ma 214 : differential equation (chapter 1) - บทที่ 1 สมการ...
TRANSCRIPT
..........
.....
......
.....
.....
.....
......
.....
.....
.....
......
.....
.....
.....
......
.....
......
.....
.....
.
.
......
MA 214 : Differential equation (Chapter 1)บทที่ 1 สมการเชิงอนุพันธอันดับหนึ่ง (ชุดที่ 1)
อาจารย ดร. จรินทรทิพย เฮงคราวิทย
ภาควิชาคณิตศาสตรและสถิติ คณะวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี มหาวิทยาลัยธรรมศาสตร
เทอม 2/2557
อาจารย ดร. จรินทรทิพย เฮงคราวิทย (TU) MA 214 : Differential equation (Chapter 1) เทอม 2/2557 1 / 1
..........
.....
......
.....
.....
.....
......
.....
.....
.....
......
.....
.....
.....
......
.....
......
.....
.....
.
บทที่ 1 : สมการเชิงอนุพันธอันดับหนึ่ง
สมการเชิงอนุพันธสามัญอันดับหนึ่งที่พิจารณาในบทนี้หมายถึงสมการที่เขียนอยูในรูปอนุพันธ
dydx = f(x, y)
หรือเขียนอยูในรูปคาเชิงอนุพันธ
M(x, y)dx+ N(x, y)dy = 0
อาจารย ดร. จรินทรทิพย เฮงคราวิทย (TU) MA 214 : Differential equation (Chapter 1) เทอม 2/2557 2 / 1
..........
.....
......
.....
.....
.....
......
.....
.....
.....
......
.....
.....
.....
......
.....
......
.....
.....
.
.ตัวอยางเชน..
......
dydx =
2yx+ y
สามารถเขียนอยูในรูปคาเชิงอนุพันธเปน
2y dx− ( x+ y )dy = 0
ทำนองเดียวกันสมการในรูปคาเชิงอนุพันธ
( y2 + 1 )dx − ( xy + 2y )dy = 0
สามารถเขียนอยูในรูปเชิงอนุพันธเปน
dydx =
y2 + 1
xy+ 2y
อาจารย ดร. จรินทรทิพย เฮงคราวิทย (TU) MA 214 : Differential equation (Chapter 1) เทอม 2/2557 3 / 1
..........
.....
......
.....
.....
.....
......
.....
.....
.....
......
.....
.....
.....
......
.....
......
.....
.....
.
วิธีการในการหาผลเฉลยของสมการทั้งสองแบบมีหลายวิธีขึ้นกับรูปแบบเฉพาะของสมการ ในที่นี้เราจะพิจารณาบางแบบที่เปนพื้นฐานของสมการอันดับหนึ่ง
อาจารย ดร. จรินทรทิพย เฮงคราวิทย (TU) MA 214 : Differential equation (Chapter 1) เทอม 2/2557 4 / 1
..........
.....
......
.....
.....
.....
......
.....
.....
.....
......
.....
.....
.....
......
.....
......
.....
.....
.
แบบที่ 1. สมการตัวแปรแยกกันได
พิจารณาสมการในรูป
M ( x , y )dx+ N ( x , y )dy = 0
จะเรียกวาเปน สมการตัวแปรแยกกันได ถาสามารถจัดรูปไดเปนF ( x )G ( y )dx + f ( x ) g ( y )dy = 0
หรือA ( x ) dx + B ( y ) dy = 0
เมื่อA ( x ) =
F ( x )f ( x ) และ B ( y ) =
g ( y )G ( y )
อาจารย ดร. จรินทรทิพย เฮงคราวิทย (TU) MA 214 : Differential equation (Chapter 1) เทอม 2/2557 5 / 1
..........
.....
......
.....
.....
.....
......
.....
.....
.....
......
.....
.....
.....
......
.....
......
.....
.....
.
จากสมการA ( x ) dx + B ( y ) dy = 0
โดยการปริพันธของสมการ ไดวา∫A ( x )dx +
∫B ( y )dy = C
เมื่อ C เปนคาคงตัวไมเจาะจง
อาจารย ดร. จรินทรทิพย เฮงคราวิทย (TU) MA 214 : Differential equation (Chapter 1) เทอม 2/2557 6 / 1
..........
.....
......
.....
.....
.....
......
.....
.....
.....
......
.....
.....
.....
......
.....
