maestria upt

ESPG UPT. A.M.E. IE-102. 2015

MODELO PS3-D CENTRO ROTACIN WESB Pg. 1

ANLISIS DE EDIFICIOS CON DIAFRAGMAS

RGIDOS SOMETIDO A FUERZAS

HORIZONTALES :

MODELO PSEUDO TRIDIMENSIONAL

Ejemplos

2015

Wilson Silva Berros

A. M. E.

Ejemplo 1 :

(E=2.2 x106 ton/m,

= 0.15)

Edificio de 3 pisos en C.A.

Columnas de tipo: C-1 = 30 x 30; C-2 = 30 x 60; C-3 = 60 x 30cm.

Altura de entrepiso 1 : 3.5m y entrepiso 2 y 3: 2.9m.



Planta

Elevacin

En el C.G. de cada nivel actan las Fuerzas y

Momentos de Torsin, siguientes:

Fx Fy T

1er Piso 10 2 13.5

2do Piso 20 3 25

3er Piso 25 5 18.5



Consideraciones

- Comportamiento elstico lineal

- El suelo y la cimentacin empleada permiten considerar que

todos los elementos estn empotrados en su base.

- Cada estructura plana se considera con rigidez lateral

efectiva slo en su plano.

- El conjunto estructural se considera constituido por estructuras

planas unidas en cada piso por diafragmas rgidos.

Matriz de Rigidez de un Prtico Tipo Corte

Vigas Infinitamente rgidas EI =

Vigas y Columnas, sin deformacin axial EA =

Las columnas quedan bi-empotradas en sus extremos (vigas y diafragmas)

No se producen giros en los extremos de las columnas



Anlisis de un piso cualquiera

iiL

EIV

3

12 n

i

ient VV1

iii kV

Vi = Fuerza Cortante de Entrepiso, porque no hay gdl de giro

Vlida si y slo si,

no existen giros

Si ocurre el desplazamiento = 1

3

12

L

EIki

n

i

ient kk1



Prtico Tipo Corte de tres pisos

1entk

Primero asignamos los gdl laterales :

1

2

3

2entk

3entk

Un desplazamiento en

cada piso, sin giros:

Matriz de Rigidez k = kLat

1entk

1

2

3

2entk

3entk

latk



Primera columna de la Matriz de Rigidez

TD 001

Cada diafragma necesita una FUERZA exterior para estar en equilibrio

0

2

21

1 ent

entent

L k

kk

k

0

2entk

12 entent kk



Segunda columna de la Matriz de Rigidez

TD 010

Cada losa Necesita una FUERZA en exterior para estar en equilibrio

3

32

2

2

ent

entent

ent

L

k

kk

k

k

32 entent kk

2entk

3entk



Tercera columna de la Matriz de Rigidez

TD 100

Cada losa Necesita una FUERZA exterior para estar en equilibrio

0

3entk

3entk

3

33

0

ent

entL

k

kk



Prtico Tipo Corte de tres pisos

Agrupando las tres columnas

33

3322

221

0

0

entent

entententent

ententent

L

kk

kkkk

kkk

k

3

33

0

ent

entL

k

kk

3

32

2

2

ent

entent

ent

L

k

kk

k

k

0

2

21

1 ent

entent

L k

kk

k

Rigidez Lateral (kL) de un Prtico de 2 Pisos

Ec 2.2 106 Gc

Ec

2 1 0.15( )Gc 9.565 10

5

Para el edificio de dos pisos (nuestro caso), la Matriz de Rigidez Lateral

tiene la misma forma:

22

221

entent

ententent

Lkk

kkkk

Para el edificio de C.A.:



Propiedades de Secciones

COL : 30 x 30 y COL de 60 x 30

Matriz de Rigidez Lateral de Prtico 1



Matriz de Rigidez Lateral de Prtico 2, 3

Matriz de Rigidez Lateral de Prtico 4



Matriz de Rigidez Lateral de Prticos 5

Matriz de Rigidez Lateral de Prticos 6 y 7



nR

R

R

Sen

Sen

Sen

Cos

Cos

Cos

pa

..

....

..

.

.

....

..

.

.

....

..

.

0

20

001

00

0

00

00

0

00

RSCpa

Ecuaciones de Compatibilidad




Matriz de Rigidez del Edificio K

Kedif

1

7

i

api

TKL

iap

i

Solucin a Cargas aplicadas



Fx Fy T

1er Piso 10 2 13.5

2do Piso 20 3 25

3er Piso 25 5 18.5

Total 55 10



ANLISIS DE EDIFICIOS CON DIAFRAGMAS

RGIDOS SOMETIDO A FUERZAS

HORIZONTALES.

MODELO PSEUDO TRIDIMENSIONAL.

