ma5032 analisis real - … semua bilangan rasional dan bilangan irasional disebut ... 2 nyatakan...

Daftar Isi0. BILANGAN REAL - BAGIAN I

MA5032 ANALISIS REAL(Semester I Tahun 2011-2012)

Hendra Gunawan∗

∗Dosen FMIPA - ITBE-mail: [email protected].

August 16, 2011

Hendra Gunawan MA5032 ANALISIS REAL


0.1 Sekilas Bilangan Real0.2 Sifat Lapangan0.3 Sifat Urutan0.4 Akar dan Persamaan Kuadrat0.5 Nilai Mutlak




Pada bab ini anda diasumsikan telah mengenal dengan cukup baikbilangan asli, bilangan bulat, dan bilangan rasional. Himpunansemua bilangan asli dilambangkan dengan N, yakni

N := {1, 2, 3, . . . }.

Himpunan semua bilangan bulat dilambangkan dengan Z, yakni

Z := {0,±1,±2,±3, . . . }.

(Tanda . . . di sini menyatakan ‘dan seterusnya’, yang meng-asumsikan bahwa pembaca telah mengetahui pola yang ada.)




Sementara itu, himpunan semua bilangan rasional dilambangkandengan Q, yakni

Q :={p

q: p ∈ Z, q ∈ N, dan FPB(p, q) = 1

}.

(Di sini FPB(p, q) menyatakan faktor persekutuan terbesar dari pdan q. Sebagai contoh, FPB(6, 10) = 2.)




Selain itu, anda juga diasumsikan telah mengenal notasi bilangandalam bentuk desimal. Sebagai contoh,

1 = 1.00000 . . .

1

2= 0.50000 . . .

1

3= 0.33333 . . .

√2 = 1.41421 . . .

e = 2.71828 . . .

π = 3.14159 . . .




Sebagian bilangan mempunyai bentuk desimal yang ‘berhenti’,seperti 1

2 = 0.5, dan sebagian bilangan mempunyai bentuk desimalyang ‘berulang’, seperti 1

3 = 0.33333 . . . . Bilangan rasionalsenantiasa dapat dinyatakan dalam bentuk desimal yang berhentiatau berulang.




Bilangan yang mempunyai bentuk desimal tak berhenti ataupunberulang merupakan bilangan irasional. Sebagai contoh,

√2 yang

memang bukan merupakan bilangan rasional mempunyai bentukdesimal tak berhenti ataupun berulang. Contoh lainnya, bilangan

0.1010010001 . . .

merupakan bilangan irasional.




Himpunan semua bilangan rasional dan bilangan irasional disebutsebagai himpunan bilangan real, yang dilambangkan dengan R.Dalam hal ini, kita mempunyai

N ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R.

Pada pembahasan selanjutnya, kita akan mempelajari sifat-sifatbilangan real secara lebih mendalam.




Soal Latihan

1 Nyatakan 112 dalam bentuk desimal. Apakah bentuk

desimalnya berhenti atau berulang?

2 Nyatakan 0.123123123 . . . sebagai bentuk pecahan.

3 Buktikan bahwa tidak ada bilangan rasional x yang memenuhipersamaan x2 = 2. (Petunjuk. Gunakan metode pembuktiantak langsung.)




Himpunan bilangan real R memenuhi Sifat Lapangan yang terkaitdengan operasi penjumlahan dan perkalian padanya, yakni:A1. x + y = y + x untuk setiap x , y ∈ R.A2. (x + y) + z = x + (y + z) untuk setiap x , y , z ∈ R.A3. Terdapat 0 ∈ R sedemikian sehingga x + 0 = x untuk setiapx ∈ R.A4. Untuk setiap x ∈ R terdapat −x ∈ R sedemikian sehinggax + (−x) = 0.A5. xy = yx untuk setiap x , y ∈ R.A6. (xy)z = x(yz) untuk setiap x , y , z ∈ R.A7. Terdapat 1 ∈ R, 1 6= 0, sedemikian sehingga x · 1 = x untuksetiap x ∈ R.A8. Untuk setiap x ∈ R, x 6= 0, terdapat x−1 ∈ R sedemikiansehingga x(x−1) = 1.A9. x(y + z) = xy + xz untuk setiap x , y , z ∈ R.




Perlu diingat bahwa 0 tidak mempunyai unsur kebalikan, dansecara umum pembagian dengan 0 tidak didefinisikan. Sehubungandengan itu tidak benar bahwa

1

0= ∞.

Walaupun kelak lambang ∞ (baca: tak hingga atau tak terhingga)akan sering digunakan, ia tidak menyatakan sebuah bilangan real.




Teorema 1 (Hukum Pencoretan)

Misalkan x , y, dan z adalah bilangan real sembarang.(a) Jika x + z = y + z, maka x = y.(b) Jika xz = yz dan z 6= 0, maka x = y.




Bukti. (a) Misalkan x + z = y + z . Tambahkan kedua ruas dengan−z , sehingga kita dapatkan

(x + z) + (−z) = (y + z) + (−z).

