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La Transformada de Laplace

Version 1.2: Sep 1, 2005 2:45 pm GMT-5

Richard Baraniuk

Translated By:

Fara Meza

Erika Jackson

Based on The Laplace Transforms

by

Richard Baraniuk

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Creative Commons Attribution License

Abstract

Describe la Transformada de Laplace.

La transformada de Laplace es una generalizacin de la Transformada de Fourier de Tiempo-Continuo

1

.

Sin embargo, en lugar de usar funciones senosoidales complejas

2

de la forma eit, como lo hace la CTFT,la transformada de laplace utiliza una forma ms generalizada, est, donde s = + i.Aunque las transformadas de Laplace rara vez se resuelven mediante integracin (si no por medio de

tabla

3

y uso de computadoras (por ejemplo Matlab) es ms comun), aqu veremos los pares bilaterales

de la transformada de Laplace . Esto dene la transformada de Laplace y su inversa. Notese las

similitudes entre la transformada de Laplace y su inversa. Esto nos dara como resultado muchas de las

simetrias encontradas en el anlisis de Fourier.

4

Transformada de Laplace

F (s) =

f (t) e(st)dt (1)

Transformada Inversa de Laplace

f (t) =1

2pii

c+ici

F (s) estds (2)

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http://creativecommons.org/licenses/by/2.0/

1

"Transformada de Fourier de Tiempo Continuo (CTFT)"

2

"Anlisis de Fourier en Espacios Complejos"

3

"Tabla de Transformadas de Laplace Comunes"

4

"Anlisis de Fourier"

http://cnx.org/content/m12978/1.2/

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1 Encontrando la Transformada de Laplace y su Inversa

1.1 Resolviendo la Integral

Probablemente el mtodo ms difcil y menos usado para encontrar la Transformada de Laplace es resolviendo

la integral. Aunque es tcnicamente posible es extremadamente consumidor de tiempo. Dada la facilidad de

los siguientes dos mtodos para encontrarla, no se vera de otra manera. Las integrales estan primordialmente

para entender de donde se originan los siguientes mtodos.

1.2 Usando una Computadora

El uso de una computadora para encontrar la transformada de Laplace es relativamente sencillo. Matlab

tiene dos funciones, laplace e ilaplace, las dos forman parte de las librerias simbolicas, y encontraremos la

transformada de Laplace y su inversa respectivamente. Este mtodo es preferido generalmente para funciones

ms complicadas. Funciones ms sencillas e ideales usualmente se encuetran ms facil mediante el uso de

tablas (Section 1.3: Usando Tablas).

1.3 Usando Tablas

Cuando se aprende por primera vez la transformada de Laplace, las tablas es la forma ms comun para

encontrarla. Con suciente prctica las tablas se hacen inecesarias. Para el proposito de sta seccin, nos

enfocaremos en la transformada inversa de Laplace, dado que la gran parte del diseo de aplicaciones empieza

en el dominio de Laplace y dan como resultado una solucin en el dominio del tiempo. El mtodo es el

siguiente:

1. Se escribe la funcin que se desea transformar H (s), como la suma de otras funciones H (s) =mi=1 (Hi (s)) donde cada una de las Hi se encuentra en la tabla5

.

2. Invertir cada Hi (s) para obtener su hi (t).3. Se suma cada hi (t) para obtener h (t) =

mi=1 (hi (t))

Example 1

Calcule h (t) para s,< (s) > 5 :(H (s) = 1s+5

)Esto puede ser resuelto directamente usando la tabla

6

para ser h (t) = e(5t)

Example 2

Encontrar la representacin en el dominio del tiempo h (t), de s,< (s) > 10 :(H (s) = 25s+10

)Para resolver esto, primero notemos que H (s) tambin puede ser escrito como 25 1s+10 . Entoncespodemos ir a la tabla

7

para encontrar h (t) = 25e(10t)

Example 3

Podemos extender los dos ejemplos anteriores encontrando h (t) para s,< (s) > 5 :(H (s) = 1s+5 +

25s+10

)Para realizar esto, tomamos ventaja de la propiedad de aditividad y linealidad y el mtodo de

los tres pasos descrito anteriormente para obtner como resultado h (t) = e(5t) + 25e(10t)

Para ejemplos ms complicados, seri ms difcil descomponer la funcin de transferencia en partes que se

encuentren en la tabla. En este caso, es necesario el uso de expansin en fracciones parciales

8

para obtener

la funcin de transferencia en una forma ms til.

5

"Tabla de Transformadas de Laplace Comunes"

6

"Tabla de Transformadas de Laplace Comunes"

7

"Tabla de Transformadas de Laplace Comunes"

8

"Partial Fraction Expansion"

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2 Visualizando la Transformada de Laplace

Con la transfromada de Fourier, tenemos una funcin de valores complejos de variables puramente

imaginariasF (i). Esto es algo que se podra visualizar mediante grcas en 2-dimensiones (parte real eimaginaria o magnitud y fase). Sin emabrgo, con Laplace tenemos una funcin de valores complejos de

una variable compleja. Para examinar la magnitud y la fase o la parte real e imaginaria de esta funcin,

debemos examinar la grca de supercie en 3-dimensiones de cada componente.

Ejemplo de grcas real e imaginaria

(a) (b)

Figure 1: Parte real e imaginaria de H (s) son cada una supercies en 3-dimensiones. (a) La partereal de H (s) (b) La parte Imaginaria de H (s)

Ejemplos de grcas de magnitud y fase

(a) (b)

Figure 2: Magnitud y Fase de H (s) son tambin supercies en 3-dimensiones. Esta representacin esms comun que las partes real e imaginaria. (a) La magnitud de H (s) (b) La fase de H (s)

Mientras que estas son maneras legitimas de ver una seal en el dominio de Laplace, es algo difcil

dibujarlas y analizarlas. Por esta razon, un mtodo ms sencillo ha sido desarrollado; que aqu no ser

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discutido a detalle, el mtode de Polos y Ceros

9

donde es mucho ms sencillo de entender la Transformada

de Laplace y su contraparte discreta en el tiempo la Transformada Z

10

y son representadas grcamente.

9

"Polos y Ceros"

10

"La Transformada Z: Denicin"

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