......
.....
.....
.
.ตัวอยาง 2.1..
......
จงแกสมการเชิงอนุพันธ
y dx+ (xy2 + x)dy = 0
เมื่อ x ̸= 0 , y ̸= 0
อาจารย ดร. จรินทรทิพย เฮงคราวิทย (TU) MA 214 : Differential equation (Chapter 1) เทอม 2/2557 7 / 1
..........
.....
......
.....
.....
.....
......
.....
.....
.....
......
.....
.....
.....
......
.....
......
.....
.....
.
อาจารย ดร. จรินทรทิพย เฮงคราวิทย (TU) MA 214 : Differential equation (Chapter 1) เทอม 2/2557 8 / 1
..........
.....
......
.....
.....
.....
......
.....
.....
.....
......
.....
.....
.....
......
.....
......
.....
.....
.
.ตัวอยาง 2.2..
......จงแกสมการเชิงอนุพันธ
y′ = 6y2x
อาจารย ดร. จรินทรทิพย เฮงคราวิทย (TU) MA 214 : Differential equation (Chapter 1) เทอม 2/2557 9 / 1
..........
.....
......
.....
.....
.....
......
.....
.....
.....
......
.....
.....
.....
......
.....
......
.....
.....
.
อาจารย ดร. จรินทรทิพย เฮงคราวิทย (TU) MA 214 : Differential equation (Chapter 1) เทอม 2/2557 10 / 1
..........
.....
......
.....
.....
.....
......
.....
.....
.....
......
.....
.....
.....
......
.....
......
.....
.....
.
.ตัวอยาง 2.3..
......
จงแกสมการเชิงอนุพันธ
(1 + y2)dx+ (1 + x2)dy = 0
พรอมดวยเงื่อนไขเริ่มตน x = 0 , y = 1
อาจารย ดร. จรินทรทิพย เฮงคราวิทย (TU) MA 214 : Differential equation (Chapter 1) เทอม 2/2557 11 / 1
..........
.....
......
.....
.....
.....
......
.....
.....
.....
......
.....
.....
.....
......
.....
......
.....
.....
.
อาจารย ดร. จรินทรทิพย เฮงคราวิทย (TU) MA 214 : Differential equation (Chapter 1) เทอม 2/2557 12 / 1
..........
.....
......
.....
.....
.....
......
.....
.....
.....
......
.....
.....
.....
......
.....
......
.....
.....
.
.ตัวอยาง 2.4..
......
จงหาผลเฉลยของสมการเชิงอนุพันธ
x sin y dx+ (x2 + 1) cos y dy = 0, y(0) = π
2
อาจารย ดร. จรินทรทิพย เฮงคราวิทย (TU) MA 214 : Differential equation (Chapter 1) เทอม 2/2557 13 / 1
..........
.....
......
.....
.....
.....
......
.....
.....
.....
......
.....
.....
.....
......
.....
......
.....
.....
.
อาจารย ดร. จรินทรทิพย เฮงคราวิทย (TU) MA 214 : Differential equation (Chapter 1) เทอม 2/2557 14 / 1
..........
.....
......
.....
.....
.....
......
.....
.....
.....
......
.....
.....
.....
......
.....
......
.....
.....
.
.ตัวอยาง 2.5..
......
จงหาผลเฉลยของสมการเชิงอนุพันธdydt =
4 sin(2t)y , y(0) = 1
อาจารย ดร. จรินทรทิพย เฮงคราวิทย (TU) MA 214 : Differential equation (Chapter 1) เทอม 2/2557 15 / 1
..........
.....
......
.....
.....
.....
......
.....
.....
.....
......
.....
.....
.....
......
.....
......
.....
.....
.
อาจารย ดร. จรินทรทิพย เฮงคราวิทย (TU) MA 214 : Differential equation (Chapter 1) เทอม 2/2557 16 / 1
..........
.....
......
.....
.....
.....
......
.....
.....
.....
......
.....
.....
.....
......
.....
......
.....
.....
.
.ตัวอยาง 2.6..
......
จงหาผลเฉลยของสมการเชิงอนุพันธ√x2 + 1y′ = xy2, y(0) = 2
อาจารย ดร. จรินทรทิพย เฮงคราวิทย (TU) MA 214 : Differential equation (Chapter 1) เทอม 2/2557 17 / 1
..........
.....
......
.....
.....
.....
......
