macs2 apostila

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UNIDADE ZERO – REVISÃO DE DERIVADAS

01 - TÉCNICAS DE DERIVAÇÃO

TAREFA 01 - REGRAS DE DERIVAÇÃO

Regras de Derivação: Considere K= constante; u = u(x) e v = v(x). 1. (K)’ = 0 2. (xn)’ = n.xn-1 3.(un)’ = n.un-1.u’ 4. (k.f)’ = k. f’ 5. (u ±±±± v)’ = u’±±±± v’ 6. (u.v)’ = u.v’ + u’.v 7. (u/v)’ = (v.u’-v’.u)/v2 8. (au)’ = au.lna.u’ 9. (eu)’ = eu.u’

10. 'a )u(log = u’/(u.lna)

11.( lnu)’ = u’/u 12. y-y0 = m.(x-x0)

1) Ache as derivadas em relação a x, das funções abaixo:

(a) y = x6+x3+x2 23 (b) y = x+

2x

+3x 23


(a) y = 3 3 3+x (b) y = 3

2

x-1

x


(a) y = 4)x(ln (b) y = 3

x

e3 4) Ache as derivadas em relação a x, das funções abaixo:

(a) y = 63 )2x( - (b) y = π)1+x4( 5) Ache as derivadas em relação a x, das funções abaixo:

(a) y = )x2ln( 2 (b) y = )4+x(log 23


(a) y = )elog( x2 (b) y = xe e.x 7) Ache a equação da reta tangente ao gráfico de f no ponto indicado abaixo:

(a) f(x) = x2 - 4x - 5; (-2, 7) (b) f(x) = (-8)/x1/2; (4, -4) 8) Resolva os problemas abaixo:

(a) Se f(x) = x+x2x 35 - , ache f ’’’(-2) (b) Se f(x) = 7+x12x3+x2 23 - , obtenha f ” para cada zero de f ’.

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TAREFA 02 – REVISÃO DE DERIVADAS Regras de Derivação: Considere K= constante; u = u(x) e v = v(x). 1. (K)’ = 0 2. (xn)’ = n.xn-1 3.(un)’= n.un-1.u’ 4. (k.f)’ = k. f’ 5. (u ±±±± v)’ = u’ ±±±± v’ 6. (u.v)’ = u.v’ + u’.v 7. (u/v)’ = (v.u’-v’.u)/v2 8. (au)’ = au.lna.u’ 9. (eu)’ = eu.u’ 10. '

a )u(log = u’/(u.lna) 11.( lnu)’ = u’/u 12. y-y0 = m.(x-x0)


(a) y = 5 3 3+x (b) y = 5

23

2

+

−

x

x


(a) y = )(ln 25 x = (lnx2)5

(b) y = 330

x

e 3) Ache as derivadas em relação a x, das funções abaixo:

(a) y = 65 )2( −xe (b) y = 210 +xπ


(a) y = )ln( 10xe (b) y = )4(log 2

2 xx + 5) Ache as derivadas em relação a x, das funções abaixo:

(a) y = log( )e x2 (b) y = x2.lnx

6) Ache a equação da reta tangente ao gráfico de f no ponto indicado abaixo:

(a) f(x) = x3 - 6x - 5; (-1, 0) (b) f(x) = (-8)/x1/2; (4, -4) 7) Resolva os problemas abaixo:

(a) Se f(x) = xxx 52 34 −+ , ache f ’’’(-1) (b) Se f(x) = 2 3 12 73 2x x x+ − + , obtenha f ” para cada zero de f ’.

88)) CCoonnssiiddeerree aa ffuunnççããoo ddee ccuussttoo ttoottaall CC((xx)) == 22xx33 –– 88xx22 ++ 1122xx oonnddee xx rreepprreesseennttaa aa qquuaannttiiddaaddee pprroodduuzziiddaa ddee bbeemm..

AAcchhee ((aa)) aa qquuaannttiiddaaddee qquuee mmiinniimmiizzaa oo ccuussttoo mmééddiioo ((CCmm)) ee ((bb)) oo ccuussttoo mmééddiioo mmíínniimmoo.. 99)) AA ffuunnççããoo ddee ddeemmaannddaa ppaarraa uumm ddeetteerrmmiinnaaddoo aarrttiiggoo éé yy == 2244 –– 77xx oonnddee yy éé oo pprreeççoo ee xx,, aa qquuaannttiiddaaddee.. OO

ccuussttoo mmééddiioo ppaarraa ssee pprroodduuzziirr ee nneeggoocciiaarr oo aarrttiiggoo éé CCmm((xx)) == 66 –– 44xx.. AAcchhee ((aa)) aa qquuaannttiiddaaddee qquuee mmaaxxiimmiizzaa oo lluuccrroo ee ((bb)) oo lluuccrroo mmááxxiimmoo..

1100)) UUmm aaggrriiccuullttoorr,, ppaarraa pprroodduuzziirr xx ccaaiixxaass ddee mmaarraaccuujjáá,, ggaassttaa 33..000000 uu..mm.. SSuuppoonnhhaa qquuee eellee ppoossssaa vveennddeerr eessssaass

xx ccaaiixxaass aaoo pprreeççoo pp == 4400 –– xx//22 uu..mm.. AAcchhee ((aa)) oo nníívveell ddee pprroodduuççããoo qquuee mmaaxxiimmiizzaarráá sseeuu lluuccrroo,, ((bb)) oo pprreeççoo ddee ccaaddaa ccaaiixxaa qquuaannddoo oo lluuccrroo ffoorr mmááxxiimmoo ee ((cc)) oo lluuccrroo mmááxxiimmoo ccoorrrreessppoonnddeennttee..

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UNIDADE 1 - CÁLCULO DIFERENCIAL DE FUNÇÕES COM VÁRIAS VARIÁVEIS 1. O ESPAÇO NUMÉRICO TRIDIMENSIONAL 1.1. Introdução

No Cálculo 1 introduz-se a reta numérica R1, ou o espaço numérico unidimensional, e o plano numérico R2, ou o espaço numérico bidimensional. Identificam-se os números reais em R1 com os pontos de um eixo ou reta e as duplas reais (x, y) em R2 com os pontos em um plano geométrico. De maneira análoga, será introduzida o conjunto de todas as triplas ordenadas (x, y, z) de números reais. 1.2. Espaço Numérico Tridimensional (R3)

É o conjunto de todas as triplas ordenadas reais (x, y, z) e é denotado por R3. Cada tripla ordenada (x, y, z) é chamada de ponto no espaço tridimensional. 1.3. Um Ponto no espaço Tridimensional z

(x, y, z) z y x y x 2. FUNÇÕES DE MAIS DE UMA VARIÁVEL (FUNÇÕES DE MÚLTIPLAS VARIÁVEIS) 2.1. Introdução Até o presente momento estudou-se o cálculo para funções de somente uma variável livre ou independente, ou seja, funções do tipo y = f(x). Entretanto, pode-se generalizar a noção de função para funções de mais de uma variável independente. Por exemplo:

a) O custo de um certo produto pode depender do custo da mão-de-obra e do preço dos insumos usados; b) A demanda de um produto depende do seu preço, mas também pode ser influenciada pelo preço dos

produtos concorrentes. 2.2. Representação de Funções com Várias Variáveis

z = f(x, y) ⇒ Representação de funções com duas variáveis independentes; w = f(x, y, z) ⇒ Representação de funções com três variáveis independentes; z = f(x1, x2, x3, ...... , xn) ⇒ Representação de funções com n variáveis independentes.

NOTA – Nesta oportunidade, serão estudadas as funções de duas variáveis independentes. Os conceitos

apresentados serão válidos para funções com mais variáveis independentes.

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3. FUNÇÕES DE DUAS VARIÁVEIS INDEPENDENTES [z= f(x, y)] 3.1. CONCEITOS BÁSICOS São basicamente os mesmos vistos para funções de uma só variável [y = f(x)]. Ilustração 1 – Seja z = F(x, y) = 2225 yx −− . Ache F(0, 0); F(0, 5). F(5, 0). Esboce o gráfico (hemisfério).

SOLUÇÃO

F(0, 0) = 22 0025 −− = 5

F(0, 5) = 22 )5(025 −− = 0

F(5, 0) = 22 )0()5(25 −− = 0

F(1, 1) = 22 )1()1(25 −− ≅ 4,80

F(2, 2) = 22 )2()2(25 −− ≅ 4,12

• Gráfico

Ilustração 2 – Seja z=g(x, y) = x2 + y2. Ache g(0, 0); g(1, 1). g(2, 2). Esboce o gráfico (parabolóide).

SOLUÇÃO g(0, 0) = g(1, 1) = g(2, 2) =

• Gráfico

3.2. DERIVADAS PARCIAIS 3.2.1. Introdução

O processo de diferenciação ou derivação de funções de muitas variáveis pode ser reduzido ao caso da diferenciação ou derivação de funções de uma variável já estudada anteriormente. Para tanto, deve estar presente o seguinte raciocínio:

“Uma função z=f(x1, x2, ..., xn) pode ser derivada em relação a cada uma das

variáveis livres x1, x2, ..., xn, basta que se considere a função de uma variável de cada vez (aquela em relação a qual se quer derivar) e mantendo-se fixas as outras”.

“Para se obter 1xz considere z como função apenas de x1 (as demais variáveis

devem ser consideradas como constantes). Para se obter 2xz considere z como função apenas

de x2 (as demais variáveis devem ser consideradas como constantes”. Quando se trata de funções de várias variáveis, as derivadas são chamadas de

derivadas parciais. Vamos então definir em primeiro lugar a derivada parcial de uma função de duas

variáveis, lembrando-se que quando se tratar de funções com mais variáveis o procedimento é análogo.

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3.2.2. Definição de Derivada Parcial de uma Função de Duas Variáveis Seja f uma função de duas variáveis x e y, ou seja, z = f(x, y).

A derivada parcial de f em relação a x é a função denotada por fx(x, y) tal que seu valor em qualquer ponto (x, y) do domínio de f seja dado por:

fx(x, y) = 0

lim→→→→∆∆∆∆x x

yxfyxxf

∆∆∆∆

−−−−∆∆∆∆++++ ),(),(, se o limite existir.

Outras notações: Dxf(x, y) ou Dxf – lê-se “derivada parcial de f(x, y) ou f em relação a x”.

fx ou zx - lê-se “Derivada parcial de f ou z em relação a x”

x

f

∂∂∂∂

∂∂∂∂ ou

x

yxf

∂∂∂∂

∂∂∂∂ ),( lê-se: “derivada parcial de f ou f(x, y) em relação a x”

Analogamente, a derivada parcial de f em relação a y é a função denotada por fy(x, y) tal que seu valor em qualquer ponto (x, y) do domínio de f seja dado por:

fy(x, y) = 0

lim→→→→∆∆∆∆y y

yxfyyxf

∆∆∆∆

−−−−∆∆∆∆++++ ),(),(, se o limite existir.