CENTRO DE RIGIDEZ

2015

Wilson Silva Berros

A. M. E.

Ejemplo 2 :

(E=2.2 x106 ton/m,

= 0.15)

Edificio 2 pisos C.A. Columnas: 0.35x0.35m, placa: 5.70x0.25m.

Altura de entrepiso 1 y 2 : 3.5 y 2.8m, respectivamente.



En el C.G. de cada nivel actan las Fuerzas y Momentos

de Torsin, siguientes:

Fx

(ton)

Fy

(ton)

T (ton m)

1er Piso 17 8 21

2do Piso 27 13 47

Consideraciones

- Comportamiento elstico lineal

- El suelo y la cimentacin empleada permiten considerar que

todos los elementos estn empotrados en su base.

- Cada estructura plana se considera con rigidez lateral

efectiva solo en su plano.

- El conjunto estructural se considera constituido por estructuras

planas unidas en cada piso por diafragmas rgidos.



Agrupando las tres columnas

33

3322

221

0

0

entent

entententent

ententent

L

kk

kkkk

kkk

k

3

33

0

ent

entL

k

kk

3

32

2

2

ent

entent

ent

L

k

kk

k

k

0

2

21

1 ent

entent

L k

kk

k

Rigidez Lateral (kL ) de un Prtico de 3 Pisos

Rigidez Lateral (kL ) de un Prtico de 2 Pisos

Ec 2.2 106 Gc

Ec

2 1 0.15( )Gc 9.565 10

5

Para el edificio de dos pisos (nuestro caso), la Matriz de Rigidez Lateral

tiene la misma forma:

22

221

entent

ententent

Lkk

kkkk

Para el edificio de C.A.:




3

33

63

33

10751.2

)102.2(35.035.012

1

C

C

EI

EI

3

22

63

22

10751.2

)102.2(35.035.012

1

C

C

EI

EI

COL : 35 x 35


PLACA : 570 x 25

mton . PEI

... PEI

7514843

102225070512

1

133

63

133

1 2

3

mton PEI

...PEI

8488013

10227525012

1

122

63

122

21

25075122

.

..PAc 6

122 10136.1PAcGcX

Y Z



Matriz de Rigidez Lateral de Prticos 2,3,4,6,7

pt02kent112

H1

33EI22C( )

pt02kent212

H2

33EI22C( )

pt02kent1 2.31 103

pt02kent2 4.512 103

KL2

6.822 103

4.512 103

4.512 103

4.512 103

22

221

entent

ententent

Lkk

kkkk

Matriz de Rigidez Lateral del Prtico 1: Placa 1

Para este caso, primero generaremos la Matriz de Flexibilidad

(* ) La estructura tiene ms gdl que los laterales (en realidad existen giros)



Matriz de Rigidez Lateral del Prtico 1

Aplicamos una fuerza unitaria en la direccin del gdl 1

2

2

1

3

1

23

T h

EI

h

EI

h

2

2

1

3

1

3

1

1

23

3

L

h EI

h

EI

h

EI

h

F

T Q 01


Aplicamos una Fuerza unitaria en el gdl 2

EI

hh

hEI

h

EI

h

F

L

3

23

3

21

2

2

1

3

1

2

T Q 10




FL H1 H2 EI Ac( )

H13

3 EI

H1

Ac Gc

H13

3 EI

H1

Ac Gc

H12

2 EIH2

H13

3 EI

H1

Ac Gc

H12

2 EIH2

H1 H2( )3

3 EI

H1 H2

Ac Gc

Agrupando e incluyendo deformaciones por corte :

Reemplazando valores numricos:

FL1

4.765 106

6.786 106

6.786 106

1.537 105

Invirtiendo la Matriz de Flexibilidad

FL1

4.765 106

6.786 106

6.786 106

1.537 105

KL1

FL1

1

KL1

5.654 105

2.497 105

2.497 105

1.753 105



nR

R

R

Sen

Sen

Sen

Cos

Cos

Cos

pa

..

....

..

.

.

....

..

.

.

....

..

.

0

20

001

00

0

00

00

0

00

RSCpa


Ejemplo: Matriz de Compatibilidad del Prtico 1

ap1

0.351123

0

0

0.351123

0.93633

0

0

0.93633

9.246

0

0

9.246

R

RsenSxcosSyd pi



Un giro (+) genera un desplazamiento DA. Si la componente de DA en la direccin

del prtico P1 coincide con , entonces R es (+); en caso contrario, R es (-)

La componente de DA en la direccin de P1,

es opuesta a , entonces R es negativo

DA

A

A

Un giro (+) genera un desplazamiento DB. Si la componente de DB en la direccin

del prtico P1 coincide con , entonces R es (+); en caso contrario, R es (-)