Dengan menggunakan sifat asosiatif dan sifat unsur lawan, kitaperoleh

x + 0 = y + 0,

dan berdasarkan sifat unsur identitas pada penjumlahan, kitasampai pada kesimpulan bahwa x = y .

(b) Serupa dengan (a); dapat dicoba sebagai latihan.




Soal Latihan

1 Buktikan Teorema 1 bagian (b).2 Diketahui bilangan real a sembarang. Buktikan bahwa

1 a.0 = 0.2 (−1)a = −a.3 −(−a) = a.4 (−1)(−1) = 1.

3 Diketahui bilangan real a dan b. Buktikan jika ab = 0, makaa = 0 atau b = 0.




Selain memenuhi Sifat Lapangan, sistem bilangan real R denganoperasi penjumlahan dan perkalian juga memenuhi Sifat Urutan,yakni terdapat himpunan bagian P ⊆ R yang bersifat:B1. Jika x , y ∈ P, maka x + y ∈ P.B2. Jika x , y ∈ P, maka xy ∈ P.B3. Jika x ∈ P, maka −x /∈ P.B4. Jika x ∈ R, maka: atau x ∈ P, atau x = 0, atau −x ∈ P.

Bilangan x ∈ P disebut sebagai bilangan positif.




Selanjutnya kita tuliskan x < y (y > x) apabila y − x ∈ P; danx ≤ y (y ≥ x) apabila x < y atau x = y .Notasi x < y (y > x) dibaca ‘x lebih kecil daripada y ’ (‘y lebihbesar daripada x ’). Sementara itu, x ≤ y (y ≥ x) dibaca ‘x lebihkecil daripada atau sama dengan y ’ (‘y lebih besar daripada atausama dengan x ’.

Catat bahwa x > 0 berarti x ∈ P, yakni x merupakan bilanganpositif.

Diberikan tiga bilangan real a, b, dan c , notasi a < b < c berartia < b dan b < c . Sebagai contoh, kita mempunyai 0 < 1

2 < 1.




Perhatikan bahwa, menurut sifat B4, untuk sembarang bilanganreal a dan b, terdapat tiga kemungkinan dan hanya satu di antaratiga kemungkinan tersebut yang benar — yaitu:

atau a > b, atau a = b, atau a < b.

Sifat ini dikenal sebagai Hukum Trikotomi.




Teorema 2

.(i) Jika a > b dan b > c, maka a > c.(ii) Jika a > b dan c ∈ R, maka a + c > b + c.(iii) Jika a > b dan c > 0, maka ac > bc; Jika a > b dan c < 0,maka ac < bc.

Bukti. (i) Misal a > b dan b > c . Maka, a− b ∈ P dan b− c ∈ P.Menurut sifat B1, a− c = (a− b) + (b − c) ∈ P. Jadi a > c .Bukti bagian (ii) dan (iii) diserahkan sebagai latihan.




Contoh 3

Fakta bahwa 1 > 0 dapat dibuktikan kebenarannya denganmenggunakan sifat-sifat pada Teorema 2. Ingat bahwa 1 6= 0.Karena itu tinggal ada dua kemungkinan: atau 1 < 0 atau 1 > 0.Andaikan 1 < 0. Tambahkan kedua ruas dengan −1, kita peroleh0 < −1 atau −1 > 0. Akibatnya [lihat Soal Latihan 0.2 No. 2(d)],kita peroleh 1 = (−1)(−1) > 0, bertentangan dengan pengandaiansemula. Dengan demikian tidak mungkin 1 < 0, dan karena itumestilah 1 > 0.




Contoh 4

Misalkan diketahui a < b + ε untuk setiap ε > 0. Maka dapatdisimpulkan bahwa a ≤ b. (Andaikan a > b. Maka, untukε = a + (−b) := a− b, berlaku a < b + (a− b) = a, sesuatu yangmustahil.)




Soal Latihan

1 Buktikan Teorema 2 bagian (ii) dan (iii).

2 Buktikan jika a > 0, maka 1a > 0. (Di sini 1

a menyatakankebalikan dari a.)

3 Buktikan jika a > b dan c > d , maka a + c > b + d .

4 Buktikan jika a < b dan A,B > 0, maka aA < a+b

A+B < bB .

5 Diketahui x , y > 0. Buktikan x < y jika dan hanya jikax2 < y2.

6 Buktikan jika b − ε < a < b + ε untuk setiap ε > 0, makaa = b.




Untuk n ∈ N, kita tuliskan xn = x x · · · x (n kali).

Asumsi berikutnya tentang sistem bilangan real (yang akan dibahaspada Bab 1) menjamin eksistensi akar ke-n. Persisnya, diberikany ≥ 0, terdapat sebuah bilangan x ≥ 0 (tunggal) sedemikiansehingga

y = xn.




Untuk y ≥ 0, nilai x ≥ 0 yang memenuhi persamaan y = xn

disebut sebagai akar ke-n dari y dan dilambangkan dengan

x = y1/n.

