices

Exercice V.1. Déterminer les points d’inflexion et les points de rebroussement de la courbedéfinie par :

x = t3(3t− 2) ; y = t(t− 1).

Exercice V.2. Construire la courbe définie par la représentation paramétrique suivante :

x = at2

1 + t2; y = at3

1 + t2, a 6= 0.

V.5. EXERCICES 53

Exercice V.3. 1. Construire la courbe définie par la représentation paramétrique sui-vante :

x = a sin t · cos 2t ; y = a cos t · sin 2t.

2. Soient Ox1 et Oy1 les bissectrices des axes Ox, Oy. Montrer que les coordonnées x1et y1 d’un point M par rapport à ces axes sont données par :

x1 = x+ y√2

; y1 = y − x√2.

3. En déduire l’équation cartésienne de la courbe par rapport aux axes Ox1, Oy1.

CHAPITRE VI

FONCTIONS DE DEUX VARIABLES RÉELS

VI.1 Introduction à la topologie

Définition VI.1 (R2). On définit R2 comme étant l’ensemble :

R2 = (x, y), x, y ∈ R .

Définition VI.2 (R2, espace vectoriel). On munit R2 de deux opérations :– l’addition : (x, y) + (x′, y′) = (x+ x′, y + y′),– le produit externe : λ(x, y) = (λx, λy).

Muni de ces deux opérations, R2 est un espace vectoriel. La dimension de R2 est 2.

Définition VI.3 (Base canonique). On munit R2 d’une base (e1, e2) tels que #—e1 = (1, 0)et #—e2 = (0, 1) qu’on appelle base canonique. C’est-à-dire, tout élément (x, y) de R2 peuts’écrire :

(x, y) = x #—e1 + y #—e2 = x(1, 0) + y(0, 1).

Définition VI.4 (Produit scalaire dans R2). Un produit scalaire dans R2 est une appli-cation :

〈·, ·〉 : R2 ×R2 → R(X, Y ) 7→ 〈X, Y 〉

qui vérifie les propriétés suivantes :(i) 〈λX + µX ′, Y 〉 = λ 〈X, Y 〉+ µ 〈X ′, Y 〉,(ii) 〈X,λY + µY ′〉 = λ 〈X, Y 〉+ µ 〈X, Y ′〉,(iii) 〈X, Y 〉 = 〈Y,X〉,(iv) 〈X,X〉 ≥ 0 et 〈X,X〉 implique que X = 0.

Exemple VI.5. Soit X = (x1, x2) et Y = (y1, y2) alors l’application

〈·, ·〉 : R2 ×R2 → R(X, Y ) 7→ 〈X, Y 〉 = x1y1 + x2y2

est un produit scalaire. On peut vérifier les quatre propriétés. En particulier 〈X,X〉 =x2

1 + x22 ≥ 0 et 〈X,X〉 = 0 si x2

1 = −x22, c’est-à-dire X = 0.

55

56 CHAPITRE VI. FONCTIONS DE DEUX VARIABLES RÉELS

Proposition VI.6 (Inégalité de Schwartz). Soient X et Y deux éléments de R2, on a :

〈X, Y 〉2 ≤ 〈X,X〉 · 〈Y, Y 〉 ⇔ 〈X, Y 〉 ≤√〈X,X〉 ·

√〈Y, Y 〉.

Démonstration. On a :

0 ≤ 〈λX + Y, λX + Y 〉 ⇒ 0 ≤ λ2 〈X,X〉+ 2λ 〈XY,+〉〈Y, Y 〉 ≥ 0.

Le discrinimant de ce polynôme en λ est ∆ = 〈X, Y 〉2−〈X,X〉 · 〈Y, Y 〉 ≥ 0, d’où l’inégalité.

Définition VI.7 (Norme). Une norme dans R2 est une application :

‖·‖ : R2 → R+X 7→ ‖X‖

qui vérifie les propriétés suivantes :1. ‖X‖ ≥ 0,2. ‖X‖ = 0 si X = 0,3. ‖λX‖ = |λ| ‖X‖,4. ‖X + Y ‖ ≤ ‖X‖ + ‖Y ‖.