.....
.....
.....
......
.....
.....
.....
......
.....
......
.....
.....
.
อาจารย ดร. จรินทรทิพย เฮงคราวิทย (TU) MA 214 : Differential equation (Chapter 1) เทอม 2/2557 18 / 1
..........
.....
......
.....
.....
.....
......
.....
.....
.....
......
.....
.....
.....
......
.....
......
.....
.....
.
.ตัวอยาง 2.7..
......
จงหาผลเฉลยของสมการเชิงอนุพันธ
xdx+ sec x sin ydy = 0
อาจารย ดร. จรินทรทิพย เฮงคราวิทย (TU) MA 214 : Differential equation (Chapter 1) เทอม 2/2557 19 / 1
..........
.....
......
.....
.....
.....
......
.....
.....
.....
......
.....
.....
.....
......
.....
......
.....
.....
.
อาจารย ดร. จรินทรทิพย เฮงคราวิทย (TU) MA 214 : Differential equation (Chapter 1) เทอม 2/2557 20 / 1
..........
.....
......
.....
.....
.....
......
.....
.....
.....
......
.....
.....
.....
......
.....
......
.....
.....
.
.ตัวอยาง 2.8..
......
จงหาผลเฉลยของสมการเชิงอนุพันธ
(x− 1) cos ydy = 2x sin ydx
อาจารย ดร. จรินทรทิพย เฮงคราวิทย (TU) MA 214 : Differential equation (Chapter 1) เทอม 2/2557 21 / 1
..........
.....
......
.....
.....
.....
......
.....
.....
.....
......
.....
.....
.....
......
.....
......
.....
.....
.
อาจารย ดร. จรินทรทิพย เฮงคราวิทย (TU) MA 214 : Differential equation (Chapter 1) เทอม 2/2557 22 / 1
..........
.....
......
.....
.....
.....
......
.....
.....
.....
......
.....
.....
.....
......
.....
......
.....
.....
.
.แบบฝกหัด..
......
จงหาผลเฉลยของสมการเชิงอนุพันธตอไปนี้(i) (xy+ 2x+ y+ 2)dx+ (x2 + 2x)dy = 0
(ii) sin x sin y dx + cos x cos y dy = 0
(iii) ex+1 tan ydx+ cos ydy = 0
(iv) ydy+ xdx = 3xy2dx, y(2) = 1
(v) xy2dx + exdy = 0 เมื่อ x → ∞ , y → 12
อาจารย ดร. จรินทรทิพย เฮงคราวิทย (TU) MA 214 : Differential equation (Chapter 1) เทอม 2/2557 23 / 1
..........
.....
......
.....
.....
.....
......
.....
.....
.....
......
.....
.....
.....
......
.....
......
.....
.....
.
แบบที่ 2. การเปลี่ยนตัวแปร
พิจารณาสมการในรูป
M ( x , y )dx+ N ( x , y )dy = 0
ถาสมการนี้ไมสามารถแยกตัวแปรได อาจเปนไปไดวาเมื่อเปลี่ยนตัวแปร x หรือ y หรือทั้งคู แลวสมการขางตนจะแปลงเปนสมการในรูปที่สามารถแยกตัวแปรได ถึงแมวาไมมีกฎทั่วไปในการกำหนดตัวแปรใหม แตอาจทำไดโดยการสังเกตพจนที่ปรากฏซ้ำในสมการ ดังตัวอยางตอไปนี้
อาจารย ดร. จรินทรทิพย เฮงคราวิทย (TU) MA 214 : Differential equation (Chapter 1) เทอม 2/2557 24 / 1
..........
.....
......
.....
.....
.....
......
.....
.....
.....
......
.....
.....
.....
......
.....
......
.....
.....
.
.ตัวอยาง 2.9..
......
จงหาผลเฉลยของสมการเชิงอนุพันธ
(y+ xy2)dx+ (x− x2y)dy = 0
อาจารย ดร. จรินทรทิพย เฮงคราวิทย (TU) MA 214 : Differential equation (Chapter 1) เทอม 2/2557 25 / 1
..........
.....
......
.....
.....
.....
......
.....
.....
.....
......
.....
.....
.....
......
.....
......
.....
.....
.
อาจารย ดร. จรินทรทิพย เฮงคราวิทย (TU) MA 214 : Differential equation (Chapter 1) เทอม 2/2557 26 / 1
..........