Khususnya, untuk n = 2, kita gunakan notasi√

y = y1/2. Catatbahwa dalam hal ini senantiasa berlaku

√y ≥ 0. Jika y > 0, maka

tentu saja terdapat dua buah bilangan yang kuadratnya samadengan y , yaitu

√y yang bernilai positif dan −√y yang bernilai

negatif. Notasi ±√y berarti ‘√

y atau −√y ’.




Jika r = mn adalah suatu bilangan rasional positif dan y ≥ 0, kita

definisikany r := (y1/n)m.

Jika r adalah suatu bilangan rasional negatif, maka −r merupakanbilangan rasional positif dan karenanya y−r terdefinisi. Khususnya,jika y > 0, maka kita dapat mendefinisikan y r sebagai

y r :=1

y−r.

Kita juga mendefinisikan y0 = 1. Dengan demikian, jika y > 0,maka y r terdefinisi untuk semua bilangan rasional. (Definisi y x

untuk bilangan irasional x harus menunggu hingga pembahasanberikutnya.)




Seperti telah disinggung di atas, untuk y > 0, persamaan x2 = ymempunyai dua buah solusi, yaitu x = ±√y . Persamaan x2 = y disini merupakan suatu persamaan kuadrat. Bentuk umumpersamaan kuadrat (dalam x) adalah

ax2 + bx + c = 0,

dengan a 6= 0.




Sebagaimana telah dipelajari di sekolah menengah, persamaankuadrat ax2 + bx + c = 0 tidak mempunyai solusi atau akar realjika b2 − 4ac < 0, mempunyai sebuah akar real (tunggal) jikab2 − 4ac = 0, dan mempunyai dua buah akar real berbeda jikab2 − 4ac > 0. Dalam hal b2 − 4ac ≥ 0, akar persamaan kuadrat diatas diberikan oleh rumus

x =−b ±

√b2 − 4ac

2a.




Akar persamaan kuadrat merupakan titik potong grafik persamaany = ax2 + bx + c (yang berbentuk parabola) dengan sumbu-xpada sistem koordinat Cartesius. (Pembaca diasumsikan telahmengenal sistem koordinat Cartesius dan grafik persamaanpadanya.) Ingat bahwa grafik persamaan kuadrat terbuka ke atasjika a > 0, atau terbuka ke bawah jika a < 0.




Soal Latihan

1 Misalkan koefisien a, b dan c pada persamaan kuadratax2 + bx + c = 0 merupakan bilangan rasional (dengan, tentusaja, a 6= 0). Buktikan jika α = r + s

√2 merupakan akar

persamaan ini, dengan r dan s rasional, maka β = r − s√

2juga merupakan akar.

2 Misalkan n ∈ N dan a1, . . . , an dan b1, . . . , bn adalah bilanganreal. Buktikan bahwa

(a1b1 + · · ·+ anbn)2 ≤ (a2

1 + · · ·+ a2n)(b

21 + · · ·+ b2

n).

(Catatan. Ketaksamaan ini dikenal sebagai ketaksamaanCauchy-Schwarz.)




Jika x adalah bilangan real, maka nilai mutlak x , ditulis |x |,didefinisikan sebagai

|x | ={

x , jika x ≥ 0,−x , jika x < 0.

Sebagai contoh, |2| = 2, |0| = 0, dan | − 5| = −(−5) = 5. Jelasbahwa |x | ≥ 0 untuk setiap x .Perhatikan pula bahwa |x |2 = x2, dan karenanya

√x2 = |x | untuk

setiap x .




Teorema 5

Untuk setiap bilangan real x berlaku

−|x | ≤ x ≤ |x |.




Teorema 6

Untuk setiap bilangan real a dan b berlaku

|ab| = |a| · |b|.




Teorema 7 (Ketaksamaan Segitiga)

Untuk setiap a, b ∈ R berlaku

|a + b| ≤ |a|+ |b|.




Bukti. Perhatikan bahwa untuk setiap a, b ∈ R berlaku

|a + b|2 = (a + b)2

= |a|2 + 2ab + |b|2

≤ |a|2 + 2|a| · |b|+ |b|2

= (|a|+ |b|)2.

Karena itu (lihat Soal Latihan 0.3 No. 4), kita peroleh

|a + b| ≤ |a|+ |b|,

sebagaimana kita harapkan.




Soal Latihan

1 Buktikan Teorema 5.

2 Buktikan Teorema 6.

3 Buktikan bahwa |a| < b jika dan hanya jika −b < a < b.

4 Buktikan bahwa untuk setiap a, b ∈ R berlaku|a− b| ≥ |a| − |b| dan juga |a− b| ≥

∣∣|a| − |b|∣∣.5 Buktikan jika a < x < b dan a < y < b, maka|x − y | < b − a. Berikan interpretasi geometrisnya.


ma5032 analisis real - … semua bilangan rasional dan bilangan irasional disebut ... 2 nyatakan...

Documents