Exemple VI.8 (Normes sur R2). Soit X = (x, y). On définit sur R2, trois normes :– la norme euclidienne : ‖X‖2 =

√x2 + y2,

– ‖X‖1 = |x|+ |y|,– ‖X‖∞ = sup(|x| , |y|)

Définition VI.9 (Distance). Soient X et Y deux éléments de R2. On définit la distanceentre X et Y comme ‖X − Y ‖.

Proposition VI.10. 1. La distance est invariante par translation :

‖(X + Z)− (Y + Z)‖ = ‖X − Y ‖.

2. ‖αX − αY ‖ = |α| ‖X − Y ‖.

Définitions VI.11 (Boule ouverte, fermée). 1. On définit la boule ouverte de centreX0 et de rayon r, l’ensemble :

B (X0, r) =X ∈ R2, ‖X −X0‖ < r

.

2. On définit la boule fermée de centre X0 et de rayon r, l’ensemble :

B (X0, r) =X ∈ R2, ‖X −X0‖ ≤ r

.

La figure VI.1 présente les boules ouvertes pour les normes ‖·‖1, ‖·‖2 et ‖·‖∞.

VI.1. INTRODUCTION À LA TOPOLOGIE 57

X0 r

‖ · ‖1

X0 r

‖ · ‖2

X0 r

‖ · ‖∞

Figure VI.1 – Boules ouvertes pour les normes ‖·‖1, ‖·‖2 et ‖·‖∞


X0

Figure VI.2 – Ouvert de R2

Définition VI.12 (Ouvert, fermé dans R2). 1. On dit que O est un ouvert de R2, sipour tout X0 ∈ O, il existe r > 0 tel que B (X0, r) ⊂ O.

2. On dit que F est un fermé de R2 si le complémentaire de F , F c, est un ouvert.

Définition VI.13 (Suite convergente dans R2). Si (un)n∈N est une suite d’éléments de R2

avec un = (xn, yn), pour n ∈ N alors (un)n∈N converge vers u(x, y) ∈ R2 si et seulementsi :

∀ε > 0, ∃N ∈ N, (n ≥ N)⇒ ‖un − u‖ ≤ ε.

Proposition VI.14. Soit (un)n∈N une suite d’éléments de R2 avec un = (xn, yn), pourn ∈ N. (un) converge vers u si et seulement si (xn) converge vers x et (yn) converge vers y.

Démonstration. En effet :

‖un − u‖2 =√

(x− xn)2 + (y − yn)2 = ‖(xn, yn)− (x, y)‖ = ‖(xn − x, yn − y)‖.

Donc, si ‖un − u‖ ≤ ε alors |x− xn| ≤ ε et |y − yn| ≤ ε.

VI.2 Fonctions à deux variables

Définition VI.15 (Fonction de deux variables). Soit A ⊂ R2. On appelle applicationréelle d’un ensemble A de R2, toute application f : A→ R.

Exemple VI.16. Soit A = R2 \ (0, 0). L’application :

f : A → R(x, y) 7→ xy

x2+y2

VI.3. DÉRIVÉE DIRECTIONNELLE 59

est une fonction de deux variables réelles.

Définition VI.17 (Limites, continuité). Soient A ⊂ R2, f : A→ R une fonction de deuxvariables réelles, a ∈ R2 et b ∈ R. On dit que f(x) tend vers b quand x tend vers a (et onnote limx→a f(x) = b) si et seulement si

∀ε > 0, ∃δ > 0, (‖x− a‖ ≤ δ)⇒ |f(x)− b| ≤ ε. (VI.1)

Si f(a) existe et si f(a) = b alors f est dit continue en a.

Exemple VI.18. Soit l’application :

f : R2 → Rx 7→ f(x)

telle que :

f(x, y) =

(x2 + y2) sin(

1√x2+y2

)si (x, y) 6= (0, 0),

0 si (x, y) = (0, 0).

On veut montrer que f est continue en (0, 0). Dans la définition (VI.17), il suffit de prendδ =√ε car, pour ε > 0 choisi et ‖(x, y)‖ ≤ ε, on a bien :

|f(x, y)| = (x2 + y2) ·∣∣∣∣∣sin 1√

x2 + y2

∣∣∣∣∣ ≤ x2 + y2 ≤ (√ε)2 ≤ ε.

Proposition VI.19 (Limite de somme et de produit de fonctions). Soient A une partiede R2, f et g deux fonctions de deux variables réelles définies sur A, a ∈ R2 et b, c ∈ R.On suppose que

limx→a

f(x) = b et limx→a

g(x) = c.