.....
......
.....
.....
.....
......
.....
.....
.....
......
.....
.....
.....
......
.....
......
.....
.....
.
.ตัวอยาง 2.10..
......
จงหาผลเฉลยของสมการเชิงอนุพันธ
(x2 − xy+ y2)dx− xydy = 0
อาจารย ดร. จรินทรทิพย เฮงคราวิทย (TU) MA 214 : Differential equation (Chapter 1) เทอม 2/2557 27 / 1
..........
.....
......
.....
.....
.....
......
.....
.....
.....
......
.....
.....
.....
......
.....
......
.....
.....
.
อาจารย ดร. จรินทรทิพย เฮงคราวิทย (TU) MA 214 : Differential equation (Chapter 1) เทอม 2/2557 28 / 1
..........
.....
......
.....
.....
.....
......
.....
.....
.....
......
.....
.....
.....
......
.....
......
.....
.....
.
.ตัวอยาง 2.11..
......
จงหาผลเฉลยของสมการเชิงอนุพันธ
2xyy′ = y2 − x2
อาจารย ดร. จรินทรทิพย เฮงคราวิทย (TU) MA 214 : Differential equation (Chapter 1) เทอม 2/2557 29 / 1
..........
.....
......
.....
.....
.....
......
.....
.....
.....
......
.....
.....
.....
......
.....
......
.....
.....
.
อาจารย ดร. จรินทรทิพย เฮงคราวิทย (TU) MA 214 : Differential equation (Chapter 1) เทอม 2/2557 30 / 1
..........
.....
......
.....
.....
.....
......
.....
.....
.....
......
.....
.....
.....
......
.....
......
.....
.....
.
.ตัวอยาง 2.12..
......
จงหาผลเฉลยของสมการเชิงอนุพันธ
y′ = (y+ 9x)2
อาจารย ดร. จรินทรทิพย เฮงคราวิทย (TU) MA 214 : Differential equation (Chapter 1) เทอม 2/2557 31 / 1
..........
.....
......
.....
.....
.....
......
.....
.....
.....
......
.....
.....
.....
......
.....
......
.....
.....
.
อาจารย ดร. จรินทรทิพย เฮงคราวิทย (TU) MA 214 : Differential equation (Chapter 1) เทอม 2/2557 32 / 1
..........
.....
......
.....
.....
.....
......
.....
.....
.....
......
.....
.....
.....
......
.....
......
.....
.....
.
แบบที่ 3. สมการเอกพันธุ
ในหัวขอนี้จะพิจารณากลุมของสมการเชิงอนุพันธซึ่งสามารถลดรูปเปนสมการตัวแปรแยกกันได.บทนิยาม 2.1..
......
สมการเชิงอนุพันธอันดับหนึ่ง เรียกวาเปน สมการเอกพันธุ (HomogeneousEquations) ถาสามารถเขียนอยูในรูป
dydx = g
(yx)
เมื่อ g ( yx) เปนฟงกชันขึ้นกับ yx เทานั้น
อาจารย ดร. จรินทรทิพย เฮงคราวิทย (TU) MA 214 : Differential equation (Chapter 1) เทอม 2/2557 33 / 1
..........
.....
......
.....
.....
.....
......
.....
.....
.....
......
.....
.....
.....
......
.....
......
.....
.....
.
.ตัวอยาง 2.13..
......
สมการเชิงอนุพันธ(x2 + y2)dx− xydy = 0
เปนสมการเอกพันธุ เนื่องจาก
อาจารย ดร. จรินทรทิพย เฮงคราวิทย (TU) MA 214 : Differential equation (Chapter 1) เทอม 2/2557 34 / 1
..........
.....
......
.....
.....
.....
......
.....
.....
.....
......
.....
.....
.....
......
.....
......
.....
.....
.
อาจารย ดร. จรินทรทิพย เฮงคราวิทย (TU) MA 214 : Differential equation (Chapter 1) เทอม 2/2557 35 / 1
..........
.....
......
.....
.....
.....
......
.....
.....
.....
......
.....
.....
.....
......
.....
......
.....
.....
.
.บทนิยาม 2.2..
......