Outras notações: Dyf(x, y) ou Dyf – lê-se “derivada parcial de f(x, y) ou f em relação a y

fy ou zy - lê-se “Derivada parcial de f ou z em relação a y”

y

f

∂∂∂∂

∂∂∂∂ ou

y

yxf

∂∂∂∂

∂∂∂∂ ),( lê-se: “derivada parcial de f ou f(x, y) em relação a y”

OBS – RELEMBRE AS REGRAS DE DIFERENCIAÇÃO:

Considere K= constante; u = u(x) e v = v(x). 1. (K)’ = 0 2. (xn)’ = nxn-1 3. [un]’ = nun-1.u’ 4. (k.f)’ = k. f’ 5. (u ±±±± v)’ = u’±±±±v’ 6.(u.v)’=u.v’+u’.v

7. (u/v)’ = (vu’-v’u)/v2 8. (au)’ = au.lna.u’ 9. (eu)’ = eu.u’ 10. 'a )u(log =u’/(u.lna) 11.( lnu)’ = u’/u

Exemplo 1 – Dada a função f(x, y) = 10x3 +6x2y + 3xy2 – 5y, ache (a) Dxf(x, y) e (b) Dyf(x, y)

SOLUÇÃO

a) Dxf(x, y) = 30x

2 + 12xy + 3y2 (Lembre-se que quando se deriva parcialmente em relação a x, o y é cte) b) Dyf(x, y) = 6x

2 +6xy – 5 (Lembre-se que quando se deriva parcialmente em relação a y, o x é cte) Exemplo 2 – Dada a função f(x, y) = 3xy + 6x – y2, ache (a) Dxf(x, y) e (b) Dyf(x, y)

SOLUÇÃO a) Dxf(x, y) = (Lembre-se que quando se deriva parcialmente em relação a x, o y é cte) b) Dyf(x, y) = (Lembre-se que quando se deriva parcialmente em relação a y, o x é cte)

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Exemplo 3 – Dada a função V = πr2h, ache (a) Vr e b) Vh.

SOLUÇÃO a) Vr = (Lembre-se que, quando se deriva parcialmente em relação a r, o h é cte) b) Vh = (Lembre-se que, quando se deriva parcialmente em relação a h, o r é cte)

Exemplo 4 – Dada a função g(x, y) = x4 –2x2y +3xy2 – y4, ache (a) Dyg(x, y) e b) x

g

∂∂∂∂

∂∂∂∂.

SOLUÇÃO

a) Dyg(x, y) = y

g

∂∂∂∂

∂∂∂∂ =

b) x

g

∂∂∂∂

∂∂∂∂ =

Exemplo 5 - Se F(x,y) = 2x2 - 3xy + 4y2, ache Fx(1, 1) e Fy(1, -1). Exemplo 6 - Se Z = xy - ln(xy), ache Zx e Zy. Exemplo 7 - Se F(x,y) = (2x)/(x-y), ache Fx(3, 1) e Fy(3, -1).

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Exemplo 8 - Se F(x, y, z) =x2y + yz2 + z3, ache Fx, Fy e Fz. Em seguida, mostre que: x.Fx+y.Fy+z.Fz=3.F. Exemplo 9 - Se F(x, y) = 2x0,6.y0,4 , ache fx e fy. Exemplo 10 - Se F(x, y) = e2x+5y, ache fx e fy.

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3.2.3 – Interpretação da Derivada Parcial como Taxa de Variação Ilustração 1 – Suponha que o custo de produção (z) de certa mercadoria depende de duas variáveis: o custo da mão-de-obra por hora (x) e o custo dos materiais por quilo (y). Seja z = 100 + 30x + 5y. Ache as derivadas parciais de z em relação a x e a y e interprete os resultados.

SOLUÇÃO

(a) x

z

∂∂∂∂

∂∂∂∂ = 30 ⇒ “Quando o custo dos materiais permanece fixo, um aumento de $1 no custo por hora da

mão-de-obra acarreta um aumento de $30 no custo da produção

(b) y

z

∂∂∂∂

∂∂∂∂ = 5 ⇒ ”. “Quando o custo da mão-de-obra permanece fixo, um aumento de $1 no custo por quilo dos

materiais acarreta um aumento de $5 no custo da produção”. Ilustração 2 – Para um certo mercado está determinado que se x for o nº diário de comerciais na televisão, y for o nº de minutos de duração de cada comercial e z for o nº de unidades vendida diariamente, então z = 2xy2 + x2 + 9.000. Suponha que no momento presente haja 12 comerciais, cada um com um minuto de duração por dia. (a) Ache a taxa de variação instantânea de z por unidade de variação de x se y permanecer fixo em 1. (b) Use o resultado da parte (a) para aproximar a variação nas vendas diárias se o nº de comerciais com um minuto for aumentado em 25%. (c) Ache a taxa de variação instantânea de z por unidade de variação em y se x permanecer fixo em 12. (d) Use o resultado da parte (c) para aproximar a variação das vendas diárias se a duração de cada um dos 12 comerciais for aumentada em 25%.

SOLUÇÃO

(a) x

z

∂∂∂∂

∂∂∂∂ = 2y2 + 2x. Como x = 12 e y = 1 tem-se:

x

z

∂∂∂∂

∂∂∂∂ = 2.(1)2 + 2.12 ⇒

x

z

∂∂∂∂

∂∂∂∂ = 26

(b) Um aumento de 25% em 12 = 0,25.12 = 3. Então: “do resultado de (a), um aumento de 1 em x acarreta uma aumento de 26 em z, logo, o aumento aproximado de z será de (3.26 = 78).

Conclusão:

“Se o número de comerciais de 1 minuto for aumentado de 12 para 15, o aumento nas vendas diárias será de aproximadamente 78 unidades”.

(c) y

z

∂∂∂∂

∂∂∂∂ = . Como x = 12 e y = 1 ⇒

y

z

∂∂∂∂

∂∂∂∂ = = 48 ⇒

y

z

∂∂∂∂

∂∂∂∂ = 48

(d) Um aumento de 25% em 1 = (0,25).(1) . Então: “ .. do resultado de (c), um aumento de 1 em y acarreta um aumento de 48 em z, logo, o aumento aproximado de z será de [0,25.(48) = 12].

Conclusão:

“ Se a duração de cada comercial for aumentada de 1 minuto para 1,25 minuto, o aumento nas vendas diárias será de aproximadamente 12 unidades”.

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3.2.4. DERIVADAS PARCIAIS DE SEGUNDA ORDEM de f(x, y) Seja f(x, y) uma função diferenciável. Então as derivadas parciais de primeira ordem existem: fx e fy. Como em geral fx e fy são também diferenciáveis surgem as seguintes derivadas de 2ª ordem:

(a) fxx =x

f x

∂∂∂∂

∂∂∂∂ )( ⇔⇔⇔⇔ Dxxf = 2

2

x

f

∂∂∂∂

∂∂∂∂ (b) fyy =

y

f y

∂

∂ )( ⇔⇔⇔⇔ Dyyf = 2

2

y

f

∂∂∂∂

∂∂∂∂

(c) fxy = y

f x

∂∂∂∂

∂∂∂∂ )( ⇔⇔⇔⇔ Dxyf =

xy

f

∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂ 2

d) fyx = x

f y

∂∂∂∂

∂∂∂∂ )( ⇔⇔⇔⇔ Dyxf =

yx

f

∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂ 2

OBS – Quando for usada a notação em subscrito, a ordem da diferenciação é da esquerda para a direita,

enquanto que na notação xy

f

∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂ 2

a ordem é da direita para a esquerda.

Exemplos 1) Se f(x, y) = 10x3 +6x2y + 3xy2 – 5y, ache a derivadas parciais de 2ª ordem.

SOLUÇÃO Derivadas parciais de 1ª ordem:

• fx = 30x2 + 12xy + 3y2 • fy = 6x

2 + 6xy – 5 Derivadas parciais de 2ª ordem:

• fxx = 60x + 12y • fyy = 6x • fxy = Dy(fx) = 12x + 6y • fyx = Dx(fy) = 12x + 6y

2) Se g(x, y) = x4 –2x2y +3xy2 – y4, ache todas as derivadas de 2ª ordem.

SOLUÇÃO 3) Se f(x, y) = y2ex, ache (a) Dxxf(x, y); (b) Dyyf(x, y); (c) Dxyf(x, y) e (d) Dyxf(x, y).

SOLUÇÃO

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4) Se f(x, y) = ln(x3y2), ache (a) fxx; (b) fyy; (c) fxy e (d) fyx.

SOLUÇÃO 5) Se f(x, y) = 4x3y –e10x.y2, ache (a) fxy; e (b) fyx.

Solução 6) Seja q = 1000 – 2x2 + 10y a equação de demanda semanal de manteiga num supermercado (em kg), x o

preço por kg da manteiga e y o preço da margarina.

(a) Calcule as demandas marginais parciais x

q

∂∂∂∂

∂∂∂∂ e

y

q

∂∂∂∂

∂∂∂∂.

(b) Se x=20 e y=10, o que aumenta mais a demanda de manteiga: o aumento em uma unidade no preço do kg da margarina (mantido o da manteiga) ou a diminuição em uma unidade no preço do kg da manteiga (mantido o da margarina)? Use os resultados do item (a).

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3.2.5. APLICAÇÕES A) Definição de demanda marginal parcial Seja p o preço unitário de x unidades de uma primeira mercadoria e q o preço unitário de y unidades de uma segunda mercadoria. Suponha que f e g sejam respectivamente as funções de demanda para essas mercadorias, de forma que

x = f(p, q) e y = g(p, q). Então:

(i) p

x

∂∂∂∂

∂∂∂∂ ⇒ é a demanda marginal parcial de x em relação a p;

(ii) q

x

∂∂∂∂

∂∂∂∂ ⇒ é a demanda marginal parcial de x em relação a q;

(iii) p

y

∂∂∂∂

∂∂∂∂ ⇒ é a demanda marginal parcial de y em relação a p;

(iv) q

y

∂∂∂∂

∂∂∂∂ ⇒ é a demanda marginal parcial de y em relação a q;

Ilustração 1 – Sejam as equações de demanda de dois bens abaixo:

x = -2p+3q+12 e

y = -4q+p+8 onde p é o preço de x unidades de uma mercadoria e q é o preço unitário de y unidades de uma segunda mercadoria. Ache as quatro demandas marginais parciais. Em seguida, interprete os resultados.

SOLUÇÃO

(a) As quatro demandas marginais parciais são:

p

x

∂∂∂∂

∂∂∂∂ = -2;

q

x

∂∂∂∂

∂∂∂∂ = 3; ;

q

y

∂∂∂∂

∂∂∂∂ = -4;

p

y

∂∂∂∂

∂∂∂∂ = 1.

