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MA311 - Calculo III
Primeiro semestre de 2020
Turma B – Curso 51
Ricardo M. Martins
http://www.ime.unicamp.br/~rmiranda
Aula 14: Transformada de Laplace: funcao degrau
Funcao degrau
Vimos que a solucao da equacao
ay ′′ + by ′ + cy = f (t)
com y = y(t) e L{y(t)} = Y (s) e dada por
y(t) = L−1
{(as + b)y(0) + ay ′(0)
as2 + bs + c+
L{f (t)}as2 + bs + c
}.
A parte difıcil sera calcular
L−1
{L{f (t)}
as2 + bs + c
},
pois nem a transformada inversa de nao costuma ser uma funcao
do mesmo “tipo”. Precisamos aumentar nosso zoologico de
transformadas para incluir mais alguns tipos de funcoes.
Funcao degrau
Se c ∈ R, Defina a funcao uc : R→ R por
uc(t) =
0, t < c ,
1, t ≥ c .
Funcao degrau
Combinacoes de funcoes uc(t) sao funcoes constantes por partes:
Exemplo
Encontre A,B,C de modo que f (t) = A+Bu0(t) +Cu1(t), onde
f (t) =
2, t < 0,
3, 0 ≤ t < 1,
−1, 1 ≤ t
.
Funcao degrau
Proposicao
Seja c ∈ R. Se f (t) esta definida para todo t ≥ 0 e a transformada
L{f (t)} existe entao
L{uc(t)f (t − c)} = e−csL{f (t)}.
Prova: nas anotacoes no site.
Note que
uc(t)f (t − c) =
0, t < c ,
f (t − c), t ≥ c .
Funcao degrau
Seja f (t) definida para t ≥ 0. Como e a funcao uc(t)f (t − c)?
A funcao uc(t)f (t − c) esta definida em R: seu grafico obtido pela translacao
do grafico de f (t) c unidades para a direita se t ≥ c e completando com o
grafico da funcao 0 para t < c.
Funcao degrau
Exemplo
Note que
L{uc(t)} = L{1 · uc(t)} (1)
= e−csL{1} (2)
=1
s· e−cs (3)
Portanto L−1
{e−cs
s
}= uc(t).
Funcao degrau
ExercıcioMostre que se
h(t) =
t4, t < 5,
t4 + 3 sen
(t
10− 1
2
), t ≥ 5,
entao
L{h(t)} =4!
s5+
3
10
e−5s
s2 +1
100
Dica: a funcao h(t) pode ser escrita como
h(t) = t4 + 3u5(t) sen
(1
10· (t − 5)
). (PQ???)
Funcao degrau
ExercıcioCalcule a transformada de Laplace de
f (t) =
t, t < 6,
−8 + (t − 6)2, t ≥ 6.
Exercıcio
Seja f (t) = −t2u3(t) + sen(t)u6(t). Calcule F (s) = L{f (t)} e
faca os graficos de f (t) e F (s).
Funcao degrau
ExercıcioEncontre a transformada de Laplace de
f (t) =
0, t < 1,
t2, 1 ≤ t < 2,
0, t ≥ 2
Dica: escreva esta funcao em termos de g(t) = t2 e das funcoes
degrau u1(t) e u2(t).
Funcao degrau
Exercıcio
O grafico de g : [0,∞)→ R e dado abaixo. Calcule L{g(t)}.
Transformadas inversas e funcoes degrau
Transformadas inversas do tipo
L−1
{p(t)eat
q(t)
}costumam recair em expressoes envolvendo funcoes degrau.
Lembre-se que transformadas inversas aparecem quando estamos
resolvendo PVI’s usando transformadas de Laplace.
Vamos ver num exemplo como tratar estes casos.
Transformadas inversas e funcoes degrau
Exemplo
Se H(s) =se−4s
(3s + 2)(s − 2), calcule
h(t) = L−1{H(s)
}.
Escrevendo F (s) =s
(3s + 2)(s − 2), queremos calcular
L−1{e−4sF (s)}.
Ja vimos que L{uc(t)g(t − c)} = e−csL{g(t)}, entao aplicando
L−1 nos dois lados, teremos
uc(t)g(t − c) = L−1{e−csL{g(t)}}.
Transformadas inversas e funcoes degrau
Exemplo
Se H(s) =se−4s
(3s + 2)(s − 2), calcule
h(t) = L−1{H(s)
}.
No nosso caso teremos
L−1{H(s)} = L−1{e−4sF (s)} = u4(t)f (t − 4),
onde f (t) = L−1{F (s)}. Resta-nos calcular L−1{F (s)}, ou
L−1
{s
(3s + 2)(s − 2)
}.