ฟงกชัน F ( x , y ) เรียกวาเปน ฟงกชันเอกพันธุ (Homogeneous Function) ดีกรี nถา
F( tx , ty ) = tnF( x , y )เชน F(x, y) = x2 + y2 exp
(2xy)
F( tx , ty) = (tx)2 + (ty)2 exp(2txty
)= t2(x2 + y2 exp
(2xy)) = t2F(x, y)
เปนฟงกชันเอกพันธุ ดีกรี 2
อาจารย ดร. จรินทรทิพย เฮงคราวิทย (TU) MA 214 : Differential equation (Chapter 1) เทอม 2/2557 36 / 1
..........
.....
......
.....
.....
.....
......
.....
.....
.....
......
.....
.....
.....
......
.....
......
.....
.....
.
.ทฤษฎีบท 2.1..
......
ถา M(x, y) และ N(x, y) เปนฟงกชันเอกพันธุดีกรีเดียวกัน ดังนั้นฟงกชัน M(x, y)N(x, y)
เปนฟงกชันเอกพันธุ ดีกรี 0.ทฤษฎีบท 2.2........ถา F(x, y) เปนฟงกชันเอกพันธุดีกรี 0 ดังนั้น F(x, y) เปนฟงกชันของ y
x
อาจารย ดร. จรินทรทิพย เฮงคราวิทย (TU) MA 214 : Differential equation (Chapter 1) เทอม 2/2557 37 / 1
..........
.....
......
.....
.....
.....
......
.....
.....
.....
......
.....
.....
.....
......
.....
......
.....
.....
.
ตอไปพิจารณาสมการเชิงอนุพันธอันดับหนึ่ง
M(x, y)dx+ N(x, y)dy = 0 (∗)
สมมุติวาสัมประสิทธิ์ M(x, y) และ N(x, y) เปนฟงกชันเอกพันธุดีกรีเดียวกัน ดังนั้นโดยทฤษฎีบท 2.1 ไดวา M(x, y)
N(x, y) เปนฟงกชันเอกพันธุ ดีกรี 0โดยทฤษฎีบท 2.2 ไดวา สมการเขียนใหมไดในรูป
dydx + g
(yx)
= 0
นั่นคือสมการ (*) เปนสมการเอกพันธุโดยการเปลี่ยนตัวแปร y = vx หรือ x = vy จะไดสมการ
xdvdx + v + g (v) = 0
ซึ่งเปนสมการตัวแปรแยกกันไดอาจารย ดร. จรินทรทิพย เฮงคราวิทย (TU) MA 214 : Differential equation (Chapter 1) เทอม 2/2557 38 / 1
..........
.....
......
.....
.....
.....
......
.....
.....
.....
......
.....
.....
.....
......
.....
......
.....
.....
.
.ตัวอยาง 2.14..
......
จงหาผลเฉลยของสมการเชิงอนุพันธ
(y+√
x2 + y2)dx− xdy = 0
อาจารย ดร. จรินทรทิพย เฮงคราวิทย (TU) MA 214 : Differential equation (Chapter 1) เทอม 2/2557 39 / 1
..........
.....
......
.....
.....
.....
......
.....
.....
.....
......
.....
.....
.....
......
.....
......
.....
.....
.
อาจารย ดร. จรินทรทิพย เฮงคราวิทย (TU) MA 214 : Differential equation (Chapter 1) เทอม 2/2557 40 / 1
..........
.....
......
.....
.....
.....
......
.....
.....
.....
......
.....
.....
.....
......
.....
......
.....
.....
.
.ตัวอยาง 2.15..
......
จงหาผลเฉลยของสมการเชิงอนุพันธ
(x2 − 3y2) + 2xydydx = 0
อาจารย ดร. จรินทรทิพย เฮงคราวิทย (TU) MA 214 : Differential equation (Chapter 1) เทอม 2/2557 41 / 1
..........
.....
......
.....
.....
.....
......
.....
.....
.....
......
.....
.....
.....
......
.....
......
.....
.....
.
อาจารย ดร. จรินทรทิพย เฮงคราวิทย (TU) MA 214 : Differential equation (Chapter 1) เทอม 2/2557 42 / 1
..........
.....
......
.....
.....
.....
......
.....
.....
.....
......
.....
.....
.....
......
.....
......
.....
.....
.
.ตัวอยาง 2.16..
......
จงหาผลเฉลยของสมการเชิงอนุพันธ
(1 + 2ex/y)dx+ 2ex/y(1− x
y)dy = 0
อาจารย ดร. จรินทรทิพย เฮงคราวิทย (TU) MA 214 : Differential equation (Chapter 1) เทอม 2/2557 43 / 1
..........