(b) Interpretação dos resultados

p

x

∂∂∂∂

∂∂∂∂ = -2

p

x

∆∆∆∆

∆∆∆∆≅≅≅≅ ⇒ “Se q for mantido fixo, então um aumento de $1 no preço da 1ª mercadoria

acarreta um decréscimo de 2 unidades na sua demanda”.

q

x

∂∂∂∂

∂∂∂∂ = 3

q

x

∆∆∆∆

∆∆∆∆≅≅≅≅ ⇒ “Se p for mantido fixo, então um aumento de $1 no preço da 2ª mercadoria

acarreta um acréscimo de 3 unidades na demanda da 1ª mercadoria”.

p

y

∂∂∂∂

∂∂∂∂ = 1

p

y

∆∆∆∆

∆∆∆∆≅≅≅≅ ⇒ “Se q for mantido fixo, então um aumento de $1 no preço da 1ª mercadoria

acarreta um acréscimo de 1 unidades na demanda da 2ª mercadoria”.

q

y

∂∂∂∂

∂∂∂∂ = -4

q

y

∆∆∆∆

∆∆∆∆≅≅≅≅ ⇒ “Se p for mantido fixo, então um aumento de $1 no preço da 2ª mercadoria

acarreta um decréscimo de 4 unidades na demanda da 2ª mercadoria”.

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OBS – CLASSIFICAÇÃO DE BENS EM CONCORRENTES E COMPLEMENTARES

Se q

x

∂∂∂∂

∂∂∂∂ > 0 e

p

y

∂∂∂∂

∂∂∂∂ > 0 (demandas cruzadas positivas) ⇒ “OS BENS SÃO CONCORRENTES”.

Se q

x

∂∂∂∂

∂∂∂∂ < 0 e

p

y

∂∂∂∂

∂∂∂∂ < 0 (demandas cruzadas negativas) ⇒ “OS BENS SÃO COMPLEMENTARES”.

Caso contrário, “OS BENS SÃO NÃO-RELACIONADOS” Ilustração 2 – No caso da ilustração 1 tem-se:

q

x

∂∂∂∂

∂∂∂∂ = 3 > 0 e

p

y

∂∂∂∂

∂∂∂∂ = 1 > 0 ⇒ conclui-se que “OS BENS SÃO CONCORRENTES.

Ilustração 3 – Considere as equações de demanda abaixo:

x = pq

8 e y =

pq

12. Classifique os bens.

SOLUÇÃO

q

x

∂∂∂∂

∂∂∂∂ =

q

pq

∂∂∂∂∂∂∂∂ −−−− ])(8[ 1

= -8(pq)-2.(p) = 2)(

8

pq

p−−−− < 0

p

y

∂∂∂∂

∂∂∂∂ =

p

pq

∂∂∂∂∂∂∂∂ −−−− ])(12[ 1

= -12(pq)-2.(q) = 2)(

12

pq

q−−−− < 0

Conclusão: Como q

x

∂∂∂∂

∂∂∂∂< 0 e

p

y

∂∂∂∂

∂∂∂∂< 0, conclui-se que “OS BENS SÃO COMPLEMENTARES”.

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TAREFA 3 – DERIVADAS PARCIAIS 1. Se Z = (xy)1/2 , ache Zx e Zy. 2. Se F(x,y) = 2x2 - 3xy + 4y2, ache Fx(1, 1) e Fy(1, -1). 3. Se F(x,y) = (2x)/(x-y), ache Fx(3, 1) e Fy(3, -1). 4. Se Z = x5 + x2y3 -2y3 , ache Zxx , Zyy , Zxy e Zyx . 5. Se F(x,y) = x .e-y, ache Fx(-1, 0), Fy(-1, 0), Fxy (-1, 0) e Fyy(-1,0). 6. Se G(x,y) = x4- 4x2y + 8xy3 - y4 , ache Gxx(0,1), Gyy(0,1) e Gxy(0,1). 7. Se H(x,y) = x3 + 3x2y + 6xy2- y3, ache Hxx(2,3) , Hyy(2,3) , Hyx(2,3). 8. Se F(x,y) = Ax + By + Cex/y , ache Fxx , Fyy e Fxy . No ponto (0,1). 9. Se Z = 2x2- 2y2- 3x - 4xy2, mostre que: Zxy=Zyx. 10. Se Z = xy + xe1/y , mostre que: Zxy = Zyx e ache Zx(1,1) e Zyx(0,1). 11. Se a função de Custo-conjunto para produzir as quantidades x e y de dois bens é dada por:

A) C = 30 + 3x2+ xy + 4y2; B) C = x2 ln(y + 10) C) C = ex+ ey+ xy + 5 , ache:

a) O Custo marginal com relação a x, se x = 3 e y = 5;

b) O Custo marginal com relação a y, se x = 3 e y = 5;

c) Interprete os resultados dos itens anteriores. 12. Dada cada um dos seguintes pares de funções de demanda, determine as demandas marginais, a

natureza da relação entre ao bens ( se são competitivos ou complementares).As quantidades são denotadas por x e y e os preços por p e q, respectivamente.

a) x = 20 - 2p -q b) x = 15-2p+q c) x = 5-2p+q d) x = q/p e) x = 4/pq y = 9 -p – 2q y = 16+p-q y = 8-2p-3q y = p2/q y = 16/pq

13. Seja q = 100 – 6x + 2y a equação de demanda de um produto A, x seu preço unitário e y o preço

unitário de um bem B.

(a) Calcule as demandas marginais parciais x

q

∂∂∂∂

∂∂∂∂ e

y

q

∂∂∂∂

∂∂∂∂, explicando seu significado.

(b) O que aumenta mais a demanda de A: diminuir em uma unidade seu preço unitário (mantendo o de B) ou aumentar em uma unidade o preço de B (mantendo o de A)?

15/44

MÁXIMOS E MÍNIMOS DE FUNÇÕES DE DUAS VARIÁVEIS 1. TEOREMA Seja a função z = F(x, y) e (x0, y0) um ponto do domínio de f(x, y). Ou seja,

z = F(x, y) e (x0, y0) ∈ D(f). A função z = F(x, y) terá um Ponto de Máximo (PM) ou um Ponto de Mínimo (Pm) em (x0, y0) quando as seguintes condições forem satisfeitas: (1ª) – Cálculo dos pontos críticos (possíveis pontos extremos)

=

=

0),(

0),(

00

00

yxF

yxF

y

x onde (x0, y0) é chamado “Ponto Crítico” de F(x, y).

(2ª) – Classificação dos Pontos Críticos

(i) Calcula-se o determinante Hessiano, ou simplesmente Hessiano (matemático alemão LUDWIG OTTO HESSE 1811-1874) de f no ponto (x0, y0):

),(),(

),(),(),(

0000

0000

00 yxFyyyxF

yxFyxFyxH

yx

xyxx= = 2)(. xyyyxx FFF −

(ii) Se H(x0, y0) > 0 e

→→→→>>>>

→→→→<<<<

)y,x(Pm0)y,x(F

)y,x(PM0)y,x(F

0000xx

0000xx

H(x0, y0) < 0 ⇒⇒⇒⇒ PS(x0, y0) será um Ponto de Sela de F(x, y). H(x0, y0) = 0 ⇒⇒⇒⇒ Nada se pode afirmar.

F(x, y) deve ser analisada nas proximidades do Ponto Crítico. z Pm y x

(a) Ponto de Mínimo

z PM y x (b) Ponto de Máximo

z y PS x

(c) Ponto de Sela

16/44

2. Exercícios e Aplicações (1) Seja F(x, y) = x2 + y2 - 6x. Ache seus pontos extremos (PM ou Pm).

Solução (i) Pontos Críticos

=

−=

yF

xF

y

x

2

62 ⇒

=

=

0

0

y

x

F

F ⇒

=

==−

02

0062

y

x ⇒

=⇒=

==⇒=

02

0

32

662

yy

xx ⇒ A

=

=

0

3

y

x

(ii) Classificação do Ponto Crítico A(3,0)

=

=∂

∂=

=∂

∂=

=

2),(

0)(

),(

0)(

),(

2),(

yxFx

FyxF

y

FyxF

yxF

yy

y

yx

x

xy

xx

⇒

=

=

=

=

2)0,3(

0)0,3(

0)0,3(

2)0,3(

yy

yx

xy

xx

F

F

F

F

⇒ Hessiano: H(3,0) = 20

02=(2.2)-(0.0)= 4

Como

>>>>

>>>>

0)0,3(F

e

0)0,3(H

xx

⇒ (3, 0) é Ponto de Mínimo.

(2) Seja F(x, y) = x2 + y2 – xy – 3x – 6y. Ache seus pontos extremos (PM ou Pm).

Solução

(i) Pontos Críticos

−+−=

−−=

62

32

yxF

yxF

y

x ⇒

=

=

0

0

y

x

F

F ⇒

=−+−

=−−

062

032

yx

yx ⇒

=+−

=−

62

32

yx

yx ↑

+

)2(

1

x

L

=⇒=+−

=⇒=

46)5(2

5153

xx

yy ⇒ A

=

=

5

4

y

x

(ii) Classificação do Ponto Crítico A(4,5)

=

−=∂

∂=

−=∂

∂=

=

2),(

1)(

),(

1)(

),(

2),(

yxFx

FyxF

y

FyxF

yxF

yy

y

yx

x

xy

xx

⇒

=

−=

−=

=

2)5,4(

1)5,4(

1)5,4(

2)5,4(

yy

yx

xy

xx

F

F

F

F

⇒ Hessiano: H(4,5) = 21

12

−

−=(2).(2)-[(-1).(-1)]

H(4,5) = 4 – 1 = 3 ⇒ Como

>>>>

>>>>

0)5,4(F

e

0)5,4(H

xx

⇒ (4, 5) é Pm.

17/44

(3) Seja F(x, y) = -x2 - y2 + 2x – 2y. Ache seus pontos extremos (PM ou Pm).


−−=

+−=

22

22

yF

xF

y

x ⇒

=

=

0

0

y

x

F

F ⇒

=−−

=+−

022

022

y

x ⇒

−=

=

22

22

y

x

−=⇒−

=

=⇒=

12

2

12

2

yy

xx ⇒ A

−=

=

1

1

y

x

(ii) Classificação do Ponto Crítico A(1, -1)

−=

=∂

∂=

=∂

∂=

−=

2),(

0)(

),(

0)(

),(

2),(

yxFx

FyxF

y

FyxF

yxF

yy

y

yx

x

xy

xx

⇒

−=−

=−

=−

−=−

2)1,1(

0)1,1(

0)1,1(

2)1,1(

yy

yx

xy

xx

F

F

F

F

⇒ Hessiano: H(1, -1) = 20

02

−

−=(-2).(-2)-[(0).(0)]

H(1,-1) = 4 – 0 = 4 ⇒ Como

<−

>−

0)1,1(

0)1,1(

xxF

e

H

⇒ (1, -1) é PM.

(4) Seja F(x, y) = 3 + 4xy. Ache seus pontos extremos (PM ou Pm).