Alors :1. limx→a(f + g)(x) = b+ c,2. limx→a(f · g)(x) = b · c,3. si b 6= 0 alors limx→a

1f(x) = 1

b,

4. si f(x) ≤ g(x) pour x voisinage de a alors b ≤ c.

VI.3 Dérivée directionnelle

Définition VI.20 (Dérivée directionnelle). Soient E une partie de R2, a ∈ E, U unvoisinage de a, f : U → R et u ∈ U tels que a + tu ∈ U . Alors si limt→0,t6=0

f(a+tu)−f(a)t

existe alors on l’appelle la dérivée de f dans la direction de u.


Définition VI.21 (Dérivée partielle). Si U = #—e1 ou U = #—e2 (vecteurs de la base canonique)alors la dérivée directionnelle est dite ie dérivée partielle (avec i = 1 ou 2), elles serontnotés :

∂f

∂x1(a) = lim

t→0,t6=0

f(a1 + t, a2)− f(a1, a2)t

,

∂f

∂x2(a) = lim

t→0,t6=0

f(a1, a2 + t)− f(a1, a2)t

.

Exemple VI.22. Soit l’application :

f : R2 → R(x, y) 7→ x2 + xy

.

Alors :

∂f

∂x(x, y) = lim

t→0

(x+ t)2 + (x+ t)y2 − (x2 + xy)t

= 2x+ y2,

∂f

∂y(x, y) = lim

t→0

(x2 + x(y + t)2)− (x2 + xy)t

= 2xy.

Remarques VI.23. 1. L’existence des dérivées partielles de f en un point (x0, y0)n’entraîne pas la continuité de f en (x0, y0). Par exemple,

f : (x, y) 7→ f(x, y) =

0 si x = 0 ou y = 0,1 si x 6= 0 et y 6= 0.

2. L’existence de toutes les dérivées partielles en (x0, y0) n’entraîne pas nécessairementla continuité en (x0, y0). Par exemple,

f : (x, y) 7→ f(x, y) =

xy2

x2+y4 si (x, y) 6= (0, 0),0 si (x, y) = (0, 0).

Définition VI.24 (Gradient). Soit l’application

g : A ⊂ R3 → R(x, y, z) 7→ g(x, y, z) .

Si g dérivable alors on définit le vecteur gradient comme étant :

# —grad g =(∂g

∂x,∂g

∂y,∂g

∂z

)

avec : (∂g

∂x,∂g

∂y,∂g

∂z

)= ∂g

∂x

#—i + ∂g

∂y

#—j + ∂g

∂z

#—

k .

VI.4. FORMULE DE TAYLOR DANS R2 61

VI.4 Formule de Taylor dans R2

Définition VI.25 (Formule de Taylor). Soient O un ouvert de R2, X0(x0, y0) ∈ O etf : O → R une application. Si f est dérivable en X0, c’est-à-dire si les dérivées partielles∂f∂x

(x0, y0) et ∂f∂y

(x0, y0) existent alors si X = (x, y), on a :

f(X) = f(X0)− (x− x0)∂f∂x

(x0, y0) +−(y − y0)∂f∂y

(x0, y0) + ‖X −X0‖ε(X)

avec limX→X0 ε(X) = 0.

Figure VI.3 – Surface et plan tangent

Interprétons f(x, y) comme une coordonnée sur l’axe Oz. Soit g : R3 → R tel queg(x, y, z) = z − f(x, y). On considère la surface

S =

(x, y, z) ∈ R3, g(x, y, z) = 0.

On a ainsi :∂g

∂x= −∂f

∂x,∂g

∂y= −∂f

∂y,∂g

∂z= −1.

Donc :# —grad g =

(−∂f∂x,−∂f

∂y,−1

).