.....
......
.....
.....
.....
......
.....
.....
.....
......
.....
.....
.....
......
.....
......
.....
.....
.
อาจารย ดร. จรินทรทิพย เฮงคราวิทย (TU) MA 214 : Differential equation (Chapter 1) เทอม 2/2557 44 / 1
..........
.....
......
.....
.....
.....
......
.....
.....
.....
......
.....
.....
.....
......
.....
......
.....
.....
.
.ตัวอยาง 2.17..
......
จงหาผลเฉลยของสมการเชิงอนุพันธ
y′ = x2 + 5y24xy
อาจารย ดร. จรินทรทิพย เฮงคราวิทย (TU) MA 214 : Differential equation (Chapter 1) เทอม 2/2557 45 / 1
..........
.....
......
.....
.....
.....
......
.....
.....
.....
......
.....
.....
.....
......
.....
......
.....
.....
.
อาจารย ดร. จรินทรทิพย เฮงคราวิทย (TU) MA 214 : Differential equation (Chapter 1) เทอม 2/2557 46 / 1
..........
.....
......
.....
.....
.....
......
.....
.....
.....
......
.....
.....
.....
......
.....
......
.....
.....
.
แบบที่ 4. สมการที่มีสัมประสิทธิ์เปนฟงกเชิงเสน
สมการเชิงอนุพันธอันดับหนึ่งที่มีสัมประสิทธิ์เปนฟงกเชิงเสนในรูป
(a1x+ b1y+ c1)dx + (a2x+ b2y+ c2)dy = 0
สามารถลดรูปเปนสมการเอกพันธุไดโดยการแปลงพิกัดดังกลาวไวในทฤษฎีบทตอไปนี้.ทฤษฎีบท 2.3..
......
พิจารณาสมการที่มีสัมประสิทธิ์เปนฟงกเชิงเสน
(a1x+ b1y+ c1)dx+ (a2x+ b2y+ c2)dy = 0
เมื่อ a1,b1, c1,a2,b2, c2 เปนคาคงตัว
อาจารย ดร. จรินทรทิพย เฮงคราวิทย (TU) MA 214 : Differential equation (Chapter 1) เทอม 2/2557 47 / 1
..........
.....
......
.....
.....
.....
......
.....
.....
.....
......
.....
.....
.....
......
.....
......
.....
.....
.
.ทฤษฎีบท 2.3 (ตอ)..
......
กรณี 1 ถา a2b1 ̸= a1b2 แลวการแปลง
x = u+ h , y = v+ k
เมื่อ (h, k) เปนผลเฉลยของระบบสมการ
a1h+ b1k+ c1 = 0
a2h+ b2k+ c2 = 0
สมการจะลดรูปเปนสมการเอกพันธุในตัวแปร u และ v
(a1u+ b1v)du+ (a2u+ b2v)dv = 0
อาจารย ดร. จรินทรทิพย เฮงคราวิทย (TU) MA 214 : Differential equation (Chapter 1) เทอม 2/2557 48 / 1
..........
.....
......
.....
.....
.....
......
.....
.....
.....
......
.....
.....
.....
......
.....
......
.....
.....
.
.ทฤษฎีบท 2.3 (ตอ)..
......
กรณี 2 ถา a2b1 = a1b2 แลวการแปลง
z = a1x+ b1y
สมการลดรูปเปนสมการตัวแปรแยกกันไดในตัวแปร x และ z หรือตัวแปร y และ z
อาจารย ดร. จรินทรทิพย เฮงคราวิทย (TU) MA 214 : Differential equation (Chapter 1) เทอม 2/2557 49 / 1
..........
.....
......
.....
.....
.....
......
.....
.....
.....
......
.....
.....
.....
......
.....
......
.....
.....
.
.ตัวอยาง 2.18..
......
จงแกสมการ
(x− 2y+ 1)dx+ (4x− 3y− 6)dy = 0
อาจารย ดร. จรินทรทิพย เฮงคราวิทย (TU) MA 214 : Differential equation (Chapter 1) เทอม 2/2557 50 / 1
..........
.....
......
.....
.....
.....
......
.....
.....
.....
......
.....
.....
.....
......
.....
......
.....
.....
.