Solução


=

=

xF

yF

y

x

4

4 ⇒

=

=

0

0

y

x

F

F ⇒

==⇒=

==⇒=

04

004

04

004

xx

yy ⇒

=

=

0

0

y

x

(ii) Classificação do Ponto Crítico A(0, 0)

=

=∂

∂=

=∂

∂=

=

0),(

4)(

),(

4)(

),(

0),(

yxFx

FyxF

y

FyxF

yxF

yy

y

yx

x

xy

xx

⇒

=

=

=

=

0)0,0(

4)0,0(

4)0,0(

0)0,0(

yy

yx

xy

xx

F

F

F

F

⇒ Hessiano: H(0, 0) = 04

40

−=(0).(0) - [(4).(4)]

H(0, 0) = -16 ⇒ Como H(0, 0) < 0 ⇒ (0, 0) é PS.

18/44

(5) Seja F(x, y) = 22 yx

e+ . Ache seus pontos extremos (PM ou Pm).


==

==++

++

2222

2222

2)2.(

2)2.(yxyx

y

yxyx

x

yeyeF

xexeF ⇒

=

=

0

0

y

x

F

F ⇒

==⇒=

=⇒=

+

+

+

+

02

002

02

002

22

22

22

22

yx

yx

yx

yx

eyye

exxe

⇒

=

=

0

0

y

x


+=

==∂

∂=

==∂

∂=

+=

++

++

++

++

yyeeyxF

xyexyex

FyxF

xyeyxey

FyxF

xexeyxF

yxyx

yy

yxyxy

yx

yxyxx

xy

yxyx

xx

2.22),(

42.2)(

),(

42.2)(

),(

2..2.2),(

2222

2222

2222

2222

⇒

===

=

=

===

21.22)0,0(

0)0,0(

0)0,0(

21.22)0,0(

0

0

eF

F

F

eF

yy

yx

xy

xx

Hessiano: H(0, 0) = 20

02=(2).(2) - [(0).(0)] = 4. Como

>

>

0)0,0(

0)0,0(

xxF

e

H

⇒ (0, 0) é Pm.

(6) Seja F(x, y) = yyxx

353

223

−−− . Ache seus pontos extremos (PM ou Pm).

Solução


−−=

−=

32

102

yF

xxF

y

x ⇒

=

=

0

0

y

x

F

F ⇒

=−−

=−

032

0102

y

xx ⇒

−=⇒−=

=⇒=−

=⇒=−

2

332

10010

00)10(

yy

xx

xxx

.

Pontos A

−=

=

2

30

y

x e B

−=

=

2

310

y

x

(ii) Classificação do Ponto Crítico A(0, -3/2) (iii) Classificação de B(10, -3/2)

−=

=∂

∂=

=∂

∂=

−=

2),(

0)(

),(

0)(

),(

102),(

yxFx

FyxF

y

FyxF

xyxF

yy

y

yx

x

xy

xx

⇒

−=−

=−

=−

−=−

2)2/3,0(

0)2/3,0(

0)2/3,0(

10)2/3,0(

yy

yx

xy

xx

F

F

F

F

Hessiano: H(0, -3/2) = 20

010

−

−=20 >0

E Fxx(0, -3/2) < 0 ⇒ (0, -3/2) é PM.

⇒

−=−

=−

=−

=−=−

2)2/3,10(

0)2/3,10(

0)2/3,10(

1010)10(2)2/3,10(

yy

yx

xy

xx

F

F

F

F

Hessiano: H(10, -3/2) = 20

010

−= -20

Como H(10, -3/2) < 0 ⇒ (10, -3/2) é PS.

19/44

(7) Quando uma empresa usa x unidades de trabalho e y unidades de capital, sua produção mensal de certo produto é dada por P = 32x + 20y + 3xy -2x2 -2,5y2. Ache os valores de e y que maximizam a produção mensal.


−+=

−+=

yxP

xyP

y

x

5320

4332 ⇒

=

=

0

0

y

x

P

P ⇒

=−+

=−+

05320

04332

yx

xy ⇒

−=−

=−

2053

3234

yx

yx somax

x⇒

− )4(

)3(

=⇒=⇒−=−

==⇒=

2060320)16(53

1611

17617611

xxx

yy ⇒ A

=

=

16

20

y

x


−=

=∂

∂=

=∂

∂=

−=

5),(

3)(

),(

3)(

),(

4),(

yxPx

PyxP

y

PyxP

yxP

yy

y

yx

x

xy

xx

⇒

−=

=

=

−=

5)16,20(

3)16,20(

3)16,20(

4)16,20(

yy

yx

xy

xx

P

P

P

P

⇒ Hessiano: H(20, 16) = 53

34

−

−=(-4).(-5)-[(3).(3)]

H(20,16) = 20 – 9 =11 ⇒ Como

<

>

0)16,20(

0)16,20(

xxP

e

H

⇒ (20, 16) é PM.

(8) Uma empresa fabrica dois produtos P e Q, o 1º vendi a $ 5,00 a unidade e o 2º, a $2,00 a unidade. A função custo mensal é C = 5 + x2 + y2 – xy, em que x e y são as quantidades produzidas. (a) Quais as quantidades x e y que maximizam o Lucro? (b) Qual o Lucro máximo?

Solução • Função Lucro

L = R – C ⇒

−++=

+=

xyyxC

yxR225

25 ⇒ L(x, y) = 5x + 2y - 5 – x2 - y2 + xy

• Otimização do Lucro

+−=

+−=

xyL

yxL

y

x

22

25 ⇒

=

=

0

0

y

x

L

L ⇒

=+−

=+−

022

025

xy

yx ⇒

−=−

−=+−

22

52

yx

yx soma

x

L⇒

+

)2(

)( 1

=+−=⇒−=−

=−

−=⇒−=−

4622)3(2

33

993

xx

yy ⇒ A

=

=

3

4

y

x


−−−−====

====∂∂∂∂

∂∂∂∂====

====∂∂∂∂

∂∂∂∂====

−−−−====

2)y,x(L

1x

)L()y,x(L

1y

)L()y,x(L

2)y,x(L

yy

yyx

xxy

xx

⇒

−−−−====

====

====

−−−−====

2)3,4(L

1)3,4(L

1)3,4(L

2)3,4(L

yy

yx

xy

xx

⇒ Hessiano: H(4, 3) = 21

12

−

−=(-2).(-2)-[(1).(1)]

20/44

H(4, 3) = 4 – 1 = 3 ⇒ Como

<

>

0)3,4(

0)3,4(

xxL

e

H

⇒ (4, 3) é PM. Então: Resp. (a)

=

=

3

4

y

x ⇒ Lmáx.

(b) Lmáx. = L(4, 3) = 5(4)+2(3)-5-(4)

2-(3)2+(4)(3) = 20+6-5-16-9+12 = 8 ⇒ Lmáx. = 8 u.m. 9) Uma empresa produz dois bens cujas equações de demanda são dadas por x = 500-2p+q e y = 900+p-

3q onde x e y são as quantidades produzidas e p e q são seus preços unitários, respectivamente. Se a função custo para fabricar esses bens for C = 10.000 + 200x + 100y ache: (a) Os preços que maximizam o Lucro e (b) O lucro máximo.

Solução • Função Lucro

L = R – C ⇒

−+++−+=

−+++−=−+++−=+=

)3900(100)2500(200000.10

39002500).3900()2500( 22

qpqpC

qpqqpqppqqppqpyqxpR

−+++−+=

−++−=

qpqpC

qqpqppR

300100000.90)200400000.100000.10

390022500 22

−−=

−++−=

qpC

qqpqppR

100300000.200

390022500 22

⇒ L(p, q) = R-C = 800p-2p2+2pq+1000q-3q2-200.000

• Otimização do Lucro

−+=

+−=

qpL

qpL

q

p

62000.1

24800 ⇒

=

=

0

0

q

p

L

L ⇒

=−+

=+−

062000.1

024800

qp

qp soma

x

L⇒

+

)2(

)( 1

==⇒=⇒=−+

==⇒=⇒=−

3402

68068020)280(621000

28010

800.2800.210010800.2

ppp

qqq

⇒ A

====

====

340p

280q


−=

=∂

∂=

=∂

∂=

−=

6),(

2)(

),(

2)(

),(

4),(

ppL

p

LqpL

q

LqpL

qpL

qq

q

qp

p

pq

pp

⇒

−=

=

=

−=

6)340,280(

2)340,280(

2)340,280(

4)340,280(

qq

qp

pq

pp

L

L

L

L

⇒ Hessiano: H(280, 340) = 62

24

−

−=(-4).(-6)-

[(2).(2)]

H(4, 3) = 24 – 4 = 20 ⇒ Como

<

>

0)340,280(

0)340,280(

ppL

e

H

⇒ (280, 340) é PM. Então: Resp. (a)

====

====

280q

340p

(b) Lmáx. = L(340, 280) = 800(340)-2(340)

2+2(340)(280)+100(340)-3(340)2-200.000

Resp. Lmáx. = 76.000 u.m.

21/44

TAREFA 04 – MÁXIMOS E MÍNIMOS DE FUNÇÃO DA FORMA z = F(x, y)

Nos problemas 1 a 7, ache os pontos críticos da função e classifique-os como PM. Pm ou OS: (1) F(x, y) = 5 – x2 – y2 (2) F(x, y) = x2 + y2 -4x -2y (3) F(x, y) = - x2 - 2y2 +xy + 14y

(4) F(x, y) = yxyx 432 23 −−+ (5) F(x, y) = 33 yxy4x ++++−−−− (6) F(x, y) = 2xy – 5x2 – 2y2 – 4x + 8y -4 (7) F(x, y) = x2 + 3xy + 3y2 – 6x + 3y -6 (8) Uma fábrica de laticínios produz leite integral e leite desnatado nas quantidades de x e y litros por hora,

respectivamente. O preço do leite integral é p(x) = 100 – x e o do leite desnatado é q(y)=100–y. A função de custo conjunto dos produtos é C(x) = x2 + xy + y2. Quais devem ser os valores de x e y para que o lucro seja máximo? Qual é o lucro máximo?

(9) A companhia telefônica está lançando dois novos tipos de sistemas de comunicações para executivos que

pretende vender a grandes empresas. Estima-se que se o preço de um dos sistemas for x centenas de reais e o do outro for y centenas de reais, serão vendidos 40-8x+5y sistemas do primeiro tipo e 50+9x-7y do segundo. Se o custo de fabricação do primeiro tipo de sistema é R$ 1.000,00 e o custo de fabricação do segundo é de R$ 3.000,00, quanto a companhia deverá cobrar pelos sistemas para obter o maior lucro possível?