On considère le plan :

P =

(x, y, z) ∈ R3, z = z0 + (x− x0)∂f∂x

+ (y − y0)∂f∂y

=

(x, y, z) ∈ R3, 0 = (z − z0) + (x− x0)∂f∂x

+ (y − y0)∂f∂y

=

(x, y, z) ∈ R3,((x− x0), (y − y0), (z − z0)

)⊥(−∂f∂x,−∂f

∂y,−1

)

=

(x, y, z) ∈ R3, T ⊥(−∂f∂x,−∂f

∂y,−1

)

P est le plan perpendiculaire au vecteur gradiant passant pr X0 = (x0, y0). Mais d’après ladéfniition VI.25, on a :

f(X) = f(X0)− (x− x0)∂f∂x

(X0) + (y − y0)∂f∂y

(X0) + ‖X −X0‖ε(X)

= z0 − (x− x0)∂f∂x

(X0) + (y − y0)∂f∂y

(X0) + ‖X −X0‖ε(X)

Mais :z0 + (x− x0)∂f

∂x+ (y − y0)∂f

∂y= z,

d’où :f(X) = z + ‖X −X0‖ε(X)⇒ |f(X)− z| → 0 quand X → X0.

Définition VI.26 (Courbe de niveau). Soient S une surface de R3 et z0 ∈ R3. Une courbede niveau z0 sur S est l’ensemble :

(x, y) ∈ R2, f(x, y) = z0.

Si on coupe la surface

S =

(x, y, z) ∈ R3, z = f(x, y)

par le plan z0 = k et si on projette sur le plan (xOy), on obtient la courbe de niveau decôté k = z0.

VI.5 Dérivées partielles d’ordre supérieurs

Définition VI.27 (Fonction de classe C 1). Soient O un ouvert de R2 et f : O → R2. Ondit que f est de classe C 1 si, pour tout X0 ∈ O, ∂f

∂xet ∂f

∂yexistent et sont continues en X0.

VI.5. DÉRIVÉES PARTIELLES D’ORDRE SUPÉRIEURS 63

Figure VI.4 – Découpage de la surface de révolution

Définition VI.28 (Dérivées partielles d’ordre supérieurs). Soient O un ouvert de R2 etf : O → R2 qu’on suppose de classe C 1. On peut considérer les fonctions

(x, y) 7→ ∂f

∂x(x, y) et (x, y) 7→ ∂f

∂y(x, y).

Si elles admettent des dérivées partielles, on notera :

∂f

∂x7→ ∂

∂x

(∂f

∂x

)= ∂2f

∂x2

∂f

∂y7→ ∂

∂y

(∂f

∂x

)= ∂2f

∂y∂x(VI.2)

∂f

∂x7→ ∂

∂x

(∂f

∂y

)= ∂2f

∂x∂y(VI.3)

∂f

∂y7→ ∂

∂y

(∂f

∂y

)= ∂2f

∂y2

Remarque VI.29. Les quantités (VI.2) et (VI.3) ne sont pas nécessairement égales (voirla proposition VI.30).

Proposition VI.30. Soient O un ouvert de R2 et f : O → R2 qu’on suppose de classeC 1. Si f est de classe C 2 (c’est-à-dire que les dérivées partielles secondes existent et sontcontinues) alors :

∂2f

∂x∂y(x0, y0) = ∂2f

∂y∂x(x0, y0).


VI.6 Extremum d’une fonction à plusieurs variables

Définition VI.31 (Minimum, maximum, extremum). Soient O un ouvert de R2, X0 ∈ Oet f : O → R une application.

1. f admet un maximum strict en X0 si

∃α > 0,∀x ∈ O, ‖X −X0‖ ≤ α⇒ (|f(X)− f(X0)| < 0).

2. f admet un minimum strict en X0 si

∃α > 0,∀x ∈ O, ‖X −X0‖ ≤ α⇒ (|f(X)− f(X0)| > 0).

3. f admet un extremum en X0 si elle admet un maximum strict ou un minimum stricten X0.

Proposition VI.32. Soient O un ouvert de R2, X0 ∈ O et f : O → R une applicationqui admet des dérivées partielles en X0. Si f admet un extremum en X0(x0, y0) alors

∂f

∂x(x0, y0) = ∂f

∂y(x0, y0) = 0.

Remarque VI.33. Par contre, la réciproque est fausse. On peut avoir ∂f∂x

(X0) = ∂f∂y

(X0) = 0sans que f admette un extremum au point X0.

Exemple VI.34. Soit l’application f : (x, y) 7→ f(x, y) = x2 − y2. On a bien

∂f

∂x(0, 0) = 0 et ∂f

∂y(0, 0) = 0.

f(0, 0) = 0 mais au voisinage de (0, 0), f(x, y) = (x − y)(x + y) change de signe. On ditqu’en (0, 0), la courbe admet un point selle (voir la figure VI.5).