อาจารย ดร. จรินทรทิพย เฮงคราวิทย (TU) MA 214 : Differential equation (Chapter 1) เทอม 2/2557 51 / 1
..........
.....
......
.....
.....
.....
......
.....
.....
.....
......
.....
.....
.....
......
.....
......
.....
.....
.
.ตัวอยาง 2.19..
......
จงแกสมการ
(x+ 2y+ 3)dx+ (2x+ 4y− 1)dy = 0
อาจารย ดร. จรินทรทิพย เฮงคราวิทย (TU) MA 214 : Differential equation (Chapter 1) เทอม 2/2557 52 / 1
..........
.....
......
.....
.....
.....
......
.....
.....
.....
......
.....
.....
.....
......
.....
......
.....
.....
.
อาจารย ดร. จรินทรทิพย เฮงคราวิทย (TU) MA 214 : Differential equation (Chapter 1) เทอม 2/2557 53 / 1
..........
.....
......
.....
.....
.....
......
.....
.....
.....
......
.....
.....
.....
......
.....
......
.....
.....
.
.แบบฝกหัด..
......
จงหาผลเฉลยของสมการเชิงอนุพันธตอไปนี้(i) (x+√y2 − xy)dy− ydx = 0
(ii) ydx+ x ln yxdy− 2xdy = 0
(iii) 2yex/ydx+ (y− 2xex/y)dy = 0
(iv) (xy− y2)dx− x2dy = 0 เมื่อ y(1) = 1
(v) (x2 + y2)dx = 2xydy เมื่อ y(−1) = 0
อาจารย ดร. จรินทรทิพย เฮงคราวิทย (TU) MA 214 : Differential equation (Chapter 1) เทอม 2/2557 54 / 1
..........
.....
......
.....
.....
.....
......
.....
.....
.....
......
.....
.....
.....
......
.....
......
.....
.....
.
แบบที่ 5. สมการแมนตรง
.บทนิยาม 2.3..
......
ให F(x, y) เปนฟงกชันของสองตัวแปร ซึ่งมีอนุพันธยอยอันดับหนึ่งตอเนื่องในโดเมน Dคาเชิงอนุพันธรวม dF(x, y) ของฟงกชัน F(x, y) นิยามโดย
dF(x, y) =∂
∂xF (x, y) dx +∂
∂yF (x, y) dy
อาจารย ดร. จรินทรทิพย เฮงคราวิทย (TU) MA 214 : Differential equation (Chapter 1) เทอม 2/2557 55 / 1
..........
.....
......
.....
.....
.....
......
.....
.....
.....
......
.....
.....
.....
......
.....
......
.....
.....
.
.บทนิยาม 2.4..
......
นิพจนM(x, y)dx+ N(x, y)dy
เรียกวา คาเชิงอนุพันธแมนตรง ในโดเมน D ถาสำหรับทุกๆ (x, y) ∈ D มีฟงกชันF(x, y) ของสองตัวแปร ซึ่งนิพจนนี้เทากับคาเชิงอนุพันธรวม dF(x, y)นั่นคือสำหรับทุก (x, y) ∈ D มีฟงกชัน F(x, y) ซึ่ง
∂
∂xF (x, y) = M(x, y)
และ∂
∂yF (x, y) = N(x, y)
อาจารย ดร. จรินทรทิพย เฮงคราวิทย (TU) MA 214 : Differential equation (Chapter 1) เทอม 2/2557 56 / 1
..........
.....
......
.....
.....
.....
......
.....
.....
.....
......
.....
.....
.....
......
.....
......
.....
.....
.
.บทนิยาม 2.5..
......
ถาM(x, y)dx+ N(x, y)dy
เปนคาเชิงอนุพันธแมนตรงแลวสมการเชิงอนุพันธ
M(x, y)dx+ N(x, y)dy = 0
เรียกวา สมการแมนตรง
อาจารย ดร. จรินทรทิพย เฮงคราวิทย (TU) MA 214 : Differential equation (Chapter 1) เทอม 2/2557 57 / 1
..........
.....
......
.....
.....
.....
......
.....
.....
.....
......
.....
.....
.....
......
.....
......
.....
.....
.
สำหรับสมการเชิงอนุพันธอันดับหนึ่งในรูป
M(x, y)dx+ N(x, y)dy = 0
สามารถตรวจสอบวาเปนสมการแมนตรงหรือไม โดยใชทฤษฎีบทตอไปนี้.ทฤษฎีบท 2.4 (วิธีการทดสอบสมการแมนตรง)..