Resp.: (1) PM(0, 0); (2) Pm(2, 1); (3) PM(2, 4); (4) Pm(1. 1); PS(-1, 1); (5) PS(0, 0) Pm(4/3, 4/3);

(6) PM(-8, -2); (7) Pm(15, -8); (8) PM(20, 20); Lmáx = 200 um.; (9) x=30, y=45

22/44

MÁXIMOS E MÍNIMOS CONDICIONADOS 1. INTRODUÇÃO - Consiste em otimizar uma função f(x,y) sujeita à restrição de igualdade do tipo R(x, y) = 0. - Exemplos

(a) Um fabricante pode querer minimizar o custo-conjunto (custo total) enquanto se produz uma dada quantidade mínima (cota mínima).

(b) Uma companhia pode querer maximizar as vendas enquanto mantém os custos totais de propaganda

dentro de certa restrição de verba. (c) Um consumidor poderá querer maximizar a utilidade derivada do consumo de bens submetido a uma

restrição de orçamento. - O Método dos Multiplicadores de Lagrange é usado para se achar máximos e mínimos de funções sujeitas a restrição de igualdade.

2. TEOREMA Suponha que a função z = f(x, y) deva ser otmizada sujeita à restrição R(x, y) = 0. A função z = f(x, y) sujeita a restrição R(x, y) = 0 terá um Ponto de Máximo (PM) ou um Ponto de Mínimo (Pm) em (x0, y0) quando as seguintes condições forem satisfeitas: (i) Construa a função objetivo:

)y,x(R.)y,x(f),y,x(F γγγγ−−−−====γγγγ onde λλλλ, o multiplicador de Lagrange, é uma incógnita. (ii) Ache os pontos críticos (Possíveis PM ou PM)

====

====

====

γγγγ 0)y,x(F

0)y,x(F

0)y,x(F

00

00y

00x

⇒

====

====γγγγ−−−−

====γγγγ−−−−

0)y,x(R

0Rf

0Rf

yy

xx

Resolva o sistema e ache as variáveis x, y e λ. (iii) – Classifica os Pontos Críticos

(i) Calcula-se o determinante Hessiano, ou simplesmente Hessiano (matemático alemão LUDWIG OTTO HESSE 1811-1874) de f no ponto (x0, y0):

)y,x(Fyy)y,x(F

)y,x(F)y,x(F)y,x(H

0000yx

00xy00xx

00 ==== = 2)(. xyyyxx FFF −

(ii) Se H(x0, y0) > 0 e Fxx(x0, y0) < 0 ⇒⇒⇒⇒ (x0, y0) será PM de F(x, y).

Fxx(x0, y0) > 0 ⇒⇒⇒⇒ (x0, y0) será Pm de F(x, y). H(x0, y0) ≤≤≤≤ 0 ⇒⇒⇒⇒ O teste falha e a função deve ser analisada nas proximidades do ponto

crítico.

OBS – “O MULTIPLICADOR DE LAGRANGE (λλλλ) ESTIMA A VARIAÇÃO DA FUNÇÃO f(x, y) PARA UMA VARIAÇÃO UNITÁRIA DA RESTRIÇÃO”.

23/44

3. Exercícios e Aplicações Ache os máximos e mínimos (se houver) das funções abaixo sujeita as restrições dadas: (1) f(x, y) = 5x2 + 6y2 – xy se x + 2y = 24.

Solução (i) Função de Lagrange

L(x, y, λλλλ) = 5x2 + 6y2 – xy + λ(x+2y–24)

(ii) Pontos Críticos

====

====

====

λλλλ 0L

0L

0L

y

x

⇒

====−−−−++++====

====λλλλ++++++++−−−−====

−−−−====λλλλ++++−−−−====

λλλλ 024y2xF

02y12xL

)2(0yx10L

y

x

[L1.(-2)+L2] ⇒

====++++

====++++−−−−

24y2x

0y14x21

[L2.(-7)+L1] ⇒

====⇒⇒⇒⇒====⇒⇒⇒⇒====++++

====−−−−

−−−−====⇒⇒⇒⇒−−−−====−−−−

9y18y224y26

6)28(

)7)(24(x)7)(24(x28

⇒ A

====

====

9y

6x

(iii) Classificação do Ponto Crítico A(6,9)

====

−−−−====∂∂∂∂

∂∂∂∂====

−−−−====∂∂∂∂

∂∂∂∂====

====

12)y,x(L

1x

)L()y,x(L

1y

)L()y,x(L

10)y,x(L

yy

yyx

xxy

xx

⇒ Hessiano: H(6,9) = 121

110

−−−−

−−−−=(10).(12)-(-1).(-1)= 120-1=119

Como

>>>>

>>>>

0)9,6(L

e

0)9,6(H

xx


(2) f(x, y) = 4x2 + 3xy + 6y2 se x + y = 56.


L(x, y, λλλλ) = 4x2 + 3xy + 6y2 + λ( x + y - 56)


====

====

====

λλλλ 0L

0L

0L

y

x

⇒

====−−−−++++====

====λλλλ++++++++====

−−−−====λλλλ++++++++====

λλλλ 056yxF

0y12x3L

)2(0y3x8L

y

x

[L2.(-1)+L1] ⇒

====++++

====−−−−

56yx

0y9x5

[L2.(9)+L1] ⇒

24/44

====⇒⇒⇒⇒−−−−====⇒⇒⇒⇒====++++

========⇒⇒⇒⇒====

20y3656y56y36

36)14(

)9)(56(x)9)(56(x14

⇒ A

====

====

20y

36x


====

====∂∂∂∂

∂∂∂∂====

====∂∂∂∂

∂∂∂∂====

====

12)y,x(L

3x

)L()y,x(L

3y

)L()y,x(L

8)y,x(L

yy

yyx

xxy

xx

⇒ Hessiano: H(36,20) = 123

38=(8).(12)-(3).(3)= 96-9=87

Como

>>>>

>>>>

0)20,36(L

e

0)20,36(H

xx


(3) f(x, y) = 16x+12y-2x2-3y2 se x + y = 11.


L(x, y, λλλλ) = 16x+12y-2x2-3y2 + λ(x + y - 11)


====

====

====

λλλλ 0L

0L

0L

y

x

⇒

====−−−−++++====

====λλλλ++++−−−−====

====λλλλ++++−−−−====

λλλλ 011yxF

0y612L

0x416L

y

x

[L2.(-1)+L1] ⇒

====−−−−++++

====++++−−−−

011yx

0y6x44

[L2.(4)+L1] ⇒

====⇒⇒⇒⇒−−−−====⇒⇒⇒⇒====++++

====⇒⇒⇒⇒====⇒⇒⇒⇒====−−−−

7x411y114x

4y40y10040y10

⇒ A

====

====

4y

7x


−−−−====

====∂∂∂∂

∂∂∂∂====

====∂∂∂∂

∂∂∂∂====

−−−−====

6)y,x(L

0x

)L()y,x(L

0y

)L()y,x(L

4)y,x(L

yy

yyx

xxy

xx

⇒ Hessiano: H(7,4) = 60

04

−−−−

−−−−=(-4).(-6)-(0).(0)= 24

Como

<<<<

>>>>

0)4,7(L

e

0)4,7(H

xx

⇒ (7, 4) é Ponto de Máximo.

25/44

(4) f(x, y) = 8x+100y-2x2 – xy -3y2 se x + y = 12.


L(x, y, λλλλ) = 8x+100y-2x2 – xy -3y2 + λ(x + y - 12)


====

====

====

λλλλ 0L

0L

0L

y

x

⇒

====−−−−++++====

====λλλλ++++−−−−−−−−====

====λλλλ++++−−−−−−−−====

λλλλ 012yxF

0y6x100L

0yx48L

y

x

[L1.(-1)+L2] ⇒

====−−−−++++

====−−−−++++

012yx

0y5x392

[L2.(5)+L1] ⇒

====⇒⇒⇒⇒++++====⇒⇒⇒⇒====++++−−−−

−−−−====⇒⇒⇒⇒−−−−====⇒⇒⇒⇒====++++

16y412y12y4

4x32x8032x8

⇒ A

====

−−−−====

16y

4x

(iii) Classificação do Ponto Crítico

−−−−====

−−−−====∂∂∂∂

∂∂∂∂====

−−−−====∂∂∂∂

∂∂∂∂====

−−−−====

6)y,x(L

1x

)L()y,x(L

1y

)L()y,x(L

4)y,x(L

yy

yyx

xxy

xx

⇒ Hessiano: H(-4,16) = 61

14

−−−−−−−−

−−−−−−−−=(-4).(-6)-(-1).(-1)= 24-1=23

Como

<<<<−−−−

>>>>−−−−

0)16,4(L

e

0)16,4(H

xx

⇒ (-4, 16) é Ponto de Máximo.

(5) f(x, y) = x + y se x2 + y2 = 8. R: PM(2, 2) e Pm(-2, -2) (6) f(x, y) = 12xy – x2 – 3y2 se x + y = 16. R: PM(9, 7) (7) Encontre os valores críticos para minimizar os custos de uma firma produtora de dois bens, cujas

quantidades são epresentadas por “x” e “y”, quando a função de custo total é C = 8x2 - xy + 12y2 e a firma é obrigada, por contrato, a produzir um mínimo combinado de produtos totalizando 42. Estime o efeito nos custos se a cota de produção é reduzida de uma unidade.

(8) Que combinação de bens (x e y são as quantidades) uma firma maximizadora de lucros deve produzir

quando sua unção lucro total é L = 80x - 2x2 - xy - 3y2 + 100y e sua capacidade máxima de produção é x + y = 12 ? Estime o feito sobre os lucros se a capacidade de produção é expandida de uma unidade.

(9) Maximize a utilidade U = Q1.Q2 , quando P1 = 1 , P2 = 4 e a pessoa tem um orçamento de 120. Estime o

efeito de um aumento de uma unidade no orçamento. (10) Um rancheiro se defronta com a função lucro L = 110x - 3x2 - 2xy -2y2 + 140y, onde “x” correspondente

à metade de um boi e “y”, a um couro. A que nível de produção irá o rancheiro maximizar seu lucro? 7. x = 25, y = 17; Efeito: Os custos diminuem de 383 u.m. 8. x =5, y = 7. Efeito: O Lucro aumenta de 53 u.m. 9. Q1 = 60; Q2 = 15; Efeito: Utilidade aumenta de 15 u.m. 10. x = 20, y = 10.

26/44

UNIDADE 2 - MATRIZES, DETERMINANTES E SISTEMAS LINEARES 1. MATRIZES 1.1 CONCEITO

- Matriz é toda tabela retangular de números e/ou letras escritas entre colchetes ou parêntesis.

- Exs: a) 1 2 3

4 5 6

7 8 9

b) 10 20

40 50

y

x

c)

x y

c d

a b

1.2 NOTAÇÃO

- Comumente uma matriz é representada por uma letra maiúscula e seus elementos pela letra minúscula correspondente. Assim, temos:

Amxn =

a a a

a a a

a a a

n

n

m m mn

11 12 1

21 22 2

1 2

...

...