Théorème VI.35 (Détermination des extrema d’une fonction). Soient O un ouvert deR2, X0 ∈ O et f : O → R une application de classe C 3 (on considère donc les dérivéespartielles d’ordre 3) tels que ∂f

∂x(X0) = ∂f

∂y(X0) = 0. On note, pour h, k ∈ R,

(hD1f + kD2f)(1) = h∂f

∂x(X0) + k

∂f

∂y(X0),

(hD1f + kD2f)(2) = h2∂2f

∂x2 (X0) + 2hk ∂2f

∂x∂y(X0) + k2∂

2f

∂y2 (X0),

(hD1f + kD2f)(3) = h3∂3f

∂x3 (X0) + 4h2k∂3f

∂x2∂y(X0) + 4k2h

∂3f

∂y2∂x(X0) + k3∂

3f

∂y3 (X0).

VI.6. EXTREMUM D’UNE FONCTION À PLUSIEURS VARIABLES 65

Figure VI.5 – Le point E est un point selle

Alors, pour h, k suffisamment petit :

f(x0 + h, y0 + h) = f(x0, y0) +2∑i=1

1i! (hD1f + kD2f)(i)(X0)

+ 13!(hD1f + kD2f)(3)(x0 + θk, y0 + θh)

avec θ ∈ ]0 , 1[ mais, par hypothèse, D1f(x0, y0) = D2f(x0, y0). Posons :

A = D21f(x0, y0),

B = D1D2f(x0, y0),C = D2

2f(x0, y0).

On a ainsi :

f(x0 + h, y0 + k) = f(x0, y0)−(1

2(Ah2 + 2Bkh+ Ck2))

︸︷︷︸(∗)

+ 13!(hD1f + kD2f)(3)(x0 + θh, y0 + θk)

où le signe f(x0 + h, y0 + k)− f(x0, y0) est donné par (∗). Or (∗) est un trinôme du seconddegré en h ou k de la forme A′X2 + 2B′X + C ′. Si on considère comme un trinôme en halors k est une constante. Le discriminant réduit serait :

∆′ = B′2 − A′C ′ = B2k2 − ACk2 = k2(B − AC)

et est de même signe que B2 − AC.


(i) Si B2 − AC < 0 alors (∗) est du signe de A donc– f a un maximum strict si A < 0,– f a un minimum strict si A > 0.

(ii) Si B2 − AC > 0 alors f change de signe (cela veut dire que le trinôme change designe autour de x0 donc f n’a pas d’extremum (point selle).

(iii) Si B2 − AC = 0 alors on ne peut conclure car f peut avoir ou non un extremum.

Exemple VI.36. Soit l’application f : (x, y) 7→ f(x, y) = x3 + y3 − 3xy + 1. Les dérivéespartielles sont :

∂f

∂x(x, y) = 3x2 − 3y et ∂f

∂y(x, y) = 3y3 − 3x.

Pour la recherche des points critiques, on résoud le système :3x2 − 3y = 03y2 − 3x = 0

⇔

x2 = x

y2 = y.

On a donc deux solutions (x, y) = (0, 0) ou (x, y) = (1, 1). Il y a deux points critiquesP0 = (0, 0) et P1 = (1, 1). On calcule les dérivées secondes :

∂2f

∂x2 (x, y) = 6x, ∂2f

∂y2 (x, y) = 6y, ∂2f

∂x∂y= −3.

– Pour P1 = (1, 1), on a A = 6, B = −3 et C = 6. D’où

B2 − AC = 9− 36 < 0.

Comme A et C sont positives, f admet un minimum en P1 = (1, 1).– Pour P0 = (0, 0), on a A = 0, B = −3 et C = 0. D’où

B2 − AC = 9 > 0.

f n’a pas d’extremum donc P0 = (0, 0) est un points elle.

VI.7 Exercices

Exercice VI.1. Soit f la fonction réelle définie sur R par :

f(x) =√x2 + x+ 1− x, x ∈ R.

1. Déterminer lima→−∞ f(x) et lima→+∞ f(x). La fonction f est-elle bornée au voisinagede −∞ ou au voisinage de +∞ ?

2. On pose L = lima→minff(x)x2 = L et :

E =f(x)x2 , x ∈ R∗

.