......
สมการเชิงอนุพันธM(x, y)dx+ N(x, y)dy = 0
เปนสมการแมนตรง ก็ตอเมื่อ∂
∂yM (x, y) =∂
∂xN (x, y)
อาจารย ดร. จรินทรทิพย เฮงคราวิทย (TU) MA 214 : Differential equation (Chapter 1) เทอม 2/2557 58 / 1
..........
.....
......
.....
.....
.....
......
.....
.....
.....
......
.....
.....
.....
......
.....
......
.....
.....
.
.ตัวอยาง 2.20..
......
จงแกสมการ
(2x sin y+ y3ex)dx+ (x2 cos y+ 3y2ex)dy = 0
อาจารย ดร. จรินทรทิพย เฮงคราวิทย (TU) MA 214 : Differential equation (Chapter 1) เทอม 2/2557 59 / 1
..........
.....
......
.....
.....
.....
......
.....
.....
.....
......
.....
.....
.....
......
.....
......
.....
.....
.
อาจารย ดร. จรินทรทิพย เฮงคราวิทย (TU) MA 214 : Differential equation (Chapter 1) เทอม 2/2557 60 / 1
..........
.....
......
.....
.....
.....
......
.....
.....
.....
......
.....
.....
.....
......
.....
......
.....
.....
.
.ตัวอยาง 2.21..
......จงแกสมการ
(2xy+ 3y)dx+ (x2 + 3x)dy = 0
อาจารย ดร. จรินทรทิพย เฮงคราวิทย (TU) MA 214 : Differential equation (Chapter 1) เทอม 2/2557 61 / 1
..........
.....
......
.....
.....
.....
......
.....
.....
.....
......
.....
.....
.....
......
.....
......
.....
.....
.
อาจารย ดร. จรินทรทิพย เฮงคราวิทย (TU) MA 214 : Differential equation (Chapter 1) เทอม 2/2557 62 / 1
..........
.....
......
.....
.....
.....
......
.....
.....
.....
......
.....
.....
.....
......
.....
......
.....
.....
.
.ตัวอยาง 2.21..
......
จงแกปญหาคาเริ่มตน
(2x cos y+ 3x2y)dx+ (x3 − x2 sin y− y)dy = 0, y(0) = 2
อาจารย ดร. จรินทรทิพย เฮงคราวิทย (TU) MA 214 : Differential equation (Chapter 1) เทอม 2/2557 63 / 1
..........
.....
......
.....
.....
.....
......
.....
.....
.....
......
.....
.....
.....
......
.....
......
.....
.....
.
อาจารย ดร. จรินทรทิพย เฮงคราวิทย (TU) MA 214 : Differential equation (Chapter 1) เทอม 2/2557 64 / 1
..........
.....
......
.....
.....
.....
......
.....
.....
.....
......
.....
.....
.....
......
.....
......
.....
.....
.
.ตัวอยาง 2.22..
......จงหาผลเฉลย
3x2y+ ey + (x3 + xey − 2y)y′ = 0
อาจารย ดร. จรินทรทิพย เฮงคราวิทย (TU) MA 214 : Differential equation (Chapter 1) เทอม 2/2557 65 / 1
..........
.....
......
.....
.....
.....
......
.....
.....
.....
......
.....
.....
.....
......
.....
......
.....
.....
.
อาจารย ดร. จรินทรทิพย เฮงคราวิทย (TU) MA 214 : Differential equation (Chapter 1) เทอม 2/2557 66 / 1
..........
.....
......
.....
.....
.....
......
.....
.....
.....
......
.....
.....
.....
......
.....
......
.....
.....
.
.ตัวอยาง 2.23..
......
จงหาผลเฉลย2ty
t2 + 1− 2t− [2− (ln(t2 + 1))]y′ = 0, y(5) = 0
อาจารย ดร. จรินทรทิพย เฮงคราวิทย (TU) MA 214 : Differential equation (Chapter 1) เทอม 2/2557 67 / 1
..........
.....
......
.....
.....
.....
......
.....
.....
.....
......
.....
.....
.....
......
.....
......
.....
.....
.
อาจารย ดร. จรินทรทิพย เฮงคราวิทย (TU) MA 214 : Differential equation (Chapter 1) เทอม 2/2557 68 / 1