: : : :

...

onde Amxn ⇒ lê-se: “ Matriz A, m por n” ou “Matriz A de m linhas e n colunas”. mxn ⇒ lê-se: “ m por n”. Define a ordem da matriz. aij ⇒ É o elemento da i-ésima linha e da j-ésima coluna, também chamado de elemento genérico da matriz. 1.3 TIPOS 1.3.1 Matriz Retangular e Matriz Quadrada • Retangular → Quando m ≠ n. • Quadrada → Quando m = n. • Exs:

a) A2x3 = 1 2 3

4 5 6

(retangular) b) B3x3 =

1 2 3

4 5 6

7 8 9

(quadrada)

• Na matriz quadrada temos: a) Diagonal Principal - Sucessão de elementos aij onde i = j (a11a22a33...ann). b) Diagonal Secundária - Sucessão de elementos a1na2(n-1).....an1. 1.3.2 Vetor-Linha (Matriz-Linha) e Vetor-Coluna (Matriz-Coluna) • Vetor-Linha → É toda matriz de somente uma linha. • Vetor-Coluna → É toda matriz de somente uma coluna. • Exs: a) u = [ 1 2 3 4] → Vetor-Linha

27/44

b) v = 1

2

3

→ Vetor-Coluna

1.3.3 Matriz Identidade

• É toda matriz (aij)nxn onde a se i j

a se i j

ij

ij

= ≠

= =

0

1

• É comumente representada pela letra I. • Exs:

a) I = 1 0

0 1

b) I =

1 0 0

0 1 0

0 0 1

1.3.4 Matriz Nula • É toda matriz (aij)mxn onde aij = 0, ∀ i, j. • É comumente representada pela letra O. • Exs:

a) O2x3 = 0 0 0

0 0 0

b) O3x3 =

0 0 0

0 0 0

0 0 0

1.4 IGUALDADE DE MATRIZES • Duas matrizes são iguais quando os elementos correspondentes forem iguais. • Se (aij)mxn = (bij)mxn ⇒ aij = bij , para todo i = 1, 2, ..., m e j = 1, 2 , ..., n. • Ex - Resolva a equação matricial abaixo:

1 2

5 8

x

y

=

1 6

10 8

Solução

Condição: 2 6

5 10

x

y

=

=

⇒ x=3 e y = 2. Resposta: x

y

=

=

3

2

1.5 OPERAÇÕES COM MATRIZES 1.5.1 Adição e Subtração • Somam-se ou subtraem-se os elementos correspondentes. • Se (aij)mxn ± (bij)mxn = (cij)mxn ⇒ cij = aij ± bij • Exs

a) 1 2

3 4

+

5 6

7 8

=

1 5 2 6

3 7 4 8

+ +

+ +

=

6 8

10 12

b) 5 6

7 8

-

1 2

3 4

=

5 1 6 2

7 3 8 4

− −

− −

=

4 4

4 4

28/44

1.5.2 Multiplicação de Matriz por um Escalar • É o produto de uma matriz por um número real. • “Multiplica-se cada um dos elementos da matriz pelo escalar.” • Assim: k.(aij)mxn = (k.aij)mxn. • Exs

a) 2.3 4

5 6

=

2 3 2 4

2 5 2 6

x x

x x

=

6 8

10 12

b) (-1/2).

10 20

6 4

−

−

=

−

−

5 10

3 2

1.5.3 Multiplicação de Matrizes 1.5.3.1 Multiplicação de um Vetor-Linha por um Vetor-Coluna •••• Este produto é chamado “Produto Interno” ou “Produto Escalar” .

• [ a11 a12 ..... ain] .

b

b

bn

11

21

1

:

= a11.b11 + a12.b21 + .... + a1n.bn1 = a bj j

j

n

1 1

1

.=∑

• Exs

a) [ 1 3] . 2

5

= [ ]1 2 3 5x x+ = [2 + 15] = [17] = 17

b) [ 2 4 6 ] . 1

3

5

= 2x1 + 4x3 + 6x5 = 2 + 12 + 30 = 44

1.5.3.2 Multiplicação de duas Matrizes Quaisquer • Condição de Existência: “O nº de colunas da 1ª matriz deve ser igual ao nº de linhas da 2ª matriz”.

• Se (aij)mxn . (bjk)nxp = (cik)mxp ⇒ cik = ∑∑∑∑====

n

j

jkij ba1

. para i = 1, 2, ...,m e k = 1, 2,

..., p. • Em suma: “Cada elemento da matriz produto é um produto interno de cada vetor-linha da 1ª matriz por cada vetor-coluna da 2ª matriz”. • Exs

a) [ 1 2]1x2 . 3 4

5 6

= [ 1x3+2x5 1x4+2x6 ]1x2 = [13 16 ]1x2

2x2

b) 1 2

3 4

.

5 6

7 8

=

1 5 2 7 1 6 2 8

3 5 4 7 3 6 4 8

x x x x

x x x x

+ +

+ +

=

19 22

43 50

29/44

c) 1 2 3

4 5 6

.

2 0

1 3

1 2− −

= 1 2 2 1 3 1 1 0 2 3 3 2

4 2 5 1 6 1 4 0 5 3 6 2

x x x x x x

x x x x x x

+ + − + + −

+ + − + + −

( ) ( )

( ) ( )=

1 0

7 3

1.5.3.3 Propriedades do Produto Matricial • A.B ≠ B.A → Não é comutativo (normalmente). • A.(B + C) = AB + AC → É distributiva (Pré-multiplicativa) • (A + B).C = AC + BC → É distributiva (Pós-multiplicativa). • ABC = (AB).C = A.(BC) → É associativa. 1.5.4 Matriz Transposta • De uma matriz A = (aij)mxn ,é representada por AT ou A’ = (aji)nxm , e é obtida trocando-se as linhas de A pelas respectivas colunas. •••• Exs.

a) A transposta da matriz A = 1 3 5

2 4 6

é: A

T = A’ = 1 2

3 4

5 6

.

b) A transposta da matriz B =

10 1

20 2

30 3

40 4

é : BT = 10 20 30 40

1 2 3 4

.

•••• Propriedades •• (AT)T = A. •• (A ± B)T = AT ± BT. •• (AB)T = BT.AT. 2. DETERMINANTE DE UMA MATRIZ QUADRADA 2.1 Conceito • É um número associado à matriz e obtido mediante operações com seus elementos. • Exs

a) O determinante da matriz A = 2 3

4 9

é representado do seguinte modo:

det A =A = 2 3

4 9 = 6,

onde “det A” ou “A” lê-se: “determinante de A”. 2.2 Determinante de 2ª Ordem • É todo determinante de uma matriz de 2ª ordem.

30/44

• Seu valor é igual ao PRODUTO DOS ELEMENTOS DA DIAGONAL PRINCIPAL menos

o PRODUTO DOS ELEMENTOS DA DIAGONAL SECUNDÁRIA”. • Exs:

a) det A = A B

C D = A.D - B.C

b) det A = 2 3

4 9 = 2.9 - 3.4 = 18 - 12 = 6.

c) det B = 2 5

3 6

−

− = (2).(-6) - (-5).3 = -12 + 15 = 3.

2.3 DETERMINANTE DE 3ª ORDEM • É o determinante de qualquer matriz de 3ª ordem. • Geralmente, é calculado pela Regra de Sarrus, que consiste em: “...repetir as duas 1ªs linhas abaixo da 3ª, ou, as duas 1ªs colunas ao lado da 3ª”.

•Exs - Calcule, pela Regra de Sarrus, os determinantes:

a) det A = 1 2 3

4 5 6

7 8 9

= 1.5.9 + 4.8.3 + 7.2.6 - 3.5.7 - 6.8.1 - 9.2.4 = 0

1 2 3 4 5 6 det A = 45 +96 + 84 - 105 - 48 - 72 = 225 - 225 ⇒ det A = 0.

b) det B = 2 1 3

4 0 1

1 3 5

−

−

−

= 2.0.5 + (-4).(-3).3 + 1.(-1).1 - 3.0.1 - 1.(-3).2 - 5.(-1).(-4)

2 -1 3 -4 0 1

det B = 0 + 36 - 1 - 0 + 6 - 20 = 21 ⇒ det B = 21. 2.4 Cofator do Elemento aij de um Determinante • É o determinante obtido eliminando-se a linha “i” e a coluna “j” a que o elemento pertence precedido do sinal (-1)i+j . • O cofator sem o sinal é chamado “Menor Complementar” ou “Menor” do elemento. • Exs - Dado o determinante abaixo:

det A = 1 2 3

4 5 6

7 8 9

, temos:

31/44

•• Cofator do elemento 1 (a11)

C11 = (-1)1+1 5 6

8 9 = +(5.9 - 6.8) = +(45 - 48) = + (-3) = -3


C12 = (-1)1+2.4 6

7 9 = (-1).(4.9 - 6.7) = (-1).(36 - 42) = (-1).(-6) = 6.


C23 = (-1)2+3. 1 2

7 8 = (-1).(1.8 - 2.7) = (-1).(8 - 14) = (-1).(-6) = 6.

2.5 Teorema de Laplace “O valor de um determinante pode ser obtido fazendo-se a soma algébrica dos produtos dos elementos de uma fila (linha ou coluna) pelos respectivos cofatores”.

det A = a Cij ij

j

n

.=∑

1

⇒ Para cada linha i = 1, 2, ..., n.

det A = a Cij ij

i

n

.=∑

1

⇒ Para cada coluna j = 1, 2, 3, ..., n.

Exs - Calcule os determinantes abaixo:

a) det A = 1 2 3

4 5 6

7 8 9

• Aplicando Laplace à 1ª linha, temos:

det A = 1.C11 + 2.C12 + 3.C13 = 1.(-1)1+15 6

8 9 + 2.(-1)1+24 6

7 9 + 3.(-1)1+34 5

7 8

det A = +1.(45 - 48) -2.(36 - 42) +3.(32 - 35) = -3 +12-9 = 0 → det A = 0. • Aplicando Laplace à 3ª coluna, temos: det A = 3.C13 + 6.C23 + 9.C33 = +3.(-3) -6.(-6)+9.(-3)= -9 +36 -27 → det A = 0 • Aplicando Laplace à 2ª linha, temos: det A = 4.C21 + 5.C22 + 6.C23 = -4(-6) +5.(-12) - 6.(-6) = 24-60+36 → det A = 0. Obs: “Deve-se escolher a fila que tiver o maior nº de zeros”. 2.6 PROPRIEDADES a) Um determinante não se altera quando as linhas são trocadas pelas colunas correspondentes, isto é:

det A = det (AT). b) Se todos os elementos de uma fila forem nulos, o determinante é nulo. c) Se uma fila de um determinante for multiplicado por k, o determinante fica multiplicado por k. d) Se duas linhas ou colunas de um determinante são trocadas, o determinante muda de sinal. e) Se duas filas paralelas são idênticas, múltiplas ou uma for combinação linear de outra ou outras, o

determinante é nulo. f) Um determinante não se altera quando a uma fila se soma outra fila paralela por si só, ou multiplicada por

uma constante.