Transformadas inversas e funcoes degrau
Exemplo
Se H(s) =se−4s
(3s + 2)(s − 2), calcule
h(t) = L−1{H(s)
}.
Aqui entram as fracoes parciais. Muitas contas depois, temos que
s
(3s + 2)(s − 2)=
1/4
3(s + 2/3)+
1/4
s − 2
Portanto
L−1
{s
(3s + 2)(s − 2)
}= L−1
{1/4
3(s + 2/3)+
1/4
s − 2
}.
Transformadas inversas e funcoes degrau
Exemplo
Se H(s) =se−4s
(3s + 2)(s − 2), calcule
h(t) = L−1{H(s)
}.
Finalmente,
f (t) = L−1
{s
(3s + 2)(s − 2)
}=
1
12e−2t/3 +
1
4e2t
e com isto
h(t) = L−1 {H(s)} = u4(t)f (t − 4),
ou
h(t) = u4(t)
(1
12e−2(t−4)/3 +
1
4e2(t−4)
).
Laplace, PVIs e a funcao degrau
Muita calma. As coisas vao comecar a ficar misturadas. Ja ja
vamos fazer um exemplo.
Nos proximos slides, vamos denotar:
L
f (t)︸︷︷︸letra minuscula e dependendo de t
= F (s)︸︷︷︸maiuscula e dependendo de s
Por exemplo, L{y(t)} = Y (s).
No caso de transformadas inversas, a notacao e a mesma: se a
funcao tiver sido obtida como transforma de Laplace de alguma
outra, letra maiuscula.
Por exemplo, L−1 {F (s)} = f (t).
Laplace, PVIs e a funcao degrau
Exemplo
Resolva o PVI abaixo usando transformada de Laplace.
y ′′ − y ′ + 5y = 4 + u2(t)e4−2t , y(0) = 2, y ′(0) = −1.
No nosso catalogo de transformadas, temos algumas informacoes
sobre funcoes do tipo uc(t)g(t − c).
A parte nao-homogenea e quase deste tipo; vamos deixa-la
exatamente deste tipo? Ou seja, vamos escrever
e4−2t = f (t − c)
para alguma funcao f . Note que neste caso c = 2, pois o c
tambem aparece em uc e no nosso caso temos u2.
Laplace, PVIs e a funcao degrau
Exemplo
Resolva o PVI abaixo usando transformada de Laplace.
y ′′ − y ′ + 5y = 4 + u2(t)e4−2t , y(0) = 2, y ′(0) = −1.
Assim,
e4−2t = f (t − 2)⇒ f (t) = e−2t ⇒ f (t − 2) = e−2(t−2)
Portanto, o lado direito e u2(t)e−2(t−2) e a EDO fica
y ′′ − y ′ + 5y = 4 + u2(t)e−2(t−2).
Laplace, PVIs e a funcao degrau
Exemplo
Resolva o PVI abaixo usando transformada de Laplace.
y ′′ − y ′ + 5y = 4 + u2(t)e4−2t , y(0) = 2, y ′(0) = −1.
Calculando transformada de Laplace dos dois lados e isolando
Y (s) = L{y(t)} obtemos
Y (s) =2s2 − 2s + 4
s(s2 − s + 5)+
e−2s
(s + 2)(s2 − s + 5)
Usando a transformada inversa obtemos
y(t) = L−1
{2s2 − 2s + 4
s(s2 − s + 5)
}+ L−1
{e−2s
(s + 2)(s2 − s + 5)
}.
Laplace, PVIs e a funcao degrau
Exemplo
Resolva o PVI abaixo usando transformada de Laplace.
y ′′ − y ′ + 5y = 4 + u2(t)e4−2t , y(0) = 2, y ′(0) = −1.
Temos que:
# L−1
{2s2 − 2s + 4
s(s2 − s + 5)
}=
6et/2
(√19 cos
(√19t
2
)− sen
(√19t
2
))5√
19+
4
5
# L−1
{e−2s
(s + 2)(s2 − s + 5)
}= enorme, veja no Wolfram.
Mesmo com estas expressoes enormes, encontramos y(t)! Como
sera o grafico de y(t)?
Laplace, PVIs e a funcao degrau
Exemplo
Resolva o PVI abaixo usando transformada de Laplace.
y ′′ − y ′ + 5y = 4 + u2(t)e4−2t , y(0) = 2, y ′(0) = −1.
Laplace, PVIs e a funcao degrau
Para finalizar, mais alguns exercıcios.
Exercıcio
Resolva o PVI y ′′ + 4y = uπ(t)− u3π(t), y(0) = y ′(0) = 0.
Exercıcio
Resolva o PVI y ′′ + y ′ + 5y/4 = g(t), y(0) = 0, y ′(0) = 0 e
g(t) =
sen(t), 0 ≤ t < π,
0, t ≥ π.