Calculer L et montrer que L est la borne inférieure de l’ensemble E, mais n’est pas leplus petit élément de E.

VI.7. EXERCICES 67

Exercice VI.2. Soit la fonction f : R2 → R définie par f(0, 0) = 0 et

f(x, y) = xy(x2 − y2)x2 + y2 si (x, y) 6= (0, 0).

1. Montrer que f est de classe C 1.2. Montrer que les dérivées partielles secondes ∂2f

∂x∂y(0, 0) et ∂2f

∂y∂x(0, 0) existent et les

calculer. La fonction f est-elle de classe C 2.

Exercice VI.3. 1. Déterminer les extrema locaux de la fonction f : R2 → R définiepar :

f(x, y) = x3 + 3xy2 − 15x− 12y

et préciser si ce sont des maxima ou des minima locaux.2. Même question pour les fonctions suivantes :

(a) f(x, y) = (x− y)exy,(b) f(x, y) = y2 + x sin y.

Bibliographie

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[4] G. Constantini, Permutations d’un ensemble fini, groupe symétrique, applications.[5] C. Bertault, Groupes, anneaux, corps[6] D.-J. Mercier, Construction de N[7] L.-M. Bonneval, La construction des nombres réels par Dedekind.[8] Nombres réels,

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http://www.math.ens.fr/culturemath/maths/pdf/logique/reels.pdf

Index

anneau, 13commutatif, 13principal, 18

applicationimage, 9noyau, 9

arcconcave, 39convexe, 39extrémité, 46fermé, 46origine, 46

asymptote, 52automorphisme

de Frobenius, 19

basecanonique, 55

borneinférieure, 29supérieure, 29caractérisation, 30

brancheinfinie, 49parabolique, 52

caractéristique, 19cardinal, 12classe

à droite, 13à gauche, 13

classesmodulo un sous-groupe, 13

commutation, 16continuité

deux variables, 59

corps, 14courbe

paramétrée, 45tangente, 47

cycle, 5longueur, 5

cyclesdisjoints, 5

dérivéedirectionnelle, 59partielle, 60

dérivéesparitellesd’ordre supérieurs, 63

demi-droite, 26dense, 30direction

asymptotique, 51distance, 56droite

réelle, 22

élémentinverse, 1, 7inversible, 1, 7neutre, 1, 7

ensemblemajoré, 29minoré, 29plus grand élément, 29

équationalgébrique, 22

équivalenceclasse, 11relation, 11

70

INDEX 71

espacevectoriel, 55

extremum, 64

fermé, 58fonction

concave, 42convexe, 42de classe C 1, 62de deux variables, 58

formulede Taylor dans R2, 61du binôme, 16

générateur, 10groupe, 1, 7

alterné, 3cyclique, 10ordre, 2stabilité, 1, 7symétrique, 2

homomorphisme, 7d’anneaux, 17

idéal, 18à droite, 18à gauche, 18bilatère, 18principal, 18

inégalitéde Hölder, 43de Minkowski, 43de Schwartz, 56

intervalleborné, 26non-borné, 26

inverse, 1, 7inversibilité, 14inversion, 2

nombre, 2

limitedeux variables, 59

infinie, 33loi

de composition, 1, 7associativité, 1, 7

maximum, 64minimum, 64

nombrealgébrique, 22réel, 23transcendant, 22

norme, 56noyau, 18

opérationgroupe, 1, 7

orbite, 4ordre, 12orthogonalité, 48ouvert, 58

paramètre, 46permutation, 1

impaire, 3paire, 2

pointselle, 64stationnaire, 48

produitscalaire, 55

R, 23addition, 24corps, 25intervalle, 26multiplication, 25

Rrelation d’ordre, 26

R2, 55représentation

paramétrique, 46

signature, 2sous-anneau, 14

72 INDEX

sous-corps, 15sous-groupe

distingué, 9invariant, 9

suitebornée, 32de Cauchy, 22, 30

suiteséquivalentes, 23adjacentes, 34

surjectioncanonique, 11, 17

tangenteorientation, 48

théorèmeBolzano-Weirestrass, 32des suites adjacentes, 34

transposition, 4

valeurabsolue, 28

vecteurgradient, 60vitesse, 47

voisinage, 26

m105 : compléments d'algèbre et d'analyse

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