32/44

g) O determinante de uma matriz diagonal (é aquela que só tem elemento ≠ 0 na diagonal principal) é igual ao produto dos elementos da diagonal principal.

h) O determinante do produto de duas ou mais matrizes é igual ao produto dos determinantes das matrizes [det (AB) = det A.det B]. 3. MATRIZ INVERSA 3.1 Conceito - A inversa da matriz Anxn é a matriz de mesma ordem nxn representada por A-1 tal que: A.A-1 = A-1.A = I, onde “I” é a matriz identidade nxn. 3.2 Cálculo da Inversa usando Determinante e Matriz Adjunta • Se a matriz Anxn é não singular, isto é, se det A ≠ 0, então:

A-1 = 1

det A.Adj A onde: Adj A ⇒ É a Adjunta de A

Adj A = [Cij]T = C ji ⇒ Cij são os cofatores de A. - Exs - Ache a inversa das seguintes matrizes:

a) A = 1 2

3 5

⇒

• det A = 1 2

3 5 = 1.5 - 2.3 = -1 ⇒ det A = -1

• Adj A = [Cij]T = Cji ⇒ C11 = 5; C12 = -2; C21= -3; C22 = 1.

Adj A = 5 2

3 1

−

−

• Como A-1 = 1

A Adj A ⇒ A-1 = 1/(-1).

5 2

3 1

−

−

⇒ Resp.: A-1 =

−

−

5 2

3 1

b) B = 1 2 3

1 3 3

1 2 4

• det B = 1 2 3

1 3 3

1 2 4

= 1.6 -1.2 +1.(-3) = 6-2-3 = 1

• Adj B = (Cij)T = Cji ⇒ C11 = 6; C12 = -2; C13 = -3; C21 = -1; C22 = 1; C23 = 0;

C31 = -1; C32 = 0; C33 = 1 ⇒ Adj B = 6 2 3

1 1 0

1 0 1

− −

−

−

• B-1 = (1/1).Adj B = Adj B ⇒ B-1 = 6 2 3

1 1 0

1 0 1

− −

−

−

33/44

3.3 PROPRIEDADES DAS INVERSAS • (A-1)-1 = A • det (A-1) = 1/det A • (AT)-1 = (A-1)T • (A.B)-1 = B-1.A-1

3.4 CÁLCULO DA INVERSA PELO MÉTODO DE ELIMINAÇÃO DE GAUSS • O método se baseia no seguinte procedimento: •• Monta-se a matriz aumentada [ A : I ] : : : : e mediante operações com as linhas da matriz ⇒ a) Multiplicação de uma linha por k b) Troca de duas linhas c) Somar a uma linha, (outra linha).k : : : : •• Chega-se à matriz aumentada [ I : A--1 ] ⇓ Inversa da matriz A. • Este procedimento pode ser resumido nos seguintes passos: •• Passo 1- Divida a 1ª linha por a11 (se a11 ≠ 0). . Utilize a linha resultante para obter zeros nas demais linhas da 1ª coluna. •• Passo 2 - Divida a 2ª linha por a22 ( se a22≠0) Utilize a linha resultante para obter zeros nas demais linhas da 2ª coluna. •• Passo n - Divida a linha n por ann (se ann≠0). Utilize a linha resultante para obter zeros nas demais linhas da nª coluna. •••• OBS - a) Se algum elemento aii = 0, quando ocorrer a divisão, trocam-se duas linhas. b) Se o procedimento padrão não puder ser completado a inversa não existe.

34/44

• Exs - Calcule, pelo método de Gauss, as inversas das seguintes matrizes:

(1) A = 1 2

3 5

3

Solução • monta-se a matriz aumentada [A:I]

1 2 1 0

3 5 0 1

:

:

• Passo 1 - Divida a 1ª linha por a11 (a11=1) e obtém-se a linha resultante 1. → L1 ÷1 = LR1

Multiplica-se a LR1 por (-3) - que é o simétrico da posição a21 = 3 que se quer zerar - e soma-se

com a linha correspondente anterior ( Anterior2L ). Temos:

Ant212

1

LLR).3(L13|10

01|21LR

++++−−−−====

−−−−−−−−

• Passo 2 - Divida a 2ª linha por a22 (a22=-1) e obtém-se a linha resultante 2. → L2 ÷(-1) = LR2.

Multiplica-se a LR2 por (-2) que é o simétrico da posição a12 = 2 que se quer zerar e soma-se

com a linha correspondente anterior Anterior1L . Temos:

Ant121

2

LLR).2(L

13|10

25|01

LR

++++−−−−====

−−−−

−−−−

I A-1 Conclusão:

A-1 =−

−

5 2

3 1

(2) B =

542

653

321

SOLUÇÃO • monta-se a matriz aumentada [B:I]

100|542

010|653

001|321


Multiplica-se a LR1 por (-3) - que é o simétrico da posição a21 = 3 que se quer zerar - e soma-se com a linha correspondente anterior ( Anterior

2L ). Multiplica-se a LR1 por (-2) - que é o simétrico da posição a31 = 2 que se quer zerar - e soma-se

com a linha correspondente anterior ( Anterior3L ).Temos:

1LR

−−−−−−−−

−−−−−−−−−−−−

102|100

013|310

001|321

Ant313

Ant212

LLR).2(L

LLR).3(L

++++−−−−====

++++−−−−====

35/44



com a linha correspondente anterior ( Anterior1L ).


3L ).Temos:

2LR

−−−−−−−−

−−−−

−−−−−−−−

102|100

013|310

025|301

Ant313

Ant121

LLR).0(L

LLR).2(L

++++−−−−====

++++−−−−====



2L ). Multiplica-se a LR3 por (3) - que é o simétrico da posição a13 = -3 que se quer zerar - e soma-se


3LR

−−−−

−−−−−−−−

−−−−

102|100

313|010

321|001Ant232

Ant131

LLR).3(L

LLR).3(L

++++−−−−====

++++====

I B-1

Conclusão:

B-1 =

−−−−

−−−−−−−−

−−−−

102

313

321

36/44

4. SISTEMA DE n EQUAÇÕES LINEARES A n INCÓGNITAS 4.1 Conceito • É um conjunto de n equações do 1º grau que devem ser satisfeitas simultaneamente. 4.2 Representação de um Sistema Genérico

====++++++++++++

====++++++++++++

====++++++++++++

nnnnnn

nn

nn

bxaxaxa

bxaxaxa

bxaxaxa

......

:::::

......

......

2211

22222121

11212111

onde:

• A =

a a

a a

n

n nn

11 1

1

... ...

: : : :

: : : :

... ...

⇒ É a “Matriz dos Coeficientes”

• X =

x

x

xn

1

2

:

⇒ É a “Matriz das Incógnitas ou Variáveis”

• B =

b

b

bn

1

2

:

⇒ É a “Matriz das Constantes”

Assim, a forma matricial do sistema é: A.X = B.

37/44

4.3 RESOLUÇÃO PELO MÉTODO DE GAUSS 4.3.1 O MÉTODO • Consiste em montar a matriz aumentada [ A : B ] : e mediante operações com : as linhas da matriz : chega-se a uma nova : matriz aumentada : que tenha a forma [ I : X ] onde: X ⇒ É a matriz solução do sistema. I ⇒⇒⇒⇒ É a matriz identidade 4.3.2 Exemplos

a) x y

x y

+ =

+ =

2 5

3 4 13

Solução

• Monta-se a matriz aumentada [ A : B ]

1 2 5

3 4 13

:

:



com a linha correspondente anterior ( Anterior2L ). Temos:

Ant212

1

LLR).3(L2|20

5|21LR

++++−−−−====

−−−−−−−−


Multiplica-se a LR2 por (2) que é o simétrico da posição a21 = -2 que se quer zerar e soma-se com a linha correspondente anterior Anterior

1L . Temos:

Ant121

2

LLR).2(L

1|10

3|01

LR

++++−−−−====

I X (Matriz-Solução)

38/44

Então:

X =

y

x =

1

3 ⇒ Resp.:

====

====

1y

3x

b)

=++−

=−+

=++−

64

7532

432

zyx

zyx

zyx

SOLUÇÃO • Monta-se a matriz aumentada [ A : B ]

−−−−

−−−−

−−−−

6:141

7:532

4:321

• Passo 1 - Divida a 1ª linha por a11 (a11=-1) e obtém-se a linha resultante 1. → L1 ÷(-1) = LR1


2L ). Multiplica-se a LR1 por (1) - que é o simétrico da posição a31 = -1 que se quer zerar - e soma-se


1LR

−−−−

−−−−−−−−−−−−

2|220

15|170

4|321

Ant313

Ant212

LLR).1(L

LLR).2(L

++++====

++++−−−−====

• Passo 2 - Divida a 2ª linha por a22 (a22=7) e obtém-se a linha resultante 2. → L2 ÷(7) = LR2.

Multiplica-se a LR2 por (2) - que é o simétrico da posição a12 = -2 que se quer zerar - e soma-se com a linha correspondente anterior ( Anterior

1L ). Multiplica-se a LR2 por (-2) - que é o simétrico da posição a32 = 2 que se quer zerar - e soma-se


2LR

−−−−−−−−

−−−−

716

716

715

71

72

719

|00

|10

|01

Ant323

Ant121

LLR).2(L

LLR).2(L

++++−−−−====

++++====

• Passo 3 - Divida a 3ª linha por a33 (a33=-16/7) e obtém-se a linha resultante 3. → L3 ÷(-16/7) = LR3.

Multiplica-se a LR3 por (-1/7) - que é o simétrico da posição a23 = 1/7 que se quer zerar - e

soma-se com a linha correspondente anterior ( Anterior2L ).

Multiplica-se a LR3 por (19/7) - que é o simétrico da posição a13 = -19/7 que se quer zerar - e soma-se com a linha correspondente anterior ( Anterior

1L ).Temos:

3LR

1|100

2|010

3|001Ant232

Ant131

LLR).7/1(L

LLR).7/19(L

++++−−−−====

++++==== ⇒ X =

z

y

x

=

1

2

3

Resp.:

====

====

====

1z

2y

3x

I X

39/44

MATRIZES, DETERMINANTES E SISTEMAS LINEARES

Objetivos Níveis cognitivos O aluno deverá ser capaz de apresentar os seguintes comportamentos:

Conhecimento/Compreensão/Aplicação

1. Conceituar e representar matrizes.

1. Matriz é uma ______________ ou ____________ de letras e/ou números escritas(os) entre ______________ ou _________________.

2. Em geral, representa-se uma matriz pelas primeiras letras _______________________ do alfabeto e seus elementos pelas _________________ correspondentes. 3. Represente a matriz A2x2, formada pelos primeiros nºs ímpares. 4. Represente a matriz B, de duas linhas e três colunas, formada pelas 1ªs

letras minúsculas do alfabeto. 5. Represente a matriz C2x3.