La componente de DB en la direccin de P1,

es opuesto a , entonces R es negativo

DB B

B



Matrices de Compatibilidad de los otros Prticos

ap3

0

0

0

0

1

0

0

1

1.4

0

0

1.4

ap4

0

0

0

0

1

0

0

1

7.4

0

0

7.4

ap2

0

0

0

0

1

0

0

1

4.6

0

0

4.6

ap5

1

0

0

1

0

0

0

0

4.6

0

0

4.6

ap6

1

0

0

1

0

0

0

0

1.4

0

0

1.4ap

7

1

0

0

1

0

0

0

0

7.4

0

0

7.4

Matriz de Rigidez K del Edificio

Kedif

1

7

i

api

TKL

iap

i

Kedif

92448

45822

185891

82089

1853818

822638

45822

36656

82089

57646

822638

581269

185891

82089

516177

232440

4866364

2142672

82089

57646

232440

167258

2142672

1499021

1853818

822638

4866364

2142672

49447587

22079985

822638

581269

2142672

1499021

22079985

15724107



Clculo del CENTRO DE RIGIDEZ por aplicacin de un

momento torsor unitario en el 2do piso

Qedif

0

0

0

0

0

1

Dedif Kedif1

Qedif Dedif

3.699 106

5.576 106

7.419 106

1.109 105

9.389 107

1.441 106

Sy = Dx / giro Sx = - Dy / giro

i 1 2

Syi

Dedifi

Dedif4 i

Sxi

Dedif2 i

Dedif4 i

Sy3.939

3.87Sx

7.902

7.696

i 1 2

Syi

Dedifi

Dedif4 i

Sxi

Dedif2 i

Dedif4 i

Sy3.939

3.87Sx

7.902

7.696

93939027, . , .YX RCRC

8736967, . , .YX RCRC

Para el 1Piso:

Para el 2Piso:

Clculo del CENTRO DE RIGIDEZ, por aplicacin de un

momento torsor unitario en el 2do piso

Q6 = 1

Qedif

0

0

0

0

0

1

Dedif

3.699 106

5.576 106

7.419 106

1.109 105

9.389 107

1.441 106

S



DCG= (XCG , YCG)

SDD CGCR

0,,,0,0,, SySxYXYX GCGCRCRC

SyXX CGCR

SxYY CGCR

Por definicin de C. R.

00, , RCRC YX

SyXCG0

CGXSy

7

6

10389.9

10699.3

Sy

DCR= (XCR, YCR)

m . Sy 9393

DCG= (3.699, 7.419)

SPara este caso, (1Piso):

*


Qedif

17

27

8

13

21

47

Dedif

5.741 103

7.555 103

1.665 103

2.223 103

3.827 104

5.044 104

Dedif Kedif1

Qedif

Fx Fy T

1er Piso 17 8 21

2do Piso 27 13 47

44 21



Fuerzas y Desplazamientos en en Porticos:

i 1 7

dpi

api

Dedif qpi

KLi

dpi

i 1 7

Vi

1

2

j

qpi

j

V

6.137

0.22

5.085

10.389

23.104

12.023

6.718

Para el prtico 1 y 5:

dp1

3.604 105

7.049 105

qp1

2.775

3.362V

16.137

qp5

8.825

14.279dp5

7.501 103

9.875 103

V5

23.104

Verificacin del Cortante Basal en X : Verificacin del Cortante Basal en Y :

Fuerzas en X :Fuerzas en Y :

1.212

Vy

2

4

n

Vn

V1

sinVx

5

7

n

Vn

V1

cos

Vx 44 Vy 21



Cmo se determina el Centro de Rigidez ?

*

Explicacin Fundamental :

Relaciones entre el DESPLAZAMIENTO de dos puntos

de un S. R.

La distancia entre dos puntos de un S. R. siempre es la

misma (constante)

Los Desplazamientos, No necesariamente son iguales



Cada punto de un S. R. se Desplaza y adems Gira con

respecto a su Centro Instantneo de Rotacin

PERO LA DISTANCIA AB

ENTRE ELLOS SIGUE

SIENDO LA MISMA

DB DA

Mdulo de AB = Cte

?

El movimiento de un S.R. es la superposicin de un

Desplazamiento y un Giro



Cada punto de la Barra se

desplaza el vector DA

DA

DB = DA

Primero damos un

Desplazamiento DA al S. R.

En esta configuracin demos

un giro respecto de A

DA

DB

DA

rAB

B B

Giro antihorario

respecto de A

DB = DA + B B

B B = x rAB

es un vector perpendicular al plano del

cuerpo rgido y es positivo en sentido

antihorario

ABDD AB



Entonces, para cualquier condicin de Desplazamiento, se

cumple:

Mdulo de AB =Cte

ABDD AB

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