2. Identificar diferentes tipos de MATRIZES (retangular, quadrada, matriz ou vetor-linha, matriz ou vetor-coluna, identidade, nula, diagonal, transposta, inversa, etcl).

1. Associe a coluna da esquerda de acordo com a da direita: (1) Retangular ( ) Anxn= (aijj)nxn onde aijj=0 ∀ i≠j e aij=1 ∀ i=j. (2) Quadrada ( ) nº linhas = nº colunas (3) Vetor-linha ( ) aij = 0, ∀ i e j. (4) Vetor-coluna ( ) Matriz de uma só linha (A1xn). (5) Identidade ( ) nº linhas ≠ nº colunas (6) Nula ( ) Matriz de uma coluna (Bnx1). (7) Diagonal ( ) A. A-1 = I = A-1.A (8) Transposta ( ) Linhas de uma = Colunas da outra,

respectivamente. (9) Inversa ( ) Anxn= (aijj)nxn onde aijj=0 ∀ i≠j e aij≠0 para pelo

menos um i=j.

3. Efetuar operações com matrizes (Adição e subtração, multiplicação por escalar, multiplicação de duas matrizes)

(1)

−

20

11 +

−

−

21

31=

(2)

−

20

11 -

−

−

21

31=

(3) 3.

−

25

41 = (4) (-1/2).

−

26

48 =

(5) [ 2 -1]1X2 . 12

2

3

X

−=

(6) 22

43

21

X

.

2222

01

X

−

− =

(7) 32

310

021

X

−.

2321

31

02

X

−−

=

40/44

4. Enunciar as propriedades do produto matricial e das matrizes transpostas.

Complete usando as propriedades: (a) A.B ≠ → Não é comutativo (normalmente). (b) A.(B + C) = → É distributiva (Pré-multiplicativa) (c) (A + B).C = → É distributiva (Pós-multiplicativa). (d) ABC = ( ) .C = A.( ) → É associativa. (e) (AT)T = (f) (A ± B)T = (g) (AB)T =

5. Conceituar e representar determinante de uma matriz quadrada.

(1) Determinante de uma matriz quadrada é _______________________ associado à matriz e obtido mediante operações com seus ___________________.

Represente os determinantes das matrizes:

(2) A2x2 =

104

21 e (3) B3x3 = 1 2 3

2 4 5

3 5 6

6. Saber calcular um determinante de 2ª ordem.

Calcule os determinantes de 2ª ordem abaixo:

(1) det A = 104

21 =

(2) det B = 25

13

−

− =

(3) det C = 25

13

−−

− =

7. Calcular um determinante de 3ª ordem.

Calcule os determinantes de 3ª ordem abaixo (Regra de Sarrus):

(1) det A =

210

542

231

; (2) det B =

504

123

012

−−

−

; (3) det C =

624

211

320

−

−

8. Conhecer o Teorema

de Laplace e utilizá-lo para calcular determinantes de qualquer ordem.

(1) Teorema de Laplace: “O valor de um determinante é igual à soma algébrica dos produtos dos ______________________ de uma fila pelos respectivos ________________________”.

Calcule, por Laplace, os determinantes abaixo:

(1) det A = 104

21 = (2) det B =

504

123

012

−−

−

=

(3) det C =

624

211

320

−

− = (4) det D =

3210

1321

0521

3102

−

−

− =

41/44

9. Conceituar e representar Matrizes Inversas.

(1) A inversa da matriz B é a matriz ________ tal que __________________. (2) A inversa da matriz X é a matriz ________ tal que __________________.

10. Usar o conceito de matriz inversa para resolver equações matriciais.

Resolva as equações matriciais abaixo, supondo as matrizes A, B e C quadradas, de mesma ordem e inversíveis: (1) AX = B (2) B-1X = A (3) AXB-1 = A-1

(4) CXT = AB

11. Calcular matriz inversa pelo Método de Gauss.

Calcule, pelo método de Gauss, as inversas das seguintes matrizes:

(1) A =

−− 41

31 (2) B =

− 51

10

(3) C =

114

52 (4) D =

−

032

421

201

12. Conceituar e representar sistema de equações

(1) Sistema de n Equações Lineares a n incógnitas é um ________________ de n equações do 1º grau com n incógnitas que devem ser satisfeitas __________________________.

(2) No sistema a seguir identifique a matriz dos coeficientes (A), a matriz das variáveis (X) ou incógnitas e a matriz das constantes (B) ou dos termos independentes:

=+

=−

2624

132

yx

yx

(3) Escreva a forma matricial dos sistema acima:

13. Resolver sistema de n equações a n incógnitas pelo Método de Gauss.

Nos problemas a seguir, resolva os sistemas pelo Método da Eliminação de Gauss:

(1)

====−−−−

====−−−−

5105

2

yx

yx

(2)

====++++−−−−

====−−−−++++

−−−−====−−−−−−−−

2453

3232

22

zyx

zyx

zyx

(3)

====−−−−−−−−

−−−−====−−−−−−−−

====++++++++−−−−

74

173

0842

zyx

zyx

zyx

(4)

====++++++++

====++++

====−−−−

64

642

0

zyx

zy

yx

(5)

−−−−====++++−−−−−−−−

====++++−−−−−−−−

====−−−−++++++++−−−−

−−−−====++++−−−−−−−−

123

03224

10422

22

tzyx

tzyx

tzyx

tzyx

42/44

TAREFA 01 – MATRIZES, DETERMINANTES E SISTEMAS LINEARES

(1) Dadas as matrizes A =− −

2 3 8

4 1 6, B =

− −

5 7 9

0 4 1 e C =

0 9 8

1 4 6,

ache a matriz X = 4C + 2A - 6B.

(2) Dadas as matrizes A =

−

−

1 2

3 1

7 4

5 9

; B =− −

−

1 3 5 7

6 2 8 3 e C =

−

2 4

3 5, ache (BA)C.

(3) Calcule x e y para que a matriz B =

5 22

2 9 seja inversa da matriz A

x

y=

−

−

22

2.

(4) Dadas as matrizes diagonais: A = 2 0 0

0 7 0

0 0 3

e B = 4 0 0

0 5 0

0 0 6

, calcule AB.

(5) Dadas as matrizes A =

3 0 1

0 2 0

2 0 3

−

, B =

3 1 3

3 0 1

2 2 4

−

−

e C =

2 0 1

3 0 0

0 2 3− −

:

a) Ache det (A - B). b) Ache det (ACT). (6) Dadas as matrizes:

A =

− −

− −

−

2 3 1 1

0 1 2 3

1 1 1 2

0 3 0 1

e B =

4 6

5 2

7 4 2

x

x

x

−

a) Calcule det A desenvolvendo-o pela 1ª coluna. b) Resolva a equação det B = -128. Nos problemas a seguir, resolva os sistemas pelo Método da Eliminação de Gauss:

(7)

====−−−−

====−−−−

5105

2

yx

yx Resp: X = [3 1]T

(8)

====++++−−−−

====−−−−++++

−−−−====−−−−−−−−

2453

3232

22

zyx

zyx

zyx

Resp: X = [1 1 1]T

(9)

====++++++++

====++++

====−−−−

64

642

0

zyx

zy

yx

Resp: X = [3-2z 3-2z z]T

43/44

(10)

−−−−====++++−−−−−−−−

====++++−−−−−−−−

====−−−−++++++++−−−−

−−−−====++++−−−−−−−−

123

03224

10422

22

tzyx

tzyx

tzyx

tzyx

Resp: X = [2 1 3 0]T

TAREFA 02 – MATRIZES, DETERMINANTES E SISTEMAS LINEARES

(1) Considere as seguintes matrizes:

A =

−−−−

−−−−

12

30

21, B =

−−−−

310

320 , CT = [[[[ ]]]]332 −−−−−−−− e D =

−−−−

2

1

1 .

Ache o determinante de (C.DT-A.B). Resp: -54

(2) Resolva a equação:

xx

x

x

1

03

1130

100

010

221

====

. Resp: x ∈ {0, 1}.

(3) Calcule a matriz X em (X – A)-1 = B considerando A =

58

23 e B =

−−−−

−−−−

53

21. R: X =

−−−−

−−−−

12

35

(4) Sejam as matrizes A =

43

21, B-1 =

30

32. Ache a matriz X tal que A.X-1 = B. R:

129

1611

(5) Sejam as matrizes A =

−−−−

−−−−

48

410, X =

4

2, H =

20

10, e I =

10

01.

Ache a matriz Y tal que Y = (B – I)-1.H onde bij = (aij)/xj . R: Y = [0 -10]T

(6) Resolva, por GAUSS, o sistema:

====−−−−

====++++−−−−

====++++++++

33

82

932

zx

zyx

zyx

R: (2, -1, 3)

(7) Resolva, por GAUSS, o sistema:

−−−−========++++++++

====++++++++

====++++++++

12352

832

4224

zyx

zyx

yyx

. R: (2, -5, 3)

(8) Resolva os sistemas:

====−−−−++++−−−−

====−−−−++++−−−−

−−−−====++++−−−−

02

032

13

zyx

zyx

zyx

e

====−−−−++++−−−−

====−−−−++++−−−−

−−−−====++++−−−−

02

132

23

zyx

zyx

zyx

sabendo-se que:

A-1 =

1

121

132

131−−−−

−−−−−−−−

−−−−−−−−

−−−− =

−−−−−−−−

−−−−−−−−

−−−−−−−−

311

101

011 e X = A-1.B. R: (1, 1, 1) e (1, 2, 3).

(9) Uma cadeia fast-food vende 1.000 hambúrgeres, 600 cheeseburgers e 1.200 milk shakes

em uma semana. O preço de um hambúrguer é 4 reais, um cheeseburger, 5 reais, e um milk shake, 3 reais. Ache o lucro da firma em uma semana, sabendo que, para a cadeia, o custo de hambúrguer é 3 reais, de um cheese é três reais e cinqüenta centavos e de um milk é um real e cinqüenta centavos. Utilize na obtenção do lucro(L): para as quantidades (Q), vetor-coluna; para os preços(P), vetor-linha e para os custos(C), vetor-linha. Dado: Receita Total (RT) = Preço unitário(P) x Quantidade(Q);

Custo Total (CT) = Custo unitário(C) x Quantidade (Q) e o Lucro (L) = RT – CT. Resp: 3.700 (10) Uma economia hipotética simples de duas indústrias (A e B) está representada na seguinte tabela (os dados são

expressos em milhões de reais de produtos):

44/44

USUÁRIO(bij) PRODUTOR A B

DEMANDA FINAL (hj)

PRODUTO FINAL (xj)

A 14 6 8 28 B 7 18 11 36

Determine o vetor de produto final (X) da economia, se a demanda final muda até 16 para A e 3 para B.

DADOS: X = (I – A)-1.H onde A = (aij)2x2 e aij = bij/xj. Resp.: X = [[[[ ]]]]T4.268,40

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